阻尼的非自治Sine-Gordon方程的核截面
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》范文
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》篇一一、引言Sine-Gordon方程是一种重要的非线性偏微分方程，在物理学的多个领域中有着广泛的应用，如孤立子理论、场论和统计力学等。
由于该方程具有丰富的动力学行为和复杂的解结构，因此对其数值解法的研究具有重要意义。
本文将介绍一种高阶紧致有限体积方法，用于求解一维Sine-Gordon方程。
二、Sine-Gordon方程及其性质Sine-Gordon方程是一种非线性偏微分方程，其形式为：U_t = sin(U) + U_xx其中，U是因变量，t是时间变量，xx表示对空间的二阶导数。
该方程具有孤立子解、周期解等多种解形式，且在物理系统中表现出丰富的动力学行为。
三、高阶紧致有限体积方法高阶紧致有限体积方法是一种基于有限体积思想的数值方法，通过将计算区域划分为一系列控制体积，并对每个控制体积应用守恒律，得到一组离散化的方程组。
该方法具有高精度、稳定性好、易于实现等优点。
在本研究中，我们将高阶紧致有限体积方法应用于一维Sine-Gordon方程的求解。
具体而言，我们将计算区域划分为一系列等距的网格，每个网格点作为一个控制体积的中心。
在每个控制体积上，我们对Sine-Gordon方程进行积分，并利用高阶紧致格式对空间导数进行离散化。
通过这种方法，我们可以得到一组离散化的方程组，用于求解Sine-Gordon方程的数值解。
四、数值实验与结果分析我们通过一系列数值实验来验证高阶紧致有限体积方法求解一维Sine-Gordon方程的有效性。
首先，我们设置了一组典型的初始条件，并利用该方法对Sine-Gordon方程进行求解。
通过对比不同时间步长下的数值解与精确解，我们发现该方法具有较高的精度和稳定性。
此外，我们还分析了该方法在不同网格尺寸下的数值误差，结果表明该方法在较粗的网格下仍能保持较高的精度。
为了进一步验证该方法的有效性，我们还对Sine-Gordon方程的孤立子解进行了数值模拟。
Neumann边条件无电容效应Sine-Gordon系统的动力学
文章编号：1000-1506（2001）03-0041-03Neumann 边条件无电容效应Sine-gordon 系统的动力学刘迎东，何卫力（北方交通大学理学院，北京100044）摘要：证明当扩散系数适当大时Neumann 边条件下无电容效应的Sine-gordon 系统全局吸引子是一条不变曲线，系统在其上的行为类似于圆周上的保向同胚.关键词：全局吸引子；不变曲线；保向同胚中图分类号：O175.2文献标识码：ADynamics of Sine-gordon System Without CapacitanceEffect Under Neumann Boundary ConditionLIU Ying-dong ，HE Wei-li（CoIIege of Sciences ，Northern Jiaotong University ，Beijing 100044，China ）Abstract ：In this paper we prove that the gIobaI attractor for the Sine-gordon system without capacitance effect under Neumann boundary condition is an invariant curve.The behavior of the system on the curve is Iike the orientation preserving homeomorphism on a circIe.Key words ：gIobaI attractor ；invariant curve ；orientation preserving homeomorphism1问题的提出在前文［1］讨论了狄氏边条件下无电容效应的Sine-gordon 系统的动力学，本文继续讨论Neumann 边条件下它的动力行为，将证明此时全局吸引子是一条不变曲线，系统在其上的行为类似于圆周上的保向同胚.此时边条件变成了 U i n !X R+=0.记E =（L 2（!））n ， · 为E 中范数.设f i （x ，I ） C （R +，L 2（!））并且f i 关于I 以T 为周期.显然-C 是扇形算子，并且C 可生成强连续半群｛e CI ｝I 0.G （I ，U ）：R +X E E 关于U 一致Lip 连续.Lip 常数为".相应的积分方程为：U （I ）=e CI U 0+Ie C （I -#）G （#，U （#））d #.定义1积分方程的连续解称为温和解.原问题存在唯一温和解U C （R +，E ）［2］.定义S （I ）U 0=U （I ，U 0），U （I ，U 0）是初值为U 0的温和解，由周期性｛S （NT ）｝N 0构成离散半动力系统.根据不可约弱耦合拟增椭圆组的特征值性质，-C 存在主特征值［3］.因为-C 的所有特征值大于等于0，而易知0确为一个特征值，故0为主特征值，其对应主特征向量为（1，1，…，1）.由算子扰动理论易知：引理1-C 是非负自伴算子，其特征值为0=$0<$1 $2 … $m …，当m + 时，$m + 且0为主特征值.收稿日期：2000-08-24基金项目：国家自然科学基金资助项目（19971004）作者简介：刘迎东（1971—），男，河北高阳人，讲师，博士.email ：Iiuyingdong@第25卷第3期2001年6月北方交通大学学报JOURNAL OF NORTHERN JIAOTONg UNIVERSITY VoI.25No.3Jun.2001设主特征值0的主特征向量（l ，l ，…，l ）生成的线性子空间为E l ，记 U =lI !I J!E Ii =lU i （x ）c x ，记E 2=｛U E IU =0｝，则E =E l E 2.显然E l 、E 2都是C 的不变子空间，并且V U E 2〈CU ，U 〉<-"〈U ，U 〉.!吸收集定义!称B =｛p +g E I p E l ，g E 2， g <r ｝为E 中半径为r 的伪球.显然，G （I ，U ）在E 中一致有界，记为c.定理"设B 0为E 中伪球，半径为c /"l ，则V I >0，S （I ）B 0c B 0，并且B 0吸引E 中任意有界集.证明V U 0 E ，记U （I ）=S （I ）U 0，则U （I ）满足：U （I ）=e CI U 0+JIe C （I -#）G （#，U （#））c #.设E 到E l 的投影算子为P ，到E 2的投影算子为O ，则OU（I ）=e CI OU 0+JIe C （I -#）OG （#，U （#））c #，OU （I ） < e CIO OU 0 +JI0 eC（I -#）O G （#，U （#） c #<e -"l I OU 0 +c "l（l -e -"l I ），V U D （（-C ）l /2）= E ，定义 U E = U +（-C ）l /2U ，则 E 为Banach 空间.记 E l =E l E ， E 2=E 2 E.则有：定义#称集合 B =｛p +g E I p E l ，g E 2， g E <r ｝为 E 中半径为r 的伪球.定理!存在 E 中一个伪球 B 0，半径为r l ，使得对任意E 中有界集B ，存在I l =I l （B ）>0，当I >I l 时，S （I ）B c B 0.证明c Uc I=CU +G （I ，U ），用O 作用后再与OU 作内积得〈O c U c I，OU 〉=〈COU ，OU 〉+〈OG （I ，U ），OU 〉，则c c I OU 2+ （-C ）l /2OU 2<-"l OU 2+2 OG （I ，U ） OU <-"l 2OU 2+c.结合定理l 可知，任给E 中有界集B ，存在I 0=I 0（B ）>0，当I >I 0、r >0时，JI +rI（-C ）l /2OU 2c #<c .又有〈-CU ，Oc Uc I〉=〈-CU ，COU 〉+〈OG （I ，U ），-CU 〉，l 2c （-C ）l /2OU 2c I <-l 2COU 2-"l 2 （-C ）l /2OU 2+ OG （I ，U ） COU ，c （-C ）l /2OU 2c I<-"l （-C ）l /2OU 2+c.再由一致GrOnwall 不等式［4］，即得结论.#锥性质定义$称Z =｛p +g E I p E l ，g E 2， g < p ｝为E 的锥.定理#设"l >4$，则V x 0、y 0 E.（l ）如果y 0-x 0 Z ，则S （I ）y 0-S （I ）x 0 Z ，V I >0.（2）如果存在I 0>0，使得S （I 0）y 0-S （I 0）x 0 Z ，则OS （I ）y 0-OS （I ）x 0 <e -"l I /2 O （y 0-x 0） ，0<I <I 0.证明记y （I ）=S （I ）y 0，x （I ）=S （I ）x 0，p （I ）=P （y （I ）-x （I ）），g （I ）=O （y （I ）-x （I ））.于是p （I ），g（I ）分别满足：c pc I =P （G （I ，y （I ））-G （I ，x （I ））p （0）=P（y 0-x 0{），c gc I =Cg +O（G （I ，y （I ））-G （I ，x （I ）））g （0）=O（y 0-x 0{），所以c c I（ g 2- p 2）<-2"l g 2+2$（ p 2+ g 2）+4$ p g .24北方交通大学学报第25卷由条件O 1>4B 知当 p = g 时，dd t （ g 2- p 2） （-2O 1+8B ） g 2 0，这表明如果y 0-x 0 Z ，则y （t ）-x （t ） Z.若存在t 0>0，使y （t 0）-x （t 0） Z ，则y （t ）-x （t ） Z ，0<t t 0.即 g （t ） > p （t ） ，0<t t 0.因此有d d tg （t ） 2 -O 1 g （t ） 2，即 g （t ） e -O 1t /2 g （0） ，0<t t 0.!不变曲线以下记T 0=（1，1，…，1），p 0=21T 0.定义"设@是从E 1到E 2的Lip 映射，Lip 常数为1，即 p 1、p 2 E 1， @（p 1）-@（p 2） p 1-p 2，称@对应的曲线l =｛p +@（p ）I p E 1｝为E 中的水平曲线，如果@还满足@（p +p 0）=@（p ）， p E 1，则称l 为限制水平曲线.定理!N >0，S （NT ）把水平曲线映成水平曲线，把限制水平曲线映成限制水平曲线.令H =［0，21］·T 0，则H 是E 1中的有界闭集.令M =｛@I @是H E 2的连续映射，@（0）=@（p 0）｝，M 中加法和数乘按通常逐点意义下定义，范数定义为 @ =max p H @（p ） ，于是M 成为Banach 空间，记^M =｛@I @ M ， @（p 1）-@（p 2） p 1-p 2 ， @ r 1｝，r 1是伪球B 0的半径.当t 0>t 1（B 0）时，S （t 0）B 0 B 0，对充分大的N ，构造^M ^M 的映射^S （NT ）如下：^S （NT ）@=1-1S （NT ）1@，1是^M 到M 的自然的一一映射，易知^S （NT ）为紧的，由Schauder 不动点定理，^S （NT ）至少有一个不动点.定理"设O 1>4B ，则对充分大的N ，映射S （NT ）有一条不变限制水平曲线l ，即S （NT ）l =l.引理#设l 是S （NT ）的不变曲线，U 是l 的E 邻域，则存在常数M 0>0，使 y 0 B 0（半径为c /O 1的伪球），当M >M 0时，S （MNT ）y 0 U.设l 是S （NT ）的不变曲线，l'是S （（N +1）T ）的不变曲线.引理$l 即为l'.再由S （（N +1）T ）l =S （NT ）l ，得S （T ）l =l ，即S （T ）有不变曲线l ，并且由吸引性，l 唯一."保向同胚设l =｛p +@（p ）I p E 1｝，定义K ：E 1 l 为p p +@（p ），这样S （T ）在l 上的作用诱导出一个R 上的映射F ：F （T ）=G -1K -1S （T ）K G ，其中G 是由G （t ）=21t T0定义的算子，并且!F （t +1）=F （t ）+1，"F 是严格单调增加的.引理!S（T ）的旋转数V =Iim I F I（t ）I存在，且极限值与t R 无关.F （t ）可看成圆周上一个保向同胚的提升.通过旋转数V 可研究F （t ）.定义F（t ）的广义周期点如下：若存在I 、m Z ，I 1，使得F I（t ）=t +m ，其中I 取有这种性质的最小的自然数，则称t 为（I ，m ）型周期点.旋转数为有理数等价于存在广义周期点，旋转数为无理数等价于不存在广义周期点.如果l 模21T 0构成一个拓扑圆，则S （T ）在其上作用为保向同胚［5］.参考文献：［1］刘迎东，何卫力.狄氏边条件无电容效应的Sine-gordon 系统的动力学［J ］.北方交通大学学报，2001，25（1）：108-110.［2］Pazy A.Semigroup of Linear Operators and AppIications to PartiaI DifferentiaI Eguations ［M ］.BerIin ：Springer-verIag ，1983.113-121.［3］Liu Yingdong ，Li Zhengyuan.The PrincipaI EigenvaIue of PeriodicaI Reaction-diffusion System with Time DeIay ［J ］.Beijing Mathematics ，1997，3（1）：143-149.［4］Temam R.Infinite-dimensionaI DynamicaI Systems in Mechanics and Physics ［M ］.BerIin ：Springer-verIag ，1988.88-89.［5］张筑生.微分动力系统原理［M ］.北京：科学出版社，1985.27-52.34第3期刘迎东等：Neumann 边条件无电容效应Sine-gordon 系统的动力学Neumann边条件无电容效应Sine-Gordon系统的动力学作者：刘迎东， 何卫力作者单位：北方交通大学理学院,刊名：北方交通大学学报英文刊名：JOURNAL OF NORTHERN JIAOTONG UNIVERSITY年，卷(期)：2001,25(3)1.刘迎东;何卫力狄氏边条件无电容效应的Sine-Gordon系统的动力学[期刊论文]-北方交通大学学报 2001(01)2.Pazy A Semigroup of Linear Operators and Applications to Partial D ifferential Equations 19833.Liu Yingdong;Li Zhengyuan The Principal Eigenvalue of Periodical Reaction-diffusion System with Time Delay 1997(01)4.TEMAM R Infinite-dimensional Dynamical Systems in Mechanics and P hysics 19885.张筑生微分动力系统原理 1985引用本文格式：刘迎东.何卫力Neumann边条件无电容效应Sine-Gordon系统的动力学[期刊论文]-北方交通大学学报 2001(3)。
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》范文
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》篇一一、引言一维Sine-Gordon方程是一种重要的非线性偏微分方程，在物理、工程和数学等多个领域有着广泛的应用。
近年来，随着计算科学的发展，高阶数值方法在求解这类方程时显得尤为重要。
本文将介绍一种高阶紧致有限体积方法（High-Order Compact Finite Volume Method，HOCFVM）来求解一维Sine-Gordon方程，以期提高计算精度和效率。
二、Sine-Gordon方程及其性质Sine-Gordon方程是一种非线性偏微分方程，具有丰富的物理背景和数学性质。
在物理中，它常用于描述孤立子、非线性波等现象。
该方程的一般形式为：U_t = sin(U)_x其中，U是因变量，t和x分别是时间和空间坐标。
该方程具有非线性和周期性等特点，使得其求解过程具有一定的挑战性。
三、高阶紧致有限体积方法为了求解一维Sine-Gordon方程，本文采用高阶紧致有限体积方法。
该方法通过将计算区域划分为有限个体积单元，然后在每个体积单元上应用有限体积原理进行离散化和求解。
通过选择适当的离散格式和紧致算子，可以在保证计算精度的同时，降低数值耗散和数值色散，提高计算效率。
四、HOCFVM方法的具体实现1. 离散化：将一维计算区域划分为N个等距的体积单元，每个体积单元的长度为Δx。
在每个体积单元上，因变量U的离散化值表示为U_i，其中i表示体积单元的编号。
2. 紧致算子的选择：选择适当的紧致算子来逼近空间导数和时间导数。
常用的紧致算子包括二阶、四阶等高阶差分算子。
在本方法中，我们选择四阶紧致算子来提高计算精度。
3. 离散方程的建立：根据有限体积原理，在每个体积单元上建立离散化方程。
通过将Sine-Gordon方程在时间和空间上进行离散化，得到一系列关于U_i的离散方程。
4. 求解离散方程：采用适当的数值方法（如迭代法、追赶法等）来求解离散方程，得到因变量U的数值解。
Sine-Gordon交替方向差分法
具体求解步骤为：
1 网格剖分 将求解区域进行网格剖分，用有限个网格点代 替连续的求解区域.
2 差商代替微商
利用差商代替微商的方法将微分算子离散化，构 造差分格式方程代替微分方程. 3 解的存在性、唯一性 理论分析差分格式解的存在性、唯一性.
4 解的稳定性和收敛性 证明差分格式解的稳定性和收敛性.
3 2 2 n1 n 其中 x y (Vi, j Vi, j ) 为添加的耗散项.
1 消去 Uin, j 得,
整理得：
引入过渡层 Vi ,nj*,易得与上式等价的交替方向差分格 式：
I
其中 I 是单位算子，这样不仅将多维问题转化为一维 是单位算子，这样不仅将多维问题转化为 Vi ,nj* 和 Vi,nj1 时系数矩阵为三对角阵， 问题，而且在计算 易于编程计算.
数值算例
考虑初边值问题：
u( x, y, t ) et sin x sin y
设其解为：
u( x, y, t ) et sin x sin y
计算格式:
( I 2 x2 )Vi ,nj* ( I )Vi ,nj fi ,nj 2 sin U in, j 2 2 n 4 2 2 n ( x y )U i , j x y Vi , j 2 2 n 1 n* ( I ) V V y i, j i, j n n 1 U V t i, j i, j 0 0 0 U u ( x , y ), V ( U ) 0 i j i, j t i , j u1 ( xi , y j ) i, j U n U n U n U n 0 J, j i ,0 i,J 0, j
构造差分格式：
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》范文
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》篇一一、引言一维Sine-Gordon方程是一个具有非线性特性的偏微分方程，在物理学和工程学等多个领域具有广泛的应用。
传统的数值求解方法往往涉及复杂的计算过程，而且有时无法保证计算精度和稳定性。
为了更有效地求解这一类方程，我们提出了一种高阶紧致有限体积方法（HOCFVM），通过此方法我们可以提高求解的效率和精度。
二、Sine-Gordon方程及其性质Sine-Gordon方程是一个非线性偏微分方程，其形式为：U_t = sin(U) + U_xx其中U为因变量，t为时间，xx表示空间二阶导数。
此方程具有孤立波解等特性，广泛应用于物理中的各种现象模拟。
三、传统数值方法的问题传统的数值方法如有限差分法、有限元法等，在求解Sine-Gordon方程时，往往存在计算复杂度高、精度低、稳定性差等问题。
为了解决这些问题，我们提出了一种高阶紧致有限体积方法。
四、高阶紧致有限体积方法（HOCFVM）1. 方法概述HOCFVM是一种基于有限体积法的数值求解方法，它通过构造高阶紧致格式的离散化方案，提高了计算精度和稳定性。
该方法在离散化过程中，将空间划分为一系列控制体积，并在每个控制体积上应用局部的离散化公式。
2. 方法实现（1）空间离散化：将空间划分为一系列等距或不等距的控制体积。
（2）时间离散化：采用合适的离散化格式对时间进行离散化。
（3）构造高阶紧致格式：在每个控制体积上，根据Taylor 级数展开和待求量的性质，构造高阶紧致格式的离散化公式。
（4）求解方程组：根据离散化后的方程组，采用适当的数值求解方法（如迭代法、线性代数方法等）求解。
五、HOCFVM在Sine-Gordon方程中的应用我们将HOCFVM应用于一维Sine-Gordon方程的求解中，通过与传统的数值方法进行比较，发现HOCFVM具有更高的计算精度和稳定性。
具体来说，HOCFVM能够更好地捕捉到Sine-Gordon方程的孤立波解等特性，且计算复杂度相对较低。
sine-gordon方程 有限差分
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带阻尼项Sine-Gordon方程的交替方向法的开题报告
带阻尼项Sine-Gordon方程的交替方向法的开题报告一、选题背景Sine-Gordon方程具有广泛的应用，如非线性光学、理论物理、固体物理等领域。
在实际应用中，往往需要考虑带阻尼项的Sine-Gordon方程。
为了研究这种情况下方程的行为，需要使用一些有效的数值方法。
交替方向法是一种有效的求解非线性偏微分方程的数值方法。
在已有的研究中，交替方向法已被广泛应用于求解不同类型的方程，如KdV方程、Burgers方程、NLS方程等。
但是，对于带阻尼项的Sine-Gordon方程，交替方向法的应用仍然比较有限。
二、研究目的和内容本文旨在研究带阻尼项的Sine-Gordon方程的交替方向法求解。
具体内容包括：1.介绍Sine-Gordon方程及其基本性质，并分析带阻尼项对方程的影响。
2.简要介绍交替方向法的基本思想和求解过程。
3.根据交替方向法的思想，设计针对带阻尼项的Sine-Gordon方程的交替方向法求解方法，并详细介绍算法流程。
4.对所设计的求解方法进行数值实验，验证其有效性和精度。
5.总结交替方向法在求解带阻尼项的Sine-Gordon方程中的应用，分析其优缺点及未来发展方向。
三、研究方法本文将采用理论分析和数值实验相结合的方法进行研究。
具体来说，将运用交替方向法、差分格式、稳定性分析等方法进行分析。
四、研究意义带阻尼项的Sine-Gordon方程在实际应用中具有重要的意义。
本研究可以为相关领域的学者提供一个有效的数值求解方法，并为进一步研究该类方程方面提供参考。
五、研究进度规划截至目前，已完成对Sine-Gordon方程及其基本性质的分析。
下一步计划是详细介绍交替方向法的求解过程，并设计针对带阻尼项的Sine-Gordon方程的交替方向法。
随后，将进行数值实验和结果分析，并撰写全文和结论部分。
预计3个月内完成论文的撰写和修改工作。
Sine-Gordon方程的混合有限体积元方法及数值模拟
ｆｏｒ Ｙｏｕｎｇ Ｔａｌｅｎｔｓ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｉｎ Ｕ ｎｉｖｅｒｓｉｔｉｅｓ ｏｆ Ｉｎｎｅｒ Ｍ ｏｎｇｏｌｉａ Ａｕｔｏｎｏｍ ｏｕｓ
Ｒｅｇｉｏｎ（ＮＪＹＴ一１７－Ａ０７） 通 讯作者
３９６
数 学 物 理 学 报
Ｖｏ１．３８Ａ
其 中区 域 Ｑ ＝ （ａ，ｂ），Ｊ＝ （０，Ｔ１，０＜Ｔ ＜。。．参数 是耗散 项 ，且 ０．当 ＝０时 ，方程 （１．１）称为是无阻尼 ｓｉｎｅ－Ｇｏｒｄｏｎ方程，当 ＞０时，称为是阻尼 ｓｉｎｅ－Ｇｏｒｄｏｎ方程．假设函 数 ｆ（ｘ，ｔ）和初 始 函数 Ｕ０（ ），Ⅱｌ（ｚ）是 充分光 滑的 ．
Ｕ ａ，ｔ）＝札 （ｂ，ｔ）＝０，ｔ∈Ｊ
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》范文
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》篇一一、引言一维Sine-Gordon方程是物理学中常见的非线性偏微分方程，广泛应用于描述各种物理现象，如孤立波的传播、非线性振荡等。
求解该方程对于理解这些物理现象具有重要意义。
传统的方法包括有限差分法、有限元法等，但这些方法在处理高阶导数和边界条件时可能存在一定局限性。
近年来，高阶紧致有限体积方法因其良好的数值稳定性和高精度，在求解一维Sine-Gordon方程方面展现出优越性。
本文将介绍一种一维Sine-Gordon方程的高阶紧致有限体积方法。
二、Sine-Gordon方程及其性质一维Sine-Gordon方程是一种非线性偏微分方程，其形式为：U_t = sin(U_xx)其中，U为因变量，t为时间，x为空间坐标。
该方程具有孤立波解和非线性振荡等特性，是研究非线性物理现象的重要工具。
三、高阶紧致有限体积方法高阶紧致有限体积方法是一种基于有限体积的数值方法，其核心思想是将计算区域划分为有限个控制体积，通过在控制体积上对守恒律进行积分来求解偏微分方程。
该方法具有计算精度高、数值稳定性好等优点。
针对一维Sine-Gordon方程，我们采用高阶紧致有限体积方法进行求解。
首先，将计算区域划分为若干个等距的控制体积，每个控制体积的大小根据需求确定。
然后，在每个控制体积上对Sine-Gordon方程进行积分，得到一组离散的有限体积方程组。
接着，利用高阶紧致格式对空间导数进行离散化处理，得到高精度的数值解。
最后，通过时间迭代法求解该数值解。
四、数值实验与结果分析为了验证高阶紧致有限体积方法的有效性，我们进行了一系列的数值实验。
首先，我们设定了一组初始条件和边界条件，然后利用高阶紧致有限体积方法对一维Sine-Gordon方程进行求解。
通过与真实解进行比较，我们发现该方法具有较高的计算精度和良好的数值稳定性。
此外，我们还对不同控制体积大小和时间步长对计算结果的影响进行了分析，发现适当的选择控制体积大小和时间步长可以进一步提高计算精度和稳定性。
Sine-Gordon方程的极限对称及应用
ｒ ｄ ｃ ｉｎ ｌａ ｓ ｔ ｉ ｔｓ ｌ ｔ ｎ ｆｔ ｅ ｓｎ — ｒ ｏ ｑ ａｉ ｎ Ｂ ｓｄ ｓ ａ ｅ ｎ ｔ ｅ ｒ ｌｔ ｎ ｈ ｐ ｂ ｔ ｅ ｅ ｕ ｔ ｅ ｄ ｏ ｌ ｏｕ ｉ ｓｏ ｉ ｅ Ｇｏ ｄ ｎ ｅ ｕ ｔ ． ｅ ｉ ｅ ，ｂ ｓ ｄ ｏ ｈ ｅ ａｉ ｓ ｉ ｅｗｅ ｎ ｏ ｍｉ ｏ ｈ ｏ ｏ
１
一
题 中 Ⅳ个 不 同 的特 征值 ， 即透 射 系数ｊ 的 Ⅳ个 不
Ⅱ
限过程得 到 ， 而且 由相 应 的对称 约束 得 到 的新 解 是 个二重 极点 解 Ｊ可 以看 作 是 方 程 的极 限 解 ． ， 另
同的简 单极 点 ｔ 决定 的 ． 而在 对 称理 论 ¨ 中 ， 典 经 的 Ⅳ一 子解 与 平 方 本 征 函数 的对 称 约束 有 着 密 切 孤
（ 上海大学 理学 院 ， 上海 ２ ０４ ） ０４ ４ 摘要： 研究 ｓ ｅＧ ｒｏ ｉ — ｏｄｎ方程 的极 限对称及应用 ． ｎ 由对称引出相似约化 ， 得 ｓ ｅＧ ｒｏ 求 ｉ — ｏｄｎ方 程的极 限解 ； ｎ 利用对称 与 孤子方程 的 自相容源 之间的联 系 ， 得到带新 自相容源 的 ｓ ｅＧ ｒｏ ｉ ．ｏｄｎ方程 ， ｎ 并求出该方程的解． 关键词 ： 对称 ；ｉ — ｏｄｎ方程 ； ｓ ｅＧ ｒｏ ｎ 相似约化 ； 自相容源 ； ｉ ｔ 方法 Ｈｒａ ｏ
（ ｄ 方 程 的极 限解 以及 带极 限源 的 Ｋ Ｖ系统 ． Ｋ Ｖ） ｄ
求解这个带源的方程．
１ Ｓｎ － ｏｄ ｎ方程 的一 个 极 限对 称 ｉｅＧ ｒ ｏ
Ｓｎ — ｏｄ ｎ方程 为 ｉｅＧ ｒｏ
收 稿 日期 ：０９ １－８ ２ ０ ・２０
基金项 目： 国家 自然科学基金资助项 目（ １７ １７ ； １０ １５ ） 上海市教委重点学科建设资助项 目（５ １ １ Ｊ００ ） 通信作者 ： 张大军 （９ １ ， ， １７ ～） 男 教授 ， 博士生导师 ， 博士 ， 研究方 向为孤立子理论与应用．Ｅｍａ ：ｊ ａｇ ｔｆｓｕ ｅｕ ｃ － ｉ ｄｚ ｎ＠ｓ ｆ ｈ ．ｄ ．ｎ ｌ ｈ ａ．
用f展开法解sine-gordon方程
用f展开法解sine-gordon方程史特琴-戈登微分方程（Sine-Gordon equation，简称 SG方程）是一个重要的非线性微分方程，主要用于描述质子在量子场论中的行为。
SG方程可以表示为：\begin{equation} \frac{\partial^2u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2u}{\partial x^2} = \sin u \end{equation}在研究SG方程的求解方法时，展开方法（F-expansion method）是一种比较常用的解决方法。
基于展开方法求解SG方程的具体处理流程为：1. 首先把SG方程分解为线性偏微分方程：\begin{equation} \frac{\partial^2u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2u}{\partial x^2} = f(u) \end{equation}2. 将u按指数函数定义为：\begin{equation} u=u_0+\sum_{n=1}^{\infty}\epsilon^n u_n \end{equation}3. 把每一阶的线性偏微分方程展开为：\begin{equation} \frac{\partial^2u_m}{\partial t^2}-\frac{\partial^2u_m}{\partial x^2} = \sum_{k=0}^{m}f_k(u_0,u_1,...u_{k-1})u_m \end{equation}4. 利用递推法计算出每一阶的解：\begin{equation} u_k\left(x,t\right) = \int_{-\infty}^{\infty}G_k\left(x-\xi,t-\tau\right)f_k\left(u_0\left(\xi,t\right),u_0\left(\xi,t\right),...u_{k-1}\left(\xi,t\right)\right)d\xi dt \end{equation}得到 SG方程的近似解：\begin{equation} u(x,t)=u_0(x,t)+\sum_{n=1}^{\infty} \epsilon^n u_n(x,t)\end{equation}展开方法是一种经典解SG方程的技术，其简单有效，易于实现。
《2024年Sine-Gordon方程的两类时空混合有限元方法》范文
《Sine-Gordon方程的两类时空混合有限元方法》篇一一、引言Sine-Gordon方程是物理学中一类重要的非线性偏微分方程，广泛运用于描述各种物理现象，如孤立波的传播、非线性光学等。
随着计算机技术的发展，数值方法在求解这类非线性偏微分方程中扮演着越来越重要的角色。
本文将探讨两种时空混合有限元方法在求解Sine-Gordon方程中的应用。
二、Sine-Gordon方程简介Sine-Gordon方程是一种典型的非线性偏微分方程，具有丰富的物理背景和数学性质。
该方程的解描述了波的传播过程，并可用于模拟许多物理现象。
在本文中，我们将关注该方程在时间和空间上的离散化问题，并探讨两种时空混合有限元方法的实现和应用。
三、第一类时空混合有限元方法3.1 方法描述第一类时空混合有限元方法是一种结合了时间离散和空间离散的方法。
在时间方向上，采用显式或隐式的时间步进方案；在空间方向上，采用有限元方法进行离散化。
该方法能够有效地处理非线性问题，并具有良好的数值稳定性和计算效率。
3.2 方法实现具体实现过程中，首先将求解区域划分为有限个空间单元，然后在每个时间步内，根据Sine-Gordon方程的离散形式，利用有限元方法求解每个空间单元的解。
通过不断迭代时间步，最终得到整个时间段的解。
3.3 方法应用该方法在求解Sine-Gordon方程时，能够有效地捕捉到波的传播过程和波形的变化。
同时，该方法还具有良好的数值稳定性和计算效率，适用于大规模的计算问题。
四、第二类时空混合有限元方法4.1 方法描述第二类时空混合有限元方法是一种基于时空有限差分的方法。
该方法在时间和空间上均采用离散化处理，通过在时间和空间上交替进行差分运算，求解Sine-Gordon方程的解。
该方法具有计算效率高、易于实现等优点。
4.2 方法实现具体实现过程中，首先将求解区域和时间轴划分为一系列的网格点。
然后，根据Sine-Gordon方程的离散形式，在每个时间步内，利用差分运算求解每个网格点的解。
《2024年Sine-Gordon方程的两类时空混合有限元方法》范文
《Sine-Gordon方程的两类时空混合有限元方法》篇一一、引言Sine-Gordon方程是描述非线性波动现象的一种重要模型，广泛运用于物理学、材料科学以及生物学等领域。
由于该方程的复杂性，其数值求解方法一直是研究的热点。
本文旨在探讨Sine-Gordon方程的两类时空混合有限元方法，以期为该方程的求解提供新的思路和手段。
二、Sine-Gordon方程及其基本性质Sine-Gordon方程是一个二阶非线性偏微分方程，描述了某些具有非线性恢复力的振荡系统。
本节将介绍Sine-Gordon方程的基本形式、特性以及其在实际问题中的应用。
三、时空混合有限元方法概述时空混合有限元方法是一种将空间域和时间域离散化相结合的数值方法，通过在时间和空间上分别采用有限元离散和插值技术，实现对偏微分方程的近似求解。
本节将简要介绍时空混合有限元方法的基本原理和特点。
四、第一类时空混合有限元方法4.1 方法介绍第一类时空混合有限元方法采用等参数时间有限元方法和等距时间有界方法相结。
该方法的优点在于对时间和空间的离散灵活性强，同时具有良好的计算精度和稳定性。
本节将详细介绍该方法的实施步骤和算法设计。
4.2 数值实验与结果分析本节将通过数值实验，对第一类时空混合有限元方法在求解Sine-Gordon方程中的应用进行验证。
通过对比不同时间步长和空间划分对计算结果的影响，分析该方法的计算精度和稳定性。
五、第二类时空混合有限元方法5.1 方法介绍第二类时空混合有限元方法主要采用有限差分法和时间积分法相结合的方式。
该方法在处理具有复杂边界条件和初始条件的问题时具有较高的计算效率。
本节将详细介绍该方法的实施步骤和算法设计。
5.2 数值实验与结果分析同样地，本节将通过数值实验，对第二类时空混合有限元方法在求解Sine-Gordon方程中的应用进行验证。
将分析该方法的计算精度和效率，并与第一类方法进行比较，以便读者了解各种方法的优缺点和适用场景。
高维sine-gordon方程高精度差分算法研究
高维sine-gordon方程高精度差分算法研究
本文介绍的是高維的sine-gordon方程高精度差分算法。
Sine-Gorden方程是常見的微分方程之一，它在多個領域中廣泛應用，其中包括試驗物理、數值分析、流體動力學等。
本文主要介绍了利用差分格式求解高維sine-gordon方程的數值解法。
文中引入了三種high order差分格式，分別為Three-point central difference formula、four-point symmetric formula和five-point central difference formula。
對於各種差分格式，文章分析了它們的準確度，以及其在求解高維sine-gordon方程時的優缺點。
根據不同的application，文章提出了在求解高維sine-gordon方程時最優的差分格式。
為了證明文中的結果，文章最後演示了一個簡單的例子。
sine-gordon方程
sine-gordon方程
Sine-Gordon方程是一个重要的物理学方程，常用来描述坐标变换、多输入受激响应、波泵晶体和低维晶体中的动力学行为。
该方程由Ludvig Faddeev在1967年引入的。
它的几何形式可以表达为：
∂^2u/∂^2t - ∂^2u/∂^2x^2 = sin(u)
其中，u是一个时间变量和空间变量的可变函数，而sin(u)是函数u
的正弦函数。
Sine-Gordon方程可以用来模拟一些物理实体上的变化，特别是在
低维结构中。
比如，它可以用来计算无线电收发站中振子的振动，以
及卷积器的振荡行为。
它还可以用来模拟磁性材料的行为，因为它描
述了相互作用的磁矩之间的关系。
另一方面，由于Sine-Gordon方程可以看作是一个经典的坐标变
换方程，它也可以用来计算物体的旋转行为。
它的可能应用还包括多
输入受激响应，这意味着它可以用来模拟由多个外部因素引发的系统
反应。
最后，Sine-Gordon方程还被用来研究波包在晶体中的扩散行为。
通过对此方程的研究，可以更好地理解晶体结构中的波泵晶体，并分
析它们如何随时间而变化。
总之，Sine-Gordon方程是一个重要的物理方程，可以用来描述坐
标变换、多输入受激响应、波泵晶体和低维晶体中的动力学行为，以
及更多的物理系统的行为。
Sine-Gordon方程的有限元解法的开题报告
Sine-Gordon方程的有限元解法的开题报告题目：Sine-Gordon方程的有限元解法一、研究背景Sine-Gordon方程是一种非线性偏微分方程，描述了许多物理现象，如传输线上的脉冲和球面间的相互作用力等，并广泛应用于量子力学、场论等领域。
Sine-Gordon方程的求解对于理解这些现象的本质以及设计和优化相对应的系统至关重要。
因此，开发高效、精确的求解算法对于工程应用和基础理论研究都具有重要的意义。
二、研究目的本研究的目的是探讨Sine-Gordon方程的有限元解法，并与其他求解方法进行比较，以找出最佳的算法。
有限元法是求解偏微分方程的一种广泛使用的方法，它将方程离散化以形成有限数量的方程组，然后使用数值方法求解这些方程。
三、研究方法本研究将采用有限元法求解Sine-Gordon方程。
有限元法是求解偏微分方程的一种常用方法，它将域离散化为有限数量的互不重叠的有限元，然后使用 Galerkin 方法或其他变分方法将微分方程转化为代数方程组，并对这些方程组进行求解。
为了验证算法的有效性和精度，我们将用 MATLAB 和 Python 的有限元库 FEniCS 实现该算法，并使用几种不同的测试函数对其进行测试。
我们还将与其他求解方法，如有限差分法和谱方法等进行比较。
四、研究意义本研究将提供一种新的求解Sine-Gordon方程的有效算法，并为研究者提供一种新的工具来解决相关的问题。
比较不同的求解方法也将有助于理解这些方法的优点和局限性，从而为选择正确的算法提供依据。
五、预期结果预计该算法能够准确地求解Sine-Gordon方程，具有较高的精度和效率，从而为相关领域的研究提供新的思路和方法。
与其他求解方法的比较也将有助于选择正确的算法。
强阻尼随机Sine-Gordon方程的随机吸引子的存在性及其Hausdorff维数
强阻尼随机Sine-Gordon方程的随机吸引子的存在性及其
Hausdorff维数
随机吸引子是描述无穷维随机动力系统渐进行为的中心概念。
本文主要研究具有重要物理背景的强阻尼随机sine-Gordon方程的随机吸引子的存在性与维数估计。
本文在第一章简单的介绍了随机动力系统的发展历史和跟本论文相关的一些基础知识(包括随机动力系统的定义、随机吸引子的存在性定理以及维数估计的理论等)及其所需用到的基本的函数空间和一些常用的不等式例如Young不等式、Gronwall不等式、Holder不等式,以及本文的主要工作.本文的研究工作主要由两章内容组成.第二章,主要考虑具强阻尼的随机sine-Gordon方程,通过引入加权范数与对关于时间为一阶的发展方程对应的线性算子的正性分解,证明了该方程的随机吸引子的存在性,且该随机吸引子吸引所有的缓增随机集。
第三章,考虑相同的具强阻尼的随机sine-Gordon方程,得到该方程吸引缓增随机集随机吸引子的Hausdorff维数的上界估计,得到的Hausdorff准数上界随阻尼γ的增加而变小,且在一定的条件下,该随机吸引子的Hausdorff维数为0。
特别的,该上界也是它所对应的确定性的sine-Gordon方程生成的整体吸引子的Hausdorff维数的上界,换句话说该情况下的白噪声对吸引子的Hausdorff 维数的上界是没有影响的.。
Sine-Gordon方程的极限对称及应用
Sine-Gordon方程的极限对称及应用沈青;赵松林;张大军【摘要】研究sine-Gordon方程的极限对称及应用.由对称引出相似约化,求得sine-Gordon方程的极限解;利用对称与孤子方程的自相容源之间的联系,得到带新自相容源的sine-Gordon方程,并求出该方程的解.%Limit symmetry of the sine-Gordon equation and its applications are considered.The similarity reduction leads to limit solutions of the sine-Gordon equation.Besides, based on the relationship between symmetries and sources of soliton equations, a sine-Gordon equation with new self-consistent sources is obtained and its solutions are derived.【期刊名称】《上海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(017)003【总页数】6页(P280-285)【关键词】对称;sine-Gordon方程;相似约化;自相容源;Hirota方法【作者】沈青;赵松林;张大军【作者单位】上海大学理学院,上海,200444;上海大学理学院,上海,200444;上海大学理学院,上海,200444【正文语种】中文【中图分类】O175.14众所周知，孤立子解可以由许多不同的方法求得，例如反散射变换、Darboux变换、代数几何方法、Hirota方法等.在反散射变换中，N-孤子解是由谱问题中N个不同的特征值，即透射系数的N个不同的简单极点{kj}决定的.而在对称理论［1］中，经典的N-孤子解与平方本征函数的对称约束有着密切联系［2］.对称方法为微分方程的求解提供了强有力的工具［3-4］，基于对称的扰动方法已被成功应用于许多扰动方程的求解［3-5］.另外，利用平方本征函数对称的极限形式，Zhang 等［6］得到了Korteweg-de Vries (KdV)方程的极限解以及带极限源的KdV系统.本研究将讨论sine-Gordon方程的一个新对称.该对称可以由已知的平方本征函数对称通过一个极限过程得到，而且由相应的对称约束得到的新解是一个二重极点解［7-9］，可以看作是方程的极限解.另外，平方本征函数与孤立子方程的自相容源之间有着紧密关系［10-11］.新的极限对称引出一个带新自相容源的sine-Gordon方程，本研究将利用双线性方法求解这个带源的方程.1 Sine-Gordon方程的一个极限对称Sine-Gordon方程为该方程最早来自于负常曲率曲面，可用于描述Josephson传输线中的磁通量子［12-13］、共振介质中的超短脉冲传播［14］等，具有丰富的物理与几何背景.Sine-Gordon方程是可积的，其Lax对为式中，λ为谱参数.可以验证，当φ1和φ2满足式(2)和(3)时，有式(4)为sine-Gordon方程的一个对称，即满足σxt= σcos u.利用对称所满足的线性方程的线性性质，由式(4)以及方程的另一个对称ux，可以得到方程的一个对称约束为式中，φij为Lax对当λ=λj时的解.由式(5)可以引出sine-Gordon方程的N-孤子解［15-16］.引入式中，φ1j和φ2j，ψ1j和ψ2j满足如下关系：容易验证满足等式这表明也是sine-Gordon方程的一个对称，式(9)和(10)可以视为式(7)和(8)关于λj的微分，因此，称为“极限对称”(相当于式(2)和(3)关于λ= λj+ε的扰动展开，Taylor展开式中的领头项即为式(9)和(10)).2 相似约化2.1 相似约化与精确解考虑式(1)的对称的组合式中，φ1j，φ2j满足式(7)和(8)，ψ1j，ψ2j满足式(9)和(10).令σ^=0，有这是一个新对称约束.整个系统由式(1)，(7)～(10)，(13)组成，其中j=1，2，…，N.直接代入验证发现，当φkj，ψkj(k=1，2)满足式(7)～(10)时，由式(13)定义的u自动满足sine-Gordon方程.所以，此约束系统可以简化为引入如下变换：式中，i为虚数单位，“-”表示复共轭.将式(14)两边对x微分，利用式(20)和(21)，可以将式(14)～(19)写成如下双线性形式：为了方便，在式(22)～(26)中已将λj记为-kj，算子 D即为所熟悉的 Hirota双线性算子［17］，定义为为了精确地求解式(22)～(26)，将f，gj，hj分别按ε级数展开，有将式(27)代入式(22)～(26).当N=1时，经过计算发现，式(22)～(26)的解可以由截断的级数展开式(27)给出，其中式中，k1，eξ(0)1都为实参数，且在式(27)中，取ε=1，由式(20)和(21)，可求得sine-Gordon方程的解为或表示为2.2 动力学分析为了更好地分析式(34)的动力学特征，先来看sine-Gordon方程的2-孤子解，它可以写为［18-20］众所周知，sine-Gordon方程的单孤子解具有kink和反-kink两种类型，因此，2-孤子的相互作用也自然较KdV方程更丰富.为了与式(33)建立联系，先将式(35)中的分别替换为和其中α1为实参数，β1(kj)为关于kj的可微函数.则式(35)可以写成式中，式(37)的图像如图1所示，其中k1=1，k2=3，α1=从图1(a)中看出，波形是非对称的.事实上，在波的两侧各有一个拐点，拐点处的斜率分别为4k2和-4k1(k2＞k1＞0)，而拐点移动的速度分别为和，它们分别代表相互作用的2个孤子.通过渐进分析发现，这些特征在相互作用以后并不改变.图1 Sine-Gordon方程的解(37)的图像Fig.1 Plots for solution of sine-Gordon equation given by(37)在式(37)中，令k2→k1，并利用L’Hospital法则，可得当时，式(39)与式(33)是一致的，这就意味着由式(13)得到的解即是sine-Gordon 方程2-孤子解的极限解.极限解(34)的图像如图2所示，其中k1=1，=0.图2 Sine-Gordon方程的解(34)的图像Fig.2 Plots for solution of sine-Gordon equation given by(34)显然，图2(a)中的波形是对称的，这正是2-孤子解(37)中k2→k1的体现.为了更好地研究解(33)的渐进性，将其放入如下移动坐标系内(见图2(b))：通过渐进分析发现，图2(b)中4个拐点的轨迹可以用下述4条曲线来描述.定理1 设式(34)中，k1＞0，则当t→-∞时，有2条移动的拐点轨迹，分别为在拐点处，u的斜率分别为4k1和-4k1，u的值为u|XBR=u|XBL=-π.当t→ +∞时，有2条移动的拐点轨迹，分别为在拐点处u的斜率分别为4k1和-4k1，u的值为u|XTL=u|XTR=π.3 带新自相容源的sine-Gordon方程在文献［21］中，带自相容源的sine-Gordon方程定义为类似地，引入如下带极限源的sine-Gordon方程：式中，{λj}互不相同，j=1，2，…，N.式(42)～ (44)为Lax可积系，Lax对为式中，由式(45)的相容性条件，可导出式(42)，其中需利用如下关系：式中，F=∂2+∂ux∂-1ux，F-1=cos u∂-1cos u∂-1+ sin u∂-1sin u∂-1，且φkj，ψkj满足式(43)和(44).式(42)～(44)能够被精确求解.采用变换式(20)～(21)，则式(42)～(44)转化为如下双线性形式(λj=-kj)：类似第2节中的求解过程，如式(27)，将f，gj，hj展开，并代人到式(48)～(50)中.当N=1时，可得式中，式中，k1，eξ(0)1为实参数，β1(z)为z的任意连续函数.在式(27)中，若取ε=1，可得式(42)～(44)的一个解为或写为解(56)的图像如图3所示，其中k1=1，2，=0，β1(z)=3z2.图3 带极限源的sine-Gordon方程的解(56)的图像Fig.3 Plots for the solution of sine-Gordon equation with new self-consistent sources given by(56)4 结束语本研究给出了与本征函数有关的sine-Gordon方程的新对称，这个对称与原有的平方本征函数对称之间存在极限关系，因此，称之为极限对称.由该对称引出的相似约化，可以得到sine-Gordon方程2-孤子解的极限解.本研究讨论了这个解与sine-Gordon方程2-孤子解之间的极限关系，并分析了解的动力学特征.此外，本研究还利用极限对称给出了一个新的带源的sine-Gordon方程，该方程是Lax可积的，可以被双线性化，并且得到的解具有极限解的特征.本研究所讨论的极限对称与相应的方法可同样应用于其他可积方程.参考文献：［1］ 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２ 预 备 知 识
设 算 子Ａ＝ ／ ： Ａ ＝ ０ｎ） 是 自伴 的 、 一 ＸＤ（） Ｈ １ ｎＨ （ （ ）
正定 的 、 线性 的 ，Ａ的特 征值 ｝ 满足 ：
０ ｈ ≤入 … ≤入ｌ … 入— ∞（ ＋ ＜ １ ２ ≤ ｌ ＋ １ ∞） —｝
Ｉ
值 问题 ：
．
ｆ． （Ｉ Ａ ＋ｐ ｉ” （， ， ∈ ， ｔ∈ ， Ｘ ｕ ｎ ＝， ， ，＋ Ｉ一 ｓ ） Ｑ，＞ ， 尺 ｛（， Ｉ ｆ ， ｌＸ， ２ ｔ ）一 ＝０ ｔ ＞ ｆ１ １
设 空 间 Ｅ Ｈ （ × 和 Ｅ ＝Ｈ （ ｎＨ １ ） ＝ Ｑ）Ｌ（ Ｑ） ，（ ｎ） ０ｎ） （
对 于 非 自治 波 动 方 程 系 统 而 言 ， 的 解 定 义 了 它
一
ｕ ｔ ） （ ＝ｐ ） ， ∈Ｒ （Ｔ（下 （ｔ Ｖｔ １ ， Ｐ ） （， ≥Ｔ Ｉ 则 称其 为过 程 ｛ （＂ Ｕ ｔ ｘ｝ 的一条 完整 的轨 道 。过 程 ， ０ ；
｛ （Ｔ） 是有 过程 的所 有有 界轨 道 组成 的 ， Ｕｔ） ； ， 的核 即
ｋ ｛（ ：ｔ）∽＝ （ｔ Ｔ ∈ ‘ｓ １ ∈ ｝ ＝ ‘－ （ ‘ ‘１ ≥ ， Ｒｌ （ ≤Ｍ Ｓ Ｒ ｐ ） ，Ｐ ｐ） Ｔ ｌ ） ｕＴ ， Ｐ Ｉ
个 连 续 的 过 程 ． ｈ ｐ ｚｏ ． 和 Ｖ ｓｉ． 研 究 了 Ｃ ｅｙｈ ｖ Ｖ ｉ ｋ ｈ Ｍ 它 的 核 截 面 的 存 在 性 ， 并 得 到 该 核 截 面 的 Ｈ ｕ ｄ ｆ 维 数 的上界 估计 ［３ 最近 ， ａ ｓｏ ｆ ５。 － ６ 班爱 玲 、 周盛 凡等 对此 也做 了一 些丁 作 ， 并对 上述 结 果做 了必要
界 集 ， ｕ ｄ （（十 Ｔ Ｂ， ０ ｓ ； ｐ Ｈ（ ｔ ，） Ｐ） ￣ｓ ／ ａ
ｔ． ＝Ｒ
ｔ ＋ ∞，
则称 过程 ｛ （Ｔ 是 一致 （ 于Ｔ Ｕｔ ） ，ｘ｝ 关 ∈Ｒ） 渐近 紧 的。
众所周知 ， 系统 （ ） Ｅ中是适 定的 ， ， 于每 １在 即 对
个 Ｔ∈Ｒ （ ，， ） ∈Ｅ 和 ，∈（ ， ３）Ｌ （ ） 可 （ ＋ ０， ：Ｑ）’
是 两 个 Ｈ ｌｅｔ 间 ． 带 有 通 常 的 内积 和 范 数 ， ｉ ｒ空 ｂ 并
１
【 ｘ ） Ｉ （ ， （， ＝１（ ， ∈ ｕ ， ＝ｔ １ ｘ ） １ （ ）１ ｔ ｌ ） ，
其 中 Ｌ ＬＸ ） Ｄｘｔ ∞上 的实 值 函数 ，ｌ Ｉ Ｉ ，是 ．［＋ ＝ （ｔ ， ｏ１ 两个 ， ３是
Ｉ ・ｆ ｆｌ ｛ Ｏｌ 分别 赋予 空 间 Ｌ（ 和 的Ｈ （ 范数 。 ２ ｎ） ｎ）
设 Ｈ是 一 个 Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空 间 ， 含有 双 参 数 映射 族
给定 的正 常数 ，ｘｔ∈Ｃ （ ｘ ， ） ｆ， （ ） ＲＬ（ Ｒ Ｑ） 系统 （ 是描 述 连续 Ｊｓｐ ｓｎ联结 的动力 学 行 １ １ ｏｅｈ ｏ
州予院
Ｊ ｕ ａ ｈ ｚ ｏ ｏ ｌｇ ｏ ｒ ｌ ｆ ｉ ｕＣ ｌ ｅ ｎ ｏＣ ｈ ｅ
２１ ０ ０年 ６月 第 ２ ４卷 第 ３ 期
Ｊ ｎ ０ ０ Ｖｏ ＿ ． ｕ ．２ ｌ ｌ ４ Ｎｏ３ ２
阻尼 的非 自治 Ｓ — ｄ ｎ方程 的核 截 面 Ｇｏ ｏ ｉｅ ｎ ｒ
为【 Ｓｎ — ｏｄ ｎ方程 具有 许 多有趣 的物 理现 象 和 ｌ ｉｅ Ｇ ｒｏ ｌ 。 实用 价值 ， 因而它 成为 无穷 维 动力 系 统 中的一 个 重 要模 型 。
｛ （Ｔｘ） ≥是 定 义 在 Ｈ 上 的一 个 连 续 过 程 ， Ｕｔ） ， 即
（） 于每个 Ｔ ｉ对 ∈Ｒ， ｔ ） Ｈ 上 的单 位 映射 ；ｉ 对 Ｕ（Ｔ是 ， （） ｉ 于 所有 ｔ ≥Ｒ， 有Ｕ（ｓ （Ｔ ｕ（Ｔ；ｉ ） 于所 ≥Ｓ 都 ｔ ） ｔ ） ｔ ） （ ｉ对 ，Ｕ ， ＝ ， ｉ 有 ｔ ， ∈Ｒ，∈Ｈ， （Ｔｘ 于（Ｔｘ是连续 的。一 ≥Ｔ Ｔ Ｘ ｕｔ）关 ， ｔ， ， ）
班 爱 玲
（ 州 学 院 数 学计 算 机 科学 系 ， 徽 池 州 ２ ７ ０ ） 池 安 ４ ０ ０
【 要】 摘 本文证明 了具 有阻尼的非 自治 ５ ｅ ｏ ｄ ｎ方程所产生的过程是一致渐近紧的， 而得到该 系统存在核截面。 １ Ｇ Ｏ ｎ ｒ 进
【 键词 】 关 阻尼 ； 过 程 ； 核 截 面
条 曲线 ‘ｓ Ｓ ｐ ） ∈Ｒ， 满足 ， （， 若
对 于 方 程 （ ） 自治 情 形 （ ｆ 依 赖 于 时 间 １的 即 不 ｔ ， 统 （ ） 生 的解 映 射 Ｕ（ｔ ｕ（ ｔ ） 化 为 一 ）系 １产 ｔ） ｔ ， 简 ，＝ — ０
个 半 群 或半 流 ，许 多人 曾对 此作 大 量 的研 究 工 作， 主要 证 明 了系统 （ ） 在 全局 吸 引子 ， １存 并得 到 该 全局 吸引子 的 Ｈ ｕｄ ｒ 维 数 的上 界估计ｆ 。 ａ ｓｏｆ ｆ
ห้องสมุดไป่ตู้
［ 中图分类号］１５ Ｏ ７
［ 文献标识码］ Ａ
［ 文章编￣ ］６ ４ １０ （０ ０）３ ００ — ３ －１７ － ２ ２ １ ０ － ０ ７ ０ １
１ 引 言
设 Ｑ 是 Ｒ 中 的 一 个 有 界 开 子 集 ．且 边 界 Ｑ充 １ 『 分 光 滑 ． 虑 如 下 非 自治 Ｓｎ — ｏｄ ｎ方 程 的 初 边 考 ｉｅ Ｇ ｒｏ
的 改 进 。 本 文 主 要 讨 论 阻 尼 的 非 自 治 Ｓｎ — ｏｄｎ 方 ｉｅ Ｇ ｒｏ
Ｋ（ ＝ ‘ｓ‘ ・≤ ∈Ｋ ｝ Ｋ 在 Ｓ时 刻 的 截 面 ， 称 ｓ ｛ （：（） ） Ｐ） ｐ 是 简
为过 程 ｛ （Ｔ ｝ Ｕ ｔ ） ；的核 Ｋ截 面 。 ，
如果 存 在 一个 紧集 Ｐｃ Ｈ ， 得 对 于每 个 有 使