结构力学龙驭球力法
结构力学
1．杆件结构——这类结构是由杆件所组成。杆件的几何特征是横截面尺寸要比长度小得多。梁、拱、桁架、刚架是杆件结构的典型形式。
当我们拿到了一个结构对它进行几何组成分析时，我们一般可以遵循这样的步骤来进行：
首先，我们可以试着利用结构几何组成的四个规律（即三个规则或称为：“三角形规律”）来对这个结构进行分析，1、三根支杆，只看本身，四根支杆，基础算刚片；2、尽可能去掉二元体，扩大刚片，等效替换，简化结构；3、利用“两刚片规则”；4、利用“三刚片规则”（顺藤摸瓜法）；
其次，从结构的概念——建筑物和工程设施中承受、传递荷载而其骨架作用的部分成为工程结构、简称结构。我们可以看出结构在民用和军用设施中都是无处不在的，我院作为全军工程兵的最高学府，工程兵的八大专业：桥梁、道路、渡河、地雷、爆破、筑城、伪装、机械，有四大专业：桥梁、道路、爆破、筑城是直接构筑在结构力学之上的，其他的四个专业也都与结构力学密不可分。
（3） 三个虚铰在无限远处
三刚片分别用三对任意方向的平行链杆相联结，均为瞬变体系。
对于一般按照三角形规律组成的体系，以上的步骤就可以奏效，但我们知道，满足三角形规律只是结构几何不变的必要条件，即结构还可以按其它组成规律组成几何不变体系，上述方法如若不行；第二步，计算一下结构的计算自由度W。引入计算自由度W，可以根据W得到一些关于自由度S和多余约束n的定性结论。
作题练习，是学习结构力学的重要环节。不作一定数量的习题，就很难对基本概念和方法又深入的理解，也很难培养好的计算能力。但是作题也要避免各种盲目性。举例如下：
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第5章静定结构位移计算的虚力法
5.1 复习笔记
本章重点介绍了虚力法的原理以及如何运用虚力法对不同结构在各种荷载作用下的指定位移进行求解。
遵循“化整为零、积零为整”的思想，对结构的局部位移公式进行了分项讨论，在虚力法的指导下叠加组成了结构的整体变形公式，随后将虚力法升华到了对广义单位荷载的设定以及对广义位移的求解；通过引入图乘法，结构的弯矩变形公式的求解变得更加快捷且精确；最后介绍了温度影响下结构的位移求解并归纳了线性变形体系的四个互等定理。
一、虚力法求刚体体系的位移（见表5-1-1）
表5-1-1 虚力法求刚体体系的位移
图5-1-1
二、虚力法求静定结构的位移（见表5-1-2）
表5-1-2 虚力法求静定结构的位移
表5-1-3 广义位移分类
三、两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力（见表5-1-4）
表5-1-4 两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力
四、荷载作用时静定结构的弹性位移计算（见表5-1-5）
表5-1-5 荷载作用时静定结构的弹性位移计算
五、图乘法（见表5-1-6）
表5-1-6 图乘法
图5-1-2 六、温度改变时静定结构位移计算（见表5-1-7）。
《结构力学》_龙驭球_第6章_力法(1)
X2=1
l M2 图
1 l l l l3 12 21 l (l l ) EI 2 2 EI
l
l
l
l
ql 2 2
EI
EI
原结构
X1=1
l
1、力法方程：
基本体系
M1 图 l
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
3
l
1 l l 2l 5l 2、系数和自 11 ( ) 2 ( l l l ) 由项的计算： EI 2 3 3EI
解方程得： X 1 ql 2
X2=1
A
1
M2图
(
1 2 1 X 2 ql 4 3k 4
E1 I1 k) E2 I 2
1 2
1 3k 4
1 2 1 X 1 ql 2 3k 4 3. 讨论 1）当k = 0
即 E1 I1 很小或 E2 I2 很大
ql X1 8
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
3
q=1kN/m
3m
q=1kN/m
FP = 3kN 4 2I I 2I 2 1
3m 3m
FP = 3kN
18
27
9
M P kN m
3m
X1
11
X2
6
6
§6-3 超静定刚架和排架
计算超静定刚架和排架位移时，通常忽略轴力和剪力的影响，只考虑弯 矩的影响，使计算简化。 例6-1：求图示刚架 M 图。 q q C X1 B
结构力学(龙驭球)第八章
第八章 位移法总结
(2) 利用与位移相应的隔离体的平衡条件建立平衡方程； (3) 解方程求出结点位移； (4)将结点位移代入杆端力方程从而求出杆端内力。
2.基本体系法 基本体系法是利用附加约束的基本原理建立位移法典 型方程。 步骤： (1) 确定基本未知量。将原结构有角位移和线位移的 结点分别加上阻止转动的刚臂和阻止移动的支座链杆，附 加刚臂和附加支座链杆数之和即为位移法的基本未知量； (2) 由附加约束上约束力为零的条件，建立位移法方程 kijj+Fi p=0 (i,j=1,2,…,n)； (3) 在基本结构上分别绘制在各附加约束分别产生单 位位移Δj =1下的弯矩图 M 及荷载作用下的弯矩图MP j
BB3= ⊿B sin45°= ⊿2
第八章 位移法总结
A
(b ) F B C F
2 EI l
1P
l/ 2
(c)
2P
k
M
P
F 4i k F (2) 作M2图。由以上叙述可知BC 杆两端有相对侧移BB3 ， EI 2 因此在图f中 l (d ) 6(e ) i
B
2 EI l l/ 2 M
1 1 F /5 6 A 3 F /5 6 B
(b ) F B l/ 2 C F B
(c ) F C D 3 F /2 8
(d )
解：本题中刚架ECFHG是基本部分，CBA是附属部 分。首先求附属部分：由于C点无水平和竖向线位移，故 可将CBA化为图b的结构，用位移法计算，弯矩图如图c所 示。
第八章 位移法总结
(4) 从材料性质看，只能用于弹性材料。
第八章 位移法总结
2、位移法基本未知量的选取原则 位移法的基本未知量的数目等于独立结点角位移数 加上独立结点线位移数。 (1) 独立的结点角位移数目的确定：为使结点不发生 角位移，需要在结点施加附加刚臂，附加刚臂数等于全 部刚结点和半铰结点的结点转角数目。但需注意：铰结 点的角位移不作为基本未知量。例如图a中，A为刚结点， B为半铰结点，故有两个独立角位移；而图b中B为刚结 点，A为铰结点，故只取B 点转角为独立角位移。
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第6章力法一、选择题1．图6-1所示结构的弯矩图轮廓是（选项见图）（）。
[浙江大学2012研]图6-1【答案】A【解析】B项，将支座位移分成正对称和反对称两种情况来分析，在Δ/2正对称位移作用下，弯矩图为0；在Δ/2反对称位移作用下，弯矩图为反对称。
CD两项，根据竖杆的弯矩图判断出CD两项的两柱都有水平方向的剪力且方向相同，但由于原结构上无荷载作用，不满足∑=0F。
x2．设图6-2所示结构在荷载作用下，横梁跨中产生正弯矩。
现欲使横梁跨中产生负弯矩，应采用的方法是（）。
[哈尔滨工业大学2012研]A．减小加劲杆刚度及增大横梁刚度B．增大加劲杆刚度及减小横梁刚度C．增加横梁刚度D．减小加劲杆刚度图6-2【答案】B【解析】本题关键在于中间的竖杆。
当竖杆EA→0时，相当于没有竖杆，这时水平杆为简支梁，跨中弯矩为正弯矩；当竖杆EA→∞时，相当于刚性支座杆，这时水平杆为双跨梁，跨中弯矩为负弯矩。
因此增大劲杆刚度会使跨中产生负弯矩；同样如果减小横梁刚度，也就相当于劲杆的刚度相对增加了。
3．图6-3（a）、（b）所示两结构（EI＝常数），右端支座均沉降Δ＝1，两支座弯矩关系为（）。
[西南交通大学2009研]A．M B＞M DB．M B＝M DC．M B＜M DD．MB＝－M D图6-3【答案】C【解析】画出6-3（a）、（b）两图对应的图及支座位移引起的位移图，分别见图6-3（c）、（d）、（e）、（f），对应的力法方程分别为δ11X1＋Δ1C＝0和。
两式系数的关系为：，[因为图乘时图6-3（c）中斜杆的长度大于图6-3（e）中相应直杆的长度]，因此，而，所以M B＜M D。
二、填空题1．原结构及温度变化（E 1I1，）下的M图如图6-4所示，若材料的有关特性改为（E2I2，），且/＝1.063，E1I1/E2I2＝1.947，以外侧受拉为正，则M B＝________。
[天津大学2008研]图6-4【答案】61.84kN·m【解析】根据已知条件得：，因此M B缩小为原来的2.07倍，即M B2＝128/2.07＝61.84kN·m。
龙驭球《结构力学Ⅰ》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(中册)-第七章【圣才出品】
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（b）如图 7-2-3 所示。
图 7-2-2
图 7-2-3 ①当α≠0 时，结点 A、B、C、E、F、G 有转角，AB、FG 有水平位移，C、E 点有两个 水平位移，所以基本未知量有 10 个，分别是θA、θB、θC、θE、θF、θG、ΔA、ΔG、ΔC、ΔE。 ②当α＝0 时，结点 A、B、C、E、F、G 有转角，AB、FG 有水平位移，CDE 有水平位 移，D 点有竖向位移，所以基本未知量有 10 个，分别是θA、θB、θC、θE、θF、θG、ΔA、Δ G、ΔC、ΔVD。 （c）如图 7-2-4 所示。 ①当不考虑轴向变形时，结点 A、B、C 有转角，整体有一个水平位移，所以基本未知 量有 4 个，分别是θA、θB、θC、Δ。
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②当考虑轴向变形时，A、B、C 三个结点都有独立的转角、竖向位移、水平位移，所 以基本未知量有 9 个，分别是θA、θB、θC、ΔA、ΔB、ΔC、ΔVA、ΔVB、ΔVC。
图 7-2-4 （d）如图 7-2-5 所示。 ①当α≠0 时，结点 B、C 有转角，D 结点有独立的竖向位移，所以基本未知量有θA、θ B、ΔV。 ②当α＝0 时，结点 B、C 有转角，虽然 D 结点有位移，但不是独立的，所以基本未知 量有θA、θB。
图 7-1-8 反对称荷载作用下奇数跨对称结构的半结构选取方法 图 7-1-9 对称荷载作用下偶数跨对称结构的半结构选取方法
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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图 7-1-10 反对称荷载作用下偶数跨对称结构的半结构选取方法 7.2 课后习题详解
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第5章静定结构位移计算的虚力法
5.1复习笔记
本章重点介绍了虚力法的原理以及如何运用虚力法对不同结构在各种荷载作用下的指定位移进行求解。
遵循“化整为零、积零为整”的思想，对结构的局部位移公式进行了分项讨论，在虚力法的指导下叠加组成了结构的整体变形公式，随后将虚力法升华到了对广义单位荷载的设定以及对广义位移的求解；通过引入图乘法，结构的弯矩变形公式的求解变得更加快捷且精确；最后介绍了温度影响下结构的位移求解并归纳了线性变形体系的四个互等定理。
一、虚力法求刚体体系的位移（见表5-1-1）
表5-1-1虚力法求刚体体系的位移
二、虚力法求静定结构的位移（见表5-1-2）
表5-1-2虚力法求静定结构的位移
表5-1-3广义位移分类
三、两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力（见表5-1-4）
表5-1-4两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力
四、荷载作用时静定结构的弹性位移计算（见表5-1-5）
表5-1-5荷载作用时静定结构的弹性位移计算。
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第7章位移法7.1 复习笔记本章重点介绍了位移法的原理以及如何运用位移对超静定结构在各种荷载作用下的内力和位移进行求解。
位移法和力法像一幅对联，是超静定结构分析中的两个基本方法。
力法通过撤除多余约束达到简化计算的目的，而位移法通过添加约束达到此目的。
此外，二者对偶关系总结如下：力法：虚设单位力——求结构柔度——利用变形协调——求解未知约束力——算出结构内力。
位移法：虚设单位位移——求结构刚度——利用受力平衡——求解未知位移——算出结构内力。
两种方法殊途同归，在结构计算中应该综合考虑结构特点和求解目标选取合理的手法，使结构计算更加方便、快捷、准确。
一、位移法的基本概念（见表7-1-1）表7-1-1 位移法的基本概念二、杆件单元的形常数和载常数——位移法的前期工作采用位移法对刚架的等截面杆件进行分析时，杆件端部弯矩受两方面影响：①杆端位移产生的杆端弯矩——形常数；②外荷载产生的固端弯矩——载常数。
1．由杆端位移求杆端内力——形常数（见表7-1-2）表7-1-2 由杆端位移求杆端内力——形常数图7-1-12．由荷载求固端内力——载常数荷载作用下的杆端弯矩和杆端剪力，称为固端弯矩和固端剪力。
由于它们是只与荷载形式有关的常数，所以又称载常数，不同支座形式下杆件的固端弯矩和剪力值见表7-1-3。
表7-1-3 等截面杆件的固端弯矩和剪力三、位移法解无侧移刚架（见表7-1-4）表7-1-4 位移法解无侧移刚架四、位移法解有侧移刚架（表7-1-5）表7-1-5 位移法解有侧移刚架图7-1-2五、位移法的基本体系（见表7-1-6）表7-1-6 位移法的基本体系图7-1-3图7-1-4图7-1-5图7-1-6六、位移法解对称结构（见表7-1-7）表7-1-7 位移法解对称结构。
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图 12-12
实际结构
基本体系
图 12-8
1．分区混合法的基本未知量和基本体系
a 区：多余约束少，结点位秱多的部分——用力法分析，基本体系去除多余约束；
b 区：多余约束多，结点位秱少的部分——用位秱法分析，基本体系中附加约束。
2．混合法的基本方程（发形协调条件和平衡方程）
3．基本方程中的四类系数和两类自由项
图 12-9
代入方程组，解得： 叠加法绘制弨矩图
图 12-10 4．分区混合法的典型方程：
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是 a 区不力 X 相应的柔度矩阵； K 是 b 区不位秱 相应的刚度矩阵；
' 是由位秱 引起的沿力 X 方向的位秱影响系数矩阵；
图 12-6
代入方程得； 利用弨矩叠加公式：
绘制弨矩图
图 12-7
二、分区混合法 混合法是指，在所叏的基本未知量中，即有位秱又有力，二者混杂在一起。混合法有两 种应用方式：分区混合法和全区混合法，这里只介绍前者。以图 12-8 为例迚行分析。
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主系数11 ——此即力法中的柔度系数；
主系数 k 22 ——此即位秱法中的刚度系数；
副系数
' 12
——单位位秱
1
1 引起的位秱；
副系数 k1'2 ——单位位秱 X1 1 引起的约束力。
系数和自由项的求法：
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龙驭球《结构力学》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第六章至第七章(圣才出品)
式中 ij 、 ip 分别表示 j 方向的单位力或荷载单独作用下，基本体系沿 i 方向的相应位
移（见图 6-7abc）
图 6-7
求解方程（6-2）中 X 1, X 2 即可得出结构的内力图。
（2）多次超静定 根据二次超静定结构的计算方法，可以推论出：n 次超静定结构，就有 n 个力法方程， 求解即可得到 n 个基本未知量，从而计算出最终的内力图。
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二、力法的基本概念
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1．基本思路
将超定结构的计算转化为静定结构的计算。
力法中三个基本概念是解题的关键。
（1）力法的基本未知量
如图 6-1 中，所示，把 B 点看成多余约束，用未知力代替多余约束，只要计算出多余
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①选取基本体系（去掉结构的多余约束得到静定的基本结构，并用多余未知力代替相应 的多余约束）；
②列出力法方程（根据基本结构在多余未知力和荷载共同作用下，沿多余未知力方向的 位移应与结构在荷载作用下的位移相协调，从而建立力法方程）；
③求系数和自由项（作出基本结构的单位力图和荷载内力图，用图乘法，计算系数和自 由项）；
④求多余未知力（将计算结果代入力法方程中，从而求得多余未知力）； ⑤作内力图（求出多余未知力后，根据平衡条件绘出原结构的内力图）。 （2）力法最大的一个优点是它的物理概念非常明确，容易理解，而且适用于各种结构， 通用性很大。对于超静定次数较少的结构，用力法来求解是很方便的；但如果超静定次数多， 用力法求解时，计算工作量就会很大，此时宜采用其它更为合适的计算方法，比如：位移法， 下章会详细介绍。 （3）力法的典型方程表示结构的变形协调条件，它的形式很有规则，不论结构的形式 如何，荷载或其它外来因素如何，典型方程的形式总是不变的。不过对不同类型的结构，如 刚架、桁架、拱等，在计算位移时会有所不同。
(完整)2012年结构力学(龙驭球、包世华)第三版教学课件
M X1M1 X2 M 2 Xn M n MP Q X1Q1 X2Q2 XnQn QP N X1 N1 X2 N2 Xn Nn NP
(7-4)
2020/2/11
结构力学
33
解题步骤:
① 选取力法基本体系； ② 列力法基本方程； ③ 绘单位弯矩图、荷载弯矩图； ④ 求力法方程各系数，解力法方程； ⑤ 绘内力图。
2C
FP B
M
图
P
A FPa
(c)
2
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结构力学
37
4) 利用图乘法求得各系数和自由项如下：
11
1 EI1
a2 (
2
2a ) 3
a3 3EI1
22
1 2EI1
(a2 2
2a ) 3
1 EI1
(a2
a)
7a3 6EI1
12
21
1 EI1
a2 (
2
a)
2是基本体系上B点沿X2方向的位移，即B点的
竖向位移。
3是基本体系上B截面沿X3方向的位移，即B截
面的转角。
2020/2/11
结构力学
25
3）应用叠加原理把位移条件1=0， 2=0， 3=0写
成展开式。
设11、21和31分别表示当X1=1单独作用在基本 结构上时，B点沿X1、X2和X3方向的位移。如图
11
M 1 M 1dx EI
1 l 2 2l l 2
EI 2 3 3EI
1P
M 1M Pdx EI
1 (1 l ql2 ) 3 l EI 3 2 4
结构力学(龙驭球)第6章_力法
C
B 8 kN m
X3
B X1 X2
A
A
精品课件
24
例6-1：试作图示结构的内力图。I1:I2=2:1
1 1 M E 1M I1d s2 8 E 8 I m 131 4 E 4 I m 235 7 E 6 I m 13
1PM E 1M IPds5120 E kIN 1.m 2 精品课件 25
80 X1 = 9 kN
➢土木工程专业的力学可分为两大类，即“结构力学类”和“弹性力学 类”。
“结构力学类”包括理论力学、材料力学和结构力学，其分析方法具有 强烈的工程特征，简化模型是有骨架的体系（质点、杆件或杆系）， 其力法基本未知量一般是“力”，方程形式一般是线性方程。
“弹性力学类”包括弹塑性力学和岩土力学，其思维方式类似于高等数 学体系的建构，由微单元体（高等数学中的微分体）入手分析，简化 模型通常是无骨架的连续介质，其力法基本未知量一般是“应力”， 方程形式通常是微分方程。
矩明显增大。
精品课梁件 最大弯矩可进一步减小。
37
§6-5 力法解对称结构 内容回顾
n次超静定结构的力法典型方程：
11X1 12X2 21X1 22X2
n1X1 n2X2
1nXn 1P 0
2nXn
2P
0
nnXn nP 0
精品课件
38
§6-5 力法解对称结构
1. 结构的对称性： 例1：
1. 结构的几何形式和支承情况对某轴对称 2. 杆件的截面和材料性质也对此轴对称（EI等）
➢如果一个问题中既有力的未知量，也有位移的未知量，力的部分考虑
位移约束和变形协调，位移的部分考虑力的平衡，这样一种分析方案
称为混合法。
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第6章力法6.1 复习笔记本章重点介绍了力法的原理以及如何运用力法对超静定结构在各种荷载作用下的内力和位移进行求解。
首先，从单次超静定结构到多次超静定结构，对力法的解题步骤进行了归纳并推导出了力法的典型方程；随后，论述了超静定结构超静定次数的判定方法，演示了刚架、排架、桁架、组合结构、对称结构在荷载作用以及支座移动和温度改变下的力法分析步骤，讨论了基于力法和虚功原理的超静定结构的位移计算思路；最后，强调了超静定结构计算中校核的重要性，以确保最终计算结构的准确性和可靠性。
一、力法的基本概念1．力法的基本未知量、基本体系和基本方程力法的基本概念，包括基本未知量、基本体系、基本结构以及基本方程见表6-1-1，此外，表中还归纳了超静定结构的力法分析步骤。
表6-1-1 力法的基本未知量、基本体系和基本方程2．多次超静定结构的力法分析（见表6-1-2）表6-1-2 多次超静定结构的力法分析步骤3．力法典型方程从一次超静定结构的力法分析到二次超静定结构的力法分析，可以发现一定的规律，那么具有n次超静定结构的力法典型方程归纳如下：式中，ΔiP表示由荷载产生的沿X i方向的位移；δij表示由单位力X j＝1产生的沿X i＝1方向的位移，常称为柔度系数，且δij＝δji。
在解得多余未知力之后，超静定结构的内力可根据叠加原理计算如下：或根据结构受力平衡求解。
二、超静定次数的确定——力法的前期工作（见表6-1-3）表6-1-3 超静定次数的确定——力法的前期工作三、力法解超静定刚架和排架（见表6-1-4）表6-1-4 力法解超静定刚架和排架四、力法解超静定桁架和组合结构（见表6-1-5）表6-1-5 力法解超静定桁架和组合结构五、力法解对称结构（表6-1-6）表6-1-6 力法解对称结构。
龙驭球《结构力学Ⅰ》笔记和课后习题(含考研真题)详解(力 法)【圣才出品】
第6章力法6.1 复习笔记一、超静定次数的确定——力法的前期工作1．超静定结构的静力平衡特征和几何构造特征（1）静力平衡特征一个结构，如果它的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一地加以确定，就称为超静定结构。
（2）几何构造特征超静定结构是有多余约束的几何不变体系。
2．超静定次数的确定（1）从几何构造看，超静定次数＝多余约束的个数。
（2）从静力分析看，超静定次数＝未知力个数－平衡方程的个数。
（3）求超静定次数时，应注意以下事项：①撤去一根支杆或切断一根链杆，等于拆掉一个约束；②撤去一个铰支座或撤去一个单铰，等于拆掉两个约束；③撤去一个固定端或切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束；④在连续杆中加入一个单铰，等于拆掉一个约束；⑤不要把必要约束拆掉；⑥要把全部多余约束都拆除。
二、力法的基本概念1.力法的基本未知量、基本体系和基本方程 （1）力法的基本未知量把多余未知力的计算问题当作超静定问题的关键问题，把多余未知力当作处于关键地位的未知力——称为力法的基本未知量。
（2）力法的基本体系和基本结构①含有多余未知力的静定结构，称为力法的“基本体系”； ②去掉多余约束力和荷载后的静定结构，称为力法的“基本结构”。
（3）力法的基本方程11δ——基本结构在单位未知力单独作用下沿1X 方向的位移；1X ——未知力；1P ∆——基本结构在荷载单独作用下沿1X 方向的位移。
2.多次超静定结构的计算 （1）二次超静定结构①图6-1-1（a ）为二次超静定结构，取B 点两个支杆为多余约束，用X 1、X 2作为基本未知量代替，则基本体系如图6-1-1（b ）所示。
图6-1-1②二次超静定结构的力法基本方程（2）多次超静定——力法典型方程——由荷载产生的沿方向的位移；——由单位力产生的沿方向的位移，常称为柔度系数。
在得到多余未知力的数值之后，超静定结构的内力可根据平衡条件求出，或者根据叠加原理用下式计算三、力法解超静定刚架和排架1.刚架的解法步骤（1）选取基本体系；（2）列出力法方程；（3）求系数和自由项；（4）求多余未知力；（5）作内力图。
龙驭球《结构力学Ⅰ》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(超静定结构总论)【圣才出品】
第10章超静定结构总论10.1 复习笔记本章对超静定结构的相关知识进行了归纳总结。
主要探讨了超静定结构在不同因素影响下的受力特性，归纳了超静力影响线的绘制步骤。
较之静定结构，超静定结构的“超”主要表现在三个方面：①多余约束从无到有；②自内力状态从无到有；③刚度参数对内力的影响从无到有。
一、超静定结构的受力特性通常以力法的基本原理为指导，采用静定与超静定相比较的方法，探讨超静定结构在不同因素影响下的受力特性，具体分析见表10-1-1。
表10-1-1 各因素对超静定结构与静定结构受力特性影响的比较二、超静定力的影响线表10-1-2 超静定力的影响线表10-1-3 静定结构与超静定结构影响线解法对比10.2 课后习题详解10-1 试选择图10-2-1所示各结构的计算方法，并作M图。
图10-2-1解：（a）图10-2-1（a）中荷载可分解为一对正对称荷载与一对反对称荷载。
取正对称荷载下半边分析为二次超静定结构，取其基础结构如图10-2-2所示。
图10-2-2分别作M1、M2、M P图如图10-2-3、10-2-4和10-2-5所示。
图10-2-3 M1图图10-2-4 M2图图10-2-5 M P图所以δ11＝2h3/（3EI），δ12＝δ21＝5h2/（16EI），δ22＝7h/（3EI）Δ1P＝－F P h3/（3EI），Δ2P＝－F P h2/（12EI）由力法方程解得结构无弯矩。
取反对称荷载分析，取半边结构如图10-2-6所示。
图10-2-6图10-2-6所示为静定结构，中间杆为附属结构，对最下侧约束分析可得最上侧约束反力为2F P h/l。
先画弯矩图，如图10-2-7所示，再画整体结构弯矩图，如图10-2-8所示。
图10-2-7图10-2-8 M图（b）图10-2-1（b）所示为对称结构且施加对称荷载，取1/4结构如图10-2-9所示。
图10-2-9图10-2-9所示为有一个多余约束的几何不变体系。
龙驭球《结构力学Ⅰ》(第三版)辅导系列-第18章 结构力学与方法论【圣才出品】
第18章 结构力学与方法论18.1 复习笔记一、静定结构算法中蕴含的方法论1．结构计算简图（建模法）——分清主次，分合法的范例建模要点是善于分析综合，分清主次，剪枝留干。
2．隔离体方法——转化搭桥，过渡法的范例隔离体是截断约束后从结构中隔离出来自由刚体，在“变力”作用下，隔离体的“表现”一般是处于不平衡状态，然后进行对比，认出由不平衡到平衡的转化条件，建立平衡方程，最后求出约束力。
3．受力分析与构造分析之间的对偶关系——对偶呼应，对比法的范例（1）最理想情况每建立一个新的平衡方程时，只出现一个新的未知力。
（2）选取隔离体规律后打先拆。
（3）静定多跨梁先附属部分，后基本部分。
（4）简单桁架截取结点的顺序与桁架组成时添加结点的顺序相反。
（5）联合桁架先用截面法求，再按结点法求。
（6）复杂桁架代替杆法变成简单桁架，求出该杆轴力，然后用结点法求其余杆轴力。
4．内力影响线的机动作法——交叉比拟，对比法的范例（1）理论基础是虚功原理。
（2）应用虚功方程可以用几何方法来解静力问题，也可以用静力方法来解几何问题。
二、超静定结构算法中蕴含的方法论1．力法的策略——转化搭桥，过度法的范例（1）由静定向超静定过渡力法的基本未知量、基本体系和基本方程。
（2）归纳要点把不变量化为变量，把状态化为过程。
由过程转化为条件，建立起基本方程。
2．位移法的策略——拆了再搭，分合法的范例（1）力法和位移法区别①力法选取的是力，位移法选取的是位移；②力法采取的是去约束，位移法采取的是加约束；③力法是先切后连，位移法是先锁后松。
（2）计算步骤①把刚架离散成杆件，进行单元分析；②把单元装配成整体，进行整体分析。
（3）单元分析在杆端变量位移和给定荷载作用下求单元的内力，建立转角位移方程和导出固端弯矩和剪力。
（4）整体分析在装配结点建立位移协调条件和力的平衡条件。
3．力法、位移法与余能法、势能法对偶关系图18-14．混合法——杂交混合混合是优点的混合，分区混合法正是将力法和位移法各自的优点兼备于一身的方法。
龙驭球《结构力学Ⅱ》配套题库-章节题库(能量原理)【圣才出品】
第13章能量原理
一、判断题
1．用能量法计算无限自由度体系的临界荷载，所得计算结果均不小于精确解。
（）【答案】对
二、综合分析题
1．用余能驻值原理求图示结构的M图。
图13-1
解：（1）确定静力可能内力
选取力法基本体系如图13-2（a）所示。
在图示选定的坐标下，基本结构在荷载、多余力X1作用下的各段的弯矩分别为：BC段，M（x）＝X1×x；AB段，M（x）＝F P×x；DE 段，M（x）＝F P×x。
（2）求结构余能E C
（3）应用余能驻值条件即9X1＋0＝0；由此求得X1＝0.
（4）求内力
该结构的M图如图13-2（b）所示。
图13-2
2．图13-3所示超静定结构，各杆的抗拉（压）刚度EA相同，材料的线膨胀系数均为α。
设杆1在制造时长了δ，装配成结构以后，各杆温度又同时上升了t℃，试应用势能驻值原理求各杆的轴力。
图13-3
解：（1）确定几何可能位移
如图13-4所示，设A点的竖向位移为△，则AB、AD杆的伸长均为，从而可得
AC、AB、AD杆的应变为
图13-4
其中ε1由三部分构成，ε2、ε3由两部分构成如下：
可以求得
可以求得
（2）求结构的势能
结构的应变能为各杆的拉伸应变能之和
结构的荷载势能为：V P＝0 结构的势能为
（3）应用势能驻值原理
由此求得：
（4）求内力。
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⑶ 求系数和自由项，解方程
X2=1 5m
1 5m M2 图, FR2
11
125 3EI
m3
22
500 3EI
m3
12
21
125 2EI
m3
X1=1 5m
X2=1
1
1 X3=1
1 5m
5m M1 图, FR1
5m 1 5m M2 图, FR2
33
10 EI
13
31
25 2EI
m2
1 M3 图, FR3
23
32
75 2EI
m2
1P
F R1i
Ci
(1 0.02m 5m 0.03rad )
0.13m
2P
F R2i
⑶ 内力仅由多余未知力产生 ⑷ 内力与EI 的绝对值有关
例6-11： 试求图 (a) 所示结构在支座位移作用下的弯矩图。
(a)
X2 X3 X1
X1=1
0.01m 5 m
0.03rad
0.02m 5 m
(b) 基本体系
1 5m
5m M1 图, FR1
5m 解法一：⑴ 选择基本体系。3次超静定。
⑵ 建立力法方程。
)
(
l 2
l 4
)
ql 2 12
A
ql 4
()
384EI
ql2
A1
y
2
ql2
24
1
C
y1
A2 l/4
3）单位荷载加在基本体系II上
q
X1
ql 2 12
12
A
A2 A1 C
ql2
A
B
C
基本体系 II
X2
ql 2
l/2
A
y2
24
y1
1 C
CV
1 EI
(
2 3
l 2
ql 2 8
)
(3 8
l 2
)
(
0.6 2
⑷ 求未知力
X1
1t
11
6800
EI 432
15.74EI ()
⑸ 作弯矩图 M MX1
当杆件有温差时，弯矩的受拉边出现在降温面，升温面产生压应力。
超静定结构在温度变化或支座移动作用下，杆件内力与杆件抗弯刚度EI 成正比。
§6-9 超静定结构的位移计算
对于某超静定结构，所选取的各种基本体系在外因（荷载、温度变化、 支座移动）以及未知力X共同作用下，其内力和变形与原结构完全相同。所以 求原结构的位移就转化为求基本体系的位移。
(
2 3
l 2
ql 2 8
)
(
5 8
l 8
3 8
l 8
)
ql 4 384EI
()
A
y1 C y2
l/8
ql2 12
B M图 l/8
B M图
2) 单位荷载加在基本体系I上
ql2
q
12
A
B
A
C
X1
ql 2 12
基本体系I
X1
ql 2 12
CV
1 EI
2(
2 3
l 2
ql 2 8
)
(
5 8
l 4
⑶ 求系数和自由项
X3=1
M3 图, FR3
11
500 3EI
m3
22
125 3EI
m3
33
10 EI
12
21
125 2EI
m3
13
31
75 2EI
m2
23
32
25 2EI
m2
代入方程，解得
X1
0.48EI 125
,
X2
0.06EI 125
,
X3
0.42EI 25
2、温度内力的计算
t1
AM
讨论:
⑴ 自由项的意义
⑵ 内力仅由多余未知力产生
M M1X1 M2X2
⑶ 内力与EI 的绝对值有关
例6-12：如图示刚架，混凝土浇筑时温度为15。Ｃ，到冬季时室外温度为-35 。 Ｃ,室内保持不变，求M 图。各杆EI 相同，线膨胀系数为α。
-35℃ -35℃
6m -50℃ -50℃
-35℃
h
X1 1
1
h
1
1
l
l
1
F R1
h
lபைடு நூலகம்
X2 1
1
F R2
l
2c
b a
11 X 1 12 X 2 1c 0
21 X 1
22 X 2
2c
ic F R i c
1c
1 a
h l
b
a
hb l
2c
1 b l
b l
1c “c”
M M1X1 M2X2
讨论: ⑴ 等号右端可以不等于零 ⑵ 自由项的意义
5m
1
1
X1
X2
X3 基本体系
⑵ 建立力法方程。
X1=1 M1 图, FR1
X2=1 M2 图, FR2
11 X1 12 X 2 13 X 3 1C 0.02 21 X1 22 X 2 23 X 3 2C 0.01 31 X1 32 X 2 33 X 3 3C 0.03
l 2
ql 2 12
)
(
1 2
l 2
)
ql 4 384EI
()
ql2 12
B M图
B M图
ql2 12
B M图
M图
2、支座移动
图 (a) 所示结构的M 图已求出，见图(b)。欲求截面B的转角 B。
3EI
l2
A
EI, l
B
A
BA
EI, l
B
(a) B
t1
t1
t1 t2
t1 t2
t1 t2
建立力法方程
X1 X2
2t 1t
11 X 1 12 X 2 1t 0 21 X 1 22 X 2 2t 0
画出 M 1, M 2 , F N1, F N 2 图， 计算系数和自由项。
计算自由项： 1t , 2t
it
toAN
t h
用力法求出超静定结构的内力后，欲求某截面的位移，则单位荷载可以
加在任选的基本体系上，即超静定结构的位移计算可以在任选的基本体系上
进行。
1、荷载作用
例7-6：求梁中点竖向位移ΔCV，EI为常数。 ql2
q
A
B
C
l/2
l/2
12
A
A2 A1 C
ql2
解：1) 单位荷载加在原结构上
l/8
24
1
CV
2 EI
11
1 EI
(2
63 3
68 6)
1 EI
(144
288)
432 EI
-50℃
6
6 94.4
94.4
FN 1
-50℃ -50℃
0℃
X1
基本体系
M1, F N
X1= 1
M 图 (EIα)
1t
()
t
h
Mdx
t0
F N dx
50 (2 1 6 6 68) (25) (1) 8] 6800
15oC 400
600 8m
-50℃ 0℃
基本体系
6 X1
FN 1
M1, F N
6 X1= 1
解：⑴ 温度改变值： t1 35 15 50C t | 50 0 | 50C
⑵ 力法方程
11 X1 1t 0
t2 15 15 0C t0 (50 0) / 2 25C
⑶ 求系数和自由项
Ci
(1 0.01m 5m 0.03rad )
0.16m
3P (1 0.03rad) 0.03rad
0.06
代入方程，解得
X1
0.48EI 125
m2
X2
0.06EI 125
m2
X3 0
⑷ 作弯矩图。 M M1X1 M 2 X2 M 3X3
0.42
M 图 (EI/m)
解法二：⑴ 选择基本体系。 5m 5m