结构力学教案--力法3

15.3 力法的计算步骤和示例（二）
一次超静定钢架
【例】作图 (a)所示连续梁的内力图。

EI 为常数。

【解】(1) 选取基本结构 此结构为一次超静定梁。

将B 点截面用铰来代替，以相应的多余未知力X1代替原约束的作用，其基本结构如图 (b)所示。

(2) 建立力法方程 位移条件：铰B 两侧截面的相对转角应等于原结构B 点两侧截面的相对转角。

由于原结构的实际变形是处处连续的，显然同一截面两侧不可能有相对转动或移动，故位移条件为B 点两侧截面相对转角等于零。

由位移条件建立力法方程如下
δ11X1+Δ
1P=0
(3) 计算系数和自由项 分别作基本结构的荷载弯矩图MP 图和单位弯矩图M1图，如图19.13(c)、(d)所示。

利用图乘法求得系数和自由项分别为
(4) 求多余未知力 将以上系数和自由项代入力法方程，得
(5) 作内力图 ① 根据叠加原理作弯矩图，如图 (e)所示。

② 根据弯矩图和荷载作剪力图，如图 (f)所示
11212(11)233l
l EI EI
δ=⨯⨯⨯=
2
1(32)48P P ql l EI
+∆=-
2
112(32)0348(32)32
l P ql l X EI EI
P ql l X +-=+=
15.3 力法的计算步骤和示例（三） 铰接排架
【例】计算图 (a)
所示排架柱的内力，并作出弯矩图。

【解】(1) 选取基本结构 此排架是一次超静定结构，切断横梁代之以多余未知力X1得到基本结构如图 (b)所示。

(2) 建立力法方程 δ11X1+Δ
1P=0
(3) 计算系数和自由项 分别作基本结构的荷载弯矩图MP 图和单位弯矩图M1图如图 (c)、(d)所示。

利用图乘法计算系数和自由项分别如下
(4) 计算多余未知力 将系数和自由项代入力法方程，得
解得
X1=-5kN
(5) 作弯矩图 按公式M=M1X1+MP 即可作出排架最后弯矩图如图 (e)所示。

13521760
033X EI EI
+=
15.6 超静定结构的位移计算 一次超静定钢架
用力法计算超静定结构，是根据基本结构在荷载作用和全部多余未知力共同作用下内力和位移应与原结构完全一致这个条件来进行的。

也就是说，在荷载及多余未知力共同作用下的基本结构与在荷载作用下的原超静定结构是完全相同的。

计算超静定结构的位移时可以用原超静定结构已经求出的弯矩图与静定的基本结构的单位荷载弯矩图用图乘法求位移，具体步骤是：
(1) 绘出原超静定结构的弯矩图(即MP 图)
；
(2) 选择一个最简单的基本结构作为虚拟状态，并绘出相应的弯矩图(即M 图)； (3) 按图乘法求位移。

【例】试求图 (a)所示超静定刚架横梁BC 中点D 的竖向位移ΔDV 。

【解】绘出刚架的弯矩图如图(b)所示，再将此图改成易于图乘的简单的图形组合，如图(c)
所示。

采用悬臂刚架作为基本结构，并绘出单位荷载作用于D 点的弯矩图如图(d)所示。

因此
22241213172
(43282123181)23033()160DV qa a a qa a a EI qa a a qa EI ∆=
-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=↓
16.1 位移法的基本原理
本章重点介绍建立典型方程这种方法，要求熟练掌握位移法基本结构的确定、位移法方程的建立、系数及自由项的计算以及结构内力图的绘制。

学习本章的目的，除主要为掌握位移法的基本原理和计算方法外，还为以后学习其它的超静定结构计算方法如力矩分配法等打下基础。

位移法是以节点位移作为基本未知量
求解超静定结构的方法。

位移法是以结点位移(线位移和角位移)作为基本未知量，以单跨梁系作为基本结构的。

结构的结点位移对于基本结构中的单跨梁来说是杆端位移，分布在结构上的荷载表现为单跨梁的荷载。

在位移法计算过程中，需要建立各等截面直杆的杆端力(杆端弯矩和杆端剪力)与杆端位移、杆上荷载的关系式，通常称这种关系式为转角位移方程。

图20.1(a)所示刚架结构在荷载作用下，截取杆件AB如图20.1(b)所示，用MAB和MBA 表示杆端弯矩，QAB和QBA表示杆端剪力。

杆端弯矩正负号规定为：对杆端而言，杆端弯矩以顺时针转向为正；对结点或支座而言，则以逆时针转向为正(图20.1(c))。

图中所画的杆端弯矩都是正的。

图20.2(a)所示两端固定梁AB，A、B端分别发生转角φA、φB，两端产生垂直于梁轴的相对侧移Δ，其中AB′与水平方向的夹角称为弦转角，用φAB或φBA表示。

以上各种位移的正、负号规定为：杆端转角φA、φB以及弦转角都以顺时针转角为正；线位移Δ的正、负号应与弦转角φAB一致，即右端下沉、左端上升为正。

图20.2中所画各种位移均为正。

为区别杆端位移产生的杆端力，我们把荷载在梁上产生的杆端弯矩、杆端剪力称为固端弯矩、固端剪力，并以MF、QF表示。

图20.1
图20.2
16.2 位移法的基本未知量与基本体系
力法的基本未知量是未知力，
位移法的基本未知量是节点位移。

(节点是指计算节点)。

节点位移分为节点角位移和节点线位移两种。

每一个独立刚节点有一个转角位移(基本未知量)，是整个结构的独立刚节点总数。

角位移数为6 角位移数为1
对于结点线位移，由于忽略杆件的轴向变形。

这两个节点线位移中只有一个是独立的，称为独立节点线位移。

独立节点线位移为位移法一种基本未知量。

独立节点线位移的数目可采用铰接法确定(即将所有刚性结点改为铰结点后，添加辅助链杆使其成为几何不变体的方法) 。

“限制所有节点线位移所需添加的链杆数就是独立节点线位移数”。

独立节点线位移数为1 独立节点线位移数为2
16.3 位移法的典型方程
基本结构受荷载及结点转角Z1、Z2共同作用，根据基本结构附加刚臂上的反力矩等于零这一条件，按叠加法可建立位移法典型方程如下：
r11Z1+r12Z2+R1P=0
r21Z1+r22Z2+R2P=0
例如：r11为Z1=1产生的刚臂1的反力矩，r12为Z2=1产生的刚臂1的反力矩，R1P为荷载产生的刚臂1的反力矩；r21为Z1=1产生的刚臂2的反力矩，r22为Z2=1产生的刚臂2的反力矩，R2P为荷载产生的刚臂2的反力矩。

无结点线位移（无侧移）钢架的计算
【例】用位移法计算图(a)所示刚架，并绘M图。

【解】此刚架具有两个刚结点B和C，无结点线位移，其基本结构如图(b)所示。

列位移法典型方程：
r11Z1+r12Z2+R1P=0
r21Z1+r22Z2+R2P=0
分别绘出M1图(图(c))、M2图(图(d))和MP图(图(e))。

各系数和自由项分别计算如下：r11=∑M杆端=4i+8i=12i
r21=r12=4i
r22=8i+6i+4i=18i
R1P=∑M固端+m=-26.67-10=-36.67kN·m
R2P=26.67-30=-3.33kN·m
将上述所求系数和自由项代入位移法方程，解得Z1=3.23/iZ2=-0.53/i 按叠加法公式M=M1Z1+M2Z2+MP绘出最后弯矩图如图(f)所示。

有结点线位移（有侧移）钢架的计算
【例】用位移法计算图1(a)所示刚架，并绘M 图
【解】此刚架具有一个独立转角Z1和一个独立线位移Z2。

在结点C 加入一个附加刚臂和附加支杆，便得到图1(b)所示的基本结构。

根据附加刚臂和附加支杆上的反力矩和反力应等于零的条件，可建立
位移法方程如下：
r11Z1+r12Z2+R1P=0
r21Z1+r22Z2+R2P=0
分别绘出M1图（图1(c)）、M2图（图1(d))和MP 图（图1(e))。

求第一个方程中的系数和自由项：这些系数和自由项都是刚臂的反力矩，可根据物理意义由刚臂所在结点的平衡条件∑M=0求出，实际上可按由此平衡条件推出的相应公式直接写出。

由M1图：
r11=∑M 杆端
=3i+4i=7i
由M2图：
r12=-3/2i
由MP 图:
R1P=∑M 固端
=0
求第二个方程中的系数和自由项：这些系数和自由项都是附加支杆的反力，可根据物理意义由包含附加支杆反力的截面平衡条件∑X=0求出，或按由此平衡条件推出的相应公式直接计算。

求r21可在M1图上经二柱顶引截面，根据柱端弯矩计算出作用于柱顶的剪力，取其上部为隔离体(图2(a))，由∑X=0：
r21-QCD=0 故
r21=QCD=r12
为求r22，可在M2图上引截面，由隔离体(图2(b))的平衡条件∑X=0，可推出计算公式如下：
22221
2123i i
r l l
=+∑∑
∑被截柱顶剪力＝
对于本例：
同理可求得R2P ，由MP
图：
R2P=∑被截柱顶剪力
+P
故
R2P=-60kN 将上述所求系数和自由项代入位移法方程，解得
Z1=20.87/I Z2=97.39/i 按叠加法公式M=M1Z1+M2Z2+MP 绘出最后弯矩图如图1(f)所示
图1
图
2 2222121231544
16i i i r =+=∑∑。