实验6 线性代数方程组的数值解法

实验6 线性代数方程组的数值解法

[实验目的]

1. 1. 学会用MATLAB 软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析；

2. 2. 通过实例学习用线性代数方程组解决简化的实际问题。

[实验内容]

5-5 输电网络：一种大型输电网络可简化为图5.5（见书）所示电路，

其中R 1，R 2，…，R n 表示负载电阻，r 1，r 2，…，r n 表示线路内阻，I 1，I 2，…，I n 表示负载上的电流。设电源电压为V 。 (1)列出求各负载电阻R 1，R 2，…，R n 的方程；

(2)设I 1=I 2=…=I n =I ，r 1=r 2=…=r n =r ，在r=1，I=0.5，V=18，n=10的情况下求R 1，R 2，…，R n 及总电阻R 0。

[问题分析、模型建立及求解]

(1) 设电源负极为电势为0，电阻R 1上对应节点电压为V 1，对于任意节点，根据KCL 定律列出方程：

11

1++----=k k k k k k k k r V V r V V R V

而

k k

k R V I =

，可得：

11

1111)(++++--++-=

k k k k k k k k k k k k R r I

R r I r I R r I I

k=2，3，……，n-1；

k=1时

2221211R r I R r I I +-

=，为与上式形式一致，化为

22

212111111)(R r I

R r I r I r V I +--=-

k=m （12-≤≤n m ）时 11

1111)(++++--+--+=

m m m n m m m m m m m m R r I

R r I r I R r I I

k=n 时

n n

n n n n n R r I

R r I I -=

--11

设以上方程组的矩阵形式为：b AR = 则 []T

n R R R R 21

=

T

n I I I r V I b ⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡-= 3211

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡---

------=------n n n

n n n n

n n n n n r I r I r I r I r I r I r I r I r I r I r I r I r I r I r I r I r I A 11

111144

43

33323332

2221

2221

1

10

00000

(2)代入参数：

5.021=====I I I I n ，121=====r r r r n ，V=18，n=10，

⇒

⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=5.05.0005.015.005.015.005.015.0005.01

A ⇒[]T

b 5.05.05.05.17 -=

在命令窗口输入MA TLAB 程序如下：

clear all ;

n=10; %由题目要求设定

A11=sparse(1:n-1,1:n-1,-1,n,n); %定义A 的对角元素，除（n,n) A12=sparse(n,n,-0.5,n,n); %定义(n,n)

A1=A11+A12; %对角元素

A2=sparse(1:n-1,2:n,0.5,n,n); %输入A 的上次对角元素 A3=sparse(2:n,1:n-1,0.5,n,n); %输入A 的下次对角元素 A=A1+A2+A3;

b1=0.5*ones(n,1); %b 的除第一项元素 b2=sparse(1,1,18,n,1); %b 的第一项元素 b=b1-b2; R=A\b

输出结果如下：

R =

26.0000

17.0000 9.0000 2.0000 -4.0000 -9.0000 -13.0000 -16.0000 -18.0000 -19.0000

所以各阻值为

(R 1，R 2，…，R 10)=(26，17，9，2，-4，-9，-13，-16，-18，-19)

总电阻R 0（即输入等效电阻）为00I V R =，又nI

I I n

k k ==∑=10

得到 )

(6.35.01018

0Ω=⨯=

R

5-6 有5个反应器连接如图5.6（见书），各个Q 表示外部输入、输

出及反应器间的流量（m 3/min ），各个c 表示外部输入及反应器内某物质的浓度

(mg/m 3)。假定反应器内的浓度是均匀的，利用质量守恒准则建立模型，求出各反应器内的浓度c 1~c 5，并讨论反应器j 外部输入改变１个单位(mg/min)所引起的反应器i 浓度的变化。

[问题分析、模型建立及求解]

当反应容器中反应物浓度稳定时，输入物质质量与输出物质质量平衡，即输入物质质量等于输出物质质量。由此分析，分别对1~5容器列质量平衡方程，以输入物质为“+”，输出物质为“－”

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-+=+-+-=+-=++--=++-0)(0)(0)()(555542251155544443342240303334312232252423112010133111215c Q Q c Q c Q c Q c Q c Q c Q c Q c Q Q c Q c Q Q Q c Q c Q c Q c Q Q ，代入数据整理为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+-+-=+=--=+-04302118160903350

65215432322131c c c c c c c c c c c c c

由矩阵表示：b Ac =

[]T

c c c 51 =，[]T

b 00160050--=