2020年河北省高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(含答案解析)

2020年河北省高考数学模拟试卷(理科)(3月份)
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={x||x−3|<4}，B={x|x2+2x−8≥0}，则A∩∁R B=()
A. {x|−1<x<2}
B. {x|−4<x<7}
C. {x|−1<x<7}
D. {x|x>2或x<−4}
2.已知复数z=1+i，则|z
i
|等于()
A. 4
B. 2
C. √2
D. 1
2
3.已知向量a⃗=(3,4)，b⃗ =(−3,1)，a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则tanθ等于()
A. 1
3B. −1
3
C. −3
D. 3
4.若双曲线C：x2
2−y2
3m
=λ的一条渐近线方程为2x+3y=0，则m=()
A. 3
2B. 2
3
C. 8
27
D. 27
8
5.已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形，俯视图为等
腰直角三角形，则此三棱锥的表面积为()
A. √3+√7
B. 1+√3+√7
C. 1+2√3+√7
D. 1+√3+2√7
6.已知随机变量X服从正态分布N(1 , σ2)，若P(0<X⩽1)=0.3，则P(X⩾2)等于()
A. 0.7
B. 0.35
C. 0.4
D. 0.2
7.将函数的图象向右平移π
6
个单位长度，得到的图象关于y轴对称，则ω的最小值为()
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
8.函数f(x)=ln|x−1|
|1−x|
的图象大致为()
A.
B.
C.
D.
9. 已知平面区域Ω：{(x +2y −1)(x −2y +3)≥0
|x −1|≤3
，则Ω的面积为( )
A. 11
B. 13
C. 15
D. 17
10. 设函数f(x)= ln(1+|x|)−1
1+x 2，则使得f(x)>f(2x −1)成立的x 的取值范围是( )
A. (−∞,1
3)∪(1,+∞) B. (1
3,1)
C. (−13,1
3)
D. (−∞,−1
3)∪(1
3,+∞)
11. 已知直线l ：y =kx +1与抛物线C ：x 2=4y 交于A 、B 两点，直线m ：
y =2kx +2与抛物线D ：x 2=8y 交于M 、N 两点，若对于任意k ∈R 时，λ|AB|−|MN|为定值，则实数λ的值为( )
A. 12
B. 8
C. 4
D. 2
12. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：
已知x ∈[150,300]且x 是整数，则满足能被3除余1且被5除余3的所有x 的取值的和为( )．
A. 2020
B. 2305
C. 4610
D. 4675
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. (x 2+1x 2−2)3
的展开式中常数项为________．
14. 函数f(x)=√x −1+2x 的值域为______ ．
15. 已知等比数列{a n }有a 1+a 4=36，a 2+a 5=18，则a 1a 2…a n 的最大值为______．
16. 在三棱锥S −ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA =2,AB =1,BC =2√2,AC =√5，则该三棱锥的外接
球表面积为________．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=√6，A=60°，b−c=√3−1，求b，
c和B，C．
18.如图所示，已知三棱锥P−ABC中，底面ABC是等边三角形，且PA=PB=AC=2，D、E分
别是AB、PC的中点．
(1)证明：AB⊥平面CDE；
(2)若PC=√6，求二面角A−PB−C的余弦值．
19.根据空气质量指数AQI(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表：
AQI(数值)0～5051～100101～150151～200201～300>300
空气质量级别一级二级三级四级五级六级
空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染
空气质量类别颜色绿色黄色橙色红色紫色褐红色
某市2014年11月1日−11月30日，对空气质量指数AQI进行监测，获得数据后得到如下条形图：
(1)市教育局规定在空气质量类别达到中度污染及以上时学生不宜进行户外跑步活动，估计该城市本月(按30天计)学生可以进行户外跑步活动的概率；(2)在上述30个监测数据中任取2个，设ξ为空气质量类别颜色为绿色的天数，求ξ的分布列与数学期望．
20.已知椭圆C:x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率1
3
，左、右焦点分别为F1、F2，A为椭圆C上一点，
AF2⊥F1F2，且|AF2|=8
3
．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设椭圆C的左、右顶点为A1、A2，过A1、A2分别作x轴的垂直l1、l2，椭圆C的一条切线l:y=kx+m与l1、l2交于M、N两点，求证：∠MF1N的定值．
21. 设函数f(x)=a
x +xlnx,g(x)=x 3−x 2−3，．
(1)求函数ℎ(x)=
f(x)x 的最值；
(2)如果对任意的x 1,x 2∈[1
2,2]，都有f(x 1)≥g(x 2)成立，求实数a 的取值范围．
22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =t
t+1,
y =
2t+1t+1(t 为参数)，曲线C 2的参数方程为
{x =2+2cosαy =2sinα
(α为参数)，以坐标原点为极点．x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；
(Ⅱ)射线θ1=β(0<β<π
2)与曲线C 2交于O ，P 两点，射线θ2=π
2+β与曲线C 1交于点Q ，若△OPQ 的面积为1，求|OP|的值．
23.已知函数f(x)=|x+2a|+|x−a|．
(1)当a=1时，求不等式f(x)≥4−|x+2|的解集；
(2)设a>0，b>0，f(x)的最小值为t，若t+3b=3，求1
a +2
b
的最小值。

【答案与解析】
1.答案：A
解析：
本题考查了集合的运算问题，是基础题．
解不等式求出集合A 、B ，根据补集与交集的定义写出运算结果即可． 解：集合A ={x||x −3|<4}
={x|−4<x −3<4}
={x|−1<x <7}，
B ={x|x 2+2x −8≥0}={x|x ≤−4或x ≥2}， ∴∁R B ={x|−4<x <2}， ∴A ∩∁R B ={x|−1<x <2}． 故选：A ．
2.答案：C
解析：解：复数z =1+i ，则|z
i |=|1+i i
|=|1−i |=√2．
故选：C ．
直接利用复数的模的运算法则化简求值即可．
本题考查复数求模的运算法则的应用，基本知识的考查．
3.答案：C
解析：
本题考查了向量的数量积公式，属于基础题．
首先由向量的数量积公式求出夹角的余弦值，根据夹角范围求出正弦值，最后求正切． 解：由已知得到cosθ=a
⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=√32+42×√(−3)2+1
2
=5√
10
=−√10
10
， 又θ∈[0,π]，所以sinθ=3√10
10
， 所以tanθ=sinθ
cosθ=−3；
4.答案：C
解析：
本题考查双曲线的渐近线，考查运算求解能力，属于基础题．利用已知条件列出关系式，转化求解即可．
解：由题意知双曲线的渐近线方程为y=±√3m
2
x(m>0)，
2x+3y=0可化为y=−2
3
x，
则√3m
2=2
3
，解得m=8
27
．
故选C．
5.答案：B
解析：
画出满足条件的三棱锥的三视图，求出各个面的面积，相加可得答案．
本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中分析出几何体的形状是解答的关键．解：满足条件的几何体如下图所示：
由侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，
可得：OA=OC=1，则VA=VB=VC=2，AB=BC=√2，
故侧面VAC的面积为：√3，
侧面VAB和VBC的面积为：√7
2
，
底面ABC的面积为1，
故此三棱锥的表面积为1+√3+√7，
6.答案：D
解析：
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题． 随机变量X 服从正态分布N(1,σ2)，得到曲线关于x =1对称，根据曲线的对称性得到结论． 解：∵随机变量X 服从正态分布N(1,σ2)， ∴曲线关于x =1对称， ∵P(0<X ⩽1)=0.3，
∴P(X ≥2)=1
2−P (0<X ≤1)=0.5−0.3=0.2，
故选D ．
7.答案：C
解析：
本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题． 由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得ω的最小值．
解：∵将函数f(x)=sin(ωx +π
3)(ω>0)的图象向右平移π
6个单位长度， 得到y =sin(ωx −ωπ6+π
3)的图象关于y 轴对称，
∴−
ωπ6
+π
3=kπ+π
2，k ∈Z ，ω=−6k −1，
因为ω>0，所以当k =−1时，ω的最小值为5， 故选：C ．
8.答案：D
解析：解：f(x)=
ln|x−1||1−x|
的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，且图象关于x =1对称，排除B ，C ，
取特殊值，当x =12时，f(x)=2ln 1
2<0， 故选：D ．
求出函数的定义域，得到函数的函数的对称轴，再取特殊值即可判断．
本题考查了函数图象的识别，属于基础题．
9.答案：B
解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由{x +2y −1=0x −2y +3=0，解得{x =−1y =1，即C(−1,1)， 当{x =−2x +2y −1=0，解得{x =−2y =32
，即A(−2,3
2)， 由{x =−2x −2y +3=0，解得{x =−2y =12
，即B(−2,12)， 由{x =4x +2y −1=0，解得{x =4y =−32，即E(4,−32)， 由{x =4x −2y +3=0，解得{x =4y =72
，即D(4,72)， 则△ABC 的面积为1
2×(3
2−1
2)×[−1−(−2)]=1
2， 则△CDE 的面积为1
2×[7
2−(−3
2)]×[4−(−1)]=252
，
则阴影部分的面积之和为1
2+252
=13，
故选B ．
作出不等式组对应的平面区域，根据对应的图象即可求出对应的面积．
本题主要考查阴影部分的面积的计算，根据条件作出对应的平面区域是解决本题的关键．
10.答案：B
解析：
本题主要考查了利用函数的奇偶性解不等式的问题，先根据题意求出函数为偶函数以及函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，从而f(x)>f(2x −1)等价于f(|x|)>f(|2x −1|)，即即|x|>|2x −1|，平方解出即可得到结果． 解：
，。