山东省泰安市2020届高考模拟考试(一模)数学试题及答案2020.3
山东省泰安市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷含解析
山东省泰安市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．2C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 计算得到，，代入双曲线化简得到答案.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，，故，，故，代入双曲线化简得到：，故.故选：. 【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内 D ．上述三种情况都有可能【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离小于半径可得,a b 满足的条件，利用(),M a b 与圆心的距离判断即可. 【详解】Q 直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，∴圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离1d =<，1>．也就是点(,)M a b 到圆C 的圆心的距离大于半径． 即点(,)M a b 与圆C 的位置关系是点M 在圆C 外． 故选：B 【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题． 3．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ） A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果. 【详解】()f x Q 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.当0x <时，0x ->，()23f x x x∴-=---， ()f x Q 为奇函数，()()()230f x f x x x x∴=--=++<，由0230x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩得：2x -≤或10x -≤<； 综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--U . 故选：B . 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况.4．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（ ） A ．1- B ．0C ．1D．22+ 【答案】A 【解析】 【分析】先将函数解析式化简为|cos |y x =，结合题意可求得切点4x 及其范围4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据导数几何意义，即可求得()442tan x x +的值. 【详解】函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩即|cos |y x =直线(2)(0)y m x m =+>与函数|cos |y x =图象恰有四个公共点，结合图象知直线(2)(0)y m x m =+>与函数cos y x =-相切于4x ，4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 因为sin y x '=， 故444cos sin 2x k x x -==+，所以()()()()4444444sin 1221c 2tan os 2x x x x x x x -+⨯=+⨯=-++=.故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题.5．已知函数3sin ()(1)()x x x xf x x m x e e-+=+-++为奇函数，则m =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出m 的值. 【详解】依题意()f x 是奇函数.而3sin y x x =+为奇函数，x xy e e -=+为偶函数，所以()()()1gx x m x =+-为偶函数，故()()0gx g x --=，也即()()()()110x m x x m x +---+=，化简得()220m x -=，所以1m =.故选：B 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题. 6．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的最大值是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得()4k πωϕπ-+=g ，且42k ππωϕπ+='+g ，故有2()1k k ω='-+①，再根据12234πππω-g …，求得12ω…②，由①②可得ω的最大值，检验ω的这个值满足条件．【详解】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ…，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴， ()4k πωϕπ∴-+=g ，且42k ππωϕπ+='+g ，k 、k Z '∈，2()1k k ω∴='-+，即ω为奇数①． ()f x Q 在(4π，)3π单调，∴12234πππω-g…，12ω∴…②． 由①②可得ω的最大值为1． 当11ω=时，由4x π=为()y f x =图象的对称轴，可得1142k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，故有4πϕ=-，()4k πωϕπ-+=g ，满足4πx =-为()f x 的零点， 同时也满足满足()f x 在,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调， 故11ω=为ω的最大值， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题． 7．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立 D ．当6n =时，该命题成立【答案】C 【解析】 【分析】写出命题“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N*=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C. 【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A ．21 B ．22C ．11D ．12【答案】A 【解析】 【分析】由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值. 【详解】解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =. 故选:A. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.9．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果. 【详解】解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥， 则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥， 因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C. 【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．10．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c >C ．a b2c +> D ．112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.11．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（ ） A ．2 B ．3 C ．-2 D ．-3【答案】B 【解析】 【分析】根据(1)3f '=求出2,a =再根据(1,)a b +也在直线32y x =-上，求出b 的值，即得解. 【详解】 因为1()f x a x'=+，所以(1)3f '= 所以13,2a a +==，又(1,)a b +也在直线32y x =-上， 所以1a b +=， 解得2,1,a b ==- 所以3a b -=. 故选：B 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．282【答案】B 【解析】 【分析】将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长BE 交DF 于A 点，其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =， 所以表面积()3436536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年山东省泰安市高考数学一模试卷(文科)含答案解析
2020年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则（∁U A）∪B=（）A．{4}B．{2，3，4}C．{3，4，5}D．{2，3，4，5}2．已知为实数，则实数t的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．3．如图是一个程序框图，则输出S的值是（）A．84 B．35 C．26 D．104．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点”的必要不充分条件C．命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题5．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．6．已知点及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．37．已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．18．已知下列三个命题：①若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；②在区间[﹣1，5]上随机选取一个数x，则x≥3的概率为；③直线x+y+1=0与圆相切；其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．已知函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．3 B．C．D．10．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）=2，则f（4）+f（5）的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置. 11．已知，则cos（30°﹣2α）的值为______．12．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30）…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为______．13．已知{a n}为等比数列，下列结论①a3+a5≥2a4；②；③若a3=a5，则a1=a2；④若a5＞a3，则a7＞a5．其中正确结论的序号是______．14．在平行四边形ABCD中，为CD的中点，若．则AD的长为______．15．若函数f（x）=﹣2x3+2tx2+1存在唯一的零点，则实数t的取值范围为______．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知函数f（x）=sinxcos（x+）+1．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边f（C）=，b=4，•=12，求c．17．有两个袋子，其中甲袋中装有编号分别为1、2、3、4的4个完全相同的球，乙袋中装有编号分别为2、4、6的3个完全相同的球．（Ⅰ）从甲、乙袋子中各取一个球，求两球编号之和小于8的概率；（Ⅱ）从甲袋中取2个球，从乙袋中取一个球，求所取出的3个球中含有编号为2的球的概率．18．已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1=1，且a1，a3，a2+14成等差数列，数列{b n}满足：a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•3n+1，n∈N．（I）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若ma n≥b n﹣8恒成立，求实数m的最小值．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE 的中点，N点在PB上，且4PN=PB．（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．20．如图：A，B，C是椭圆的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，离心率为，且椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE．设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k1，证明：．21．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）求函数的最大值．（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．2020年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则（∁U A）∪B=（）A．{4}B．{2，3，4}C．{3，4，5}D．{2，3，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，∴∁U A={4，5}，∵B={3，4}，则（∁U A）∪B={3，4，5}．故选：C．2．已知为实数，则实数t的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得t值．【解答】解：∵z1=2t+i，z2=1﹣2i，∴=，又为实数，∴4t+1=0，即t=﹣．故选：D．3．如图是一个程序框图，则输出S的值是（）A．84 B．35 C．26 D．10【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=1时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=1，k=3；当k=3时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=10，k=5；当k=5时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=35，k=7；当k=7时，满足退出循环的条件，故输出的S值为35，故选：B．4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点”的必要不充分条件C．命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用命题的定义判断A的正误；函数的极值的充要条件判断B的正误；命题的否定判断C的正误；四种命题的逆否关系判断D的正误；【解答】解：对于A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”，不满足否命题的定义，所以A不正确；对于B，已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”函数不一定有极值，“x0是函数y=f（x）的极值点”一定有导函数为0，所以已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点”的必要不充分条件，正确；对于C，命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于D，命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”是错误命题，则逆否命题为假命题，所以D不正确；故选：B．5．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】剩余几何体为四棱锥，分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积．【解答】解：由俯视图可知三棱柱的底面积为=2，∴原直三棱柱的体积为2×4=8．由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥，四棱锥的底面为侧视图梯形的面积=6，由俯视图可知四棱锥的高为2，∴四棱锥的体积为=4．∴该几何体体积与原三棱柱的体积比为．故选C．6．已知点及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．3【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】抛物线的准线是y=1，焦点F（0，﹣1）．设P到准线的距离为d，利用抛物线的定义得出：y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1，利用当且仅当F、Q、P共线时取最小值，从而得出故y+|PQ|的最小值．【解答】解：抛物线x2=4y的准线是y=1，焦点F（0，﹣1）．设P到准线的距离为d，则y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=3﹣1=2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y+|PQ|的最小值是2．故选：C．7．已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1【考点】简单线性规划．【分析】先画出平面区域D，进行数量积的运算即得z=2x+y﹣5，所以y=﹣2x+5+z，所以根据线性规划的方法求出z的最大值即可．【解答】解：表示的平面区域D，如图中阴影部分所示，A（2，1），O（0，0），点M（x，y）的=（2，1）•（x﹣2，y﹣1）=2x+y﹣5；∴y=﹣2x+5+z；∴5+z表示直线y=﹣2x+5+z在y轴上的截距，所以截距最大时z最大；如图所示，当该直线经过点A1（2，2）时，截距最大，此时z最大；所以点A1（2，2）代入直线y=﹣2x+5+z即得z=1．故选：D．8．已知下列三个命题：①若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；②在区间[﹣1，5]上随机选取一个数x，则x≥3的概率为；③直线x+y+1=0与圆相切；其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据标准差的含义，可判断①；根据几何概型概率计算公式，可判断②；根据直线与圆的位置关系，可判断③【解答】解：①若两组数据的平均数相等，不表示离散程度相等，则它们的标准差可能不相等，故为假命题；②在区间[﹣1，5]上随机选取一个数x，则x≥3的概率为=≠，故为假命题；③（0，0）点到直线x+y+1=0的距离d=，故直线x+y+1=0与圆相切，故为真命题；故选：B．9．已知函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．3 B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出是周期的整数倍，由此求出ω的表达式，判断出它的最小值【解答】解：∵函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴=n×，n∈z，∴ω=3n，n∈z，又ω＞0，故其最小值是3．故选：A．10．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）=2，则f（4）+f（5）的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．【解答】解：∵f（x+1）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+1），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+1）=f（x+1），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1）=﹣f（x﹣1），即f（x+2）=﹣f（x），f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x），则f（4）=f（0）=0，f（5）=f（1）=2，∴f（4）+f（4）=0+2=2，故选：A．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置. 11．已知，则cos（30°﹣2α）的值为．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．【分析】利用诱导公式求得sin（15°﹣α）=，再利用二倍角的余弦公式可得cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α），运算求得结果．【解答】解：∵已知，∴sin（15°﹣α）=，则cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α）=，故答案为．12．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30）…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为2．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，求出样本中不小于30岁人的频率与频数，再求用分层抽样方法抽取的人数【解答】解：根据频率分布直方图，得；样本中不小于30岁的人的频率是1﹣0.020×10+0.025×10=0.55，∴不小于30岁的人的频数是100×0.55=55；从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，在[50，60）年龄段抽取的人数为22×=22×=2．故答案为：2．13．已知{a n}为等比数列，下列结论①a3+a5≥2a4；②；③若a3=a5，则a1=a2；④若a5＞a3，则a7＞a5．其中正确结论的序号是②④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据等比数列的性质结合不等式的关系进行判断即可．【解答】解：①a n=（﹣1）n，则a3+a5≥2a4不成立，故①错误，②∵a32+a52≥2|a3a5|=2a42；故；故②正确，③若a n=（﹣1）n，则a3=a5=﹣1，但a1=﹣1，a2=1，a1=a2；不成立，故③错误，④若a5＞a3，则q2a3＞a3，∵q2＞0，∴q2a5＞q2a3，即a7＞a5成立，故④正确，故正确的是②④，故答案为：②④．14．在平行四边形ABCD中，为CD的中点，若．则AD的长为1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示出，代入数量积公式解出AD．【解答】解：，==﹣+．∴=（）•（﹣）=﹣++=1．∵=，=AD2，．∴AD2+﹣=1，解得AD=1．故答案为：1．15．若函数f（x）=﹣2x3+2tx2+1存在唯一的零点，则实数t的取值范围为t＞﹣．【考点】函数零点的判定定理．【分析】求解导数f′（x）=﹣6x2+4tx，分类讨论得出极值点，根据单调性判断极值的大小，即可得出零点的个数．【解答】解：∵函数f（x）=﹣2x3+2tx2+1，∴f′（x）=﹣6x2+4tx=0，∴x=0，x=（1）当t=0时，f（x=﹣2x3+1单调递减，f（0）=1＞0，f（2）=﹣15＜0∴存在唯一的零点，是正数．（2）当t＞0时，f′（x）=﹣6x2+4tx＞0，即0f′（x）=﹣6x2+4tx＜00，即x＜0，x∴f（x）在（﹣∞，0），（，+∞）单调递减在（0，）单调递增∴极大值f（）＞f（1），极小值f（0）=1＞0，∴存在唯一的零点，（3）当t＜0时，f′（x）=﹣6x2+4tx＞0，即＜x＜0f′（x）=﹣6x2+4tx＜00，即x＜，x＞0∴f（x）在（﹣∞，），（0，+∞）单调递减在（，0）单调递增∴极小值f（）＜f（1），极大值f（0）=1＞0，∵只需极小值f（）＞0即可，+1＞0，且t＜0∴﹣＜t＜0，综上：﹣＜t＜0，或t≥0故答案为：t＞﹣．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知函数f（x）=sinxcos（x+）+1．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边f（C）=，b=4，•=12，求c．【考点】解三角形；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）使用和角公式展开再利用二倍角公式与和角的正弦公式化简f（x），利用正弦函数的单调性列出不等式解出；（2）根据f（C）=求出C，根据，•=12解出a，使用余弦定理解出c．【解答】解：（1）f（x）=sinx（cosx﹣sinx）+1=sin2x﹣+1=sin（2x+）+．令≤2x+≤，解得≤x≤．∴函数f（x）的单调递减区间是[，]，k∈Z．（2）∵f（C）=sin（2C+）+=，∴sin（2C+）=1，∴C=．∵•=abcosA=2a=12，∴a=2．由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=12+16﹣24=4．∴c=2．17．有两个袋子，其中甲袋中装有编号分别为1、2、3、4的4个完全相同的球，乙袋中装有编号分别为2、4、6的3个完全相同的球．（Ⅰ）从甲、乙袋子中各取一个球，求两球编号之和小于8的概率；（Ⅱ）从甲袋中取2个球，从乙袋中取一个球，求所取出的3个球中含有编号为2的球的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）利用列举法能求出两球编号之和小于8的概率．（Ⅱ）从甲袋中任取2球，从乙袋中任取一球，先求出所有基本事件个数，再求出含有编号2的基本事件个数，由此能求出所取出的3个球中含有编号为2的球的概率．【解答】解：（Ⅰ）将甲袋中编号分别为1，2，3，4的4个分别记为A1，A2，A3，A4，将乙袋中编号分别为2，4，6的三个球分别记为B2，B4，B6，从甲、乙两袋中各取一个小球的基本事件为：（A1，B2），（A1，B4），（A1，B6），（A2，B2），（A2，B4），（A2，B6），（A3，B2），（A3，B4），（A3，B6），（A4，B2），（A4，B4），（A4，B6），共12种，其中两球面镜编号之和小于8的共有8种，所以两球编号之和小于8的概率为：=．（Ⅱ）从甲袋中任取2球，从乙袋中任取一球，所有基本事件个数n==18，其中不含有编号2的基本事件有，∴含有编号2的基本事件个数m=18﹣6=12，∴所取出的3个球中含有编号为2的球的概率p=．18．已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1=1，且a1，a3，a2+14成等差数列，数列{b n}满足：a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•3n+1，n∈N．（I）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若ma n≥b n﹣8恒成立，求实数m的最小值．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I）数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得a n=3n﹣1，再将n换为n﹣1，两式相减可得b n=2n﹣1；（2）若ma n≥b n﹣8恒成立，即为m≥的最大值，由c n=，作差，判断单调性，即可得到最大值，进而得到m的最小值．【解答】解：（I）∵数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列，∴a n=q n﹣1，由a1，a3，a2+14成等差数列，可得2a3=a1+a2+14，即为2q2=1+q+14，解得q=3（负的舍去），即有a n=3n﹣1，∴a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=b1+3b2+32b3+…+3n﹣1b n=（n﹣1）•3n+1，∴b1+3b2+32b3+…+3n﹣2b n﹣1=（n﹣1﹣1）•3n﹣1+1（n≥2），两式相减得：3n﹣1b n=（n﹣1）•3n﹣（n﹣2）•3n﹣1=（2n﹣1）•3n﹣1，∴b n=2n﹣1，当n=1时，a1b1=1，即b1=1满足上式，∴数列{b n}的通项公式是b n=2n﹣1；（2）若ma n≥b n﹣8恒成立，即为m≥的最大值，由c n=，n≥2时，c n﹣1=，c n﹣c n﹣1=﹣=，可得n=2，3，…，6时，c n≥c n﹣1；n=7，…时，c n＜c n﹣1．即有n=5或6时，c n取得最大值，且为，即为m≥，可得m的最小值为．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE 的中点，N点在PB上，且4PN=PB．（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（I）由AB⊥平面PAC可得AB⊥PC，再结合AP⊥PC得出PC⊥平面PAB，故而平面PCE⊥平面PAB；（II）取AE中点Q，连结NQ，MQ，则可证明平面MNQ∥平面PAC，故而MN∥平面PAC．【解答】证明：（I）∵AB⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，∴AB⊥PC，∵∠APC=90°，∴AP⊥PC，又∵AP⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AP∩AB=A，∴PC⊥平面PAB，∵PC⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面PAB．（II）取AE中点Q，连结NQ，MQ，∵M是CE中点，∴MQ∥AC，∵PB=4PN，AB=4AQ，∴QN∥AP，又∵AP∩PC=P，AP⊂平面APC，PC⊂平面APC，QN∩QM=Q，QN⊂平面MNQ，QM⊂平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PAC，∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAC．20．如图：A，B，C是椭圆的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，离心率为，且椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE．设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k1，证明：．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意得=， +=1，a2=b2+c2．联立解得即可得出椭圆方程．（Ⅱ）由截距式可得直线BC的方程为：y=x+2．直线AP的方程为：y=k（x﹣4），与椭圆方程联立可得：（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣16=0，又点P在椭圆上，利用根与系数的关系可得P．利用斜率计算公式可得k CP，可得直线CP的方程，可得E．把直线BC与AP的方程联立可得D．可得直线DE 的斜率，化简整理即可证明．【解答】解：（I）由题意得=， +=1，a2=b2+c2．联立解得a2=16，b2=4，∴椭圆C： +=1．证明：（Ⅱ）A（4，0），B（﹣4，0），C（0，2），直线BC的方程为：=1，化为：y=x+2．直线AP的方程为：y=k（x﹣4），与椭圆方程联立可得：（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣16=0，又点P在椭圆上，∴4x P=，解得x P=，∴y P=k（x P﹣4）=，故P．k CP==，故直线CP的方程为：y=x+2，令y=0，解得x=，可得E．把直线BC与AP的方程联立可得：，解得，∴D．直线DE的斜率为k1===，∴．21．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）求函数的最大值．（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（Ⅱ）令h（x）=x﹣f（x），求出h（x）的导数，得到函数的单调区间，求出h（x）的最小值，结合F（x）的最大值，从而证出结论即可；（Ⅲ）利用参数分离法，转化为以m为变量的函数关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）F（x）=+=+，F′（x）=，令F′（x）＞0，解得：x＜e，令F′（x）＜0，解得：x＞e，∴F（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故F（x）max=+；证明：（Ⅱ）令h（x）=x﹣f（x），则h′（x）=，从而h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴h（x）的最小值是h（1）=1，又F（x）的最大值是+＜1，∴F（x）＜h（x），即+＜x﹣f（x）；解：（Ⅲ）不等式mf（x）≥a+x对所有的m∈[0，]，x∈[1，e2]都成立，则a≤mlnx﹣x对所有的m∈[0，]，x∈[1，e2]都成立，令H（x）=mlnx﹣x，m∈[0，]，x∈[1，e2]是关于m的一次函数，∵x∈[1，e2]，∴lnx∈[0，2]，∴当m=0时，H（m）取得最小值﹣x，即a≤﹣x，当x∈[1，e2]时，恒成立，故a≤﹣e2．2020年9月19日。
2020年山东省泰安市高考数学一模试卷
2020年山东省泰安市高考数学一模试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |﹣3＜x ＜1}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．[﹣1，1]B ．（﹣3，1]C ．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞）D ．（﹣3，﹣1）2．（5分）已知复数2−ai i=1−bi ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|a +bi |＝（ ） A ．﹣1+2iB ．1C ．5D ．√53．（5分）已知(2−mx)(1−1x)3的展开式中的常数项为8，则实数m ＝（ ） A ．2B ．﹣2C ．﹣3D ．34．（5分）已知函数f （x ）＝log a （|x ﹣2|﹣a ）（a ＞0，且a ≠1），则“f （x ）在（3，+∞）”上是单调函数”是“0＜a ＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）的周期为4，当x ∈[﹣2，2）时，f(x)=(13)x −x −4，则f （﹣log 36）+f （log 354）＝（ ） A ．32B ．32−log 32C ．−12D ．23+log 326．（5分）如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →=m AM →，AC →=n AN →，则m +n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．﹣2D ．947．（5分）现有一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2√28．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（ ）A ．√3B ．√32C ．√33D ．√34二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（ ） 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生．80前指1979年及以前出生．A ．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 10．（5分）下列说法正确的是（ ）A ．“c ＝5”是“点（2，1）到直线3x +4y +c ＝0的距离为3”的充要条件B．直线x sinα﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围为[0，π4]∪[3π4，π)C．直线y＝﹣2x+5与直线2x+y+1＝0平行，且与圆x2+y2＝5相切D．离心率为√3的双曲线的渐近线方程为y=±√2x11．（5分）已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若α∥β，m⊂α，则m∥βD．若m∥n，α∥β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等12．（5分）已知函f（x）＝e|x|sin x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是周期为2π的奇函数B．f（x）在(−π4，3π4)上为增函数C．f（x）在（﹣10π，10π）内有21个极值点D．f（x）≥ax在[0，π4]上恒成立的充要条件是a≤1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知α，β∈(3π4，π)，sin(α+β)=−35，sin(β−π4)=1213，则cos(α+π4)=．14．（5分）一个房间的地面是由12个正方形所组成，如图所示．今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或，则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有种．15．（5分）《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（““表示一根阳线，““表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为．16．（5分）过点M （﹣m ，0）（m ≠0）的直线l 与直线3x +y ﹣3＝0垂直，直线l 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点P （m ，0）满足|P A |＝|PB |，则双曲线C 的渐近线方程为 ，离心率为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①A 5＝B 3，②1a 1−1a 2=4B 2，③B 5＝35这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n }的公差为d （d ＞0），等差数列{b n }的公差为2d ．设A n ，B n 分别是数列{a n }，{b n }的前n 项和，且b 1＝3，A 2＝3，________． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n =2a n +3b n b n+1，求数列{c n }的前n 项和S n ．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8cos 2B+C 2−2cos2A ＝3．（1）求A ；（2）若a ＝2，且△ABC 面积的最大值为√3，求△ABC 周长的取值范围． 19．（12分）在四边形ABCP 中，AB =BC =√2，∠P =π3，PA =PC =2；如图，将△P AC 沿AC 边折起，连结PB ，使PB ＝P A ，求证： （1）平面ABC ⊥平面P AC ；（2）若F 为棱AB 上一点，且AP 与平面PCF 所成角的正弦值为√34，求二面角F ﹣PC ﹣A 的大小．20．（12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：甲公司员工A ：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350 乙公司员工B ：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内（含350件）的部分每件0.6元．超出350件的部分每件0.9元．（1）根据题中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快件个数的平均数和众数； （2）为了解乙公司员工B 每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为ξ（单位：元），求ξ的分布列和数学期望； （3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，直线l ：y ＝kx +m 与椭圆C 相交于P ，Q 两点；当直线l 经过椭圆C 的下顶点A 和右焦点F 2时，△F 1PQ 的周长为4√2，且l 与椭圆C 的另一个交点的横坐标为43．（1）求椭圆C 的方程；（2）点M 为△POQ 内一点，O 为坐标原点，满足MP →+MO →+MQ →=0，若点M 恰好在圆O ：x 2+y 2=49，求实数m 的取值范围． 22．（12分）已知函数f(x)=lnx+axe x，a ∈R ． （1）若函数y ＝f （x ）在x ＝x 0（ln 2＜x 0＜ln 3）处取得极值1，证明：2−1ln2＜a ＜3−1ln3； （2）若f(x)≤x −1e x 恒成立，求实数a 的取值范围．2020年山东省泰安市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |﹣3＜x ＜1}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．[﹣1，1]B ．（﹣3，1]C ．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞）D ．（﹣3，﹣1）【解答】解：因为全集U ＝R ，集合M ＝{x |﹣3＜x ＜1}， N ＝{x ||x |≤1}＝[﹣1，1]，∴∁U N ＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；∴阴影部分表示的集合是M ∩（∁U N ）＝（﹣3，﹣1）． 故选：D ． 2．（5分）已知复数2−ai i=1−bi ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|a +bi |＝（ ） A ．﹣1+2i B ．1C ．5D ．√5【解答】解：由2−ai i =1−bi ，得：2﹣ai ＝i （1﹣bi ）＝b +i ，所以a ＝﹣1，b ＝2， 则a +bi ＝﹣1+2i ，所以|a +bi |＝|﹣1+2i |=√(−1)2+22=√5． 故选：D ．3．（5分）已知(2−mx)(1−1x )3的展开式中的常数项为8，则实数m ＝（ ） A ．2B ．﹣2C ．﹣3D ．3【解答】解：∵（1−1x ）3的展开式的通项公式为：∁3r •（−1x ）r ＝（﹣1）r •∁3r •x ﹣r；﹣r ＝0得r ＝0；﹣r ＝﹣1得r ＝1；∴(2−mx)(1−1x )3的展开式中的常数项为：2×（﹣1）0•∁30+（﹣m ）•（﹣1）1⋅∁31=8； ∴m ＝2； 故选：A ．4．（5分）已知函数f （x ）＝log a （|x ﹣2|﹣a ）（a ＞0，且a ≠1），则“f （x ）在（3，+∞）”上是单调函数”是“0＜a ＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：|x ﹣2|﹣a ＝x ﹣2﹣a 在（3，+∞）上是单调递增， 要使f （x ）在（3，+∞）上是单调函数函数， 则|3﹣2|﹣a ＞0，且a ＞0，且a ≠1， 解之得0＜a ＜1，则0＜a ＜1是0＜a ＜1的充要条件， 故选：C ．5．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）的周期为4，当x ∈[﹣2，2）时，f(x)=(13)x −x −4，则f （﹣log 36）+f （log 354）＝（ ） A ．32B ．32−log 32C ．−12D ．23+log 32【解答】解：因为函数f （x ）的周期为4，当x ∈[﹣2，2）时，f(x)=(13)x −x −4，∴f （﹣log 36）＝f （log 316）=(13)log 316−log 316−4＝2+log 36； f （log 354）＝f （3+log 32）＝f （log 32﹣1）＝f （log 323）=(13)log 323−log 323−4=32−log 32+1﹣4=32−log 32﹣3； ∴f （﹣log 36）+f （log 354）＝2+log 36+32−log 32﹣3=32； 故选：A ．6．（5分）如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →=m AM →，AC →=n AN →，则m +n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．﹣2D ．94【解答】解：由已知得AO →=12(AB →+AC →)，结合AB →=m AM →，AC →=n AN →，所以AO →=12mAM →+12nAN →．又因为O ，M ，N 三点共线，所以12m +12n =1，所以m +n ＝2． 故选：B ．7．（5分）现有一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2√2【解答】解：∵现有一个封闭的棱长为2的正方体容器， 当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半， ∴正方体的面对角线长为2√2，将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 当旋转到对角线与小平面垂直时容器里水面的高度最大， ∴容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， ∴容器里水面的最大高度为√2． 故选：B ．8．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（ ） A ．√3B ．√32C ．√33D ．√34【解答】解：设|AF |＝a ，|BF |＝b ，A 、B 在准线上的射影点分别为Q 、P ， 连接AQ 、BQ由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |且|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中根据中位线定理，得2|MN |＝|AQ |+|BP |＝a +b ． 由余弦定理得|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos 2π3=a 2+b 2+ab ，配方得|AB |2＝（a +b ）2﹣ab ， 又∵ab ≤（a+b 2） 2，∴（a +b ）2﹣ab ≥（a +b ）2﹣（ a+b 2） 2=34（a +b ）2得到|AB |≥√32（a +b ）． 所以|MN||AB|≤a+b2√32(a+b)=√33， 即|MN||AB|的最大值为√33． 故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生．80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【解答】解：在A中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%×（39.6%+17%）＝31.696%＞30%，互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上，故A正确；在B中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%×39.6%＝22.176%＞20%，互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，故B正确；在C中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：17%×56%＝9.52%互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故C正确；在D中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故D错误．故选：ABC．10．（5分）下列说法正确的是（）A．“c＝5”是“点（2，1）到直线3x+4y+c＝0的距离为3”的充要条件B ．直线x sin α﹣y +1＝0的倾斜角的取值范围为[0，π4]∪[3π4，π) C ．直线y ＝﹣2x +5与直线2x +y +1＝0平行，且与圆x 2+y 2＝5相切D ．离心率为√3的双曲线的渐近线方程为y =±√2x【解答】解：“c ＝5”是“点（2，1）到直线3x +4y +c ＝0的距离为3”的充分条件，所以A 不正确；直线x sin α﹣y +1＝0的斜率为：sin α，直线的倾斜角为θ，所以tan θ＝sin α∈[﹣1，1]， 所以直线倾斜角的取值范围为[0，π4]∪[3π4，π)，所以B 正确；直线y ＝﹣2x +5与直线2x +y +1＝0平行，正确，因为圆的圆心到直线的距离为：√5=√5，所以两条直线与圆x 2+y 2＝5相切，所以C 正确； 离心率为√3的双曲线，可得ca =√3，即c 2＝3a 2，所以b 2＝2a 2，所以双曲线的渐近线方程为：y =±√2x 或y ＝±√22x ，所以D 不正确； 故选：BC ．11．（5分）已知α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）A ．若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥βB ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥nC ．若α∥β，m ⊂α，则m ∥βD ．若m ∥n ，α∥β，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等【解答】解：A ．满足m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β时，得不出α⊥β，α与β可能平行，如图所示：∴该选项错误；B ．∵n ∥α，∴设过n 的平面β与α交于a ，则n ∥a ，又m ⊥α，∴m ⊥a ，∴m ⊥n ，∴该选项正确；C ．∵α∥β，∴α内的所有直线都与β平行，且m ⊂α，∴m ∥β，∴该选项正确；D ．根据线面角的定义即可判断该选项正确． 故选：BCD ．12．（5分）已知函f （x ）＝e |x |sin x ，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）是周期为2π的奇函数 B ．f （x ）在(−π4，3π4)上为增函数C ．f （x ）在（﹣10π，10π）内有21个极值点D ．f （x ）≥ax 在[0，π4]上恒成立的充要条件是a ≤1 【解答】解：A 错，因为函数是奇函数，但不是周期函数． B 对，利用奇函数去绝对值，求导可判断f （x ）在（−π4，3π4）上递增；C 错，x ≥0时，f （x ）＝e x sin x ，则f ′（x ）＝e x sin x +e x cos x ＝0，即sin x +cos x ＝0，0＜x ＜10π，方程有10个根．有奇偶性﹣10π＜x ＜0时，有10个根，故计算得f （x ）在（﹣10π，10π）内有20个极点；D 对，当x ∈[0，π4]，f （x ）＝e x sin x ，则f ′（x ）＝e x sin x +e x cos x ，即f ′（0）＝1，a 表示过原点直线的斜率，则由恒成立可求a ≤1． 故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知α，β∈(3π4，π)，sin(α+β)=−35，sin(β−π4)=1213，则cos(α+π4)= −5665． 【解答】解：已知α，β∈(3π4，π)，sin(α+β)=−35， sin(β−π4)=1213，α+β∈(3π2，2π)，β−π4∈(π2，3π4)， ∴cos(α+β)=45，cos(β−π4)=−513， ∴cos(α+π4)=cos[(α+β)−(β−π4)]=cos(α+β)cos(β−π4)+sin(α+β)sin(β−π4) =45⋅(−513)+(−35)⋅1213=−5665故答案为：−56 6514．（5分）一个房间的地面是由12个正方形所组成，如图所示．今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或，则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有11种．【解答】解：由题意只能分成三类铺砖：第一类．横5竖1：竖砖只能排在上两行中（如图所示的竖线位置之一），两头与中间，其余排竖砖，共3种；第二类．横3竖3：左下角一块横砖，另外三块竖砖排在上面两行，中间形成四个空，两块横砖上下并排插空共4种铺法；或左上角一块横砖，另两块横砖并排排在上面两行右边部分，其余空排竖砖，有2种排法．所以此类共有6种排法．第三类．横1竖5：横砖只能排在最左边最上一行或最下一行，其余排竖砖，共有2种铺法；综上一共有3+6+2＝11种排法．故答案为：11．15．（5分）《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（““表示一根阳线，““表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为314．【解答】解：观察八卦图可知，含3根阴线的共有1卦，含3根阳线的共有1卦，还有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，∴从八卦中任取两卦，这两卦的六根线恰有两根阳线，四根阴线的概率为：P=C31+C32C82=314．故答案为：314．16．（5分）过点M（﹣m，0）（m≠0）的直线l与直线3x+y﹣3＝0垂直，直线l与双曲线C：x2 a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（m，0）满足|P A|＝|PB|，则双曲线C的渐近线方程为y=±12x，离心率为√52．【解答】解：过点M（﹣m，0）（m≠0）的直线l与直线3x+y﹣3＝0垂直，可得：直线l：x﹣3y+m＝0（m≠0），由双曲线的方程可知，渐近线为y＝±ba x，分别与x﹣3y+m＝0（m≠0）联立，解得A（−ama−3b，−bma−3b），B（−ama+3b，bma+3b），∴AB中点坐标为（ma29b2−a2，3mb29b2−a2），∵点P（m，0）满足|P A|＝|PB|，∴3mb29b2−a2−0 ma29b2−a2−m=−3，∴a ＝2b ，∴双曲线C 的渐近线方程为：y =±12x ． ∴c =√5b ， ∴e =ca =√52． 故答案为：y =±12x ：√52． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①A 5＝B 3，②1a 1−1a 2=4B 2，③B 5＝35这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n }的公差为d （d ＞0），等差数列{b n }的公差为2d ．设A n ，B n 分别是数列{a n }，{b n }的前n 项和，且b 1＝3，A 2＝3，________． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）设c n =2a n +3b n b n+1，求数列{c n }的前n 项和S n ． 【解答】解：方案一：选条件① （1）由题意，可知∵数列{a n }，{b n }都是等差数列，且A 2＝3，A 5＝B 3， ∴{2a 1+d =35a 1+10d =9+6d ，解得{a 1=1d =1， ∴a n ＝1+1•（n ﹣1）＝n ，n ∈N *， b n ＝3+2•1•（n ﹣1）＝2n +1，n ∈N *， 综上所述，可得a n ＝n ，b n ＝2n +1． （2）由（1）知，c n =2n +3(2n+1)(2n+3)=2n +32(12n+1−12n+3)， ∴S n ＝c 1+c 2+…+c n＝[2+32（13−15）]+[22+32（15−17）]+…+[2n +32（12n+1−12n+3）]=(2+22+⋯+2n )+32[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n+1−12n+3)]=2(1−2n)1−2+32(13−12n+3)=2n+1−3(n+2)2n+3．方案二：选条件② （1）由题意，可知∵数列{a n }，{b n }都是等差数列，且A 2=3，1a 1−1a 2=4B 2，∴{2a 1+d =31a 1−1a 1+d =42×3+2d，整理，得{2a 1+d =34a 1(a 1+d)=d(6+2d)，解得{a 1=1d =1，∴a n ＝1+1•（n ﹣1）＝n ，n ∈N *， b n ＝3+2•1•（n ﹣1）＝2n +1，n ∈N *， 综上所述，可得a n ＝n ，b n ＝2n +1． （2）同方案一第（2）小题解题过程． 方案三：选条件③ （1）由题意，可知∵数列{a n }，{b n }都是等差数列，且A 2＝3，B 5＝35， ∴{2a 1+d =33×5+5×42×2d =35，解得{a 1=1d =1， ∴a n ＝1+1•（n ﹣1）＝n ，n ∈N *， b n ＝3+2•1•（n ﹣1）＝2n +1，n ∈N *， 综上所述，可得a n ＝n ，b n ＝2n +1． （2）同方案一第（2）小题解题过程．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8cos 2B+C 2−2cos2A ＝3．（1）求A ；（2）若a ＝2，且△ABC 面积的最大值为√3，求△ABC 周长的取值范围． 【解答】解：（1）∵8cos 2B+C2−2cos2A =3， ∴4（1+cos （B +C ））﹣2cos2A ＝3， 整理得4cos 2A +4cos •A ﹣3＝0， 解得cosA =12或cosA =−32（舍去）， 又A ∈（0，π）∴A =π3，（2）由题意知S △ABC =12bcsinA =√34bc ≤√3，∴bc ≤4，又b 2+c 2﹣a 2＝2bc cos A ，a ＝2， ∴b 2+c 2＝4+bc ，∴（b +c ）2＝4+3bc ≤16， 又b +c ＞2，所以2＜b +c ≤4，4＜a +b +c ≤6，，∴△ABC 周长的取值范围是（4，6]．19．（12分）在四边形ABCP 中，AB =BC =√2，∠P =π3，PA =PC =2；如图，将△P AC 沿AC 边折起，连结PB ，使PB ＝P A ，求证： （1）平面ABC ⊥平面P AC ；（2）若F 为棱AB 上一点，且AP 与平面PCF 所成角的正弦值为√34，求二面角F ﹣PC ﹣A 的大小．【解答】证明：（1）在△PAC 中，PA =PC =2，∠P =π3∴△P AC 为正三角形，且AC ＝2在△ABC 中，AB =BC =√2∴△ABC 为等腰直角三角形，且AB ⊥BC 取AC 的中点O ，连接OB ，OP∴OB ⊥AC ，OP ⊥AC#/DEL/#∵OB =1，OP =√3，PB =PA =2#/DEL/#∴OP ⊥OBOP ∩AC ＝O ，AC ，OP ⊂平面P AC ∴OB ⊥平面P AC ∵OB ⊂平面ABC ∴平面ABC ⊥平面P AC （2）以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O ﹣xyz ，则A(0，−1，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，√3)，AB →=(1，1，0)，AP →=(0，1，√3)，CP →=(0，−1，√3)，CA →=(0，−2，0)，设AF →=mAB →(0＜m ＜1)，则CF →=CA →+AF →=(m ，m −2，0)设平面PFC 的一个法向量为n ＝（x ，y ，z ），则{n ⋅CF →=0n ⋅CP →=0∴{mx +y(m −2)=0−y +√3z =0令y =√3，解得{x =2−mm √3z =1∴n =(2−mm √3，√3，1)∵AP 与平面PFC 所成角的正弦值为√34， ∴|n⋅AP→|n|⋅|AP|→|=√3√3(2−m)2m 2+3+1=√34整理得3m 2+4m ﹣4＝0解得m =23或m =−2（舍去）∴n =(2√3，√3，1) 又OB →为平面P AC 的一个法向量 ∴cos〈n ，OB →〉=n⋅OB→|n||OB|→=√32#/DEL/#∴〈n ，OB →〉=π6#/DEL/#∴二面角F ﹣P A ﹣C 的大小为π6．20．（12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：甲公司员工A ：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350 乙公司员工B ：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内（含350件）的部分每件0.6元．超出350件的部分每件0.9元．（1）根据题中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快件个数的平均数和众数； （2）为了解乙公司员工B 每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为ξ（单位：元），求ξ的分布列和数学期望； （3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费． 【解答】解：（1）由题意知：甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数为：110(410+390+330+360+320+400+330+340+370+350)=360，众数为330．（2）设乙公司员工B 1天的投递件数为X ，则X 的可能取值为340，360，370，420，440， 当X ＝340时，ξ=340×0.6=204，P(ξ=204)=110，当X ＝360时，ξ=350×0.6+(360−350)×0.9=219，P(ξ=219)=310， 当X ＝370时，ξ=350×0.6+(370−350)×0.9=228，P(ξ=228)=15， 当X ＝420时，ξ=350×0.6+(420−350)×0.9=273，P(ξ=273)=310， 当X ＝440时，ξ=350×0.6+(440−350)×0.9=291，P(ξ=291)=110， ∴ξ的分布列为ξ 204 219 228 273 291 P11031015310110∴E(ξ)=204×110+219×310+228×15+273×310+291×110=242.7． （3）由（1）估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为 360×30×0.65＝7020（元）由（2）估计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为： 242.7×0.6×30＝4368.6（元）． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，直线l ：y ＝kx +m 与椭圆C 相交于P ，Q 两点；当直线l 经过椭圆C 的下顶点A 和右焦点F 2时，△F 1PQ 的周长为4√2，且l 与椭圆C 的另一个交点的横坐标为43．（1）求椭圆C 的方程；（2）点M 为△POQ 内一点，O 为坐标原点，满足MP →+MO →+MQ →=0，若点M 恰好在圆O ：x 2+y 2=49，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意知4a =4√2，∴a =√2， 直线AF 2的方程为y =b c (x −c)，∵直线AF 2与椭圆C 的另一个交点的横坐标为43，∴{y =b c (43−c)(43)22+y 2b2=1，解得c ＝1或c ＝2（舍去）， ∴b 2＝a 2﹣c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），∵MP →+MO →+MQ →=0，∴点M 为△POQ 的重心，得M(x 1+x 23，y 1+y 23)， ∵点M 在O ：x 2+y 2=49上，∴(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=4， 由{y =kx +m x 22+y 2=1，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣2＝0，∴x 1+x 2=−4km 1+2k2，x 1x 2=2m 2−21+2k 2，∴(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=(−4km 1+2k2)2+(k(−4km 1+2k2)+2m)2=4，即16(1+k 2)k 2m 2(1+2k 2)2−16k 2m 21+2k 2+4m 2=4，得m 2=(1+2k 2)24k 2+1，由△＞0得1+2k 2＞m 2，∴1+2k 2＞(1+2k 2)24k 2+1，解得k ≠0， ∴m 2=(1+2k 2)24k 2+1=1+4k44k 2+1=1+44k 2+1k4＞1， ∴m ＞1或m ＜﹣1． 22．（12分）已知函数f(x)=lnx+axe x，a ∈R ． （1）若函数y ＝f （x ）在x ＝x 0（ln 2＜x 0＜ln 3）处取得极值1，证明：2−1ln2＜a ＜3−1ln3；（2）若f(x)≤x−1e x恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f′(x)=1x+a−(lnx+ax)e x．∵函数y＝f（x）在x＝x0处取得极值1，∴f′(x0)=1x0+a−(lnx0+ax0)e x0=0，且f(x0)=lnx0+ax0e x0=1，∴1x0+a=lnx0+ax0=e x0，∴a=e x0−1x0，令r(x)=e x−1x(x＞0)，则r′(x)=e x+1x2＞0，∴r（x）为增函数，∵0＜ln2＜x0＜ln3，∴r（ln2）＜a＜r（ln3），即2−1ln＜a＜3−1ln3．（2）不等式f(x)≤x−1e x恒成立，即不等式xe x﹣lnx﹣ax≥1恒成立，即a≤e x−lnxx−1x恒成立．令g(x)=e x−lnxx−1x，则g′(x)=e x−1−lnxx2+1x2=x2e2+lnxx2．令ℎ(x)=x2e x+lnx，则ℎ′(x)=(x2+2x)e x+1 x．∵x＞0，∴h'（x）＞0．∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，且ℎ(1)=e＞0，ℎ(12)=√e4−ln2＜0．∴h（x）有唯一零点x1，且12＜x1＜1．当x∈（0，x1）时，h（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）单调递减；∴a≤e x1−lnx1x1−1x1．由h（x1）＝0整理得x1e x1=−lnx1x1，∵12＜x1＜1，−lnx1＞0，令k（x）＝xe x（x＞0），则方程x1e x1=−lnx1x1等价于k（x1）＝k（﹣lnx1），而k'（x）＝（x+1）e x在（0，+∞）上恒大于零，∴k（x）在（0，+∞）上单调递增，∵k（x1）＝k（﹣lnx1），∴x1＝﹣lnx1，∴e x1=1x1，∴g(x1)=e x1−lnx1x1−1x1=1x1−(−x1)x1−1=1．x1∴a≤1．∴实数a的取值范围为（﹣∞，1]．。
2020年2020届山东省高三高考模拟考试数学试卷及解析
2020年2020届山东省高三高考模拟考试数学试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、单项选择题：1.已知集合{1,2}A =-,{|1}B x ax ==,若B A ⊆,则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（ ）A. 11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C. 10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D. 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】分B 为空集和B 不为空集两种情况讨论,分别求出a 的范围,即可得出结果. 【详解】因为集合{1,2}A =-,{|1}B x ax ==,B A ⊆, 若B 为空集,则方程1ax =无解,解得0a =； 若B 不为空集,则0a ≠；由1ax =解得1x a=,所以11a =-或12a =,解得1a =-或12a =,综上,由实数a 的所有可能的取值组成的集合为11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选D2.若1iz i =-+（其中i 是虚数单位）,则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D分析：变形1iz i =-+,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z 的坐标即可得结论. 详解：由i 1i z =-+, 得()()21i i 1i 1i i iz -+--+===+-,1z i =- ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-,位于第四象限,故选D.3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数,图象关于y 轴对称,排除D ；根据()0,1x ∈时,()0f x <,排除,A C ,从而得到正确选项. 【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠,且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数,关于y 轴对称,排除D ；当()0,1x ∈时,220x x -+>,ln 0x <,可知()0f x <,排除,A C . 本题正确选项：B4.《九章算术⋅衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关,关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ） A. 甲付的税钱最多 B. 乙、丙两人付的税钱超过甲 C. 乙应出的税钱约为32 D. 丙付的税钱最少【答案】B 【解析】通过阅读可以知道,A D 说法的正确性,通过计算可以知道,B C 说法的正确性.【详解】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少,可知,A D 正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的3511002<不超过甲。
2020年普通高等学校招生考试全国统一考试(数学模拟卷)及其参考答案(山东)
A. 210
B. 120
C. 120
D. 210
4.B 【解析 】由二项 展开式， 知其通项 为 Tr1
C1r0
(
1 x
)10r
(
x)r
(1)r C1r0 x2r10
，令
2r 10 4 ，解得 r 7 .所以 x4 的系数为 (1)7 C170 120. 选 B.
5.已知三棱锥 S ABC 中， SAB ABC π , SB 4, SC 2 13, AB 2, BC 6 ， 2
，得
x
2.
由 0 x 2 时， g(x) 0 ， g(x) 单调递闰；
当 x 2 时， g(x) 0 ， g(x) 单调递增.
从 而 g(x) 在 x 2 时 取 得 最 小 值 为 g(2) 16 ， 从 而 点 A 到 圆 心 C 的 最 小 值 为
g(2) 16 4 ，所以| AB | 的最小值为 4 1 3. 选 A.
C. {(1,1), (2, 4)}
D.
x y 2
x 1
1.C【解析】
首先注意到集合 A 与集合 B 均为点集，联立 y
x2
，解得
y
1
，或
x 2
y
4
பைடு நூலகம்
，从而集合
A
B
{(1,1),
(2,
4)}
，选
C.
2.已知 a bi(a, b R) 是 1 i 的共轭复数，则 a b 1 i
A. 1
2
2
SA AC
.所以
SA
平面
ABC
.又由于
SABC
1 26 2
6
，从而
山东省2020届普通高等学校招生全国统一考试数学试题模拟卷(一)(含答案解析)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合 ， ，则
A． B． C． 或 D．
2．已知 为虚数单位，则复数 的虚部为
A． B． C． D．
3．设 ，则“ ”是“直线 与直线 平行”的
13．已知 ，且 ，则 __________．
14．一组数据的平均数是8，方差是16，若将这组数据中的每一个数据都减去4，得到一组新数据，则所得新数据的平均数与方差的和是________．
15．已知A，B，C为球O的球面上的三个定点． ， ，P为球O的球面上的动点，记三棱锥 的体积为 ，三棱锥 的体积为 ．若 的最大值为3．则球O的表面积为________．
考点：充分必要性．
4．B
【分析】
由题意结合向量的运算法则，以及向量的模的运算公式，即可求解.
【详解】
由题意结合向量的运算法则，可知： .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查向量的运算法则，向量的模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．C
【详解】
因为 ,可得 时， 的系数为 ，C正确.
6．D
20．如图，设点A，B的坐标分别为（- ，0），( )，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为- ．
（1）求P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON的面积为定值．
21．某工厂的某种产品成箱包装，每箱 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 ，且各件产品是否为不合格品相互独立．
2020年山东省泰安市高考数学一模试卷1（含答案解析）
2020年山东省泰安市高考数学一模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合4=(x|-4<x<3}>B={-5,-4,一3,—2},则AC\B={)A.{一4,一3,—2}B.(-3,-2}C・(-4,-3} D. {-5,-4)2.设，是虚数单位.如果复数z=M，其实部与虚部互为相反数，那么实数々=（）A.—3B.3C.—iD.3.某老师从自己所带的两个班级中各抽取6人，记录他们的考试成绩，得到甲||乙如图所示的茎叶图，已知甲班6名同学成绩的平均数为82,乙班6名同学[6|7成绩的中位数为77,则z-y=（）, 7?：?：6x1|R25A.3B.-3C.4D. -40L L4.过焦点为F的抛物线y2=i2x上一点M向其准线作垂线，垂足为N,若直线NF的斜率为—手则|MF|=（）A.2B.2^3C.4D.4屯5.如图是一个算法流程图，则输出的〃的值为（）A. 3B. 4C.5D.6y-x<0,6.设%,y满足约束条件x+2y<4,则z=x—3y的最大值为（）（x-2y<2,A.4B. IC. -：D・27.一个正三棱柱的三视图如图所示，则该校柱的表面积为（）A. 24 +V3B. 24 + 2V3C. 14V 字 D・ 12焰8, 在等比数列｛%｝中，若Q1 = 2, %=16，则｛%｝的前5项和晃等于（）A. 30 B. 31 C. 62 D. 649. 函数/'（x ） = /4sin （anr + <p ）（其中4 > 0, 3 > 0. M < ?）的图象如图所示.为了得到g （x ） = sin2x的图象，则只需将『侦）的图象（）A.向左平移:个长度单位C.向右平移:个长度单位 B.向右平移?个长度单位D.向左平移;个长度单位1!哗＞.』3 -:r), T 1 . n 则/(2019)=()A i B.j C. j IL 3、已知 lg2 = a. Ig3 = t,则也 12 等于()A. B. fe + 2« C. « + 2iD 蓦D・u +护r f -（3/w + 1）k +3,X 。
2020年山东省泰安市高考数学一模试卷(理科)
高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|-2＜x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. {-2，-1}B. {-2，0}C. {-1，0}D. {-2，-1，0}2.若复数（2-i）（a+i）的实部与虚部互为相反数，则实数a=（）A. 3B.C.D. -33.某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲，乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，已知甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x-y的值为（）A. 2B. -2C. 3D. -34.从抛物线y2=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，从且|PM|=4，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为（）A. B. C. D. 25.如图是一个算法流程图，若输入n的值是13，输出S的值是46，则a的取值范围是（）A. 9≤a＜10B. 9＜a≤10C. 10＜a≤11D. 8＜a≤96.已知实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A. 0B. 1C. 5D. 67.（1-2x）5（2+x）的展开式中，x3的系数是（）A. 120B. -120C. 100D. -1008.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为了得到y=sin2x的图象，只需将f（x）的图象（）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位9.已知函数等于（）A. 2B. log26C. log27D. 310.在中，三边长分别为，，，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为（）A. B. C. D.11.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝AC＝CC1＝1，则AN与BM所成角的余弦值为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=|x2-2x-1|-t有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则2（x4-x1）+（x3-x2）的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知在△ABC和点M满足=，若存在实数m使得成立，则m=______．14.如图是某几何体的三视图，该几何体的体积为______．15.若，α∈（，π），则sin2α=______．16.已知双曲线的左焦点为F，A，B分别是C的左、右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}中，b1=1，b2=2，从数列{a n}中取出第b n项记为c n，若{c n}是等比数列，求{b n}的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°．（1）证明：AD⊥PB；（2）求平面PAD与平面PBC所成二面角的大小．19.已知椭圆的离心率，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（-2，0）且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），过右焦点F的直线AF，BF分别交椭圆C于点M、N，设，的取值范围．20.某老师是省级课题组的成员，主要研究课堂教学目标达成度，为方便研究，从实验班中随机抽取30次的随堂测试成绩进行数据分析．已知学生甲的30次随堂测试成绩如下（满分为100分）：（1）把学生甲的成绩按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90]分成6组，列出频率分布表，并画出频率分布直方图；（2）规定随堂测试成绩80分以上（含80分）为优秀，为帮助学生甲提高成绩，选取学生乙，对甲与乙的随堂测试成绩进行对比分析，甲与乙测试成绩是否为优秀相互独立．已知甲成绩优秀的概率为P1（以频率估计概率），乙成绩优秀的概率为P2，若P2-P1≥0.5，则此二人适合为学习上互帮互助的“对子”．在一次随堂测试中，记X为两人中获得优秀的人数，已知E（X）=0.8，问二人是否适合结为“对子”？21.已知m＞0，函数f（x）=e x-mx，直线l：y=-m．（1）讨论f（x）的图象与直线l的交点个数；（2）若函数f（x）的图象与直线l：y=-m相交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点（x1＜x2），证明：．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的方程为x2-2x+y2=0．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的普通方程与曲线C的极坐标方程；（2）直线与直线l交于点A，点B是曲线C上一点，求△AOB 面积的最大值．23.已知函数f（x）=|x+1|-m|x-2|（m∈R）．（1）当m=3时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）当x∈[-1，2]时，不等式f（x）＜2x+1恒成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A表示-2到0的所有实数，集合B表示5个整数的集合，∴A∩B={-1，0}，故选：C．直接利用交集运算得答案．本题考查了交集及其运算，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵（2-i）（a+i）=（2a+1）+（2-a）i的实部与虚部互为相反数，∴2a+1+2-a=0，即a=-3．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部的和为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值．本题考查了平均数与中位数的概念与应用问题，是基础题．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲班5名同学成绩的平均数为×（72+77+80+x+86+90）=81，解得x=0；又乙班5名同学的中位数为73，则y=3；x-y=0-3=-3．故选：D．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了抛物线的应用、直线斜率．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．先设出P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，即可求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用斜率公式求得答案．【解答】解：设P（x0，y0），P在第一象限,依题意可知抛物线准线x=-1，∴x0=4-1=3，∴y0=，∴P（3，），F（1，0）．∴直线PF的斜率为.故选C．5.【答案】B【解析】解：依次运行流程图，结果如下：n=13，S=0满足判断框内的条件n≥a，S=13，n=12满足判断框内的条件n≥a，S=25，n=11满足判断框内的条件n≥a，S=36，n=10满足判断框内的条件n≥a，S=46，n=9此时，不满足判断框内的条件n≥a，退出循环，所以a的取值范围是9＜a≤10．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】D【解析】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象可知当直线，y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大．由，得A（0，3），此时z的最大值为z=0+2×3=6，故选：D．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．7.【答案】B【解析】解：（1-2x）5（2+x）=2（1-2x）5+x（1-2x）5∵（1-2x）5的展开式的通项为T r+1=C5r（-2x）r=（-2）r C5r x r令r=3得（1-2x）5展开式中x3的项的系数是-8C53=-80令r=2得（1-2x）5展开式中x2的项的系数是4C52=40∴（1-2x）5（2+x）=2（1-2x）5+x（1-2x）5的展开式中x3的项的系数是2×（-80）+40=-120故选：B．将已知多项式展开，将求展开式中x3的项的系数转化为求二项式展开式的项的系数；利用二项展开式的通项公式求出通项，令通项中的r分别取3，2求出二项式的含x3和含x2的系数．本题考查等价转化的能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．8.【答案】B【解析】【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的f（x）的解析式．再根据函数y=A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，可得结论．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，属于中档题．【解答】由函数f（x）=A sin（ωx+φ），的图象可得A=1，，∴ω=2．再由五点法作图可得2×+φ=0，∴φ=．故函数的f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）．故把f（x）=sin2（x+）的图象向右平移个单位长度，可得g（x）=sin2x的图象，故选：B．9.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（2019）=f（4）=log24=2．故选：A．推导出f（2019）=f（4），由此能求出结果．本题考查函数值值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式的应用，是基础题．设最小角为α，故α对应的边长为a，然后利用余弦定理化简求解即可得a的值，再由三角形面积公式求解即可．【解答】解：设最小角为α，故α对应的边长为a，则cosα==，解得a=3．∵最小角α的余弦值为，∴=．∴=．故选：A．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查了异面直线及其所成的角，属中档题．可先作出所求角再利用余弦定理求值．【解答】解：如图：取BC中点E，连接NE,AE，MN,∵M，N分别是A1B1，A1C1的中点，,又E为BC的中点，,,所以四边形BENM为平行四边形，所以, 则或其补角即为所求异面直线所成角，又,,所以．故选D．12.【答案】A【解析】解：由f（x）=|x2-2x-1|-t=0得|x2-2x-1|=t，作出y=|x2-2x-1|的图象如图，要使f（x）有四个不同的零点，则0＜t＜2，同时x1，x4，是方程x2-2x-1-t=0的两个根，x2，x3，是方程x2-2x-1+t=0的两个根，则x1x4=-1-t，x1+x4=2，x2x2=-1+t，x2+x3=2，则x4-x1===2，x3-x2===2，则2（x4-x1）+（x3-x2）=4+2，设h（t）=4+2，h′（t）=-=-，由h′（t）＞0得-＞0，得＞，平方得＞得8-4t＞2+t，得5t＜6，即0＜t＜，此时为增函数，由h′（t）＜0得＜t＜2，此时为减函数，故当t=时，h（t）取得极大值h（）=+2=4+2=+=4，h（0）=6，h（2）=8，则8＜6，即h（t）的取值范围是，故选：A．作出y=|x2-2x-1|的图象，利用|x2-2x-1|=t有4个不同的根，用t表示x1，x2，x3，x4，结合根与系数之间的关系，求出2（x4-x1）+（x3-x2）的表达式，构造函数，研究函数的单调性和取值范围即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合，转化为关于t的函数关系，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．13.【答案】3【解析】解：由点M满足，知点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则=∴∴m=3故答案为：3确定点M为△ABC的重心，利用向量的加法法则，即可求得m的值．本题考查平面向量的基本定理，考查向量的加法法则，解题的关键是确定点M为△ABC 的重心14.【答案】12【解析】解：由三视图知，该几何体是一个三棱柱，如图所示；用垂直于侧棱的平面截三棱柱，得截面图形是侧视图，又侧棱长为4，则该三棱柱的体积为V=S截面•侧棱=×2×4×3=12．故答案为：12．由三视图知该几何体是一个三棱柱，用垂直于侧棱的平面截三棱柱得截面图形是侧视图，根据侧棱长求出该三棱柱的体积．本题考查了利用三视图求几何体的体积应用问题，是基础题．15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二倍角公式及其应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题.直接利用二倍角公式的变换求出结果．【解答】解：由，α∈（，π），所以：，整理得：，所以：，则：，∴sin2．故答案为.16.【答案】3【解析】解：因为PF⊥x轴，所以设M（-c，t），则A（-a，0），B（a，0），AE的斜率k=，则AE的方程为y=（x+a），令x=0，则y=，即E（0，），BN的斜率为-，则BN的方程为y=-（x-a），令x=0，则y=，即N（0，），因为|OE|=2|ON|，所以2•||=||，即2（c-a）=c+a，即c=3a，则离心率e==3．故答案为：3．根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用|OE|=2|ON|的关系建立方程进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点N，E的坐标是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）差数列{a n}满足，可得a1+a2=4，a1+a2+a2+a3=12，设等差数列的公差为d，可得2a1+d=4，4a1+4d=12，解得a1=1，d=2，则a n=1+2（n-1）=2n-1；（2）由题意可得c1=a=a1=1，c2=a=a2=3，可得数列{c n}的公比为3，c n=3n-1，由c n=a=2b n-1，可得b n=（1+3n-1），{b n}的前n项和T n=（1+3+…+3n-1）+n=•+n=．【解析】（1）设等差数列的公差为d，由通项公式解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）分别求得c1，c2，可得公比，由等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．18.【答案】证明：（1）取AD的中点E，连结PE，BE，BD，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BE，同理，得AD⊥PE，又PE∩BE=E，PE⊂平面PBE，BE⊂平面PBE，∴AD⊥平面PBE，又PB⊂平面PBE，∴AD⊥PB．解：（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，由（1）可知EA，EB，EP两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系E-xyz，如图，由题意得PD=PA=AD=2，则E（0，0，0），B（0，，0），C（-2，，0），P（0，0，），∴=（0，，0），=（0，，-），=（-2，，-），设平面PBC的一个法向量=（x，y，z），由，取y=1，得=（0，1，1），由（1）得是平面PAD的一个法向量，∴cos＜，＞==，∴＜＞=45°，∴平面PAD与平面PBC所成二面角的大小为45°．【解析】（1）取AD的中点E，连结PE，BE，BD，推导出AD⊥BE，AD⊥PE，从而AD⊥平面PBE，由此能证明AD⊥PB．（2）EA，EB，EP两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成二面角的大小．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意可得，解得a2=2，b2=1，则椭圆方程为+y2=1，（2）设直线l的斜率为k，A（x1，y2），B（x2，y2），M（x3，y3），则=（1-x1，-y1），=（x3-1，y3），由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，由=α，可得-y1=ay3，则α=-，当AM与x轴不垂直时，直线AM的方程为y=（x-1），即x=，代入曲线C的方程又x12+y12=1，整理可得（3-2x1）y2+2y1（x1-1）-y12=0，∴y1y3=-，∴α=-=3-2x1，当AM与x轴垂直时，A点横坐标为x1=1，α=1，显然a=3-2x也成立，∴α=3-2x，同理可得β=3-2x，设直线l的方程为y=k（x+2），（k≠0），联立，消去y整理得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-2=0，由△=（8k2）2-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，解得0＜k2＜，又x1+x2=-，∴α+β=3-2x1+3-2x2=6-2（x1+x2）=14-∈（6，10）即α+β的取值范围是（6，10）．【解析】（1）由题意可得，解得a2=2，b2=1，即可求出椭圆方程，（2）设直线l的斜率为k，A（x1，y2），B（x2，y2），M（x3，y3），则=（1-x1，-y1），=（x3-1，y3），分“两种情况，求出直线AG的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系的分析可得α+β范围，即可得答案．本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键依据椭圆的性质，求出椭圆的标准方程．画出频率分布直方图如图所示；（2）由（1）知P1=0.1，随机变量X的所有可能取值分别为0，1，2；当X=0时，P（X=0）=0.9×（1-P2），当X=1时，P（X=1）=0.9×P2+0.1×（1-P2）=0.8×P2+0.1，当X=2时，P（X=2）=0.1×P2；X所以的数学期望为（）P2+0.1+2×0.1×P2=P2+0.1=0.8，解得P2=0.7；所以P2-P1=0.7-0.1=0.6＞0.5，所以学生甲与学生乙适合结为“对子”．【解析】（1）根据题意列出频率分布表，画出频率分布直方图即可；（2）由题意知随机变量X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，再计算数学期望值，求出P2以及P2-P1的值，由此得出结论．本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题．21.【答案】解：（1）由題意，令g（x）=e x-mx+m，（m＞0）则g'（x）=e x-m，令g'（x）＞0，解得x＞ln m．所以g（x）在（ln m，+∞）上单调递增，令g'（x）＜0，解得x＜ln m，所以g（x）在（-∞，ln m）上单调递减，则当x=ln m时，函数取得极小值，同时也是最小值g（x）min=g（ln m）=m-m lnm+m=m（2-ln m）①当m（2-ln m）＞0，即0＜m＜e2时，f（x）的图象与直线l无交点，②当m（2-ln m）=0，即m=e2时f（x）的图象与直线l只有一个交点．③当m（2-ln m）＜0，即m＞e2时f（x）的图象与直线l有两个交点．综上所述，当0＜m＜e2时，f（x）的图象与直线l无交点m=e2时f（x）的图象与直线l只有一个交点，m＞e2时f（x）的图象与直线l有两个交点．（2）证明：令φ（x）=g（ln m+x）-g（ln m-x）=me x-me-x-2mx，（x＞0）φ′（x）=m（e x+e-x-2）∵e x+e-x≥2=2，∴φ'（x）≥0，即φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴φ（x）＞φ（0）=0∴x＞0时，g（ln m+x）＞g（ln m-x）恒成立，又0＜x1＜ln m＜x2，∴ln m-x1＞0，∴g（ln m+ln m-x1）＞g（ln m-ln m+x1）即g（2ln m-x1）＞g（x1），又g（x1）=g（x2）∴g（x2）＜g（2ln m-x1）∵2ln m-x1＞ln m，x2＞ln m，y=g（x）在（ln m，+∞）上单调递增，∴x2＜2ln m-x1即x1+x2＜2ln m．∵，∴•=（mx1-m）（mx2-m）=m2（x1-1）（x2-1），∵．∴m2（x1-1）（x2-1）＜m2，即（x1-1）（x2-1）＜1，则x1x2-（x1+x2）+1＜1，∴x1x2-（x1+x2）＜0，即x1x2＜x1+x2，即成立．【解析】本题主要考查函数与方程的应用，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和极值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．（1）根据函数与方程的关系，设g（x）=e x-mx+m，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，结合极值与0的关系进行判断即可．（2）构造函数φ（x），求函数的导数，结合f（x）与l的交点坐标，进行证明即可．22.【答案】解：（1）由x=2+t得t=（x-2）代入y=2+整理得x-+4=0，∴直线l的普通方程为x-+4=0，又，∴ρ2cos2θ-2ρcosθ+ρ2sin2θ=0，∴ρ=2cosθ，∴曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，（2）由得，∴A（2，2），设B（ρ，θ），则ρ=2cosθ，∴△AOB的面积S=|OA||OB|sin∠AOB=|4ρsin（-θ）|=|4cosθsin（-θ）|=|2cos（2θ+）+|，∴S mac=2+．【解析】（1）用代入法消去t可得直线l的普通方程；利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得曲线C的极坐标方程；（2）先求得A（2，2），再利用B的极径求出三角形的面积，再求最值．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.【答案】解：（1）当m=3时，f（x）=|x+1|-3|x-2|，由f（x）＞1，得或或，解得：＜x≤2或2＜x＜3，故不等式的解集是（，3）；（2）当x∈[-1，2]时，f（x）=x+1-m（2-x），f（x）＜2x+1恒成立，即x+1-m（2-x）＜2x+1恒成立，整理得：（2-x）m＞-x，当x=2时，0＞-2成立，当x∈[-1，2]时，m＞=1-，令g（x）=1-，∵-1≤x＜2，∴0＜2-x≤3，∴≥，∴1-≤，故g（x）max=，故m＞．【解析】（1）代入m的值，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）问题转化为x+1-m（2-x）＜2x+1恒成立，当x∈[-1，2]时，m＞=1-，令g（x）=1-，求出g（x）的最大值，求出m的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题．。
2020年山东省泰安市高考数学一模试卷1 (含答案解析)
2020年山东省泰安市高考数学一模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|−4<x<3}，B={−5,−4,−3,−2}，则A∩B=()A. {−4,−3,−2}B. {−3,−2}C. {−4,−3}D. {−5,−4}2.设i是虚数单位，如果复数z=a−i2+i，其实部与虚部互为相反数，那么实数a=()A. −3B. 3C. −13D. 133.某老师从自己所带的两个班级中各抽取6人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图，已知甲班6名同学成绩的平均数为82，乙班6名同学成绩的中位数为77，则x−y=()A. 3B. −3C. 4D. −44.过焦点为F的抛物线y2=12x上一点M向其准线作垂线，垂足为N，若直线NF的斜率为−√33，则|MF|=()A. 2B. 2√3C. 4D. 4√35.如图是一个算法流程图，则输出的n的值为()A. 3B. 4C. 5D. 66.设x,y满足约束条件{y−x≤0,x+2y≤4,x−2y≤2,则z=x−3y的最大值为()A. 4B. 32C. −83D. 27.一个正三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的表面积为()A. 24+√3B. 24+2√3C. 14√3D. 12√3 8. 在等比数列{a n }中，若a 1=2，a 4=16，则{a n }的前5项和S 5等于 ( )A. 30B. 31C. 62D. 649. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g(x)=sin2x的图象，则只需将f(x)的图象 ( )A. 向左平移π6个长度单位 B. 向右平移π3个长度单位 C. 向右平移π6个长度单位D. 向左平移π3个长度单位10. 已知函数则f(2019)=( )A. 45B. 23C. 12D. 1311. 3、已知，则等于( ) A.B.C.D.12. 若函数恰有三个极值点，则m 的取值范围是( )A. (−12,−13)B. (−12,0)C. (−1,−13)D. (−1,−12)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则mn = ______ ． 14. 已知数列{a n }满足S n =2n 2+n −1，则通项a n = ______ ． 15. 已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的高为8，∠BAC =5π6，BC =3，则该直三棱柱的外接球的表面积为________．16. 如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a,b >0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=sinxcosx−sin2x+1．2(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足bcos2A=bcosA−asinB，且0<A<π，2求f(B)的取值范围．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，△ABC是等边三角形，D为AC的中点，求证：(1)平面C1BD⊥平面A1ACC1；(2)AB1//平面C1BD．19.从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．(1)求这100份数学试卷成绩的中位数．(2)从总分在[55,65)和[135,145)的试卷中随机抽取2份试卷，求抽取的2份试卷中至少有一份总分少于65分的概率．20.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，右焦点为F(1,0)．(1)求椭圆的方程；(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．21.已知函数f(x)=e x，x∈R．(Ⅰ)求函数f(x)在x=1处的切线方程；(Ⅱ)若m>0，讨论函数g(x)=f(x)x2−m零点的个数．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =costy =sin 2t (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−acosθ)=12(a ∈R)． (1)写出曲线C 1的普通方程和直线C 2的直角坐标方程； (2)若直线C 2与曲线C 1有两个不同交点，求a 的取值范围．23. 已知函数f(x)=|x −a|−|x +3|，a ∈R ．(1)当a =−1时，解不等式f(x)≤1；(2)不等式f(x)≤4在x ∈[−2,3]时恒成立，求a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查了交集及其运算，是基础题．直接利用交集运算得答案．【解答】解：集合A={x|−4<x<3}，B={−5,−4,−3,−2}，则A∩B={−3,−2}，故选B．2.答案：B解析：【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数a−i2+i ，又已知复数a−i2+i的实部与虚部互为相反数列等式求解即可得答案．【解答】解：a−i2+i =2a−1−(a+2)i5，又复数a−i2+i的实部与虚部互为相反数，则2a−15=a+25，解得a=3．故选B．3.答案：C解析：【分析】本题考查了平均数与中位数的概念与应用问题，是基础题目．根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值．【解答】解：根据茎叶图中的数据，由甲班6名同学成绩的平均数可得：72+77+81+80+x+86+90=82，6解得x=6，又乙班6名同学的中位数为=77，得y=2，由70+y+822∴x−y=6−2=4．故选C．4.答案：C解析：解：抛物线y2=12x的焦点坐标(3,0)，则DF=6，直线NF的斜率为−√3，可得DN=2√3，3则抛物线y2=12x可得：12=12x，解得x=1，所以M(1,2√3)，|MF|=|MN|=3+1=4．故选：C．利用抛物线的方程求出焦点坐标，利用已知条件转化求解|MF|即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．5.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得n=0执行循环体，n=1满足条件21≤16，执行循环体，n=2满足条件22≤16，执行循环体，n=3满足条件23≤16，执行循环体，n=4满足条件24≤16，执行循环体，n=5不满足条件25≤16，退出循环，输出n的值为5．故选：C．由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，如图，由图象可知当直线经过点A(−2,−2)时，此时z最大．此时z的最大值为z=−2+6=4，故选A.7.答案：B解析：【分析】本题考查由三视图求几何体的表面积，由三视图正确求出几何体的棱长是解题的关键，属于基础题．由三视图和题意求出三棱柱的棱长、判断出结构特征，由面积公式求出各个面的面积，加起来求出该棱柱的全面积．【解答】解：根据三视图和题意知，三棱柱的底面是正三角形：边长2，边上的高是√3，侧棱与底面垂直，侧棱长是4，×2×√3∴该棱柱的全面积S=3×2×4+2×12=24+2√3，故选B．8.答案：C解析：【分析】本题考查等比的通项公式以及前n项和公式，属于基础题．先运用等比的通项公式得到q=2，再运用求和公式计算，即可得到答案．【解答】解：设数列{a n}的公比为q，则a4a1=q3=8，解得q=2．则此数列的前5项的和S5=a1(1−q5)1−q =2×(1−25)1−2=62，故选C．9.答案：C解析：【分析】本题主要考查利用y=Asin(ωx+φ)的图象特征，由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再根据y= Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象可得A=1，根据T4=14⋅2πω=7π12−π3，求得ω=2，再根据五点法作图可得2×π3+φ=π，求得φ=π3，∴f(x)=sin(2x+π3)=sin2(x+π6)，故把f(x)的图象向右平移π6个长度单位，可得g(x)=sin2x的图象，故选C．10.答案：C解析：【分析】本题考查分段函数，函数的周期性，属于中档题．当x>0时，f(x)的周期为8，根据分段函数及周期性求解即可．【解答】解：函数当x>0时，因为f(x)=−1f(x−4)，则f(x+4)=−1f(x)，所以f(x+8)=−1f(x+4)=f(x)，所以当x>0时，f(x)的周期为8，则f(2019)=f(252×8+3)=f(3)=−1f(−1)，又，则f(2019)=−1f(−1)=12．故选C．11.答案：B解析：lg12=lg4+lg3=2lg2+lg3=2a+b．12.答案：A解析：【分析】本题考查导数与函数的极值之间的关系，属于中档题．利用导数研究函数的极值即可得出答案．【解答】解：由题意知，当x>0时，令f′(x)=0，可化为：，令，则，则函数g(x)在(0,1)递增，在(1,+∞)递减，g(x)的图象如图所示：，故0<−2m<1即−12<m<0时，f(x)有2个不同的解，当x ≤0时，令f ′(x )=0，x =3m+12<0，解得：m <−13， 综上，m 的取值范围为(−12,−13) ．故选A ．13.答案：−6解析：解：∵在△ABC 中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴m =3，n =−2．∴mn =−6．故答案为：−6．由已知AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此能求出mn 的值． 本题考查向量的线性运算，是基础题，解题时要认真审题，注意加法法则的合理运用． 14.答案：{2,n =14n −1,n ≥2解析：解：当n =1时，a 1=S 1=2+1−1=2．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n 2+n −1−[2(n −1)2+(n −1)−1]=4n −1．∴a n ={2,n =14n −1,n ≥2． 故答案为：{2,n =14n −1,n ≥2． 利用“当n =1时，a 1=S 1.当n ≥2时，a n =S n −S n−1”即可得出．本题考查了利用“当n =1时，a 1=S 1.当n ≥2时，a n =S n −S n−1”求数列通项公式，属于基础题．15.答案：100π解析：【分析】本题考查该三棱柱外接球的表面积，考查学生的计算能力，属于中档题．求出外接球的半径，即可求出该三棱柱外接球的表面积．【解答】解：三角形外接圆的半径为r ，，外接球的半径为R ， R =√32+(82)2=5.外接球的表面积为．故答案为100π.16.答案：√62解析：【分析】本题考查两条直线的交点坐标，中点坐标公式，双曲线的性质及几何意义．写出直线F 1B 的方程，分别与双曲线的渐近线方程联立，求出P ，Q 的坐标，则可得线段PQ 的中点N 的坐标，又|MF 2|=|F 1F 2|，知M(3c,0)，可得直线MN 的斜率，根据直线MN 与F 1B 垂直，可得到斜率之间的关系，化简后，结合c 2=a 2+b 2，即得答案．【解答】解：依题意F 1(−c,0)，B(0,b)，∴直线F 1B 的方程为：y =b c x +b ， 由{y =b c x +b y =−b a x，得P(−ac c+a ,bc c+a )， 由{y =b c x +b y =b a x，得Q(ac c−a ,bc c−a )， 则线段PQ 的中点N(a 2c b 2,c 2b )，又|MF 2|=|F 1F 2|，知M(3c,0)， 则直线MN 的斜率k =bc a 2−3b 2，则b c ×bca −3b =−1，得a 2=2b 2，即2c 2=3a 2，故e=ca =√62．故答案为√62．17.答案：解：(Ⅰ)由题知f(x)=12sin2x−12(1−cos2x)+12，=12sin2x+12cos2x，=√22sin(2x+π4)．由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ−3π8≤x≤kπ+π8．所以f(x)单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8](k∈Z)．(Ⅱ)依题意，由正弦定理，sinBcos2A=sinBcosA−sinAsinB．因为在三角形中sinB≠0，所以cos2A=cosA−sinA．即(cosA−sinA)(cosA+sinA−1)=0当cosA=sinA时，A=π4；当cosA+sinA=1时，A=π2．由于0<A<π2，所以A=π4．则B+C=34π．则0<B<34π．又π4<2B+π4<7π4，所以−1≤sin(2B+π4)≤1．由f(B)=√22sin(2B+π4)，则f(B)的取值范围是[−√22,√22]．解析：(Ⅰ)首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间．(Ⅱ)首先利用正弦定理求出相应的角，进一步利用三角函数的关系式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理的应用．18.答案：证明：(1)因为△ABC是等边三角形，D为AC的中点，所以BD⊥AC，又因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BD，根据线面垂直的判定定理得BD⊥平面A1ACC1，又因为BD⊂平面C1BD，所以平面C1BD⊥平面A1ACC1；(2)如图所示，连接B1C交BC1于O，连接OD，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以点O为B1C的中点，又因为D为AC的中点，所以OD为△AB1C的中位线，所以OD//B1A，又OD⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，所以AB1//平面C1BD．解析：(1)由线面垂直的判定定理得出BD⊥平面A1ACC1，再由面面垂直的判定定理得出平面C1BD⊥平面A1ACC1；(2)连接B1C交BC1于O，连接OD，证明OD//B1A，由线面平行的判定定理证明AB1//平面C1BD．本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力的应用问题，是综合性题目．19.答案：解：(1)记这 100 份数学试卷成绩的中位数为x(95<x<105)，则0.002×10+0.008×10+0.013×10+0.015×10+(x−95)×0.024=0.5，解得x=100，∴这100份数学试卷成绩的中位数为100．(2)总分在[55,65)的试卷共有0.002×10×100=2份，记为A，B，总分在[135,145)的试卷共有0.004×10×100=4份，记为a，b，c，d，则从上述6份试卷中随机抽取2份的抽取结果为：{A,B}，{A,a}，{A,b}，{A,c}，{A,d}，{B,a}，{B,b}，{B,c}，{B,d}，{a,b}，{a,c}，{a,d}，{b,c}，{b,d}，{c,d}，共15种结果，至少一份总分少于65分的有：{A,B}，{A,a}，{A,b}，{A,c}，{A,d}，{B,a}，{B,b}，{B,c}，{B,d}，共9种结果，∴抽取的2份试卷中至少有一份总分少于65分的概率为：p =915=35．解析：(1)利用频率分布直方图能求出这100份数学试卷成绩的中位数．(2)总分在[55,65)的试卷共有2份，记为A ，B ，总分在[135,145)的试卷共有4份，记为a ，b ，c ，d ，利用列举法能求出抽取的2份试卷中至少有一份总分少于65分的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20.答案：解：(1)依题意可得{c a=1a =√22a 2=b 2+c 2=b 2+1, 解得a =√2 ，b =1，所以椭圆E 的标准方程为x 22+y 2=1；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x =1，不符合题意；②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y =k(x −1)，联立得方程组{x 22+y 2=1y =k(x −1), 消去y 整理得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2(k 2−1)=0，由Δ=(−4k 2)2−4(1+2k 2)·2(k 2−1)=8k 2+8>0，所以x 1+x 2=4k 21+2k 2 ，x 1·x 2=2(k 2−1)1+2k 2，所以y 1⋅y 2=k 2(x 1−1)·(x 2−1)=k 2[x 1·x 2−(x 1+x 2)+1]=−k 21+2k 2，因为OM ⊥ON ，所以OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ， 即x 1·x 2+y 1⋅y 2=k 2−21+2k 2=0， 所以k =±√2，即直线l 的方程为y =±√2(x −1)．解析：本题主要考查了椭圆性质的运用，椭圆标准方程的求法，椭圆与直线位置关系的判定与运用，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于中档题．(1)根据椭圆的几何性质，求出a 、b 的值即可；(2)讨论直线MN 的斜率是否存在，设出MN 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合OM ⊥ON ，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求出直线的斜率k ，即可求出直线l 的方程．21.答案：解：(Ⅰ)函数的导数f′(x)=e x ，则f′(1)=e ，f(1)=e ，则函数f(x)在x =1处的切线方程y −e =e(x −1)，即y =ex ；(Ⅱ)由g(x)=f(x)x 2−m =0， 得m =f(x)x 2=e x x 2，设ℎ(x)=e x x 2，则ℎ′(x)=e x ⋅x 2−e x ⋅2x x 4=e x (x−2)x 3，当x <0时，ℎ′(x)>0，此时函数单调递增，且ℎ(x)>0，当x >2时，ℎ′(x)>0，此时函数单调递增，当0<x <2时，ℎ′(x)<0，此时函数单调递减，即当x =2时，函数ℎ(x)取得极小值ℎ(2)=e 24， 作出函数ℎ(x)的草图如图当m >0时，若m >e 24时，ℎ(x)=m 有3个不同的根，即函数g(x)有3个不同的零点， 若m =e 24时，ℎ(x)=m 有2个不同的根，即函数g(x)有2个不同的零点，若0<m <e 24时，ℎ(x)=m 有1个不同的根，即函数g(x)有1个不同的零点．解析：(Ⅰ)求函数的导数，利用导数的几何意义即可求函数f(x)在x =1处的切线方程； (Ⅱ)由g(x)=0，利用参数转化法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，利用导数的几何意义求切线方程，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值单调性是解决本题的关键．22.答案：解：(1)曲线C 1的普通方程为y =1−x 2(−1≤x ≤1)，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入ρ(cosθ−asinθ)=12，得直线C 2的直角坐标方程为y −ax =12，即ax −y +12=0，(2)由直线C 2：ax −y +12=0，知C 2恒过点M(0,12)，由y =1−x 2(−1≤x ≤1)，当时，得x =±1，所以曲线C 1过点P(−1,0)，Q(1,0)，则直线MP 的斜率为k 1=0−12−1−0=12，直线MQ 的斜率k 2=0−121−0=−12， 因为直线C 2的斜率为a ，且直线C 2与曲线C 1有两个不同的交点，所以k 2≤a ≤k 1，即−12≤a ≤12，所以a 的取值范围为[−12,12].解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程，曲线的参数方程，属中档题．(1)利用平方关系消去参数t 可得C 1的普通方程，利用x =ρcosθ，y =ρsinθ可得C 2的直角坐标方程； (2)根据直线的斜率可得．23.答案：解：(1)a =−1时，f(x)=|x +1|−|x +3|≤1，⇔{x ≤−3−x −1+x +3≤1或{−3<x <−1−x −1−x −3≤1或{x ≥−1x +1−x −3≤1, 解得：⌀或−52≤x <−1或x ≥−1，综上，不等式的解集为[−52,+∞)；(2)∵x ∈[−2,3]，∴x +3>0，∴不等式f(x)≤4在x ∈[−2,3]时恒成立，⇔|x −a|≤x +7在x ∈[−2,3]时恒成立，⇔−(x +7)≤x −a ≤x +7在x ∈[−2,3]时恒成立，⇔−x −7−x ≤−a ≤7在x ∈[−2,3]时恒成立，⇔−7≤a ≤2x +7在x ∈[−2,3]时恒成立，而2x +7在x ∈[−2,3]的最小值是3，∴−7≤a ≤3，即a 的取值范围为[−7,3]．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．(1)将a =−1代入f(x)，通过讨论x 的范围，得到不等式组，解出即可；(2)问题转化为−7≤a ≤2x +7在x ∈[−2,3]时恒成立，而2x +7在x ∈[−2,3]的最小值是3，从而求出a 的范围即可．。
2020年山东省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年山东省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。