图形推理之图形的空间折叠答题技巧
折叠问题解题技巧
折叠问题解题技巧
折叠问题解答技巧是一种将难以解决的问题分解为小步骤从而得出有效结果的策略。
折叠法可以帮助你更快更好地解决问题，节省花费的时间。
一般来说，折叠问题解题技巧分为以下五个步骤：
1. 了解问题：确保明确理解问题，不要将自己的想法强加于问题。
2. 画出折叠图：通过画出折叠图能够对问题有更加清晰的认知和把握。
3. 填充折叠图：根据问题具体内容填充折叠图，以帮助梳理问题，让解题思路更加清晰。
4. 找出规律：从填充后的折叠图中通过观测找出问题解题的规律。
5. 对比总结：通过对比不同的折叠图找出优化方案等有助于解题的思路。
总之，折叠问题解题技巧是一种将复杂的问题分解成更小的问题，利用图形来理解、解决问题的有效方法。
此种方法有助于梳理思路并把握重点，从而更快、更好地解决复杂问题。
国家公务员行测图形推理技巧-折叠题型解题规律
国家公务员行测图形推理技巧:折叠题型解题规律篇一:行测图形推理之图形的空间折叠答题技巧图形推理之图形的空间折叠答题技巧知识点解析图形的空间折叠空间立体类是常见的一种图形推理题型,它不同于平常的图形推理都是平面图形之间的规律判断,重点考查空间想象能力.找到关键的解题点然后进行排除就能很快得出答案了.针对这一类问题,根据选项情况可采用区分相邻面及相对面.时针法.标点法来应对.解题范例篇二:_国家公务员考试行测答题技巧:图形推理不再难!50大规律轻松搞定中公教育·给人改变未来的力量!_国家公务员考试行测答题技巧:图形推理不再难!50大规律轻松搞定很多参加公务员考试的同学,认为行测非常难,特别是数学运算与图形推理题等,在本文中我们把图形推理的50大规律总结出来,希望大家牢记这50大规律,相信大家不会再头疼图形推理!1.大小变化2.方向旋转3.笔画增减(数字,线条数)4.图形求同5.相同部份去掉6.图形叠加(简单叠加,合并叠加,去同叠加)7.图形组合变化(如:首尾两个图形中都包含中间图形)8.对应位置阴影变化(两图相同或不同则第三图对应位置变阴影或变空白)9.顺时针或逆时针旋转_.总笔画成等差数列_.由内向外逐步包含_.相同部件,上下,左右组合_.类似组合(如平行,图形个数一样等)_.横竖线条之比有规律(如横线3条竖线4条,横线4条竖线5条等)_.缺口相似或变化趋势相似(如逐步远离或靠近)_.图形运动变化(同一个图形从各个角度看的不同样子)_.图形拆分(有三个图构成,后两个图为第一个图的构成部件)_.线条交点数有规律_.方向规律(上,下,左,右)_.相隔一个图形分别对称(如:以第三个图为中心,1和5对称,2和4对称) _.含义依据条件而变(如一个错号,可以表划 ,也可以表示两划 )_.图形趋势明显(点或图形从左到右,从上到下变化等)23.图形的上,中,下部分分别变化(求同,重叠,或去同叠加)24.相似类(包含,平行,覆盖,相交,不同图形组成,含同一图形等)25.上,中,下各部分别翻转变化更多公职类考试信息和资料中公教育·给人改变未来的力量!26.角的度数有规律27.阴影重合变空白28.翻转,叠加,再翻转30.与特定线的交点数相同(如:与折线的交点数有规律,有直线的交点数不用考虑)31.图形有多条对称轴,且有共同交点,轴对称图形(如正三角形,正方形)32.平行,上下移动33.图形翻转对称34.图形边上角的个数增多或减少35.不同图形叠加形成新图36.图形中某条线均为长线或短线(寻找共同部分)37.线段间距离共性.(如:直线上有几个点,分成几条线段,上部覆盖有另一个图形,如圆,三角形等,但是上面的图形占的位置都不大于最外面两点间的距离)38.图形外围,内部分别顺或逆时针旋转(内外部变化相反)39.特殊位置变化有规律(如当水平时,垂直时图形有一规律)40.各图形组成部件属于同一类(如:均为三条曲线相交)41.以第几幅图为中心进行变化(如:旋转,走近,相反等)42.求共同部分再加点变化(如:提出共同部分,然后让共同部分都变黑什么的)43.除去共同部分有规律44.数线段出头数,有规律(成等差数列,或有明显规律)45.图形每行图形被分割成的空间数相同46.以中间图形为中心,上下,对角分别成对称47.先递增再递减规律48.整套图形横着看,或竖着看,分别有规律.49.注意考虑图形部分变化(如:分别为上下不变中间变化,然后上中下一起变化,左右分别变化,左右一起变化等)50.顺着次序变化.(如:原来在内部的放大变为外部图形,内部图形相应变化.左右组成的图,上一个右边图等于下个左边图,右边再加个新图,如此循环) 更多信息关注:国家公务员考试网更多公职类考试信息和资料篇三:_公务员考试行测图形推理技巧之逆向思维江西公务员考试职位表点这里看_公务员考试行测图形推理技巧之逆向思维图形推理在公务员考试行测当中属于经常考查的一类题目,题干会给出一组已知图形,让我们去选择一个与已知图形能形成一定规律的选项,对于一些考点比较明显的题目我们可以快速解题,而对于一些规律并不明显的题目,或者当我们把能想到的一些常见规律带入题干后都不符合的时候往往就束手无策了,在这里,中公教育专家给大家介绍一种解题思路,考生可以用逆向思维从选项入手.所谓从选项入手就是指当我们遇到一些题干部分规律特别少或者规律不明显的题目时,我们不妨去看看选项,比较4个选项之间是否存在差异,如果选项当中有三个选项具有一定的共性,而另一个选项明显与这三个选项的共性不同,这时候我们可以将这个比较特殊的选项与其他三个选项的差异带回题干,以此来查找正确选项,下面通过具体的例题来给大家讲解逆向思维的应用.【例1】【中公解析】这是一道图形推理中类比型题目,如果我们通过题干已知的图形寻找规律的话,可以发现一些常见的规律,例如对称性.线条数.封闭数都不符合,这时候我们看一下四个选项,可以发现A选项比较特殊,是一个开放的图形,而B.C.D三个选项有一个共性就是都是封闭空间,我们将封闭与开放这个特性带回到题干的话,发现可以与题干形成一定的规律,就是两组图案的前两个图形都是封闭图形,第三个图形都是开放图形,所以这个题目选A项.【例2】【中公解析】这又是一道类比型题目,按照正常的思维方式我们从题干查找规律,相信很多考生会去尝试线条数.对称性等等的规律,结果自然是都不符合,这时候我们去比较一下四个选项之间有什么差异,可以发现选项的差异还是比较明显的,就是前三个选项都是由直线构成有角存在的,第四个选项是由曲线构成没有角的,可以将这个特性带回题干可以发现前三个图形都是有直线并且有角的,而后三个图形都是有曲线并且没有角的,所以这个题目选择D项.中公教育专家相信考生们通过这两个题目对逆向思维已经比较清楚,简单来说就是去比较选项之间的差异,找到比较特殊的选项后再带回题干比对.希望大家以后再面对图形推理这类题目时借助这种方式进而更好解题.。
行测纸盒折叠方法解题技巧
行测纸盒折叠方法解题技巧
摘要：
一、引言：简要介绍行测纸盒折叠问题的背景和重要性
二、主体部分：详细解析纸盒折叠问题的解题技巧
1.观察特殊图形法
2.相对面不相邻法
三、结尾部分：总结纸盒折叠问题的解题策略，并对考生提出建议
正文：
【引言】
在公务员行测考试中，图形推理题是必考题型之一。
其中，纸盒折叠问题因其独特的考察方式和对考生空间想象能力的较高要求，常常让许多考生感到困惑。
然而，只要掌握了一定的解题技巧，即使空间想象能力不强，也能顺利解答此类问题。
【主体部分】
接下来，我们将详细解析纸盒折叠问题的解题技巧。
首先，我们要掌握的是观察特殊图形法。
这种方法要求我们直接观察题目所给出的目标图形中的特殊面，或者特殊图形连接的位置，然后对比选项，不符的直接排除。
其次，相对面不相邻法也是解题的重要策略。
这种方法要求我们抓住某两个相邻面或对立面的图形特征，从而可以利用排除法选择正确答案。
【结尾部分】
总的来说，纸盒折叠问题虽然看似简单，实则需要考生具备较强的空间想象能力。
但是，只要我们善于运用一些技巧，如观察特殊图形法和相对面不相邻法，就能在很大程度上提高解题的准确率和效率。
行测图形推理技巧之三种方法
行测图形推理技巧之三种方法应对折、拆纸盒问题折纸盒与拆纸盒问题，是公务员考试真题中常见考点。
折纸盒，泛指题干为平面展开图，四个选项均为立体图形，提问方式一般为“将题干图形折叠后，得到的图形是?”拆纸盒，泛指题干为立体图形，四个选项均为平面展开图，提问方式一般为“将题干图形展开后应为?”针对这一类问题，根据选项情况可采用区分相邻面及相对面、时针法、标点法来应对。
一、区分相邻面及相对面平面图形中相邻的两个面折成立体图形后也相邻，立体图形中相对的两个面拆成平面图形后不相邻，区别相邻面与相对面往往能快速排除错误选项，得出符合要求的答案。
例题：左边给定的是纸盒的外表面，下面哪一项能由它折叠而成?解析：左边的图形折成立体图形后，有两个空白面相对，含有圆点的两个面相对，含有斜线的面与另外一个空白面相对。
A项，应有两个空白面相对，故A项错误;B项，可由左边纸盒折成;C项，含有圆点的两个面相对，故C项错误;D项，带斜线的面不可能与两个空白面两两相邻，故D项错误。
由此，可确定正确答案为B。
例题：下列四个选项中，哪个可以折出左边指定的图形?解析：左边给定的立体图形中，带阴影的两个面相对。
折成立方体后，A、C、D三项的两个阴影面相邻，所以是错误的;B项折成后带阴影的面相对，因此，应选择B项。
提醒：区分相对面与相邻面是解决空间型图形推理的基础。
分清相对面与相邻面往往也能快速地排除一些选项，从而更快地解决问题。
二、时针法对于立方体纸盒，折成后只能看到图形的三个面，时针法就是比较这三个面在立体图形与平面图形中的旋转方向来判断选项的正确与否。
时针法只适用于解决面中的小图形不涉及方向的折纸盒问题。
例题：左边给定的是纸盒的外表面，下面哪一项能由它折叠而成?解析：首先通过相对面与相邻面可排除C项，C项中1和2应为相对的面，不可能相邻。
A项，按1-4-6的顺序，顺时针旋转，题干平面图形中1-4-6则按逆时针旋转，如下图所示，两者的旋转方向不一致，则A项不能由左边的图形折成;同理可判定B项可由左边图形折成，D项不能由左边图形折成。
图形推理的折叠纸盒秘籍.doc
图形推理的折叠纸盒秘籍。
[共享]立方体折叠主题一个接一个。
确定给定的平面图形是否属于立方体表面。
图1。
中间最长的行(或列)可以是2、3、4、4以上或不在中间的长排不是立方体表面膨胀。
2.在每一行(或列)的两边，每一边只能有一个正方形与之相连，多于一个则不行。
3.规则:(1)每个顶点最多有3个相邻面，不会有4个或更多。
(2)在排列成“一”形的三个面中，两端的面必须是相对的，具有相同的字母。
(3)在以“L”形排列的三个面中，没有相同的字母，即没有相对的面，只有相邻的面。
2.快速确定立方体“反面”的公式是:交替相位和“Z”端与下图相反。
让我们首先统一以下理解:图1中所示的或由它们旋转的图统称为“I”型图。
(2)、(3)和(4)中所示的或在给定平面图中由它们旋转的图形统称为“Z”型图形。
结论:如果给定的平面图形可以折叠成立方体，则平面图形中包含的“I”或“Z”型图形两端的正方形(阴影部分)在折叠成立方体后必须是相对的一侧。
应用上述结论，我们可以快速确定立方体的“反面”。
例1。
如图所示，一个汉字写在一个立方体的每一边，它的平面展开图如图所示，那么立方体中与“超级”相对的单词是。
分析:自信-下沉-着陆-超越形成一个垂直的z形，所以“自我”对应于“超越”，所以“自我”应该填写。
3两个相邻面的角知道被两个小正方形分开或者三个边的角是立方体的相邻面。
例2。
如图所示，有一个立方体纸盒，在其三面分别画有三角形、正方形和圆形，用一把剪刀沿其边缘剪成一个平面图，展开后的图可以()分析:我们将圆的边称为平面A，正方形阴影边称为平面B，三角形阴影边称为平面C。
在选项A中，Z形结构用于知道与已知立方体bc 不相邻的B和C的相对边，应将其排除在外。
在选项B中，平面B和平面C被平面A分开，平面B和平面C 是相对的，这也应该排除在外。
在选项D中，虽然三个面A、B和C形成一个角形状，并且是立方体的三个相邻面，面B作为上面，面A作为前面，但是面C应该在立方体的左侧，这与原始图像不一致，应该被排除。
图形推理之折纸盒秘籍
【分享】立方体折叠专题一一.判断给定的平面图形是否属正方体表面展开图1．最长的一行（或列）在中间，可为2、3、4个，超过4•个或长行不在中间的不是正方体表面展开图．2．在每一行（或列）的两旁，每旁只能有1个正方形与其相连，超过1个就不是．3．规律：①每一个顶点至多有3个邻面，不会有4个或更多个．②“一”形排列的三个面中，两端的面一定是对面，字母相同．③“L”形排列的三个面中，没有相同的字母，即没有对面，只有邻面．二.快速确定正方体的“对面” 口诀是：相间、“Z”端是对面如下图，我们先来统一以下认识：把含有图（1）所示或可由其作旋转后的图形统称为“I”型图；把所给平面图中含有（2）、（3）、（4）所示或可由其作旋转后的图形统称为“Z ”型图。
结论：如果给定的平面图形能折叠成一个正方体，那么在这个平面图形中所含的“I”型图或“Z”型图两端的正方形（阴影部分）必为折成正方体后的对面。
应用上面的结论，我们可以迅速地确定出正方体的“对面”。
例1．如图，一个正方体的每个面上都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“超”相对的字是．分析：自—信—沉—着—超，构成了竖着的Z字型，所以“自”与“超”对应，故应填“自”．三. 间二、拐角邻面知中间隔着两个小正方形或拐角型的三个面是正方体的邻面．例2.如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是（）分析：我们把画有圆的一面记为a面，正方形阴影面记为b面，三角形阴影面记为c 面．在选项A中，由Z字型结构知b与c对面，与已知正方体bc相邻不符，应排除；在选项B中，b面与c面隔着a面，b面与c面是对面，也应排除；在选项D中，虽然a、b、c三面成拐角型，是正方体的三个邻面，b面作为上面，a面为正面，则c面应在正方体的左面，与原图不符，应排除，故应选（C）．四. 正方体展开图：相对的两个面涂上相同颜色五. 找正方体相邻或相对的面1．从展开图找．（1）正方体中相邻的面，在展开图中有公共边或公共顶点．如，•或在正方形长链中相隔两个正方形．如中A与D．（2）在正方体中相对的面，在展开图中同行（或列）中，中间隔一个正方形．如ABCD中，A与C，B与D，或和中间一行（或列）•均相连的两正方形亦相对．例1 右图中哪两个字所在的正方形，在正方体中是相对的面．解“祝”与“似”，“你”和“程”，“前”和“锦”相对．例2在A、B、C内分别填上适当的数．使得它们折成正方体后，对面上的数互为倒数，则填入正方形A、B、C•的三数依次是：（A）12，13，1 （B）13，12，1（C）1，12，13（D）12，1，13分析A与2，B与3中间都隔一个正方形，C与1分处正方形链两边且与其相连，选（A）．例3 在A、B、C内分别填上适当的数，使它们折成正方体后，对面上的数互为相反数．分析A与0，B与2，C和-1都分处正方形链两侧且与其相连，∴A─0，B─-2，C─1．例4 找出折成正方体后相对的面．解A和C，D和F，B和E是相对的面．2．从立体图找．例5 正方体有三种不同放置方式，问下底面各是几？分析先找相邻的面，余下就是相对的面．上图出现最多的是3，和3相连的有2、4、5、6，余下的1就和3相对．再看6，•和6相邻的有2、3、4，和3相对的是1，必和6相邻，故6和5相对，余下是4和2相对，•下底面依次是2、5、1．例6由下图找出三组相对的面．分析和2相连的是1、3、5、6，相对的是4，和3相连的是2、4、5、6，相对的是1，和6相连的是1、2、3、4，相对的是5．五. 由带标志的正方体图去判断是否属于它的展开图例7 如下图，正方体三个侧面分别画有不同图案，它的展开图可以是（）．分析基本方法是先看上下，后定左右，图A图B都是□和+两个面相对，不合题意，图C“□”和“○”之上，从立体图看“＋”在右，符合要求．图D•“□”和“＋”之上，“○”在右，而立体图“○”应在左，不合要求，故选（C）．例8 下面各图都是正方体的表面展开图，若将它们折成正方体，•则其中两个正方体各面图案完全一样，它们是（）．分析首先找出上下两底，（1）是+和*，（2）是+和*，（3）（4）都是□和×，排除（1）（2），再检查侧面，（3）（4）顺序相同，所以选（3）（4）．【分享】立方体折叠专题二专题一的知识主要是介绍了如何寻找各种正方体及其展开图的对面。
行测图形推理如何快速解题与提高准确率
行测图形推理如何快速解题与提高准确率在公务员行测考试中，图形推理是一个让很多考生感到头疼的模块。
图形推理题看似千变万化，毫无规律可循，但实际上是有方法和技巧的。
掌握了正确的方法，不仅能快速解题，还能提高准确率。
下面就来详细介绍一下如何在图形推理中快速解题并提高准确率。
一、熟悉常见的图形规律要想在图形推理中取得好成绩，首先要熟悉常见的图形规律。
图形推理的规律主要包括位置类、样式类、数量类、属性类和重构类等。
位置类规律主要包括平移、旋转和翻转。
平移是指图形在平面内沿着某个方向移动一定的距离；旋转是指图形围绕某个中心点按照一定的角度进行转动；翻转则是指图形沿着对称轴进行翻转。
样式类规律包括遍历、运算（相加、相减、求同、求异）等。
遍历是指每种样式在每行或每列中都要出现一次；运算则是指对图形的样式进行相应的数学运算。
数量类规律是图形推理中比较常见也比较复杂的一类规律，包括点、线、面、角、素等的数量变化。
比如，点的数量可以是交点、切点的数量；线的数量可以是直线、曲线的数量；面的数量是指封闭区域的数量；角的数量通常是指直角、锐角、钝角的数量；素是指图形中不连接的组成部分。
属性类规律包括对称性、曲直性、封闭开放性等。
对称性又分为轴对称、中心对称和轴中心对称；曲直性是指图形是由曲线组成、直线组成还是曲线和直线共同组成；封闭开放性则是指图形是封闭的还是开放的。
重构类主要包括空间重构，如折纸盒问题，需要我们具备一定的空间想象能力。
二、培养观察能力在做图形推理题时，观察能力非常重要。
拿到一道题，要先整体观察图形的特征，比如图形的组成元素是相同还是相似，是凌乱还是规整。
如果图形组成元素相同，优先考虑位置类规律；如果图形组成元素相似，优先考虑样式类规律；如果图形组成元素凌乱，优先考虑数量类规律；如果图形组成元素规整，优先考虑属性类规律。
同时，要注意观察图形的细节，比如图形的线条走向、图形的方向、图形的大小等。
有时候，一些细微的差别可能就是解题的关键。
2023年高考数学----立体几何折叠问题规律方法与典型例题讲解
2023年高考数学----立体几何折叠问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变．2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质． 【典型例题】例1．（2022春·江苏南通·高三期中）已知梯形ABCD 中，//AD BC ，π2∠=∠=ABC BAD ，24AB BC AD ===，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，//EF BC ，AE x =，G 是BC 的中点，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ． (1)当2x =时①求证：BD EG ⊥；②求二面角D BF C −−的余弦值；(2)三棱锥D FBC −的体积是否可能等于几何体ABE FDC −体积的一半？并说明理由． 【解析】（1）证明：过D 点作EF 的垂线交EF 于H ，连接BH ．如图．2AE AD == 且//AE DH ，//AD EF ，π2EAD ∠=． ∴四边形ADHE 是正方形.2EH =，∴四边形EHGB 是正方形.所以BH EG ⊥（正方形对角线互相垂直）.因为平面AEFD ⊥平面EBCF ，平面AEFD ⋂平面EBCF EF =，,AE EF AE ⊥⊂平面AEFD ， 所以⊥AE 平面EBCF ， 所以DH ⊥平面EBCF ， 又因为EG ⊂平面EBCF ，所以EG DH ⊥. 又,,BHDH H BH DH =⊂平面BDH ，所以EG ⊥平面BDH ，又BD ⊂平面BDH ， 所以EG BD ⊥.②以E 为原点，EB 为x 轴，EF 为y 轴，EA 为z 轴，建立空间直角坐标系，(2B ，0，0)，(0F ，3，0)，(0D ，2，2)，(2C ，4，0)，(2BF =−，3，0)，(2BD =−，2，2)，设平面BDF 的法向量(n x =，y ，)z ，则·2220·230n BD x y z n BF x y ⎧=−++=⎪⎨=−+=⎪⎩，取3x =，得(3n =，2，1)，又平面BCF 的法向量(0m =，0，1)，1cos ,||||14m n m n m n <>==∴钝二面角D BF C −−的余弦值为．（2）AE EF ⊥Q ，平面AEFD ⊥平面EBCF ， 平面AEFD ⋂平面EBCF EF =，AE ⊂平面AEFD ． AE ∴⊥平面EBCF ．结合DH ⊥平面EBCF ，得//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，得DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥D BCF −的高DH AE x ==， 又114(4)8222BCFSBC BE x x ==⨯⨯−=−． ∴三棱锥D BCF −的体积为()2=11822(82)433333BFCV SDH x x x x x x ==−=−−，ABE FDC ABE DGH D HGCF V V V −−−=+13ABEHGCF SAD S DH =+111111(4)2(2)(4)=(4)1+(2)232262x x x x x x x x ⎡⎤=−⨯+⨯+−−+⎢⎥⎣⎦， 令()112(4)1+(2)=24623x x x x x ⎡⎤−+⨯−⎢⎥⎣⎦，解得0x =或4x =，不合题意；∴棱锥D FBC −的体积不可能等于几何体ABE FDC −体积的一半．例2．（2022春·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）如图1，在平面四边形ABCD 中，已知ABDC ，AB DC ∥，142AD DC CB AB ====，E 是AB 的中点．将△BCE 沿CE 翻折至△PCE ，使得2DP =，如图2所示．(1)证明：DP CE ⊥；(2)求直线DE 与平面P AD 所成角的正弦值． 【解析】（1）如图取CE 的中点F ，连接PF ，DF ，由题易知△PCE ，△DCE 都是等边三角形， ⸫DF ⊥CE ，PF ⊥CE ， ⸫DFPF F =，DF ⊂平面DPF ，PF ⊂平面DPF⸫CE ⊥平面DPF ． ⸫DP ⊂平面DPF ⸫DP ⊥CE ． （2）解法一：由题易知四边形AECD 是平行四边形， 所以AD ∥CE ，又AD ⊂平面P AD ，所以CE ⊂平面P AD ， 所以点E 与点F 到平面P AD 的距离相等． 由（1）知CE ⊥平面DPF ，所以AD ⊥平面DPF ． 又AD ⊂平面P AD ， 所以平面P AD ⊥平面DPF ．过F 作FH ⊥PD 交PD 于H ，则FH ⊥平面P AD ．DF PF ==2DP =，故点F 到平面P AD 的距离FH =设直线DE 与平面P AD 所成的角为θ，则sin FH DE θ==， 所以直线DE 与平面P AD 所成角的正弦值为4． 解法二：由题易知四边形AECD 是平行四边形，所以AD ∥CE ，由（1）知CE ⊥平面DPF ，所以AD ⊥平面DPF ． 如图，以D 为坐标原点，DA ，DF 所在直线分别为x ，y 轴，过D 且垂直于平面AECD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0D ，()4,0,0A ，()E ， 设()0,,P a b ，0a >，0b >． 易知DF PF ==2DP =，故(2222124a b a b ⎧−+=⎪⎨⎪+=⎩，P ⎛ ⎝⎭， 所以()4,0,0DA =，DP ⎛= ⎝⎭，()DE =，设平面P AD 的法向量为(),,n x y z =， 则00n DA n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令y =1z =−，所以()0,11,1n =−．设直线DE 与平面P AD 所成的角为θ，则11sin |cos ,|4DE nDE n DE nθ⋅=〈〉==， 故直线DE 与平面P AD 例3．（2022春·湖南长沙·高三宁乡一中校考期中）如图，平面五边形P ABCD 中，PAD 是边长为2的等边三角形，//AD BC ，AB ＝2BC ＝2，AB BC ⊥，将PAD沿AD 翻折成四棱锥P －ABCD ，E 是棱PD 上的动点（端点除外），F ，M 分别是AB ，CE 的中点，且PC(1)证明：AB FM ⊥；(2)当直线EF 与平面P AD 所成的角最大时，求平面ACE 与平面PAD 夹角的余弦值． 【解析】（1）设O 是AD 的中点，连接,OP OC ， 三角形PAD 是等边三角形，所以OP AD ⊥，OP =四边形ABCD 是直角梯形，//,OA BC OA BC =，所以四边形ABCO 是平行四边形，也即是矩形，所以OC AD ⊥，2==OC AB .折叠后，PC =222OP OC PC +=，所以OP OC ⊥， 由于,,AD OC O AD OC ⋂=⊂平面ABCD ， 所以OP ⊥平面ABCD ，则,,OC OD OP 两两相互垂直，由此建立如图所示的空间直角坐标系， ()2,0,0,AB OC ==()1,1,0F −，设)()0,1,01E t t t −<<，()2,0,0C，所以)11,,22t t M ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭，则)120,,22t t FM ⎛⎫−+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以0AB FM ⋅=， 所以AB FM ⊥.（2）由于OP ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以OP AB ⊥， 由于,,,AB AD AD OP O AD OP ⊥⋂=⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，由于AE ⊂平面PAD ，所以AB AE ⊥， 所以FEA ∠是直线EF 与平面PAD 所成角， 在直角三角形AEF 中，tan AFFEA AE∠=， 由于1AF =，所以当AE 最小时，tan FEA ∠最大，也即FEA ∠最大，由于三角形PAD 是等边三角形，所以当E 为PD 的中点时，AE PD ⊥，AE 取得最小值.由于(P ，()0,1,0D，故此时10,2E ⎛ ⎝⎭，平面PAD 的法向量为()1,0,0m =，()()()30,1,0,2,0,0,2,1,0,0,2A C AC AE ⎛−== ⎝⎭，设平面ACE 的法向量为(),,n x y z =，则20302n ACx y n AE y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，故可设(1,n =−， 设平面ACE 与平面PAD 的夹角为θ， 则1cos 17m n m nθ⋅===⋅例4．（2022·四川雅安·统考模拟预测）如图①，ABC 为边长为6的等边三角形，E ，F 分别为AB ，AC 上靠近A 的三等分点，现将AEF △沿EF 折起，使点A 翻折至点P 的位置，且二面角P EF C −−的大小为120°（如图②）．(1)在PC 上是否存在点H ，使得直线//FH 平面PBE ？若存在，确定点H 的位置；若不存在，说明理由．(2)求直线PC 与平面PBE 所成角的正弦值．【解析】（1）满足条件的点H 存在，且为PC 上靠近P 的三等分点．在PC 上取靠近P 的三等分点H ，连接AP ，FH ，如图，则AP 是平面P AB 与平面P AC 的交线，依题意，12PH AF HC FC ==，则有//FH AP ，又AP ⊂平面PBE ，FH ⊄平面PBE ，因此直线//FH平面PBE ，所以在PC 上是存在点H ，为PC 上靠近P 的三等分点，使得直线//FH 平面PBE . （2）取BC 中点G ，连接AG ，交EF 于点D ，连接PD ，因//EF BC ，依题意，EF DG ⊥，EF PD ⊥，则PDG ∠为二面角P EF C −−的平面角，即120PDG ∠=︒，且EF ⊥平面PAD ， 而EF ⊂平面BCFE ，则平面PAD ⊥平面BCFE ，在平面PAD 内过P 作PO AD ⊥于O ， 又平面PAD ⋂平面BCFE AD =，因此PO ⊥平面BCFE ，在平面BCFE 内过O 作Ox AD ⊥， 显然Ox ，AD ，OP 两两垂直，分别以向量Ox ，OD ，OP 的方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz −，如图，则B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，C ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭，E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，32PC ⎛⎫=−− ⎪ ⎪⎝⎭，()EB =，31,2EP ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面PBE 的一个法向量为(),,n x y z =r，由20302n EB x n EP x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，令y =()3,3,1n =−，设直线PC 与平面PBE 所成角为α，则||18sin |cos ,|||||30PC n PC n PC n α⋅=〈〉===⋅所以直线PC 与平面PBE ．。
中考数学几何折叠问题答题技巧
中考数学几何折叠问题答题技巧中考数学几何折叠问题答题技巧折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题. 考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显.这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求.折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折1800，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中折是过程，叠是结果. 折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用. 所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质.根据轴对称的性质可以得到：折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴;互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分;对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等;对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等. 在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题，可以使得解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁.1、利用点的对称例1.(2019年南京市)矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.(1)如果折痕FG分别与AD、AB交于F、G(如图①)，AF=，求DE 的长;(2)如果折痕FG分别与CD、AB交于F、G(如图②)，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长.图①中FG是折痕，点A与点E重合，根据折叠的对称性,线段AF 的长,可得到线段EF的长，从而将求线段的长转化到求Rt△DEF 的一条直角边DE. 图②中，连结对应点A、E，那么折痕FG垂直平分AE，取AD的中点M，连结MO，那么MO=DE，且MO∥CD，又AE为Rt△AED的外接圆的直径，那么O为圆心，延长MO交BC于N，那么ONBC，MN=AB,又Rt△AED的外接圆与直线BC相切，所以ON是Rt△AED的外接圆的半径，即ON=AE，根据勾股定理可求出DE=，OE=. 通过Rt△FEO∽Rt△AED，求得FO=，从而求出EF的长. 对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形, 此题把折叠问题转化为轴对称问题，利用勾股定理和相似求出未知线段，最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理.【二】利用线段的对称性质例2.(新课标人教版数学八年级下学期P126)数学活动1：折纸做300、600、150的角对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再次折叠纸片，使A点落在折痕EF上的N点处，并使折痕经过点B得到折痕BM，同时得到线段BN，观察所得到的ABM、MBN和NBC，这三个角有什么关系?(教师用书中给出了这样的提示：△ABM≌△NBC，作NGBC，那么直角三角形中NG=BN，从而可得ABM=MBN=NBC=300.)假设这样证明那么要用到：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于300. 这个定理现行教材中没有涉及到，在这儿用不太合适. 如果直接运用轴对称思想说理应该比较简洁明了：连结AN，那么AN=BN，又AB=BN，所以三角形ABN为等边三角形，所以ABM=MBN=NBC=300.利用对称的思想来证明线段的相等比用其他方法快捷而且灵活. 【三】利用面对称的性质例3.(2019年临安)如图，△OAB是边长为2的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正方向上，将△OAB折叠，使点A 落在OB上，记为A`点，折痕为EF. 此题中第③问是：当A`点在OB上运动，但不与O、B重合时，能否使△A`EF为直角三角形?这一问题需通过分类讨论，先确定直角顶点不可能在A`处. 当△A`EF为直角三角形，且直角顶点在F处时，根据轴对称性质我们可以得到AFE=A`FE=900，此时A`点与B点重合，与题目中相矛盾，所以直角顶点在点F处不成立. 同理可证，直角顶点亦不可能在点E处. 故当A`点在OB上运动，假设不与O、B重合，那么不存在这样的A`点使△A`EF为直角三角形.在折叠问题中,利用面的对称性可得到相等的角、全等的图形和相等的面积.解决折叠问题时，首先要对图形折叠有一准确定位，把握折叠的实质，抓住图形之间最本质的位置关系，从点、线、面三个方面入手，发现其中变化的和不变的量. 进一步发现图形中的数量关系;其次要把握折叠的变化规律，充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来，运用所学知识合理、有序、全面的解决问题.。
折叠题型解题方法
折叠题型解题方法方法一：根据相对面法则排除法相对面法则即在立体图形中，比如正方体、长方体等都有六个面，而这六个面中有三组相对面。
而在平面中表现立体图形时往往只能表现三个相邻面。
因此，三组相对的两个面在选项中的立体图形中必须出现而且只能出现一个面。
相对面如何判断?以下给大家列举几种常见的情况。
下图中的两个阴影面均属于相对面，折成立体图形后，相对的两个面不能相邻。
例：根据相对面排除法可知，两个阴影面是相对关系，所以可以排除A、C、D，选B。
方法二：时针法对于立方体纸盒，折成后只能看到图形的三个面。
所谓时针法就是比较这三个面在立体图形与平面图形中的旋转方向来判断选项的正确与否。
然而并非任意三个面都可以画时针，时针法应用的前提有两点：1、画时针的三个面必须不存在平行面;2、画时针的时候必须保证这三个面至少两对面两两有交点。
如在下面两个图中，两个平面图中的1、2、3三个面都不平行，满足了时针法的第一个前提。
此外，第一个图形中1、2两个面有两个交点(红点)，2、3两个面有一个交点(蓝点);第二个图形中1、2两个面的交点为a、b，1、3两个面的交点为b、c，2、3两个面的交点为b。
第一个图形中两对面两两有交点，第二个图形中三对面都两两有交点，所以满足时针法的第二个前提。
因此，这两个图都可以用时针法解决的。
方法三：公共顶点法在平面中相交于同一个公共顶点下的三个面，其面上的图形与公共顶点的位置关系保持不变。
方法四：活动面移动法即在平面中构成“L”形的两个面，如下图折成立体后，两条红线所在的边必然重合，它们在立体中的位置关系，可以通过转动其中任一个面使得二者重合。
因此可以制作一个和其中某个面完全相同的活动面，通过旋转观察二者在立体中的位置关系。
如上图可以看出两个箭头方向是一致的，平行关系，带箭头的两个方块必然靠在一块，且箭头指向方向相同，所以应选C。
方法五：画橡皮法上述四种方法不能掌握，只能通过动手画橡皮解决了。
很简单，准备一块正方体型的橡皮，按照左面平面中的六个面依次画在橡皮上。
初中折叠问题解题技巧
初中折叠问题解题技巧
一、解题步骤
1、首先分析题目
通过阅读题目，了解题目的大致意思，从中抽出关键词，弄清楚题目问的到底是什么。
2、判断条件
根据题目内容，设置好条件，以便在继续解答题目之前，先将条件判断清楚。
3、运用初中数学知识
依据所判断的条件，运用基本的初中数学知识，选择合适的方法，解决问题。
4、完善解题
根据给出的条件，完善解题。
二、解题技巧
1、把折叠图当成二维坐标，运用初中数学中的直角坐标系来求解。
2、在解题的过程中，要注意各种图形之间的差异，避免将不同图形混为一谈。
3、把折叠模型画出来，用几何图形思维观察几何位置关系，得出结果。
4、对题目进行分解，从而将整体折叠模型的问题分解成两个或多个直角坐标系，以此类推，进行下一步的解答。
5、在解题过程中，要注意各种折叠的类型，例如横折叠、竖折叠、对折、三折等，要根据不同的类型，用不同的方法求解。
江苏公务员行测图形推理之折叠题型解题规律
江苏公务员行测图形推理之折叠题型解题规律解题思路：通过平面图形的性质来分析立体图形空间特征。
图形折叠后的性质很多是可以从平面图形中直接反映出来的，比如哪些面必然是对立的，哪些面必然是相邻的，每个面上直线的方向等。
解题方法：排除法。
利用平面图形的性质可以快速排除错误选项，有利于快速解题。
立方体（六面体）表面展开图的性质你知道正方体表面展开图有多少种吗？解答：11种。
图中“上”和“下”，“左”和“右”，“前”和“后”互为对立面。
1．“一·四·一”型：2．“二·三·一”型3．“三·三”型和“二·二·二”型如何确定图形是不是立方体展开图：1、最长链最多只能有4个面，且最长链在中间位置，超过4个或最长链不在中间的不是立方体表面展开图。
如：2、在每一行（或列）的两旁，每旁只能有1个正方形与其相连，超过1个就不是。
如：折叠规律：（1）正方体中相邻的面，在展开图中有公共边或公共顶点。
如，或在正方形长链中相隔两个正方形。
如中上与前。
（2）在正方体中相对的面，在展开图中同行（或列）中，中间隔一个正方形。
如中，上与下，前与后，或和中间一行（或列）均相连的两正方形亦相对。
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【例题1】（2012年国家）左边给定的是纸盒的外表面，下面哪一项能由它所折叠而成（）解答：由以上性质可以可以看出，一点面和四点面为对立面，B 项错误；C项中一点面与六点面构成如图相邻关系时，五点面应位于左面而右顶面（可以六点面为上面折叠），排除；二点面、三点面、四点面三面相邻，且公共顶点不变，三点面方向不对，D项错误。
注：平面图形的公共顶点和公共边折叠成多面体后仍为这三个面的公共顶点和公共边。
如何利用平面展开图解答折叠类题型
如何利用平面展开图解答折叠类题型说明：众所周知，图形推理主要考查考生的空间想象能力。
这里，介绍的是另一种方法，即利用平面展开图的性质直接推理出答案。
以下讲解的图形推理题型特性和各种巧妙的解法在2013年国家公务员考试一本通中都有非常系统的讲解，并在整个题型精讲和强化练习部分都可以看到一本通对此类难题讲解的巧妙之处，本篇文章只是其中的一小部分，有需要的考生可预定一本通进行系统复习。
一本通在编写中对行测各模块的都尽可能做了细致的分析，使其解法更加实用，切实帮助考生提高在考场上的得分能力。
图形推理中折叠图形的解题原理分析解题思路：通过平面图形的性质来分析立体图形空间特征。
图形折叠后的性质很多是可以从平面图形中直接反映出来的，比如哪些面必然是对立的，哪些面必然是相邻的，每个面上直线的方向等。
解题方法：排除法。
利用平面图形的性质可以快速排除错误选项，有利于快速解题。
正方体（六面体）表面展开图的性质你知道正方体表面展开图有多少种吗？解答：11种图中“上”和“下”，“左”和“右”，“前”和“后”互为对立面。
1．“一四一”型2．“二三一”型3．“三三”型和“二二二”型-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【例题1】（2012年国家）左边给定的是纸盒的外表面，下面哪一项能由它所折叠而成（）一本通解答：由以上性质可以可以看出，一点面和四点面为对立面，B项错误；C项中一点面与六点面构成如图相邻关系时，五点面应位于左面而右顶面（可以六点面为上面折叠），排除；二点面、三点面、四点面三面相邻，且公共顶点不变，三点面方向不对，D项错误。
注：平面图形的公共顶点和公共边折叠成多面体后仍为这三个面的公共顶点和公共边。
（通过上图D项可验证）【例题2】（2010年国家）左边给定的是纸盒的外表面，下面哪一项能由它所折叠而成（）一本通解答：横线面和空白面为对立面，C、D项错误；A项中右表面的对角线应该与上表面的对角线相交在一个顶点上，排除。
三角形折叠问题解题技巧
三角形折叠问题解题技巧什么是三角形折叠问题？三角形折叠问题是一个数学问题，也是一个几何问题。
它的基本思想是将一个平面三角形沿着一条边折叠，使另外两条边重合，然后看能够得到什么样的形状。
这个问题在几何图形的变换中具有一定的实际应用，也是许多数学游戏和拼图的基础。
解题思路三角形折叠问题的解题思路主要分为以下几步：1.确定初始三角形的形状和大小。
2.选择一条边作为折叠边。
3.将另外两条边沿着折叠边折叠，使它们重合。
4.观察折叠后的形状与初始三角形的关系。
5.根据需要，可以进行多次折叠，得到更复杂的图形。
解题示例下面以一个具体的例子来说明三角形折叠问题的解题过程。
基本信息：•初始三角形形状：等边三角形•初始三角形边长：3个单位•折叠边：底边解题步骤：1.绘制一个等边三角形，三边长度均为3个单位。
如图所示：2.选择底边（BC）作为折叠边。
3.将另外两条边（AB和AC）沿着折叠边折叠，使它们重合。
如图所示：4.观察折叠后的形状与初始三角形的关系。
可以发现，折叠后得到了一个等腰梯形。
如图所示：5.根据需要，可以进行多次折叠。
例如，我们再次选择底边作为折叠边，并将另外两条边沿着折叠边折叠，得到一个更复杂的图形。
如图所示：解题技巧在解决三角形折叠问题时，有一些技巧可以帮助我们更快地找到答案：1.观察初始三角形的特点：初始三角形的形状和大小对折叠后的图形有很大影响。
因此，在解题前应先观察初始三角形的特点，并考虑其可能的折叠结果。
2.找到适合的折叠边：选择合适的折叠边是解题的关键。
折叠边的选择应根据初始三角形的形状和题目要求进行，常用的折叠边有底边、高、中线等。
3.利用对称性：在折叠过程中，利用三角形的对称性可以简化计算。
例如，在等腰三角形中，可以通过将折叠边与底边重合来得到对称的图形。
4.多次折叠：通过进行多次折叠，可以得到更复杂的图形。
这可以帮助我们进一步分析折叠后的形状与初始三角形之间的关系。
总结三角形折叠问题是一个有趣且具有挑战性的数学问题。
2016河南公务员考试行测：图形折叠备考技巧
2016河南公务员考试行测：图形折叠备考技巧2016年河南省公务员考试预计将于下半年举行，现在距离考试还有比较充裕的一段时间，抓住这段时间积极备考是应试者现在应该着手开始的工作。
下面，京佳教育公考研究专家就结合以往河南省公务员考试中图形推理的考试特点，对如何备考“图形折叠”为大家指点迷津。
一、2011——2015年河南省考“图形折叠”分析2011——2015年河南省考“图形折叠”分析从上表可知：近5年河南省公务员考试除了2011年、2012年没有涉及“图形折叠”这一考点，其余年份均对这一考点进行了考查，且题量均为1道题，题目具有一定难度。
很明显，图形折叠已经成为河南省考图形推理中最基本的考点之一，这就要求应试者在备考中一定要将此考点作为复习备考的重点之一。
二、了解基本的图形折叠知识图形的折叠是指将一个平面图形折叠成为一个立体图形的过程。
题目通常是给出一幅平面图形，要求在四个备选的图形中选出可以(或不可以)由左侧图形折叠而成的一个。
【例】下列选项中，能由左边图形折叠而成的是( )。
【京佳解析】B图形折叠。
观察左侧图形可知，三个空白面中有一对空白面为相对面，不可能相邻，因此A项错误，排除A;两个含有星星图案的面为相对面，不可能相邻，排除CD项;B项可以由左侧图形折叠而成。
故选B。
在这里要正确解答上述题目就要用到“相对面不相邻”这一重要的解题技巧，因此掌握相应的解答“图形折叠问题”的技巧是非常关键的，掌握好了则解题事半功倍;否则，浪费时间，效率低下，不符合行测考试的基本原则。
三、掌握必备解题技巧图形折叠的解题方法有观察特殊面法、相对面不相邻法、时针顺序法等等。
学会这些方法可以弥补考生空间想象能力不足问题，对于解题亦可起到事半功倍的作用。
(1)观察特殊面法直接观察题目所给出的目标图形中的特殊面，对比选项与之不符的直接排除。
(2)相对面不相邻法空间折叠类题目要结合排除法解题，最常用的排除技巧是相对面不相邻原则。
中考数学几何折叠问题的答题技巧
中考数学几何折叠问题的答题技巧折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题. 考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显.这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求.
折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折1800，使它与
另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中折是过程，叠是结果. 折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用. 所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质.
根据轴对称的性质可以得到：折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴;互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分;对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等; 对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等. 在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题，可以使得解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁.
1、利用点的对称
例1.(2006 年南京市)已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸
片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重合.
(1)如果折痕FG 分别与AD、AB 交于F、G(如图①)，AF=
，求DE 的长;
(2)如果折痕FG 分别与CD、AB 交于F、G(如图②)，△AED 的
外接圆与直线BC 相切，求折痕FG 的长.。