具有非线性阻尼项和源项的波动方程解的爆破

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一类具记忆项的非线性Petrovsky方程解的爆破

一类具记忆项的非线性Petrovsky方程解的爆破胡文燕;杜晓英【摘要】考虑一类非线性Petrovsky方程的具Dirichlet边界条件的初边值问题.在假设松弛函数g和初值u0, u1满足适当的条件, 且初始能量为非正值时, 利用能量法证得其解在有限时间内爆破.%A nonlinear Petrovsky equation with initial conditions and Dirichlet boundary conditions is considered.Assuming that the relaxation function g satisfies the appropriate conditions and the initial energy is not positive, the energy method is used to prove that the solution blows up in finite time.【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(055)001【总页数】5页(P16-19,25)【关键词】非线性Petrovsky方程;松弛函数;记忆项;初始能量;爆破【作者】胡文燕;杜晓英【作者单位】晋中学院数学学院,山西晋中 030619;晋中学院数学学院,山西晋中030619【正文语种】中文【中图分类】O175.23Petrovsky型方程[1]可以解释很多重要的物理模型，许多学者对其解的整体存在性、渐进性、爆破性进行了大量研究[2-5].对于不带记忆项的非线性Petrovsky方程，文献[3-4]分别证明了其解在正的初始能量和负的初始能量下解的爆破性质.文献[6-7]通过对方程源项和非线性阻尼项相互作用的研究，对非线性Petrovsky方程爆破解的下界进行了估计.对于带有记忆项的Petrovsky方程，文献[8]证明了在负的初始能量下，松弛函数满足一定条件时解会发生爆破.文中首先推广文献[4,8]的结果，然后给出具记忆项的Petrovsky方程的初边值问题当初始能量为非正值时解的爆破性质.1 预备知识考虑非线性Petrovsky方程的初边值问题(1)其中p>2,Ω⊂Rn(n≥2)是具有光滑边界的有界区域，n是∂Ω的单位外法线方向. 假设函数g:R+R+ 满足1-g(τ)dτ=l>0,g(0)>0,且这里(4)类似于文献[4]，可利用Faedo-Galerkin方法证明初边值问题(1)解的存在性和唯一性，这里不再给出证明.定理1[4](局部存在定理) 假设g,p满足条件(2)～(4)，那么对于任意给定的总存在T*>0，使得初边值问题(1)存在唯一的局部解u(t)，满足：引理1 如果p满足条件(4),那么对于任意的存在正常数C1=C1(Ω,p)，使得‖u(t)‖p≤C1‖Δu(t)‖2.证明利用Sobolev嵌入定理和不等式，很容易证得结论成立. 】定义问题(1)的能量函数[9-11]其中(g∘Δu)(t)=g(t-τ)‖Δu(t)-Δu(τ)dτ.在(1)中方程两边同乘以ut，并利用格林公式可得下面引理.引理2 假设g,p满足条件(2)～(4)，且u(t)为初边值问题(1)的解，那么2 主要结果及证明考虑E(0)≤0的情形.若令H(t)=-E(t),显然有H′(t)=-E′(t)≥0,因此H(t)≥H(0)=-E(0)≥0.引理3 如果g,p满足条件(2)～(4)，且u(t)为问题(1)的解，那么对任意的t∈[0,T*)，存在常数C2=C2(p,l,C1)，使得‖u(t)≤C2‖u(t)，其中2≤s≤p.证明当‖u(t)‖p≥1时，由s≤p，显然不等式‖u(t)≤‖u(t)成立.当‖u(t)‖p≤1时，由引理1，有‖u(t)≤‖u(t)≤(C1‖Δu‖2)2.因为所以即存在常数C2=C2(p,l,C1)，使得不等式成立. 】定理2 假设g,p满足条件(2)～(4)，当E(0)≤0时，如果对于任意初值(u0,u1):u0≠0,u1≠0,有u0·那么存在T*>0，使得初边值问题(1)的解在有限时刻T*爆破.证明令u·utdx,对t求导，有由问题(1)，有从而进而由Young不等式，对于任意的η>0，有由(6)式，可得将上式代入(5)式，整理可得因为所以，由Young不等式，对于任意的ε1>0，有ut.取则从而其中B为常数.因为从而由Hölder不等式和Young不等式，有其中定义函数Ψ(t)=H1-α(t)+δG(t),t∈[0,T*),δ>0.则Ψ′(t)=(1-α)H-α(t)H′(t)+δG′(t).将(7)式和(8)式代入，有因为E(0)≤0,H′(t)=-E′(t)≥0,H(t)≥H(0)=-E(0)≥0，所以存在δ>0,γ>0，使得且从而Ψ(t)≥Ψ(0)>0,∀t∈[0,T*).令则其中取充分小的δ>0，则有由Cauchy-Schwarz不等式，有因为p>2，由Hölder不等式和Young不等式有这里，再由引理3，存在C6>0，使得因为(9)式成立,所以一定存在ξ>0，使得Ψ′(t)≥ξΨθ(t),(11)其中ξ=ξ(δ,γ,C6).对(11)式两端在[0,t]上积分，有又因为Ψ(0)>0，故一定存在使得】3 结束语许多学者对不带记忆项的非线性Petrovsky方程进行研究，得到在正的初始能量和负的初始能量下解的爆破结论.文中推广了文献[4,8]的结果，研究了带记忆项的情形，并得出当松弛函数和初值满足一定条件时，其解在非正的初始能量下在有限时间内会发生爆破.参考文献:【相关文献】[1] WU S T,TSAI LY.On global solutions and blow-up of solutions for a nonlinearly damped Petrovsky system[J].Taiwanese Journal of Mathematics,2009,13(2):545.[2] LI G,SUN Y N,LIU W J.Global existence and blow-up of solutions for a strongly damped Petrovsky system with nonlinear damping[J].Applicable Analysis,2012,91(3):575.[3] CHEN W,ZHOU Y.Global nonexistence for a semilinear Petrovsky equation[J].Nonlinear Analysis,2009,703:203.[4] MESSAOUDI S A.Global existence and nonexistence in a system of Petrovsky[J].J Math Anal Appl,2002,265:296.[5] LIU W J.Global existence,asymptotic behavior and blow-up of solutions for a viscoelastic equation with strong damping and nonlinear source[J].Topological Methods in Nonliner Analysis,2010,36(1):153.[6] ZHOU J.Lower bounds for blow-up time of two nonlinear wave equations[J].Applied Mathematics Letters,2015,45:64.[7] PHILIPPIN G A.Lower bounds for blow-up time in a class of nonlinear waveequation[J].Z Angew Math Phys,2015,66(1):129.[8] MESSAOUDI S A.Blow-up and global existence in a nonlinear viscoelastic wave equation[J].Math Nachr,2003,260:58.[9] LI F H,GAO Q Y.Blow-up of solution for a nonlinear Petrovsky type equation with memory[J].Applied Mathematics and Computation,2016,274:383.[10] TAHAMTANI F,SHAHROUZI M.Existence and blow up of solutions to a Petrovsky equation with memory and nonlinear source term[J].Boundary ValueProblems,2012,2012:50.[11] LI G,SUN Y,LIU W.On asymptotic behavior and blow-up of solutions for a nonlinear viscoelastic Petrovsky equation with positive initial energy[J].Journal of Function Spaces and Applications,2013,Artical ID 905867，7 pages.。

一个带有非局部源的非线性退化抛物型方程组解的爆破

ｕ：ｕ）ｕｖｕ），０们，（＋Ｊｄ，ｑ＋Ｊｄ，ｔ，－Ａａｎｘ产（ｂａｘｖＡ ∈ ＞他
证明了此方程组存在整体解的充要条件。
本文对带有非局部源的退化抛物型方程组
Ｆｊａｘｏｅｔａｄｏｅｄｍａｎｕｉｐｎｎｓｎｎｔｏｉ．ｔｅｈ
Ｋｅｒｓｎｎｏａｏｒｅｅｅｅａｅｐｒｂｌ；ｐｅｎｏｒｓｌｔｎ；ｇｏａｘｓｅｃ；ｙｗｏｄ：ｏｌｃｌｕｃ；ｄｇｎｒｔａａｏｉｕｐｒａｄｌｗｅｏｕｉｓｌｂｌｉｔｎｅｓｃｏｅ
Ｂｌｗ－ｐｆｒａＮｏｌｅｒＤｅｅｅａｅＰｒｂｌｕｔｎｔｎｏａｏｒｅｏｕｏｎｉａｇｎｒｔａａｏｉＥｑａｉｓｗｉＮｏｌｃｌｕｃｎｃｏｈＳ
ＺＨＡＮБайду номын сангаасＧｅ— ｕａＷｉｙｎ
ｂｔｌｉｇｓｎｕｒｓｌｔｏｅｈｑｅ．ｅｅｒｓｌｓｄｅｅｄｃｕｉｌｈｅｓｇｆｃｉｉａｙｕｉｉｎｕｂａｄｓｐｅｏｕｉｎｓｔｃｎｉｕｓＴｈｓｅｕｔｐｎｒｃａｌｏｎｔｉｎｏｒｔｃｌｚｙ
ｂｏｕｌｗ．ｐ
１预备知识
近年来．关于退化抛物型方程组的爆破问题许多国内外作者进行了研究。到了许多重要结果。Ｌｔ得ｉ】等讨论了方程组＝ △ ＋）ｔｕ（ｖｂ）其中Ｐ（ｕ，Ｖ＝ｑ＋ｖ，Ａ，

具非线性源项和阻尼项的波动方程Cauchy问题解的能量衰减性

别是源项和阻尼项的相互作用已很清楚（［ — ］见１３及参考文献）当问题（）的ｌ “ 一ｌ。代．１中 “ｊ用 “ｌ “ Ｐ＿
替时的Ｃｕｈａｃｙ问题整体解的存在性、进性也有许多研究．程（）的Ｃｕｈ渐方１ａｃｙ问题在最近几十年已引起了许多数学工作者的注意，时非线性源项和阻尼项的相互作用更复杂一些，近也有一些研究，文献这最如
收稿日期：Ｏ０—０２１６—０６
基金项目：南省自然科学基金资助项目（０３０１１８，河１２０４０１）河南Ｔ业大学重点基金资助项目（９ＺＯ９ＯＸＤＯ）第一作者简介：青英（９６）女，南扶沟人，授，士，要从事微分方程研究， — ｉｓｘｑ＠ｙｈｏｃｒ．ｎ呼１６一，河教硕主Ｅｍａ：ｌｈｙａｏ．ｏｃｌｎ
第２６卷第６期
Ｖｏ１２ＮＯ．．６，６
２１００年１２月
Ｄｅ．，Ｏ０ｃ２１
【分方程与动力系统研究】微
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
具非线性源项和阻尼项的波动方程Ｃｕｈａｃｙ问题解的能量衰减性
ｒＩ
且，具有紧支集，（ｆ是问题（）（）［， … ）的局解．－［，。． “ “ ，）１，２在０Ｔ上记，一ｏ。）

具有非局部反应项的非线性抛物方程解的整体存在性与爆破问题

（）如果ｍ｛卢｝≥ Ｎｉａａ，
，
那么（）所有的正５
解在有限时间爆破；
（ｉｉ）如果ｍａａ，＜Ｎ那么，｛卢｝方程（）的５
，
ｆ一“ （ “ ｇ）０ △ 一Ｊ㈤）（ ≥ ｃ
Ｉ，）∈ ｎ ×（，）（ｔ０Ｔ
Ｊ（０，）＝“（）≥ ，）＝ｕ。（０
卢 —
（）（）＋＋（＋ｐ２
丁
０
（）≥ ０Ｅｎ，
’
贝（ｔ（ｔ，，）∈ Ｑ ×（，．Ｕｕ，）≥ ，）Ｖ（￡０）证明记Ｗ＝一口由（）得，６，
式中：ｆ≥ ０ｆ ≥ １Ｐｐ，，，＋ｒｉ＞１ｉ＝１２；（，）
Ｉ（，０） ≥ ０及Ｍ（，ｏ） ∈ Ｌ（ｎ／）口（，００）（Ｒ）
定理２（比较定理）ｍ＞０，：０ ∞ ）令ｇ［，一
方程组的临界指标问题：
（ｉ若０＜ｍ ≤ １则对于大初值方程（）的ｉ），１
解在有限时间爆破，而，于小初值，整体然对解存在；
ｆ＝（，ｄＰ，∈ ＞ “ △＋，ｙ０，）ｌｔ）ｌ
ｑａｉｎｗｉｏｌｃｌｅｃｉｎｔｒ，ｕｊｃｏｎｌＤｉｃｌｔｏｎａｙｃｎｉｏｓｕｔｔｎｎｏａａｔｅｍｓｂｅｔｔｕｌｒｈｅｕｄｒｏｄｔｎ．ｏｈｒｏｉｂｉ
Ｋｅｒｓ：ｏｌｅｒｐｒｂｌｑａｉｎ；ｎｎｏａｅｃｉｎｅｍ；ｃｍｐｒｓｎｔｅｒｍ；ｇｏａｏｕｉｎ；ｙｗｏｄｎｎｉａａａｏｉｅｕｔｏｎｃｏｌｃｌｒａｔｔｒｏｏａｉｏｈｏｅｌｂｌｓｌｔｏｂｌｗ— ｐｏｕ

具变指数源项的拟线性波动方程解的爆破分析

具变指数源项的拟线性波动方程解的爆破分析本文研究了具有变指数源项的拟线性波动方程解的爆破问题.介绍了关于具有变指数源项的拟线性波动方程的发展进程及部分研究成果.在已有成果的基础上,研究含强阻尼项及变指数源项的拟线性波动方程:在本文的研究中,作者只考虑p(x,t),q(x,t),α(x,t)只与x有关的情形.本文的第一个难点是能量泛函的确定及其性质的分析.根据方程结构和问题研究需要构造能量泛函E(t),并对
E(t)和E’(t)进行研究得到所需性质.接下来,定义控制函数H(t)及F(t)其中0<λ<min{(q+-2)/2q+,(p--2)/(q+)}<1/2.本文的第二个难点在于对F’(t)的估计.解决的办法是通过使用嵌入定理及Holder不等式得到(?)(?)(?)综上得到F’(t)≥(M1)/(M2)F1/(1-A)(t),其中M1与M2是与u无关的常数.解上述微分不等式,并对结果进行处理,得到解的爆破时间的上界估计T*≤(M2(1-λ))、(M1λ)Fλ/(λ-1)(O).。

带势的非线性Schrodinger方程解的爆破行为的开题报告

带势的非线性Schrodinger方程解的爆破行为的开题报告题目：带势的非线性Schrodinger方程解的爆破行为研究背景：非线性Schrodinger方程（NLS）是描述许多自然界现象的重要数学模型，例如光学，气体动力学，液体物理学和等离子体物理学等。

这个方程具有广泛的应用前景，也是非线性光学和量子信息领域研究的重要基础。

一些研究表明，带势的NLS方程在量子力学中已被广泛应用，特别是在描述由Bose-Einstein凝聚态所产生的玻色-Einstein凝聚态方面非常重要。

然而，NLS方程的解并非都是稳定的。

在一些情况下，解可能会发生“爆破”，即在有限时间内解的幅值逐渐增大，最终趋于无限大。

这种现象在实际问题中常常会导致数值计算困难甚至是失败，因此研究爆破现象及其预测和控制方法具有重要理论和实际意义。

研究内容：本研究旨在研究带势的非线性Schrodinger方程解的爆破行为，具体包括以下内容：1. 比较分析带势和无势NLS方程的解的性质以及其求解方法；2. 研究在不同势场下带势NLS方程解的稳定性和爆破行为，通过理论分析和数值模拟等方法，探究势场参数对爆破行为的影响因素；3. 探究控制带势NLS方程的解产生爆破的方法，通过设计合适的势场参数和初值条件，寻求解的稳定区域等；4. 结合实际问题，探究带势NLS方程在光学和量子信息领域的应用，提出新的研究方向和应用前景。

研究方法：本研究将运用数学分析、数值计算和实验仿真等多种方法，比较分析不同势场下的带势NLS方程的解的性质和求解方法，通过数值模拟等方法研究解的爆破行为及其影响因素，设计合适的势场参数和初值条件探究控制方法，最后将研究结果与实际问题结合探究其应用前景。

研究意义：本研究将为进一步理解带势的非线性Schrodinger方程解的爆破行为提供重要的理论支持和实验数据，促进相关领域的交叉研究和应用探讨。

研究成果还将有助于提高数学理论和数值方法对实际问题的解决能力，具有重要的科学和应用价值。

一类具阻尼非线性双曲型方程的初边值问题解的爆破

；ｌ。Ｉ＞４Ｅ０ｌ。，ｌＭｌ卢（）ｌＭｌ其中Ｅ０Ｉ。ｌ＋｝ｌＩ＋Ｇ △ｕ）ｘＶＶ（）＝】ｌ．ｌ０ｌ２（。ｄ．ｕ。ｊ △ 。Ｊ
证明假设初边值问题（）～（）的解存在的最大时间是无限的．程（）的两边同乘以２在上１３方１ “，
： —
ｌｎ
．
２＋ √
ｙ日０＋矗０：（）卢（）
收稿日期：０２— ４—２２１０１基金项目：南省基础与前沿技术研究项目（０３０１２４；１３０１１３河１２０４０１１２０４０９）
作者简介：宋瑞丽（９８一），１７女河南新野人，师，讲主要从事非线性发展方程的研究
非线性双曲型方程的三维初边值问题
＋ｋＶ＋ｋ＋ＶｇＶＵ１４２４Ｖ（）＝０，ｔ ×（Ｔ，（）∈ ，０，）（）１
“ ：０，Ｖｕ＝０（ｔ，，）∈ ａ ×（，，０）Ｍ，）＝（，（０＝Ｕ（，，）∈ ，（０。），））（ｔ
・
７６・
河南工程学院学报（自然科学版）
２１０２生
使得当ｔ。，一时日（）一＋∞．中，其
２＝Ａｌ ±
．
＋
２．
定理假设 “ 。∈ ｎ（， ∈Ｌ（）ｇｏ２），（）＝０Ｇ △ｕ） ∈ （）并且存在常数＞０使得，（。
１整体解不存在定理

一类带非线性边界条件的抛物型方程组解的整体存在及爆破

１引言及主要结论
本文研究了一类带有非线性边界条件的抛物型方程组
，ｔ＝Ｚ，＝Ｚ，Ｕｉｕｉｖ（， ×（，ｔ）∈ ０
｛Ｕ，，＝ｅ￣ｏ，，ｑＩｚ
Ｌ（，ｕｘ）＝Ｕ（）ＯｏＸ＞Ｏｖｘ）＝ｖ（）６＞０，，（Ｏｏ
（ ×，）（）０
∈ｎ
解的整体存在及爆破问题．构造方程组的上、解，到了解整体存在的一个充分条件及解在有限时刻爆破的一个充通过下得分条件．中ｎＲ有界光滑区域，占＞０可以充分小，ｎ是ａ的外法线方向．文恒假设其本
ＡｂｓｒｔＴｈｅｐａｅｅｅｒｈｅｅｉｓｏｏｌｍｓｗｈｃｏｖｈｇｏａｘｓｅｃｆｔｏｉｅｒｂｕｎｒｔａｃ：ｐｒｒｓａｃｓａｓｒｅｆｐｒｂｅｉｈｓｌｅｔｅｌｂｌｅｉｔｎｅｏｈｅｎｎｌｎａｏｄａｙ
（，）≥ 些，），（￡称（，，（，）（ｔ，（￡）≥ ，）（￡ｖｘ￡）和（，）ｖｘ）为（））（￡，（，）１在 ×［，）的一对有序上下解，Ｏ７上 ’ 如果下面不等式成立
ｓｆｃｅｔｃｎｔｏｆｓｌｉｇｔｅｇｏａｘｓｅｎｅａｈａｓｉｇｐｏｅｉｈｅｆｎｔｉｅｗｉｌｂａｎｅｕｉｎｏｄｉｉｎｓｏｏｖｎｈｌｂｌｅｉｔｃｎｄｔｅｂｌｔｎｒｂｌｍｎｔｉｉｅｔｌｏｔｉｄ．ｉｍｂｅＫｅｙｗｏｒ：ＮｏｎｉｅｒＢｏｄａｙＣｏｉｉｎｓＧｌｂａｏｕｔｏ；Ｂｌｗｄｓｌｎａｕｎｒｎｄｔｏ；ｏｌｓｌｉｎｓｏｕｐ

一类具有非线性阻尼项和力源项四阶波动方程局部解的存在性

一
性，产生奇性。或者说，或解的某些导数的模当一ｔ而解ｌ
概括的结果．习题课上教师不仅要向学生传授这些知识，更
要向他们传授这种抽象、括的思维方法，学生学会从具概让体内容中抽象概括，出事物的本质．如，建立定积分找例在概念时，过对两个具体问题一一曲边梯形的面积和变速通直线运动的路程的计算，以看到：者是几何量，者是可前后物理量，实际意义并不相同，它们的数学思想和计算方法但是相同的．除其具体内容，出其本质特征，单从数量排抽即关系看都具有一种相同结构的特定和的极限形式，而抽从象概括出定积分的普遍性定义。分析与综合是数学学习中最常用的方法．析是从未知 “ ” 知 “ 步靠拢到 ” 知分看需逐已 “ 过程，综合则是从 ” 知 “ ” 知 “ 步推到 ” 知的的而已看可逐未过程．者对立统一，们相互依存、互转化．以在讲解两它相所些证明或者比较复杂的问题时，者一定要结合着用，两先用分析法来探求解题的途径，用综合法加以叙述．再比如在
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现代商贸工业
第２Ｏ卷第２期ＭｏｅｎＢｓｅｒｄｎｕｔｄｒｕｉｓＴａｅＩｄｓｙｎｓｒ２００８年２月

一粪拟线性波动方程解的爆破

证明：定问题（）和（）的最大存在区间为假１２解
无穷。令
满足不等式
（）（）一（＋）ｔｔ１Ｆ（）≥ ０ ≥ ０，，如果，０（）＞０Ｆ（）＞０则存在一个实数，，０，使得０＜Ｔ≤ １解的爆破定理假定（）１厂∈ ｃＲ）０≤ ｓｓＣｓＩｓ∈ ，（，） ≤ １ ” ，Ｉ
［０Ｊ（）一４ＯＦａＥ（）（），０］０＜ｔ＜ｔ。
（）＝ｔ
２ｌｌ＋（，＋（，＋ｙ。［１ｌ “ “ “ ） “ △ “）】
又因为（）≤ ４ｔｔＦ（）
（）５
（）２ｇ∈ Ｃ（）（）ｌＣｓｌ，（） ≥ ，Ｉｓ ≤ ２ｇＩｇｓｓ
（ｌｌｌ＋）、ｌＪ△ ｌｙｆｄ，１＋０１ ‘ ｓ，ｌ
用凸性引理得到解的爆破。引理假定Ｆ（）Ｃ，（）≥ ０对于ｔ０ｔ ∈ Ｆｔ， ≥
２Ｅ０）（）＞０（ｏ“）＞０且ｊ＞０使得，“ ，１，，
４ “，）４（Ｉ。一Ｉ。一（。 “ 一ａＥ０ＩＩｌＩ）“ “Ｉ２“ＩｌＩ一Ｉ“ｌ＞４（Ｉ“Ｉ１。Ｉｌｌ。Ｉ △ △ ＩａＥ０ｌ。。）△ ｌ
Ｉｕ．ｓＩｓＩ（，）＋ △ ｄ
（一Ｉ “Ｉ＋ｙｔ）Ｔ） △ ｏ（＋ｒ，
则Ｆ（）＝ｔ
（）３
，并且（） ∞，一一３。ｌ
２“ ｙ＋）－△Ａ），（【，＋（ｒ『 “ｕｓ４（“ ＋（，，］）ｄ）

一类非线性波动方程解的爆破问题

２定理叙述及其证明
定理假设ｎ．（，５．）足条件＜０。）９ｚ满（
Ｅ（）＝Ｊ（ｏ）
且下列条件之一满足
（）１Ａ＝０．＞１，
）＋＃）ＩＪｌｌ
．
ｐ（）
。＜０ｄ
（）２＞０ｌｈ５，＜ ≤
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第２０卷第２期２００２年４月
河南科
ＨＥＡ
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（）！
ＳＣＩＮ（ＥＥ：
Ａｐ０２ｒ２０
文章编号：０４３１｛０２０－１Ｉ３１０ —９８２０）２０１一０
一
类非线性波动方程解的爆破问题
宋长明，任华国，高桂芳
【中原工学院．１河南郑卅ｌ４００；２河南城建高等专科学校测量与国土信息系．５０７河南平顶山４７０）６０１
摘要：借助于能量估计方法证明了一娄非线性波方程的解在有限时刻ｂｗ－Ｐｌｕｏ
＋￣ｔｔ＋ｌｔｔｚｒ
＝ｆ＋Ｊ一２ “ ＪＪ、Ｊ
。』ｄ，ＪＪ０ｆ）
＝２０一（一Ｅ）
ｎｉｉ４Ｉ＋１ＩＩ “ 十＋：４Ｉ “ ｄ（ｒＵ）ｄｒ＋ｒ，
Ｉ１Ｉｆｄ≥Ｃ “ 一 “ １ＩＩ “ ｚＩ＞ＣＩ，Ｊ１Ｉ ≥｛Ｉ
（８
肿“ ）一 ≥
由（）得７式
≥ ＼ｘ）ｃ２ｕｄ＂￣ｒＯｄｕＯ ≥４ ≥ ㈩Ｃｃ

具有非线性耦合边界流的扩散系统的爆破分析的开题报告

具有非线性耦合边界流的扩散系统的爆破分析的开题报告
题目：具有非线性耦合边界流的扩散系统的爆破分析
研究背景和意义：
扩散方程以及非线性扩散方程在许多领域都有广泛的应用，如物理学、化学、生物学等领域。

在实际应用中，我们常常需要考虑复杂的边界条件和耦合条件，例如非线性耦合边界流的扩散系统。

这种情况下，边界条件的不同和耦合条件的不同都可能导致系统的稳定性和运动特性的变化，因此对于这种情况的研究显得尤为重要。

研究内容和方法：
本研究将重点对具有非线性耦合边界流的扩散系统的爆破分析进行研究，主要研究内容包括以下四个方面：
1. 定义具有非线性耦合边界流的扩散系统及其数学模型。

2. 建立系统的稳定性分析模型，探究系统的稳定性条件。

3. 建立系统的动力学分析模型，探究系统的运动特性。

4. 分析系统的爆破现象及其产生机制。

本研究主要采用数学分析、数值模拟等方法来研究具有非线性耦合边界流的扩散系统的爆破问题。

研究成果和展望：
本研究对于深入理解具有非线性耦合边界流的扩散系统的爆破问题以及探究其产生和演化机制具有重要意义。

通过对系统的动力学行为进行分析，可以揭示系统在不同边界和耦合条件下的稳定性、运动特性和爆破现象，对于实际应用也具有一定的指导意义。

因此，本研究在理论和应用上都具有重要的意义。

展望未来，我们还可以进一步加强在具有非线性耦合边界流的扩散系统的爆破分析方面的研究，深入探究系统的动力学行为，发掘系统的更多性质和特性，在更多领域拓展其应用。

若干非线性双曲方程解的全局稳定性与爆破问题

若干非线性双曲方程解的全局稳定性与爆破问题【摘要】：双曲方程是偏微分方程理论的一个重要的研究内容,对它的研究必将促进偏微分方程理论和其它数学分支的进一步发展.本文的研究内容主要有两个.一是应用势井理论和(?)Sobolev空间理论研究具非线性阻尼和源项及粘弹性项的波动方程的解的爆破.二是应用Lyapunov能量法,结合势井理论研究波动方程的解的全局存在性和能量衰减问题.论文分为三章.第一章是引言,主要介绍本文的研究背景,国内外研究现状及本文的主要结果.第二章主要研究一些双曲系统的解的爆破,解的局部存在以及全局存在性.主要包括粘弹性波动方程的Cauchy问题,边界上带有分数阶耗散项的波动方程,以及各向异性的波动方程.第二章第一节考虑以下的粘弹性波动方程的柯西问题：其中m≥2,p2.函数g:R+→R+是G1类函数,满足以下假设初值u0,u1和参数m,p满足以下假设带有紧支集.(G3)当n≥3时,2p2(n-1)/(n-2);当n=1,2时,p2.假设系统具有负的初始能量,系统中的核函数和参数满足适当的条件时,我们分别得到了解在有限时刻爆破和全局存在的结论.第二章第二节讨论以下初边值问题其中Ω是Rn(n≥1)中的具有光滑边界aQ的有界区域.边界由两部分组成：(?)Ω=Г0∪Г1,Г0∩Г1=(?),其中r0与r1在(?)Ω上是可测的,带有(n-1)-维Lebesgue测度λn-1(Γi),i=0,1.v 是(?)Ω上的单位外法向量.函数f(u)=｜u｜p-2u是多项式源项,p2.核函数是弱奇次核,其中0α1,β,b0均为常数.系统中的卷积项代表u的分数阶导数(Caputo意义下).假设系统具有正的初始能量,系统中的参数α,β,p满足适当的条件时,我们借助势井理论和凸分析的方法得到了解在有限时刻爆破的结论.第二章的第三节研究了以下各向异性的波动方程其中pi≥2,i=1,...,n,T0,Ω是Rn(n≥1)中的有界开子集,带有光滑边界(?)Ω,f(u)=u|u|σ-2,σ1假设参数pi(i=1,2,…,n),σ满足一定的条件下：我们证明了局部解的存在性和带负初始能量的解的爆破.第三章研究论文的第二个主要内容：带有非线性阻尼和源项的波动方程解的全局存在性和能量衰减问题.第三章第一节研究如下的带边界阻尼和源项的粘弹性波动方程这里m≥2,p≥2.Ω是Rn(n≥1)中的有界区域,带有光滑边界(?)Ω,且(?)Ω=Г0∪Г1,Г0∩Г1=(?),其中Γ0和r1在(?)Ω上是可测的,带有(n-1)-维Lebesgue测度λn-1(Γi),i=0,1.v是(?)Ω上的单位外法向量.g是一个正的核函数.当核函数具有一般的衰减性,且与参数满足一定的条件时,我们利用势井理论和Lyapunov能量法得到了全局解的存在性和能量具有与核函数一致衰减率的结论.第三章第二节研究如下的拟线性波动方程其中Ω是RN中的有界区域,带有光滑边界(?)Ω.做如下假设：函数阻尼项具有形式源项为其中参数p满足：当N=1,2时,p≥1;当N≥3时,1≤p≤N/N-2.非线性应变项σ(s)满足：对任意的s≥0,其中Ai,bi,di(i=1,2)都是非负常数,且b1+b20.利用微分不等式和解的延拓原理,通过讨论非线性应变项,阻尼项,源项的增长阶的关系,我们得到了上述系统整体解存在的几个新的充分条件.第三章第三节研究如下耦合的非线性波动方程其中m,r≥1,Ω是RN中的有界区域,带有光滑边界(?)Ω.全文做如下假设：非线性应变项σ(s)∈C1满足：且对任意的s≥0,其中b1,b2都是非负常数,且b1+b20.源项f1,f2和初值u0,u1,u0,u1满足以下假设：其中其中a,b0,p≥3.初值满足利用微分不等式和解的延拓原理,通过讨论非线性应变项,阻尼项,源项的增长阶的关系,我们得到了上述耦合系统整体解存在的几个新的充分条件.【关键词】：波动方程全局存在粘弹性爆破稳定【学位授予单位】：山西大学【学位级别】：博士【学位授予年份】：2011【分类号】：O175.27【目录】：中文摘要6-10ABSTRACT10-14第一章引言14-24第二章带有非线性阻尼和源项的波动方程的解的爆破24-472.1带有粘弹性项的柯西问题解的爆破24-322.2边界上带分数阶耗散的波动方程解的爆破32-392.3各向异性的波动方程局部解的存在与解的爆破39-47第三章几类带有阻尼和源项的非线性波动方程解的全局存在性与稳定性47-673.1边界上带有阻尼和源项的粘弹性波动方程解的稳定47-563.2一类非线性波动方程解的全局存在性56-613.3一类耦合非线性波动方程解的全局存在性61-67参考文献67-74攻读博士学位期间获得的科研成果74-75致谢75-76个人简况及联系方式76-78 本论文购买请联系页眉网站。

带非线性局部源的一维P-Laplacian抛物方程解的爆破

中第一式可以变为如下的形式：
，一
（一１ＩＩ２＝ｄ，）ｊ— ，ｚ一ｓ
近些年来，对退化抛物问题的研究引起了人们的极大兴趣。特别当，＝２时，在一般维数情，ｌ形，问题（）变为如下问题：１
，一
△ ＝ｄｊ一，ｓ
∈Ｃ）・Ｑ，（ｎ２（且ｃ’ ）
，一
＞ｏＪ
０并满足：
（一）Ｉ２ｇ）厂）（ｆＱ１Ｉ（ｊ（ｄ）一： ∈
（１ＩＩ一）仇＿Ｕ。Ｉ
Ｕ（０）
，一
ｇ厂））Ｉ
（０，）
１，
２倒 …
一
０。且
Ｕ —］丁一，ｔ＿
ｕ（ｘ
，、
）ｘ
＋——
Ｏ一
Ｌ — — —
４ｒ —１（－Ｔ＋（６）ｔ
Ｔ＿一＿—
Ｊ，讹
＝７ ——— Ｉ二＋ —— ；Ｊ＋———：：— ： —］再—兰＋ ——上：：： — ＩＩ — —歹ｒｌ一 — — ：Ｉ — ：：～ — ± Ｌ一 — 二］Ｉ— ＋— 二：＝： — — ：Ｌ二：：歹一
维普资讯
第ｌ卷第１５期２００８年２月
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＤＯＮＧＧＵＡＮＵＮＩＲＳ１￣ｎＹＥＣＯＦＴＨＮＯＬＯＧＹ
东莞理工学院学报
Ｖ１５Ｎ．Ｏ．Ｏ１１
Ｆｅ．２ｂ００８
（）如果Ｐｑ＞１２＋，且ｑ１，对充分小的初值，其相应解整体存在；（）如果Ｐｑ１３＋，那么对任意的初值，其相应解整体存在。本文参考文献［．］的思想，运用上下解方法对问题（）得到如下结论：１中２１定理１如果Ｐｇ＞１＋，且ｐｇ＞，，那么对充分大的初值，其相应解爆破。＋＋１，ｌ定理２如果Ｐｑ＞１１且１，２＋，ｇ，＜，＜，那么对充分小的初值，其相应解整体存在。ｌ定理３如果Ｐｑ１＋，那么对任意的初值，其相应解整体存在。

具变指数非线性项的强阻尼波动方程的爆破

第62卷第1期吉林大学学报(理学版)V o l .62 N o .12024年1月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )J a n 2024d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2023090具变指数非线性项的强阻尼波动方程的爆破李海霞1,曹春玲2(1.长春师范大学数学学院,长春130032;2.吉林大学数学学院,长春130012)摘要:考虑一类具变指数非线性项的强阻尼波动方程的有限时刻爆破.借助凹方法和适当选取的参数,给出该问题的一个新的爆破准则,并给出爆破时间的上下界估计.结果表明,该爆破准则特别蕴含对任意高的初始能量,该问题存在有限时刻爆破解.关键词:强阻尼;波方程;变指数非线性项;爆破中图分类号:O 175.2 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2024)01-0078-09B l o w -u p t o S t r o n g l y D a m p e d W a v eE qu a t i o nw i t h V a r i a b l e -E x po n e n tN o n l i n e a rT e r m L IH a i x i a 1,C A O C h u n l i n g2(1.S c h o o l o f M a t h e m a t i c s ,C h a n g c h u nN o r m a lU n i v e r s i t y ,C h a n gc h u n 130032,C h i n a ;2.C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s ,J i l i nU n i v e r s i t y ,C h a n gc h u n 130012,C h i n a )A b s t r a c t :W e c o n s ide r e dt h ef i n i t e t i m eb l o w -u p t oas t r o ng l y d a m p e d w a v ee q u a t i o n w i t hv a r i a b l e -e x p o n e n t n o n l i n e a r t e r m.W i th t h e h e l p o f c o n c a v em e t h o d a n d a p p r o p ri a t e l y s e l e c t e d p a r a m e t e r s ,w e g a v e an e wb l o w -u p c r i t e r i o n f o r t h i s p r o b l e ma n d e s t i m a t e d t h e u p p e r a n d l o w e r b o u n d s o n t h e b l o w -u p t i m e .T h e r e s u l t s s h o wt h a t t h eb l o w -u p c r i t e r i o n c o n t a i n s s p e c i a l i m p l i c a t i o n s f o r a n y h i g h i n i t i a l e n e r g y ,a n d t h e p r o b l e mh a s a f i n i t e t i m eb l o w -u p s o l u t i o n s .K e y w o r d s :s t r o n g l y d a m p e d ;w a v e e q u a t i o n ;v a r i a b l e -e x p o n e n t n o n l i n e a r t e r m ;b l o w -u p 收稿日期:2023-03-20.第一作者简介:李海霞(1984 ),女,汉族,博士,副教授,从事偏微分方程的研究,E -m a i l :l i h a i x i a 0611@126.c o m.通信作者简介:曹春玲(1971 ),女,汉族,博士,副教授,从事偏微分方程的研究,E -m a i l :c a o c l @jl u .e d u .c n .基金项目:国家自然科学基金(批准号:11626044)和长春师范大学人才引进启动项目(批准号:长师大R C [2016]第008号).0 引言考虑如下具变指数非线性项的半线性强阻尼波方程的初边值问题:u t t -Δu -Δu t =u p (x )-2u ,x ɪΩ, t >0,u (x ,t )=0,x ɪ∂Ω, t >0,u (x ,0)=u 0(x ), u t (x ,0)=u 1(x ),x ɪΩìîíïïïï,(1)其中Ω⊂ℝn (n ȡ1)是具光滑边界∂Ω的有界区域,p (x )是Ω上的可测函数,u 0ɪH 10(Ω),u 1ɪL 2(Ω).目前,关于初边值问题u t t -Δu -ωΔu t +μu t =u p-2u ,x ɪΩ, t >0,u (x ,t )=0,x ɪ∂Ω, t >0,u (x ,0)=u 0(x ), u t (x ,0)=u 1(x ),x ɪìîíïïïïΩ(2)解的存在与非存在性㊁稳定性与爆破研究已取得了丰富的成果.例如:对非阻尼情形,即当ω=μ=0时,S a t t i n ge r [1]利用稳定集和不稳定集研究了问题(2)局部和整体解的存在性;B a l l [2]得到了该问题在负初始能量时的一个爆破结果;当ω=0,μ>0且适当小时,I k e h a t a [3]给出了问题(2)存在有限时刻爆破解的一个刻画;G a z z o l a 等[4]对问题(2)当参数满足ωȡ0,μ>-ωλ1时进行了系统研究,其中λ1>0是-Δ在H 10(Ω)上的第一特征值,对次临界和临界初始能量的情形,他们证明了整体解的存在与非存在性以及整体解的渐近性.此外,当ω=0,μȡ0时,文献[4]还证明了超临界初始能量情形下问题(2)有限时刻爆破解的存在性,但并未明确当ω>0时,问题(2)是否存在有限时刻爆破解.最近,Y a n g等[5]通过构造合适的泛函并选取恰当参数对上述问题给出了肯定回答.另一方面,具变指数的发展方程近年来也备受关注[6-9].关于具变指数的弱阻尼波动方程的爆破结果,M e s s a o u d i 等[10]考虑了如下波动方程:u t t -Δu +a u t m (x )-2u t =b u p (x )-2u ,(3)其中a 和b 是正常数,m (㊃)和p (㊃)是可测函数.在对问题(3)建立了弱解的存在唯一性之后,文献[10]得到了一个负初始能量时的有限时刻爆破结果.M e s s a o u d i 等[11]将上述爆破结果推广至如下拟线性弱阻尼波动方程上:u t t -d i v (∇u r (x )-2∇u )+a u t m (x )-2u t =b u p (x )-2u ,(4)此外,还将上述问题的爆破条件推广为适当小的正初始能量.对具变指数项的半线性或拟线性强阻尼波动方程的爆破研究目前也有一些结果.例如:A n t o n t s e v [12]研究了拟线性波动方程u t t -d i v (a (x ,t )∇u r (x ,t )-2∇u )-αΔu t =b u p (x ,t )-2u +f (x ,t ),(5)当参数和变指数满足一定条件时,证明了该问题弱解的局部存在性以及负初始能量条件下弱解的有限时刻爆破,但当初始能量非负时,对问题(5)是否存在有限时刻爆破解未给出回答;P a r k [13]研究了问题(5)的一个特例,即问题(1)的爆破性质,利用L e v i n e [14]的凹方法,得到了当初始能量有正上界时问题(1)的一个爆破结果.通过比较文献[4-5]与文献[13]的爆破结果易见,考虑问题(1)在高初始能量条件下的爆破有一定的意义.本文通过将文献[5]中的技巧与L e v i n e 凹方法相结合,给出问题(1)当初始能量可以被 ∇u 0 22+2(u 0,u 1)控制时的一个新的爆破准则.特别地,该爆破准则蕴含问题(1)存在具任意初始能量的有限时刻爆破解.此外,本文还给出爆破时间的上界估计.最后,借助一阶微分不等式技巧,得到爆破时间的一个下界.1 预备知识设p :Ωң[1,ɕ)是一个有界可测函数,并记p 1=e s s i n f x ɪΩp (x ), p 2=e s s s u p x ɪΩp (x ).变指数L e b e s gu e 空间L p (x )(Ω)定义为L p (x )(Ω)=u (x ):u 在Ω上可测,且存在λ>0使得ʏΩλu (x )p (x )d x <{}ɕ.该空间在被赋以范数(L u x e m b u r g 范数)u p (x )=i n f λ>0:ʏΩu (x)λp (x )d x ɤ{}1后成为一个B a n a c h 空间.用㊃ q 表示L q (Ω)空间的范数,用(㊃,㊃)表示L 2(Ω)上的内积,在H 10(Ω)中赋以如下内积和范数:=ʏΩ∇u ㊃∇v d x , u 2H 10(Ω)= ∇u 22,并用<㊃,㊃>*表示H -1(Ω)与H 10(Ω)之间的对偶积.此外,用λ1>0表示-Δ在Ω上具有齐次D i r i c h l e t 边界条件的第一特征值.从而97 第1期李海霞,等:具变指数非线性项的强阻尼波动方程的爆破λ1 u 22ɤ ∇u 22, ∀u ɪH 10(Ω).(6) 引理1[15]设p :Ωң[1,ɕ)是有界可测函数,且满足2ɤp (x )<ɕ, n =1,2;2ɤp 1ɤp (x )ɤp 2<2n n -2,n ȡ3.则嵌入关系H 10(Ω)L p (x )(Ω)是连续且紧的.本文考虑问题(1)在下述意义下的弱解u (x ,t ).在不产生歧义时,u (x ,t )也常被简记为u (t ).弱解的局部存在和唯一性可通过适当修改文献[4,10]中的方法得到.定义1[4,13] 如果u ɪC ([0,T ];H 10(Ω))ɘC 1([0,T ];L 2(Ω))ɘC 2([0,T ];H -1(Ω))满足u t ɪL 2(0,T ;H 10(Ω)),u (0)=u 0,u t (0)=u 1,且对任意的ϕɪH 10(Ω)及几乎所有的t ɪ[0,T ],均有*+ʏΩ∇u (t )㊃∇ϕd x +ʏΩ∇u t (t )㊃∇ϕd x =(u (t )p (㊃)-2u (t ),ϕ),(7)则称u (x ,t )为问题(1)在[0,T ]上的一个弱解.假设条件:(H 1)设p (x )满足20及δɪ(0,1),使得对几乎所有满足x -y <δ的x ,y ɪΩ,均有p (x )-p (y )ɤ-Al o g x -y. 定理1[13] 若假设条件(H 1),(H 2)成立,则对任意的u 0ɪH 10(Ω),u 1ɪL 2(Ω),问题(1)存在唯一弱解.记T m a x 为问题(1)弱解u =u (t )的最大存在时间,并定义能量泛函㊁N e h a r i 泛函与不稳定集分别为E (t )=E (u (t ))=12 u t 22+12∇u 22-ʏΩu p (x)p (x )d x , t ɪ[0,T m a x ),(8)I (u )= ∇u 22-ʏΩup (x )d x , u ɪH 10(Ω),(9)N -={u ɪH 10(Ω)I (u )<0}.(10)在式(7)中取ϕ=u t 可得能量恒等式:E (t )+ʏt 0∇u τ 22d τ=E (0), a .e .t ɪ[0,T m a x ).(11)式(11)表明E (t )关于t 在[0,T m a x )上是单调不增的.注1 设T m a x 是u (t )的最大存在时间,若T m a x <ɕ,则必有li m t ңT m a x∇u 2=ɕ.事实上,利用与文献[4]中证明定理3.1类似的讨论和连续延拓定理[16]可知,如果T m a x <ɕ,则l i m t ңT m a x∇u (t ) 22+ u t (t ) 22=+ɕ.(12)于是,由式(8),(11)和S o b o l e v 不等式可得12 u t (t ) 22+12∇u (t ) 22ɤE (0)+ʏΩu p (x )p (x )d x ɤE (0)+1p1ʏΩup (x )d x ɤE (0)+1p1ʏΩ(1+u p 2)d x ɤC 1+C 2 ∇u (t ) p22,(13)其中t ɪ[0,T m a x ),C 1,C 2是不依赖于u 的正常数.结合式(12)和式(13)易见l i m t ңT m a x∇u 2=ɕ.定义2 设u (t )是问题(1)的弱解,T m a x 是它的最大存在时间.若T m a x <ɕ,则称u(t )在有限时刻爆破,并称T m a x 是u 的爆破时间.若T m a x =ɕ,则称u(t )是整体存在的.2 主要结果引理2[14,17]假设ψ(t)是一个正的二次可微函数,且满足08 吉林大学学报(理学版) 第62卷ψᵡ(t )ψ(t )-(1+θ)(ψᶄ(t ))2ȡ0,其中θ>0.如果ψ(0)>0,ψᶄ(0)>0,则当t ңt *ɤt *=ψ(0)θψᶄ(0)时,ψ(t )ңɕ.受文献[5,18]启发,本文证明当初始能量可在上方被 ∇u 0 22+2(u 0,u 1)控制时,问题(1)的解在有限时刻爆破,并给出爆破时间的上界估计.定理2 若变指数p (x )满足假设条件(H 1),(H 2),初值u 0ɪH 10(Ω),u 1ɪL 2(Ω)满足u 0ɪN -,且 ∇u 0 22+2(u 0,u 1)>2p 1(1+λ1)(p1-2)λ1E (0).(14)则问题(1)的解u (t )在有限时刻爆破,且爆破时间T m a x 的上界满足如下估计:T m a x ɤ4[(a 2+(λ-2)2b 0 u 0 22)1/2+a ](λ-2)2b 0,(15)其中λ,a ,b 0是确定的常数.证明:证明过程分为4步.1)证明只要u (t )ɪN -,则函数{t F (t )=ʒ ∇u (t ) 22+2(u ,u t )}在(0,T m a x )上即为严格单调递增的.事实上,将F (t )关于t 求导㊁并结合式(1)及I (u (t ))<0(t ɪ[0,T m a x )),可得F ᶄ(t )=2(∇u ,∇u t )+2 u t 22+2(u ,u t t )=2[(∇u ,∇u t )+ u t 22+(u ,Δu +Δu t +u p (x )-2u )]=2 u t 22- ∇u 22+ʏΩup (x )d ()x =2( u t 22-I (u ))>0.(16)表明F (t )在(0,T m a x )上严格单调递增.2)证明u (t )ɪN -,t ɪ[0,T m a x ).若不然,则由连续性及假设条件I (u 0)<0可知,存在t 0ɪ(0,T m a x ),使得I (u (t ))<0, t ɪ[0,t 0),(17)I (u (t 0))=0.(18)于是,由1)中结论知F (t )= ∇u (t ) 22+2(u ,u t )在区间[0,t 0)上严格递增.将其与式(14)结合,进一步可得∇u (t ) 22+2(u ,u t )> ∇u 0 22+2(u 0,u 1)>2p 1(1+λ1)(p 1-2)λ1E (0), t ɪ(0,t 0).(19)注意到F (t )的连续性和单调性,由式(19)得 ∇u (t 0) 22+2(u (t 0),u t (t 0))>2p 1(1+λ1)(p1-2)λ1E (0).(20)另一方面,由式(8)和式(9)得E (t )ȡ12 u t 22+12 ∇u 22-1p1ʏΩup (x )d x =12 u t 22+p 1-22p 1 ∇u 22+1p1I (u ), t ɪ[0,T m a x ).(21)由式(6),(11),(18),(21)和C a u c h y -S c h w a r z 不等式,可得E (0)ȡE (t 0)ȡ12 u t (t 0) 22+p 1-22p1 ∇u (t 0) 22=12 u t (t 0) 22+p 1-22p 1(1+λ1) ∇u (t 0) 22+(p 1-2)λ12p1(1+λ1) ∇u (t 0) 22ȡ12 u t (t 0) 22+(p 1-2)λ12p 1(1+λ1) u (t 0) 22+(p 1-2)λ12p 1(1+λ1) ∇u (t 0) 22ȡ(p 1-2)λ12p1(1+λ1)[ u t (t 0) 22+ u (t 0) 22+ ∇u (t 0) 22]ȡ(p 1-2)λ12p1(1+λ1)[2(u t (t 0),u (t 0))+ ∇u (t 0) 22],(22)18 第1期李海霞,等:具变指数非线性项的强阻尼波动方程的爆破与式(20)矛盾.故结论成立.3)通过选取适当的参数并结合L e v i n e 凹方法证明T m a x <ɕ.若不然,假设u 是问题(1)的整体解,则T m a x =ɕ.类似于文献[13]中的证明,对任意T >0,b >0,η>0,定义G (t )=ʏt 0∇u (τ) 22d τ+ u (t ) 22+(T -t ) ∇u 0 22+b (t +η)2, t ɪ[0,T ].(23)则G (t )>0,t ɪ[0,T ],G ᶄ(t )= ∇u (t ) 22+2(u ,u t )- ∇u 0 22+2b (t +η)=2(u ,u t )+2ʏt 0ʏΩ∇u ㊃∇u τdx d τ+2b (t +η),(24)G ᵡ(t )=2(u t,u t)+2(u ,u t t)+2ʏΩ∇u ㊃∇u tdx +2b =2 u t 22+2(u ,Δu +u p (x )-2u )+2b =2[ u t 22-I (u )]+2b .(25)由式(24)得(G ᶄ(t ))2=4(u ,u t )+ʏt 0ʏΩ∇u ㊃∇u τd x d τ+b (t +η[])2=4(u ,u t)2+2(u ,u t)ʏt 0ʏΩ∇u ㊃∇u τd x d τ+2b (t +η)(u ,u t[)+ʏt 0ʏΩ∇u ㊃∇u τd x d ()τ2+2b (t +η)ʏt0ʏΩ∇u ㊃∇u τdx d τ+b 2(t +η)]2.(26)利用C a u c h y -S c h w a r z 不等式知(u ,u t )ɤ u 2 u t 2,(27)ʏt0ʏΩ∇u ㊃∇u τd x d τɤʏt∇u 2∇u τ2d τɤʏt∇u 22d ()τ1/2ʏt∇u τ22d()τ1/2.(28)将式(27),(28)与C a u c h y 不等式相结合,进一步可得(G ᶄ(t ))24ɤ u 22 u t 22+2 u 2 u t 2ʏt∇u 22d ()τ1/2ʏt∇u τ22d()τ1/[2+2b (t +η) u 2u t2+ʏt∇u 22d τʏt∇u τ22dτ+2b (t +η)ʏt∇u 22d ()τ1/2ʏt∇u τ22d()τ1/2+b 2(t +η)]2ɤ u 22u t22+ʏt∇u τ22d()[τ+ʏt∇u 22d τ u t22+ʏt∇u τ22d ()τ+b u 22+ʏt∇u 22d()τ+b (t +η)2ˑu t22+ʏt∇u τ22d()τ+b 2(t +η)]2= u 22+ʏt∇u 22d τ+b (t +η)()2u t22+ʏt∇u τ22dτ+()b .(29)对任意的λɪ(2,p1).注意到式(23),(25),(29)可得G (t )G ᵡ(t )-λ+24(G ᶄ(t ))2ȡG (t )G ᵡ(t )-(λ+2) u t 22+ʏt 0∇u τ22dτ+()[]b =ʒG (t )H (t),(30)其中H (t )=-λ u t 22-2I (u )-(λ+2)ʏt∇u τ 22d τ-b λ.由式(6),(8),(11),(9)知28 吉林大学学报(理学版) 第62卷H (t )ȡ(p 1-λ) u t 22+(p 1-2) ∇u 22-2p 1E (0)+(2p1-λ-2)ʏt∇u τ 22d τ-b λȡ(p 1-λ) u t 22+(p 1-2)-p 1-21+λéëêêùûúú1 ∇u 22+p 1-21+λ1∇u 22-2p 1E (0)-b λȡ(p 1-λ) u t 22+(p 1-2)λ11+λ1( u 22+ ∇u 22)-2p1E (0)-b λ.(31) 下面取λ=p 1-(p 1-2)λ11+λ1ɪ(2,p1).(32)由式(31)及F (t )的单调性知,对任意的b ɪ0,(p 1-2)λ1λ(1+λ1)2(u 0,u 1)+ ∇u 0 22-2p 1(1+λ1)(p 1-2)λ1E (0æèçöø÷æèçùûúú),(33)均有H (t)ȡ(p 1-2)λ11+λ1( u t 22+ u 22+ ∇u 22)-2p1E (0)-b λȡ(p 1-2)λ11+λ12(u ,u t )+ ∇u ()22-2p1E (0)-b λȡ(p 1-2)λ11+λ12(u 0,u 1)+ ∇u 0 22-2p 1(1+λ1)(p 1-2)λ1E (0éëêêùûúú)-b λȡ0.(34)于是,结合式(30)和式(34)可知,对任意满足式(33)的b ,均有G (t )G ᵡ(t )-λ+24(G ᶄ(t ))2ȡ0,t ɪ[0,T ].(35) 选取不依赖于T 的η满足η>m a x0,2 ∇u 0 22-(λ-2)(u 0,u 1)b (λ-2{}),(36)则G (0)= u 0 22+T ∇u 0 22+b η2>0,G ᶄ(0)=2(u 0,u 1)+2b η>4 ∇u 0 22λ-2ȡ0,且对充分大的T 有4G (0)(λ-2)G ᶄ(0)=2( u 0 22+T ∇u 0 22+b η2)(λ-2)[(u 0,u 1)+b η]<T .(37)对G (t )应用引理2可知,存在t *>0满足t *ɤ4G (0)(λ-2)G ᶄ(0)(<T ),(38)使得l i m t ңt -*G (t )=li m t ңt -*ʏt 0∇u (τ) 22d τ+ u (t ) 22+(T -t ) ∇u 0 22+b (t +η)[]2=ɕ.(39)由式(39)易知l i m t ңt -*∇u 22=ɕ.(40)由注1知,式(40)表明u (t )在t *时刻爆破.这与u (t )是问题(1)的整体解矛盾.故T m a x <ɕ.4)给出T m a x 的上界估计.类似于G (t ),定义췍G (t )为췍G (t )=ʏt 0∇u (t ) 22d τ+ u (τ) 22+(T m a x -t ) ∇u 0 22+b (t +η)2, t ɪ[0,T m a x ).利用平行于3)的证明,可得l i m t ңT m a x췍G (t )=ɕ,其中38 第1期李海霞,等:具变指数非线性项的强阻尼波动方程的爆破T m a x ɤ2( u 0 22+T m a x ∇u 0 22+b η2)(λ-2)[(u 0,u 1)+b η],(41)λ仍由式(32)给出,b 满足式(33).如果仍要求η满足式(36),则式(41)可改写为T m a x ɤT (b ,η)=ʒ2( u 0 22+b η2)(λ-2)[(u 0,u 1)+b η]-2 ∇u 0 22.(42)固定b 满足式(33).记a =2 ∇u 0 22-(λ-2)(u 0,u 1), η0=[a 2+(λ-2)2b u 0 22]1/2+a (λ-2)b.直接验证易知T (b ,η)在η=η0处取到其在η>m a x0,2 ∇u 0 22-(λ-2)(u 0,u 1)b (λ-2{})上的最小值,且m i n ηT (b ,η)=T (b ,η0)=4[(a 2+(λ-2)2b u 0 22)1/2+a ](λ-2)2b.最后,令函数T (b ,η0)关于b 在式(33)上取最小值,得m i n b T (b ,η0)=T (b 0,η0)=4[(a 2+(λ-2)2b 0 u 0 22)1/2+a ](λ-2)2b 0,其中b 0=(p 1-2)λ1λ(1+λ1)2(u 0,u 1)+ ∇u 0 22-2p 1(1+λ1)(p 1-2)λ1E (0éëêêùûúú). 综上,由式(42)可知T m a x ɤ4[(a 2+(λ-2)2b 0 u 0 22)1/2+a](λ-2)2b 0.证毕.注2 定理2表明问题(1)存在具任意高初始能量的有限时刻爆破解.首先选取u 0ɪH 10(Ω),u 1ɪL 2(Ω)满足(u 0,u 1)>0,并令u 0=αu 0,u 1=βu 1,其中α,β是待定正常数.由于p1>2,故存在α1>1,使得I (u 0)=I (αu 0)=α2 ∇u 0 22-ʏΩαp (x )u 0p (x )d x ɤα2 ∇u 0 22-αp 1ʏΩu 0p (x )d x <0, ∀αȡα1.此外,对任意的D >0,存在α2>0,使得 ∇u 0 22= α∇u 0 22>2p 1(1+λ1)(p1-2)λ1D , ∀αȡα2.令α=m a x {α1,α2},对α>0,可选取β>0,使得E (0)=D .注意到(u 0,u 1)>0,显然有 ∇u 0 22+2(u 0,u 1)>2p 1(1+λ1)(p 1-2)λ1D =2p 1(1+λ1)(p1-2)λ1E (0).根据定理2知,问题(1)以(u 0,u 1)为初值的解u (x ,t )在有限时刻爆破,且初始能量满足E (0)=D .下面给出问题(1)爆破时间的一个下界估计.由于爆破时间的下界可以为所考虑的系统提供一个安全(稳定)区间,所以在实际应用中非常重要.定理3 若p (x )满足假设条件(H 1)和(H 2),u (x ,t )是问题(1)的一个在T m a x 时刻爆破的弱解.则T m a x 可从下方估计为T m a x ȡʏɕK (0)d s C 1+C 2s p 2-1,其中K (0)= u 1 22+ ∇u 0 22,C 1,C 2是不依赖于u(x ,t )的正常数.证明:先利用特定泛函满足的一阶微分不等式得到爆破时间的一个下界估计.为避免证明过程冗长,这里只给出n ȡ3时的证明(n =1,2时类似可证).记48 吉林大学学报(理学版) 第62卷K (t )= u t (t ) 22+ ∇u (t ) 22, t ɪ[0,T m a x ).(43)由于u (x ,t )在T m a x 时刻爆破,因此由式(12)知l i m t ңT m a xK (t )=+ɕ.(44)直接计算可得K ᶄ(t )=2[(u t ,u t t )+(∇u ,∇u t )]=2(u t ,u t t -Δu )=2(u t ,Δu t +up (x )-2u )ɤ-2 ∇u t 22+2ʏΩu tu p (x )-1d x ɤ-2 ∇u t 22+2ʏΩu t(1+u p 2-1)d x .(45)对任意的r ɪ1,2n n æèçùûú-2,用S r 表示从H 10(Ω)到L r (Ω)的最佳嵌入常数,即 v r ɤS r ∇v 2, ∀v ɪH 10(Ω).(46)由于p (x )满足假设条件(H 1),直接验证可知2n (p 2-1)n +2<2n n -2,从而H 10(Ω)可以连续嵌入L 2n (p 2-1)/(n +2)(Ω).利用H öl d e r 不等式和带ε的C a u c h y 不等式,可将式(45)中第二项估计如下:2ʏΩut(1+up 2-1)d x ɤ2 u t 2n /(n -2)ʏΩ(1+u p 2-1)2n /(n +2)d ()x (n +2)/(2n )ɤε u t22n /(n -2)+C (ε)ʏΩ(1+u p 2-1)2n /(n +2)d ()x(n +2)/n ɤεS 22n /(n -2) ∇u t 22+C 1(ε)+C 2(ε) u 2(p 2-1)2n (p 2-1)/(n+2)ɤεS 22n /(n -2) ∇u t 22+C 1(ε)+C 2(ε)S 2(p 2-1)2n (p 2-1)/(n +2) ∇u 2(p 2-1)2.(47)选取ε>0适当小使得εS 22n /(n -2)ɤ2,并将式(47)代入(45)可得K ᶄ(t )ɤC 1+C 2K p 2-1(t ),(48)表明对任意的t ɪ[0,T m a x )均有t ȡʏt0K ᶄ(τ)C 1+C 2K p 2-1(τ)d τ.(49)令t ңT m a x 并注意到式(44),得T m a x ȡʏɕK (0)d sC 1+C 2s p 2-1.(50)由于p 2-1>1,故式(50)右端项是有限的.证毕.参考文献[1] S A T T I N G E R D H.O nG l o b a l S o l u t i o n o fN o n l i n e a rH y p e r b o l i cE q u a t i o n s [J ].A r c hR a t i o n a lM e c hA n a l ,1968,30:148-172.[2] B A L LJM.R e m a r k so nB l o w -u p a n d N o n e x i s t e n c eT h e o r e m sf o rN o n l i n e a rE v o l u t i o nE q u a t i o n s [J ].Q u a r tJ M a t hO x f o r dS e r 2,1977,28(112):473-486.[3] I K E HA T A R.S o m eR e m a r k s o n t h eW a v eE q u a t i o n sw i t hN o n l i n e a rD a m p i n g a n dS o u r c eT e r m s [J ].N o n l i n e a r A n a l :T h e o r y ,M e t h o d sA p p l ,1996,27(10):1165-1175.[4] G A Z Z O L A F ,S Q U A S S I N A M.G l o b a lS o l u t i 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具对数源项的p-Laplace方程解的整体存在性和爆破性

具对数源项的p-Laplace方程解的整体存在性和爆破性本文主要研究具非线性对数源项和p-Laplace算子的抛物问题解的整体存在性与爆破性,即考虑如下问题首先给出预备知识和主要结果,其次利用位势井方法以及能量估计,Sobolev嵌入不等式和反证法等证明解的整体存在性和解的正无穷时刻爆破性.具体讲,根据初始能量和M=1/p2（p2e/n（?）p）n/p的大小关系以及I（u0）=∫Ω|▽u0|pdx-∫Ω|u0|plog|u0|dx的非负性,主要结论如下:定理1.若u0（x）∈ W01,p（Ω）,J（u0）<M,I（u0）≥ 0,则问题（0.1）有一个整体弱解u ∈ L∞(0,+∞;w01,p（Ω）),u,∈ L2（0,+∞;L2（Ω））.进一步,对所有t≥ 0,有如下估计定理2.若u0（x）∈ W01,p（Ω）,J（u0）= M,I（u0）≥ 0,则问题（0.1）有一个整体弱解u ∈ L∞(0,+∞;W01,p（Ω）),u,∈ L2（0,+∞;L2（Ω））.进一步,若 I（u0）>0,对任意给定的正数γ,都存在t>0,使得对所有Ω t,都有定理3.若 u0（x）∈W01,p（Ω）,J（u0）≤ M,I（u0）<0,则问题（0.1）的解 u = u（x,t）在正无穷时刻爆破,且有。

具非线性阻尼项和源函数项双曲方程解爆破时间的下界估计

具非线性阻尼项和源函数项双曲方程解爆破时间的下界估计孙爱慧;曹春玲【摘要】The authors studied the properties of solutions for the initial boundary value problem to a hyperbolic equation and obtained a lower bound estimation of blow-up time for a class of nonlinear damped hyperbolic equations with sources by using the method of energy estimate and Sobolev embedding inequalities.%考虑双曲方程初边值问题解的性质。

利用能量估计方法和 Sobolev 嵌入不等式，给出一个具非线性阻尼项和源函数项双曲方程解爆破时间的下界估计。

【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2014(000)006【总页数】3页(P1227-1229)【关键词】阻尼项;非线性源;双曲方程;爆破时间;下界估计【作者】孙爱慧;曹春玲【作者单位】吉林师范大学数学学院，吉林四平 136000;吉林大学数学学院，长春 130012【正文语种】中文【中图分类】O175.8考虑如下半线性双曲方程的初边值问题:其中: Ω⊂N(N≥3)是有界区域, 且边界∂Ω滑; p>2; m>2; g≥0.许多实际问题都可以用模型(1)刻画, 例如通过渗流介质的流体过程、与温度相关的黏弹性流问题等, 文献[1-3]给出了这类问题的研究结果.当黏弹性项g=0时, 问题(1)为具有非线性阻尼项波的方程当p<m时, 阻尼项使问题(2)的任意解都整体存在；当p>m时, 源项的存在可能导致问题(2)的任意解在有限时刻爆破[4-5].特别地, 文献[6-7]给出了在缺少阻尼项ut且初始能量为负数时, 问题(2)的解在有限时刻爆破的结果; Levine[8-9]证明了阻尼项为线性函数且初始能量为负数时, 问题(1)的解在有限时刻爆破; Messaoudi[10]证明了当初始能量为正数时, 问题(1)的解在有限时刻爆破.本文讨论半线性双曲方程爆破解的下界估计, 通过能量估计和合适的嵌入定理及构造合适的辅助函数获得问题(1)解爆破时间的下界估计.先引进如下能量泛函：其中(g∘u)(t)=g(t-τ)‖v(t)τ.根据参考文献[10]中引理2.1, 有:引理1 如果下列条件成立, 则E′(t)≤0, t≥0且E(t)≤E1:(H1) 2<m<p<, N≥3, k=1-g(t)dt>0；(H2) g(s)≥0, g′(s)≤0, g(t)dt<;(H3) α=(C/k1/2)-p/(p-2), E1=(1/2-1/p)α2, 其中C为最优嵌入常数.定理1 假设问题(1)的解在有限时刻T*爆破, 且条件(H1)～(H3)成立, 则爆破时间T*满足dy≤T*, 其中C为嵌入常数, 且有C1=max{Cr(1-θ), C2p-2}, C2=C12q-1(1+1/k)q, C3=C2((|E(0)|+|Ω|)/k)q+|E(0)|,证明：考虑辅助函数则有下面分两种情形讨论.1) 当2<p≤2N/(N-1)时, 选择μ∶=N(p-2)<γ∶=2p-2<2*=2N/(N-2).利用内插不等式其中θ满足+=1, 经计算得θ=, =, =1-, 从而由于p>N(p-2)=μ, 应用Hölder’s不等式, 有结合式(7),(8)有由2(p-μ)/(Np)=2(p-Np+2N)/(Np)及不等式aαbβ≤(a+b)α+β(a>0, b>0, α>0, β>0), 有其中: C为最优嵌入常数; q1=3-4/p>1.2) 当2N/(N-1)<p≤(2N-2)/(N-2)时, p<2p-2=γ<2N/(N-2)=2*.应用内插不等式得其中α满足+=1, 即α=, =.对式(10)应用不等式aαbβ≤(a+b)α+β(a>0, b>0, α>0, β>0), 有其中: C为最优嵌入常数; q2=[2(N-2)-(N-4)p]/[2N-p(N-2)]>1.取C1=max{Cr(1-θ), C(1-α)γ}, 由E(t)的定义、式(3)及引理1中E(t)≤E1, 有故‖又由式(5),(9),(11), 并结合不等式(|a|+|b|)q≤2q-1(+), 有这里C1,C2,C3,q由定理1给出.由文献[10]中‖u‖p=+∞, 有结合式(12),(13)得dy≤T*.【相关文献】[1]Gerbi S, Said-Houari B.Asymptotic Stability and Blow up for a Semilinear Damped Wave Equation with Dynamics Boundary Conditions [J].Nonlinear Anal, 2011, 74(18): 7137-7150.[2]LI Ke, YANG Zhijian.Exponential Attractors for the Strongly Damped Wave Equation [J].Appl Math Comput, 2013, 220: 155-165.[3]孟繁慧, 高文杰.一类具变指数源的p-Laplace方程解的爆破时间下界 [J].吉林大学学报：理学版, 2014, 52(3): 435-438.(MENG Fanhui, GAO Wenjie.Lower Bounds for the Blow-up Time of Solutions to a Class of p-Laplace Equation with Variable Sources [J].Journal of Jilin University: Science Edition, 2014, 52(3): 435-438.)[4]Ball J M.Remarks on Blow-up and Nonexistence Theorems for Nonlinear Evolution Equations [J].Quart J Math Oxford, 1977, 28(112): 473-486.[5]Kalantarov V K, Ladyzhenskaya O A.The Occurrence of Collapse for QuasilinearEquations of Parabolic and Hyperbolic Type [J].J Soviet Math, 1978, 10(1): 53-70.[6]Haraux A, Zuazua E.Decay Estimates for Some Semilinear Damped Hyperbolic Problems [J].Arch Ration Mech Anal, 1988, 100(2): 191-206.[7]Kopckov M.Remarks on Bounded Solutions of a Semilinear Dissipative Hyperbolic Equation [J].Comment Math Univ Carolin, 1989, 30(4): 713-719.[8]Levine H A.Instability and Nonexistence of Global Solutions to Nonlinear Wave Equations of the Form Putt=Au+F(u) [J].Trans Amer Math Soc, 1974, 192: 1-21.[9]Levine H A.Some Additional Remarks on the Nonexistence of Global Solutions to Nonlinear Wave Equations [J].SIAM J Math Anal, 1974, 5: 138-146.[10]Messaoudi S A.Blow-up of Positive-Initial-Energy Solutions of a Nonlinear Viscoelastic Hyperbolic Equation [J].J Math Anal Appl, 2006, 320(2): 902-915.。

非线性黏弹性波动方程解的爆破

非线性黏弹性波动方程解的爆破寇伟【摘要】研究了带有非线性阻尼和源项的黏弹性波动方程解的存在性及爆破性问题。

特别地，该方程主部系数μ（t）是关于时间 t 的一个函数。

在假设条件下，获得了该问题局部解的存在性。

在局部解存在前提下，利用势井理论和能量方法证明了当初始能量有上界时，解在有限时间内爆破，并给出了关于解的爆破时间估计。

【期刊名称】《河南科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(038)001【总页数】5页(P88-92)【关键词】解的爆破;非线性黏弹性波动方程;变系数主部;势井理论【作者】寇伟【作者单位】山西大学数学科学学院，山西太原 030006【正文语种】中文【中图分类】O175.2考虑下面的初边值问题：近年来，许多学者已经研究过带有阻尼项的非线性波动方程的爆破问题[1-5]。

文献[6]考虑了非线性黏弹性波动方程：本文研究的是带有非线性阻尼和源项的非线性黏弹性波动方程的初边值问题。

特别地，与文献[6]相比，该方程的主部系数由常数1变为关于t的函数μ(t)，并将条件由负初始能量推广到带有正上界的初始能量。

在此基础上，参考文献[8-9]，用势井理论和能量方法证明了解的爆破，并给出了解的爆破时刻的一个估计。

本文使用的是标准的函数空间,p表示Lp(Ω)范数。

下面是本文用到的3个假设。

(H1)假设正实数m,p满足(H2)假设μ∈W2,∞(0,∞)∩W2,1(0,∞)几乎处处在[0,∞)满足(H3)假设g满足下列条件：首先,给出系统的能量:下面引进一些势井理论里的记号：注1：由上面势井定理的记号易知是G(λ)的最大值点,最大值。

下面给出解的局部存在性定理。

定理1 假设(H1)、(H2)和(H3)成立，(Ω)。

对一些T>0,初边值问题(1)至少存在一个弱解且下面给出证明中用到的4个引理，其证明过程与文献[8]类似。

引理1 如果p满足假设(H1)，对所有的，有,其中，K是索伯列夫(Sobolev)嵌入的最佳常数。

带有非线性局部化反应源项的抛物方程组的爆破估计

带有非线性局部化反应源项的抛物方程组的爆破估计
带有非线性局部化反应源项的抛物方程组的爆破估计
李玲;胡学刚
【期刊名称】《重庆邮电大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2006(018)001
【摘要】讨论了一类带局部化非线性反应项的扩散方程组的爆破估计问题.在一些合理的假设条件下,对于初值问题,得到了解的爆破条件和爆破速率;对于相应的第一初边值问题,不仅建立了解的爆破估计,而且还获得了边界层估计.
【总页数】4页(134-137)
【关键词】抛物方程组;爆破;局部化源;边界层
【作者】李玲;胡学刚
【作者单位】重庆邮电学院,应用数学研究所,重庆,400065;西南大学,数学与财经学院,重庆,400715;重庆邮电学院,应用数学研究所,重庆,400065
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.带有局部化反应源和非局部边界条件的非线性抛物型方程组解的全局存在性和爆破性 [J], 黄小萍; 曾有栋
2.一个带有非局部源的非线性退化抛物型方程组解的爆破 [J], 张为元
3.带有非线性边界条件的非线性抛物型方程组的爆破速率估计[J], 刘卫岭; 李国富
4.具有非局部源项的抛物型方程组正解的爆破与爆破率 [J], 凌征球; 龚文振
5.一类带有局部化源的反应扩散方程组解的整体存在性及爆破[J], 李中平; 王雄。

一类具强阻尼和记忆项的Hyperbolic方程解的爆破时间下界估计

一类具强阻尼和记忆项的Hyperbolic方程解的爆破时间下界
估计
胡文燕
【期刊名称】《山西大同大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(032)006
【摘要】考虑一类Hyperbolic方程的初边值问题,对于不带记忆项的情形,已有学者运用能量方法,对其解的爆破时间的下界进行了估计,文章进一步研究方程带记忆项的情形,推广了前人的结果,得出了带记忆项的Hyperbolic方程解的爆破时间的下界估计.
【总页数】2页(P15-16)
【作者】胡文燕
【作者单位】晋中学院数学学院,山西晋中030600
【正文语种】中文
【中图分类】O175.23
【相关文献】
1.具非线性阻尼项和源函数项双曲方程解爆破时间的下界估计 [J], 孙爱慧;曹春玲
2.一类带记忆项的非线性Petrovsky方程解的爆破时间下界估计 [J], 胡文燕;柴树根
3.一类具超临界源的非线性黏弹性双曲方程解的爆破时间下界估计 [J], 曹春玲;李行;李雨桐;蔡华
4.一类具超临界源非线性双曲方程解的爆破时间下界估计 [J], 王雪;郭悦;祖阁
5.具强阻尼项的四阶弱耦合双曲方程组解爆破时间的下界估计 [J], 陈洁姝;金鑫因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

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令
∀( t) =
1
2
ut
2 2
+
1
k
u
k k
+
1
(p +
1)
u
p+ 1 p+ 1
现用 ut 乘以问题( 1) 中的第一个式子, 并在上积分, 则
∀(( t ) = -
ut
m+ 1 m+ 1
-
) ut
2 2
+
2
uut u p - 1dx
运用 Holder 和 Young 不等式, 得
)uut u p- 1dx
! ( 0, # )
u(x, 0) = u0(x )
ut ( x , 0) = u1( x )
( 1)
u(x, t ) = 0
! ( 0, # )
k ∃2
m ∃1
p ∃1
1 预备知识
首先, 研究问题( 1) 解的情况.
定理
若p ∀
max( k-
1, m ) , u0 %
W
1, 0
k
(
) , u1 % L 2(
G(( t )
∃( 1-
∃-
C#/ %)H - ∃H (+ 4# ut
2 2
+
4#H
-
2#( k k
2)
u
k k
+
# 2( p - 1) / ( p + 1) - C%H - ∃( 0)
u
p+ 1 p+ 1
由式( 2) ( 4) 得因此有
1 p+ 1
u
p+ 1 p+ 1
>
H ( 0) +
1 k
u
k k
在 d > 0, 只要
u0 % W10, k ( )
u1 % L 2( )
E ( 0)
<
( p + 1) d p + 1- k
( 5)
则问题( 1) 的解 u( t ) 在 Lp+ 1范数下必在有限时间内爆破.
3 定理 1 的证明
在证明中, 假设定理 1 的条件均满足. 采用反证法, 假设问题( 1) 存在整体解 u( t ) . 记
) 2#( p - 1) p+ 1
u
p+ p+
1 1
-
2#
( uut ut
m- 1 +
u ut ) dx
( 12)
先对式( 12) 中的最后一项作如下估计. 注意到 p > m 和式( 4) , 由 Holder 不等式得
) 2#
uut ut m- 1dx
∀ C# u
m+ 1
ut
m m+ 1
∀
C# u p+ 1
1 具有单调性的假设下, 研究了解的存在性和惟一性. Yamada[ 3] 和 Zuazua[ 4] 对弱解做了一些类似的研究. 现
用一非线性源项 u u p- 1 置换 f ( x , t ) , 得到一应用更广泛的方程, 可参看文献[ 5] [ 6] .
现研究 k laplacian 型波动方程的初边值问题: utt - div( u k- 2 u) - ut + ut m- 1 ut = u p- 1 u
) , 那么问题( 1) 存在整体解. u: ( 0, T ) & R, 对 !T
>
0, u
满足 u %
L
#
( 0,
T;
W
1, 0
k(
) ) , ut % L # ( 0, T ; L2(
) ) ∋ L # ( 0, T ; W10, 2(
)) .
证明一旦局部解存在原理得证, 同文献[ 7] 类似能证得连续性原理.
∀
u
p p+ 1
ut
p+ 1 ∀
C#
u
p+ 1 p+1
+
# ut
p+ 1 p+ 1
收稿日期: 2002 03 27 基金项目: 河海大学科技创新基金资助项目( 20022405343) 作者简介: 袁庆( 1977 ) , 女, 黑龙江鹤岗人, 硕士研究生, 从事微分方程及其应用的研究.
第 31 卷第 3 期
∀
C#H - ∃( % u
p+1 p+ 1
+
%- 1H ()
( 13)
类似方法, 又由式( 2) , H ( 0) = - E ( 0) > 0 及 E( t ) 单调减少, 得
) 2#
u
ut dx
∀
C#H - ∃( %
u
p+ p+
1 1
+
%- 1H ()
( 14)
此时 % 为任意正数, 取 ∃∀ 1/ k - 1/ ( p + 1) , 得 H 1/ (p+ 1) - 1/ k( t ) ∀ H - ∃( t ) , t ∃0. 结合式( 13) ( 14) 取 0< ∃ < 1/ 2, 且 ∃∀ min( 1/ ( m + 1) - 1/ ( p + 1) , 1/ k - 1/ ( p + 1) ) , 得
ut
m+ m+
1 1
-
ut
2 2
+
2C2#( p +
1)
ut
m+ 1 m+ 1
m+ 1
+
2C1#( p +
1)
ut 2
2
2+
2C# u
p+ 1 p+1
这里可取 #足够小, 得 ∀(( t ) ∀ C ∀( t ) .
然后运用 Gronwall 引理和连续性原理, 得到整体解的存在性. 证毕.
利用能量方法来讨论问题( 1) 整体解的爆破, 可参见文献[ 8] . 若 u( t ) 是问题( 1) 的解, 其能量定义为
)
∀
C( % u
p+1 p+ 1
+
%- 1H ()
这里 % 为任意正数. 取 0< ∃< 1/ 2 且 ∃∀ 1/ ( m + 1) - 1/ ( p + 1) , 得
H 1/ (p + 1)- 1/ ( m+ 1) ( t ) ∀ H - ∃( t )
t ∃0
于是
) m- 1
2# uut ut
dx
s
uut dx
∀
2s
u
s 2
ut
s 2
∀
C
u
2/ ( 1p+ 1
2 ∃)
+
ut
2 2
注意到对 !y ∃0, a> 0 和 0 ∀ ∀ 1, 存在不等式 y ∀ y + 1 ∀ ( 1+ a- 1) ( y + a) ,
令
y=
u
p+ 1 p+ 1
= 2/ ( ( p + 1) ( 1 - 2 ∃) ) ∀ 1
H ( 0) ∀ H ( t ) ∀
1 p+ 1
u
p+ 1 p+ 1
( 4)
2 主要结果
定理 1 设 p > max( k - 1, m) , u0 % W10, k( ) , u1 % L2( ) , 且 H ( 0) > 0, 那么问题( 1) 的解 u( t ) 在 Lp+ 1范数下必在有限时间内爆破.
中图分类号: O29
文献标识码: A
文章编号: 1000 1980( 2003) 03 0358 05
最近, Biazutti[ 1] 研究了一类非线性波动方程的初边值问题:
n
utt -
(
i= 1
i ( uxi ) ) x i -
ut + F ( ut ) = f ( x , t )
! ( 0, T )
G(( t )
∃( 1-
∃-
C#%- 1)H - ∃H( + 4# ut
2 2
+
4#H +
# 2( p - 1) / ( p + 1) - 2( k - 2) / ( p + 1) - C%H - ∃( 0)
u
p+ 1 p+ 1
选取 #, % 适当小, 使得
1- ∃- C#%- 1 > 0
2( p - 1) - 2( k - 2) - C%H - ∃( 0) ( p + 1) > 0
a = H ( 0)
得到
u
2/ (1- 2∃) p+ 1
∀
( 1+ H - 1( 0) ) (
u
p+ p+
1 1
+
H ( 0) )
∀
C(
u
p+ p+
1 1
+
H( t)) C(
u
p+ 1 p+ 1
+
H( t) +
ut
2 2
)
结合式( 4) 得
( H 1- ∃( t ) +
#g(( t ) ) s ∀
g( t) =
u( t)
2 2
t ∃0
( 6)
H ( t) = - E( t)