(适用于新高考新教材)单元质检卷六 平面向量、复数 Word版含解析

单元质检卷六 平面向量、复数
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2021北京,2)在复平面内,复数z 满足(1-i)z=2,则z=( ) A.2+i
B.2-i
C.1-i
D.1+i
2.已知向量a =(1,2),b =(2,x ),且a ·b =-1,则x 的值等于( ) A.1
2
B.-1
2
C.3
2
D.-3
2
3.已知i 是虚数单位,若复数z=5
4+3i
,则z 的共轭复数z =
( )
A.45
+35
i B.45−35
i C.-4
5+35i
D.-4
5−3
5i
4.(2021山东临沂一模)如图,若向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为z ,且|z|=√5,则z
=( )
A.15
+25
i B.-15−25
i C.1
5
−25i
D.-15
+25
i
5.如图,在矩形ABCD 中,AB=2,AD=1,E 为边DC 的中点,F 为BE 的中点,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE
⃗⃗⃗⃗⃗ =( )
A.3
B.2
C.3
2
D.1
2
6.(2021福建厦门模拟)向量a =(1,2),b =(x ,1).若(a +b )⊥(a -b ),则x=( ) A.-2
B.±√2
C.±2
D.2
7.已知向量a =(1,√2),|b |=2,|a -b |=√13,则a 与b 的夹角为( ) A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π6
8.在△ABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3
=
BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2
=CA
⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则sin A ∶sin B ∶sin C=( ) A.5∶3∶4 B.5∶4∶3 C.√5∶2∶√3
D.√5∶√3∶2
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.(2021山东聊城一模)若m ∈R ,则复数m+i
1-i
在复平面内所对应的点可能在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 10.已知平面向量a =(2,2),b =(1,m ),且|2a -b |=|a +b |,则( )
A.a ·b =4
B.a ·b =0
C.m=-1
D.|b |=√2
11.(2021河北石家庄一模)设z 为复数,则下列选项正确的是( )
A.|z|2=z z
B.z 2=|z|2
C.若|z|=1,则|z+i |的最大值为2
D.若|z-1|=1,则0≤|z|≤2
12.(2021河北保定一模)已知P 为△ABC 所在平面内一点,则下列选项正确的是( ) A.若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PC
⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点P 在△ABC 的中位线上 B.若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则P 为△ABC 的重心 C.若AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0,则△ABC 为锐角三角形 D.若AP
⃗⃗⃗⃗⃗ =13
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△ABC 与△ABP 的面积比为3∶2 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量a =(m ,1),b =(4,m ),向量a 在b 上的投影向量的模为√5,则m= . 14.(2021山东省实验中学二模)设向量a =(1,m ),b =(2,1),且b ·(2a +b )=7,则m= . 15.(2021湖北七市联考)在矩形ABCD 中,AB=2,AD=1,设AC 与BD 交于点O ,则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BO
⃗⃗⃗⃗⃗ = . 16.(2021天津,15)在边长为1的等边三角形ABC 中,D 为线段BC 上的动点,DE ⊥AB 且交AB 于点E.DF ∥AB 且交AC 于点F ,则|2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为 ,(DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知复数z=b i(b ∈R ),z -2
1+i 是纯虚数,i 是虚数单位.
(1)求复数z ;
(2)若复数(m+z )2在复平面内对应的点在第二象限,求实数m 的取值范围.
18.(12分)(2021江苏海门第一中学高三期末)在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (1,3),B (2,-2),C (4,1). (1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD
⃗⃗⃗⃗⃗ ,求点D 的坐标; (2)设实数k 满足(k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4,求实数k 的值.
19.(12分)已知a =(cos x ,sin x ),b =(1,0),c =(4,4). (1)若a ∥(c -b ),求tan x ;
(2)求|a +b |的最大值,并求出对应的x 的值.
20.(12分)如图,在长方形ABCD 中,E 为边DC 的中点,F 为边BC 上一点,且CF CB =23.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b .
(1)试用基底{a ,b }表示AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF
⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)若G 为长方形ABCD 内部一点,且AG
⃗⃗⃗⃗⃗ =34
a +23
b ,求证:E ,G ,F 三点共线.
21.(12分)已知O 为坐标原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2cos x ,√3),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(sin x+√3cos x ,-1),若f (x )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程;
(2)当x ∈0,π
2时,若函数g (x )=f (x )+m 有零点,求实数m 的取值范围.
22.(12分)已知e 1,e 2是平面内的两个不共线向量,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+e 2,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-e 1+λe 2,EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2e 1+e 2,且A ,E ,C 三点共线.
(1)求实数λ的值;
(2)若e 1=(2,1),e 2=(2,-2),求BC
⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标; (3)已知D (3,5),在(2)的条件下,若A ,B ,C ,D 四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A 的坐标.
单元质检卷六 平面向量、复数
1.D 解析由题意可得z=2
1-i =2(1+i )
(1-i )(1+i )=2(1+i )
2
=1+i . 故选D .
2.D 解析因为a =(1,2),b =(2,x ),所以a ·b =1×2+2x=-1,解得x=-3
2. 故选D .
3.A 解析复数z=5
4+3i =5(4-3i )
(4+3i )(4-3i )=4
5−3
5i, 则z =4
5+3
5i,故选A .
4.D 解析根据图形可设z=-1+b i,b>0, 因为|z|=√5,所以√(-1)2+b 2=√5,解得b=2, 所以z=-1+2i,则z =-1-2i, 所以z =1
-1-2i =-1+2i
(-1-2i )(-1+2i )=
-1+2i 5
=-15+2
5i . 故选D .
5.B 解析以A 为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A (0,0),E (1,1),F 32,12,∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =32,12
,AE
⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1), ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE
⃗⃗⃗⃗⃗ =32+12
=2. 故选B .
6.C 解析(方法1)a +b =(1+x ,3),a -b =(1-x ,1), 因为(a +b )⊥(a -b ),所以(a +b )·(a -b )=0, 即(1+x )(1-x )+3=0,解得x=±2.
(方法2)因为(a +b )⊥(a -b ),所以(a +b )·(a -b )=0, 即a 2-b 2=0,即|a |=|b |,所以x=±2. 故选C .
7.D 解析因为|a -b |=√13,所以(a -b )2=13,即a 2-2a ·b +b 2=13. 设a 与b 的夹角为θ,则3-2√3×2×cos θ+4=13,解得cos θ=-√3
2,
所以a 与b 的夹角为5π
6. 故选D .
8.D 解析由题意,在△ABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3=
BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2
=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,设△ABC 中角A ,B ,C 所对的边分
别为a ,b ,c ,
利用向量的数量积的定义可知
accos (π-B )
3
=
abcos (π-C )2=bc cos(π-A ),即accosB
3
=
abcosC
2
=
bccosA
1, 即ac 3·a 2+c 2-b 2
2ac
=
ab 2
·a 2+b 2
-c 2
2ab =
bc 1
·b 2
+c 2-a 2
2bc , 即2a 2+2c 2-2b 2=3a 2+3b 2-3c 2=6b 2+6c 2-6a 2,
设2a 2+2c 2-2b 2=3a 2+3b 2-3c 2=6b 2+6c 2-6a 2=12k ,k>0,
解得a 2=5k ,b 2=3k ,c 2=4k ,所以a=√5k ,b=√3k ,c=√4k ,
所以由正弦定理可得a ∶b ∶c=sin A ∶sin B ∶sin C=√5∶√3∶2. 故选D .
9.ABC 解析m+i
1-i =(m+i )(1+i )
(1-i )(1+i ) =m -1
2+m+1
2i,
当m>1时,对应的点在第一象限; 第-1<m<1时,对应的点在第二象限; 当m<-1时,对应的点在第三象限. 故选ABC .
10.AD 解析由|2a -b |=|a +b |,得2a ·b =a 2,所以2(2+2m )=4+4,解得m=1,则|b |=√2,a ·b =4. 故选AD .
11.ACD 解析设z=a+b i(a ,b ∈R ).
对于A,|z|2=a 2+b 2,z z =(a+b i)(a-b i)=a 2+b 2,故A 正确; 对于B,z 2=(a+b i)2=a 2-b 2+2ab i,|z|2=a 2+b 2,故B 错误;
对于C,|z|=1表示z 在复平面内对应的点Z 在以原点为圆心的单位圆上,|z+i |表示点Z 与点(0,-1)之间的距离,故|z+i |的最大值为2,故C 正确;
对于D,|z-1|=1表示z 在复平面内对应的点Z 在以(1,0)为圆心,1为半径的圆上,|z|表示点Z 与原点(0,0)之间的距离,故0≤|z|≤2,故D 正确. 故选ACD .
12.ABD 解析对于A,设AB 中点为D ,BC 中点为E , ∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EP
⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴P ,D ,E 三点共线,
又DE 为△ABC 的中位线,∴点P 在△ABC 的中位线上,故A 正确;
对于B,设AB 中点为D ,由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP
⃗⃗⃗⃗⃗ , 又PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴P 在中线CD 上,且CP PD =2,
∴P 为△ABC 的重心,故B 正确;
对于C,∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为锐角,即A 为锐角,但此时B ,C 有可能是直角或钝角,故无法说明△ABC 为锐角三角形,故C 错误;
对于D,∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴13
(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ )+23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0, ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PC
⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴P 为线段BC 上靠近C 的三等分点,即BP
⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴S △ABC ∶S △ABP =BC ∶BP=3∶2,故D 正确. 故选ABD .
13.2或-2 解析由题意可知,向量a 在b 上的投影向量的模为a ·b |b |=
|m ·4+1·m |
√42+m 2
=
|5m |
√16+m 2
=
√5,两边平方,可得25m 2
16+m 2=5,解得
m=-2或m=2.
14.-1 解析∵向量a =(1,m ),b =(2,1), ∴2a +b =(4,2m+1). ∵b ·(2a +b )=7, ∴8+2m+1=7, 解得m=-1.
15.-34 解析AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )
=14(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
)
=14(12-22)=-3
4.
16.1 11
20 解析设BE=x ,x ∈0,1
2,∵△ABC 为边长为1的等边三角形,DE ⊥AB , ∴∠BDE=30°,BD=2x ,DE=√3x ,DC=1-2x.
∵DF ∥AB ,∴△DFC 为边长为1-2x 的等边三角形,DE ⊥DF , ∴(2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=4BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4x 2+4x (1-2x )×cos 0°+(1-2x )2=1, ∴|2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.
∵(DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EA
⃗⃗⃗⃗⃗
=(√3x )2+(1-2x )·(1-x )=5x 2-3x+1=5x-3102+11
20,
∴当x=310时,(DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值为1120.
17.解(1)∵z=b i(b ∈R ),∴z -2
1+i =bi -2
1+i =(bi -2)(1-i )
(1+i )(1-i )=(b -2)+(b+2)i
2
=b -22+b+2
2i .
又z -2
1+i 是纯虚数,∴b -2
2=0,
∴b=2,即z=2i .
(2)∵z=2i,m ∈R ,∴(m+z )2=(m+2i)2=m 2+4m i +4i 2=(m 2-4)+4m i . 又复数在复平面内对应的点在第二象限,∴{m 2-4<0,
4m >0,
解得0<m<2,故实数m 的取值范围为(0,2). 18.解(1)因为A (1,3),B (2,-2),C (4,1), 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-5).设D (x ,y ),则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,y-1). 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以(1,-5)=(3x-12,3y-3), 所以{3x -12=1,3y -3=-5,解得{x =13
3,y =-23,
所以点D 的坐标为133,-2
3. (2)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,1),k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC
⃗⃗⃗⃗⃗ =(k+8,-5k+2). 因为(k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4,所以4(k+8)+(-5k+2)=4,解得k=30. 19.解(1)c -b =(3,4),
由a ∥(c -b )得4cos x-3sin x=0, ∴tan x=sinx
cosx =4
3.
(2)∵a +b =(cos x+1,sin x ),
∴(a +b )2=(cos x+1)2+sin 2x=2+2cos x ,
|a +b |=√2+2cosx ,
当cos x=1,即x=2k π,k ∈Z 时,|a +b |取得最大值为2.
20.(1)解AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b +12a ,
EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a -23
b .
(2)证明AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34a +23b ,EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AG ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a -13b , EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a -23
b =2EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EG
⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 又EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EG
⃗⃗⃗⃗⃗ 有一公共点E , ∴E ,G ,F 三点共线.
21.解(1)∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2cos x ,√3),OB
⃗⃗⃗⃗⃗ =(sin x+√3cos x ,-1), ∴f (x )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB
⃗⃗⃗⃗⃗ +2=2cos x sin x+2√3cos 2x-√3+2=sin 2x+√3cos 2x+2=2sin 2x+π3+2, 令2x+π3=π2+k π,k ∈Z ,得x=kπ2+π
12,k ∈Z , 故f (x )图象的对称轴方程为x=kπ2+π
12,k ∈Z .
(2)∵x ∈0,π2,g (x )=f (x )+m 有零点,∴-m=f (x )在0,π
2上有解. ∵x ∈0,π
2,∴2x+π
3∈π3,4π
3,∴-√3
2<sin 2x+π
3≤1, ∴f (x )∈(-√3+2,4],
∴实数m 的取值范围为[-4,√3-2).
22.解(1)AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2e 1+e 2)+(-e 1+λe 2)=e 1+(1+λ)e 2. 因为A ,E ,C 三点共线,
所以存在实数k ,使得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =k EC
⃗⃗⃗⃗⃗ , 即e 1+(1+λ)e 2=k (-2e 1+e 2),得(1+2k )e 1=(k-1-λ)e 2.
因为e 1,e 2是平面内的两个不共线向量, 所以{1+2k =0,
k -1-λ=0,解得{k =-1
2,λ=-32.
(2)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC
⃗⃗⃗⃗⃗ =-e 1-32e 2-2e 1+e 2=-3e 1-12e 2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2). (3)因为A ,B ,C ,D 四点按逆时针顺序构成平行四边形,
所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC
⃗⃗⃗⃗⃗ . 设A (x ,y ),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3-x ,5-y ).
因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-7,-2), 所以{
3-x =-7,5-y =-2,
解得{x =10,
y =7,
即点A 的坐标为(10,7).。