一类具有非线性阻尼项和源项的波动方程整体解的不存在性
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高校应用数学学报 ２ １ ， ５２： ４ —５ ０ ０ ２ （） １ ９１４
具 有 非线 性 阻尼 项 和源 项 的波 动 方 程
整 体解 的不存 在 性
叶耀 军
（ 浙江科技学院 数学与信息科 学 系，浙 江杭 Ｉ １ ０ ３ Ｉ３ ０ ２ ）
摘 要 ： 研 究 了一 类含 有 非 线 性 阻尼 项 和 源 项 的 波 动 方程 的 初 边 值 问题 ． 证 明 了 当
以后用ｌ 表示Ｌ （ 范数， （ ｘｉ为 ， ，＝ １２… 表示一些正常数， １ ． ） ｕｔ ） ， ｇ （ ｉ ，， ） 在不同的地
方 出现 时 可 能 不相 同 ．
§ 主要结果 ２
为了叙述和证明主要结果， 首先定义问题 （） ３解 的能量 １一 ） （
Ｅ ＝ ｌｔ ） ＋ １ｌ Ｉ （ ｌ （ Ｖ （ Ｉ ） “ ｒ￡ ｌ ）
况（＞２， ｆ ）他们证明了在初始能量为负的情况下， ｐ ｆ 时解整体存在； ＜ｐ ｆ 时解在有限时间内 发 生爆破 ．Ｖ ｔｌｒ［ 】 ｉｌ ｏ１ 把这些结果推广到初始能量为正的非线・＿ ｇ ｚ １ ． ｉａ ０ ｔＮＹ （ ＞０情况 ￣ Ｙ ｎ［ ａｇｕ研究 了类似于（）３的问题， Ｊ １一 ） （ 并证 明了ｐ＞ ｍａ ｛ ｝ ｘ ｍ，ｆ和初始能量为 负时解 的爆破
ｎ — ｍ
并且ｕ ’ ） ／ ∈Ｌ （ ； ０∈ （ ，ｌ ， ２ ）则问题 （）（） 唯一解ｕ ， １ １一 存在 ３ （ 满足 ）
札∈ 。［ ） ’（ ） ∈ 。［ ） ２ ） ｌ０ ） ｌ ） ｏ（ ， ； 仃 ） ０ ， 。（ ， ； （ ｎ （ ， ； （ ． ０ Ｌ ） Ｌ 【 Ｌ ）
如果不含强 阻尼项一△“ ， ｔ 则方程 （） １变为 ｊｌ ， ｘ ｔ ∈力 ×Ｒ＋ “ 一 乱 ，） ． （） ４
当（） ４不含 源 项 ｆ『 。时，阻尼 项 保 证 了整 体解 的存 在 性 和 衰减 性［６． 当（） 含 阻尼 ｐ “ 一 】 － ４不 项Ｉｔ ｕ时， “ ｔ 如果ｐ＞ｍ， 则具有 负初始能量 的解在有限时间 内爆破 ．
收 稿 １ ： ０ ９０ —６ ９期 ２ ０ — ４２
基金项 目： 浙江省教育厅科研计划项 目（ ０８ ３０ ）浙 江科 技学院科研基金（０ ８３； Ｙ２０ ０８４ ； ２ （Ｏ） 浙江科技学院中青年骨干 ］ 教师 资助项 目（ ０ ８２ １ ） 浙江省教育厅科 研计划 项 目（ ２ ０ ０ ２ ８ ２ ０—０２； Ｙ ０ ９７ ９）
。 ，
其 Ｑ ） 中 （＝
一 ． 是 譬 于
Ｑ（） 一 一 一，Ｑ （） ｍ 一１ 一 ～（ ）Ｉｖ ＝ ｝ ” ＝（ ） 。 Ｐ一１ ￣ 一， ＣＡ
由 ，） ０，１ 产 ， ／ Ｑ（得Ｑ（ ＜ ． 此Ｑ ） 取 最 值 Ｑ ：得 ： ｆｋ ，），，） ０因 ，（在 １ 得 大 （ ￣Ｎ ， ， 处
根据条件 （） ￣Ｓ ｂ ｌ 嵌入定理有 ７， ｏ ｏｅ ｖ
Ｉ（ ｌ ＣＩＶｕｔｌ ， ０ Ｉｔｌ Ⅱ） ｌ （ ｌ ｔ ， Ｉ ）
由（） ８得 ６和（）
Ｅ １Ｉ．￡Ｉ （ Ｖ“ ） ） Ｉ （Ｉ
一
ｃ （ Ｉ ｆＷ ） Ｉ ｔｌ Ｉ
＝
Ｑ（ｖ （ １ ， Ｉ ｕ￡１ Ｉ ） ）
§ 引 言 １
本 文考虑 下面 的初边值 问题
一
差Ｉ 。 －＋ｚ＝＿ ∈Ｒ （ｒ ）ｕｕｕ ＋ Ａ［ ｔ一 ｔｔ － × Ｉ ２ － ２
ｕｘ０ ＝ｕ （） ｔ ，） ｕ（） Ｘ∈ ， （，） ０ ，ｕ（ ０ ＝ １ ， ｘ
ｕｘ ｔ ＝０ ｔ ∈ （ ，） ，（，） ×Ｒ＋ ，
结 果 ．之 后 ， ｅｓｏ ｄ和 Ｓ ｉ— ｏ ａｉ ２ 进 ＴＹ ｎ 的 结 果 ． Ｍ ｓａ ｕ ｉ ａ Ｈ ｕ ｒ１ 改 ｄ ［】 ａｇ
本文将证明初始能量为正时， 问题（）（） １． 的局部解在有 限时间内爆破．通过修 改ｆ １ ３ １ 中的方 ０
法， 在关于初始能量较弱的条件 下， 得到 了整体解 的不存在性．
（） １ （） ２
Leabharlann Baidu（） ３
其中 是Ｒ 中具有光滑边界 的有界区域， Ｒ十三 ［ ＋。 ） ｍ， ， ＞ ２ ０ 。， Ｐ １ ． ，
方程（） 了粘 弹性力学 中的纵 向运动， １描述 也可 以用来描述控 制粘弹性结构 的纵 向运动服从
非线 Ｖ ｉｈ模型［ ． Ｉ ｏｇ ｔ ￣ ・
初始 能量Ｅ（） Ｏ满足０＜Ｅ（） （为一正 常数） 问题 的整体解 的不存在性并给 出了 Ｏ＜ ｄ 时，
解的生命跨度估计．
关键词 ： 非线性阻尼 项和源项； 整体 解的不存在性； 波动 方程： 初边值 问题
中图分类号 ： ７ ． ０１ ５ ２
文 献标识码 ：
文章编 号： ００４２ （０００—１９０ １０—４４２ １）２０４—６
１０ ５
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ 卷第２ ５ 期
Ｌ ｖｎ ［８ 虑 了ｍ ＝ ｆ＝ ２ ｅ ｉｅ －考 ７』 时， 阻尼项 和源 项之 间 的相 互作 用， 并证 明 了具 有负 初始 能 量 的解在有 限时 间 ｂｏ —ｐ ｌ ｕ ．Ｇ ｏｇｅ ￣ Ｔ ｄ ｒｖ ［把Ｌ ｖｎ ￣结 果推广 到 非线性 阻尼 的情 ｗ ｅ ｒｉ Ｉ ｏ ｏｏ ａ 】 ｅ ｉｅ ｖ ］ 。
由ｆ） ５知
一
ｌ（） ． ｌ￡
（） ５
） ｌ ｉ ㈤ ｌ ｙ札
一
㈤Ｉ， ０ Ｉｔ ． ；
（） ６
利用［ 】 １ 中的方法可证明（ 一 ） ３ １ （ 有下面的局部存在性结果． ）３
定理 １ 假 设ｍ，满足条件 ｐ
２ ＜ ｍ ＜ Ｐ ＜ ， 礼 ＞ ｍ ； ２ ＜ ｍ ＜ Ｐ ＜ ＋ ∞ ，ｎ ＜ ｍ ．
具 有 非线 性 阻尼 项 和源 项 的波 动 方 程
整 体解 的不存 在 性
叶耀 军
（ 浙江科技学院 数学与信息科 学 系，浙 江杭 Ｉ １ ０ ３ Ｉ３ ０ ２ ）
摘 要 ： 研 究 了一 类含 有 非 线 性 阻尼 项 和 源 项 的 波 动 方程 的 初 边 值 问题 ． 证 明 了 当
以后用ｌ 表示Ｌ （ 范数， （ ｘｉ为 ， ，＝ １２… 表示一些正常数， １ ． ） ｕｔ ） ， ｇ （ ｉ ，， ） 在不同的地
方 出现 时 可 能 不相 同 ．
§ 主要结果 ２
为了叙述和证明主要结果， 首先定义问题 （） ３解 的能量 １一 ） （
Ｅ ＝ ｌｔ ） ＋ １ｌ Ｉ （ ｌ （ Ｖ （ Ｉ ） “ ｒ￡ ｌ ）
况（＞２， ｆ ）他们证明了在初始能量为负的情况下， ｐ ｆ 时解整体存在； ＜ｐ ｆ 时解在有限时间内 发 生爆破 ．Ｖ ｔｌｒ［ 】 ｉｌ ｏ１ 把这些结果推广到初始能量为正的非线・＿ ｇ ｚ １ ． ｉａ ０ ｔＮＹ （ ＞０情况 ￣ Ｙ ｎ［ ａｇｕ研究 了类似于（）３的问题， Ｊ １一 ） （ 并证 明了ｐ＞ ｍａ ｛ ｝ ｘ ｍ，ｆ和初始能量为 负时解 的爆破
ｎ — ｍ
并且ｕ ’ ） ／ ∈Ｌ （ ； ０∈ （ ，ｌ ， ２ ）则问题 （）（） 唯一解ｕ ， １ １一 存在 ３ （ 满足 ）
札∈ 。［ ） ’（ ） ∈ 。［ ） ２ ） ｌ０ ） ｌ ） ｏ（ ， ； 仃 ） ０ ， 。（ ， ； （ ｎ （ ， ； （ ． ０ Ｌ ） Ｌ 【 Ｌ ）
如果不含强 阻尼项一△“ ， ｔ 则方程 （） １变为 ｊｌ ， ｘ ｔ ∈力 ×Ｒ＋ “ 一 乱 ，） ． （） ４
当（） ４不含 源 项 ｆ『 。时，阻尼 项 保 证 了整 体解 的存 在 性 和 衰减 性［６． 当（） 含 阻尼 ｐ “ 一 】 － ４不 项Ｉｔ ｕ时， “ ｔ 如果ｐ＞ｍ， 则具有 负初始能量 的解在有限时间 内爆破 ．
收 稿 １ ： ０ ９０ —６ ９期 ２ ０ — ４２
基金项 目： 浙江省教育厅科研计划项 目（ ０８ ３０ ）浙 江科 技学院科研基金（０ ８３； Ｙ２０ ０８４ ； ２ （Ｏ） 浙江科技学院中青年骨干 ］ 教师 资助项 目（ ０ ８２ １ ） 浙江省教育厅科 研计划 项 目（ ２ ０ ０ ２ ８ ２ ０—０２； Ｙ ０ ９７ ９）
。 ，
其 Ｑ ） 中 （＝
一 ． 是 譬 于
Ｑ（） 一 一 一，Ｑ （） ｍ 一１ 一 ～（ ）Ｉｖ ＝ ｝ ” ＝（ ） 。 Ｐ一１ ￣ 一， ＣＡ
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根据条件 （） ￣Ｓ ｂ ｌ 嵌入定理有 ７， ｏ ｏｅ ｖ
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由（） ８得 ６和（）
Ｅ １Ｉ．￡Ｉ （ Ｖ“ ） ） Ｉ （Ｉ
一
ｃ （ Ｉ ｆＷ ） Ｉ ｔｌ Ｉ
＝
Ｑ（ｖ （ １ ， Ｉ ｕ￡１ Ｉ ） ）
§ 引 言 １
本 文考虑 下面 的初边值 问题
一
差Ｉ 。 －＋ｚ＝＿ ∈Ｒ （ｒ ）ｕｕｕ ＋ Ａ［ ｔ一 ｔｔ － × Ｉ ２ － ２
ｕｘ０ ＝ｕ （） ｔ ，） ｕ（） Ｘ∈ ， （，） ０ ，ｕ（ ０ ＝ １ ， ｘ
ｕｘ ｔ ＝０ ｔ ∈ （ ，） ，（，） ×Ｒ＋ ，
结 果 ．之 后 ， ｅｓｏ ｄ和 Ｓ ｉ— ｏ ａｉ ２ 进 ＴＹ ｎ 的 结 果 ． Ｍ ｓａ ｕ ｉ ａ Ｈ ｕ ｒ１ 改 ｄ ［】 ａｇ
本文将证明初始能量为正时， 问题（）（） １． 的局部解在有 限时间内爆破．通过修 改ｆ １ ３ １ 中的方 ０
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（） １ （） ２
Leabharlann Baidu（） ３
其中 是Ｒ 中具有光滑边界 的有界区域， Ｒ十三 ［ ＋。 ） ｍ， ， ＞ ２ ０ 。， Ｐ １ ． ，
方程（） 了粘 弹性力学 中的纵 向运动， １描述 也可 以用来描述控 制粘弹性结构 的纵 向运动服从
非线 Ｖ ｉｈ模型［ ． Ｉ ｏｇ ｔ ￣ ・
初始 能量Ｅ（） Ｏ满足０＜Ｅ（） （为一正 常数） 问题 的整体解 的不存在性并给 出了 Ｏ＜ ｄ 时，
解的生命跨度估计．
关键词 ： 非线性阻尼 项和源项； 整体 解的不存在性； 波动 方程： 初边值 问题
中图分类号 ： ７ ． ０１ ５ ２
文 献标识码 ：
文章编 号： ００４２ （０００—１９０ １０—４４２ １）２０４—６
１０ ５
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ 卷第２ ５ 期
Ｌ ｖｎ ［８ 虑 了ｍ ＝ ｆ＝ ２ ｅ ｉｅ －考 ７』 时， 阻尼项 和源 项之 间 的相 互作 用， 并证 明 了具 有负 初始 能 量 的解在有 限时 间 ｂｏ —ｐ ｌ ｕ ．Ｇ ｏｇｅ ￣ Ｔ ｄ ｒｖ ［把Ｌ ｖｎ ￣结 果推广 到 非线性 阻尼 的情 ｗ ｅ ｒｉ Ｉ ｏ ｏｏ ａ 】 ｅ ｉｅ ｖ ］ 。
由ｆ） ５知
一
ｌ（） ． ｌ￡
（） ５
） ｌ ｉ ㈤ ｌ ｙ札
一
㈤Ｉ， ０ Ｉｔ ． ；
（） ６
利用［ 】 １ 中的方法可证明（ 一 ） ３ １ （ 有下面的局部存在性结果． ）３
定理 １ 假 设ｍ，满足条件 ｐ
２ ＜ ｍ ＜ Ｐ ＜ ， 礼 ＞ ｍ ； ２ ＜ ｍ ＜ Ｐ ＜ ＋ ∞ ，ｎ ＜ ｍ ．