提公因式、公式法因式分解专题
最新因式分解分类练习(提公因式法、公式法、十字相乘法)
因式分解：提公因式法专项训练一：确定下列各多项式的公因式。
1、ay ax +2、36mx my -3、2410a ab +4、2155a a +5、22x y xy -6、22129xyz x y -7、()()m x y n x y -+-8、()()2x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。
1、22____()R r R r ππ+=+2、222(______)R r πππ+=3、2222121211___()22gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a +=专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。
1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()22___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=-7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。
1、nx ny -2、2a ab +3、3246x x -4、282m n mn +5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +-13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+专项训练五：把下列各式分解因式。
因式分解之提取公因式法和运用公式法(教师版)
课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ C ）A ．223(2)3x x x x +-=+-； B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ C ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ． 例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ C ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ A ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ D ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ C ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ A ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ B ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ A ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ．（2-） 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________.（92） 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.（2-）例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）-+-41222332m n m n mn ； （2） 3423424281535a b a b a b -+；解：原式222(261)mn mn m n =--+ 解：原式22222(2512)15a b ab b a =-+ （3）322x x x ()()---； （4）412132q p p ()()-+-；解：原式(2)(31)x x =-+ 解：原式22(1)(221)p q pq =--+（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx x a ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y ----- 解：原式23()m ax ax bx c x =--++ 解：原式2(2)(2)[5103(2)]n nx y x y =-----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；解：原式(23)(23)x y x y =+- 解：原式2(31)(1)a a a =+-（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+； 解：原式22(14)(12)(12)a b ab ab =++- 解：原式(73)(37)x y x y =-++ （11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --； 解：原式221(2)(2)8a b a b a b =+- 解：原式9(6)(6)4x x =+- （13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-； 解：原式1()(7)(7)7x y x y x y =--+--解：原式22(2)(2)x x =+- （15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+； 解：原式2(32)a =+ 解：原式231()52a b =-（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；解：原式2(2)a b =-- 解：原式22(23)a a =-（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；解：原式22(2)(2)x x =+- 解：原式2(3)a =+（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；解：原式2(5)m n =++ 解：原式24(2)a b =-例14、已知12a b -=，18ab =，求22332a b ab a b -++的值． 解：∵12a b -=，18ab =， ∴2233221112()()8232a b ab a b ab a b -++=-=⨯=例15、应用简便方法计算。
专题4.1 因式分解(提公因式法与运用公式法)(学生版)
专题4.1 因式分解（提公因式法与运用公式法）1.了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系；2.会用提公因式法分解因式；3.会用运用公式法分解因式。
知识点01 因式分解的概念【知识点】因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
【知识拓展1】辨别因式分解与整式乘法例1．（2024·江苏常州·期中）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A ．2(1)(1)1a a a +-=- B ．43222186?3x y x y x y -=- C ．221(2)1x x x x ++=++ D ．2269(3)a a a -+=-【即学即练】1．（2024·广东禅城·期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222111x y x x y -+=-++C ．()()2111x x x -=+-D ．()ax bx c x a b c ++=+【知识拓展2】应用因式分解的概念求参数例2．（2024·山东中区·初二期中）已知多项式x 2+ax ﹣6因式分解的结果为（x +2）（x +b ），则a +b 的值为（ ） A ．﹣4 B ．﹣2C ．2D ．4【即学即练】1．（2024·贵州铜仁·初二期末）多项式26x mx ++可因式分解为()()23x x --，则m 的值为 （ ） A ．6B ．5±C ．5D ．5-2．（2024·江西昌江·景德镇一中初一期末）已知,,m n p 为实数，若1,4x x -+均为多项式32x mx nx p+++的因式，则2286m n p --+=__________.【知识拓展3】错题正解例3．（2024·上海市八年级期中）甲乙两个同学分解因式x 2+ax +b 时，甲看错了b ，分解结果为（x +2）（x +4），乙看错了a ，分解结果为（x +1）（x +9），则2a +b ＝_____． 【即学即练】1．（2024·张家界市初二期中）甲、乙两个同学分解因式x 2+ax+b 时，甲看错了b ，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a ，分解结果为(x+1)(x+9)，则a -b 的值是__________．知识点02 因式分解的方法（一）提公因式法【知识点】①提公因式法：pa +pb +pc =p (a +b +c )；注意:挖掘隐含公因式;有时，公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。
2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版) 因式分解常用方法(六大类型)(解析版)
因式分解常用方法（六大类型）类型一：提公因式法提公因式提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．类型二：公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2类型三：先提公因式，再用公式法类型四：先展开，再用公式法类型五：十字相乘法考点2：十字相乘法1. x²+ ( p + q)x + pq =（x+p ）（x+q ）2. 在二次三项式ax2 + bx + c(a ≠ 0) 中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a = a1 ⨯ a2 ，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c = c1 ⨯c2 ，把a1，a2 ，c1，c2 排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2 + a2c1，若它正好等于二次三项式ax 2 + bx + c 的一次项系数b ，即a1c2 + a2c1 = b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x + c1与a2 x + c2 之积，即ax2 + bx + c = (a1x + c1)(a2 x + c2 ) ．类型六：分组分解法【类型一：提公因式法提公因式】【典例1】（2021春•罗湖区校级期末）因式分解：（1）﹣20a﹣15ax；（2）（a﹣3）2﹣（2a﹣6）．【解答】解：（1）﹣20a﹣15ax＝﹣5a（4+3x）；（2）（a﹣3）2﹣（2a﹣6）＝（a﹣3）2﹣2（a﹣3）＝（a﹣3）（a﹣5）．【变式1-1】（2022•中山市三模）因式分解：3ax﹣9ay＝．【答案】3a（x﹣3y）【解答】解：原式＝3a（x﹣3y）．故答案为：3a（x﹣3y）．【变式1-2】（2022•滨海县模拟）将多项式2a2﹣6ab因式分解为．【答案】2a（a﹣3b）【解答】解：原式＝2a（a﹣3b）．故答案为：2a（a﹣3b）．【变式1-3】（2019秋•西城区校级期中）因式分解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）【解答】解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）＝（a﹣b）（2m+3n）．【变式1-4】（2021秋•虹口区校级月考）分解因式：x（a﹣b）+y（b﹣a）﹣3（b﹣a）．【解答】解：原式＝x（a﹣b）﹣y（a﹣b）+3（a﹣b）＝（a﹣b）（x﹣y+3）．【类型二：公式法】【典例2】（2021秋•富裕县期末）因式分解：（1）．（2）（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2．【解答】解：（1）原式＝52﹣（）2＝（5+m）（5﹣m）．（2）（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2＝（a﹣2b+3a﹣2b）（a﹣2b﹣3a+2b）＝（4a﹣4b）•（﹣2a）＝﹣8a（a﹣b）．【变式2-1】（2022春•来宾期末）把多项式9a2﹣1分解因式，结果正确的是（）A．（3a﹣1）2B．（3a+1）2C．（9a+1）（9a﹣1）D．（3a+1）（3a﹣1）【答案】D【解答】解：9a2﹣1＝（3a）2﹣1＝（3a﹣1）（3a+1）．故选：D．【变式2-2】（2022•菏泽）分解因式：x2﹣9y2＝．【答案】（x﹣3y）（x+3y）【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）．故答案为：（x﹣3y）（x+3y）．【变式2-3】（2021•槐荫区一模）分解因式：4a2﹣9b2．【解答】解：4a2﹣9b2＝（2a+3b）（2a﹣3b）．【变式5-4】（2021秋•闵行区期末）分解因式：（3m﹣1）2﹣（2m﹣3）2．【解答】解：原式＝[（3m﹣1）+（2m﹣3）][（3m﹣1）﹣（2m﹣3）]＝（5m﹣4）（m+2）．【考点5 因式分解-完全平方】【典例3】（2022春•攸县期末）分解因式：y2+4y+4＝（）A．y（y+4）+4B．（y+2）2C．（y﹣2）2D．（y+2）（y﹣2）【答案】B【解答】解：y2+4y+4＝（y+2）2，故选：B．【变式3-1】（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（）A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）2【答案】D【解答】解：原式＝（x﹣2）2．故选：D．【变式3-2】（2022•富阳区二模）分解因式4y2+4y+1结果正确的是（）A．（2y+1）2B．（2y﹣1）2C．（4y+1）2D．（4y﹣1）2【答案】A【解答】解：4y2+4y+1＝（2y+1）2．故选：A．【变式3-3】（2020秋•海淀区校级期中）分解因式（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9．【答案】（x﹣2）2（x+2）2【解答】解：原式＝（x2﹣1）2﹣6（x2﹣1）+9＝（x2﹣1﹣3）2＝（x﹣2）2（x+2）2．【类型三：先提公因式，再用公式法】【典例4】（2022春•巨野县期末）因式分解：（1）x3﹣2x2y+xy2（2）a2（x﹣3y）+9b2（3y﹣x）【解答】解：（1）x3﹣2x2y+xy2＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2；（2）a2（x﹣3y）+9b2（3y﹣x）＝（x﹣3y）（a2﹣9b2）＝（x﹣3y）（a+3b）（a﹣3b）．【变式4-1】（2022春•济阳区期末）因式分解：2x3﹣8x2y+8xy2．【解答】解：2x3﹣8x2y+8xy2＝2x（x2﹣4xy+4y2）＝2x（x﹣2y）2．【变式4-2】（2022春•辰溪县期末）因式分解：（1）2ax2﹣2ay2；（2）3a3﹣6a2b+3ab2．【解答】解：（1）原式＝2a（x2﹣y2）＝2a（x+y）（x﹣y）；（2）原式＝3a（a2﹣2ab+b2）＝3a（a﹣b）2．【变式4-3】（2022•南京模拟）因式分解：4a2（x+7）﹣9（x+7）．【解答】解：原式＝（x+7）（4a2﹣9）＝（x+7）（2a+3）（2a﹣3）．【变式4-4】（2022春•新城区校级期末）因式分解：﹣3a+12a2﹣12a3．【解答】解：原式＝﹣3a（1﹣4a+4a2）＝﹣3a（1﹣2a）2．【类型四：先展开，再用公式法】【典例5】（2021春•苏州期末）分解因式（1）（a﹣b）（a﹣4b）+ab．（2）（a﹣b）2+4ab．【答案】（1）（a﹣2b）2 （2）（a+b）2【解答】解：（1）原式＝a2﹣4ab﹣ab+4b2+ab＝a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2．（2）原式＝a2﹣2ab+b2+4ab＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．【类型五：十字相乘法】【典例6】（2021•北碚区校级开学）分解因式（1）x2﹣4x﹣12；（2）x2﹣4x﹣5．（3）﹣2x3﹣6x2y+20xy2．（4） 3x2﹣19x﹣14．【答案】（1）（x﹣6）（x+2）（2）（x﹣5）（x+1）（3）﹣2x（x+5y）（x﹣2y）（4）（x﹣7）（3x+2）【解答】（1）原式＝x2+（﹣6+2）x+（﹣6×2）＝（x﹣6）（x+2）；（2）原式＝（x﹣5）（x+1）．（3）原式＝﹣2x（x2+3xy﹣10y2）＝﹣2x（x+5y）（x﹣2y）．（1）原式=（x﹣7）（3x+2）．【变式6】（2021春•岑溪市期末）分解因式（1）m2﹣4m﹣5．（2）x2+2x﹣3 （3）x2﹣2x﹣8【答案】（1）（m﹣5）（m+1）（2）（x+3）（x﹣1）（3）（x﹣4）（x+2）【解答】（1）原式＝（m﹣5）（m+1）．（2）原式＝（x+3）（x﹣1）．（3）原式＝（x﹣4）（x+2）．【类型六：分组分解法】【典例7】（2022春•新田县期中）先阅读材料：分解因式：a2b﹣3a2+2b﹣6．解：a2b﹣3a2+2b﹣6＝（a2b﹣3a2）+（2b﹣6）＝a2（b﹣3）+2（b﹣3）＝（b﹣3）（a2+2）以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方法对下面多项式分解因式：x2+3x﹣y2+3y．【解答】解：x2+3x﹣y2+3y＝x2﹣y2+（3x+3y）＝（x+y）（x﹣y）+3（x+y）＝（x+y）（x﹣y+3）．【变式7-1】（2020秋•上海期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．【解答】解：原式＝（a4﹣a2b2）﹣（4a2c2﹣4b2c2）＝a2（a2﹣b2）﹣4c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2﹣4c2）＝（a+b）（a﹣b）（a+2c）（a﹣2c）．【变式7-2】（2020秋•嘉定区期末）分解因式：x2﹣y2﹣2x﹣2y．【解答】解：原式＝（x2﹣y2）﹣（2x+2y）＝（x+y）（x﹣y）﹣2（x+y）＝（x+y）（x﹣y﹣2）．1.（2021秋•江津区月考）分解因式（1）﹣20a﹣15ax；（2）xy3﹣10xy2+25xy【答案】（1）﹣5a（4+3x）（2）xy（y﹣5）2【解答】解：（1）﹣20a﹣15ax＝﹣5a（4+3x）；（2）xy3﹣10xy2+25xy＝xy（y2﹣10xy+25）＝xy（y﹣5）2．2.（2021春•铁西区期末）分解因式(1)2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）（2）2m（x﹣y）﹣3n（x﹣y）．【答案】（1）2m（m﹣n）（5m﹣n）（2）（x﹣y）（2m﹣3n）；【解答】解：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）＝2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m]＝2m（m﹣n）（5m﹣n）．（2）原式= （x﹣y）（2m﹣3n）；3.（2021春•惠山区期中）分解因式：（1）a3﹣4a2+4a；（2）a2b﹣16b．【答案】（1）a（a﹣2）2 （2）b（a+4）（a﹣4）【解答】（1）原式＝a（a2﹣4a+4）＝a（a﹣2）2；（2）原式＝b（a2﹣16）＝b（a+4）（a﹣4）4、（2021秋•姜堰区月考）分解因式：（3m﹣1）2﹣（2m﹣3）2．【答案】（5m﹣4）（m+2）．【解答】解：原式＝[（3m﹣1）+（2m﹣3）][（3m﹣1）﹣（2m﹣3）]＝（5m﹣4）（m+2）．5.（2021春•肃州区校级期中）分解因式：（1）x2﹣10x+16；（2）x2﹣2x﹣3．【解答】解：（1）x2﹣10x+16＝（x﹣8）（x﹣2）；（2）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）．6.（2021•市南区校级开学）分解因式：（1）（x﹣2）（x﹣4）+1．（2）3m（2x﹣y）2﹣3mn2；【答案】（1）（x﹣3）2（2）3m（2x﹣y+n）（2x﹣y﹣n）【解答】（1）（x﹣2）（x﹣4）+1＝x2﹣4x﹣2x+8+1＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2；（2）原式＝3m[（2x﹣y）2﹣n2]＝3m（2x﹣y+n）（2x﹣y﹣n）；7．（2022春•富平县期末）因式分解：x2（m+n）﹣4y2（m+n）．【解答】解：原式＝（m+n）（x2﹣4y2）＝（m+n）（x+2y）（x﹣2y）．8.（2022春•新田县期末）因式分解：（1）﹣3y2+12y﹣12；（2）a2（a﹣b）+b2（b﹣a）．【解答】解：（1）原式＝﹣3（y2﹣4y+4）＝﹣3（y﹣2）2；（2）原式＝a2（a﹣b）﹣b2（a﹣b）＝（a﹣b）（a2﹣b2）＝（a﹣b）2（a+b）．9．（2022春•清江浦区期末）因式分解：（1）a2﹣9；（2）3x2+6xy+3y2．【解答】解：（1）a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）；（2）3x2+6xy+3y2．＝3（x2+2xy+y2）＝3（x+y）2．10．（2022春•海陵区期末）把下列各式因式分解：（1）x2﹣25；（2）﹣4x2+24x﹣36．【解答】解：（1）x2﹣25＝（x+5）（x﹣5）；（2）﹣4x2+24x﹣36＝﹣4（x2﹣6x+9）＝﹣4（x﹣3）2．11．（2022春•东台市期中）因式分解：（1）4a2b﹣6ab2 （2）4x2﹣4x+1（3）a2（x﹣y）+4（y﹣x）（4）（x+2）（x﹣8）+25【解答】解：（1）4a2b﹣6ab2＝2ab（2a﹣3b）；（2）4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2；（3）a2（x﹣y）+4（y﹣x）＝a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣4）＝（x﹣y）（a+2）（a﹣2）；（4）（x+2）（x﹣8）+25＝x2﹣6x﹣16+25＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．12.（2021秋•奉贤区期中）因式分解：x2+4y2+4xy﹣1．【解答】解：原式＝（x2+4y2+4xy）﹣1＝（x+2y）2﹣1＝（x+2y+1）（x+2y﹣1）．13.（2021秋•徐汇区月考）因式分解：4﹣m2﹣9n2﹣6mn．【解答】解：原式＝4﹣（m2+9n2+6mn）＝22﹣（m+3n）2＝（2+m+3n）（2﹣m﹣3n）．。
(完整)初中因式分解的常用方法—特色专题详解
初中因式分解的常用方法—特色专题详解一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．二、运用公式法.运用公式法，即用))((,)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-写出结果． 三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102对应练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22例4、分解因式：2222c b ab a -+-对应练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++ （12）abc c b a 3333-++四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
小专题( 六 ) 因式分解的几种常见方法
小专题( 六 ) 因式 分解的几种常见方法
小专题
因式分解的几种常见方法
（六）
-2-
专题概述
因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1.提公因式法:如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而 将多项式化成两个因式乘积的形式. 2.运用公式法:由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,因此把乘法公式反过来,就可以用 来把某些多项式分解因式. 3.分组分解法:要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因 式a;把它后两项分成一组,并提取公因式b,从而得到a( m+n )+b( m+n ),又可以提取公因式 m+n,从而得到( a+b )( m+n ).
专题07因式分解(4个知识点13种题型)(解析版)
专题07因式分解（4个知识点13种题型）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.提公因式法因式分解知识点2.公式法因式分解知识点3.十字相乘法法因式分解知识点4.分组分解法法因式分解【方法二】实例探索法题型1.因式分解的概念题型2.用提公因式法分解因式（公因式为单项式）题型3.用提公因式法分解因式（公因式为多项式）题型4.用提公因式法分解因式的简单应用题型5.利用平方差公式分解因式题型6.综合利用提公因式法与平方差公式分解因式题型7.完全平方式题型8.利用完全平方公式分解因式题型9.综合利用提公因式法与完全平方公式分解因式题型10.十字相乘法题型11.十字相乘法的灵活应用题型12.利用分组分解法分解因式题型13.分组分解法的灵活应用【方法三】成果评定法【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.提公因式法因式分解一．因式分解的意义1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．二．公因式1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．三．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．知识点2.公式法因式分解1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）；完全平方公式：a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．知识点4.十字相乘法法因式分解十字相乘法：如果二次三项式2x px q ++中的常数项q 能分解成两个因式a 、b 的积，而且一次项系数p 又恰好是a b +，那么2x px q ++就可以进行如下的分解因式，即：()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++要将二次三项式2x px q ++分解因式，就需要找到两个数a 、b ，使它们的积等于常数项q ，和等于一次项系数p ,满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即：22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++．由于把2x px q ++中的q 分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式．知识点5.分组分解法法因式分解如何将多项式am an bm bn +++因式分解？分析：很显然，多项式am an bm bn +++中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？由于()am an a m n +=+,()bm bn b m n +=+而：()()()()a m n b m n m n a b +++=++．这样就有：()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n m n a b +++=+++=+++=++将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．【方法二】实例探索法题型1.因式分解的概念1．（2022秋•闵行区校级期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可．【解答】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；D．符合定义，故选项正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．2．（2022秋•浦东新区校级期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（）A．a2+8a+16＝（a+4）2B．（a+4）2＝a2+8a+16C．a2+8a+16＝a（a+8）+16D．a2+8（a+2）＝a2+8a+16【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A．等式由左边到右边的变形属于因式分解，并且正确，故本选符合题意；B．等式由左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．等式由左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D．等式由左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．题型2.用提公因式法分解因式（公因式为单项式）3．（2022秋•嘉定区期中）多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式是．【分析】直接利用公因式的确定方法：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，进而得出答案．【解答】解：多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式是3x2y2．故答案为：3x2y2．【点评】此题主要考查了公因式，正确把握确定公因式的方法是解题的关键．4．（2022秋•嘉定区期中）分解因式：3x3﹣9x2﹣3x＝．【分析】提取公因式后即可因式分解．【解答】解：3x3﹣9x2﹣3x＝3x（x2﹣3x﹣1），故答案为：3x（x2﹣3x﹣1）．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法因式分解的方法是解题的关键．5．（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：4x2y﹣12xy＝．【分析】直接提取公因式4xy进行分解因式即可．【解答】解：4x2y﹣12xy＝4xy（x﹣3），故答案为：4xy（x﹣3）．【点评】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．6．（2022秋•嘉定区校级期中）因式分解：﹣15a﹣10ab+5abc＝．【分析】直接提取公因式﹣5a，进而分解因式即可．【解答】解：原式＝﹣5a（3+2b﹣bc）．故答案为：﹣5a（3+2b﹣bc）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．题型3.用提公因式法分解因式（公因式为多项式）7．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：（x﹣5）（3x﹣2）﹣3（x﹣5）＝．【分析】将原式的公因式（x﹣5）提出即可得出答案．【解答】解：（x﹣5）（3x﹣2）﹣3（x﹣5）＝（x﹣5）（3x﹣2﹣3）＝（x﹣5）（3x﹣5）．故答案为：（x﹣5）（3x﹣5）．【点评】本题考查因式分解﹣提公因式法，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．8．（2022秋•宝山区校级期中）分解因式：a（a﹣b）+b（b﹣a）＝．【分析】首先把式子变形为：a（a﹣b）﹣b（a﹣b），再找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可．【解答】解：a（a﹣b）+b（b﹣a）＝a（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣b）＝（a﹣b）2．故答案为：（a﹣b）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法因式分解，根据题意找出公因式是解决问题的关键．9．（2022秋•浦东新区校级期中）2m（a﹣c）﹣5（a﹣c）．【分析】直接提取公因式a﹣c即可．【解答】解：原式＝（a﹣c）（2m﹣5）．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找到公因式．10．（2022秋•嘉定区期中）因式分解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）【分析】直接提取公因式进而分解因式得出答案．【解答】解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）＝2（x+y）[3（x+y）﹣（x﹣y）]＝2（x+y）（2x+4y）＝4（x+y）（x+2y）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确掌握公因式是解题关键．11．（2022秋•杨浦区期中）分解因式：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）．【分析】原式变形可得a2（a+2b）+2ab（a+2b），再提公因式a（a+2b）因式分解即可．【解答】解：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）＝a2（a+2b）+2ab（a+2b）＝a（a+2b）（a+2b）＝a（a+2b）2．【点评】本题考查了提公因式法因式分解，正确找出公因式是解答本题的关键．题型4.用提公因式法分解因式的简单应用12．（2022秋•嘉定区期中）当a＝3，b＝时，代数式﹣a2+4ab的值为．【分析】将原式变形为﹣a（a﹣4b），把a与b的值分别代入计算即可得到结果．【解答】解：当a＝3，b＝时，﹣a2+4ab＝﹣a（a﹣4b）＝﹣3×（3﹣4×）＝﹣3×2＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题考查了代数式求值和因式分解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．题型5.利用平方差公式分解因式13．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：x2﹣＝．【分析】运用平方差公式分解因式的式子特点：两项平方项，符号相反．直接运用平方差公式分解即可．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：x2﹣＝（x+）（x﹣）．故答案为：（x+）（x﹣）．【点评】本题考查因式分解．当被分解的式子只有两项平方项；符号相反，且没有公因式时，应首要考虑用平方差公式进行分解．14．（2022秋•嘉定区校级期中）因式分解：x4﹣16＝．【分析】利用平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），进行两次分解．【解答】解：x4﹣16＝（x2+4）（x2﹣4）＝（x2+4）（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x2+4）（x+2）（x﹣2）．【点评】此题主要考查了用公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．15．（2022秋•黄浦区期中）分解因式：﹣（a+b）2+1＝．【分析】直接利用平方差公式分解因式，进而得出答案．【解答】解：原式＝[1﹣（a+b）][1+（a+b）]＝（1﹣a﹣b）（1+a+b）．故答案为：（1﹣a﹣b）（1+a+b）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．16．（2022•黄浦区校级二模）分解因式：x2﹣4y2＝．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）．故答案为：（x+2y）（x﹣2y）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．17．（2022秋•上海期末）分解因式：9a2﹣25（a+b）2．【分析】根据平方差公式因式分解即可．【解答】解：9a2﹣25（a+b）2＝[3a﹣5（a+b）][3a+5（a+b）]＝（﹣2a﹣5b）（8a+5b）＝﹣（2a+5b）（8a+5b）．【点评】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．18．（2022秋•黄浦区期中）分解因式：25（m+n）2﹣9（m﹣n）2．【分析】直接利用平方差公式分解因式．【解答】解：25（m+n）2﹣9（m﹣n）2＝[5（m+n）﹣3（m﹣n）][5（m+n）+3（m﹣n）]＝（2m+8n）（8m+2n）＝4（m+4n）（4m+n）．【点评】本题考查了因式分解﹣公式法：掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．题型6.综合利用提公因式法与平方差公式分解因式19．（2022秋•浦东新区校级期末）分解因式：4x2﹣16＝．【分析】先提取公因式4，再对剩余项x2﹣4利用平方差公式继续进行因式分解．【解答】解：4x2﹣16，＝4（x2﹣4），＝4（x+2）（x﹣2）．故答案为：4（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式继续进行二次因式分解，分解因式一定要彻底．20．（2022秋•青浦区校级期中）因式分解：3a（a+b）2﹣27ab2．【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．【解答】解：原式＝3a[（a+b）2﹣9b2]＝3a（a+b+3b）（a+b﹣3b）＝3a（a+4b）（a﹣2b）．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．题型7.完全平方式21．（2022秋•青浦区校级期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的（）A．x2+x+1B．x2﹣2x﹣1C．x2+2x+4D．x2﹣x+【分析】根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可．【解答】解：A．x2+x+1，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项A不符合题意；B．x2﹣2x﹣1，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项B不符合题意；C．x2+2x+4，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C不符合题意；D．x2﹣x+＝（x﹣）2，能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，掌握完全平方公式的结构特征是正确判断的前提．题型8.利用完全平方公式分解因式22．（2022秋•黄浦区期中）因式分解：（x2﹣4x）2+8（x2﹣4x）+16．【分析】直接利用完全平方公式分解因式，进而得出答案．【解答】解：原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式是解题的关键．23．（2022秋•长宁区校级期中）（m+n）2+6（m2﹣n2）+9（m﹣n）2．【分析】首先利用平方差公式分解m2﹣n2，观察发现此题代数式符合完全平方公式，再利用完全平方公式进行分解即可．【解答】解：原式＝（m+n）2+6（m﹣n）（m+n）+9（m﹣n）2，＝[（m+n）+3（m﹣n）]2，＝（4m﹣2n）2，＝4（2m﹣n）2．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．24．（2022秋•长宁区校级期中）分解因式：m（m﹣4）+4．【分析】先运用单项式乘以多项式法则将括号展开，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：m（m﹣4）+4＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2．【点评】本题主要考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式（a2±2ab+b2＝（a±b）2）是解答本题的关键．题型9.综合利用提公因式法与完全平方公式分解因式25．（2022秋•长宁区校级期中）因式分解：＝．【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：原式＝（m2﹣4m+4）＝（m﹣2）2．故答案为：（m﹣2）2．【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握“利用完全平方公式分解因式”是解本题的关键．26．（2022秋•长宁区校级期中）分解因式：﹣6x2y﹣3x3﹣3xy2．【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式．【解答】解：﹣6x2y﹣3x3﹣3xy2＝﹣3x（x2+2xy+y2）＝﹣3x（x+y）2．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．27．（2022秋•青浦区校级期中）因式分解：3a2+12ab+12b2．【分析】先提取公因式，再套用完全平方公式．【解答】解：3a2+12ab+12b2＝3（a2+4ab+4b2）＝3（a+2b）2．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．题型10.十字相乘法28．（2022秋•青浦区校级期末）因式分解：2x2﹣6x﹣8＝．【分析】原式先提取公因数2，再利用十字相乘法求出解即可．【解答】解：原式＝2（x2﹣3x﹣4）＝2（x﹣4）（x+1），故答案为：2（x﹣4）（x+1）．【点评】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．29．（2022秋•虹口区校级期中）分解因式：x2﹣7xy﹣18y2＝．【分析】由十字相乘法进行分解因式即可．【解答】解：x2﹣7xy﹣18y2＝（x﹣9y）（x+2y）．故答案是：（x﹣9y）（x+2y）．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题的关键．30．（2022秋•宝山区期末）分解因式：2x2+6xy+4y2．【分析】先提公因式，再用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：2x2+6xy+4y2＝2（x2+3xy+2y2）＝2（x+2y）（x+y）．【点评】本题考查了提公因式法与十字相乘法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．31．（2022秋•奉贤区期中）分解因式：ax4﹣14ax2﹣32a．【分析】首先提取公因式a，再利用十字相乘法分解因式，再结合平方差公式分解因式即可．【解答】解：ax4﹣14ax2﹣32a＝a（x4﹣14x2﹣32）＝a（x2+2）（x2﹣16）＝a（x2+2）（x+4）（x﹣4）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确运用公式是解题关键．32．（2022秋•虹口区校级期中）分解因式：（a2﹣a）2+2（a2﹣a）﹣8．【分析】先变形，局部逆用完全平方公式，再使用十字相乘法．【解答】解：（a2﹣a）2+2（a2﹣a）﹣8＝（a2﹣a）2+2（a2﹣a）+1﹣9＝（a2﹣a+1）2﹣9＝（a2﹣a+4）（a2﹣a﹣2）＝（a2﹣a+4）（a﹣2）（a+1）．【点评】本题主要考查运用公式法、十字相乘法进行因式分解，熟练掌握公式法、十字相乘法是解决本题的关键．33．（2022秋•上海期末）分解因式：3x2﹣9x﹣30．【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法分解．【解答】解：3x2﹣9x﹣30＝3（x2﹣3x﹣10）＝3（x﹣5）（x+2）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和十字相乘法是解决本题的关键．34．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：（1）2ab2﹣6a2b2+4a3b2；（2）（x2﹣4x）2﹣5（x2﹣4x）﹣24．【分析】（1）先提取公因式，再利用十字相乘法；（2）先利用十字相乘法，再利用公式法和十字相乘法．【解答】解：（1）2ab2﹣6a2b2+4a3b2＝2ab2（1﹣3a+2a2）＝2ab2（2a﹣1）（a﹣1）；（2）（x2﹣4x）2﹣5（x2﹣4x）﹣24＝（x2﹣4x﹣8）（x2﹣4x+3）＝[（x2﹣4x+4）﹣12]（x﹣3）（x﹣1）＝[（x﹣2）2﹣12]（x﹣3）（x﹣1）＝（x﹣2+2）（x﹣2﹣2）（x﹣3）（x﹣1）．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．35．（2021秋•金山区期末）分解因式：（x2﹣x）2﹣18（x2﹣x）+72．【分析】把（x2﹣x）看成一个整体，利用十字相乘法分解即可．【解答】解：（x2﹣x）2﹣18（x2﹣x）+72＝[（x2﹣x）﹣6][（x2﹣x）﹣12]＝（x﹣3）（x+2）（x﹣4）（x+3）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法和整体的思想是解决本题的关键．36．（2021秋•奉贤区期末）分解因式：（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．【分析】因为﹣2×（a2+a）＝﹣2（a2+a），﹣6×（a2+a）＝﹣6（a2+a），所以可利用十字相乘法分解因式；得到的两个因式，还可以用十字相乘法分解因式．【解答】解：根据十字相乘法，（a2+a）2﹣8（a2+a）+12，＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6），＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察、体会它实质是二项式乘法的逆过程；并注意一定要分解完全．题型11.十字相乘法的灵活应用37．（2022秋•静安区校级期中）多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A．0B．10C．12D．22【分析】首先利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，继而求得a，b，c的值．【解答】解：利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，可得：77x2﹣13x﹣30＝（7x﹣5）（11x+6）．∴a＝﹣5，b＝11，c＝6，则a+b+c＝（﹣5）+11+6＝12．故选：C．【点评】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．38．（2022秋•宝山区期末）分解因式：x2﹣9x+14＝（x+□）（x﹣7），其中□表示一个常数，则□的值是（）A．7B．2C．﹣2D．﹣7【分析】利用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：x2﹣9x+14＝（x﹣2）（x﹣7），∴□表示﹣2，故选：C．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键．39．（2022秋•虹口区校级期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（）A．2B．3C．4D．5【分析】∵4＝﹣1×（﹣4），﹣1+（﹣4）＝﹣5，∴可以用十字相乘法因式分解．【解答】解：当c＝4时，x2﹣5x+c＝x2﹣5x+4＝（x﹣1）（x﹣4）．故选：C．【点评】本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法是解题关键．40．（2021秋•普陀区期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为．【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k就等于那两个整数之和．【解答】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，∴k＝﹣3+1＝﹣2或k＝﹣1+3＝2，∴整数k的值为：±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．41．（2022秋•嘉定区校级期中）阅读下列文字，解决问题．先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．分解因式：x4+4解：x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）以上解法中，在x4+4的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与x4+4的值保持不变，必须减去同样的一项．这样利用添项的方法，将原代数式中的部分（或全部）变形为完全平方的形式，这种方法叫做配方法．按照这个思路，试把多项式x4+3x2y2+4y4分解因式．【分析】把原式中的第二项的系数1变为4﹣1，化简后三项结合构成完全平方式，剩下的一项写出完全平方式，然后再利用平方差公式即可分解因式．【解答】解：x4+3x2y2+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣x2y2＝（x2+2y2）2﹣x2y2＝（x2+2y2+xy）（x2+2y2﹣xy）．【点评】此题考查学生阅读新方法并灵活运用新方法的能力，考查了分组分解法进行分解因式，是一道中档题．本题的思路是添项构成完全平方式．题型12.利用分组分解法分解因式42．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：xy+（x+1）（y+1）（xy+1）．【分析】根据分组法和十字相乘法因式分解即可．【解答】解：xy+（x+1）（y+1）（xy+1）＝xy+（xy+x+y+1）（xy+1）＝xy+[（xy+1）+（x+y）]（xy+1）＝（xy+1）2+（x+y）（xy+1）+xy＝（xy+x+1）（xy+y+1）．【点评】本题考查了分组法进行因式分解，熟练掌握分组法和十字相乘法是解题的关键．43．（2022秋•青浦区校级期末）因式分解：x2+4y﹣1﹣4y2．【分析】首先重新分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案即可．【解答】解：x2+4y﹣1﹣4y2．x2﹣（﹣4y+4y2+1）＝x2﹣（1﹣2y）2＝（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）．【点评】此题主要考查了分组分解法以及公式法分解因式，正确分组是解题关键．44．（2022秋•浦东新区校级期末）分解因式：（1）m2﹣n2+6n﹣9；（2）（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7x﹣14y．【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式解答；（2）用提公因式法和十字相乘法解答．【解答】解：（1）原式＝m2﹣（n2﹣6n+9）＝m2﹣（n﹣3）2＝（m﹣n+3）（m+n﹣3）；（2）原式＝（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7（x+2y）＝（x+2y）（x2+6x﹣7）＝（x+2y）（x﹣1）（x+7）．【点评】本题考查了因式分解，熟悉乘法公式和提公因式法是解题的关键．45．（2022秋•闵行区校级期末）分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x．【分析】两两分组：先分别提取公因式2x2，8；再提取公因式2（y﹣x）进行二次分解；最后利用平方差公式再次进行因式分解即可求得答案．【解答】解：原式＝2x2（x﹣y）﹣8（x﹣y）＝2（x﹣y）（x2﹣4）＝2（x﹣y）（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了平方差公式，分组分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式．对于一个四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组．46．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：a2﹣6ab+9b2﹣16．【分析】先分成两组，用完全平方公式，再用平方差公式分解因式．【解答】解：原式＝（a2﹣6ab+9b2）﹣16＝（a﹣3b）2﹣42＝（a﹣3b+4）（a﹣3b﹣4）．【点评】本题主要考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解﹣分组分解法的方法，先分组，再分解因式，完全平方公式和平方差公式的熟练应用是解题关键．47．（2022秋•青浦区校级期中）因式分解：2ac﹣6ad+bc﹣3bd．【分析】首先将前两项以及后两项提取公因式，进而分解因式得出即可．【解答】解：2ac﹣6ad+bc﹣3bd＝2a（c﹣3d）+b（c﹣3d）＝（c﹣3d）（2a+b）．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组得出是解题关键．48．（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：b2﹣4a2﹣1+4a．【分析】利用分组分解法，将﹣4a2﹣1+4a分为一组，先利用完全平方公式，再利用平方差公式即可．【解答】解：原式＝b2﹣（4a2+1﹣4a）＝b2﹣（2a﹣1）2＝[b+（2a﹣1）][b﹣（2a﹣1）]＝（b+2a﹣1）（b﹣2a+1）．【点评】本题考查分组分解法分解因式，掌握分组的原则和分组的方法是正确解答的前提，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是解决问题的关键．49．（2022秋•嘉定区校级期末）因式分解：x2﹣4+4y2﹣4xy．【分析】直接将原式分组，再利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：x2﹣4+4y2﹣4xy＝x2+4y2﹣4xy﹣4＝（x﹣2y）2﹣4＝（x﹣2y+2）（x﹣2y﹣2）．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确运用公式是解题关键．50．（2022秋•宝山区期末）分解因式：m2﹣2m+1﹣4n2．【分析】先分组再利用平方差公式．【解答】解：m2﹣2m+1﹣4n2＝（m﹣1）2﹣4n2＝（m﹣1+2n）（m﹣1﹣2n）．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．51．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y．【分析】先把多项式按三、二分组，再分别因式分解，最后提取公因式．【解答】解：x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y＝（x2+9xy+18y2）﹣（3x+9y）＝（x+3y）（x+6y）﹣3（x+3y）＝（x+3y）（x+6y﹣3）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式和十字相乘法是解决本题的关键．题型13.分组分解法的灵活应用52．（2022秋•静安区校级期中）已知x2﹣x﹣3＝0，那么x3﹣2x2﹣2x+2022＝．【分析】根据x2﹣x﹣3＝0，得出x2＝x+3，代入求值即可．【解答】解：∵x2﹣x﹣3＝0，∴x2＝x+3，x3﹣2x2﹣2x+2022＝x（x+3）﹣2x2﹣2x+2022＝﹣x2+x+2022＝﹣（x2﹣x﹣3）+2019＝2019，故答案为：2019．【点评】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解是解题的关键．53．（2022秋•闵行区校级期中）已知a2﹣a﹣1＝0，则代数式a3﹣2a+6＝．【分析】根据已知条件得到a2﹣a＝1，将要求的代数式化简得到a（a2+a）﹣a2﹣2a+6，两次代入求解即可．【解答】解：∵a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣a＝1，a3﹣2a+6＝a3﹣a2+a2﹣2a+6＝a（a2﹣a）+a2﹣2a+6＝a+a2﹣2a+6＝a2﹣a+6，将a2﹣a＝1代入原式＝1+6＝7．故答案为：7．【点评】本题考查因式分解的应用，合理利用已知条件是关键．【方法三】成功评定法一、单选题1．（2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据平方差公式逐项分析即可．【详解】解：A.()()x y x y +-22x y =-，故能用平方差公式计算；B.()()x y x y +-+22y x =-，故能用平方差公式计算；C.()()x y x y -+-222()2x y x xy y =--=-+-，故不能用平方差公式计算；D.()()x y x y -+--22x y =-，故能用平方差公式计算；故选：C ．【点睛】此题主要考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是()2222a b a ab b ±=±+；平方差公式是()()22a b a b a b +-=-．二、填空题三、解答题【分析】利用平方差公式进行因式分解即可得出答案．【详解】解：224691x y y +--()224961x y y =--+()22431x y --=()()231231x y x y =+--+．【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是掌握利用平方差公式进行因式分解．22．（2022秋·上海·七年级阶段练习）因式分解：221218a b ab b -+【答案】22(3)b a -．【分析】先提公因式2b ，再利用完全平方公式即可【详解】解：原式()2269=-+b a a 22(3)=-b a ．【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握方法是解题的关键23．（2022秋·上海·七年级校考阶段练习）因式分解：()()2222225225m n m n ---【答案】()()()2221m n m n m n +-+【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．【详解】原式()()2222222252255225m n m n m n m n =-+---+()()22227733m n m n =-+()()222221m n m n =-+()()()2221m n m n m n =+-+【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．24．（2022秋·上海·七年级校考阶段练习）因式分解：()()2280x y y x ----【答案】()()810x y x y ---+【分析】利用十字相乘法分解因式即可．【详解】()()2280x y y x ----。
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
(完整版)因式分解专题
因式分解专题类型一、整除问题1、5.631)25.2(3175.20531⨯+-⨯+⨯能被35整除吗？2、1991993-能被198整除吗?能被100整除吗？3、若多项式122++px x 能被3+x 整除,求p 的值4、201320142015310343⨯+⨯-能被7整除吗?为什么？5、 已知n 为整数，证明：22)13(n n -+能被13整除。
6、已知158-能被0～10之间的数整除，求这两个数类型二、提公因式法分解因式A 组题1、n n x x 8161-+2、c b ab 2294278+3、)2()2(2a m a m -+-4、2)()(x y x y x xy ---5、332168b a ab -6、xy xy y x 1551022+--7、232234236y x z y x y x --8、n n n x x x 212222793-+-++9、33)(6)(3x y y y x x ---10、23)(6)(4a b b b a a ---11、)()()(y x c x y b y x a -+---12、)()(22m n xy n m y x ---(完整版)因式分解专题B 组题1、)()()(y z x c y x z b z y x a +------+2、)1()1()1(---+--+-a b az b a ay b a ax3、)2)(()2)(())((x y b a z y x b a x y z a b ----+-----类型三、公式法分解因式A 组题一、平方差分解因式1、224)1(b a - 2291)2(b a +- 4161)3(m +-224)32)(4(x y x --819)5(2-x 644)6(2-a2、223)2(3)1(mn y x m --4)3)(2)(2(2-+++x x xbc ac b a ++-22)3(55)4(xy y x - 二、完全平方分解因式1、96)1(2+-a a223291)2(n mn m ++ 44)3(2++n n y y223612)4(y x xy --- 363)5(2++a a2)(9)(124)6(y x y x -+-+B 组题1、)()(2)(223n m m n m m n m +++++2、1)2(2)2(222+-+-x x x x3、2222)(966)(y x y x y x -++-+4、)1()1(2)1(2222-+-+-y y x y x类型三、十字相乘法A 组题1、322--x x2、1272+-m m3、245n n --4、2276y xy x --5、232--s s6、4524+-a a7、4)2(5)2(2+---x x8、m m m 3621323+- 9、322342153ab b a b a +--10、322)(2-+--y x y xB 组题1、48751402+-x x类型四、分组分解法A 组题1、x x x -+-1232、2x xy y x --+3、422+--b a ab4、bx by ay ax 6633+--5、x x -226、22296y y x xy --B 组题1、n n mn m m -+-+2222、11010)(252+-+-x y y x(完整版)因式分解专题3、14422+--m n m4、)()(22x y b y x a -+-5、)4(4)(2++++y x y x6、8)3(2--x x类型五、换元法 1、4)(4)(2+---y x y x 2、36)2(12)2(222++-+x x3、2244)1(4)1(x x x x ++-+4、)1(4)(2-+-+y x y x5、72)3(22)3(222++-+x x x x6、1)22)(2(22++--x x x x7、5)64)(4(22++--x x x x。
因式分解法(提公因式法、公式法)
【知识要点】1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。
☆提公因式分解因式要特别注意：（1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的，并且注意括号内其它各项要变号。
（2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。
（3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公因式，这时要特别注意各项的符号）。
（4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。
（5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。
2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式：()()22a b a b a b -=+-； ()2222a ab b a b ±+=±。
平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。
完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。
☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领：（1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。
具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。
（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。
（3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。
（4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。
【典例分析】例1.分解下列因式：（1）22321084y x y x y x -+ （2）233272114a b c ab c abc --+（3）323111248ab a b a b --+ （4）y x y x y x x 32223313231+-+-（5）23)(2)(m n a n m -+- （6）32)(4)(2y z y z y x -+-练习：因式分解(1)a(x-y)+b(x-y)-(x-y) (2)6(x+y)-12z(x+y) (3)(2x+1)y 2+(2x+1)2y(4)p(a 2+b 2)+q(a 2+b 2)-l(a 2+b 2) （5）2a(b+c)-3(b+c) （6）6(x-2)+x(2-x)（7）m(a-b)-n(b-a) （8）2a(x+y-z)-3b(x+y-z)+5c(z-x-y)；（9）m(m-n)2-n(n-m)2 （10）2(x-y)(a-2b+3c)-3(x+y)(2b-a-3c)．例2. 把下列各式分解因式：（1）x 2－4y 2 （2）22331b a +-（3）22)2()2(y x y x +-- （4）11622-b a练习：把下列各式分解因式： （1）224b a -（2）11622-y x（3）22481916b a +-（4）2916a -例3.运用完全平方公式因式分解：（1）21449x x ++ （2）25102+-a a（3）229124b ab a +- （4）42242b b a a +-（5）21222+-x x （6）x x x 2718323+-（7）2()6()9m n m n +-++ （8）22224)1(4)1(a a a a ++-+（9）161)(21)(2+---y x y x （10）9)(6)(222+-+-x x x x练习：把下列各式分解因式：（1）221025x xy y -+ （2）222y xy x -+-（3）1692+-t t （4）22816y x xy +-（5）2411x x ++ （6）xy y x 4422-+（7）81224-+-x x （8）ax y ax y ax ++2232（9） 161)(21)(2+---y x y x （10） )(12)(9422n m m n m m ++++例4. 把下列各式分解因式：（1）32231212x x y xy -+ （2）442444)(y x y x -+（3）222)1(4+-a a （4）2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-练习：把下列各式分解因式：（1）222224)(b a b a -+ （2）222)41(+-m m（3）22248)4(3ax x a -+ （4）4224168b b a a +-（5）)()(2x y y x a -+- （6）)()(422m n b n m a -+-例5.已知2=+b a ，利用分解因式，求代数式222121b ab a ++。
提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法等分解因式题型大全
因式分解（1）一知识点讲解知识点一：因式分解概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
1.因式分解特征：因式分解的结果是几个整式的乘积。
2.因式分解与整式乘法关系：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形1、寻找公因式的方法：（一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2.符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++3.提公因式的步骤：（1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）公因式原多项式另一个因式=4.注意事项：因式分解一定要彻底二、例题讲解模块1：考察因式分解的概念1. （2017春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A 、x x x x x 6)3)(3(692+-+=+-B 、103)2)(5(2-+=-+x x x xC 、22)4(168-=+-x x xD 、b a ab 326⋅=2. （2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A 、2)1(3222++=++x x xB 、22))((y x y x y x -=-+C 、222)(y x y xy x -=+-D 、)(222y x y x -=-3. （2017秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（ ）A 、1)1(21222+-=+-a a a aB 、22))((y x y x y x -=+-C 、22)13(169-=+-x x xD 、xy y x y x 2)(222+-=+4.（2017秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A 、15123-=-+x y xB 、2249)23)(23(b a b a b a -=-+C 、)11(22x x x x +=+D 、)2)(2(28222y x y x y x -+=-5. （2017春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A 、ab a b a a -=-2)(B 、1)2(122+-=+-a a a aC 、)1(2-=-x x x xD 、)(222xy y x y x xy -=-6. （2016秋濮阳期末）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A 、23)2)(1(2+-=--x x x xB 、)2)(1(232--=+-x x x xC 、4)4(442+-=++x x x xD 、))((22y x y x y x -+=+ 模块2：考察公因式1. （2017春抚宁县期末）多项式3222320515n m n m n m -+的公因式是（ ）A 、mn 5B 、225n mC 、n m 25D 、25mn2.（2017春东平县期中）把多项式332223224168bc a c b a c b a -+-分解因式，应提的公因式是（ ）A 、bc a 28-B 、3222c b aC 、abc 4-D 、33324c b a3.（2017秋凉州区末）多项式92-a 与a a 32-的公因式是（ ）A 、3+a C 、3-aB 、1+a D 、1-a4.（2017春邵阳县期中）多项式n m n m y x yx 31128--的公因式是（ ） A 、n m y x B 、1-n m y x C 、n m y x 4 D 、14-n m yx 5.（2016春深圳校级期中）多项式mx mx mx 1025523-+-各项的公因式是（ ）A 、25mxB 、35mx -C 、mxD 、mx 5-6.下列各组代数式中没有公因式的是（ ）A 、)(5b a m -与a b -B 、2)(b a +与b a --C 、y mx +与y x +D 、ab a +-2与22ab b a -7.观察下列各组式子：①b a +2和b a +；②)(5b a m -和b a +-；③)(3b a +和b a --；④22y x -和22y x +。
初二数学上册：因式分解常见八种解题方法
初二数学上册：因式分解常见八种解题方法常见的方法有:①提取公因式法;②公式法;③提公因式法与公式法的综合运用。
在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提取公因式法，然后考虑公式法，对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等。
下面通过例题一一介绍。
一.提取公因式法(一)公因式是单项式的因式分解1.分解因式确定公因式的方法①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式);③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂。
注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项.解:原式=一4m²n(m²一4m+7).(二)公因式是多项式的因式分解2.因式分解15b(2a一b)²+25(b一2a)²解:原式=15b(2a一b)²+25(2a一b)²=5(2a一b)²(3b+5)二.公式法(一)直接用公式法3.分解因式(1).(x²+y²)²一4x²y²(2).(x²十6x)²+18(x²+6x)十81解:(1)原式=(x²+y²+2xy)(x²+y²一2xy)=(x十y)²(x一y)²(2)原式=(x²十6x+9)²=[(x+3)²]²=(二)先提再套法4.分解因式(三)先局部再整法5.分解因式9x²一16一(x十3)(3x+4)解:原式=(3x十4)(3x一4)一(x十3)(3x十4)=(3x+4)[(3x一4)一(x+3)]=(3x十4)(2x一7)(四)先展开再分解法6.分解因式4x(y一x)一y²解:原式=4xy一4x²一y²=一(4x²一4xy+y²)=一(2x一y)²三.分组分解法7.分解因式x²一2xy+y²一9解:原式=(x一y)²一9=(x一y十3)(x一y一3)四.拆、添项法8.分解因式五.整体法(一)"提"整体9.分解因式a(x+y一z)一b(z一x一y)一c(x一z+y)解:原式=a(x十y一z)十b(x十y一z)一c(x十y一z)=(x十y一z)(a+b一c)(二)"当"整体10.分解因式(x+y)²一4(x+y一1)解:原式=(x+y)²一4(x+y)+4=(x十y一2)²(三)"拆"整体11.分解因式ab(c²+d²)+cd(a²+b²)解:原式=abc²+abd²+cda²+cdb²=(abc²+cda²)+(abd²+cdb²)=ac(bc 十ad)+bd(ad+bc)=(bc十ad)(ac+bd)(四)"凑"整体12.分解因式x²一y²一4x+6y一5解:原式=(x²一4x十4)一(y²一6y+9)=(x一2)²+(y一3)²=[(x一2)十(y一3)][(x一2)一(y一3)]=(x+y一5)(x一y十1)六.换元法13.分解因式(a²十2a一2)(a²+2a+4)+9解:设a²+2a=m，则原式=(m一2)(m+4)十9=m²十4m一2m一8+9=m²+2m十1=(m+1)²=(a²+2a十1)²=、七.十字相乘法公式:x²十(a十b)x十ab=(x+a)(x十b)或对于一个三项式若能象上边一样中间左侧上下相乘得x²，中间右侧上下相乘得ab，中间上下斜对角相乘之和为(a+b)x，则能进行分解，如: 14.x²一5x一14解:原式=(x一7)(x十2)十字相乘法分解因式非常重，在以后有关代数式的运算，解方程等知识中常常用到.八.待定系数法15.分解因式x²+3xy+2y²十4x+5y+3解:因为x²+3xy+2y²=(x+y)(x+2y)设原式=(x+y+m)(x+2y十n)=x²十3xy+2y²十(m+n)x+(2m+n)y+mn.∴m=1，n=3∴原式=(x+y+1)(x+2y+3)【总结】因式分解的知识在代数中有着重要的地位，同学们要多加强这方面的练习，为以后的学习奠定扎实的基础。
因式分解题型提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法
1.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的 的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。
2．常用的因式分解方法：（1）提公因式法：对于ma mb mc ++， 叫做公因式， 叫做提公因式法。
①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
②公因式的构成：系数：各项系数的 ；字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。
（2）公式法：①常用公式平方差： 完全平方： 立方和：3322a b (a+b)(a -ab+b )+= 立方差：②常见的两个二项式幂的变号规律： 22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）（3）十字相乘法①二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。
（4）分组分解法①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式或利用公式法，即可达到分解因式的目的。
例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
因式分解之提取公因式法和运用公式法(学生版)
课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ ）A ．223(2)3x x x x +-=+-；B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ．例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ． 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________. 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）； （2） 3423424281535a b a b a b -+；（3）； （4）；（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx xa ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y -----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+；（11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --；（13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-；（15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+；（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；例14、已知1128a b ab -==，，求22332a b ab a b -++的值．例15、应用简便方法计算。
因式分解提公因式&公式法
板块一：基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式；③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；③单项式因式写在多项式因式的前面；④每个因式第一项系数一般不为负数；⑤形式相同的因式写成幂的形式.【例 1】 判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.⑴22()()x y x y x y +-=-； ⑵322()x x x x x x +-=+⑶232(3)2x x x x +-=+-； ⑷1(1)(1)xy x y x y +++=++板块二：提公因式法例题精讲提公因式法、公式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.【例 2】 分解因式：⑴ad bd d -+；⑵4325286x y z x y -⑶322618m m m -+- ⑷23229632x y x y xy ++【巩固】 分解因式：22(1)1a b b b b -+-+-【巩固】 ⑴23361412abc a b a b --+；⑵32461512a a a -+-【例 3】 分解因式⑴23423232545224()20()8()x y z a b x y z a b x y z a b ---+-⑵346()12()m n n m -+-【巩固】 分解因式：⑴55()()m m n n n m -+- ⑵()()()2a a b a b a a b +--+【巩固】 分解因式：⑴2316()56()m m n n m -+- ⑵(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +--+-【巩固】 化简下列多项式：()()()()23200611111x x x x x x x x x ++++++++++【例 4】 分解因式：⑴()()2121510n n a a b ab b a +---(n 为正整数) ⑵212146n m n m a b a b ++--(m 、n 为大于1的自然数)【巩固】 分解因式： 2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--，n 为正整数.【例 5【例 6板块三：公式法平方差公式：22()()a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定. 一些需要了解的公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+- 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++【例 7【巩固】 利用分解因式证明：712255-能被120整除．【例 8】 分解因式：⑴(深圳市中考题)2242x x -+= ；⑵(泸州市中考题)244ax ax a -+= ；⑶2844a a --= ；⑷2292416x xy y -+=【巩固】 ⑴(淄博市中考题)分解因式：3269x x x -+⑵(太原市中考题)分解因式：2363x x -+⑶分解因式：32244a c a bc ab c -+【例 9【例 10【巩固】 分解因式：⑴222()4()4x x x x +-++；⑵24()520(1)x y x y ++-+-【巩固】 分解因式：()()222248416x x x x ++++【巩固】 已知2244241a ab b a b ++--+=2m ，试用含a 、b 的代数式表示m ．【例 11】化简：22()()()()()()a b b c a c a b a b a b c a b c ++-+-+-+++-【巩固】 分解因式：24()520(1)x y x y ++-+-【补充】分解因式：66a b -【巩固】 ⑴分解因式：523972x x y -⑵分解因式：66a b +【例 12】若a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ∆按边分类， 应是什么三角形？【巩固】 (江苏省镇江市中考题)若a ，b ，c 是三角形三边的长，则代数式2222a b c ab +--的值( )．A.大于零B.小于零 C 大于或等于零 D ．小于或等于零练习 1． 分解因式：22224()x a x a x +--练习 2． 分解因式：3222524261352xy z xy z x y z -++⑶练习 3． 不解方程组2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，求代数式()()237323y x y y x ---的值．练习 4． 分解因式：2121()()m m p q q p +--+-练习 5． 分解因式：212312n n x y xy z +-(n 为大于1的自然数)．练习 6． 分解因式：⑴22(23)9(1)x x +--⑵22222223(2)273(2)(3)a a b a b a a b b ⎡⎤+-=+-⎣⎦⑶222222(35)(53)a b a b --+-⑷22()()()x x y y y x --+-练习 7． 分解因式：⑴(北京市中考试题大纲卷)2244a a b -+-⑵(岳阳中考题)2222x y z yz ---练习 8． 分解因式：⑴2222(3)2(3)(3)(3)x x x x -+--+-；⑵22229()6()()a b a b a b ++-+-.课后练习。
专题特训综合提公因式和公式法因式分解40道
专题23 综合提公因式和公式法因式分解特训40道1．把ax 2-4ax +4a 分解因式，下列结果正确的是（ ）A ．a (x -2)2B ．a (x +2)2C ．a (x -4)2D ．a (x -2)(x +2) 2．分解因式：2228x y -+=______．3．3269y y y -+-＝ ______________4．分解因式：233a ab -=________．5．分解因式：25a 2－100＝_________．6．分解因式：2m 2－2n 2＝________；7．分解因式：2416x -=_______．8．分解因式：269ma ma m +-=______．9．分解因式：8x 3﹣2x ＝_______．10．分解因式：2288ab ab a -+=_______．11．分解因式：2a ax -=__________．12．分解因式：2218m -=______．13．分解因式：2242x y xy y -+=__________．14．分解因式：16a 2b ﹣b ＝________________．15．分解因式：24xy x -=__________．16．因式分解：32234363x y x y xy -+-=______．17．分解因式：32232m n m n mn -+=______．18．因式分解：（1）2x x +=___________（2）34a b ab -=_________________； 19．因式分解：2312xy x +=_____；23()66x y x y --+=______．20．因式分解：(1)2363x x +＋(2)()()233a a a ---21．因式分解：(1)32296a a b ab -+．(2)()2x y x y --+．22．因式分解：(1)22mx my ﹣； (2)2m （a ﹣b ）﹣3n （b ﹣a ）．23．因式分解：(1)2m m -(2)3244x x x24．因式分解：(1)22510x y xy -(2)229()4()a x y b y x -+-25．）把下列各式因式分解：(1)316a a -(2)244a b ab b -+26．分解因式：（1）4a 2－16；（2）2mx 2－ 4mxy ＋2my 2．27．分解因式：(1)3x 2-3(2)2(a -b )-3x (a -b )28．因式分解：(1)32288m m m -+；(2)33312axy ax y -．29．因式分解：(1)4m 2n 3＋2m 3n 3(2)2a 2(b －2)－8b ＋16．30．因式分解：（1）263x x -； （2）()()229a x y b y x -+-．31．因式分解：（1）2m （a ﹣b ）﹣3n （b ﹣a ）； （2）2288x x -+32．因式分解：（1）232ab a b a b -+-；（2）2()x y x y --+．33．因式分解（1）32510a a -（2）22242m mn n -+34．因式分解：（1）222x 2y -； （2）22a b ab b -+． 35．把下列各式分解因式：（1）2327a - （2）269mx mx m -+36．分解因式：（1）()()x x y y x y +-+ （2）231827m n mn n ++37．分解因式：（1）264a bc ab - （2）333x x -+38．因式分解：（1）22mx my -； （2）2()3()m a b n b a --- 39．分解因式：（1）228x - （2）34(1)a a a --40．因式分解：（1）2363a a -+； （2）2436x -；（3）3()6()x a b y b a ---； （4）2(2)(4)4x x x +++-．。