《数字信号处理》课程几个容易混淆的问题

1 系统因果稳定性

系统因果稳定性的判断方法有三种。

第一种是定义法，即因果系统是指某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前时刻的输入，稳定系统是指有界输入产生有界输出。

第二种方法是线性时不变系统的充分必要条件，因果性是指n<0时，冲激响应函数h(n)=0。稳定性是

|()|n h n P ∞

=-∞

=<∞∑。

第三种方法是线性时不变系统的收敛域法，即系统函数H(z)必须在从单位圆到无穷的整个z 域内收敛。

注意第一种判断法是通式，可适用于任何系统，而第二、三种方法仅适用于线性时不变系统。

例题1：判断系统()

()[()]x n y n T x n e

==

的因果稳定性。

解法一：定义法。

y(n)只与x(n)有关，∴是因果系统。 又

|()|,()A

A

x n A y n e e

-<<<∴ 则系统稳定。

解法二：充分必要条件法。

()

()

()0()10|()|||

...1111...n n n n h n n h n h n e e

e e

δδ∞∞

=-∞

=-∞

=<==≠∴==++++++→∞∴∑∑

当时，是非因果系统。又是非稳定系统。

为什么用两种方法得出相反的结论呢? 分析一下, 第一种判断法是通式，可适用于任何系统，而第二、三种方法仅适用于线性时不变系统。那么此系统是否为线性时不变系统呢?由于

1

212

()()

12()

()

1212()()()()()()n n n n ax bx T n n ax bx T n T n aT n bT n ax bx e e e ax bx x x +

⎡⎤=⎣⎦=⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤≠+⎣⎦⎣⎦

+

所以此系统为非线性系统，不能用第二种方法判断。因此，解法一的答案正确。此题告诉我

们，应用定理时要注意定理的应用范围。

2 翻褶移位函数的实现及其z 变换

大多数教科书中分别介绍了移位和翻褶这两种运算。若某序列为x(n)，则x(n+m) 表示x(n)逐项依次左移（m>0）位。x(-n)表示以n=0的纵轴为对称轴将x(n)加以翻褶。那翻褶移位合并起来，如x(-n+m)怎样实现，书中没有给出，很多学生理解有误，表现在求其z 变换上出错。下面举例说明x(-n+m)的含义。

例题2：设x(n)=[1 2 3]，求x(-n+1)及其z 变换。 解法一：

思路：序列先移位后翻褶。用Matlab 画图表示。

-2

2

012

3-2

2

012

3-2

2

012

3

图1. 解法一序列波形图

x(n+1)表示将x(n)左移一位，x(-n+1)表示将x(n+1)翻褶。相应的z 变换：

1

()()()()

1

()()()

()m

m

x n X z x n m X z x n x n m X z X z z z

--↔+↔--↔

-+↔

m=1即为答案。 解法二：

思路：序列先翻褶后移位。用Matlab 画图表示。

-2

2

012

3-2

2

-2

2

0123

图2. 解法二序列波形图

x(-n)表示将x(n) 翻褶，x(-(n-1)) 表示将x(-n)右移一位，而不是左移。相应的z 变换：

1

()()1()()(())()

()

m

x n X z x n x n m x n m X X z z z --↔--↔

-+=--↔

两种解法答案一样。通过这个例题，可注意到x(-n)的移位与x(n)的移位方向相反。

3 卷积与相关

卷积和相关有类似的数学公式，即 线性卷积：()()()m z n x m y n m ∞

=-∞

=

-∑ 线性相关：

*

()()()xy

m n x m m n y r

∞

=-∞

=

-∑

容易混淆。但它们的物理概念完全不同，应用不同。卷积反映了线性时不变系统输入和输出的关系，而相关只是反映两个信号的相似程度，和系统本身的特性无关。例如，语音信号是由激励源与声道传输函数卷积得到，对于浊音部分可通过求自相关函数得到它的基音周期。掌握了概念的物理意义，就不会混淆了。但在数学计算上他们确实有类似的地方，相关可以用卷积形式表示， 如

*

()()()xy m n x m m n y r ∞

=-∞

=

-∑

＝x(n)*y *(-n)

4 四种傅里叶变换的关系

四种傅里叶变换:

连续时间非周期信号的傅里叶变换（CTFT ） 连续时间周期信号的傅里叶级数(CFS) 离散时间非周期信号的傅里叶变换(DTFT) 离散时间周期信号的傅里叶级数(DFS) 之后，

离散傅里叶变换（DFT ）是不是第五种傅里叶变换形式呢？不是。

前四种傅里叶变换揭示出傅里叶变换的真正含义——时域信号和它的频谱的对应关系，一个域的连续或离散，对应变换域的非周期或周期，并且这四种傅里叶变换形式真正表示信号的频谱，而DFT 实际上来自DFS ，只不过仅在时域和频域各取一个周期而已，对应在时域和频域都是离散、有限长序列，它不是一种新的傅里叶变换形式，是为了计算和处理方便引入的。

在讨论其性质时， 无论在时域还是频域都要时刻注意所隐含的周期性,即参于计算的序列是周期序列的一个周期，因而DFT 中的移位为循环移位。

这些傅里叶变换的形式和性质可以对照着记忆。

5傅里叶变换的对称性

一个序列x(n)可以分解为实部x R (n)和虚部x I (n)，也可分解为共轭对称部分x e (n)和反共轭对称部分x o (n)。相应的x(n)的频域值(

)j X e

ω

也可分解为实部

()j R e

X ω

和虚部()j I e

X ω，也可分解为共轭对称部分()j e e X ω和反共轭对称部分()j o e X ω

。