一类非线性阻尼Petrovsky方程整体解的能量衰减估计
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证明：设 E ( t ) = E ( u ( t ) ) ，对方程(1.1)两边同时乘以 E ( t ) 2 u ，并在 Ω × [ S , T ] 上积分，得
∫S ∫Ω E ( t ) 2 u utt + ∆ u + a (1 + ut
T r 2
r
) u − bu u
t 2
p
dxdt
定 理 2.2 假 设 (1.5) 和 (1.6) 成 立 ， u ( t ) 是 问 题 (1.1)~(1.3) 的 局 部 解 。 如 果 u0 ∈ W , u1 ∈ L2 ( Ω ) 且
I (u ) = I (u (t )) = ∆u ( t ) − b u ( t )
2
p+2 p+2
,
p+2 p+2
4 , N > 4, N −4
(1.5) (1.6)
0 < r < +∞, N ≤ 4; 0 < r ≤
8 , N > 4, N −4
2 如果 ( u0 , u1 ) ∈ H 0 ( Ω ) × L2 ( Ω ) ，则存在 T > 0 使得问题(1.1)~(1.3)存在唯一局部解 u ( t ) ，且
th st th
Received: Dec. 5 , 2014; revised: Dec. 31 , 2014; accepted: Jan. 8 , 2015 Copyright © 2015 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Abstract
The nonlinear damping Petrovsky equation utt + ∆ 2 u + a 1 + ut
(
r
) u =b u
t
p
u with initial-boundary
conditions on bounded region is studied. The V. Komornik lemma here plays a crucial role in the energy decay estimate of global solution.
引理 2.4 如果定理 2.1 中的假设成立，则
b u (t )
其中
p+2 p+2
≤ (1 − θ ) ∆u ( t ) , ∀t ∈ [ 0, +∞ ) ,
2
(2.1)
16
一类非线性阻尼 Petrovsky 方程整体解的能量衰减估计
2 ( p + 2) 2 1 − bC θ= E (u ( 0)) > 0 p
Pure Mathematics 理论数学, 2015, 5, 14-20 Published Online January 2015 in Hans. http://www.hanspub.org/journal/pm http://dx.doi.org/10.12677/pm.2015.51003
Energy Decay Estimate of Global Solution for a Class of Nonlinear Damping Petrovsky Equations
Zhen Chen1, Rui Wang1, Yali Chao2
1 2
Department of Information and Management Science, Henan Agricultural University, Zhengzhou Henan Sports School, Zhengzhou Email: hn-chenzhen@sohu.com
2
(2.3)
≥ ∆u − (1 − θ ) ∆u
2
2
θ ∆u =
2
≥
θb u 1−θ
p+2 p+2
.
所以引理 2.4 得证。
3. 主要结果及其证明
定理 3.1 如果定理 2.2 中的假设成立，则有问题(1.1)~(1.3)整体解的能量衰减估计
E ( t ) ≤ M (1 + t )
− 2 r
,
r
= 其中 E ( t ) E ( u ( t ) ) , M > 0 是依赖初始能量 E ( 0 ) 的常数。
r r r r −2 r T 2 E ′ ( t ) uu dxdt E t ( ) t 2 ∫S ∫Ω
∫S
T
T ∫Ω E ( t ) 2 uutt dxdt = ∫Ω E ( t ) 2 uut dx S − ∫S
2 u ∈ C [ 0, T ) ; H 0 ( Ω ) , ut ∈ C [0, T ) ; L2 ( Ω ) Lr + 2 ( Ω × [0, T ) )
(
)
(
)
(1.7)
E ( u ( 0 ) ) < d ，则 u ( t ) 是问题(1.1)~(1.3)的整体解。
为证得主要结论，首先定义泛函：
T r T
=
∫S ∫Ω E ( t ) 2 uutt dxdt + ∫S ∫Ω E ( t ) 2 u∆ udxdt + ∫S ∫Ω E ( t ) 2 ua (1 + ut
T r T r
) u dxdt − b∫
t
T
S
∫Ω E ( t ) 2 u
r
2
u dxdt
p
(3.1)
= 0,
其中 0 ≤ S < T < +∞ . 因为
∂u ∂Ω 表示 u 在边 ∂n
= u ( x , 0 ) u0 ( x ) , u = u1 ( x ) , x ∈ Ω, t ( x, 0 )
= u(x ,t) ∂ = u(x , t ) 0, x ∈ ∂Ω, t ≥ 0, ∂n
其中 a, b, r , p > 0 均为实数，Ω 是 R N 中具有光滑边界 ∂Ω 的有界集， ∆ 是拉普拉斯算子 界 ∂Ω 外法线方向的导数。 A.Guesmia [1]曾考虑方程
m
r p
( Ω ) 表示 Sobolev 空间，其中范数为
u
H m (Ω)
= ∑ Dα u α ≤m
2
2 ， 2 L (Ω)
1
2 表示 L2 ( Ω ) 中的范数，并且用范数 ∆ ⋅ 代替 H 0 ( Ω ) 中的范数 ⋅
∞ H 0M ( Ω ) 代表 H m ( Ω ) 中 C0 ( Ω ) 的闭包。为方便起见，今后用 ⋅ p 表示 Lebesgue 空间 Lp ( Ω ) 中的范数， ⋅
2 H0 (Ω)
。此外， M 表示依赖于已知常数的
正数，且在不同点处的含义有所不同。
2. 预备知识
问题(1.1)~(1.3)解局部和整体解存在的重要结果([11])。 定理 2.1 假设 r , p > 0 满足
15
一类非线性阻尼 Petrovsky 方程整体解的能量衰减估计
0 < p < +∞, N ≤ 4; 0 < p ≤
p
2
(2.2)
2 ( p + 2) 2 设 θ = 1 − bC*p + 2 E (u ( 0)) , p
则由(2.6)得 0 < θ < 1 ，因此根据(2.2)，有
b u
同样由(2.3)，知
I (u ) = ∆u − b u
2 p+2 p+2
p+2 p+2
≤ (1 − θ ) ∆u .
2 1 b J (u ) = J ( u ( t ) ) =∆u ( t ) − u (t ) 2 p+2
,
问题(1.1)~(1.3)的能量表示为
E (= u (t ))
2 2 p+2 2 1 1 b 1 ut ( t ) + ∆u ( t ) − u ( t= ut ( t ) + J ( u ( t ) ) ) p+2 2 2 2 p+2
+∞
F (t )
− 2
β +1
2
dt ≤ AF ( S ) , 0 ≤ S ≤ +∞ ,
则当 β > 1 时有 F ( t ) ≤ CF ( 0 )(1 + t )
β −1
且当 β = 1 时有 F ( t ) ≤ CF ( 0 ) e −ωt , ∀t ≥ 0 ， 其中 C 和 ω , ∀t ≥ 0 ，
(
r
) u =b u
t
p
u 在有界区域的初边值问题。利
关键词
阻尼波方程，初边值问题，整体解，能量衰减估计
1. 引言
本文主要考察一类带耗散项和源项的波方程初边值问题的整体的衰减稳定性：
utt + ∆ 2 u + a 1 + = ut ut b u u , x ∈ Ω, t > 0,
(
r
)
p
(1.1) (1.2) (1.3)
d E (u (t )) = −a ut ( t ) dt
(
r +2 r +2
+ ut ( t )
2
) ≤ 0.
因此， E ( u ( t ) ) 是关于 t 的非增函数。 引理 2.3 ([1])设 F : R + → R + 是一个非增函数，并假设存在常数 β ≥ 1 和 A > 0 满足
∫S
是不依赖 F ( 0 ) 的正常数。
2 = 这里 u ∈ H 0 ( 0)) (Ω) , t ≥ 0 ， E (u
1 2 u1 + J ( u0 ) 是初始总能量。 2 为了证明主要结果，我们需要下面的一些引理： 2N 引理 2.1 设 q 满足 2 ≤ q < +∞, N ≤ 4 或者 2 ≤ q ≤ , N > 4 ，则存在依赖于 Ω 和 q 的常数 C 满足 N −4
Keywords
Damping Wave Equation, Initial-Boundary Equation, Global Solution, Energy Decay Estimate
一类非线性阻尼Petrovsky方程整体解的 能量衰减估计
陈
1 2
振1，王
瑞1，钞雅丽2
河南农业大学信息与管理科学学院，郑州 河南省体育运动学校，郑州 Email: hn-chenzhen@sohu.com
u
q 2 ≤ C ∆u , ∀u ∈ H 0 (Ω).
引理 2.2 设 u ( t ) 是问题(1.1)~(1.3)的一个解，则 E ( u ( t ) ) 是 t > 0 的非增函数，且
r +2 d E (u (t )) = −a ut ( t ) r + 2 + ut ( t ) dt
(
2
).
证明：用方程(1.1)乘以 ut ，并在 Ω 上积分得
p+2 *
p
且 I ( u ( t ) ) ≥ θ ∆u ( t ) ≥
2
(1 − θ )
θ
b u (t )
p+2 p+2
, ∀t ∈ [ 0, +∞ ) 。
证明：由引理 2.1 得
b u
p+2 p+2
≤ bC
p+2
∆u = bC
p
p+2
p+2
∆u
p
∆u
2
≤ bC
p+2 *
2 ( p + 2) 2 E ( u ( 0 ) ) ∆u p
收稿日期：2014年12月5日；修回日期：2014年12月31日；录用日期：2015年1月8日
Baidu Nhomakorabea
14
一类非线性阻尼 Petrovsky 方程整体解的能量衰减估计
摘
要
本文主要研究非线性阻尼Petrovsky方程 utt + ∆ 2 u + a 1 + ut 用V. Komornik引理得到整体解的能量衰减估计。
utt + ∆ 2 u + q ( x ) u + g ( = ut ) 0, x ∈ Ω, t > 0
(1.4)
在(1.2)和(1.3)下的初边值问题，其中 g 是连续增函数， g ( 0 ) = 0 ，且 q : Ω → [ 0, +∞ ) 是有界函数。在 函数 g 适当的增长性条件下，他得到了问题弱强解的衰减性结果。具体地说，在[2]中，A.Guesmia 获得 了 g 为线性函数时问题解的指数衰减性结论，但是衰减具有相同的多项式次数。另外，A.Guesmia 在[3] 中对耦合半线性波动方程的研究中也得到了相关结果。将(1.4)中条件 q ( x ) u + g ( ut ) 换做 ∆ 2 ut + ∆g ( ∆u ) ， M. Aassila 和 A. Guesmia [4]利用 V.Komornik 引理获得了指数衰减定理[1]。 针对非线性阻尼波动方程 utt − ∆u + a ut ut = bu u ， 其 Cauchy 问题和初边值问题解的爆破和整体解 的存在性、唯一性和衰减估计，已被众多学者通过各种方法或在不同条件下进行了研究[5]-[10]。本文运 用 V. Komornik 引理[1]得到了问题整体解的能量衰减估计。 我们采用通常的符号记法。设 H
∫S ∫Ω E ( t ) 2 u utt + ∆ u + a (1 + ut
T r 2
r
) u − bu u
t 2
p
dxdt
定 理 2.2 假 设 (1.5) 和 (1.6) 成 立 ， u ( t ) 是 问 题 (1.1)~(1.3) 的 局 部 解 。 如 果 u0 ∈ W , u1 ∈ L2 ( Ω ) 且
I (u ) = I (u (t )) = ∆u ( t ) − b u ( t )
2
p+2 p+2
,
p+2 p+2
4 , N > 4, N −4
(1.5) (1.6)
0 < r < +∞, N ≤ 4; 0 < r ≤
8 , N > 4, N −4
2 如果 ( u0 , u1 ) ∈ H 0 ( Ω ) × L2 ( Ω ) ，则存在 T > 0 使得问题(1.1)~(1.3)存在唯一局部解 u ( t ) ，且
th st th
Received: Dec. 5 , 2014; revised: Dec. 31 , 2014; accepted: Jan. 8 , 2015 Copyright © 2015 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Abstract
The nonlinear damping Petrovsky equation utt + ∆ 2 u + a 1 + ut
(
r
) u =b u
t
p
u with initial-boundary
conditions on bounded region is studied. The V. Komornik lemma here plays a crucial role in the energy decay estimate of global solution.
引理 2.4 如果定理 2.1 中的假设成立，则
b u (t )
其中
p+2 p+2
≤ (1 − θ ) ∆u ( t ) , ∀t ∈ [ 0, +∞ ) ,
2
(2.1)
16
一类非线性阻尼 Petrovsky 方程整体解的能量衰减估计
2 ( p + 2) 2 1 − bC θ= E (u ( 0)) > 0 p
Pure Mathematics 理论数学, 2015, 5, 14-20 Published Online January 2015 in Hans. http://www.hanspub.org/journal/pm http://dx.doi.org/10.12677/pm.2015.51003
Energy Decay Estimate of Global Solution for a Class of Nonlinear Damping Petrovsky Equations
Zhen Chen1, Rui Wang1, Yali Chao2
1 2
Department of Information and Management Science, Henan Agricultural University, Zhengzhou Henan Sports School, Zhengzhou Email: hn-chenzhen@sohu.com
2
(2.3)
≥ ∆u − (1 − θ ) ∆u
2
2
θ ∆u =
2
≥
θb u 1−θ
p+2 p+2
.
所以引理 2.4 得证。
3. 主要结果及其证明
定理 3.1 如果定理 2.2 中的假设成立，则有问题(1.1)~(1.3)整体解的能量衰减估计
E ( t ) ≤ M (1 + t )
− 2 r
,
r
= 其中 E ( t ) E ( u ( t ) ) , M > 0 是依赖初始能量 E ( 0 ) 的常数。
r r r r −2 r T 2 E ′ ( t ) uu dxdt E t ( ) t 2 ∫S ∫Ω
∫S
T
T ∫Ω E ( t ) 2 uutt dxdt = ∫Ω E ( t ) 2 uut dx S − ∫S
2 u ∈ C [ 0, T ) ; H 0 ( Ω ) , ut ∈ C [0, T ) ; L2 ( Ω ) Lr + 2 ( Ω × [0, T ) )
(
)
(
)
(1.7)
E ( u ( 0 ) ) < d ，则 u ( t ) 是问题(1.1)~(1.3)的整体解。
为证得主要结论，首先定义泛函：
T r T
=
∫S ∫Ω E ( t ) 2 uutt dxdt + ∫S ∫Ω E ( t ) 2 u∆ udxdt + ∫S ∫Ω E ( t ) 2 ua (1 + ut
T r T r
) u dxdt − b∫
t
T
S
∫Ω E ( t ) 2 u
r
2
u dxdt
p
(3.1)
= 0,
其中 0 ≤ S < T < +∞ . 因为
∂u ∂Ω 表示 u 在边 ∂n
= u ( x , 0 ) u0 ( x ) , u = u1 ( x ) , x ∈ Ω, t ( x, 0 )
= u(x ,t) ∂ = u(x , t ) 0, x ∈ ∂Ω, t ≥ 0, ∂n
其中 a, b, r , p > 0 均为实数，Ω 是 R N 中具有光滑边界 ∂Ω 的有界集， ∆ 是拉普拉斯算子 界 ∂Ω 外法线方向的导数。 A.Guesmia [1]曾考虑方程
m
r p
( Ω ) 表示 Sobolev 空间，其中范数为
u
H m (Ω)
= ∑ Dα u α ≤m
2
2 ， 2 L (Ω)
1
2 表示 L2 ( Ω ) 中的范数，并且用范数 ∆ ⋅ 代替 H 0 ( Ω ) 中的范数 ⋅
∞ H 0M ( Ω ) 代表 H m ( Ω ) 中 C0 ( Ω ) 的闭包。为方便起见，今后用 ⋅ p 表示 Lebesgue 空间 Lp ( Ω ) 中的范数， ⋅
2 H0 (Ω)
。此外， M 表示依赖于已知常数的
正数，且在不同点处的含义有所不同。
2. 预备知识
问题(1.1)~(1.3)解局部和整体解存在的重要结果([11])。 定理 2.1 假设 r , p > 0 满足
15
一类非线性阻尼 Petrovsky 方程整体解的能量衰减估计
0 < p < +∞, N ≤ 4; 0 < p ≤
p
2
(2.2)
2 ( p + 2) 2 设 θ = 1 − bC*p + 2 E (u ( 0)) , p
则由(2.6)得 0 < θ < 1 ，因此根据(2.2)，有
b u
同样由(2.3)，知
I (u ) = ∆u − b u
2 p+2 p+2
p+2 p+2
≤ (1 − θ ) ∆u .
2 1 b J (u ) = J ( u ( t ) ) =∆u ( t ) − u (t ) 2 p+2
,
问题(1.1)~(1.3)的能量表示为
E (= u (t ))
2 2 p+2 2 1 1 b 1 ut ( t ) + ∆u ( t ) − u ( t= ut ( t ) + J ( u ( t ) ) ) p+2 2 2 2 p+2
+∞
F (t )
− 2
β +1
2
dt ≤ AF ( S ) , 0 ≤ S ≤ +∞ ,
则当 β > 1 时有 F ( t ) ≤ CF ( 0 )(1 + t )
β −1
且当 β = 1 时有 F ( t ) ≤ CF ( 0 ) e −ωt , ∀t ≥ 0 ， 其中 C 和 ω , ∀t ≥ 0 ，
(
r
) u =b u
t
p
u 在有界区域的初边值问题。利
关键词
阻尼波方程，初边值问题，整体解，能量衰减估计
1. 引言
本文主要考察一类带耗散项和源项的波方程初边值问题的整体的衰减稳定性：
utt + ∆ 2 u + a 1 + = ut ut b u u , x ∈ Ω, t > 0,
(
r
)
p
(1.1) (1.2) (1.3)
d E (u (t )) = −a ut ( t ) dt
(
r +2 r +2
+ ut ( t )
2
) ≤ 0.
因此， E ( u ( t ) ) 是关于 t 的非增函数。 引理 2.3 ([1])设 F : R + → R + 是一个非增函数，并假设存在常数 β ≥ 1 和 A > 0 满足
∫S
是不依赖 F ( 0 ) 的正常数。
2 = 这里 u ∈ H 0 ( 0)) (Ω) , t ≥ 0 ， E (u
1 2 u1 + J ( u0 ) 是初始总能量。 2 为了证明主要结果，我们需要下面的一些引理： 2N 引理 2.1 设 q 满足 2 ≤ q < +∞, N ≤ 4 或者 2 ≤ q ≤ , N > 4 ，则存在依赖于 Ω 和 q 的常数 C 满足 N −4
Keywords
Damping Wave Equation, Initial-Boundary Equation, Global Solution, Energy Decay Estimate
一类非线性阻尼Petrovsky方程整体解的 能量衰减估计
陈
1 2
振1，王
瑞1，钞雅丽2
河南农业大学信息与管理科学学院，郑州 河南省体育运动学校，郑州 Email: hn-chenzhen@sohu.com
u
q 2 ≤ C ∆u , ∀u ∈ H 0 (Ω).
引理 2.2 设 u ( t ) 是问题(1.1)~(1.3)的一个解，则 E ( u ( t ) ) 是 t > 0 的非增函数，且
r +2 d E (u (t )) = −a ut ( t ) r + 2 + ut ( t ) dt
(
2
).
证明：用方程(1.1)乘以 ut ，并在 Ω 上积分得
p+2 *
p
且 I ( u ( t ) ) ≥ θ ∆u ( t ) ≥
2
(1 − θ )
θ
b u (t )
p+2 p+2
, ∀t ∈ [ 0, +∞ ) 。
证明：由引理 2.1 得
b u
p+2 p+2
≤ bC
p+2
∆u = bC
p
p+2
p+2
∆u
p
∆u
2
≤ bC
p+2 *
2 ( p + 2) 2 E ( u ( 0 ) ) ∆u p
收稿日期：2014年12月5日；修回日期：2014年12月31日；录用日期：2015年1月8日
Baidu Nhomakorabea
14
一类非线性阻尼 Petrovsky 方程整体解的能量衰减估计
摘
要
本文主要研究非线性阻尼Petrovsky方程 utt + ∆ 2 u + a 1 + ut 用V. Komornik引理得到整体解的能量衰减估计。
utt + ∆ 2 u + q ( x ) u + g ( = ut ) 0, x ∈ Ω, t > 0
(1.4)
在(1.2)和(1.3)下的初边值问题，其中 g 是连续增函数， g ( 0 ) = 0 ，且 q : Ω → [ 0, +∞ ) 是有界函数。在 函数 g 适当的增长性条件下，他得到了问题弱强解的衰减性结果。具体地说，在[2]中，A.Guesmia 获得 了 g 为线性函数时问题解的指数衰减性结论，但是衰减具有相同的多项式次数。另外，A.Guesmia 在[3] 中对耦合半线性波动方程的研究中也得到了相关结果。将(1.4)中条件 q ( x ) u + g ( ut ) 换做 ∆ 2 ut + ∆g ( ∆u ) ， M. Aassila 和 A. Guesmia [4]利用 V.Komornik 引理获得了指数衰减定理[1]。 针对非线性阻尼波动方程 utt − ∆u + a ut ut = bu u ， 其 Cauchy 问题和初边值问题解的爆破和整体解 的存在性、唯一性和衰减估计，已被众多学者通过各种方法或在不同条件下进行了研究[5]-[10]。本文运 用 V. Komornik 引理[1]得到了问题整体解的能量衰减估计。 我们采用通常的符号记法。设 H