数值计算方法复习资料

实用文档

文案大全《数值计算方法》复习资料

第一章数值计算方法与误差第二章非线性方程的数值第三章线性方程组的数值第四章插值与第五数值积分与第六常微分方程的数值解

自测

课程的性质与任务

数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。

第一章数值计算方法与误差分析

一考核知识点

误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。

二复习要求

1. 知道产生误差的主要来源。

2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及

它们之间的关系。

3. 知道四则运算中的误差传播公式。

实用文档

文案大全三例题

例1设x*= ?=3.1415926…

近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有

即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位. 又近似值

x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有

即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字. 而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有

即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字. 这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；

例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：

2.000 4 －0.002 00 9 000

9 000.00

解因为x1=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 1―5，即m=1,n=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a1=2，相对误差限

x2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m=－2，n=3，x2=－0.002 00有

3位有效数字. a1=2，相对误差限?r= =0.002 5

实用文档

文案大全x3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m=4, n=4, x3=9 000有4位有

效数字，a=9，相对误差限?r＝＝0.000 056

x4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m=4，n=6，x4=9 000.00有6位有效数

字，相对误差限为?r＝＝0.000 000 56

由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 例3

ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？

解精确到10－3＝0.001，意旨两个近似值x1,x2满足，由于近

似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是?＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。故ln2?0.693。

第二章非线性方程的数值解法

一考核知识点

二分法；迭代法；牛顿法；弦截法。

二复习要求

1. 知道有根区间概念，和方程f(x)=0在区间(a,b)有根的充分条件。

2. 掌握方程求根的二分法，知道其收敛性；掌握二分法二分次数公式，掌握迭代法，知道其收敛性。

3. 熟练掌握牛顿法。掌握初始值的选择条件。

4. 掌握弦截法。

三例题

例1证明方程1－x－sinx＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过

0.5×10．

实用文档

文案大全－4的根要迭代多少次？

证明令f(x)＝1－x－sinx，

∵ f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0

∴ f(x)=1－x－sinx=0在[0，1]有根.又

f?(x)=1－cosx>0(x?[0.1]),故f(x)＝0在区间[0，1]内有唯一实根.

给定误差限?＝0.5×10－4，有

只要取n＝14.

例2用迭代法求方程x5－4x－2＝0的最小正根.计算过程保留4位小数. [分析] 容易判断[1，2]是方程的有根区间.若建立迭代格式

，此时迭代发散. 建立迭代格式

，此时迭代收敛. 解建立迭代格式

实用文档

文案大全

取 1.5185

例3 用弦截法求方程x3－x2－1＝0，在x=1.5附近的根.计算中保留5位小数点. [分析] 先确定有根区间.再代公式.

解 f(x)= x3－x2－1，f(1)=－1，f(2)=3，有根区间取[1,2]. 取x1=1, 迭代

公式

(n=1,2,…)

实用文档

文案大全

取 1.46553，f(1.46553) －0.000145

例4选择填空题

1. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若满，则方程f(x)=0在区间[a,b]一定有实根. 答案：f(a)f(b)<0

解答：因为f(x)在区间[a,b]上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必存在c，使得f(c)=0，故f(x)=0一定有根. 2. 用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程(x)=0表成x=?(x),则f(x)=0的根是( ) (A)y=x与y=?(x)的交点 (B) y=x与y=?(x)交点的横坐标

(C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=?(x)与x轴交点的横坐标

答案：(B)

解答：把f(x)=0表成x=?(x), 满足x=?(x)的x是方程的解，它正是y=x与y=?(x)的交点的横坐标.

3.为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )

(A)

(B)

实用文档

文案大全(C)

(D)

答案：(A) 解答：

在(A)中

故迭代发散.

在(B)中，故迭代收敛.

在(C)中，

，故迭代收敛.

在(D)中，类似证明，迭代收敛.

第三章线性方程组的数值解法

一、考核知识点

高斯顺序消去法，列主元消去法；雅可比迭代法，高斯――赛德尔迭代法，超松弛迭