江苏省泰州市兴化茅山高级中学高二数学理期末试题含解析

江苏省泰州市兴化茅山高级中学高二数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设随机变量服从正态分布，若，则实数的值是( )
A．－4 B．C．2 D．
参考答案：
C
2. 若（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
3. 函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()
A．0≤a<1 B．0<a<1 C．－1<a<1 D．0<a<
参考答案：
B
略
4. 如果方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略5. 在的展开式中的常数项是（）
A. 7
B. －7
C. 28
D. －28
参考答案：
A
试题分析：由二项式定理可知展开式的通项公式为，令
，常数项为
6. 数列{a n}的通项，其前n项和为S n，则S30为()
A．470 B．490 C．495
D．510
参考答案：
A
7. 设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
D
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可．
【解答】解：a，b是实数，如果a=﹣1，b=2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．
如果a=﹣1，b=﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，
所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．
8. 若三角形三边上的高为，这三边长分别为6、4、3，则（）
A.
B.
C.
D.
参考答案： C
9. 在2012年中央电视台举办的“我要上春晚”大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如右图，数据的平均数和中位数分别为（ ）
A ．84，84
B ．84，86
C ．85，86
D ．85，87
参考答案：
B
10. 若双曲线的离心率为2，则等于（ ）
A. 2
B.
C.
D. 1 参考答案： D 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在平面直角坐标系
中，点P 在曲线
上，且在第二象限内，若曲线C 在点P
处的切线的斜率为2，则点P
的坐标为 .
参考答案：
（-2,15）
12.
设向量，，若，则实数x =__________.
参考答案：
【分析】
先计算出
，再利用向量共线的坐标表示得到方程，解方程即得解.
【详解】由题得
因为
，
所以,即.
故答案为：
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握
水平和分析推理能力.
13. 曲线y=和y=x 2在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 ．
参考答案：
【考点】直线的点斜式方程．
【分析】本题可以先求出交点坐标，再求解交点处的两个方程，然后分别解出它们与x 轴的交点坐标，计算即可．
【解答】解：联立方程
解得曲线
和y=x 2在它们的交点坐标是（1，1），
则易得两条切线方程分别是y=﹣x+2和y=2x ﹣1， y=0时，x=2，x=，
于是三角形三顶点坐标分别为 （1，1）；（2，0）；（，0），
s=×，
即它们与x 轴所围成的三角形的面积是．
【点评】本题考查了直线的点斜式方程的求法，应注意掌握好这一基本方法．
14. 若双曲线
的左、右焦点分别为F 1,F 2,线段F 1F 2被抛物线
的焦点分成
5:3两段,则此双曲线的离心率为______．
参考答案：
15. 直线l 1: x -2y +3=0， l 2: 2x -y -3=0， 动圆C 与l 1、l 2都相交， 并且l 1、l 2被圆截得的线段长分别是
20和16， 则圆心C 的轨迹方程是
参考答案：
略
16. 若集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |
}，则M
N
＝。

参考答案：
解析：， M N =。

17. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 号码为1、2、3、4、5、6的六个大小相同的球，放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每个盒子只能放一个球．
（Ⅰ）若1号球只能放在1号盒子中，2号球只能放在2号的盒子中，则不同的放法有多少种？
（Ⅱ）若3号球只能放在1号或2号盒子中，4号球不能放在4号盒子中，则不同的放法有多少
种？
（Ⅲ）若5、6号球只能放入号码是相邻数字的两个盒子中，则不同的放法有多少种？
参考答案：
（Ⅰ）1号球放在1号盒子中，2号球放在2号的盒子中有
（种）． …………4分
（Ⅱ）3号球只能放在1号或2号盒子中，则3号球有两种选择，4号球不能放在4号盒子中，则有4种选择，则3号球只能放在1号或2号盒子中，4号球不能放在4号盒子中有
（种）．
…………… 8分
（Ⅲ）号码是相邻数字的两个盒子有1与2、2与3、3与4、4与5、5与6共5种情况， 则符合题意的放法有
（种）． …………… 12分 略
19. 在数列中,
,.
(1)求；
(2)求数列
的通项公式；
(3)若，数列的前项和，求证：.
参考答案：
解：（1）∵a 1=1,a n+1=,
∴a 2= = ,a 3 = = ,a 4 = = .
(2)方法一：猜想：a n=。

下面用数学归纳法证明：
1°当n=1时,a1==1,等式成立。

2°假设当n=k时，a k=成立。

则n=k+1时,a k+1====
即n=k+1时,等式也成立,
由数学归纳法知:a n=对n∈N*都成立。

方法二：构造等差数列。

（3）由（2）知：b n===２[-]
从而s n=b1+b2+…+b n=2[(1-)+(-)+…+(-)]=2[1-]<2,
又因为，所以.
略
20. 已知函数f（x）=x2﹣2ax+1（a∈R）．
（1）当a=2时，求f（x）在x∈[1，4]上的最值；
（2）当x∈[1，4]时，不等式f（x）≥x﹣3恒成立，求a的取值集合．
参考答案：
【考点】3R：函数恒成立问题；3W：二次函数的性质．
【分析】（1）通过当a=2时，求出f（x）的对称轴为x，然后利用二次函数的性质求解最小值与最大值即可．
（2）当x∈[1，4]时，不等式f（x）≥x﹣3恒成立，转化为x2﹣2ax﹣x+4≥0，分离变量，利用函数的单调性求解函数的最值即可．
【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=x2﹣4x+1的对称轴为x=2∈[1，4]，
当x=2时f（x）min=f（2）=﹣3；…
当x=4时f（x）max=f（4）=1；…
（2）当x∈[1，4]时，不等式f（x）≥x﹣3恒成立，∵f（x）≥x﹣3?x2﹣2ax﹣x+4≥0，
∵x∈[1，4]，∴x＞0，∴，…
∵在x∈[1，2]上递减，在x∈[2，4]上递增，∴x=2时取得最小值为4，…
∴，∴，
故a的取值集合为…
注：利用二次函数图象进行分类讨论，可参照上述予以分步给分即可．
21. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，设的外接圆圆心为E．
（1）若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；
（2）设点在圆上，使的面积等于12的点有且只有三个，
试问这样的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由.
参考答案：
略
22.
在等比数列中，最小，且前项和，
⑴.求公比⑵.求
参考答案：
解析：（1）∵成等比数列，∴-----------------2分解方程得：------------------------4分又最小，∴----------------------------------------6分
又∴由从而得：即-------8分（2）由得：∴-----------------------12分。