河南省南阳市2018届高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2017年秋期高中三年级期终质量评估
数学试题（文）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】或，，
，故选A.
2.已知（为虚数单位），则复数（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，，，，故选C.
3.已知双曲线的一条渐近线的方程是：，且该双曲线经过点，则双曲线的方程是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题可设双曲线的方程为：，将点代入，可得，整理即可得双曲线的方程为. 故选D.
4.设，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为，，故选
B.
5. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个
数，所以甲被选中的概率，故选B．
考点：古典概型及其概率的计算．
6.已知实数满足，则目标函数（）
A. ，
B. ，
C. ，无最小值
D. ，无最小值
【答案】C
【解析】
画出约束条件表示的可行域，如图所示的开发区域， 变形为 ，平移直线，由图知，到直线
经过
时
，因为可行域是开发区域，所以
无最小值，
无最小值，故选C.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】
由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥，图中正方体的棱长为，该多面体如图所示，外接球的半径为为，外接圆的半径，由可得，，故
该多面体的外接球的表面积，故选C.
8.运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）
A. 2017
B. 2016
C. 1009
D. 1008
【答案】D
【解析】
输出结果为，选D.
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
9.为得到的图象，只需要将的图象（ ）
A. 向右平移个单位
B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位
D. 向左平移个单位 【答案】D 【解析】 试题分析：因为，所以为得到
的
图象，只需要将
的图象向左平移个单位；故选D ．
考点：1.诱导公式；2.三角函数的图像变换． 10.函数
的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】
当
时，
，由，得，由
，得
，
在
上递
增，在上递减，，即
时，
，只有选项C 符合题意，故选C.
11.设数列的通项公式
，若数列
的前项积为，
则使
成立的最小正整数为（ ）
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12 【答案】C 【解析】
因为
，所以
，该数列的前项积为
，使
成立的最小正整数为，故选C.
12.抛物线
的焦点为，过且倾斜角为60°的直线为，
，若抛物线上存在一点，
使关于直线对称，则（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5 【答案】A 【解析】
关于过倾斜角为
的直线对称，
，由抛物线定义知， 等于点 到准线的距离，即
，由于
，，
，代入抛物线方程可得
，
，解得
，故选A.
【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及点关于直线对称问题，属于难题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
，
切线的斜率
，又过
所求切线方程
为
，即
，故答案为
.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于简单题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求
出
在
处的导数，即
在点
出的切线斜率（当曲线
在处的切线与轴平行时，
在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.
14.已知点，
，
，若
，则实数的值为_______．
【答案】 【解析】
点
，
，
，
，又，
，两边平方得
，解得
，经检验
是原方程的
解，实数的值为，故答案为.
15.已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．
【答案】
【解析】 试题分析：
，由正弦定理得.
考点：解三角形，三角形外接圆.
16.若不等式对任意正数
恒成立，则实数的取值范围为_____．
【答案】
【解析】
不等式
对任意正数
恒成立，
，
，当且仅当时取等号，，实数的取
值范围为，故答案为.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.等差数列中，已知
，
，且
，
，
构成等比数列
的前三项.
（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列
的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
试题分析：（1）根据等差数列
的
，且
，
，
构成等比数列，列出关于首项、
公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式，进而可得
的通项公式；（2）
由（1）可得
，利用错误相减法求和后即可得结果.
试题解析：（1）设等差数列的公差为，则由已知
∴
又解得或（舍去）
∴，∴
又，∴，∴
（2）
∴
两式相减得
则.
【易错点晴】本题主要等差数列、等比数列的通项公式、“错位相减法”求数列的和，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.
18.经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数（0＜≤10）与销售价格（单位：万元/辆）进行整理,得到如下的对应数据：
（Ⅰ）试求关于的回归直线方程；
（附：回归方程中，
（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为万元,根据（Ⅰ）中所求的回归方程,预测为何值时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润最大.
【答案】（I）；（II）预测当时,销售利润取得最大值．
【解析】
试题分析：（1）由表中数据利用平均数公式计算，根据公式求出将样本中心点坐标代入回归方程求得，即可写出回归直线方程；（2）写出利润函数，利用二次函数的图象与性质求出
时取得最大值.
试题解析：（1）由已知：,,,
，；
所以回归直线的方程为
（2）
，
所以预测当时,销售利润取得最大值．
19.如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，是的中点，与交于点，且平面.
（1）证明：；
（2）若，求三棱柱的高.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
试题分析：（1）在矩形中，根据相似三角形的性质可知，由平面，可得
平面平面，∴；（2）设三棱柱的高为，即三棱锥
的高为.又，由得,∴.
试题解析：（1）在矩形中，由平面几何知识可知
又平面，∴，平面
平面平面，∴.
（2）在矩形中，由平面几何知识可知，
∵，∴，∴，
设三棱柱的高为，即三棱锥的高为.
又，由得
,∴.
20.平面直角坐标系中，已知椭圆（）的左焦点为，离心率为，过点且垂直于长轴的弦长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点的直线与椭圆相交于不同两点、，求面积的最大值．
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，结合的关系列出关于、、的
方程组，求出、，可得椭圆的方程；（2）讨论直线的斜率为和不为，设方程为
，代入椭圆方程，运用韦达定理与弦长公式求得弦长，求出点到直线的距离运用三角形的面积公式，化简整理，运用换元法和基本不等式，即可得到面积的最大值.
试题解析：（1）由题意可得，令，可得，即有，
又，所以，．
所以椭圆的标准方程为；
（2）设，，直线方程为，
代入椭圆方程，整理得，
则，所以．
∴
当且仅当，即．（此时适合的条件）取得等号．
则面积的最大值是．
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.
21.已知函数（其中，为常数且）在处取得极值．
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若在上的最大值为1，求的值．
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，；单调递减区间为; （Ⅱ）或.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据是的一个极值点，可构造关于，的方程，根据求出值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，的范围，可得函数的单调区间；
（Ⅱ）对函数求导，写出函数的导函数等于0的的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于的方程求得结果．
试题解析：
（Ⅰ）因为，所以，
因为函数在处取得极值，
当时，，，
由，得或；由，得，
即函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．
（Ⅱ）因为，
令，，，
因为在处取得极值，所以，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间上的最大值为，
令，解得，
当，，
当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以最大值1可能的在或处取得，而，所以，解得；
当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以最大值1可能在或处取得，
而，
所以，
解得，与矛盾．
当时，在区间上单调递增，在上单调递减，
所最大值1可能在处取得，而，矛盾．
综上所述，或．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为．
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）若点，设圆与直线交于点，求的最小值．
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：（1）由得，由，从而得解；
（2）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，
，。

由韦达定理代入求解即可.
试题解析：
（1）由得，化为直角坐标方程为
（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得（*）
由，故可设是方程（*）的两根，
∴
又直线过点，故结合的几何意义得：
∴的最小值为．
23.选修4-5：不等式选讲
已知，，函数的最小值为．
（1）求的值；
（2）证明：与不可能同时成立．
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先利用三角绝对值不等式的性质求得最小值的表达式，然后结合已知条件求解即可；（Ⅱ）首先由（1）及基本不等式，得，然后假设与同时成立，推出且，与
相矛盾，即证得结论．
试题解析：（1）∵，
∴.
（2）∵且，由基本不等式知道：，∴
假设与同时成立，则由及，得．
同理，∴，这与矛盾，故与不可能同时成立. 考点：1、基本不等式；2、三角绝对值不等式的性质；3、反证法．。