柯西施瓦茨不等式

分类号（宋体小三加黑）论文选题类型

U D C 编号

本科毕业论文（设计）

（黑体小初）

（宋体小一加黑）

题目（宋体小二加黑）

学院（宋体小三加黑）

专业

年级

学生姓名

学号

指导教师

二○年月（宋体三号加黑）

华中师范大学

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学位论文作者签名：日期：年月日

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目录

内容摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Keywords (1)

不等式的简介 (1)

不等式的四种形式 (2)

实数域中的Cauchy-Schwarz不等式 (2)

定理 (2)

应用 (2)

用于证明不等式 (3)

用于求最值 (3)

用于解方程组 (4)

用于解三角形相关问题 (4)

维欧氏空间中的Cauchy-Schwarz不等式 (5)

定理 (5)

应用 (6)

用于证明不等式 (6)

用于求最值 (6)

用于证明三维空间中点到面的距离公式 (7)

数学分析中的Cauchy-Schwarz不等式 (7)

定理 (7)

定理（积分学中的柯西—施瓦茨不等式） (7)

定理（数项级数的柯西—施瓦茨不等式） (9)

应用 (10)

用于证明不等式 (10)

概率空间中的Cauchy-Schwarz不等式 (10)

定理 (10)

应用 (11)

用于研究两个随机变量的相关系数 (11)

用于求方程的系数 (12)

用于判断极值是否存在 (12)

3．Cauchy-Schwarz不等式四种形式的内在联系 (13)

证明方法的相似性 (13)

内在之间的互推性 (14)

四种形式的本质.................................... (15)

参考文献 (16)

内容摘要：本文介绍了柯西施瓦茨不等式在实数域、n维欧式空间、数学分析、概率空间四个不同分支的表现形式，并简单说明了其在各个领域内的应用，主要包括证明不等式、求最值，解三角形的相关问题，解方程组，研究概率论中的相关系数、判断极值的存在性。此外，本文还给出了柯西施瓦茨不等式的四种不同形式的内在联系。

关键词：柯西施瓦茨不等式应用内在联系

Abstract: In this paper, the four different forms of Cauchy-Schwarz-inequality are firstly introduced. The four different forms include real number field, n dimensional Euclidean space, mathematical analysis, probability space. Then its applications are showed, which include proving the inequality, finding a solution to the maximum value and minimum value of a function or equations, solving triangle, studying the correlation coefficient on the probability theory, determining the existence of extreme value. In addition, this paper also gives the internal relations of the four different forms of Cauchy-Schwarz-inequality.

Keywords: Cauchy-Schwarz-inequality application internal-relations

不等式的简介

柯西施瓦茨不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问

题时得到的。数学上，柯西—施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西施瓦茨不等式是一条很多场合都用得上的不等式，例如证明不等式、求函数最值、线性代数的矢量，研究三角形的相关问题，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差，求方程系数，判断极值的存在性。

不等式的四种形式

实数域中的Cauchy-Schwarz 不等式

2.1.1定理

设,(1,2,i i a b R i ∈=…，n ），则2

22111().n n n

i

i i i i i i a b a b ===≥∑∑∑g 当且仅当1212=n n

b b b a a a ==…时，不等式等号成立. 证明：通过构造关于x 的二次函数来证明

设22

2

21111()()()+2().n n n n

i i i i i i i i i i f x a x b a x a b x b =====+=+∑∑∑∑ 若21

0,n

i i a ==∑即120n a a a ===…=时，显然不等式成立.

若2

10n i i a =≠∑时，则有2221122()()()()0n n f x a x b a x b a x b =-+-++-≥…且210,n

i i a =>∑由于()0f x ≥成立，所以22

2111[2()]4()()0.n n n

i i i

i i i i a b a b ===∆=-≤∑∑∑g 且当且仅当1212=n n

b b b a a a ==…时，不等式等号成立. 故2

22111().n n n

i i

i i i i i a b a b ===≥∑∑∑g 2.1.2 应用

在中学数学和竞赛数学中常常巧妙地应用柯西—施瓦茨不等式（即Cauchy-Schwarz 不等式）将许多繁琐复杂的问题简单化，比如常常用于求证不等