2021届浙江省七彩阳光联盟高三上学期期初联考数学试题Word版含解析

2021届浙江省七彩阳光联盟高三上学期期初联考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{B x y ==，则A B =（ ）A ．{}1,1-B ．{}0C ．{}1,0,1-D ．1,0,1,2【答案】C【解析】计算{|B x x =≤≤，再计算交集得到答案.【详解】{{}{2||20|B x y x x x x ===-≥=≤≤，所以{}1,0,1A B =-.故选：C. 【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于简单题.2．双曲线2213x y -=与双曲线2213y x -=有相同的（ ）． A ．离心率 B ．渐近线C ．实轴长D ．焦点【答案】D【解析】利用双曲线方程得出离心率，渐近线方程，实轴长，焦点坐标即可判断. 【详解】由双曲线的方程2213x y -=得，离心率为3e ==，渐近线方程为3y x =±，实轴长为点为()()2,0,2,0-由双曲线的方程2213y x -=得，离心率为221e ==，渐近线方程为y =，实轴长为2，焦点为()()2,0,2,0-．故选：D 【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质，属于基础题.3．设变量x y ，满足约束条件30,20,20.x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．6B ．5C ．72D ．0【答案】B【解析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】作出满足约束条件的平面区域，如图所示，目标函数即2y x z =-+，z 表示直线与y 轴的截距，根据图像知：当21x y ==，时2z x y =+有最大值为5.故选：B.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.4．某几何体的三视图所示(单位:cm )，则该几何体的体积(单位:3cm )是( )A ．1B ．2C ．3D ．6【答案】D【解析】由三视图还原出原几何体，确定几何体的结构后求体积． 【详解】由三视图知，原几何体是一个正方体在旁边挖去一个三棱柱，尺寸见三视图， 其体积为31221262V =-⨯⨯⨯=． 故选：D ． 【点睛】本题考查三视图，考查柱体的体积．解题关键是由三视图还原出原几何体． 5．若0a b +>，则（ ） A ．ln ln 0a b +> B ．330a b +>C ．tan tan 0a b +> D ．a b >【答案】B【解析】由a b >-得()333a b b >-=-，所以330a b +>，其他选项用特殊值法排除，得到答案. 【详解】由a b >-得()333a b b >-=-，所以330a b +>.对于A ，取1a b ==，不成立；对于C 取a b π==，不成立；对于D 取1a b ==，不成立. 故选：B. 【点睛】本题考查了不等式的性质，取特殊值排除可以快速得到答案，是解题的关键.6．“点(),a b 在圆221x y +=内”是“直线10ax by ++=与圆221x y +=相离”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据点与圆，直线与圆的位置关系判断即可. 【详解】若点(),a b 在圆221x y +=内，则221a b +<则圆心O 到直线10ax by ++=的距离2211d a b=>+则直线10ax by ++=与圆221x y +=相离 反之直线10ax by ++=与圆221x y +=相离，则圆心O 到直线10ax by ++=的距离2211d a b=>+，即221a b +<，则点(),a b 在圆221x y +=内所以“点(),a b 在圆221x y +=内”是“直线10ax by ++=与圆221x y +=相离”的充分必要条件故选：C 【点睛】本题主要考查了充分必要条件的判断，涉及点与圆，直线与圆的位置关系，属于基础题. 7．函数()2cos x x f x x+=，[)(],00,x ππ∈-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据定义域排除C D 、，()210f πππ-=>，排除B ，得到答案. 【详解】根据定义域排除C D 、，()210f πππ-=>，排除B . 故选：A. 【点睛】本题考查了图像的识别，利用排除法可以快速得到答案，是解题的关键.8．如图，四棱锥S ABCD -中，底面是正方形，各侧棱都相等，记直线SA 与直线AD 所成角为α，直线SA 与平面ABCD 所成角为β，二面角S AB C --的平面角为γ，则（ ）A ．αβγ>>B ．γαβ>>C ．αγβ>>D ．γβα>>【答案】C【解析】过S 作SO ⊥平面ABCD ，过O 分别作OE BC OF CD ⊥⊥，于E F 、，连接OC SE SF ，，，则SCE SCO SFO αβγ∠=∠=∠=，，，比较大小得到答案.【详解】如图，过S 作SO ⊥平面ABCD ，过O 分别作OE BC OF CD ⊥⊥，于E F 、， 连接OC SE SF ，，，则SCE SCO SFO αβγ∠=∠=∠=，，，因为sin sin SE SO SC SCαβ=>=，所以αβ>， 又因为tan tan SO SE OF CE γα=<=，所以γα<，而tan tan SO SOOF OCγβ=>=，所以γβ>， 综上可得，αγβ>>， 故选：C.【点睛】本题考查了直线夹角，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．设()xf x e bx c =++，若方程()f x x =无实根，则（ ）A ．1,1b c ><B ．1,1b c >>-C ．1,1b c ≤<D ．1,1b c ≤>-【答案】D【解析】()f x x =无实根，当x →+∞时，()f x →+∞，故()f x x >恒成立，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】()f x x =无实根，当x →+∞时，()f x →+∞，故()f x x >恒成立，即()1xe b x c >--对任意实数x 恒成立，根据图像知：101b c ->-<，，或1b =，0c -≤，故选：D.【点睛】本题考查了函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，画出图像是解题的关键. 10．已知数列{}n a 满足()()1211n n n n a a n +++=-，前n 项和为n S ，且20191009m S +=-，下列说法中错误．．的（ ） A ．m 为定值 B ．1m a +为定值C ．20191S a -为定值D ．1ma 有最大值【答案】A【解析】当2n k =时，()()2122121k k k k a a k +++=-，计算11m a +=，201911010S a ，114ma ≤得到答案.【详解】当2n k =时，由已知得()()2122121k k k k a a k +++=-，所以()()()201912320191234520182019S a a a a a a a a a a a =+++⋅⋅⋅+=+++++⋅⋅⋅++1112468102018100820181010a a a =-+-+-+⋅⋅⋅-=+-=-，故2019111010,10101009S a m a -=-+-=-，故11m a +=，所以211124m a ma +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭， 112m a ==时等号成立. 故选：A. 【点睛】本题考查了数列的求和，确定()()2122121k k k k a a k +++=-是解题的关键，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、填空题11．设()2lg xf x x =+，则()1f =____________，()()25f f += ____________.【答案】2 37【解析】直接代入数据计算得到答案. 【详解】()()()2512,252lg 22lg537f f f =+=+++=.故答案为：2；37. 【点睛】本题考查了函数值的计算，属于简单题.12．已知两条平行直线1:10l ax y ++=与2:30l x y -+=的距离为d ，则a =____________，d = _________.【答案】-1 【解析】根据直线平行和平行直线距离公式得到答案. 【详解】因为12l l ，所以1a =-，两直线的距离为d ==故答案为：-1；【点睛】本题考查了根据平行求参数，平行直线的距离，意在考查学生的计算能力. 13．已知正项等比数列{}n a 满足11a =，26719116a a a a a =，则n a = _______，数列{}2log n a 的前n 项和为______.【答案】12n -+ ()12n n --【解析】直接利用等比数列公式计算得到12n n a -+=，再计算等差数列和得到答案.【详解】由11a =，26719116a a a a a =得451116a a q ==，12q =，11122n n n a --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，而2log 1n a n =-+，所以{}2log n a 的前n 项和为()12n n --.故答案为：12n -+；()12n n --.【点睛】本题考查了等比数列通项公式，等差数列求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.14．在ABC 中，312120a b c B =+==︒，，，则b c -=____________，()sin B C += ____________.【答案】【解析】根据余弦定理计算得到75b c ==，，再利用正弦定理计算得到答案. 【详解】由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-，2293b c c =++，即()()93b c b c c +-=+， 453b c -=，所以75b c ==，，2b c -=，而7sin sin a A B =，故3sin A =()sin sin A B C =+=.故答案为：2【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.15．已知F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，P 为C 上一点O 为坐标原点，若POF 为等边三角形，则C 的离心率为____________.1【解析】设F 为椭圆C 的右焦点，P 为椭圆C 在第一象限内的点，由题意可知2c P ⎛ ⎝⎭，代入计算得到答案. 【详解】设F 为椭圆C 的右焦点，P 为椭圆C 在第一象限内的点，由题意可知2c P ⎛ ⎝⎭，代入椭圆方程得22223144c c a b +=，即222341e e e+=-，解得1e =.1. 【点睛】本题考查了椭圆离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.16．已知函数()1f x，若存在121,,,116n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x f x -++⋅⋅⋅+=，则正整数n 的最大值为____________. 【答案】4【解析】根据单调性得到()11,34f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，要使正整数n 尽可能大，则可以是5111344++=，得到答案.【详解】当1,116x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()1f x =-单调递减，故()11,34f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 要使正整数n 尽可能大，则可以是5111344++=，故n 的最大值为4.故答案为：4. 【点睛】本题考查了函数的单调性，值域，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.17．已知向量a ，b 满足，4a =，() R b ta t -∈的最小值为1，当()b a b ⋅-最大时，2a b -= ________.【答案】2【解析】设OA a =，OB b =，由题意知4OA =，B 点到直线OA 的距离为1，计算()243b a b BC ⋅-=-≤，故22a b BC -=，得到答案. 【详解】设OA a =，OB b =，由题意知4OA =，B 点到直线OA 的距离为1，设OA 的中点为C ，2BA BO BC +=，2BA BO CA -=，故22BO BA BC CA ⋅=-. 则()()()2224413b a b OB OA OB BO BA BC CABC ⋅-=⋅-=-⋅=--=-≤-=，当且仅当1BC =时，等号成立，此时，2222a b OA OB BC -=-==. 故答案为：2.【点睛】本题考查了向量的数量积，向量的模，意在考查学生的计算能力和转化能力.三、解答题18．已知函数()()2cos cos 3sin 1,R f x x x x x =-∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和对称轴；（Ⅱ）求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最值及相应的x 值. 【答案】（Ⅰ）周期为π，对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈；（Ⅱ）当6x π=时，()f x 有最大值2；当2x π=时，()f x 有最小值1-【解析】（Ⅰ）化简得到()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，得到周期和对称轴.（Ⅱ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，得到值域. 【详解】（Ⅰ）()()2cos cos 3sin 1cos23sin 2f x x x x x x =+-=+2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 故函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 函数()f x 的对称轴方程满足2,62x k k Z πππ+=+∈，即,26k x k Z ππ=+∈. （Ⅱ）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 因此当6x π=时，()f x 有最大值2；当2x π=时，()f x 有最小值1-.【点睛】本题考查了三角函数的周期，对称轴，值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19．如图，ABCDFE 是由两个全等的菱形ABEF 和CDFE 组成的空间图形，2AB =，∠BAF ＝∠ECD ＝60°.（1）求证：BD DC ⊥；（2）如果二面角B －EF －D 的平面角为60°，求直线BD 与平面BCE 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（227【解析】（1）取EF 的中点G ，连接BG 、DG ，,BF DE .利用菱形的性质、等边三角形的性质分别证得EF BG ⊥，EF DG ⊥，由此证得EF ⊥平面BDG ，进而求得EF BD ⊥，根据空间角的概念，证得BD DC ⊥.（2）根据（1）得到BGD ∠就是二面角B EF D --的平面角，即60BGD ∠=︒，由此求得BD 的长.利用等体积法计算出D 到平面BCE 的距离h ，根据线面角的正弦值的计算公式，计算出直线BD 与平面BCE 所成角的正弦值.【详解】（1）取EF 的中点G ，连接BG 、DG ，,BF DE .在菱形ABEF 中， ∵60BAF ∠=，∴BEF ∆是正三角形，∴EF BG ⊥，同理在菱形CDEF ，可证EF DG ⊥，∴EF ⊥平面BDG ，∴EF BD ⊥， 又∵//CD EF ，∴CD BD ⊥.（2）由（1）知，BGD ∠就是二面角B EF D --的平面角，即60BGD ∠=︒， 又3BG GD ==，所以BDG ∆是正三角形，故有3BD =，如图，取DG 的中点O ，连接BO ，则BO DG ⊥，又由（1）得EF BO ⊥， 所以，BO ⊥平面CDFE ，且32BO =，又BD CD ⊥，在直角BDC ∆中，7BC =， 所以173774244BCE S ∆=⋅⋅-=，设D 到平面BCE 的距离为h ，则 11333433242B DCE DCE V BO S -∆=⋅=⨯⨯⨯=， 113733342D BCE BCE V h S h -∆=⋅⋅=⨯⨯=，所以2217h =， 故直线BD 与平面BCE 所成角正弦值为277h BD =.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对一切*n N ∈，有333212n n a a a S ++⋅⋅⋅+=. 求证：（Ⅰ）对一切n ∈N ，有2112n n n a a S ++-=；（Ⅱ）数列{}n a 是等差数列； （Ⅲ）对一切*n N ∈，212313na ⋅⋅⋅<. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）333212n n a a a S ++⋅⋅⋅+=，333321211n n n a a a a S ++++⋅⋅⋅++=，相减化简得到答案. （Ⅱ）2112n n n a a S ++-=，2122()nn n a a S n --=≥，相减得到11(2)n n a a n +-=≥，得到证明. （Ⅲ）n a n =n.【详解】（Ⅰ）由333212n n a a a S ++⋅⋅⋅+=，得333321211n n n a a a a S ++++⋅⋅⋅++=，两式相减得()3221111n n n n n n a S S a S S ++++=-=+，因为n a >0，所以21112n n n n n a S S S a +++=+=+，所以，对一切*n N ∈，有2112n n n a a S ++-=. （Ⅱ）2112n n n a a S ++-=可得2122()nn n a a S n --=≥， 两式相减得，221122()n n n n n a a a a a n ++--+=≥，即()22112n n n n a a a a n ++-=+≥， 由于0n a >，所以11(2)n n a a n +-=≥，又1n =时，解得11a =；2n =时，()223211a a +=+，解得22a =，满足11n n a a +-=，因此对一切*n N ∈，都有11n n a a +-=，即{}n a 是等差数列. （Ⅲ）由（Ⅱ）知n a n =，而当2n ≥时，()3 1n=<===<-，所以当2n≥时，21231111na+⋅⋅⋅<+⋅⋅⋅-232=+--<，又当1n=时，212313na++⋅⋅⋅+<显然成立，所以对一切*n N∈，212313na+⋅⋅⋅<.【点睛】本题考查了等差数列的证明，证明数列不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．过抛物线()220y px p=>外一点P向抛物线作两条切线，切点为M、N，F为抛物线的焦点.证明：（1）2PF MF NF=；（2）PMF FPN∠=∠.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】设P()00,x y，M()11,x y，N()22,x y.易求得切线PM：()11y y p x x=+，切线PN：()22y y p x x=+.因为点P在两条切线上，所以，()()10012002y y p x x y y p x x=+=+，.故点M、N均在直线()00y y p x x=+上.于是，()00:MNl y y p x x=+.联立()0022y y p x xy px⎧=+⎨=⎩，()()22002p x x pxy⇒+=22200020y x x x x p ⎛⎫⇒+-+= ⎪⎝⎭.由韦达定理知2201201202y x x x x x x p ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，.（1）易知，F ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭.由抛物线的第二定义得12p MF x =+，22p NF x =+ 1222p p MF NF x x ⎛⎫⎛⎫⇒=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2121224p p x x x x =+++222004p x y px =+-+ 222002p x y PF ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.因此，2PFMF NF =.（2）由00,2p FP x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,2p FM x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，22,2p FN x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，知 ()00112010101,,2224p p FP FM x y x y p px x x x y y ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+++()()()20101012010101242422p p x x x x p x x p p x x x x p p x x =-++++=+++⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又12pMN x =+，则 01012222FP FM cos PFM FP MFp p p x x x p FP FP x ⋅∠=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 类似地，02cos px PFM FP+∠=故cos cos PFM PFN ∠=∠PFM PFN ⇒∠=∠.结合2PFMF NF =，得MFP PFN PMF FPN ∆∆⇒∠=∠∽22．已知函数()xf x e mx =-.（Ⅰ）2m =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0x >时，不等式()()2220x f x mx -++>恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）单调递增区间为()ln 2,+∞，单调递减区间为(,ln 2)-∞；（Ⅱ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（Ⅰ）求导得到()2x f x e '=-，得到单调区间.（Ⅱ）()()222xg x x e mx =-++，求导根据单调性得到12m >-，讨论1122m -<<和12m ≥两种情况，分别计算函数的最值得到答案. 【详解】（Ⅰ）当2m =时，()2xf x e x =-，则()2xf x e '=-，当ln 2x >时，()0ln 2f x x '><；时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为()ln 2,+∞，单调递减区间为(,ln 2)-∞.（Ⅱ）设()()()()()()222222222x xg x x f x mx x e mx mx x e mx =-++=--++=-++，而()()12x g x x e m '=-+，令()()12x h x x e m =-+，则()xh x xe '=.于是当x>0时，()()0h x h x '>，为增函数，又由()2420g m =+>，知12m >-. （1）若1122m -<<，则()0120g m '=-+<，()2220g e m '=+>. 此时()g x '在区间()0,2上有唯一零点，设为0x ，则00x x <<时，()0g x '<. 故()g x 在区间[]00,x 上为减函数，()()000g x g <=，因此，1122m -<<不符合要求. （2）若12m ≥，则0x >时，()()0120g x g m ''>=-+≥， 此时()g x 在区间[0,)+∞上为增函数. 故0x >时，()()00g x g >=，因此12m ≥符合要求， 综上，m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了函数的单调区间，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。