一类具非线性源项的波动方程解的爆破研究

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具有非线性阻尼及源项的波动方程解的存在性与爆破

【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
1 引言
utt+a|ut|m+1ut-Δu=b|u|p+1u为具有非线性阻尼及源项的波动方程.文献[1-2]中，对a=0时波动方程的Dirichlet初边值问题进行了讨论，并对其解在相应空间的存在性与爆破性作了阐述.对方程的Cauchy问题,文献[3-4]就其能量估计进行了深入讨论.文献[5-6]中对型如utt+δut-φ(x)Δu=λ u|u|p-1的非线性波动方程的第一类边值问题解的爆破作了深入讨论.文献[7]中利用能量方法和微分、积分不等式技巧，讨论半线性波动方程具非线性Neumann边界条件的混合问题解的爆破性质.文献[8]中讨论了当a=1、b=1时齐次Dirichlet初边值问题解的存在与爆破问题.本文主要讨论a=1、b=1时，在m和p满足一定条件情况下，如下初边值问题的波动方程解的存在性与爆破：
u(t,x)∈L ，ut(t,x)∈L(0,T;L2(Ω))∩Lm+1(0,T;Lm+1(Ω)).
定理2 假设当N≥3时，当N≤2时，p>1;当1<m<p，且初值足够大，函数q(s)(s∈R1)满足λ Q(s)≤0及λ[q(s)-2Q(s)]≤0,问题(1)的解在有限时间内爆破.其中Q(s)=q(τ)பைடு நூலகம்τ.
具有非线性阻尼及源项的波动方程解的存在性与爆破
李爱萍;杨慧
【摘要】In this paper,the initial-boundary value problem of wave equation with nonlinear damped and source terms was considered and the existence of the weak solutions for the equation with nonlinear Neumann boundary value was proved by Faedo-Galerkin method. Moreover,the blowing-up conditions of the solution were given.%应用 Faedo-Galerkin方法，证明了一类具有非线性阻尼及源项的波动方程非线性 Neu-mann边界条件初边值问题弱解的存在性，并给出了此问题解的爆破条件。

一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2022,35(3):544-552一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破温兰,杨晗(西南交通大学数学学院,四川成都611756)摘要：本文研究带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程的初边值问题.首先利用Galerkin方法证明方程局部解存在性;然后结合势井方法得出初值在稳定集中时方程整体解的存在性;最后再通过构造合适的辅助泛函,证明当初始能量满足适当条件时解在有限时刻的爆破.关键词：抛物方程;对数非线性源项;整体解;爆破中图分类号：O175.26AMS(2010)主题分类：35B45;35K55文献标识码：A文章编号：1001-9847(2022)03-0544-091.引言本文研究如下带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程的初边值问题|u t|r−2u t−∆u t−div(|∇u|p−2∇u)=|u|q−2u ln|u|,x∈Ω,t>0,u(x,t)=0,x∈∂Ω,t>0,u(x,0)=u0(x),x∈Ω,(1.1)其中r>1,p>2,q>2,u0(x)∈W1,p(Ω),Ω是R n(n≥1)中具有光滑边界∂Ω的有界区域.当方程(1.1)中r=2,p=2时,XU和SU[1]研究如下半线性伪抛物方程的初边值问题:u t−∆u−∆u t=u q,x∈Ω,t>0,(1.2)利用势井方法得出方程整体解的存在性并得到解在有限时刻的爆破.近年来,含对数非线性源项的抛物方程已引起大量学者的研究.CHEN等[2]中研究了带对数非线性源项的伪抛物方程初边值问题:u t−∆u−∆u t=u ln|u|,x∈Ω,t>0.(1.3)因对数非线性u ln|u|不满足Payne和Sattinger[3]中提出的多项式增长条件,此时经典势井方法不完全适用.文[2]通过势井方法及对数索伯列夫不等式证明方程整体解的存在性,并用凸方法证明解在无穷时刻爆破.通过比较得出多项式非线性项对此类伪抛物方程解在有限时刻的爆破有更为重要的影响.随后,文[4-5]中将上述带对数非线性源项的方程拓展到p-Laplace情形. LE等[5]中研究了如下含对数非线性源项的p-Laplace伪抛物方程的初边值问题:u t−∆u t−div(|∇u|p−2∇u)=|u|p−2u ln|u|,x∈Ω,t>0.(1.4)利用势井方法及对数索伯列夫不等式证明了当p>2时方程整体解的存在性,并用凸方法得出此时解在有限时刻的爆破.而CAO等[6]中利用Galerkin方法证明了当1<p<2时方程整体解∗收稿日期：2021-07-07基金项目：国家自然科学基金(11701477,11971394)作者简介：温兰,女,汉族,四川人,研究方向：偏微分方程.第3期温兰等：一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破545的存在性并得出此时解在无穷时刻的爆破.当p-Laplace项与对数非线性项的指数不同时,对数索伯列夫不等式不再完全适用.文[7-9]中主要研究下述带对数非线性源项的p-Laplace伪抛物方程的初边值问题:u t−∆u t−div(|∇u|p−2∇u)=|u|q−2u ln|u|,x∈Ω,t>0.(1.5) HE等[7]用Galerkin方法证明当2<p<q<p(1+2n)时,方程局部弱解的存在唯一性,并结合势井方法证明了方程整体解的存在性,最后得出解的H1(Ω)范数在有限时刻的爆破.而DAI 等[8]对上述结果进行推广主要得出在不同的初始能量下弱解在有限时刻爆破的上界及下界.对于拟线性情形,Pucci和Serrin[10]中研究如下方程的初边值问题,A(t)|u t|m−2u t−∆u+f(x,u)=0,x∈Ω,t>0,(1.6)其中m>1,A∈C(J→R N×N),f∈C(Ω×R N→R N)且满足(f(x,u),u)≥0,得出方程强解的整体存在性和当t→∞时强解的渐近稳定性.当上述方程(1.6)中f(x,u)=−|u|p−2u时, PANG等[11]中用Galerkin方法证明了当p>2时初值在稳定集中时方程整体解的存在性,再通过构造辅助泛函得出当1<m<p,E(0)<0时解在有限时刻的爆破.基于上述结论,本文研究方程(1.1)初边值问题,主要考虑非线性项指数之间的竞争与∆u t项对方程解的存在性和爆破的影响.首先用Galerkin方法证明当非线性项指数满足适当条件时方程局部解的存在性;然后结合势井方法证明初值在稳定集中时方程整体解的存在性;最后通过构造辅助泛函证明解在有限时刻的爆破.本文结构安排如下:第二部分介绍一些符号和引理;第三部分给出局部解和整体解存在性;第四部分证明解在有限时刻爆破.2.准备工作本节给出证明过程中所需的符号、引理和定义.在本文中,我们将L p(Ω)的范数记为∥·∥p(1<p<∞),(·,·)为L2(Ω)中的内积,W1,p0(Ω)的范数记为∥·∥W1,p(Ω),W−1,p′(Ω)为W1,p(Ω)的对偶空间.记p∗={∞,n≤p,npn−p,n>p.(2.1)若2<p<q<p∗(2.2)成立,对于任意α满足0<α<{∞,n≤p,npn−p−q,n>p.(2.3)定义r(α):=(αB q+αα)1q+α−p,(2.4)其中,Bα为W1,p(Ω) →L q+α(Ω)的最佳嵌入常数.并定义如下泛函:J(t)=J(u(t)):=1p∥∇u∥p p−1q∫Ω|u|q ln|u|d x+1q2∥u∥qq.(2.5)I(u):=∥∇u∥pp −∫Ω|u|q ln|u|d x.(2.6)定义N:={u∈W1,p(Ω)\{0}:I(u)=0}.(2.7)d:=infu∈NJ(u).(2.8)546应用数学2022其中N 代表Nehari 流形,d 为势井深度.类似文[7]中引理1和引理2证明可知:集合N 非空,常数d 存在且大于0.由(2.5)和(2.6)可得J (u )=1q I (u )+q −p pq ∥∇u ∥p p +1q 2∥u ∥qq .(2.9)定义以下稳定集和非稳定集W :={u ∈W 1,p0(Ω)|I (u )>0,J (u )<d }∪{0},(2.10)V :={u ∈W 1,p0(Ω)|I (u )<0,J (u )<d }.(2.11)下面给出证明过程所需引理,详细证明过程可参考文[9].引理2.1[9]假设(2.2)成立,u ∈W 1,p0(Ω)\{0}.则对于任意α满足(2.3),有:(i)如果0<∥∇u ∥p ≤r (α),则I (u )>0;(ii)如果I (u )≤0,则∥∇u ∥p >r (α).引理2.2[9]假设(2.2)成立,定义r ∗:=sup r (α),r ∗:=sup σ(α),其中α满足(2.3),σ(α)=(ακq +α)1q +α−p |Ω|αq (q +α−p ),κ为u ∈W 1,p 0(Ω) →L q (Ω)的最佳嵌入常数.则不等式0<r ∗<r ∗<∞成立.引理2.3[9]假设(2.2)成立,u ∈W 1,p(Ω)\{0},则有:(i)如果0<∥∇u ∥p <r ∗,则I (u )>0;(ii)如果I (u )≤0,则∥∇u ∥p ≥r ∗.引理2.4[9]假设(2.2)成立,则有d ≥M :=q −p pq r p∗.(2.12)为得到对数非线性项估计,引入如下不等式.引理2.5[4]设µ>0,则有不等式(i)s p ln s ≤1eµs p +µ,s ≥1;(ii)|s p −1ln s |≤(e (p −1))−1,0<s <1.下面给出方程(1.1)弱解和解在有限时刻爆破的定义.定义2.1假设u 0∈W 1,p(Ω),T >0.如果u (x,0)=u 0(x ),函数u =u (x,t )∈L ∞(0,T ;W 1,p 0(Ω)),u t ∈L r (0,T ;L r (Ω))∩L 2(0,T ;H 10(Ω)),有∫Ω|u t |r −2u t v d x +∫Ω∇u t ∇v d x +∫Ω|∇u |p −2∇u ∇v d x =∫Ω|u |q −2u ln |u |v d x (2.13)对于任意v ∈W 1,p0(Ω)∩L r (Ω)∩L q (Ω)，t ∈(0,T )成立,则称u 为方程(1.1)在Ω×(0,T )上的一个弱解.注2.1区间[0,T ]称为弱解的存在区间,记其存在时间T 的上确界为T max ,称T max 为解的生命跨度.定义2.2设u 为方程(1.1)的一个弱解.若u 的生命跨度T max <∞,且有lim t →T max∥u (t )∥W 1,p 0(Ω)=∞(2.14)成立,则称u 在有限时刻爆破.3.解的存在性这节将给出当非线性项指数满足适当条件时方程(1.1)局部解和整体解的存在性.定理3.1假设2<p <q <p (1+2n ),1<r <p ∗成立,u 0∈W 1,p 0(Ω),则方程(1.1)在Ω×(0,T )上存在弱解u 满足u =u (x,t )∈L ∞(0,T ;W 1,p 0(Ω)),u t ∈L r (0,T ;L r (Ω))∩L 2(0,T ;H 10(Ω)).证用Galerkin 方法证明,证明过程分为三步.步1逼近问题.设{w j }j =1,2,···为满足狄利克雷边界条件的Laplace 算子的特征函数,即{−∆w j =λw j ,x ∈Ω,w j =0,x ∈∂Ω,第3期温兰等：一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破547选取{w j}∞j=1为W1,p0(Ω)中的一组基且在L2(Ω)中是标准正交的.构造方程(1.1)的近似解u m(t)=m∑j=1g jm(t)w j(x),m=1,2,···,满足下面的常微分方程{(|u mt|r−2u mt,w j)−(∆u mt,w j)−(∇(|∇u m|p−2∇u m),w j)=(|u m|q−2u m ln|u m|,w j),(u m(0),w j)=ξjm,(3.1)其中j=1,2,···,m,ξjm为给定的常数.当m→∞时满足u m(0)=m∑j=1ξjm w j(x)→u0,强收敛于W1,p(Ω).(3.2)由u0∈W1,p0(Ω),{w j}∞j=1为W1,p0(Ω)中的一组正交基可知ξjm存在.由常微分方程相关理论可得:存在T>0且仅依赖于ξjm,j=1,2,···,m,使得g jm∈C′(0,T),g jm(0)=ξjm,因此存在u m∈C′((0,T);W01,p(Ω)).步2先验估计.将方程(3.1)两边同乘以g jm(t),对j从1到m求和可得(|u mt|r−2u mt,u m)+(∇u mt,∇u m)+(|∇u m|p−2∇u m,∇u m)=(|u m|q−2u m ln|u m|,u m),(3.3)即有∫Ω|u mt|r−2u mt u m d x+12dd t∥∇u m∥22+∥∇u m∥p p=∫Ω|u m|q ln|u m|d x,(3.4)再将上式对t积分可得S m(t)=S m(0)+∫t0∫Ω|u m(τ)|q ln|u m(τ)|d x dτ,(3.5)其中S m(t)=12∥∇u m∥22+∫t∫Ω|u mt(τ)|r−2u mt(τ)u m(τ)d x dτ+∫t∥∇u m(τ)∥p p dτ.(3.6)由引理2.5可得∫Ω|u m|q ln|u m|d x≤∫Ω1|u m|q ln|u m|d x+∫Ω2|u m|q ln|u m|d x≤(eµ)−1∫Ω2|u m|q+µd x≤(eµ)−1∥u m∥q+µq+µ,(3.7)其中Ω1={x∈Ω:|u(x,t)|<1},Ω2={x∈Ω:|u(x,t)|≥1}.由G-N不等式和Young不等式可得∫Ω|u m|q ln|u m|dx≤C∥∇u m∥θ(q+µ)p∥u m∥(1−θ)(q+µ)2≤ε∥∇u m∥p p+C(ε)∥u m∥p(1−θ)(q+µ)p−θ(q+µ)2,(3.8)其中ε∈(0,1),θ=(12−1q+µ)(1n−1p+12)−1,选取µ使得0<µ<p(1+2n)−q,则有θ(q+µ)<p成立.令α=p(1−θ)(q+µ)2[p−θ(q+µ)]=p(n+q+µ)−n(q+µ)p(n+2)−n(q+µ).(3.9)由假设2<p<q+µ<p(1+2n )可得α>1.故由(3.8)结合嵌入定理可得∫Ω|u m|q ln|u m|d x≤ε∥∇u m∥p p+CC(ε)∥∇u m∥2α2.(3.10)故由(3.5),(3.6),(3.10)可得S m(t)=C1+C2∫t0Sαm(τ)dτ,(3.11)548应用数学2022其中C 1,C 2为不依赖于m 的正常数.因此由Gronwall-Bellman-Bihari 积分类型不等式知:存在常数T <C 1−α1C 2(α−1)使得S m (t )≤C T ,∀t ∈[0,T ],(3.12)由此可得∥∇u m ∥22≤C T ,∀t ∈[0,T ].(3.13)再将方程(3.1)两边同乘g ′jm (t ),对j 从1到m 求和可得∫t 0∥u mt (τ)∥rr d τ+∫t∥∇u mt (τ)∥22d τ+J (u m (t ))=J (u m (0)),0≤t ≤T.(3.14)由泛函J 的连续性,结合(3.2)可得,存在常数C >0,满足J (u m (0))≤C,(3.15)故由(2.5),(3.10),(3.13)可得J (u m )=1p ∥∇u m ∥p p −1q ∫Ω|u m |q ln |u m |d x +1q 2∥u m ∥q q ≥(1p −εq )∥∇u m ∥pp −C T +1q2∥u m ∥q q .(3.16)由(3.14)-(3.16),存在T >0,∀t ∈[0,T ]有∥∇u m (t )∥p p ≤C T ,(3.17)∫t0∥u mt (τ)∥r r d τ≤C T ,(3.18)∫t0∥∇u mt (τ)∥22d τ≤C T .(3.19)由引理2.5并结合(3.17)可得∫Ω|u m |q −2u m ln |u m |q q −1d x =∫Ω1|u m |q −2u m ln |u m | q q −1d x +∫Ω2 |u m |q −2u m ln |u m | q q −1d x ≤(e (q −1))−q q −1|Ω|+(eµ)−q q −1∫Ω2|u m |(q −1+µ)qq −1d x≤(e (q −1))−qq −1|Ω|+(eµ)−qq −1(C ∗)(q −1+µ)qq −1∥∇u m ∥(q −1+µ)qq −1p≤C T ,(3.20)其中选取µ>0使得(q −1+µ)qq −1<p ∗,C ∗为W 1,p 0(Ω) →L (q −1+µ)qq −1(Ω)的最佳嵌入常数.由(3.18)可得∫t 0∫Ω |u mt |r −2u mt r r −1d x d τ=∫t 0∫Ω|u mt |r d x d τ=∫t∥u mt ∥r r d τ≤C T .(3.21)步3取极限.由(3.17)-(3.21)得:存在函数u ∈L ∞(0,T ;W 1,p0(Ω)),u t ∈L r (0,T ;L r (Ω))∩L 2(0,T ;H 10(Ω))和序列{u m }∞m =1使得u m →u 弱*收敛于L ∞(0,T ;W 1,p0(Ω)),(3.22)u mt →u t 弱收敛于L r (0,T ;L r (Ω)),(3.23)u mt →u t 弱收敛于L 2(0,T ;H 10(Ω)),(3.24)|u m |q −2u m ln |u m |→χ1弱*收敛于L ∞(0,T ;Lqq −1(Ω)),(3.25)|u mt |r −2u mt →χ2弱收敛于L rr −1(0,T ;L rr −1(Ω)).(3.26)由假设1<r <p ∗,有W 1,p0(Ω) →L r (Ω),结合(3.22),(3.23)由Aubin-Lions-Simon 紧性定理得u m →u 强收敛于L ∞(0,T ;L r (Ω)).(3.27)第3期温兰等：一类带对数非线性源项的p -Laplace 抛物方程解的存在性与爆破549由此可得u m →ua .e .(x,t )∈Ω×(0,T ),(3.28)|u m |q −2u m ln |u m |→|u |q −2u ln |u |a .e .(x,t )∈Ω×(0,T ),(3.29)结合(3.25),(3.29)可得χ1=|u |q −2u ln |u |.设Au =−div(|∇u |p −2∇u ),易证A 为严格单调半连续有界的强制性算子(可参考文[12]).则由(3.27)结合单调算子理论可得Au m →Au 弱*收敛于L ∞(0,T ;L rr −1(Ω)).(3.30)下证χ2=|u t |r −2u t .结合(3.25),(3.26),(3.30),对方程(3.1)两边取极限,再同乘g ′jm ,对j 求和得(χ2,u t )+(∇u t ,∇u t )+(Au,u t )=(|u |q −2u ln |u |,u t ),(3.31)再对方程(3.1)同乘g ′jm ,对j 求和再令m →∞得lim m →∞(|u mt |r −2u mt ,u mt )+(∇u t ,∇u t )+(Au,u t )=(|u |q −2u ln |u |,u t ),(3.32)结合(3.31),(3.32)可得lim m →∞(|u mt |r −2u mt ,u mt )=(χ2,u t ).(3.33)利用函数|s |r −2s (s ∈R )的非减单调性可得(|u mt |r −2u mt −|ψ|r −2ψ,u mt −ψ)≥0,(3.34)对于任意ψ∈L r (Ω)成立,由此可得(|u mt |r −2u mt ,ψ)+(|ψ|r −2ψ,u mt −ψ)≤(|u mt |r −2u mt ,u mt ),(3.35)对上式令m →∞得(χ2−|ψ|r −2ψ,u t −ψ)≥0.(3.36)要证χ2=|u t |r −2u t ,利用函数|s |r −2s (s ∈R )的半连续性.令ψ=u t −aϕ，a ≥0,任意ϕ∈L r (Ω)，则有(χ2−(u t −aϕ)r −2(u t −aϕ),ϕ)≥0,(3.37)令a →0得(χ2−|u t |r −2u t ,ϕ)≥0,∀ϕ∈L r (Ω),(3.38)令ψ=u t −aϕ，a ≤0,任意ϕ∈L r (Ω),同理可得(χ2−|u t |r −2u t ,ϕ)≤0,∀ϕ∈L r (Ω),(3.39)结合(3.38),(3.39)即可得χ2=|u t |r −2u t .综上所述,由{w j }为W 1,p0(Ω)中的一组基,方程(3.1)中令m →∞可得(|u t |r −2u t ,v )+(∇u t ,∇v )+(|∇u |p −2∇u,∇v )=(|u |q −2u ln |u |,v ),(3.40)对于任意t ∈(0,T ),v ∈W 1,p0(Ω)成立.定理3.2假设2<p <q <p (1+2n ),1<r <p ∗成立,u 0(x )∈W 1,p 0(Ω),J (u 0)<d ,I (u 0)>0,则方程(1.1)在Ω×(0,T )上存在整体弱解u 满足u ∈L ∞(0,∞;W 1,p0(Ω)),u t ∈L r (0,∞;L r (Ω))∩L 2(0,T ;H 10(Ω)).证选取{w j }∞j =1,{u m }，{u 0m }为定理3.1证明过程中的情形.将方程(3.1)两边同乘g ′jm ,对j 从1到m 求和,再关于t 积分可得∫t 0∥u mt (τ)∥r r d τ+∫t∥∇u mt (τ)∥22d τ+J (u m (t ))=J (u m (0)),0≤t ≤T.(3.41)550应用数学2022由g jm (0)=ξjm ,当m →∞时,u 0m 强收敛到u 0,因此有lim m →∞J (u m (0))=J (u 0)<d,lim m →∞I (u m (0))=I (u 0)>0.(3.42)则对于充分大的m ,有∫t 0∥u mt (τ)∥r r d τ+∫t∥∇u t (τ)∥22d τ+J (u m (t ))=J (u m (0))<d,0≤t ≤T,(3.43)I (u m (0))>0.(3.44)由此可得,对于充分大的m ,u m (0)∈W .下证对于充分大的m ,∀t ∈[0,T ],有u m (t )∈W 成立.若不成立,则存在t 0∈[0,T ]使得u m (t 0)∈∂W ,此时有u m (t 0)∈W 1,p0(Ω),且J (u m (t 0))=d 或I (u m (t 0))=0.若J (u m (t 0))=d ,而由(3.43)得J (u m (t 0))<d ,矛盾;若I (u m (t 0))=0,此时u m (t 0)∈N ,由d 的定义可得J (u m (t 0))≥d ,显然与(3.43)矛盾.故对于充分大的m ,∀t ∈[0,T ],有u m (t )∈W 成立.因u m (t )∈W ,有I (u m )>0,结合方程(2.5)和(3.43),对于充分大的m ,有∫t 0∥u mt (τ)∥r r d τ+∫t∥∇u mt (τ)∥22d τ+q −p pq ∥∇u m (t )∥p p +1q 2∥u m (t )∥qq <d,0≤t ≤T,(3.45)由此可得∥∇u m (t )∥pp ≤pq q −p d,∫t∥u mt (τ)∥r r d τ≤d,∫t∥∇u mt (τ)∥22d τ≤d,∥u m (t )∥q q ≤q 2d,对于任意T >0,t ∈[0,T ]成立.再结合定理3.1的证明,定理3.2得证.4.爆破这部分将证明当非线性项指数满足适当条件时,分别在初始能量为负和具有正上界的正初始能量下,方程(1.1)解的W 1,p(Ω)范数在有限时刻爆破.定理4.1假设2<p <q <p (1+2n ),1<r <min {p ∗,2pq −2q p +pq −2q},且0<J (u 0)<M ≤d ,I (u 0)<0,则方程(1.1)的解的W 1,p(Ω)范数在有限时刻爆破.证定义辅助泛函H (t )=E 1−J (t ),(4.1)其中E 1满足0<J (u 0)<E 1<M ,M 如(2.12)中定义.结合(2.5),将方程(1.1)两边同乘以u t ,并在Ω上对x 积分可得J ′(t )=−∥u t ∥r r −∥∇u t ∥22≤0.(4.2)结合(4.1)和(4.2)可得H ′(t )=−J ′(t )=∥u t ∥r r +∥∇u t ∥22≥0,(4.3)则有H (t )≥H (0)=E 1−J (u 0)>0.(4.4)由假设知u 0∈V ,易证u ∈V ,即有I (u )<0.由引理2.3-2.5可得H (t )=E 1−J (u (t ))=E 1−1p ∥∇u ∥p p +1q ∫Ω|u |q ln |u |d x −1q 2∥u ∥q q≤q −p pq ∥∇u ∥p p −1p ∥∇u ∥pp +1q ∫Ω|u |q ln |u |d x −1q2∥u ∥q q ≤−1q ∥∇u ∥p p +1q ∫Ω|u |q ln |u |d x −1q 2∥u ∥q q ≤1q ∫Ω|u |q ln |u |d x ≤1qeα∥u ∥q +αq +α,(4.5)第3期温兰等：一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破551其中选取α如(2.3)中定义,有q+α<p∗,W1,p(Ω) →L q+α(Ω),由Bα为其最佳嵌入常数,则有∥u∥q+α≤Bα∥∇u∥p,(4.6)结合(4.5),(4.6)可得H(t)≤B q+ααqeα∥∇u∥q+αp.(4.7)将方程(1.1)两边同乘以u,并在Ω上对x积分,因I(u)<0,结合(2.5)和引理2.3,由H¨o lder不等式及Young可得0=∫Ω|u|q ln|u|d x−(∇u t,∇u)−∥∇u∥p p−(|u t|r−2u t,u)≥(1−1q )∫Ω|u|q ln|u|d x+(1p−1)∥∇u∥p p−(|u t|r−2u t,u)−ε∥∇u∥p p−C(ε)∥∇u t∥p p−1pp−1+1q2∥u∥q q+H(t)−E1≥(1−1q )∥∇u∥pp+(1p−1)∥∇u∥p p−(|u t|r−2u t,u)−ε∥∇u∥p p−C(ε)∥∇u t∥p p−1pp−1+1q2∥u∥q q+H(t)−E1≥(q−ppq −ε)∥∇u∥p p−E1−(|u t|r−2u t,u)−C(ε)∥∇u t∥p p−1pp−1+1q2∥u∥q q+H(t).(4.8)令ε充分小有0≥H(t)−(|u t|r−2u t,u)+1q2∥u∥q q−C(ε)∥∇u t∥p p−1pp−1,(4.9)因为p>2,有pp−1<2,结合(4.3)有∥∇u t∥p p−1pp−1≤C∥∇u t∥p p−12≤C[H′(t)]p2(p−1).(4.10)因为r<2pq−2qp+pq−2q ,则r<q,r<2+2p−2,故有rp2(r−1)(p−1)>1,且有q(2p+2r−rp−2)rp>1.因此结合(4.5)由H¨o lder不等式及Young不等式可得(|u t|r−2u t,u)≤∥u∥r∥u t∥r−1r ≤∥u∥1−q(2p+2r−rp−2)rpr∥u∥q(2p+2r−rp−2)rpr∥u t∥r−1r≤C1∥u∥1−q(2p+2r−rp−2)rpq+α∥u∥q(2p+2r−rp−2)rpq∥u t∥r−1r≤C2∥u∥q(2p+2r−rp−2)rpq∥u t∥r−1r[H(t)]1q+α−q(2p+2r−rp−2)rp(q+α)≤C3[ϵ∥u∥q q+C(ϵ)(∥u t∥r r)p2(p−1)]H−β(t)≤C4[ϵ∥u∥q q+C(ϵ)(H′(t))p2(p−1)]H−β(0),(4.11)其中ϵ>0,β=q(2p+2r−rp−2)rp(q+α)−1q+α>0.结合(4.9),(4.10),(4.11)可得0≥H(t)+1q2∥u∥q q−C4ϵH−β(0)∥u∥q q−C4C(ϵ)H−β(0)[H′(t)]p2(p−1)−CC(ε)[H′(t)]p2(p−1)≥H(t)+(1q2−C4ϵH−β(0))∥u∥q q−(C4C(ϵ)H−β(0)+CC(ε))[H′(t)]p2(p−1)≥H(t)+C1∥u∥q q−C2[H′(t)]p2(p−1),(4.12)其中C1=1q2−C4ϵH−β(0),C2=C4C(ϵ)H−β(0)+CC(ε).令ϵ充分小使得C1>0成立,则有C2[H′(t)]p2(p−1)≥H(t),(4.13)所以有H′(t)≥C[H(t)]2(p−1)p,C>0,(4.14)因为p>2,故2(p−1)p >1.令η=p−2p,有η>0,故有H′(t)≥C[H(t)]1+η,C>0.(4.15)552应用数学2022综合(4.7)和(4.15)可得:方程(1.1)解的W1,p(Ω)范数在有限时刻爆破.(Ω)范数在有注4.1对于J(u0)<0情形,在(4.1)中令H(t)=−J(t)同样可得出解的W1,p限时刻的爆破,证明过程大致同上,在此省略.参考文献：[1]XU Runzhang,SU Jia.Global existence andﬁnite time blow-up for a class of semilinear pseudo-parabolic equations[J].J.Funct.Anal.,2013,264(12):2732-2763.[2]CHEN Hua,TIAN Shuying.Initial boundary value problem for a class of semilinear pseudo-parabolicequations with logarithmic nonlinearity[J].J.Diﬀer.Equ.,2015,258(12):4424-4442.[3]PAYNE L E,SATTINGER D H.Saddle points and instability of nonlinear hyperbolic equations[J].Israel J.Math.,1975,22(3-4):273-303.[4]LE C N,LE X T.Global solution and blow-up for a class of p-Laplacian evolution equations withlogarithmic nonlinearity[J].Acta Appl.Math.,2017,151:149-169.[5]LE C N,LE X T.Global solution and blow-up for a class of pseudo p-Laplacian evolution equationswith logarithmic nonlinearity[J].Comput.Math.Appl.,2017,73(9):2076-2091.[6]CAO Yang,LIU Conghui.Initial boundary value problem for a mixed pseudo-parabolic p-Laplaciantype equation with logarithmic nonlinearity[J].Electron.J.Diﬀer.Equ.,2018,2018(116):1-19. [7]HE Yijun,GAO Huaihong,WANG Hua.Blow-up and decay for a class of pseudo-parabolic p-Laplacian equation with logarithmic nonlinearity[J].Comput.Math.Appl.,2018,75:459-469. [8]DAI Pan,MU Chunlai,XU Guangyu.Blow-up phenomena for a pseudo-parabolic equation withp-Laplacian and logarithmic nonlinearity terms[J].J.Math.Anal.Appl.,2020,481:123439.[9]DING Hang,ZHOU Jun.Global existence and blow-up for a mixed pseudo-parabolic p-Laplaciantype equation with logarithmic nonlinearity[J].J.Math.Anal.Appl.,2019,478:393-420.[10]PUCCI P,SERRIN J.Asymptotic Stability for Nonlinear Parabolic Systems[M]//Energy Methodsin Continuum Mechanics.Dordrecht:Kluwer Acad.Publ.,1996:66-74.[11]PANG Jinsheng,ZHANG Hongwei.Existence and nonexistence of the global solution on the quasi-linear parabolic equation[J].Chin.Quart.J.of Math.,2007,22(3):444-450.[12]ZHENG Songmu.Nonlinear Evolution Equations[M].The United States of America:CRC PressLLC,2004.Global Existence and Blow-up of Solutions for a Class of p-Laplacian Parabolic Equations with LogarithmicNonlinearityWEN Lan,YANG Han(School of Mathematics,Southwest Jiaotong University,Chengdu611756,China) Abstract:This paper is concerned with the initial boundary value problem of a class of p-Laplacian parabolic equations with logarithmic nonlinearity.Firstly,existence of local solutions are obtained by ap-plying Galerkin’s method.Then,combining with potential well method,it is proved that the solutions exist globally when initial value is in a stable stly,ﬁnite time blow-up results are derived as well by constructing auxiliary functional when the initial energy satisﬁes suitable conditions.Key words:Parabolic equation;Logarithmic nonlinearity;Global existence;Blow-up。

一类具记忆项的非线性Petrovsky方程解的爆破

一类具记忆项的非线性Petrovsky方程解的爆破胡文燕;杜晓英【摘要】考虑一类非线性Petrovsky方程的具Dirichlet边界条件的初边值问题.在假设松弛函数g和初值u0, u1满足适当的条件, 且初始能量为非正值时, 利用能量法证得其解在有限时间内爆破.%A nonlinear Petrovsky equation with initial conditions and Dirichlet boundary conditions is considered.Assuming that the relaxation function g satisfies the appropriate conditions and the initial energy is not positive, the energy method is used to prove that the solution blows up in finite time.【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(055)001【总页数】5页(P16-19,25)【关键词】非线性Petrovsky方程;松弛函数;记忆项;初始能量;爆破【作者】胡文燕;杜晓英【作者单位】晋中学院数学学院,山西晋中 030619;晋中学院数学学院,山西晋中030619【正文语种】中文【中图分类】O175.23Petrovsky型方程[1]可以解释很多重要的物理模型，许多学者对其解的整体存在性、渐进性、爆破性进行了大量研究[2-5].对于不带记忆项的非线性Petrovsky方程，文献[3-4]分别证明了其解在正的初始能量和负的初始能量下解的爆破性质.文献[6-7]通过对方程源项和非线性阻尼项相互作用的研究，对非线性Petrovsky方程爆破解的下界进行了估计.对于带有记忆项的Petrovsky方程，文献[8]证明了在负的初始能量下，松弛函数满足一定条件时解会发生爆破.文中首先推广文献[4,8]的结果，然后给出具记忆项的Petrovsky方程的初边值问题当初始能量为非正值时解的爆破性质.1 预备知识考虑非线性Petrovsky方程的初边值问题(1)其中p>2,Ω⊂Rn(n≥2)是具有光滑边界的有界区域，n是∂Ω的单位外法线方向. 假设函数g:R+R+ 满足1-g(τ)dτ=l>0,g(0)>0,且这里(4)类似于文献[4]，可利用Faedo-Galerkin方法证明初边值问题(1)解的存在性和唯一性，这里不再给出证明.定理1[4](局部存在定理) 假设g,p满足条件(2)～(4)，那么对于任意给定的总存在T*>0，使得初边值问题(1)存在唯一的局部解u(t)，满足：引理1 如果p满足条件(4),那么对于任意的存在正常数C1=C1(Ω,p)，使得‖u(t)‖p≤C1‖Δu(t)‖2.证明利用Sobolev嵌入定理和不等式，很容易证得结论成立. 】定义问题(1)的能量函数[9-11]其中(g∘Δu)(t)=g(t-τ)‖Δu(t)-Δu(τ)dτ.在(1)中方程两边同乘以ut，并利用格林公式可得下面引理.引理2 假设g,p满足条件(2)～(4)，且u(t)为初边值问题(1)的解，那么2 主要结果及证明考虑E(0)≤0的情形.若令H(t)=-E(t),显然有H′(t)=-E′(t)≥0,因此H(t)≥H(0)=-E(0)≥0.引理3 如果g,p满足条件(2)～(4)，且u(t)为问题(1)的解，那么对任意的t∈[0,T*)，存在常数C2=C2(p,l,C1)，使得‖u(t)≤C2‖u(t)，其中2≤s≤p.证明当‖u(t)‖p≥1时，由s≤p，显然不等式‖u(t)≤‖u(t)成立.当‖u(t)‖p≤1时，由引理1，有‖u(t)≤‖u(t)≤(C1‖Δu‖2)2.因为所以即存在常数C2=C2(p,l,C1)，使得不等式成立. 】定理2 假设g,p满足条件(2)～(4)，当E(0)≤0时，如果对于任意初值(u0,u1):u0≠0,u1≠0,有u0·那么存在T*>0，使得初边值问题(1)的解在有限时刻T*爆破.证明令u·utdx,对t求导，有由问题(1)，有从而进而由Young不等式，对于任意的η>0，有由(6)式，可得将上式代入(5)式，整理可得因为所以，由Young不等式，对于任意的ε1>0，有ut.取则从而其中B为常数.因为从而由Hölder不等式和Young不等式，有其中定义函数Ψ(t)=H1-α(t)+δG(t),t∈[0,T*),δ>0.则Ψ′(t)=(1-α)H-α(t)H′(t)+δG′(t).将(7)式和(8)式代入，有因为E(0)≤0,H′(t)=-E′(t)≥0,H(t)≥H(0)=-E(0)≥0，所以存在δ>0,γ>0，使得且从而Ψ(t)≥Ψ(0)>0,∀t∈[0,T*).令则其中取充分小的δ>0，则有由Cauchy-Schwarz不等式，有因为p>2，由Hölder不等式和Young不等式有这里，再由引理3，存在C6>0，使得因为(9)式成立,所以一定存在ξ>0，使得Ψ′(t)≥ξΨθ(t),(11)其中ξ=ξ(δ,γ,C6).对(11)式两端在[0,t]上积分，有又因为Ψ(0)>0，故一定存在使得】3 结束语许多学者对不带记忆项的非线性Petrovsky方程进行研究，得到在正的初始能量和负的初始能量下解的爆破结论.文中推广了文献[4,8]的结果，研究了带记忆项的情形，并得出当松弛函数和初值满足一定条件时，其解在非正的初始能量下在有限时间内会发生爆破.参考文献:【相关文献】[1] WU S T,TSAI LY.On global solutions and blow-up of solutions for a nonlinearly damped Petrovsky system[J].Taiwanese Journal of Mathematics,2009,13(2):545.[2] LI G,SUN Y N,LIU W J.Global existence and blow-up of solutions for a strongly damped Petrovsky system with nonlinear damping[J].Applicable Analysis,2012,91(3):575.[3] CHEN W,ZHOU Y.Global nonexistence for a semilinear Petrovsky equation[J].Nonlinear Analysis,2009,703:203.[4] MESSAOUDI S A.Global existence and nonexistence in a system of Petrovsky[J].J Math Anal Appl,2002,265:296.[5] LIU W J.Global existence,asymptotic behavior and blow-up of solutions for a viscoelastic equation with strong damping and nonlinear source[J].Topological Methods in Nonliner Analysis,2010,36(1):153.[6] ZHOU J.Lower bounds for blow-up time of two nonlinear wave equations[J].Applied Mathematics Letters,2015,45:64.[7] PHILIPPIN G A.Lower bounds for blow-up time in a class of nonlinear waveequation[J].Z Angew Math Phys,2015,66(1):129.[8] MESSAOUDI S A.Blow-up and global existence in a nonlinear viscoelastic wave equation[J].Math Nachr,2003,260:58.[9] LI F H,GAO Q Y.Blow-up of solution for a nonlinear Petrovsky type equation with memory[J].Applied Mathematics and Computation,2016,274:383.[10] TAHAMTANI F,SHAHROUZI M.Existence and blow up of solutions to a Petrovsky equation with memory and nonlinear source term[J].Boundary ValueProblems,2012,2012:50.[11] LI G,SUN Y,LIU W.On asymptotic behavior and blow-up of solutions for a nonlinear viscoelastic Petrovsky equation with positive initial energy[J].Journal of Function Spaces and Applications,2013,Artical ID 905867，7 pages.。

一个带有非局部源的非线性退化抛物型方程组解的爆破

ｕ：ｕ）ｕｖｕ），０们，（＋Ｊｄ，ｑ＋Ｊｄ，ｔ，－Ａａｎｘ产（ｂａｘｖＡ ∈ ＞他
证明了此方程组存在整体解的充要条件。
本文对带有非局部源的退化抛物型方程组
Ｆｊａｘｏｅｔａｄｏｅｄｍａｎｕｉｐｎｎｓｎｎｔｏｉ．ｔｅｈ
Ｋｅｒｓｎｎｏａｏｒｅｅｅｅａｅｐｒｂｌ；ｐｅｎｏｒｓｌｔｎ；ｇｏａｘｓｅｃ；ｙｗｏｄ：ｏｌｃｌｕｃ；ｄｇｎｒｔａａｏｉｕｐｒａｄｌｗｅｏｕｉｓｌｂｌｉｔｎｅｓｃｏｅ
Ｂｌｗ－ｐｆｒａＮｏｌｅｒＤｅｅｅａｅＰｒｂｌｕｔｎｔｎｏａｏｒｅｏｕｏｎｉａｇｎｒｔａａｏｉＥｑａｉｓｗｉＮｏｌｃｌｕｃｎｃｏｈＳ
ＺＨＡＮБайду номын сангаасＧｅ— ｕａＷｉｙｎ
ｂｔｌｉｇｓｎｕｒｓｌｔｏｅｈｑｅ．ｅｅｒｓｌｓｄｅｅｄｃｕｉｌｈｅｓｇｆｃｉｉａｙｕｉｉｎｕｂａｄｓｐｅｏｕｉｎｓｔｃｎｉｕｓＴｈｓｅｕｔｐｎｒｃａｌｏｎｔｉｎｏｒｔｃｌｚｙ
ｂｏｕｌｗ．ｐ
１预备知识
近年来．关于退化抛物型方程组的爆破问题许多国内外作者进行了研究。到了许多重要结果。Ｌｔ得ｉ】等讨论了方程组＝ △ ＋）ｔｕ（ｖｂ）其中Ｐ（ｕ，Ｖ＝ｑ＋ｖ，Ａ，

一类具非局部源抛物型方程解的爆破

w ( x, t ) = 0, w ( x, 0) = w0 ( x ) ,
仿文 [ 1 ], 容易证明 , 当初值 w0 ( x) 适当大时 , 问题 ( 3 ) 的解 w 必在有限时刻 Tw 爆破 . ( 3 ) 中 , 取 w0 ( x ) ≤ u0
( x) , 运用比较原理 , 我们知道 , 在 D ×( 0, T)上 , u (x, t) ≥w ( x, t) .
其中 T > 0 是 u 的最大存在时间 . + + 因为 α > 0, 由 α ( x) 的连续性 , 知 int Ωα ≠< , Ω Ω , α ( x) > 0 }. α : = { x∈
+ λ, x ∈D 对任意给定的子集 D < < Ω α , 存在常数 λ > 0 , 使得 :α ( x ) > Ω ∫ ut - Δ u = e
— 1 —
2 解在有限时刻爆破
定理 1 的证明 : 因 u0 ( x ) ≥0,
[ 0, T) . 由最大值原理 , 得
Ω; ut - Δ u ≥0, ( x, t ) ∈ Ω ×( 0, T) ; u ( x, t) = 0, ( x, t) ∈ 9 Ω × 0, x∈ Ω ×( 0, T) u ( x, t) > 0, ( x, t ) ∈
因此 , 对于适当大初值 u0 (x) , 问题 ( 1 )的解 u 在有限时刻爆破 .
3 解在区域内Βιβλιοθήκη 的一致爆破性质下面来证定理 2, 为了方便 , 我们记
t t
g ( t) =
α ( y ) u ( y, t ) d y, G ( t ) = Ω
∫
0
∫

一类带非线性边界条件的抛物型方程组解的整体存在及爆破

１引言及主要结论
本文研究了一类带有非线性边界条件的抛物型方程组
，ｔ＝Ｚ，＝Ｚ，Ｕｉｕｉｖ（， ×（，ｔ）∈ ０
｛Ｕ，，＝ｅ￣ｏ，，ｑＩｚ
Ｌ（，ｕｘ）＝Ｕ（）ＯｏＸ＞Ｏｖｘ）＝ｖ（）６＞０，，（Ｏｏ
（ ×，）（）０
∈ｎ
解的整体存在及爆破问题．构造方程组的上、解，到了解整体存在的一个充分条件及解在有限时刻爆破的一个充通过下得分条件．中ｎＲ有界光滑区域，占＞０可以充分小，ｎ是ａ的外法线方向．文恒假设其本
ＡｂｓｒｔＴｈｅｐａｅｅｅｒｈｅｅｉｓｏｏｌｍｓｗｈｃｏｖｈｇｏａｘｓｅｃｆｔｏｉｅｒｂｕｎｒｔａｃ：ｐｒｒｓａｃｓａｓｒｅｆｐｒｂｅｉｈｓｌｅｔｅｌｂｌｅｉｔｎｅｏｈｅｎｎｌｎａｏｄａｙ
（，）≥ 些，），（￡称（，，（，）（ｔ，（￡）≥ ，）（￡ｖｘ￡）和（，）ｖｘ）为（））（￡，（，）１在 ×［，）的一对有序上下解，Ｏ７上 ’ 如果下面不等式成立
ｓｆｃｅｔｃｎｔｏｆｓｌｉｇｔｅｇｏａｘｓｅｎｅａｈａｓｉｇｐｏｅｉｈｅｆｎｔｉｅｗｉｌｂａｎｅｕｉｎｏｄｉｉｎｓｏｏｖｎｈｌｂｌｅｉｔｃｎｄｔｅｂｌｔｎｒｂｌｍｎｔｉｉｅｔｌｏｔｉｄ．ｉｍｂｅＫｅｙｗｏｒ：ＮｏｎｉｅｒＢｏｄａｙＣｏｉｉｎｓＧｌｂａｏｕｔｏ；Ｂｌｗｄｓｌｎａｕｎｒｎｄｔｏ；ｏｌｓｌｉｎｓｏｕｐ

一类非线性抛物方程解的爆破与梯度爆破

＝
１引言及预备知识
在文［］，．Ｈｏｐｔ虑了如下非线性１中Ｐ．Ｓｕｌ考ｅ抛物方程
Ｕ一ＡＵ＝ＦＵ７Ｕ，ｔ＞０ ∈ ，（，），Ｕ，＝ｇ，）ｔ＞０ ∈ａ（ｔ）（ｔ，，，Ｕ，）＝ｕ（，（００） ∈ ，（）１
ｎ）厶） ≥ （ ≥。（ｄ厂
Ｊ）ｎ
解的爆破，以及初始值足够大时解的梯度也爆破．
关键词：爆破；梯度爆破；非线性抛物方程
中图分类号：１５２０７．６文献标识码：Ａ文章编号：０－３５２０）２１４０１１８９（０７０－５－００３
△ ＝Ａ１，
这里Ｐ＞ＩＡ＞０ｃ＞０，＞２是Ｒ，，Ｎ，中的有界
区， ∈ ０）』ｄ＜．域令（１则ｘ ∞ ，，
定理１的证明设豇ｔＪ（ｔ）ｘ（）＝，（ｄ，ｕ）
ａｏ（）≥ ｉｆ。）乘方程（）并在上积分得ｎｕ，（３
梯度爆破的一些结果．从２纪９０世０年代以来，类带有非线性边界一
ｓ∈ ［，，Ｓ０ ∞）０＝ｍｘｓｇ（）＝０，ａ｛ｌｎｓ｝
算子＝一△ ＋ｃ早期曾出现在ＫｅｎＧｒｏｌｉ．ｏｄｎ中．
定理１若
＜
＞０财方程（），２
定理１证毕．
定理２的证明
对方程（）定理２的证明分４，
成３个步骤．步骤１Ｌ上估计．设

一类非线性波动方程解的爆破问题

２定理叙述及其证明
定理假设ｎ．（，５．）足条件＜０。）９ｚ满（
Ｅ（）＝Ｊ（ｏ）
且下列条件之一满足
（）１Ａ＝０．＞１，
）＋＃）ＩＪｌｌ
．
ｐ（）
。＜０ｄ
（）２＞０ｌｈ５，＜ ≤
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第２０卷第２期２００２年４月
河南科
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Ａｐ０２ｒ２０
文章编号：０４３１｛０２０－１Ｉ３１０ —９８２０）２０１一０
一
类非线性波动方程解的爆破问题
宋长明，任华国，高桂芳
【中原工学院．１河南郑卅ｌ４００；２河南城建高等专科学校测量与国土信息系．５０７河南平顶山４７０）６０１
摘要：借助于能量估计方法证明了一娄非线性波方程的解在有限时刻ｂｗ－Ｐｌｕｏ
＋￣ｔｔ＋ｌｔｔｚｒ
＝ｆ＋Ｊ一２ “ ＪＪ、Ｊ
。』ｄ，ＪＪ０ｆ）
＝２０一（一Ｅ）
ｎｉｉ４Ｉ＋１ＩＩ “ 十＋：４Ｉ “ ｄ（ｒＵ）ｄｒ＋ｒ，
Ｉ１Ｉｆｄ≥Ｃ “ 一 “ １ＩＩ “ ｚＩ＞ＣＩ，Ｊ１Ｉ ≥｛Ｉ
（８
肿“ ）一 ≥
由（）得７式
≥ ＼ｘ）ｃ２ｕｄ＂￣ｒＯｄｕＯ ≥４ ≥ ㈩Ｃｃ

非线性黏弹性波动方程解的爆破

非线性黏弹性波动方程解的爆破寇伟【摘要】研究了带有非线性阻尼和源项的黏弹性波动方程解的存在性及爆破性问题。

特别地，该方程主部系数μ（t）是关于时间 t 的一个函数。

在假设条件下，获得了该问题局部解的存在性。

在局部解存在前提下，利用势井理论和能量方法证明了当初始能量有上界时，解在有限时间内爆破，并给出了关于解的爆破时间估计。

【期刊名称】《河南科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(038)001【总页数】5页(P88-92)【关键词】解的爆破;非线性黏弹性波动方程;变系数主部;势井理论【作者】寇伟【作者单位】山西大学数学科学学院，山西太原 030006【正文语种】中文【中图分类】O175.2考虑下面的初边值问题：近年来，许多学者已经研究过带有阻尼项的非线性波动方程的爆破问题[1-5]。

文献[6]考虑了非线性黏弹性波动方程：本文研究的是带有非线性阻尼和源项的非线性黏弹性波动方程的初边值问题。

特别地，与文献[6]相比，该方程的主部系数由常数1变为关于t的函数μ(t)，并将条件由负初始能量推广到带有正上界的初始能量。

在此基础上，参考文献[8-9]，用势井理论和能量方法证明了解的爆破，并给出了解的爆破时刻的一个估计。

本文使用的是标准的函数空间,p表示Lp(Ω)范数。

下面是本文用到的3个假设。

(H1)假设正实数m,p满足(H2)假设μ∈W2,∞(0,∞)∩W2,1(0,∞)几乎处处在[0,∞)满足(H3)假设g满足下列条件：首先,给出系统的能量:下面引进一些势井理论里的记号：注1：由上面势井定理的记号易知是G(λ)的最大值点,最大值。

下面给出解的局部存在性定理。

定理1 假设(H1)、(H2)和(H3)成立，(Ω)。

对一些T>0,初边值问题(1)至少存在一个弱解且下面给出证明中用到的4个引理，其证明过程与文献[8]类似。

引理1 如果p满足假设(H1)，对所有的，有,其中，K是索伯列夫(Sobolev)嵌入的最佳常数。

一类非线性Klein-Gordon方程初边值问题解的爆破

收稿日期：２０．１２０９１．０
作者简介：罗显康（７．男，１８）９，四川苍溪人，宜宾学院数学与应用数学系讲师，主要从事非线Ｉ发展方程的研究生基金项目：国家自然科学基金资助项目１３１２，０２１２宜宾学院青年基金．（０００６１２５０）；
２２
西南民族大学学报・自然科学版
第３卷６
ｐ＋１
（：，（）
于是与式（一３】（相关的初始能量为））
ｆＶｕ＋
ｆ１一
川
．
（＝。＝＋。（）１）（）
＋１一１ｐ１＋ｌ
将１边乘，后Ｑ［，上分得能恒式（两同以然在 ×０】积可到量等），（＝（．ｆＥ０））
其是（）中ｃ从Ｑ到
第１期
取Ｆ确界为这个数，此，
罗显康：一类非线性Ｋｅ．ｏｄｎ方程初边值问题解的爆破ｌｎＧｒｏｉ
ｄ＞０．
２３
现引不定＝ ∈ （）（＜，ｕｄ，有下质在入稳集Ｖ｛Ｑｌ）０（＜｝Ｖ如性．，Ｊ）
中图分类号：Ｏｌ５２７．９文献标识码：Ａ
ｌ引言
考虑如下非线性Ｋｅ — ｏｄｎ方程的初边值问题ｌｎＧｒｏｉ
ＵｆＡｕ＋ｕ＝ｔ－一“
，
∈Ｑ，＞０，
（１）（）２
ｕｘ）（）０＝，（０＝ｘ，，（，（）） ∈，Ｑｕｘ１０（ｔ，，＝ｘａ， ∈ ，０

具变指数非线性项的强阻尼波动方程的爆破

第62卷第1期吉林大学学报(理学版)V o l .62 N o .12024年1月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )J a n 2024d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2023090具变指数非线性项的强阻尼波动方程的爆破李海霞1,曹春玲2(1.长春师范大学数学学院,长春130032;2.吉林大学数学学院,长春130012)摘要:考虑一类具变指数非线性项的强阻尼波动方程的有限时刻爆破.借助凹方法和适当选取的参数,给出该问题的一个新的爆破准则,并给出爆破时间的上下界估计.结果表明,该爆破准则特别蕴含对任意高的初始能量,该问题存在有限时刻爆破解.关键词:强阻尼;波方程;变指数非线性项;爆破中图分类号:O 175.2 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2024)01-0078-09B l o w -u p t o S t r o n g l y D a m p e d W a v eE qu a t i o nw i t h V a r i a b l e -E x po n e n tN o n l i n e a rT e r m L IH a i x i a 1,C A O C h u n l i n g2(1.S c h o o l o f M a t h e m a t i c s ,C h a n g c h u nN o r m a lU n i v e r s i t y ,C h a n gc h u n 130032,C h i n a ;2.C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s ,J i l i nU n i v e r s i t y ,C h a n gc h u n 130012,C h i n a )A b s t r a c t :W e c o n s ide r e dt h ef i n i t e t i m eb l o w -u p t oas t r o ng l y d a m p e d w a v ee q u a t i o n w i t hv a r i a b l e -e x p o n e n t n o n l i n e a r t e r m.W i th t h e h e l p o f c o n c a v em e t h o d a n d a p p r o p ri a t e l y s e l e c t e d p a r a m e t e r s ,w e g a v e an e wb l o w -u p c r i t e r i o n f o r t h i s p r o b l e ma n d e s t i m a t e d t h e u p p e r a n d l o w e r b o u n d s o n t h e b l o w -u p t i m e .T h e r e s u l t s s h o wt h a t t h eb l o w -u p c r i t e r i o n c o n t a i n s s p e c i a l i m p l i c a t i o n s f o r a n y h i g h i n i t i a l e n e r g y ,a n d t h e p r o b l e mh a s a f i n i t e t i m eb l o w -u p s o l u t i o n s .K e y w o r d s :s t r o n g l y d a m p e d ;w a v e e q u a t i o n ;v a r i a b l e -e x p o n e n t n o n l i n e a r t e r m ;b l o w -u p 收稿日期:2023-03-20.第一作者简介:李海霞(1984 ),女,汉族,博士,副教授,从事偏微分方程的研究,E -m a i l :l i h a i x i a 0611@126.c o m.通信作者简介:曹春玲(1971 ),女,汉族,博士,副教授,从事偏微分方程的研究,E -m a i l :c a o c l @jl u .e d u .c n .基金项目:国家自然科学基金(批准号:11626044)和长春师范大学人才引进启动项目(批准号:长师大R C [2016]第008号).0 引言考虑如下具变指数非线性项的半线性强阻尼波方程的初边值问题:u t t -Δu -Δu t =u p (x )-2u ,x ɪΩ, t >0,u (x ,t )=0,x ɪ∂Ω, t >0,u (x ,0)=u 0(x ), u t (x ,0)=u 1(x ),x ɪΩìîíïïïï,(1)其中Ω⊂ℝn (n ȡ1)是具光滑边界∂Ω的有界区域,p (x )是Ω上的可测函数,u 0ɪH 10(Ω),u 1ɪL 2(Ω).目前,关于初边值问题u t t -Δu -ωΔu t +μu t =u p-2u ,x ɪΩ, t >0,u (x ,t )=0,x ɪ∂Ω, t >0,u (x ,0)=u 0(x ), u t (x ,0)=u 1(x ),x ɪìîíïïïïΩ(2)解的存在与非存在性㊁稳定性与爆破研究已取得了丰富的成果.例如:对非阻尼情形,即当ω=μ=0时,S a t t i n ge r [1]利用稳定集和不稳定集研究了问题(2)局部和整体解的存在性;B a l l [2]得到了该问题在负初始能量时的一个爆破结果;当ω=0,μ>0且适当小时,I k e h a t a [3]给出了问题(2)存在有限时刻爆破解的一个刻画;G a z z o l a 等[4]对问题(2)当参数满足ωȡ0,μ>-ωλ1时进行了系统研究,其中λ1>0是-Δ在H 10(Ω)上的第一特征值,对次临界和临界初始能量的情形,他们证明了整体解的存在与非存在性以及整体解的渐近性.此外,当ω=0,μȡ0时,文献[4]还证明了超临界初始能量情形下问题(2)有限时刻爆破解的存在性,但并未明确当ω>0时,问题(2)是否存在有限时刻爆破解.最近,Y a n g等[5]通过构造合适的泛函并选取恰当参数对上述问题给出了肯定回答.另一方面,具变指数的发展方程近年来也备受关注[6-9].关于具变指数的弱阻尼波动方程的爆破结果,M e s s a o u d i 等[10]考虑了如下波动方程:u t t -Δu +a u t m (x )-2u t =b u p (x )-2u ,(3)其中a 和b 是正常数,m (㊃)和p (㊃)是可测函数.在对问题(3)建立了弱解的存在唯一性之后,文献[10]得到了一个负初始能量时的有限时刻爆破结果.M e s s a o u d i 等[11]将上述爆破结果推广至如下拟线性弱阻尼波动方程上:u t t -d i v (∇u r (x )-2∇u )+a u t m (x )-2u t =b u p (x )-2u ,(4)此外,还将上述问题的爆破条件推广为适当小的正初始能量.对具变指数项的半线性或拟线性强阻尼波动方程的爆破研究目前也有一些结果.例如:A n t o n t s e v [12]研究了拟线性波动方程u t t -d i v (a (x ,t )∇u r (x ,t )-2∇u )-αΔu t =b u p (x ,t )-2u +f (x ,t ),(5)当参数和变指数满足一定条件时,证明了该问题弱解的局部存在性以及负初始能量条件下弱解的有限时刻爆破,但当初始能量非负时,对问题(5)是否存在有限时刻爆破解未给出回答;P a r k [13]研究了问题(5)的一个特例,即问题(1)的爆破性质,利用L e v i n e [14]的凹方法,得到了当初始能量有正上界时问题(1)的一个爆破结果.通过比较文献[4-5]与文献[13]的爆破结果易见,考虑问题(1)在高初始能量条件下的爆破有一定的意义.本文通过将文献[5]中的技巧与L e v i n e 凹方法相结合,给出问题(1)当初始能量可以被 ∇u 0 22+2(u 0,u 1)控制时的一个新的爆破准则.特别地,该爆破准则蕴含问题(1)存在具任意初始能量的有限时刻爆破解.此外,本文还给出爆破时间的上界估计.最后,借助一阶微分不等式技巧,得到爆破时间的一个下界.1 预备知识设p :Ωң[1,ɕ)是一个有界可测函数,并记p 1=e s s i n f x ɪΩp (x ), p 2=e s s s u p x ɪΩp (x ).变指数L e b e s gu e 空间L p (x )(Ω)定义为L p (x )(Ω)=u (x ):u 在Ω上可测,且存在λ>0使得ʏΩλu (x )p (x )d x <{}ɕ.该空间在被赋以范数(L u x e m b u r g 范数)u p (x )=i n f λ>0:ʏΩu (x)λp (x )d x ɤ{}1后成为一个B a n a c h 空间.用㊃ q 表示L q (Ω)空间的范数,用(㊃,㊃)表示L 2(Ω)上的内积,在H 10(Ω)中赋以如下内积和范数:<u ,v >=ʏΩ∇u ㊃∇v d x , u 2H 10(Ω)= ∇u 22,并用<㊃,㊃>*表示H -1(Ω)与H 10(Ω)之间的对偶积.此外,用λ1>0表示-Δ在Ω上具有齐次D i r i c h l e t 边界条件的第一特征值.从而97 第1期李海霞,等:具变指数非线性项的强阻尼波动方程的爆破λ1 u 22ɤ ∇u 22, ∀u ɪH 10(Ω).(6) 引理1[15]设p :Ωң[1,ɕ)是有界可测函数,且满足2ɤp (x )<ɕ, n =1,2;2ɤp 1ɤp (x )ɤp 2<2n n -2,n ȡ3.则嵌入关系H 10(Ω)L p (x )(Ω)是连续且紧的.本文考虑问题(1)在下述意义下的弱解u (x ,t ).在不产生歧义时,u (x ,t )也常被简记为u (t ).弱解的局部存在和唯一性可通过适当修改文献[4,10]中的方法得到.定义1[4,13] 如果u ɪC ([0,T ];H 10(Ω))ɘC 1([0,T ];L 2(Ω))ɘC 2([0,T ];H -1(Ω))满足u t ɪL 2(0,T ;H 10(Ω)),u (0)=u 0,u t (0)=u 1,且对任意的ϕɪH 10(Ω)及几乎所有的t ɪ[0,T ],均有<u t t (t ),ϕ>*+ʏΩ∇u (t )㊃∇ϕd x +ʏΩ∇u t (t )㊃∇ϕd x =(u (t )p (㊃)-2u (t ),ϕ),(7)则称u (x ,t )为问题(1)在[0,T ]上的一个弱解.假设条件:(H 1)设p (x )满足2<p 1ɤp (x )ɤp 2<2*,其中当n =1,2时,2*=ɕ,当n ȡ3时,2*=2n -2n -2;(H 2)对数型H öl d e r 连续性条件:存在A >0及δɪ(0,1),使得对几乎所有满足x -y <δ的x ,y ɪΩ,均有p (x )-p (y )ɤ-Al o g x -y. 定理1[13] 若假设条件(H 1),(H 2)成立,则对任意的u 0ɪH 10(Ω),u 1ɪL 2(Ω),问题(1)存在唯一弱解.记T m a x 为问题(1)弱解u =u (t )的最大存在时间,并定义能量泛函㊁N e h a r i 泛函与不稳定集分别为E (t )=E (u (t ))=12 u t 22+12∇u 22-ʏΩu p (x)p (x )d x , t ɪ[0,T m a x ),(8)I (u )= ∇u 22-ʏΩup (x )d x , u ɪH 10(Ω),(9)N -={u ɪH 10(Ω)I (u )<0}.(10)在式(7)中取ϕ=u t 可得能量恒等式:E (t )+ʏt 0∇u τ 22d τ=E (0), a .e .t ɪ[0,T m a x ).(11)式(11)表明E (t )关于t 在[0,T m a x )上是单调不增的.注1 设T m a x 是u (t )的最大存在时间,若T m a x <ɕ,则必有li m t ңT m a x∇u 2=ɕ.事实上,利用与文献[4]中证明定理3.1类似的讨论和连续延拓定理[16]可知,如果T m a x <ɕ,则l i m t ңT m a x∇u (t ) 22+ u t (t ) 22=+ɕ.(12)于是,由式(8),(11)和S o b o l e v 不等式可得12 u t (t ) 22+12∇u (t ) 22ɤE (0)+ʏΩu p (x )p (x )d x ɤE (0)+1p1ʏΩup (x )d x ɤE (0)+1p1ʏΩ(1+u p 2)d x ɤC 1+C 2 ∇u (t ) p22,(13)其中t ɪ[0,T m a x ),C 1,C 2是不依赖于u 的正常数.结合式(12)和式(13)易见l i m t ңT m a x∇u 2=ɕ.定义2 设u (t )是问题(1)的弱解,T m a x 是它的最大存在时间.若T m a x <ɕ,则称u(t )在有限时刻爆破,并称T m a x 是u 的爆破时间.若T m a x =ɕ,则称u(t )是整体存在的.2 主要结果引理2[14,17]假设ψ(t)是一个正的二次可微函数,且满足08 吉林大学学报(理学版) 第62卷ψᵡ(t )ψ(t )-(1+θ)(ψᶄ(t ))2ȡ0,其中θ>0.如果ψ(0)>0,ψᶄ(0)>0,则当t ңt *ɤt *=ψ(0)θψᶄ(0)时,ψ(t )ңɕ.受文献[5,18]启发,本文证明当初始能量可在上方被 ∇u 0 22+2(u 0,u 1)控制时,问题(1)的解在有限时刻爆破,并给出爆破时间的上界估计.定理2 若变指数p (x )满足假设条件(H 1),(H 2),初值u 0ɪH 10(Ω),u 1ɪL 2(Ω)满足u 0ɪN -,且 ∇u 0 22+2(u 0,u 1)>2p 1(1+λ1)(p1-2)λ1E (0).(14)则问题(1)的解u (t )在有限时刻爆破,且爆破时间T m a x 的上界满足如下估计:T m a x ɤ4[(a 2+(λ-2)2b 0 u 0 22)1/2+a ](λ-2)2b 0,(15)其中λ,a ,b 0是确定的常数.证明:证明过程分为4步.1)证明只要u (t )ɪN -,则函数{t F (t )=ʒ ∇u (t ) 22+2(u ,u t )}在(0,T m a x )上即为严格单调递增的.事实上,将F (t )关于t 求导㊁并结合式(1)及I (u (t ))<0(t ɪ[0,T m a x )),可得F ᶄ(t )=2(∇u ,∇u t )+2 u t 22+2(u ,u t t )=2[(∇u ,∇u t )+ u t 22+(u ,Δu +Δu t +u p (x )-2u )]=2 u t 22- ∇u 22+ʏΩup (x )d ()x =2( u t 22-I (u ))>0.(16)表明F (t )在(0,T m a x )上严格单调递增.2)证明u (t )ɪN -,t ɪ[0,T m a x ).若不然,则由连续性及假设条件I (u 0)<0可知,存在t 0ɪ(0,T m a x ),使得I (u (t ))<0, t ɪ[0,t 0),(17)I (u (t 0))=0.(18)于是,由1)中结论知F (t )= ∇u (t ) 22+2(u ,u t )在区间[0,t 0)上严格递增.将其与式(14)结合,进一步可得∇u (t ) 22+2(u ,u t )> ∇u 0 22+2(u 0,u 1)>2p 1(1+λ1)(p 1-2)λ1E (0), t ɪ(0,t 0).(19)注意到F (t )的连续性和单调性,由式(19)得 ∇u (t 0) 22+2(u (t 0),u t (t 0))>2p 1(1+λ1)(p1-2)λ1E (0).(20)另一方面,由式(8)和式(9)得E (t )ȡ12 u t 22+12 ∇u 22-1p1ʏΩup (x )d x =12 u t 22+p 1-22p 1 ∇u 22+1p1I (u ), t ɪ[0,T m a x ).(21)由式(6),(11),(18),(21)和C a u c h y -S c h w a r z 不等式,可得E (0)ȡE (t 0)ȡ12 u t (t 0) 22+p 1-22p1 ∇u (t 0) 22=12 u t (t 0) 22+p 1-22p 1(1+λ1) ∇u (t 0) 22+(p 1-2)λ12p1(1+λ1) ∇u (t 0) 22ȡ12 u t (t 0) 22+(p 1-2)λ12p 1(1+λ1) u (t 0) 22+(p 1-2)λ12p 1(1+λ1) ∇u (t 0) 22ȡ(p 1-2)λ12p1(1+λ1)[ u t (t 0) 22+ u (t 0) 22+ ∇u (t 0) 22]ȡ(p 1-2)λ12p1(1+λ1)[2(u t (t 0),u (t 0))+ ∇u (t 0) 22],(22)18 第1期李海霞,等:具变指数非线性项的强阻尼波动方程的爆破与式(20)矛盾.故结论成立.3)通过选取适当的参数并结合L e v i n e 凹方法证明T m a x <ɕ.若不然,假设u 是问题(1)的整体解,则T m a x =ɕ.类似于文献[13]中的证明,对任意T >0,b >0,η>0,定义G (t )=ʏt 0∇u (τ) 22d τ+ u (t ) 22+(T -t ) ∇u 0 22+b (t +η)2, t ɪ[0,T ].(23)则G (t )>0,t ɪ[0,T ],G ᶄ(t )= ∇u (t ) 22+2(u ,u t )- ∇u 0 22+2b (t +η)=2(u ,u t )+2ʏt 0ʏΩ∇u ㊃∇u τdx d τ+2b (t +η),(24)G ᵡ(t )=2(u t,u t)+2(u ,u t t)+2ʏΩ∇u ㊃∇u tdx +2b =2 u t 22+2(u ,Δu +u p (x )-2u )+2b =2[ u t 22-I (u )]+2b .(25)由式(24)得(G ᶄ(t ))2=4(u ,u t )+ʏt 0ʏΩ∇u ㊃∇u τd x d τ+b (t +η[])2=4(u ,u t)2+2(u ,u t)ʏt 0ʏΩ∇u ㊃∇u τd x d τ+2b (t +η)(u ,u t[)+ʏt 0ʏΩ∇u ㊃∇u τd x d ()τ2+2b (t +η)ʏt0ʏΩ∇u ㊃∇u τdx d τ+b 2(t +η)]2.(26)利用C a u c h y -S c h w a r z 不等式知(u ,u t )ɤ u 2 u t 2,(27)ʏt0ʏΩ∇u ㊃∇u τd x d τɤʏt∇u 2∇u τ2d τɤʏt∇u 22d ()τ1/2ʏt∇u τ22d()τ1/2.(28)将式(27),(28)与C a u c h y 不等式相结合,进一步可得(G ᶄ(t ))24ɤ u 22 u t 22+2 u 2 u t 2ʏt∇u 22d ()τ1/2ʏt∇u τ22d()τ1/[2+2b (t +η) u 2u t2+ʏt∇u 22d τʏt∇u τ22dτ+2b (t +η)ʏt∇u 22d ()τ1/2ʏt∇u τ22d()τ1/2+b 2(t +η)]2ɤ u 22u t22+ʏt∇u τ22d()[τ+ʏt∇u 22d τ u t22+ʏt∇u τ22d ()τ+b u 22+ʏt∇u 22d()τ+b (t +η)2ˑu t22+ʏt∇u τ22d()τ+b 2(t +η)]2= u 22+ʏt∇u 22d τ+b (t +η)()2u t22+ʏt∇u τ22dτ+()b .(29)对任意的λɪ(2,p1).注意到式(23),(25),(29)可得G (t )G ᵡ(t )-λ+24(G ᶄ(t ))2ȡG (t )G ᵡ(t )-(λ+2) u t 22+ʏt 0∇u τ22dτ+()[]b =ʒG (t )H (t),(30)其中H (t )=-λ u t 22-2I (u )-(λ+2)ʏt∇u τ 22d τ-b λ.由式(6),(8),(11),(9)知28 吉林大学学报(理学版) 第62卷H (t )ȡ(p 1-λ) u t 22+(p 1-2) ∇u 22-2p 1E (0)+(2p1-λ-2)ʏt∇u τ 22d τ-b λȡ(p 1-λ) u t 22+(p 1-2)-p 1-21+λéëêêùûúú1 ∇u 22+p 1-21+λ1∇u 22-2p 1E (0)-b λȡ(p 1-λ) u t 22+(p 1-2)λ11+λ1( u 22+ ∇u 22)-2p1E (0)-b λ.(31) 下面取λ=p 1-(p 1-2)λ11+λ1ɪ(2,p1).(32)由式(31)及F (t )的单调性知,对任意的b ɪ0,(p 1-2)λ1λ(1+λ1)2(u 0,u 1)+ ∇u 0 22-2p 1(1+λ1)(p 1-2)λ1E (0æèçöø÷æèçùûúú),(33)均有H (t)ȡ(p 1-2)λ11+λ1( u t 22+ u 22+ ∇u 22)-2p1E (0)-b λȡ(p 1-2)λ11+λ12(u ,u t )+ ∇u ()22-2p1E (0)-b λȡ(p 1-2)λ11+λ12(u 0,u 1)+ ∇u 0 22-2p 1(1+λ1)(p 1-2)λ1E (0éëêêùûúú)-b λȡ0.(34)于是,结合式(30)和式(34)可知,对任意满足式(33)的b ,均有G (t )G ᵡ(t )-λ+24(G ᶄ(t ))2ȡ0,t ɪ[0,T ].(35) 选取不依赖于T 的η满足η>m a x0,2 ∇u 0 22-(λ-2)(u 0,u 1)b (λ-2{}),(36)则G (0)= u 0 22+T ∇u 0 22+b η2>0,G ᶄ(0)=2(u 0,u 1)+2b η>4 ∇u 0 22λ-2ȡ0,且对充分大的T 有4G (0)(λ-2)G ᶄ(0)=2( u 0 22+T ∇u 0 22+b η2)(λ-2)[(u 0,u 1)+b η]<T .(37)对G (t )应用引理2可知,存在t *>0满足t *ɤ4G (0)(λ-2)G ᶄ(0)(<T ),(38)使得l i m t ңt -*G (t )=li m t ңt -*ʏt 0∇u (τ) 22d τ+ u (t ) 22+(T -t ) ∇u 0 22+b (t +η)[]2=ɕ.(39)由式(39)易知l i m t ңt -*∇u 22=ɕ.(40)由注1知,式(40)表明u (t )在t *时刻爆破.这与u (t )是问题(1)的整体解矛盾.故T m a x <ɕ.4)给出T m a x 的上界估计.类似于G (t ),定义췍G (t )为췍G (t )=ʏt 0∇u (t ) 22d τ+ u (τ) 22+(T m a x -t ) ∇u 0 22+b (t +η)2, t ɪ[0,T m a x ).利用平行于3)的证明,可得l i m t ңT m a x췍G (t )=ɕ,其中38 第1期李海霞,等:具变指数非线性项的强阻尼波动方程的爆破T m a x ɤ2( u 0 22+T m a x ∇u 0 22+b η2)(λ-2)[(u 0,u 1)+b η],(41)λ仍由式(32)给出,b 满足式(33).如果仍要求η满足式(36),则式(41)可改写为T m a x ɤT (b ,η)=ʒ2( u 0 22+b η2)(λ-2)[(u 0,u 1)+b η]-2 ∇u 0 22.(42)固定b 满足式(33).记a =2 ∇u 0 22-(λ-2)(u 0,u 1), η0=[a 2+(λ-2)2b u 0 22]1/2+a (λ-2)b.直接验证易知T (b ,η)在η=η0处取到其在η>m a x0,2 ∇u 0 22-(λ-2)(u 0,u 1)b (λ-2{})上的最小值,且m i n ηT (b ,η)=T (b ,η0)=4[(a 2+(λ-2)2b u 0 22)1/2+a ](λ-2)2b.最后,令函数T (b ,η0)关于b 在式(33)上取最小值,得m i n b T (b ,η0)=T (b 0,η0)=4[(a 2+(λ-2)2b 0 u 0 22)1/2+a ](λ-2)2b 0,其中b 0=(p 1-2)λ1λ(1+λ1)2(u 0,u 1)+ ∇u 0 22-2p 1(1+λ1)(p 1-2)λ1E (0éëêêùûúú). 综上,由式(42)可知T m a x ɤ4[(a 2+(λ-2)2b 0 u 0 22)1/2+a](λ-2)2b 0.证毕.注2 定理2表明问题(1)存在具任意高初始能量的有限时刻爆破解.首先选取u 0ɪH 10(Ω),u 1ɪL 2(Ω)满足(u 0,u 1)>0,并令u 0=αu 0,u 1=βu 1,其中α,β是待定正常数.由于p1>2,故存在α1>1,使得I (u 0)=I (αu 0)=α2 ∇u 0 22-ʏΩαp (x )u 0p (x )d x ɤα2 ∇u 0 22-αp 1ʏΩu 0p (x )d x <0, ∀αȡα1.此外,对任意的D >0,存在α2>0,使得 ∇u 0 22= α∇u 0 22>2p 1(1+λ1)(p1-2)λ1D , ∀αȡα2.令α=m a x {α1,α2},对α>0,可选取β>0,使得E (0)=D .注意到(u 0,u 1)>0,显然有 ∇u 0 22+2(u 0,u 1)>2p 1(1+λ1)(p 1-2)λ1D =2p 1(1+λ1)(p1-2)λ1E (0).根据定理2知,问题(1)以(u 0,u 1)为初值的解u (x ,t )在有限时刻爆破,且初始能量满足E (0)=D .下面给出问题(1)爆破时间的一个下界估计.由于爆破时间的下界可以为所考虑的系统提供一个安全(稳定)区间,所以在实际应用中非常重要.定理3 若p (x )满足假设条件(H 1)和(H 2),u (x ,t )是问题(1)的一个在T m a x 时刻爆破的弱解.则T m a x 可从下方估计为T m a x ȡʏɕK (0)d s C 1+C 2s p 2-1,其中K (0)= u 1 22+ ∇u 0 22,C 1,C 2是不依赖于u(x ,t )的正常数.证明:先利用特定泛函满足的一阶微分不等式得到爆破时间的一个下界估计.为避免证明过程冗长,这里只给出n ȡ3时的证明(n =1,2时类似可证).记48 吉林大学学报(理学版) 第62卷K (t )= u t (t ) 22+ ∇u (t ) 22, t ɪ[0,T m a x ).(43)由于u (x ,t )在T m a x 时刻爆破,因此由式(12)知l i m t ңT m a xK (t )=+ɕ.(44)直接计算可得K ᶄ(t )=2[(u t ,u t t )+(∇u ,∇u t )]=2(u t ,u t t -Δu )=2(u t ,Δu t +up (x )-2u )ɤ-2 ∇u t 22+2ʏΩu tu p (x )-1d x ɤ-2 ∇u t 22+2ʏΩu t(1+u p 2-1)d x .(45)对任意的r ɪ1,2n n æèçùûú-2,用S r 表示从H 10(Ω)到L r (Ω)的最佳嵌入常数,即 v r ɤS r ∇v 2, ∀v ɪH 10(Ω).(46)由于p (x )满足假设条件(H 1),直接验证可知2n (p 2-1)n +2<2n n -2,从而H 10(Ω)可以连续嵌入L 2n (p 2-1)/(n +2)(Ω).利用H öl d e r 不等式和带ε的C a u c h y 不等式,可将式(45)中第二项估计如下:2ʏΩut(1+up 2-1)d x ɤ2 u t 2n /(n -2)ʏΩ(1+u p 2-1)2n /(n +2)d ()x (n +2)/(2n )ɤε u t22n /(n -2)+C (ε)ʏΩ(1+u p 2-1)2n /(n +2)d ()x(n +2)/n ɤεS 22n /(n -2) ∇u t 22+C 1(ε)+C 2(ε) u 2(p 2-1)2n (p 2-1)/(n+2)ɤεS 22n /(n -2) ∇u t 22+C 1(ε)+C 2(ε)S 2(p 2-1)2n (p 2-1)/(n +2) ∇u 2(p 2-1)2.(47)选取ε>0适当小使得εS 22n /(n -2)ɤ2,并将式(47)代入(45)可得K ᶄ(t )ɤC 1+C 2K p 2-1(t ),(48)表明对任意的t ɪ[0,T m a x )均有t ȡʏt0K ᶄ(τ)C 1+C 2K p 2-1(τ)d τ.(49)令t ңT m a x 并注意到式(44),得T m a x ȡʏɕK (0)d sC 1+C 2s p 2-1.(50)由于p 2-1>1,故式(50)右端项是有限的.证毕.参考文献[1] S A T T I N G E R D H.O nG l o b a l S o l u t i o n o fN o n l i n e a rH y p e r b o l i cE q u a t i o n s [J ].A r c hR a t i o n a lM e c hA n a l ,1968,30:148-172.[2] B A L LJM.R e m a r k so nB l o w -u p a n d N o n e x i s t e n c eT h e o r e m sf o rN o n l i n e a rE v o l u t i o nE q u a t i o n s [J ].Q u a r tJ M a t hO x f o r dS e r 2,1977,28(112):473-486.[3] I K E HA T A R.S o m eR e m a r k s o n t h eW a v eE q u a t i o n sw i t hN o n l i n e a rD a m p i n g a n dS o u r c eT e r m s [J ].N o n l i n e a r A n a l :T h e o r y ,M e t h o d sA p p l 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一类非线性薛定谔方程解的爆破性质

Ⅱ ￡）∈Ｃ［，）Ｈ并且Ｔ＝＋。（（，（０Ｔ，）。整体存在）Ｔ＜＋∞，ｍ一ｌ或ｌ卜ｌｉｕ
．
＝＋∞（有限时间爆破）．
现利用文献［，］的结果，５６得到初值问题（）２在空间 Ⅳ上的局部适定性．１和（）命题１设。∈Ｈ，则存在Ｔ＞０初值问题（）和（），１２在最大时间区间［，）０Ｔ上存在惟一解Ｈｔ）使得（，，
第３２卷第２期
Ｖｏ．２１３Ｎｏ２．
菏
泽
学院
学
报
２１００年３月
Ｍａ．ｒ２００１
ＪｕｎｌｏｚｉｅｓｔｏｒａｆＨｅｅＵｎｖｒｉｙ
文章编号：６３—２０（ＯＯＯ１７１３２Ｌ）２—０１０００— ４
所Ｊｕ＝与间关即 “ ＝。ｄ以１Ｉ０时无，．ｌＩ．
２）用乘式１）并在Ｒ上积分取实部得到
Ｒｕ —ｅ（五０ｅｄＲｇＭ）＝， △ ｆＩｌｕ
即
蔷ｌＩ＋』１ＩｄＩ＝，丢（ｏｇＩ
１Ｏ
２１００正
曹瑞：一类非线性薛定谔方程解的爆破性质
第２期
０１．）＝ｆｆ “，ｆ，（）柯问（和２的，，有列ｆ记（：（）ｄ设ｚ为西题１（解 ‰Ｅ则下积理，Ｊｆｆ，￡））Ｈ
一
类非线性薛定谔方程解的爆破性质
曹瑞
（菏泽学院数学系，山东菏泽２４１）７０５

一类非线性波动方程解的性质研究

学校代码：*****学号：**********分类号：O175.29密级：硕士学位论文一类非线性波动方程解的性质研究张颖姝指导教师：房少梅教授学院名称：数学与信息学院专业名称：应用数学答辩委员会主席：刘名生教授中国·广州2018年6月华南农业大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。

除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的作品成果。

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导师签名：日期：学科带头人签名：日期：摘要本文主要研究了广义的Kuramoto-Sivashinsky方程、带阻尼项的波动方程以及耦合模方程组等非线性波动方程解的性质,这些方程在火焰波的传播、薄膜振动以及光纤通信等问题中有着广泛的应用.利用Green函数方法以及先验估计,研究了前两个方程Cauchy问题的整体经典解的存在唯一性和衰减估计;利用双曲正切函数展开法得到了第三个方程的一些行波解,并对其物理意义做了讨论.本文由五章组成：第一章,介绍了Kuramoto-Sivashinsky方程、带阻尼项的波动方程以及耦合模方程组等非线性波动方程的物理背景,回顾了一些已有工作,给出本文的主要结果并做了一些记号说明.第二章,考虑多维的广义Kuramoto-Sivashinsky方程的Cauchy问题,其困难在于方程中的高阶导数项.为此,我们采用Green函数方法,在第二节中得到Green函数并做相关的能量估计,在第三节中对Cauchy问题构造迭代方程,使用不动点定理证明了整体经典解的存在唯一性,然后,使用先验估计等方法得到了解的逐点估计结果.第三章,考虑带阻尼项的波动方程的Cauchy问题,首先对解进行长波-短波分解,长波部分采用Green函数方法进行估计,短波部分采用能量方法进行估计.同样,对Cauchy问题构造迭代方程证明整体经典解的存在唯一性,最后用先验估计的方法得到解的L p(2≤p≤∞)估计.第四章,考虑一维的耦合模方程组在正常散射区域的一些行波解,在第二节中讨论了当κ=0时解的情况,此时方程是解耦的,并且前向波与后向波以相同的速度向两个相反的方向传播,用双曲正切函数展开法和齐次平衡法得到一些特殊的行波解,包括反扭结孤子解以及暗孤子解.在第三节中讨论了当κ=0时解的情况,通过构造辅助函数得到其它的行波解.第五章,对本文的工作进行了总结并提出对未来工作的一些展望.关键词:非线性波动方程;整体经典解;衰减估计;行波解.Study on Properties of Solutions for a Class ofNonlinear Wave EquationsY ingsℎuZℎangCollege of Mathematics and Informatics,South China Agricultural University,Guangzhou510642,ChinaAbstract:In this paper,we consider properties of solutions for Kuramoto-Sivashinsky equation,damped wave equation and coupled-mode equations.These equations are widely used in flame waves,thin film vibration,the optical fiber communication and other problems.By using Green function method and priori estimates,we obtain the existence and uniqueness of global classical solutions and its decay estimate of the first two equations;By using hyperbolic function expansion method,some traveling wave solutions of the third equation are obtained and its physical significance is discussed.This paper is organized in five chapters.In the first chapter,we give the physical background for the nonlinear evolution equations,such as Kuramoto-Sivashinsky equation,damped wave equation and coupled-mode equations.We look back to some significant results,then give our results.In the second chapter,we consider the Cauchy problem of the generalized Kuramoto-Sivashinsky equation in multi-dimensions.The difficulty is that KS equation consists of higher order derivatives.To overcome this difficulty,we give the Green function and the energy estimates in section2.2.In section2.3,we got the global classical solutions to the equations by means of constructional iterative equation.Then we obtain the pointwise estimate of solution by some priori estimates.In the third chapter,we consider the Cauchy problem of the damped wave equation. We first divide the solution into two parts by long wave-short wave decomposition.Then we get the estimate of long wave part by Green function method and short wave part by energy method.Similarly,we get the global classical solutions to the equations by means of constructional iterative equation.At last,L p(2≤p≤∞)estimate is obtainedby priori estimates.In the fourth chapter,we consider the traveling wave solutions of coupled-mode equations.In section4.2,whenκ=0,we utilize the hyperbolic function expansion method and homogeneous balance method to obtain some special traveling wave solu-tions,including kink soliton,anti-kink soliton and dark soliton.In section4.3,when κ=0,we construct an auxiliary function to get other traveling wave solutions.In the fifth chapter,we summarize our works and point out the further research directions.Keywords:Nonlinear wave equation;Global classical solution;Decay estimate; Traveling wave solution.目录第1章绪论 (1)1.1物理背景 (1)1.2相关工作 (3)1.3本文的主要结果 (4)1.4记号说明 (6)第2章多维的广义Kuramoto-Sivashinsky方程解的整体存在性与逐点估计8 2.1引言 (8)2.2Green函数与能量估计 (8)2.3解的整体存在性 (11)2.4Green函数的逐点估计 (14)2.5非线性问题的逐点估计 (19)第3章多维的带阻尼的波动方程解的整体存在性与衰减估计 (24)3.1引言 (24)3.2Green函数与能量估计 (24)3.3解的整体存在性 (28)3.4解的最优衰减估计 (31)第4章耦合模方程组的行波解 (33)4.1引言 (33)4.2κ=0时,方程的行波解 (33)4.3κ=0时,方程的行波解 (38)第5章总结与展望 (41)致谢 (42)参考文献 (43) (48)附录：攻读硕士学位期间发表的学术论文第1章绪论1.1物理背景20世纪60年代,随着物理学家们对量子力学研究的不断深入,发现许多问题无法用线性模型来描述,由此,非线性科学应运而生,其中非线性波动方程是其重要的分支与研究热点.本文将讨论有关广义的Kuramoto-Sivashinsky方程、带阻尼项的波动方程以及耦合模方程组等一些非线性波动方程解的性质.下面,我们分别介绍这三个方程的物理背景.首先,我们考虑了广义的Kuramoto-Sivashinsky(KS)方程(本文第二章),原始的KS方程具有如下形式Φt+|∇Φ|2+ΔΦ+Δ2Φ=0,(1.1)该方程分别由Kuramoto(1980)和Sivashinsky(1977)提出.通过引入新的变量u(x,t)=∇Φ(x,t)=(Φx1,Φx2,...,Φxn),我们得到了方程(1.1)的守恒形式u t+∇(︀|u|2)︀+Δu+Δ2u=0.(1.2)最初,该方程是在等离子体不稳定的离子模式下得到的(LaQuey,1975).在此之后,KS 方程已经被用于研究反应系统中的湍流,层流火焰面的不稳定扩散,斜平面上薄液膜的Rayleigh-Benard对流和流动稳定性(Sivashinsky,1980)以及人口的增长和扩散(Lin, 1982)等问题.此外,该方程还用于研究粘性膜层流动以及Navier-Stokes方程解的分支(Shlang,1982).其次,我们考虑了如下带阻尼项的波动方程(本文第三章)u tt−Δu+ku t=f(u),x∈R n,t≥0,(1.3)该方程又叫做半线性的电报方程或者半线性的耗散波方程,不同的非线性项可以反映扩散、对流等性质,不同的非线性项都可能引起方程解性质的不同.一维情况下它可以描述受到阻力作用的弦或均匀细杆的振动问题,多维情况下可以描述薄膜振动或声音的传播等问题,并在流体动力学中有着重要应用.同时,带阻尼的线性Euler 方程可以写成该方程的线性部分.通过对方程解的性质研究不仅能够分析出非线性问题的动力学行为,而且能够为各种物理化学现象提供合理的解释.此外,我们考虑了在光纤通信中非常重要的耦合模方程组(本文第四章)⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩−i dq 1t =i q 1x +δq 1+κq 2+γ(|q 1|2+2κ|q 2|2)q 1+a 1(q 1x −i b 1q 1)|q 1|+c 1q 1|q 1|,x ∈R ,t >0,i dq 2t =i q 2x −δq 2−κq 1−γ(|q 2|2+2κ|q 1|2)q 2−a 2(q 2x −i b 2q 2)|q 2|−c 2q 2|q 2|,x ∈R ,t >0,(1.4)在非线性科学领域中不得不提的就是非线性波动方程的孤子理论,其中一个重要的概念就是可积系统,尤其是完全可积系统,这是一个非常重要的研究课题,备受国内外学者的关注.1834年,英国力学家Russell 在第一次观察到浅水波时,发现了KdV 方程u t +αuu x +βu xxx =0.(1.5)经实践理论分析证明,它是完全可积的,具有光滑孤立子解,波形在相互作用中几乎不变.KdV 方程的发现为可积系统的研究奠定了基础,已成为孤立子理论的重要模型和支柱.Korteweg ,de Vries 在导出KdV 方程之后,还求出了一种形状不变的脉冲状的孤立波解,从而在理论上首次证实了孤立波的存在.1965年,美国数学家Kruskal 及Zabusky (1965)通过计算机研究KdV 方程的解,发现两个不同速度的孤立波在发生碰撞时,仍然保持波形和波速不改变,因此,称这两个孤立波的碰撞为弹性碰撞,其特点类似于粒子,故名为孤立子.它的特点是能量集中在狭小的区域,多个孤子相互作用发生弹性碰撞,也就是说波形和波速能还原到最初状态.此后,越来越多的物理学和数学研究者从实验和理论中发现,存在孤立波解的非线性偏微分方程还有很多,如非线性Shr¨o dinger 方程i ψt +ψxx +k |ψ|2ψ=0,(1.6)Sine-Gordon 方程u tt +u xx =sin u,(1.7)还有Klein-Gordon 方程,Toda 非线性晶格方程等,这些非线性偏微分方程在等离子体物理、非线性光学、天文学、生物学、量子场论和通信技术等领域都有着重要的地位和作用.与此同时,对于耦合方程和变系数方程的可积性及孤子解的研究仍是目前大家关注的焦点.早在1973年,Hasegawa(1973)首次提出光脉冲在非线性光栅中传播时可保持波形不变,并且该研究更是开拓了光纤通信的新领域.Slusher(2003)指出光纤布拉格光栅是一种周期性介质,并可导致前向波与后向波发生耦合.越来越多的物理学家逐渐通过实验发现,光脉冲在该非线性介质中是以孤立子的形式传播,如文献(Degasperis,2010; Hasegawa,2003;Belmontebeitia,2009).1989年,Aceves(1989)证实了在反常色散区存在暗孤子,正常色散区存在亮孤子.Zhao(1989)发现暗孤子比亮孤子稳定.1993年, Uzunov(1993)等人发现暗孤子受扰动的影响较小并且具有展宽慢的特点.正是由于暗孤子具有这些丰富的优点,使其在长距离光纤通信中发挥了极其重要的作用.因此,发现并求解一些非线性发展方程的暗孤子解有很重要的意义.自20世纪90年代起,已有很多类型的孤立子从实验中观测得到并在理论上证明了其存在性,例如时间光孤子、涡旋光孤子和二次光孤子等.耦合模理论在诸多领域都占有重要地位,例如电磁学、光波导和微波波导等.1.2相关工作近年来,人们对KS方程进行了诸多的研究,在解的适定性问题中,Cousin(2002)研究了KS方程在具有移动边界区域的情形,Kaikina(2006)研究了半直线上的KS方程, Cerpa(2011)研究了一维KS方程在轨道上的精确能控性;Giacomelli和Otto(2010)提出了一种新的边界条件,并研究了KS方程的长时间行为;在控制问题方面,Armaou和Christofides(2000)研究了KS方程的反馈控制问题,Cerpa(2010)研究了KS方程的非零能控性和稳定性问题.与此同时,国内也有很多非常好的工作,郭柏灵(Guo,1991)研究了以下多维KS方程的初值问题u t+αΔu+βΔ2u+n∑︁i=1ðxigradφ(u)=ψ(u),(1.8)该文献研究了方程整体光滑解的存在性及唯一性.进一步地,张领海(Zhang,1993)研究了当1≤n≤3时,任意初值条件下解的衰减.Allouba(2011)给出了KS方程在所有空间维数上的一个显式解,赵会江和唐少强(Zhao,2000)研究了以下多维KS方程解的衰减,u t+aΔu+bN∑︁i=1ðxjΔu+cΔ2u+du+N∑︁i=1ðxjf j(u)+Δf0(u)=g(u),(1.9)其中,f j(u)=O(|u|2),g(u)=O(|u|2).基于以上这些工作,本文的第二章考虑如下形式的非线性项f(u)=O(|u|ρ)(ρ>2).对于带阻尼项的波动方程(1.3),已有一些研究取了不同的非线性项,但形式比较具体.对于f(u)=−|u|θu,Kawashima,Nakao和Ono(1995)用能量方法并结合L p−L q估计,得到了方程(1.3)解的衰减估计.Ono(1997)在没有小初值的前提下得到了次临界解在R n的一个无界区域中的衰减估计.Nishihara和Zhao(2006)得到了方程解的衰减性质.Nishihara(2006)研究了n=3和n=4时解的整体渐进行为.对于非线性项f(u)= |u|θu的情况,可参考文献(Hosono,2004;Ikehata,2004;Narazaki,2004;Nishihara,2003).具体来说,Hosono和Ogawa(2004)研究了当n=3时解的长时间行为和L p−L q估计.当2≤n≤5时,Narazaki(2004)做了同样类型的估计.对于非线性项f(u)=|u|θ+1的情况,可参考文献(Ikehata,2003;Ono,2006;Ono,2003;Zhang,2001).其中,Ono(2006)研究了半线性耗散波方程解的整体存在性与L p估计.Ono(2003)给出了整体小解的存在性及渐进行为.此外,对于线性问题,即f(u)=0,Marchti和Nishihara(2003)对空间变量是一维的情况作了分析,Nishihara(2003)研究了n=3的情况.对于高维情形,Ono分别在文献(Ono,2004;Ono,2005)中得到了解在偶数维空间的L p(p≥1)估计和奇数维空间的L p(1≤p<2)估计.Liu和Wang(2008)用Green函数方法得到了解在全空间上的逐点估计结果.与耦合模方程组相关的研究大多数是采用有限差分方法或者传输矩阵法,考虑耦合模方程组的数值解,如文献(Lin,2004).但是对其精确解的研究相对较少.近些年,非线性发展方程的孤子理论已有非常广泛的研究,其中出现了很多构造方程精确解的方法,例如散射反演法、Hirota双线性方法、齐次平衡法、B¨a cklund变换,Darboux 变换(Ling,2010)等等.本文第四章将采用双曲函数展开法与齐次平衡法相结合,得到耦合模方程组的一些精确解.1.3本文的主要结果本文的第一个工作是对多维的广义Kuramoto-Sivashinsky方程的Cauchy问题进行了研究⎧⎪⎨⎪⎩u t+aΔu+bΔ2u+cu+∇f(u)=0,x∈R n,t≥0,u(x,0)=u0(x),(1.10)这里非线性项为f (u )=O (|u |ρ)(ρ≥2).首先,结合Green 函数方法和一系列能量估计,我们研究了问题(1.10)经典解的整体存在唯一性,然后,利用Green 函数方法,得到了方程解的逐点估计结果,进一步,利用插值不等式得到了解的L p (1≤p ≤∞)估计.主要结果如下：定理1.3.1对于空间维数n ≥3,假设初值满足‖u 0‖H l ∩L 1≤ε,(1.11)其中,l ≥5+[︀n 2]︀,ε≪1是常数.那么问题(1.10)有唯一的整体经典解u (x,t ).进一步地,对于任意α,|α|<l −n2,存在常数M >0,N >[︀n 2]︀+1使得supp(u 0)⊆{x ∈R n ||x |<M },(1.12)以及‖u 0‖W l −n 2−1,∞≤ε(1+M 4)−N ,(1.13)从而,对于|α|≤min {l −[︀n 2]︀−1,n },我们有以下估计|D αx u (x,t )|≤C (1+t )−n +|α|4B N (|x |2,t ),(1.14)其中,B N (|x |,t )=(︁1+|x |21+t)︁−N.推论1.3.1在定理1.3.1的假设下,对于p ∈[1,∞],|α|<n ,我们有‖D αx u (·,t )‖L p ≤C (1+t )−n 4(1−1p )−|α|4.(1.15)本文的第二个工作是对多维的带阻尼项的波动方程的Cauchy 问题进行了研究⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩u tt −Δu +ku t =f (u ),x ∈R n ,t ≥0,u (x,0)=u 0(x ),u t (x,0)=u 1(x ),(1.16)利用Green 函数方法和不动点定理,我们得到了问题(1.16)经典解的整体存在性,接着,利用长波-短波分解得到解的一些衰减性质,更进一步,易得最优的L p (2≤p ≤∞)衰减估计.主要结果如下：定理1.3.2假设整数θ≥1.如果存在足够小的常数ε>0使得初值满足‖u0‖H l+1∩L1+‖u1‖H l∩L1≤ε0,(1.17)并且0<ε0<C−10ε(C0是不依赖于ε的足够大的正常数),l≥[︀n2]︀+3,那么,方程存在唯一的整体经典解u(x,t).进一步地,我们得到如下解的最优衰减估计‖ðαx u(·,t)‖L2≤Cε(1+t)−n4−|α|2,‖ðβxu(·,t)‖L∞≤Cε(1+t)−n2−|β|2,(1.18)其中,|α|<l,|β|<l−[︀n2]︀−1.n是空间维数,[a]=max{b|b是整数,b≤a}和C是常数.推论1.3.2在定理1.3.2的假设下,对于p∈[2,∞],|α|<l−[n2]−1,我们有‖ðαxu(·,t)‖L p≤C(1+t)−n2(1−1p)−|α|2.(1.19)本文的第三个工作是对一维的非线性耦合模方程组的行波解进行了研究⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩−i dq1t=i q1x+δq1+κq2+γ(|q1|2+2κ|q2|2)q1+a1(q1x−i b1q1)|q1|+c1q1|q1|,x∈R,t>0,i dq2t=i q2x−δq2−κq1−γ(|q2|2+2κ|q1|2)q2−a2(q2x−i b2q2)|q2|−c2q2|q2|,x∈R,t>0,(1.20)当κ=0时,方程是解耦的并且前向波与后向波以相同的速度向两个相反的方向传播.我们用双曲正切函数展开法和齐次平衡法得到一些特殊的行波解,即孤立子解.在这种情况下(κ=0),当d2=0,γ<1,q1,q2在γ>1时,均具有反扭结孤子解以及暗孤子解.当d2=0时,q1同时具有扭结解和反扭结解,然而,q2只有反扭结解.在另一种情况下(κ=0),我们通过构造辅助函数得到其它的行波解.1.4记号说明在本节中,我们对下文将用到的记号做一些说明.α=(α1,α2,...,αn)和β=(β1,β2,...,βn)是多重指标;C表示正常数,不同位置的C表示不同数值;L p,W m,p分别是定义在R n上的Lebesgue空间以及Sobolev空间,具有如下范数‖·‖L p,‖·‖W m,p.特别地,通常记H m(R n)=W m,2(R n),并定义齐次的Sobolev空间为˙H m(R n),具有范数˙H m(R n)=⎧⎨⎩f⃒⃒⃒⃒⃒∑︁|α|=m||ðαxf||L2≤C⎫⎬⎭,||f||˙H m(Rn)=∑︁|α|=m||ðαxf||L2.假设f(x,t)∈L1(R n),我们定义该函数在空间f(x,t)∈L1(R n)上的Fourier变换为̂︀f(ξ,t)=∫︁R nf(x,t)e−√−1x·ξdx,及其Fourier逆变换为(︁ℱ−1̂︀f )︁(x,t)=(2π)−n∫︁R n̂︀f(ξ,t)e√−1x·ξdξ.第2章多维的广义Kuramoto-Sivashinsky 方程解的整体存在性与逐点估计2.1引言在本章中,我们将考虑如下多维的广义Kuramoto-Sivashinsky (KS)方程的Cauchy问题⎧⎪⎨⎪⎩u t +a Δu +b Δ2u +cu +∇f (u )=0,x ∈R n ,t ≥0,u (x,0)=u 0(x ),(2.1)其中，u =u (x,t )是一个以x =(x 1,x 2,...,x n )∈R n 和t 为自变量的向量函数,t ≥0,n ≥3,a ,b ,c 都是正常数,并且a 2<4bc .这里非线性项为f (u )=O (|u |ρ)(ρ≥2).假设方程(2.1)的解及其各阶导数当|x |→∞时趋向于0.本章主要研究广义的KS 方程Cauchy 问题(2.1)整体经典解的存在性以及逐点估计.目前,关于该方程解的逐点估计方面的研究很少,主要困难源于其高阶导数项.为了克服这一困难,我们主要采用Green 函数的方法(Wang,2010;Liu,2014;Shi,2016;Chen,2016),首先,用Green 函数把方程的解表示出来,并得到Green 函数的逐点估计结果,接着,对方程的解进行逐点估计,最后,很容易得到解的L p (1≤p ≤∞)估计.2.2Green 函数与能量估计首先,我们研究问题(2.1)的Green 函数,即考虑以下初值问题的解⎧⎪⎨⎪⎩(ðt +a Δ+b Δ2+c )G =0,G |t =0=δ(x ).(2.2)对方程做Fourier 变换得到⎧⎪⎨⎪⎩(ðt −a |ξ|2+b |ξ|4+c )̂︀G=0,̂︀G |t =0=1,ξ∈R n ,(2.3)为方便起见，后文记μ(ξ)=a|ξ|2−b|ξ|4−c.解得̂︀G(ξ,t)=eμ(ξ)t.(2.4)利用Duhamel原理，得到非线性问题(2.1)解的表达式u(x,t)=G(t)*u0−∫︁tG(t−s)*∇f(u)(s)ds.(2.5)令χ1(ξ)=⎧⎨⎩1,|ξ|<r,0,|ξ|≥2r,χ3(ξ)=⎧⎨⎩1,|ξ|>R,0,|ξ|<R−1,为两个光滑的截断函数,其中r,R为常数且2r<R−1,此外,χ2(ξ)=1−χ1(ξ)−χ3(ξ).定义̂︁G i(ξ,t)=χi(ξ)̂︀G(ξ,t),i=1,2,3.由文献(Wang,2010)我们知道线性问题解的衰减主要与̂︀G(ξ,t)的低频部分有关.我们采用截断函数将解分为低频、中频和高频三部分,即u(x,t)=u1(x,t)+u2(x,t)+u3(x,t).引理2.2.1对于n≥3,如果f∈L1(R n),则存在常数C>0使得对于|α|≥0有‖DαxG1(x,t)*f(x)‖L2≤C(1+t)−|α|4−n8‖f‖L1,(2.7)‖DαxG1(x,t)*f(x)‖L∞≤C(1+t)−|α|+n4‖f‖L1.(2.8)证明由于|ξ|<r和r足够小,我们可以选择c使得a|ξ|2−c<0.因此,⃒⃒⃒̂︁G1(ξ,t)⃒⃒⃒<e−b|ξ|4t.由Plancherel等式和Hausdorff-Young不等式,我们得到‖Dαx G1(x,t)*f(x)‖L2=(︂∫︁R n⃒⃒⃒(√−1ξ)α̂︁G1(ξ,t)̂︀f(ξ)⃒⃒⃒2dξ)︂12≤C(︂∫︁|ξ|<r⃒⃒⃒|ξ||α|e−b|ξ|4t̂︀f⃒⃒⃒2dξ)︂12≤C‖̂︀f‖L∞(︂∫︁|ξ|<r⃒⃒⃒|ξ||α|e−b|ξ|4t⃒⃒⃒2dξ)︂12≤C‖f‖L1(1+t)−|α|4−n8,(2.9)其中我们用到了如下两个结果∫︁|ξ|<r ⃒⃒⃒|ξ||α|e−b|ξ|4t⃒⃒⃒2dξ≤Ct−|α|2−n4∫︁|ξ|<r|η|2|α|e−2b|η|4dη≤Ct−|α|2−n4∫︁∞R2|α|e−2bR4R n−1dR≤Ct−|α|2−n4,(2.10)由于n≥3,同时还有∫︁|ξ|<r ⃒⃒⃒|ξ||α|e−b|ξ|4t⃒⃒⃒2dξ≤C∫︁r|ξ|2|α|+n−1d|ξ|≤C.(2.11)从而(2.9)成立.对于(2.8),直接计算可得‖Dαx G1(x,t)*f(x)‖L∞≤C‖f‖L1‖DαxG1(x,t)‖L∞≤C‖f‖L1‖∫︁|ξ|<r(√−1ξ)α̂︁G1(ξ,t)e√−1xξdξ‖L∞≤C‖f‖L1∫︁|ξ|<r|ξ||α|e−b|ξ|4t dξ≤C‖f‖L1(1+t)−|α|+n4.(2.12)引理2.2.2对于n≥3,如果f∈L1(R n),则存在常数C>0使得对于|α|≥0有‖DαxG2(x,t)*f(x)‖L2≤Ce−b0t‖f‖L1,(2.13)‖DαxG2(x,t)*f(x)‖L∞≤Ce−b0t‖f‖L1.(2.14)证明由于a2<4bc,我们得到μ(ξ)=a|ξ|2−b|ξ|4−c是负的，并且ξ在远离ξ=0和ξ=∞的有界区域内.因此,存在常数b0>0使得|̂︁G2(ξ,t)|≤Ce−b0t.该引理的其余证明部分可参照引理2.2.1.根据高频部分的定义,可以得到下述引理引理2.2.3假设u(x)∈H m,m≥0是整数.则对于高频部分,存在常数C使得对任意整数s∈[0,m]有下式成立‖u‖L2≤C‖u‖˙H s,(2.15)引理2.2.4假设u(x,t)是问题(2.1)的解,并且u3(x,t)是u(x,t)的高频部分,存在常数C>0使得‖Dαx u3‖2L2≤C∫︁te−t−τc‖Dαxf‖2L2dτ+Ce−t c‖Dαxu0‖2L2.(2.16)证明不失一般性,我们只考虑|α|=0的情况.将Cauchy问题(2.1)重新改写成高频的形式⎧⎪⎨⎪⎩ðt u3+aΔu3+bΔ2u3+cu3+∇χ3f(u)=0,x∈R n,t≥0,u3|t=0=u3,0(x),(2.17)在(2.17)两端同乘u 3(x,t ),再关于x 分部积分,利用Cauchy 不等式,我们得到12∫︁R n d dt (u 3)2dx −a∫︁R n |∇u 3|2dx +b ∫︁R n |Δu 3|2dx +c ∫︁R n |u 3|2dx ≤∫︁R n|∇u 3|2dx +∫︁R n|f (u )|2dx.(2.18)再次利用引理2.2.3,得到ddt ∫︁R n (u 3)2dx +∫︁R n |u 3|2dx ≤2∫︁R n |f (u )|2dx.(2.19)因此,存在常数C >0使得d dte tc ∫︁R n(u 3)2dx ≤Cet c∫︁R n|f (u )|2dx.(2.20)接着对变量t 在(0,t )上积分,结合引理2.2.3,得到‖u 3‖2L 2≤C ∫︁te −t −τc ‖f ‖2L 2dτ+Ce −t c ‖u 0‖2L 2.(2.21)高阶导数的估计可以类似地得到.2.3解的整体存在性我们接下来要考虑解在空间X l,E 中的性质.对于一个给定的整数l ≥[︀n 2]︀+5以及常数E >0,定义X l,E ={u (x,t )|D l (u )≤E },(2.22)其中D l (u )定义如下D l (u )=sup 0≤t{(1+t )n4‖u ‖W l −[n 2]−1,∞+(1+t )n8‖u ‖H l }.(2.23)显然X l,E 是一个非空的Banach 空间.为了得到整体解,我们将通过以下方式构造一个收敛序列{u m (x,t )}∞m =1⎧⎪⎨⎪⎩u m t +a Δu m +b Δ2u m +cu m +∇f (um −1)=0,x ∈R n ,t ≥0,u m |t =0=u 0(x ),(2.24)其中,m ≥1,u 0(x,t )=0.接下来,我们将给出一个之后要用到的引理,证明的细节参考文献(Liu,2014).引理2.3.1令s和ρ≥2是正整数,δ>0,p,q,r∈[1,∞]满足1r =1p+1q.函数F=F(ω)=ωρ属于C s.如果ω,̃︀ω∈W s,q∩L p∩L∞和‖ω‖L∞≤δ,则‖F(ω)‖W s,r≤C(‖ω‖W s,q‖ω‖L p‖ω‖ρ−2L∞),(2.25)更进一步,我们有‖F(ω)−F(̃︀ω)‖W s,r≤C(‖ω‖L∞+‖̃︀ω‖L∞)ρ−2(‖ω−̃︀ω‖W s,q(‖ω‖L p+‖̃︀ω‖L p)+‖ω−̃︀ω‖L p(‖ω‖W s,q+‖̃︀ω‖W s,q)).(2.26)定理2.3.1假设l≥[︀n2]︀+5,如果ε≪1,且u0满足‖u0‖H l∩L1≤ε.那么{u m}∞m=1∈Xl,ε13是一个Cauchy列.这意味着问题(2.1)存在唯一的整体经典解u(x,t)∈Xl,ε13.证明我们利用Duhamel原理将问题(2.24)的解表示出来Dαxu m(x,t)=DαxG(x,t)*u0−∫︁tDαx∇G(x,t−s)*(f(u m−1)(x,s))ds,(2.27)对于u3(x,t),由于当k>n2时,H k(R n)˓→L∞,我们有‖u m3‖2W l−[n2]−1,∞≤∑︁|β|≤l−[n2]−1‖Dβxu m3‖2L∞≤C∑︁|β|≤l−[n2]−1‖Dβxu m3‖2H[n2]+1≤C‖u m3‖2H l.(2.28)接下来我们用数学归纳法证明{u m}∞m=1∈Xl,ε13.首先证明m=1的情况,从引理2.2.1和(2.27)得到‖Dαx u11‖L2≤C(1+t)−α4−n8‖u0‖L1≤ε(1+t)−n8.(2.29)类似地,‖Dαx u11‖L∞≤C(1+t)−α+n4‖u0‖L1≤ε(1+t)−n4.(2.30)从引理2.2.2和(2.27)得到‖Dαx u12‖L2≤Cεe−b0t,(2.31)‖Dαx u12‖L∞≤Cεe−b0t.(2.32)同时,我们结合引理2.2.4与方程(2.28)得到‖u13‖2H l≤Ce−t c‖u0‖2H l≤εe−t c,(2.33)D l(u1)≤E,因此u1⊆X l,E.接着,我们假设当j≤m−1,u j⊆X l,E时,{u m}∞m=1∈X l,E成立.从引理2.3.1得到‖f(u m−1)(·,s)‖L1≤C‖u m−1(·,s)‖2L2‖u m−1(·,s)‖ρ−2L∞≤Cε23(1+s)−n4.(2.34)对于ρ≥2,我们从(2.27)得到了以下的估计‖Dαx u m1(·,t)‖L2≤Cε(1+t)−n8+Cε23∫︁t(1+t−s)−α+14−n8(1+s)−n4ds≤Cε13(1+t)−n8.(2.35)类似地,‖Dαx u m1(·,t)‖L∞≤Cε(1+t)−n4+Cε23∫︁t(1+t−s)−α+14−n4(1+s)−n4ds≤Cε13(1+t)−n4,(2.36)和‖Dαx u m2(·,t)‖L2≤Cεe−b0s+Cε23∫︁te−b0s(1+s)−n4ds≤Cε13(1+t)−n8,(2.37)‖Dαx u m2(·,t)‖L∞≤Cεe−b0t+Cε23∫︁te−b0t(1+s)−n4ds≤Cε13(1+t)−n4.(2.38)再次使用引理2.3.1,‖f(u m−1)(·,s)‖H l≤C‖u m−1(·,s)‖H l‖u m−1(·,s)‖L∞‖u m−1(·,s)‖ρ−2L∞≤Cε23(1+s)−3n8,(2.39)结合引理2.2.4我们得到‖u m3(·,t)‖H l≤C(︂ε2e−t c+ε43∫︁te−t−s c(1+s)−3n4ds)︂12≤ε13(1+t)−n4.(2.40)至此,我们证明了{u m}∞m=1∈X l,E.然后,我们将证明{u m}∞m=1∈X l,E是一个Cauchy列.令v m=u m−u m−1.对于m≥2,我们有⎧⎪⎨⎪⎩ðt v m+aΔv m+bΔ2v m+cv m+∇f(u m−1)−∇f(u m−2)=0,v m|t=0=0.(2.41)通过引理2.3.1,我们得到‖f(u m−1)−f(u m−2)‖L1≤C (︀‖u m−1‖L∞+‖u m−2‖L∞)︀ρ−2(‖u m−1‖L2+‖u m−2‖L2)‖v m−1‖H0≤CEρ−1(1+t)−n4D l(v m−1).(2.42)以及‖Dαx v m1(·,t)‖L2≤CEρ−1∫︁t(1+t−s)−|α|+14−n8(1+s)−n4dsD l(v m−1)≤E(1+t)−n8D l(v m−1),(2.43)‖Dαxv m1(·,t)‖L∞≤E(1+t)−n4D l(v m−1).(2.44)类似地,‖Dαx v m2(·,t)‖L2≤E(1+t)−n8D l(v m−1),(2.45)‖Dαx v m2(·,t)‖L∞≤E(1+t)−n4D l(v m−1).(2.46)结合引理2.2.4和2.3.1,我们有‖v m3(·,t)‖Hl≤C(︂∫︁te−t−s c‖f(u m−2)(·,s)−f(u m−1)(·,s)‖2H lds)︂12≤C(∫︁te−t−s c(︀‖u m−1‖L∞+‖u m−2‖L∞)︀2(ρ−2)[‖v m−1‖H l(‖u m−1‖L∞+‖u m−2‖L∞)+‖v m−1‖L∞(︀‖u m−1‖H l+‖u m−2‖H l)︀]2ds)12≤E(1+t)−n4D l(v m−1).(2.47)最后,我们可以得到D l(v m)≤ED l(v m−1).由于E=ε13≪1,{u m}是Banach空间X l,E的一个Cauchy列,并且它的极限函数u是Cauchy问题(2.1)的一个整体解.至此,我们完成了该定理的证明.2.4Green函数的逐点估计为了得到方程解的逐点估计,我们在本节首先给出Green函数的逐点估计.引理2.4.1假设t>0,ξ∈R n,则存在常数C=C(β,b)使得|Dβξe−b|ξ|4t|≤C|ξ||β|t|β|2(︀1+|ξ|4t)︀|β|2e−b|ξ|4t.(2.48)证明如果ξ∈R n,那么直接计算即可得到.假设ξ=(ξ1,ξ2,...,ξn)∈R n,则有|Dβξe−b|ξ|4t|=n∏︁i=1⃒⃒⃒Dβiξi e−bξ4i t⃒⃒⃒≤n∏︁i=1Cξβiitβi2(︀1+ξ4it)︀βi2e−bξ4i t≤n∏︁i=1C|ξ|βi tβi2(︀1+|ξ|4t)︀βi2e−bξ4i t≤C|ξ||β|t|β|2(︀1+|ξ|4t)︀|β|2e−b|ξ|4t.(2.49)引理2.4.2假设t>0,ξ∈R n,b∈R n,则存在常数C=C(α,β,b)使得⃒⃒⃒Dβξ(︁ξαe−b|ξ|4t)︁⃒⃒⃒≤C|ξ||α|−|β|(︀1+|ξ|4t)︀|β|e−b|ξ|4t.(2.50)证明从（2.48）得到⃒⃒⃒Dβξ(︁ξαe−b|ξ|4t)︁⃒⃒⃒≤C∑︁|γ|≤|β|⃒⃒⃒⃒(︂βγ)︂DγξξαDβ−γξe−b|ξ|4t⃒⃒⃒⃒≤C∑︁|γ|≤|β||Dγξξα||ξ||β|−|γ|t|β|−|γ|2(︀1+|ξ|4t)︀|β|−|γ|2e−b|ξ|4t.(2.51)如果|β|≤|α|,则⃒⃒⃒Dβξ(︁ξαe−b|ξ|4t)︁⃒⃒⃒≤C∑︁|γ|≤|β||ξ||α|−|γ||ξ||β|−|γ|t|β|−|γ|2(︀1+|ξ|4t)︀|β|−|γ|2e−b|ξ|4t≤C|ξ||α|−|β|[︁1+|ξ|2t12(︀1+|ξ|4t)︀12]︁|β|e−b|ξ|4t≤C|ξ||α|−|β|(︀1+|ξ|4t)︀|β|e−b|ξ|4t,(2.52)如果|β|>|α|,则⃒⃒⃒Dβξ(︁ξαe−b|ξ|4t)︁⃒⃒⃒≤C∑︁|γ|≤|α||ξ||α|−|γ||ξ||β|−|γ|t|β|−|γ|2(︀1+|ξ|4t)︀|β|−|γ|2e−b|ξ|4t≤C|ξ||β|−|α|t|β|−|α|2(︀1+|ξ|4t)︀|β|−|α|2∑︁|γ|≤|α|[︀|ξ|4t(︀1+|ξ|4t|)︀]︀|α|−|γ|2e−b|ξ|4t≤C|ξ||β|−|α|t|β|−|α|2(︀1+|ξ|4t)︀|β|−|α|2[︁1+(︀|ξ|4t(︀1+|ξ|4t)︀)︀12]︁|α|e−b|ξ|4t≤C|ξ||β|−|α|t|β|−|α|2(︀1+|ξ|4t)︀|β|+|α|2e−b|ξ|4t.(2.53)又由于当|β|≥|α|时,|ξ||β|−|α|t|β|−|α|2(︀1+|ξ|4t)︀|β|+|α|2e−b|ξ|4t=|ξ||β|−|α|(︀|ξ|4t)︀|β|+|α|2(︀1+|ξ|4t)︀|β|+|α|2e−b|ξ|4t=O(1)|ξ||α|−|β|(︀1+|ξ|4t)︀|β|e−b|ξ|4t,(2.54)我们得到(2.50).引理2.4.3假设G1(x,t)是̂︁G1(ξ,t)的Fourier逆变换,并且α是一个非负整数.那么,当ε足够小时,我们有以下的估计成立|Dαx G1(x,t)|≤C(1+t)−n+|α|4B N(︀|x|2,t)︀.(2.55)证明由于|ξ|<ε且ε足够小,我们可得到a|ξ|2−c<0.因此,̂︁G1(ξ,t)<e−b|ξ|4t.通过引理2.4.2我们得到⃒⃒⃒Dβξ(︁ξα̂︁G1(ξ,t))︁⃒⃒⃒≤C|ξ||α|−|β|(︀1+|ξ|4t)︀|β|+1e−b|ξ|4t.(2.56)直接计算可得⃒⃒xβDαξG1(x,t)⃒⃒=(︂1√2π)︂n⃒⃒⃒⃒∫︁R ne ixξDβξ(︁ξα̂︁G1(ξ,t))︁dξ⃒⃒⃒⃒≤C∫︁R n|ξ||α|−|β|(︀1+|ξ|4t)︀|β|e−b|ξ|4t dξ≤Ct|β|−|α|−n4,(2.57)进一步可得|DαxG1(x,t)|≤Ct−|α|+n4x−βt|β|4≤Ct−|α|+n4x−β(1+t)|β|4≤Ct−|α|+n4(︂1+tx4)︂|β|4.(2.58)另一方面,|Dαx G1(x,t)|=(︂1√2π)︂n⃒⃒⃒⃒∫︁R ne ixξ(︁ξα̂︁G1(ξ,t))︁dξ⃒⃒⃒⃒≤∫︁|ξ|<r|ξ|αe−b|ξ|4t dξ≤Ct−|α|+n4.(2.59)因此,我们有(令|β|=4N)|Dαx G1(x,t)|≤Ct−|α|+n4min(︃1,(︂1+tx4)︂N)︃.(2.60)由于1+x41+t≤⎧⎪⎨⎪⎩2,|x|4≤t+1,2|x|41+t,|x|4>t+1,我们有min (︃1,(︂1+tx4)︂N)︃≤2N(︀1+1+tx4)︀N=2N B N(︀|x|2,t)︀.(2.62)因此,我们得到(2.55).接下来,我们对G2(x,t)作估计.引理2.4.4对于任意固定的ε和R,存在正常数b1和C使得|Dαx G2(x,t)|≤Ce−b1t B N(︀|x|2,t)︀.(2.63)证明由于a2<4bc,我们知道μ(ξ)非负,并且ξ位于远离ξ=0和ξ=∞的有界区域中.因此,存在常数b0>0使得|̂︁G2(ξ,t)|≤Ce−b0t.从而,|Dαx G2(x,t)|≤C⃒⃒⃒⃒∫︁r≤|ξ|≤Re ixξ(︁ξα̂︁G2(ξ,t))︁dξ⃒⃒⃒⃒≤Ce−b0t∫︁r≤|ξ|≤R|ξ|αdξ≤Ce−b0t.(2.64)下一步,我们用数学归纳法证明下列不等式⃒⃒⃒Dβξ̂︁G2(ξ,t)⃒⃒⃒≤C(1+t)|β|e−b0t.(2.65)显然,当|β|=0时,上式成立.假设当|β|≤l−1时上式均成立,我们将证明当|β|=l时也成立.将χ2(ξ)和Dβξ作用于方程(2.3),我们得到⎧⎪⎨⎪⎩ðt Dβξ̂︁G2(ξ,t)−μ(ξ)Dβξ̂︁G2(ξ,t)=H(ξ,t),Dβξ̂︁G2(ξ,t)=a0,(2.66)其中,H(ξ,t)=∑︀|β1|+|β2|=|β|,|β|̸=0β!β1!β2!(︁Dβ1ξμ(ξ)Dβ2ξ̂︁G2)︁,并且a0是一个|ξ|的多项式函数.对于|β|=l,我们有Dβξ̂︁G2(ξ,t)=a0*̂︁G2(ξ,t)+∫︁t̂︁G2(ξ,t−s)H(ξ,s)ds.(2.67)由假设有⃒⃒⃒Dβξ̂︁G2(ξ,t)⃒⃒⃒≤Ce−b0t+C∫︁te−b0(t−s)e−b0s(1+s)|β|−1ds≤Ce−b0t(1+t)|β|.(2.68)因此,对每个1≤|β|≤l,我们有⃒⃒xβDαξG2(x,t)⃒⃒≤C⃒⃒⃒⃒∫︁R ne ixξDβξ(︁ξα̂︁G2(ξ,t))︁dξ⃒⃒⃒⃒≤C(1+t)|β|e−b0t∫︁r≤|ξ|≤R|ξ||α|+|ξ|||α|−|β||dξ≤C(1+t)|β|e−b0t≤C(1+t)|β|4e−b1t,(2.69)其中,b1∈(0,b0).进而有|Dαx G2(x,t)|≤Ce−b1t(︂1+tx4)︂|β|4.(2.70)结合(2.64)和(2.70),我们得到|Dαx G2(x,t)|≤Ce−b1t min(︃1,(︂1+tx4)︂N)︃.(2.71)由(2.62)及(2.71)立即推出(2.63).引理2.4.5选取足够大的R,则存在正常数C使得|Dαx G3(x,t)|≤Ce−ct(1+t)−|α|+n4B N(︀|x|2,t)︀.(2.72)证明由于|ξ|足够大,则存在正常数b2=a(R+1)2−b使得⃒⃒⃒̂︁G3⃒⃒⃒≤Ce−b2|ξ|4t e−ct.(2.73)又由引理2.4.2,我们得到⃒⃒⃒Dβξ(︁ξα̂︁G3(ξ,t))︁⃒⃒⃒≤C|ξ||α|−|β|(︀1+|ξ|4t)︀|β|e−b2|ξ|4t e−ct.(2.74)直接计算可得⃒⃒xβDαξG3(x,t)⃒⃒=(︂1√2π)︂n⃒⃒⃒⃒∫︁R ne ixξDβξ(︁ξα̂︁G3(ξ,t))︁dξ⃒⃒⃒⃒≤Ce−ct∫︁R n|ξ||α|−|β|(︀1+|ξ|4t)︀|β|e−b2|ξ|4t dξ≤Ct|β|−|α|−n4e−ct.(2.75)因此,我们得到|Dαx G3(x,t)|≤Ct−|α|+n4(︂1+tx4)︂|β|4e−ct.(2.76)另一方面|Dαx G3(x,t)|=(︂1√2π)︂n⃒⃒⃒⃒∫︁R ne ixξ(︁ξα̂︁G3(ξ,t))︁dξ⃒⃒⃒⃒≤∫︁|ξ|>R|ξ|αe−b2|ξ|4t e−ct dξ≤Ct−|α|+n4e−ct.(2.77)再次利用(2.62)以及上述的讨论方法,我们可以通过(2.76)与(2.77)得到(2.72).2.5非线性问题的逐点估计现在我们要给出问题(2.1)解的逐点估计.将(2.5)两端作用算子Dαx并应用Duhamel 原理，得到Dαx u=DαxG(t)*u0−∫︁tDαxG(t−s)*∇f(u)(s)ds:=Rα1−Rα2.(2.78)首先,我们对Rα1作估计.引理2.5.1假设|y|≤M,则有(︂1+|x−y|41+t)︂−1≤C(1+M4)(︂1+|x|41+t)︂−1.(2.79)证明由于|x|−|y|≤|x−y|≤|x|+|y|,我们有||x−y|−|x||≤|y|≤M,因此,|x|4=(|x|−|x−y|+|x−y|)4≤C((|x|−|x−y|)4+|x−y|4)≤C(M4+|x−y|4).从而,(︂1+|x−y|41+t)︂−1≤1+CM4+C|x−y|41+t≤C(1+M4)(︂1+|x−y|41+t)︂.证毕.由我们对初值u0的假设和引理2.5.1,我们得到|Rα1|≤|DαxG1*u0|+|DαxG2*u0|+|DαxG3*u0|≤C[∫︁R n(1+t)−n+|α|4B N(|x−y|2,t)u0(y)dy+∫︁R ne−b1t B N(|x−y|2,t)u0(y,t)dy+∫︁R n(1+t)−n+|α|4e−ct B N(|x−y|2,t)u0(y)]dy≤C(1+t)−n+|α|4∫︁R nB N(|x−y|2,t)u0(y)dy≤Cε(1+t)−n+|α|4B N(|x|2,t).(2.82)接下来,我们对Rα2作估计.关于Rα2我们有|Rα2|≤⃒⃒⃒⃒∫︁tDαxG1(t−s)*∇f(u)(s)ds⃒⃒⃒⃒+⃒⃒⃒⃒∫︁tDαxG2(t−s)*∇f(u)(s)ds⃒⃒⃒⃒+⃒⃒⃒⃒∫︁tDαxG3(t−s)*∇f(u)(s)ds⃒⃒⃒⃒:=Rα2,1+Rα2,2+Rα2,3.(2.83)下面我们将分别估计Rα2,1,Rα2,2和Rα2,3.令ϕ(x,t)=(1+t)n+|α|4(B N(|x|2,t))−1,M(t)=sup(x,s)∈R n×[0,t),|α|≤l−[n2]|Dαxu(x,s)ϕ(x,s)|.也就是说|Dαxu(x,t)|≤M(t)(1+t)−n+|α|4B N(|x|2,t).(2.86)进而计算得到|Dαxf(x,t)|≤Mρ(t)(1+t)−n2−|α|4B N(|x|2,t).(2.87)引理2.5.2假设x∈R n,n1,n2>n+12,如果|Dαx L1|≤C(1+t)−n2−|α|4B n1(|x|2,t),(2.88)和|Dαx L2|≤C(1+t)−n4−|α|4B n2(|x|2,t).(2.89)那么⃒⃒⃒⃒∫︁tDαxL1*DαxL2dx⃒⃒⃒⃒≤C(1+t)−n+|α|4B n3(|x|2,t),(2.90)其中,n3=min{n1,n2}.证明该引理的证明可以参考文献(Liu,2014)中引理2.4对θ=1时的内容,我们在此省略.根据引理2.4.3,|Dαx ∇G1(x,t)|≤C(1+t)−n+|α|+14,(2.91)我们应用引理2.5.2得到⃒⃒Rα2,1⃒⃒=⃒⃒⃒⃒∫︁tDαx∇G1(t−s)*f(u)(s)ds⃒⃒⃒⃒≤CMρ(t)(1+t)−n+|α|4B N(|x|2,t).(2.92)进一步地,我们可类似得到⃒⃒Rα2,3⃒⃒≤C|∫︁t∫︁R ne−c(t−s)(1+t−s)−|α|4B N(|x−y|2,t−s)(1+s)−n2−|α|4·B N(|y|2,s)dyds|≤CMρ(t)(1+t)−n+|α|4B N(|x|2,t),(2.93)⃒⃒Rα2,2⃒⃒≤C⃒⃒⃒⃒∫︁t∫︁R ne−b1(t−s)B N(|x−y|2,t−s)(1+s)−n2−|α|4B N(|y|2,s)dyds⃒⃒⃒⃒≤C|∫︁t∫︁R n(1+t−s)−n+|α|4B N(|x−y|2,t−s)(1+s)−n2−|α|4·B N(|y|2,s)dyds|≤CMρ(t)(1+t)−n+|α|4B N(|x|2,t).(2.94)结合(2.82),(2.92),(2.93)和(2.94)可得|Dαxu(·,t)|≤C(ε+Mρ(t))((1+t)−n+|α|4B N(|x|2,t)).(2.95)再根据M(t)的定义,我们有M(t)≤C(ε+Mρ(t)).(2.96)由于M(0)=supx∈R n,|α|≤l−[n2]−1|Dαxu0(x)|(1+|x|2)N,(2.97)可得下式M(0)≤ε.(2.98)由于E≪1,以及M(t)的连续性,我们得到M(t)≤2Cε,(2.99)当|α|≤min{l−[︀n2]︀−1,n}时,有|Dαxu(x,t)|≤C(1+t)−n+|α|4B N(|x|2,t).(2.100)引理2.5.3假设t>0,m>n4,则∫︁R n (︂1+|x|41+t)︂−mdx≤C(1+t)n4.(2.101)证明令w=|x|,我们有∫︁R n (︂1+|x|41+t)︂−mdx≤C∫︁∞(︂1+w41+t)︂−mw n−1dw≤C(1+t)n4∫︁∞[︃1+w(1+t)14]︃−4m+n−1dw(1+t)14≤C(1+t)n4,(2.102)其中,在最后一个不等式中用到了m>n4.推论2.5.1在定理2.3.1的假设下,对于p∈[1,∞],|α|<n,我们有下列估计‖Dαxu(·,t)‖L p≤C(1+t)−n4(1−1p)−|α|4.(2.103)证明当p∈[1,∞)时,由(2.100)我们有‖Dαx u(·,t)‖L p=(︂∫︁R n|Dαxu(x,t)|p dx)︂1p≤C(1+t)−n+|α|4(︂∫︁nR⃒⃒B N(|x|2,t)⃒⃒pdx)︂1p≤C(1+t)−n+|α|4[︃∫︁R n(︂1+|x|41+t)︂−Npdx]︃1p≤C(1+t)−n4(1−1p)−|α|4.(2.104)当p=∞时,注意到B N(|x|2,t)≤1,并由(2.100),我们得到‖Dαx u(·,t)‖L p=ess sup|Dαxu(x,t)|≤ess sup{C(1+t)−n+|α|4B N(|x|2,t)}≤C(1+t)−n4(1−1p)−|α|4.(2.105)证毕.。

一类二阶非线性泛函微分方程解的爆破现象

一类二阶非线性泛函微分方程解的爆破现象齐召敏;闫宝强【摘要】研究一类二阶非线性泛函微分方程x″=f(t,xt,x′),解的爆破现象.在一定条件下,方程的某些解在有限区间上发生爆破.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2010(010)034【总页数】4页(P8491-8493,8496)【关键词】泛函微分方程;有限区间;爆破【作者】齐召敏;闫宝强【作者单位】山东师范大学数学科学学院,济南,250014;山东师范大学数学科学学院,济南,250014【正文语种】中文【中图分类】O175.82000年李德胜和黄海洋[1]考虑了一类二阶非线性微分方程x″=f(t,xt,x′)解的爆破现象,并给出了充分的条件。

J.Baris,P.Baris和 B.Ruchlewicz[2]研究了一阶二次初值微分系统y′=py2+qy+r,y(0)=y0,的爆破解。

2006年,J.Baris,E.Wawiorko[3]研究了一阶三次初值微分系统y′=a3 y3+a2 y2+a1 y+a0,y(0)=y0,的爆破解。

到目前为止,对于泛函微分方程解的爆破现象还没有人考虑。

受此启发,我们来考虑二阶泛函微分方程解的爆破现象。

其中:L为常量。

f:[0,+∞)C×R→R,总假设为连续函数,且有xt=x(t+θ),θ∈ [-r,0],φ∈ C([-r,0],R),x∈C([0,n],R)。

范数定义为1.理 1假设 f满足:(F1)f∈ [0,+∞)C[-r,0]R,且 f有界;(F3)存在α≥0,β＞max(α,1),及 c0,c1,c2＞0,使得对.t∈ [0,+∞),有:(F4)存在常数 M0,使得当φ(0)≥M0时 ,有f(t,φ(0),0)≥ε0＞0,∀t∈ [0,+∞)。

设 x为式(1)的一个解,若存在t0∈[0,+∞)使得x(t0)≥M0,x′(t0)＞0,则其最大存在区间[t0,T)是有限的(T＜+∞),且2.理 1的证明假设定理1中各条件成立,令x为满足(F4)的式(1)的解,[t0,T)为x的最大存在区间。

一类四阶非线性波动方程解的爆破

”）２Ｉ＋ｆｕｄ＋ｕｌ＋ｆ＋（＝。２ｕｘ２ｌｌ２ｕｄｚ￡ＩＩＩｕｌ。ｘｕ
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（３）
（）４
其中，＞０是常数．卢若（）＞０且（）＞０，￡￡００则，
时，（）￡
２主要结果及证明
定理１假设（）∈ ＣＲ。ｕｓ（），，１∈Ｈｓ，）∈ Ｌ（，且存在ｙ＞０，满足
（＝【ｕｘｕ（）￡２ｄ＋ｕ）。＋￡】・
由Ｓｈａｚｃｗｒ不等式，ｔ得（（）￡）４（）。０＋０。＋０．￡［０ｕ０］ｕ
（７）
（）８
由（）利用方程（）６并１和分部积分，得
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第２２卷第２期
２００７年６月
洛阳大学学报
ＪＯＵＲＮＦＬＡＬＯＵＯＹＡＮＵＮＩＥＲＳＧＶｎＹ
Ｖ１２ｏ２ｏ．２Ｎ．
Ｊｎ２０ｕ．０７
一
类四阶非线性波动方程解的爆破水
５ｓ（）（３＋４／ｓ，Ｒ，３（）Ｖｓ∈ ）（）５
则问题（）２的广义解或古典解ｕｘｔ１，（）（，）在有限时刻发生爆破，下列条件之一成立：若
（）ＥＯ１（）＜０；

几类非线性发展方程解的整体存在性、爆破和渐近性质的开题报告

几类非线性发展方程解的整体存在性、爆破和渐近性质的开题报告非线性发展方程是研究物理、数学、工程等领域中不可避免的一个方向，其解的整体存在性、爆破和渐近性质是非常重要的研究方向。

本文主要介绍几类非线性发展方程解的整体存在性、爆破和渐近性质的相关内容。

一、非线性Schrodinger方程解的整体存在性、爆破和渐近性质非线性Schrodinger方程是一个通用的物理模型，其解的特性在光子学、等离子物理、物质物理、超导等领域中均有应用。

研究非线性Schrodinger方程的解的整体存在性、爆破和渐近性质已成为研究的热点问题。

在研究整体存在性时，可以通过质量守恒、能量估计、场与速度的适当调整等方法来证明解的整体存在性。

在研究爆破时，可以使用半离散的方法来研究解的爆破。

在易于爆破的非线性Schrodinger方程中，可以证明解会在某个时间点处于无限时间内爆破。

在研究解的渐近性质时，可以使用奇异摄动理论来研究解的长时间行为。

例如，可以证明解会在无限时间内趋于平衡状态，并且该平衡状态是双曲类型的。

二、非线性波动方程解的整体存在性、爆破和渐近性质非线性波动方程也是一个通用的物理模型，其解的特性在物理、数学、工程等领域中均有应用。

研究非线性波动方程的解的整体存在性、爆破和渐近性质也已成为研究的热点问题。

在研究整体存在性时，可以使用Mass-Vargas方法、Moser迭代法等方法来证明解的整体存在性。

在研究爆破时，由于非线性波动方程的特性，需要使用适当的衰减估计或限制条件来研究解的爆破。

例如，在未限制的情况下，解有可能在有限时间内爆破。

在研究解的渐近性质时，可以使用奇异摄动理论、不变量流形等方法来研究解的长时间行为。

例如，可以证明解会在无限时间内趋于平衡状态，但不同于线性波动方程，这种平衡状态可以是非常复杂的。

三、非线性演化方程解的整体存在性、爆破和渐近性质非线性演化方程有着广泛的应用，例如，它们可以用于描述激变物质的演化过程、介电材料的电场演化等。

带有非线性局部化反应源项的抛物方程组的爆破估计

带有非线性局部化反应源项的抛物方程组的爆破估计
带有非线性局部化反应源项的抛物方程组的爆破估计
李玲;胡学刚
【期刊名称】《重庆邮电大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2006(018)001
【摘要】讨论了一类带局部化非线性反应项的扩散方程组的爆破估计问题.在一些合理的假设条件下,对于初值问题,得到了解的爆破条件和爆破速率;对于相应的第一初边值问题,不仅建立了解的爆破估计,而且还获得了边界层估计.
【总页数】4页(134-137)
【关键词】抛物方程组;爆破;局部化源;边界层
【作者】李玲;胡学刚
【作者单位】重庆邮电学院,应用数学研究所,重庆,400065;西南大学,数学与财经学院,重庆,400715;重庆邮电学院,应用数学研究所,重庆,400065
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.带有局部化反应源和非局部边界条件的非线性抛物型方程组解的全局存在性和爆破性 [J], 黄小萍; 曾有栋
2.一个带有非局部源的非线性退化抛物型方程组解的爆破 [J], 张为元
3.带有非线性边界条件的非线性抛物型方程组的爆破速率估计[J], 刘卫岭; 李国富
4.具有非局部源项的抛物型方程组正解的爆破与爆破率 [J], 凌征球; 龚文振
5.一类带有局部化源的反应扩散方程组解的整体存在性及爆破[J], 李中平; 王雄。

一类服从不同规律的非线性抛物方程组的爆破分析

｛－等ｏ
【，＝ｊ “ Ｄ，ｊＥ
由此可知＇也保持有界这与我们的假没矛盾，ｕ因此同时爆破。
参考文献：
【】ｅｅｎｓＡ．ｎｓａｎｂｒ，ｉｃｌｔｎｏｌｗｕｒｈｏｉ１ＪＢｂｒｅ，ＢｅｓｎａｄＤＥｅｌＡｄｓｒｐｉｆｏ－ｐｆｅｌｙｏｂｏｔｓｄ
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首先，根据（）Ｈ条件，我们可以得到ｕ之间的关系。，ｖ引理２若条件（）．１Ｈ成立，ｕ）且（，是系统（１ｖ１）．的解，则有
【】．ｎ，ｌｗｕｎｌｓｓｏｓｍｆｅｔｑａｏｓｏｐｅ／ｎ３ＸＦＳｇＢｏ－ｐａａｙｉｆｒｓｔｏａｅｕｔｎｕｌｄｏａｙｅｈｉｃｉ— ｏ
在一定的初值假设下，了解有限时间爆破的条件和关于爆获得破速率以及爆破集的一些结论．５＇，在［ｔ赵立中等人研究了一类具１ｌ

一类具有外部扩散及非线性边界流问题解的爆破

一类具有外部扩散及非线性边界流问题解的爆破李颖韬;潘志刚【摘要】本文研究了一类具有外部扩散及非线性边界流问题,利用构造辅助函数,结合极值原理,利用经典的微分不等式,分别得到了其在Neumman边界和Dirichlet 边界下爆破解存在的充分条件,爆破时刻的上界估计,最后给出了定理在两个非线性问题中的具体应用。

【期刊名称】《应用数学进展》【年(卷),期】2017(006)008【总页数】11页(P975-984)【关键词】外部扩散;非线性边界;爆破解;爆破时刻【作者】李颖韬;潘志刚【作者单位】[1]西南交通大学数学学院,四川成都;;[1]西南交通大学数学学院,四川成都【正文语种】中文【中图分类】O1偏微分方程中，非线性抛物方程式具有重要意义，在非线性科学中，它也是重要的研究方向之一。

非线性抛物方程本身的非线性性质使得其解有爆破奇性可以对现实世界中许多扩散现象有一个科学的描述，在化学、物理、工程领域，非线性方程的爆破解问题可以应用到物质扩散与热传导问题，反映系统的不稳定状态[1]。

在描述自然现象如宇宙黑洞、热传导上、物质的扩散等问题上爆破解具有实际应用[2][3] [4]。

本文我们首先考虑一类非线性热传导模型：其中是一个有界区域且具有光滑边界是在边界∂D上向外的法向导数，T是最终时间，是有界区域D的闭包。

定义在本文中假定：函数。

a是正的函数，b是正的函数，f是正的函数，g是正的函数，对于任意k是负的函数。

为反应项，为扩散项，通过边界区域向区域内部的热流。

该模型可以解释成一个具有外部扩散和非线性边界流的混合介质中的热传播过程、化学反应过程等[5]，本文通过构造辅助函数与极值原理得到了方程爆破解存在的充分条件与爆破时刻的上界。

随后我们考虑这类非线性热传导模型在Dirichlet边界条件下的爆破解：其中是一个有界区域且具有光滑边界是在边界∂D上向外的法向导数，T是最终时间，是有界区域D的闭包。

定义在本文中假定：函数。

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（转第９下４页）
９４
太原师范学院学报（自然科学版）
第１卷１
参考文献：
ＥｉＭａＨ．ｅｉｌｒｙｍｅｓｒｒｃｌｂｒｔｅｆｔｒｇｔｌｖａｅｔｅｎｗｉｅｌｓａｔｇｐｏｌｍ［］ＩｆｒｔｎｌｎＪＡｎｗｓｍｉｉａｕｅｆｏｌｏａｉｉｅｉＯａｌｉｔｈｅｓｒｏｄｔｒｉｒｂｅＪ．ｎｏｍａｉａｔｏａｖｌｎｅｌ－ｎｏ
１９，４１５１２９９１９：５－８
１３ＳｔｎｅＨ．ｌｂｌｏｕｉｆｏｌｅｒｈｐｒｏｉｅｕｔｎ［］ＡｒｈＲａｉｎｌｃ．ａ，９８３１８１２－ａｔｇｒ３ｉＤＯｎｇｏａｓｌｔｎｏｎｉａｙｅｂｌｑａｉｓＪ．ｃ．ｔａｈＡｎ１１６，０：４ —７ｏｎｎｃｏｏＭｅ［３ＴｏｏｏａＣｕｈｒｂｅｒａｎｎｉｅｒｗａｅｅｕｔｎｔｏｌｅｒａｉｇａｄｓｕｃｅｍｓＪ．ｎｉｅｒａ．４ｄｒｖａｃｙｐｏｌｍｓｆｏｌａｖｑａｉｓｗｉｎｎｉａｍｐｎｎｏｒｅｔｒ［］Ｎｏｌａ１，Ｇ．ｏｎｏｈｎｄ－ｎＡｎ
０ ‘
（）２
（）３
因此有
Ｅ（）＝一ＩＩ ≤ ０ｌｌ “ 。．
ｌ解的整体不存在性结果
首先给出一个引理：引理［假设函数（）．，４￡ ∈Ｃ（）且满足如下条件Ｒ
ｆ（）￡＋（）≥ ｃ（＋Ｌ）ｏ￡（）ｔ０，￡，＞
示以原点为中心，￡。为半径的球，以＋Ｌｗ为Ｒ中单位球的体积．而由（）进６有
ｌ ≥ ｌＵ
由Ｈ（）￡的定义和（），７知
ｌ（（＋Ｌ）．ＩＵｗＮ￡。）
（）７（）８
ｌ ≥ （Ｈ（）号（（＋Ｌ）．ＩＵ２￡）ｗＮ￡。）
ＬｅｒｎｓｕｃｔｒｏｅｎｄＲｅｏｍｅｄｄＳｒｔｇａｙｉａｎｉｇＲｅｏｒｅＮｅｗｏｋＭｄｌａｃｍｎｅｔａｅｙＡｎｌｓｓ
（＋＝ｐ（号ｌｌ生ＩＩ￡Ｈ￡：Ｅ）１）Ｕ。ＩＩ）（：（＋＋Ｉ）一ｔ＋ “；．
由假设Ｅ（）０４ｏ以及（）３可知
（）Ｈｆｆ＋（）≥
ｑ
『ｌ “
（）５
又由于ｕｘ，）（￡的有限传播速度以及Ｈ６ｄｒ等式知，１ｅ不
一ｌＩ＿・Ｉ
．
在（）１的方程两边乘以 “ ，再在Ｒ上对ｚ积分，则有
１ｆ＋ｌ＋ｌ＋ｌｌｌｌ吉ｄ丽ｄ“ ｌＩｌ吉ｌｄ“ｑＩ．
定义系统（）能量函数为１的
Байду номын сангаас
Ｅ￡一百ｌｌ＋｛ｌ￣（） “ｌ一Ｊ，（）１Ｉ地ＩＩ／ｘＶＪｆａ； “
收稿日期：０１０ — ５２１－９１
作者简介：利平（９２）女，士，何１７一，硕晋城职业技术学院讲师，要从事偏微分方程研究主
６２
太原师范学院学报（自然科学版）
第１卷１
Ｗ “ （）Ｒ）紧支急，ｏ，满足如下条件Ｒ ×Ｌ（有Ｕ ≠０且
０引言
我们研究考虑如下具有非线性源项的波动方程的Ｃｕｈａｃｙ问题
ｆ一ｄｖａｘ “ ｉ（（）ＩＶ“ｌ “ ＋＝ｌ。）＝ｌ＝Ｕ
， ∈Ｒｔ（， ’ ， ∈ ０Ｔ）
１（，）一 “（）地（，）ｌｚ， ∈Ｒ．ｘ０ｕｏｚ，ｚ０一（）Ｎ
其中Ｎ≥ １ ≥２ｇ２口ｚ ∈ＬＲ）存在正常数ｎ，，，≥ ，（）（，。使得ａｚ ≥ 口．（）。
、
关于非线性波动方程的Ｄｉｃｌ问题解的整体存在性和整体不存在性的讨论已经有很多结果．ｅｉｅｒｈｅｉｔＬｖｎ在文献［］１中利用凸性方法研究了具线性阻尼的系统当初始能量为负时，是整体不存在的．ｔｌｏ在文解Ｖｉｌｒｉａ献［］２中证明了初始能量为正时解的整体不存在性结果，ａｔｇｒ文献［］Ｓｔｉｅ在ｎ３中引入位势阱方法证明了解的整体存在性和解的整体不存在性．
，
ｒ
ＩＩ ≤ｃＩＩ ≤ｃＩＩ “ ｆ “Ｉ；ｆＩ
（ＢＬｌｘ一Ｃ “Ｉ（（＋Ｌ），、（ｄ）Ｊ件）ＩｆＩＩｗ。Ｉ ‘ ）
（）６
其中ｃ是嵌入常数使得Ｉ ≤ ｃＩ，。ｌＪＪＪＵＵＬ＞０为常数，ｓｐ｛。ｚ，ｚ）｛＜）Ｂ（＋Ｌ）且ｕｐ “ （）Ｕ（）ｊＪ，￡。表
（键词］非线性波动方程；ｕｃ关Ｃａｈｙ问题；线性源项；的爆破非解
［章编号］１７ — ０７２１）１０６－２（图分类号］文６２２２（０２０－０１０中
０１５２（献标识码）Ａ７．９文
Ｓｃｅｅ２０１８１２ — ９ｉｎｃ。０８，７（）：８６
Ｅ］余胜泉，２毛［］郁３［］张４ＥＪ谢ｓ
芳．正式学习一ｅｅｒｉｇ研究与实践的新领域［］电化教育研究，０５１）１ —３非 —ＬａｎｎＪ．２０（０：８２
２０４１８１９５００，：９－０
Ｅ］Ｚｏｎ．ｌｗｕｅｕｔｏｏｌｅｒｖｑａｉｎｗｉａｉｇａｄｖｎｓｉｇｉｉａｅｅｇ［］ＡｐｅＭａｈｓｈｕＹｏｇＡｂｏ — ｐｒｓｌｆｒｎｎｉａｅｅｕｔｔｄｍｐｎｎａｉｎｔｌｎｒｙｉＲＮＪ．ｐｌａｎｗａｏｈｈｎｉｎ．ｔ．
雪．于协同过滤技术的推荐方法研究［］天津：津大学，０９２ —８基Ｄ．天２０：７２驰，陈芳，王刚，慧敏．王基于混合推荐技术的推荐模型［］计算机工程，ｏＯ３（２：５ —５Ｊ．２ｌ，６２）２８２３波．于关联规则个性化推荐的改进算法［］计算机应用，０６２（２：４—５基Ｊ．２０，６ｓ）１９１１
１（＞ｏ，），０，（ ≥０）ｏ
其中常数Ｃ＞０Ｌ。，＞Ｏ一ｌｉ，＞Ｏ则函数（），＜ｆ￣Ｏ口．在有限时刻爆破．
定２设（）ｃ０）是统１解１＜，口＜．值‰ 。理 “，（，；（）系（的，＜ｑ（， ∈ ｚ ∈ ［ＴＨＲ））＜＿Ｎ初）
２２年３月０１
一
类具非线性源项的波动方程解的爆破研究
何利平
（晋城职业技术学院，山西晋城０８０）４００
（要］文章研究一类具有线性阻尼和非线性源项的波动方程的柯西问题．过构造合适的摘通辅助函数，构造合适的微分不等式，出了系统解的爆破的充分条件．并给
对于波动方程的Ｃｕｈａｃｙ问题解的性质的研究近年来也有一些结果［，］主要是方程具有线性主部的４５，
情形下讨论阻尼项和源项之间的关系，进而有解的整体存在性和解的整体不存在性结果．
注
为方便记：Ｉ・ｌ— ｌｌ，【ｌＩｌ・Ｉｚｌ・
ＲＮ
Ｉｌ一ＩＩｌ地。１
将两式相加，得
Ｕｔｚ＋ＩＩ，ＵｄＩ； “Ｉ
Ｈｎｔ＋Ｈ￡（）（）＝ｌｌ一ｌＩ＿ “ 。ｌ结合能量关系式（）（）得到２和４，
“Ｉ＋ｌｌ．ｌ；Ｉ： “ｌ
（４）
．
又由于Ｈ（），（），０＞ＯＨ０ ≥Ｏ因此由引理１知，函数Ｈ（）有限时刻爆破，在即解ｕｘ，）（在有限时刻爆破．参考文献：