2020届湖南省五岳高三下学期5月联考理科数学试题(wd无答案)
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2020届湖南省五岳高三下学期5月联考理科数学试题
一、单选题
(★★) 1. 已知集合，，则（）
A．B．C．D．
(★★) 2. （）
A．B．C．D．
(★) 3. “民以食为天，食以安为先.”食品安全是关系人们身体健康的大事.某店有四类食品，其中果蔬类、粮食类、动物性食品类、植物油类分别有48种、24种、30种、18种，现从中抽取一个容量为40的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的动物性食品类种数是（）
A．10B．9C．8D．7
(★★★) 4. 《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收藏了246个与生产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？其意：现有一根金杖，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重量为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤.问依次每一尺各有多重？假设金杖
由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列，斤，则（）
A．2.5斤B．2.75斤C．3斤D．3.5斤
(★★★★) 5. 函数的最小正周期为（）
A．B．C．D．
(★★★) 6. 已知双曲线的右顶点为，直线与的一条渐近线在第一象限相交于点，若与轴垂直，则的离心率为（）
A ．
B ．
C ．2
D ．3
(★★★) 7. 在1.5， ，
，
这四个数中（）
A ．最大的是
，最小的是
B ．最大的是1.5，最小的是
C ．最大的是，最小的是
D ．最大的是
，最小的是1.5
(★★★) 8. 在底面为正三角形的三棱柱
中，
，
，若该三棱柱的体
积为
，则
与底面
所成角的正弦值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
(★★★) 9. 在等腰梯形 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点，
则（）
A ．
B ．
C ．
D ．
(★★★) 10. 已知函数
，若曲线 上总存在一点 ，使得曲线 在点 处的切线与曲线
在点
处的切线垂直，则
的取值范围为
（）
A ．
B ．
C ．
D ．
(★★★) 11. 某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
(★★★) 12. 已知函数，，若，，，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
二、填空题
(★★) 13. 若，则的最小值为_______.
(★★★) 14. 在数列中，，且，则__________.
(★★★) 15. 的展开式共有21项，若从这21项中任意选取2项，则这2项都是有
理项的概率为______.
(★★★) 16. 设，分别为椭圆：的左、右焦点，为内一点，
为上任意一点.现有四个结论：
① 的焦距为2；
② 的长轴长可能为；
③ 的最大值为；
④若的最小值为3，则.
其中所有正确结论的编号是 __________ .
三、解答题
(★★★) 17. 设分别为内角的对边.已知.
（1）证明：是直角三角形.
（2）若是边上一点，且，求的面积.
(★★★) 18. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）判断的零点的个数，并说明理由.
(★★★★) 19. 如图，已知四棱锥的底面为菱形，且底面.
（1）证明：平面平面.
（2）若，且平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的大
小.
(★★★★) 20. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点.
（1）若过点，且，求的斜率；
（2）若，且的斜率为，当时，求在轴上的截距的取值范围（用表示），
并证明的平分线始终与轴平行.
(★★★) 21. 某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4 S店进行连续
30天的试销，定价为1000元/件.
（1）设日销售40个零件的概率为，记5天中恰有2天销售40个零件的概率为，写出
关于的函数关系式，并求极大值点.
（2）试销结束后统计得到该4 S店这30内的日销售量（单位：件）的数据如下表：
日销售量406080100
频数912
其中，有两个数据未给出.试销结束后，这款零件正式上市，每件的定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有55件，批发价为550元/件；小箱每箱有40件，批发价为600元/件，以这30天统计的各日销售量的频率作为试销后各日销售量发生的概率.该4 S店决定每天批发两箱，若同时批发大箱和小箱，则先销售小箱内的零件，同时根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4 S店，假设
日销售量为80件的概率为，其中为（1）中的极大值点. （i）设该4 S店批发两大箱，当天这款零件的利润为随机变量；批发两小箱，当天这款零件的利润为随机变量，求和；（ii）以日利润的数学期望作为决策依据，该4 S店每天应该按什么方案批发零件？
(★★★) 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），
以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.