北师大七下数学讲义(基础)

幂的运算

【学习目标】

1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；

2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算. 【要点梳理】

要点一、同底数幂的乘法性质

+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、

多项式.

（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，

即m

n

p

m n p

a a a a

++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.

（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数

与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即

m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.

要点二、幂的乘方法则 ()=m n

mn

a a

(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.

要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p

mnp

a a

(0≠a ，,,m n p 均为正整数)

（2）逆用公式： ()()n

m

mn

m n a

a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘

方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则

()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，

再把所得的幂相乘.

要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅n

n

n

n

abc a b c (n 为正整数).

（2）逆用公式：()n n n

a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其

是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010

101122 1.22⎛⎫⎛⎫

⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

要点四、注意事项

（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.

（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要

遗漏.

（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.

（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.

【典型例题】

类型一、同底数幂的乘法性质

1、计算：

（1）2

3

4

444⨯⨯；（2）3

4

5

2

6

22a a a a a a ⋅+⋅-⋅； （3）1

1211()()()()()n

n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．

举一反三： 【变式】计算：

（1）5

3

2

3(3)(3)⋅-⋅-； （2）221()

()p

p

p x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；

（3）232(2)(2)n

⨯-⋅-（n 为正整数）．

2、已知2

220x +=，求2x 的值．

类型二、幂的乘方法则

3、计算：

（1）2

()m a ；（2）34

[()]m -；（3）32

()m a

-．

4、已知a x =3，a y =2，求a x +

2y 的值．

举一反三：

【变式1】已知2a x =，3b x =．求32a b

x +的值．

类型三、积的乘方法则

5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：

（1）2

2

()ab ab =； （2）3

33

(4)64ab a b =； （3）32

6

(3)9x x -=-．

举一反三：

【变式】（﹣8）57×0.12555．

【巩固练习】 一.选择题

1.计算的x 3×x 2结果是（ ） A ．x 6 B ．6x C ． x 5

D ．5x

2．2

n

n a a

+⋅的值是( )． A. 3

n a

+

B. ()

2n n a

+

C. 22

n a

+

D. 8

a

3．下列运算正确的是（ ）

A ．a 2•a 3=a 6

B ．（ab ）2=a 2b 2

C ．（a 2）3=a 5

D ．a 2+a 2=a 4 4．下列各题中，计算结果写成10的幂的形式，其中正确的是( ).

A. 100×2

10＝3

10 B. 1000×10

10＝30

10 C. 100×3

10＝5

10 D. 100×1000＝4

10 5．下列计算正确的是( )． A.()3

3

xy xy =

B.(

)

2

22455xy

x y -=- C.(

)

2

24

39x

x -=-

D.(

)

3

23628xy

x y -=-

6．若(

)

3

91528m n a b

a b =成立，则( )．

A. m ＝6，n ＝12

B. m ＝3，n ＝12

C. m ＝3，n ＝5

D. m ＝6，n ＝5

二.填空题

7.若a m =2，a n =8，则a m+n = ． 8. 若()

319x

a

a a ⋅=，则x ＝_______． 9. 已知35n

a

=，那么6n a =______．

10．若3

8

m

a a a ⋅=，则m ＝______；若31

3

81x +=，则x ＝______．

11. ()3

22⎡⎤-=⎣⎦______； ()3

3n ⎡⎤-=⎣⎦

______； ()

5

2

3

-＝______．

12.若n 是正整数，且210n

a =，则3222()8()n n a a --＝__________.

三.解答题

13.计算：（﹣x ）3•x 2n ﹣

1+x 2n •（﹣x ）2．

14.（1） 38

43

()()x x x ⋅-⋅-； （2）233322

1()()3

a b a b -+-；

（3）3

5

10(0.310)(0.410)-⨯-⨯⨯⨯； （4）()

()

3

5

22b a a b --；