试验5线性代数方程组的数值解法
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实验6 线性代数方程组的数值解法
[实验目的]
1. 1. 学会用MATLAB 软件数值求解线性代数方程组,对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析;
2. 2. 通过实例学习用线性代数方程组解决简化的实际问题。
[实验内容]
5-5 输电网络:一种大型输电网络可简化为图5.5(见书)所示电路,
其中R 1,R 2,…,R n 表示负载电阻,r 1,r 2,…,r n 表示线路内阻,I 1,I 2,…,I n 表示负载上的电流。设电源电压为V 。 (1)列出求各负载电阻R 1,R 2,…,R n 的方程;
(2)设I 1=I 2=…=I n =I ,r 1=r 2=…=r n =r ,在r=1,I=0.5,V=18,n=10的情况下求R 1,R 2,…,R n 及总电阻R 0。
[问题分析、模型建立及求解]
(1) 设电源负极为电势为0,电阻R 1上对应节点电压为V 1,对于任意节点,根据KCL 定律列出方程:
11
1++----=k k k k k k k k r V V r V V R V
而
k k
k R V I =,可得: 111111)(++++--++-=
k k k k k k k k k k k k R r I
R r I r I R r I I
k=2,3,……,n-1;
k=1时
2221211R r I
R r I I +-
=,为与上式形式一致,化为
22212111111)(R r I
R r I r I r V I +--=-
k=m (12-≤≤n m )时 111111)(++++--+--+=
m m m n m m m m m m m m R r I
R r I r I R r I I
k=n 时
n n n n n n n R r I
R r I I -=
--11
设以上方程组的矩阵形式为:b AR =
则 []T
n R R R R 21=
T
n I I I r V I b ⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-= 3211
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡---
------=------n n n
n n n n
n n n n n r I r I r I r I r I r I r I r I r I r I r I r I r I r I r I r I r I A 11
111144
43
33323332
2221
2221
1
10
00000
(2)代入参数:
5.021=====I I I I n ,121=====r r r r n ,V=18,n=10,
⇒
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=5.05.0005.015.005.015.005.015.0005.01
A ⇒[]T
b 5.05.05.05.17 -=
在命令窗口输入MA TLAB 程序如下:
clear all ;
n=10; %由题目要求设定
A11=sparse(1:n-1,1:n-1,-1,n,n); %定义A 的对角元素,除(n,n) A12=sparse(n,n,-0.5,n,n); %定义(n,n)
A1=A11+A12; %对角元素
A2=sparse(1:n-1,2:n,0.5,n,n); %输入A 的上次对角元素 A3=sparse(2:n,1:n-1,0.5,n,n); %输入A 的下次对角元素 A=A1+A2+A3;
b1=0.5*ones(n,1); %b 的除第一项元素 b2=sparse(1,1,18,n,1); %b 的第一项元素 b=b1-b2; R=A\b
输出结果如下:
R =
26.0000
17.0000 9.0000 2.0000 -4.0000 -9.0000 -13.0000 -16.0000 -18.0000 -19.0000
所以各阻值为
(R 1,R 2,…,R 10)=(26,17,9,2,-4,-9,-13,-16,-18,-19)
总电阻R 0(即输入等效电阻)为00I V R =,又nI
I I n
k k ==∑=10
得到 )
(6.35.01018
0Ω=⨯=
R
5-6 有5个反应器连接如图5.6(见书),各个Q 表示外部输入、输
出及反应器间的流量(m 3/min ),各个c 表示外部输入及反应器内某物质的浓度
(mg/m 3)。假定反应器内的浓度是均匀的,利用质量守恒准则建立模型,求出各反应器内的浓度c 1~c 5,并讨论反应器j 外部输入改变1个单位(mg/min)所引起的反应器i 浓度的变化。
[问题分析、模型建立及求解]
当反应容器中反应物浓度稳定时,输入物质质量与输出物质质量平衡,即输入物质质量等于输出物质质量。由此分析,分别对1~5容器列质量平衡方程,以输入物质为“+”,输出物质为“-”
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-+=+-+-=+-=++--=++-0)(0)(0)()(555542251155544443342240303334312232252423112010133111215c Q Q c Q c Q c Q c Q c Q c Q c Q c Q Q c Q c Q Q Q c Q c Q c Q c Q Q ,代入数据整理为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+-+-=+=--=+-04302118160903350
65215432322131c c c c c c c c c c c c c
由矩阵表示:b Ac =
[]T
c c c 51 =,[]T
b 00160050--=