第五讲 函数的定义域与值域讲解
定义域和值域概念
定义域和值域概念在数学中，函数是一种将每个输入都映射到唯一输出的规则。
其中，定义域和值域是函数的两个重要概念。
在本文中，我们将详细解释这两个概念，并介绍它们在函数中的作用。
一、定义域函数的定义域指的是函数的自变量所属的集合。
也就是说，定义域是指可以作为函数输入的所有实数的集合。
例如，如果我们有以下函数：$$f(x)=\sqrt{x+1}$$那么，函数$f(x)$的定义域为$x\geq-1$，因为当$x<-1$时，根式内的数为负数，无法求出实根。
因此，定义域规定了哪些值可以作为函数的自变量，是函数存在和合法的必要条件。
二、值域值域指的是函数所有可能的输出值组成的集合。
也就是说，值域是指函数对应的所有因变量的取值范围。
例如，函数$f(x)=x^2$的值域为$[0,\infty)$。
这是因为$x^2$始终为非负数，可以取到0，并且可以趋近于无穷大。
需要注意的是，值域并不总是函数的所有类型的值的可行取值集合。
例如，考虑以下函数：在这种情况下，函数$f(x)$的定义域为所有非零实数，并且函数上无界。
因此，函数的值域也不是一个有限的集合。
尽管如此，值域仍然描述了函数的可能取值的范围和趋势。
三、定义域与值域的关系定义域和值域是紧密相关的，但不一定相同。
实际上，对于任何一个定义良好的函数，定义域必须包括值域或值域的某个子集。
例如，考虑函数$f(x)=\sqrt{x}$。
在这种情况下，定义域为$x\geq0$，而值域为$[0,\infty)$。
因此，值域是定义域的子集。
但有些函数值域并不能包含定义域，例如函数$f(x)=\tan{x}$。
在这种情况下，定义域为$x\neq\frac{\pi}{2}+n\pi$，其中，$n$为整数。
而值域是所有实数的集合。
也就是说，值域并不能包含定义域。
在这种情况下，函数的值域是更加广泛的范围，因为函数为$x=\frac{\pi}{2}+n\pi$的函数值并没有特定范围。
四、总结定义域和值域是函数的两个基本概念。
第五讲 函数值及函数的值域
u (m n)u mn 16 的两根。 0
2
1 9 m n 由韦达定理知： 1 9 mn 16
解得：m=n=5 当u=m=5时，x=0. 综上知：m=n=5。
变式题：已知函数 f ( x) lg(ax2 2x 1) ，其中a∈R.
①若函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是 ②若函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是 变式题：①答案：
1, 2 故函数的值域为：
2 3, 。 y | x 1| ( x 2) 的值域为 例5、①
解答：原式可化为：y=|x+1|+|x-2| 法一：
1- 2 x ( x 1) y | x 1| | x - 2 | = 3 ( 1 x 2) 2 x 1 ( x 2)
典型例题
例1、求下列函数的值域：
2 y x 2x 1( x [1, 2]) ①
解答：由题知：函数的定义域为R
2 2 配方得：y=x +2x-1=(x+1)
-2
∵1≤x≤2, ∴函数在[1,2]上单调递增， ∴2≤y≤7。
故函数的值域为：[2,7].
②
y cos x cos x 1( x [
解答：∵3+2x-x ≥0, ∴-1≤x≤3
2
令u(x)= 3+2x-x =-(x-1) +4
2 2
∴0≤u(x)≤4, ∴2≤y≤4 故函数的值域为：[2,4].
小结：①配方法求值域是一种常用方法。凡形如 2 y af ( x) bf ( x) c(a 0) 可用此法。 ②特别应对二次函数在给定区间上求值域重视。
函数的定义域与值域
函数的定义域与值域函数是数学中一个重要的概念，它描述了一种特定的对应关系。
在函数的定义中，有两个关键概念，即定义域和值域。
定义域是指函数中自变量的取值范围，而值域则是函数中因变量的取值范围。
本文将详细介绍函数的定义域与值域，并探讨它们在数学问题中的应用。
一、定义域的概念及求解方法在函数中，定义域指的是自变量的取值范围，即函数可以接受哪些输入。
为了确定一个函数的定义域，需要考虑自变量的限制条件。
常见的限制条件包括分式的分母不能为零，指数函数中指数不能为负数等。
下面以几个具体的例子来说明如何求解函数的定义域。
例1：求解函数f(x) = √(4-x) 的定义域。
由于根号内不能出现负数，所以要求 4-x ≥ 0。
解这个不等式，有 x ≤ 4。
因此，函数 f(x) 的定义域为x ≤ 4。
例2：求解函数 g(x) = 1/(x-2) 的定义域。
分式的分母不能为零，所以要求 x-2 ≠ 0。
解这个不等式，可得x ≠ 2。
因此，函数 g(x) 的定义域为x ≠ 2。
通过以上例子，可以看出求解定义域的方法是根据函数的特点，找出限制自变量的条件，并求解相应的不等式。
二、值域的概念及求解方法在函数中，值域指的是函数的因变量的取值范围，即函数可以得到哪些输出。
确定一个函数的值域，需要根据函数的性质来进行推导和分析。
下面以几个具体的例子来说明如何求解函数的值域。
例3：求解函数 h(x) = x^2 的值域。
对于任意实数 x，都有x^2 ≥ 0。
因此，函数 h(x) 的值域为y ≥ 0，即非负实数集。
例4：求解函数k(x) = √x 的值域。
由于根号函数的特点，要使得 k(x) 存在，需要x ≥ 0。
另外，根号函数的值永远大于等于零。
因此，函数 k(x) 的值域为y ≥ 0，即非负实数集。
通过以上例子，可以发现求解值域的方法是根据函数的性质，直接分析函数表达式得到。
三、定义域与值域的应用1. 函数的性质分析：通过确定函数的定义域和值域，可以深入了解函数的性质。
第5讲 函数的定义域和值域
纽威教育6T 教材系列函数专题 第五讲 函数的定义域和值域时间：年 月 日 陈老师 电话：66006266一、兴趣导入清朝名士纪晓岚,有一天和朋友一起上街.走在街上,看见前面有一家小店,店里的老板娘正忙着. 纪晓岚就和他的朋友打赌,"我会一句话,让老板娘笑,再一句话,让老板娘闹." 朋友们不相信,决定以一桌酒席为赌.只见纪晓岚走向小店,向店门前的看门狗鞠了一躬,叫 道"爹!", 老板娘"噗"地一声乐了.纪晓岚转过身又冲老板娘叫了一声"娘!".顿时,老板娘勃然大怒,直骂纪晓岚. 于是,纪晓岚赢得了一桌酒席........ 思考：由此你得到什么启示？二、知识梳理（一）求函数定义域的一般原则：（1）如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .（3）如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. （4）如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义. （二）：抽象函数的定义域求法：①函数f (x )的定义域是指x 的取值范围所组成的集合。
②函数[])(x f ϕ的定义域还是指x 的取值范围，而不是)(x ϕ的取值范围。
③已知f(x)的定义域为A ，求[])(x f ϕ的定义域:其实质是（求法）：已知)(x ϕ的取值范围为A ，求出x 的取值范围；解得的x 的取值范围即是[])(x f ϕ的定义域。
④已知[])(x f ϕ的定义域为B ，求f(x)的定义域:其实质是（求法）：已知[])(x f ϕ中x 的取值范围为B ，求出)(x ϕ的取值范围；解得的)(x ϕ的取值范围即是f(x)的定义域。
⑤同在对应法则f 下的范围相同：即[][])(,)(),(x h f x f t f ϕ三个函数中)(),(,x h x t ϕ的范围相同。
函数的定义域与值域
函数的定义域与值域函数是数学中的重要概念，用于描述输入和输出之间的对应关系。
在函数中，定义域（Domain）指的是函数的所有可能输入值所构成的集合，值域（Range）则是函数的所有可能输出值所构成的集合。
函数的定义域和值域在数学中具有重要的意义和应用，并在各个学科领域中发挥着重要的作用。
1. 定义域在函数中，定义域是指函数的所有可能输入值的集合。
它决定了函数可接受的输入范围。
通常，定义域可以是实数集、整数集、有理数集等。
然而，有些函数可能会有特定的限制条件，如分母不能为零、根号内不能为负数等。
例如，考虑函数f(x) = 1/x，其中x为实数。
在这种情况下，由于分母不能为零，所以x的定义域为除去0的实数集，即x∈R，x≠0。
这样，所有不为零的实数都可以作为这个函数的输入值。
2. 值域在函数中，值域是指函数的所有可能输出值的集合。
它表示了函数所能取得的所有可能结果。
值域的确定需要考虑函数在定义域中的取值范围以及函数本身的性质。
例如，再考虑函数f(x) = 1/x，其定义域为除去0的实数集，即x∈R，x≠0。
对于任意一个不为零的输入值x，在函数中，将其代入公式后可以得到一个相应的输出值，即f(x) = 1/x。
显然，输出值可以是任意实数，因此值域为实数集R，即f(x)∈R，f(x)≠0。
3. 定义域和值域的图示为了更好地理解函数的定义域和值域，可以通过图示来展示函数的输入输出关系。
在坐标系中，将定义域的值放在x轴上，将对应的函数值放在y轴上，可以绘制函数的图像。
例如，回顾函数f(x) = 1/x，在定义域除去0的实数集，可以绘制函数曲线。
这样，x轴上除了0以外的各个点，都对应着y轴上的一个值，而值域即为函数曲线所覆盖的y轴的范围。
4. 应用举例函数的定义域和值域在数学中具有广泛的应用和重要意义。
它们不仅可以帮助我们理解函数的性质，还能在实际问题中起到指导作用。
例如，在物理学和工程学中，定义域和值域的概念可以帮助我们描述和分析各种物理量之间的关系。
函数的定义域与值域课件
复合函数
由内到外逐层分析，确保每层 函数在对应定义域内有意义。
图像法求定义域
01
观察函数图像，找出图像上所有 点的横坐标集合，即为函数的定 义域。
02
适用于直观易懂的函数图像，如 一次函数、二次函数等。
实际问题中定义域确定
根据实际问题的背景 和条件，确定自变量 的取值范围。
需要结合具体问题进 行具体分析，灵活应 用数学知识。
对于形如$y=a(x-h)^2+k$的 复合函数，可以通过配方的方 法将其转化为顶点式，进而求 得值域。
对于形如$y=ax^2+bx+c/x$ 的复合函数，可以通过判别式 的方法求得值域。首先将原式 化为关于$x$的二次方程，然 后根据判别式$Delta geq 0$ 求得$y$的取值范围。
对于某些特殊的复合函数，可 以通过求其反函数的方法求得 值域。例如，对于形如 $y=log_a[f(x)]$的复合函数， 可以先求出其反函数$x=a^y$， 然后根据反函数的定义域求得 原函数的值域。
取并集
将各区间定义域取并集， 得到分段函数的定义域。
注意分段点
分段点应包含在定义域内， 除非分段点处函数无定义。
分段函数值域求解
分别求解各区间值域
注意最值点
根据各区间内解析式的性质，分别求 解各区间的值域。
在各区间内和分段点处寻找最值点， 以确定值域的上下界。
取并集
将各区间值域取并集，得到分段函数 的值域。
05 分段函数定义域与值域
分段函数概念及性质
01
02
03
分段函数定义
在不同区间上，用不同解 析式表示的函数。
分段函数性质
各区间内函数性质可能不 同，如单调性、奇偶性等。
函数的值域与定义域分析
函数的值域与定义域分析在数学的广袤天地中，函数是一个极为重要的概念。
而函数的值域与定义域，则是理解和研究函数的关键要素。
首先，咱们来聊聊什么是函数的定义域。
简单说，定义域就是函数中自变量的取值范围。
比如说，对于一个分式函数，分母不能为零；对于一个根式函数，根号下的式子必须大于等于零。
这就像是给自变量设定了一个活动范围，只有在这个范围内，函数才有意义。
举个例子，函数 f(x) ＝ 1 ／（x 1) ，这里 x 就不能等于 1 ，因为要是 x 等于 1 ，分母就成零了，整个式子就没意义啦。
所以，这个函数的定义域就是 x 不等于 1 ，用数学语言表示就是 x ∈（∞， 1) ∪（1, ＋∞）。
再比如，函数 g(x) ＝√（x ＋ 2) ，为了让根号下的式子有意义， x ＋ 2 就得大于等于零，解这个不等式，就能得到 x 大于等于－2 ，所以它的定义域就是 x ∈－2, ＋∞）。
定义域的确定，不仅取决于函数的表达式，还可能受到实际问题的限制。
比如说，在一个描述时间、长度、面积等实际量的函数中，自变量的值通常不能是负数，也不能超出实际可能的范围。
说完定义域，咱们再来看看值域。
值域呢，就是函数因变量的取值范围。
也就是说，在给定的定义域内，函数输出的所有可能的值的集合。
还拿上面的例子来说，对于函数 f(x) ＝ 1 ／（x 1) ，因为 x 不等于1 ，当 x 趋近于 1 时，f(x) 的值趋近于正无穷或者负无穷；当 x 趋近于正无穷或负无穷时，f(x) 趋近于零但不等于零。
所以，这个函数的值域就是 y ∈（∞， 0) ∪（0, ＋∞）。
对于函数 g(x) ＝√（x ＋ 2) ，因为根号下的数总是非负的，而且根号下 x ＋ 2 可以取到零以及大于零的任何值，所以这个函数的值域就是 y ∈ 0, ＋∞）。
确定函数的值域有时候并不容易，需要我们对函数的性质有深入的理解。
比如，对于二次函数，我们可以通过分析其开口方向和顶点坐标来确定值域；对于一些复杂的函数，可能需要用到求导等高等数学的方法。
函数的定义域与值域的求解
函数的定义域与值域的求解函数的定义域与值域是数学中一个重要的概念，它们对于研究函数的性质和应用具有重要的作用。
本文将介绍函数的定义域与值域的概念，并介绍如何求解函数的定义域和值域。
一、函数的定义域函数的定义域是指函数所有可能的输入值的集合。
对于实函数，定义域一般是实数集，但也可以是某一部分实数集。
在确定函数的定义域时，需要考虑函数的基本性质和限制条件。
例如，对于一个简单的一元实函数f(x)，如果f(x)在实数集上有定义，那么函数的定义域就是整个实数集R。
但是，在某些情况下，函数的定义域可能受到限制。
比如，函数f(x) = √x在定义域时要求x≥0，因为负数的平方根在实数范围内没有定义。
所以，函数f(x) = √x的定义域为[0, +∞)。
在求解函数的定义域时，需要注意以下几个方面：1. 分式函数的定义域：对于分式函数，需要注意分母不能为零。
所以，在确定定义域时，需要将分母为零的情况排除。
例如，对于函数f(x) = 1/(x-1)，分母x-1不能为零，所以定义域为R-{1}。
2. 幂函数、指数函数和对数函数的定义域：幂函数的底数不能为负数或零，指数函数的底数不能为零且指数必须是实数，对数函数的底数不能为零且取对数的数必须是正数。
在求解这些函数的定义域时，需要根据这些限制条件进行判断。
3. 复合函数的定义域：对于复合函数，需要保证内层函数的定义域在外层函数的定义域范围内。
如果内层函数的定义域超出了外层函数的定义域，则需要调整定义域范围。
二、函数的值域函数的值域是指函数所有可能的输出值的集合。
对于实函数，值域一般是实数集，但也可以是某一部分实数集。
在求解函数的值域时，需要根据函数的性质来判断。
例如，对于函数f(x) = x^2，可以发现无论x取何值，函数的值都大于等于0。
所以，函数f(x)的值域为[0, +∞)。
在求解函数的值域时，需要注意以下几个方面：1. 幂函数、指数函数和对数函数的值域：根据幂函数、指数函数和对数函数的基本性质，可以确定它们的值域。
函数的值域与定义域
函数的值域与定义域在数学的世界里，函数就像是一座桥梁，连接着不同的数集。
而函数的值域和定义域，则是这座桥梁的两个重要基石。
我们先来聊聊什么是函数的定义域。
简单来说，定义域就是函数中自变量可以取值的范围。
比如说，对于函数 f(x) ＝√x ，因为在实数范围内，根号下的数不能是负数，所以 x 就必须大于等于 0 ，那么这个函数的定义域就是 0, ＋∞）。
再比如，f(x) ＝ 1 ／（x 1) ，由于分母不能为 0 ，所以 x 不能等于 1 ，它的定义域就是x ≠ 1 ，用区间表示就是（∞， 1) ∪（1, ＋∞）。
定义域的确定往往需要考虑多种因素。
有时候要考虑数学上的限制，比如分母不能为 0 ，根号下的数非负。
还有的时候要结合实际问题的背景。
比如一个描述物体运动时间的函数，时间就不能是负数。
那函数的值域又是什么呢？值域就是函数在其定义域上所有可能的输出值的集合。
比如说，对于函数 f(x) ＝ x²，因为 x²总是大于等于 0 的，所以它的值域就是 0, ＋∞）。
再看函数 f(x) ＝ 2x ＋ 1 ，由于 x 可以取任意实数，那么 2x ＋ 1 也可以取任意实数，它的值域就是（∞，＋∞）。
理解函数的值域和定义域的关系非常重要。
定义域决定了函数的输入范围，而值域则是在这个输入范围内函数能够产生的输出结果的范围。
它们相互制约，共同描绘了函数的特性。
举个例子，假设有一个函数 f(x) ＝ 3x ，定义域是 1, 5 。
那么当 x取 1 时，f(1) ＝ 3 ；当 x 取 5 时，f(5) ＝ 15 。
所以这个函数在给定定义域内的值域就是 3, 15 。
再比如函数 f(x) ＝ x²＋ 4 ，定义域是（∞，＋∞）。
因为 x²总是大于等于 0 ，所以 x²总是小于等于 0 ，那么 x²＋ 4 就总是小于等于 4 。
所以这个函数的值域是（∞， 4 。
确定函数的值域有时候并不是一件容易的事情。
定义域与值域
定义域与值域在数学中，定义域（Domain）和值域（Range）是运用在函数概念中的基本概念。
它们是用来描述函数的输入和输出的范围。
在本文中，我们将详细介绍定义域和值域的概念、性质以及它们在数学问题中的应用。
定义域定义域是指函数中所有可能的输入值所构成的集合。
换句话说，定义域是函数中自变量的取值范围。
通常情况下，我们用D来表示一个函数的定义域。
例如，考虑一个简单的线性函数：f(x) = 2x + 1。
在这个函数中，x可以取任意实数值。
因此，定义域可以表示为D = (-∞,+∞)。
然而，并非所有函数的定义域都是整个实数集。
有些函数的定义域可能受到限制，例如分式函数或开方函数。
考虑函数g(x) = 1/x，在这个函数中，由于分母不能为0，所以定义域不能包括x=0。
因此，函数g(x)的定义域可以表示为D = (-∞,0)∪(0,+∞)。
总之，定义域是函数中能够使函数有意义并定义的所有可能的自变量取值的范围。
值域值域是函数中所有可能的输出值所构成的集合。
换句话说，值域是函数中因变量的取值范围。
通常情况下，我们用R来表示一个函数的值域。
对于线性函数f(x) = 2x + 1，我们可以观察到任意实数值都可以由这个函数得出。
因此，该函数的值域可以表示为R = (-∞,+∞)。
类似地，对于函数g(x) = 1/x，我们可以观察到函数的取值范围限制了正实数和负实数，但不包括0。
因此，该函数的值域可以表示为R = (-∞,0)∪(0,+∞)。
总之，值域是函数能够输出的所有可能的因变量取值的范围。
应用定义域和值域是解决数学问题中的重要工具。
通过确定定义域和值域，我们可以更好地理解函数的特性和行为。
在实际问题中，定义域和值域也具有重要的应用。
例如，在经济学中，定义域和值域可以帮助我们确定某种商品的价格范围以及销售量的可能区间。
在物理学中，定义域和值域可以帮助我们预测某一变量的可能取值，并对实验数据进行分析和解释。
结论在数学中，定义域和值域是函数概念中的基本概念。
5函定义域与值域
典例3求下列函数的值域:
1 y x 1 2 x ; 2y x 4 ;
x
3 y sin x ;
2 cosx
4y x 1 x2.
第24页
本题主要考查函数值域问题,考查运算能力, 考查数形结合的 思想,对于(1),利用换元法转化为二次函数的值域问题;对于 (2),利用基本不等式或利用函数的单调性求解;对于(3),由函 数的有界性或由几何法求解;对于(4),用求导数法求解.
2
22
2
第26页
(2)法 一 ;当 x 0时 , y x 4 2 x g4 4,
x
x
当 且 仅 当 x 2时 , 取 等 号;
当
x
0时 ,
y
x
4 x
2
x g 4
x
4,当 且 仅 当 x 2时 , 取 等 号.
综上,所求函数的值域为(, 4] 4,
第27页
法二：先证此函数的单调性
故
y m ax
(0
1 )2 2
5 4
1.
故 函 数 有 最 大 值 1， 无 最 小 值 ， 其 值 域 为
，1 .
第37页
方法二：Qy=2x与y=- 12x均为定义域上的增函数，
故y=2x-
12x是定义域为x
x
12上的增函数，
故ymax
21 2
121 1,无最小值. 2
故函数的值域为,1.
第31页
由直线与圆的位置关系知识,
可设直线方程为y k x 2 ,即kx y 2k 0,
2k
1, 解得k 3 ,
1k2
3
斜率的范围是
3, 3
3 3
,
函数的定义域与值域
函数的定义域与值域函数是数学中一个非常重要的概念，在各个数学分支中都有应用。
函数的定义域和值域是函数研究的基本内容之一。
本文将详细介绍函数的定义域与值域的概念及其应用。
一、函数的定义域函数的定义域是指函数中自变量（x）的取值范围。
简单来说，定义域就是使函数有意义的所有可能自变量值的集合。
如果自变量取值超出定义域，则函数无法计算。
下面通过几个例子来说明。
例子1：考虑函数f(x) = √x由于方根函数的自变量必须是非负实数，所以其定义域为x ≥ 0。
任何小于0的自变量将使得函数无法计算。
例子2：考虑函数 g(x) = 1/x在这种情况下，我们不能让自变量 x 等于0，因为除数不能为0。
所以函数 g(x) 的定义域为x ≠ 0。
其他所有实数都是函数的定义域。
函数的定义域可以是一个具体的数轴区间，也可以是由多个区间组成的集合。
定义域的范围可以是全体实数，也可以是局限于特定范围内。
二、函数的值域函数的值域是函数所有可能输出值的集合。
也就是说，如果我们遍历自变量的所有可能取值，函数的值域就是对应的函数值的集合。
同样地，我们使用几个例子来说明。
例子1：考虑函数 f(x) = x^2对于这个函数，自变量可以取任何实数值。
但是根据平方函数的图像，我们可以看出函数的值域是y ≥ 0。
因为平方的结果不会为负数。
例子2：考虑函数 g(x) = sin(x)由三角函数的周期性可知，对于任何自变量，都存在对应的函数值。
因此，函数 g(x) 的值域是 (-1, 1) 的闭区间。
有时候，函数的值域是一个区间，也可以是由多个不相交区间组成的集合。
三、定义域与值域的应用函数的定义域和值域在数学中广泛应用于各个领域。
例如，在微积分中，对函数进行求导和积分时，必须要考虑函数的定义域。
此外，在解方程和不等式时，也要考虑函数的定义域和值域。
在实际问题中，函数的定义域和值域还可以帮助我们理解现象的范围和取值情况。
例如，当我们研究某种物理模型时，函数的定义域可以帮助我们确定变量的有效范围，而函数的值域则可以帮助我们计算物理量的可能取值。
初中数学知识归纳函数的定义域和值域
初中数学知识归纳函数的定义域和值域函数的定义域和值域是初中数学中非常重要的概念。
在解题过程中，正确理解和应用函数的定义域和值域对于求解问题和解答数学题目至关重要。
因此，今天我们来归纳一下初中数学中关于函数的定义域和值域的知识。
一、函数的定义域函数的定义域指的是函数能够接受的输入值的范围。
也就是在所有可能的输入值中，满足函数定义的那些数的集合。
简而言之，定义域就是使函数有意义的输入值的集合。
1. 函数的定义域与可表示性首先，我们要知道函数的定义域与函数的可表示性是相关的。
有些函数在所有实数范围内都有意义，而有些函数在某些输入值上并没有意义。
例如，对于常见的函数f(x) = √x，函数的定义域是x ≥ 0，也就是非负实数集合。
因为在只有非负实数时，函数的平方根才有意义。
再比如，对于函数 g(x) = 1/x，函数的定义域是x ≠ 0，即实数集合中除去 0 的所有数。
因为在 x = 0 存在一个无穷大的间断点，函数在该点处无意义。
2. 定义域的求解方法求解函数的定义域的方法主要分为以下几种：（1）对于有根式的函数，如f(x) = √(x - 2)，因为根式的内容不能为负数，所以要求 x - 2 ≥ 0，即x ≥ 2。
定义域为x ≥ 2。
（2）对于分式函数，如 g(x) = 1/(x - 3)，要求分母不能为零，即 x - 3 ≠ 0，解得x ≠ 3。
定义域为x ≠ 3。
（3）对于整式函数，如 h(x) = 2x + 5，没有定义限制，所有实数都是函数的定义域。
定义域为全体实数。
二、函数的值域函数的值域指的是函数所有可能输出的值的范围。
也就是在所有可能的输出值中，函数能够取到的值的集合。
简言之，值域就是函数的所有实际输出值组成的集合。
1. 值域的求解方法求解函数的值域的方法和求解函数的定义域有所不同。
求解值域的关键是要找到一个合适的输入值，来使得函数取到最大或最小值。
（1）对于函数 y = f(x) = x^2，当 x 取任意实数时，平方的结果都是非负实数。
函数的定义域和值域
第五讲 函数的定义域和值域一、 本周教学主要内容及重点难点说明本周教学主要内容是函数的定义域和函数的值域。
定义域是指原象的集合，通俗地说即自变量的取值范围，值域是象的集合，通俗地说 是所有函数值组成的集合，因初中与高中在函数定义上的差异，以及目前高一同学对函数的学习甚少（仅限于一次函数，反比例函数，二次函数的一部分），所以使得求函数的定义域与值域既是重点也是难点。
定义域和值域都是实数集的子集，定义域不同的函数一定是不同函数，定义域既是函数性质重要内容又是研究函数其它性质优先考虑的因素和赖以存在的前提。
值域中元素数目不多于定义域中元素数目，函数的值域取决于其定义域和对应法则，求函数值域的问题。
灵活性较大，就高一同学目前知识范围而言，还缺乏较完整、规范的办法。
下面将要介绍的几种方法，有的适用范围有限，有的也不介绍理论根据，所以目前还不能求出任意给定的函数的值域，请同学们不必苦钻难题。
二、 典型解析【例1】求下列函数的定义域⑴ x x y ---+=331 ⑵ )3)(3(++=x x y ⑶ 831522-+-=x x x y 分析：对于⑴因偶次根式的根号内的值非负，所以⎩⎨⎧≥-≥-0303x x 解得3=x 故定义域为{}3对于⑵因幂指数为零时，底数不可以为零，所以03≠+x 故函数定义域为),3()3,(+∞---∞对于⑶因分式函数分母不可以为零，，并且偶次根式的根号内的值非负，所以⎩⎨⎧≠-+≥--08301522x x x 解得 ⎩⎨⎧-≠≠≥-≤11553x x x x 或或 故其定义域 (]),5(3,11)11,(+∞----∞ 说明：对于给定解析式的函数的定义域的求法，通常考虑偶次根式的根号内的值应当非负，分式函数的分母不能为零，幂指数为零时，底数不为零等。
在有限个实数上定义的函数，其定义域就是这有限个实数的集合；有限个基本初算函数的四则运算而合成的新函数的定义域，是各个基本初算函数的定义域的交集，并考虑新出现的分母不能为零。
函数的定义域与值域
函数的定义域与值域函数是数学中常见的概念，它描述了输入和输出之间的关系。
在函数中，定义域和值域是两个重要的概念。
本文将介绍函数的定义域与值域的定义及其在数学中的应用。
一、定义域的定义在函数中，定义域表示输入的取值范围。
换句话说，对于一个函数f(x)，定义域是指在满足特定条件下x可以取值的范围。
通常情况下，定义域可以是实数集、有理数集或整数集等。
例如，对于函数f(x) = √(x - 1)，由于在实数范围内，被开方数不能为负数，所以定义域为x ≥ 1。
二、值域的定义在函数中，值域表示函数的输出结果的集合。
换句话说，对于函数f(x)，值域是指所有可能的输出值的集合。
值域可以是实数集、有理数集或整数集等。
例如，对于函数f(x) = x^2，所有的输出结果都是非负数，所以值域为y ≥ 0。
三、定义域与值域的关系定义域和值域之间存在一定的关系。
函数的定义域决定了函数的输入范围，而函数的值域决定了函数的输出结果。
在某些情况下，函数的定义域和值域可能具有一定的约束条件。
例如，对于函数f(x) = 1/x，定义域为除了x = 0之外的所有实数集。
然而，由于分母不能为零，值域为除了y = 0之外的所有实数集。
四、定义域和值域的确定方法确定函数的定义域和值域的方法主要依赖于函数的类型和特点。
以下是一些常见的方法：1. 对于基本函数，如多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等，定义域和值域可能由函数的特性直接决定。
2. 对于复合函数，函数的定义域和值域可以通过确定组成函数的子函数的定义域和值域，并进行合适的组合得出。
3. 对于有条件约束的函数，如分段函数和绝对值函数等，定义域和值域需要根据函数的条件进行确定。
五、应用举例以下是一些常见函数及其定义域和值域的示例：1. 函数f(x) = x^2，定义域为所有实数集，值域为y ≥ 0。
2. 函数f(x) = √(x - 1)，定义域为x ≥ 1，值域为y ≥ 0。
3. 函数f(x) = 1/x，定义域为除了x = 0之外的所有实数集，值域为除了y = 0之外的所有实数集。
函数的定义域和值域知识点总结
函数的定义域和值域知识点总结1.函数的定义域：2.函数的值域：函数的值域是指函数的所有可能输出的集合，也就是因变量的取值范围。
值域是函数输出的范围，表示函数的所有可能结果。
3.定义域的确定方法：在定义一个函数时，常常需要确定函数的定义域。
一般来说，常见的函数的定义域有以下几种确定方法：-首先，需要考虑自变量存在的实值范围。
对于多项式函数和有理函数而言，一般情况下定义域为实数集。
-其次，需要考虑函数中出现开方运算、对数运算、分式运算等，这些运算存在定义范围的限制。
-最后，需要考虑函数中的分母是否为零。
当分母为零时，函数的定义域将受到限制。
4.常见函数的定义域和值域：-多项式函数的定义域为实数集，值域也是实数集。
-幂函数的定义域和值域根据指数的奇偶性来确定，如果指数为偶数，定义域为非负实数集，值域为非负实数集；如果指数为奇数，定义域和值域为实数集。
-指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。
-对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
-三角函数的定义域为实数集，值域在[-1,1]之间。
5.确定函数的定义域和值域的方法：-对于一次函数、二次函数和绝对值函数，可以直接通过函数的图像来确定定义域和值域。
-对于有更复杂形式的函数，可以通过对函数进行分析，将函数表达式中存在定义域限制的部分找出来，确定函数的定义域。
-对于一些特殊的函数，可以通过函数性质和运算性质推断其定义域和值域。
-同时，也可以通过计算等式的解或者不等式的解来确定定义域和值域。
总结起来，函数的定义域和值域是数学中对于函数输入和输出范围的描述，了解它们对于理解函数的性质和应用具有重要意义。
确定函数的定义域和值域需要考虑函数中各个运算的定义范围，分析函数表达式的性质和图像，并可以利用计算等式和不等式的解来确定。
函数的定义域和值域的确定对于函数的应用具有重要的指导意义。
函数的定义域与值域
函数的定义域与值域函数的定义域与值域是数学中一个非常重要的概念。
它们可以帮助我们更好地理解和描述函数的特征和性质。
在这篇文章中，我们将深入探讨定义域和值域，并讨论它们在实际问题中的应用。
首先，我们需要明确什么是函数的定义域和值域。
简单来说，函数的定义域是指函数能够接受输入的所有可能值的集合，而函数的值域是指函数能够产生的所有可能输出的集合。
举个例子来说，考虑一个简单的函数：f(x) = x^2。
这个函数的定义域包括所有实数，因为我们可以用任何实数作为输入来计算函数的值。
然而，这个函数的值域仅限于非负实数，因为平方运算始终产生一个非负的结果。
在数学中，我们经常使用符号来描述函数的定义域和值域。
函数的定义域通常表示为D(f)，而函数的值域通常表示为R(f)。
函数的定义域可以通过多种方式确定。
首先，我们可以根据函数的表达式来确定定义域的范围。
例如，对于一个分式函数f(x) = 1/x，我们知道分母不能为零，因此定义域不包括0。
此外，对于某些函数，定义域可能受到其他限制，例如平方根函数f(x) = √x，定义域限制为x≥0，因为负数的平方根是无解的。
除了函数的表达式，定义域还可能受到问题的实际背景约束。
例如，考虑一个表示某个物体运动距离的函数f(t)，其中t表示时间。
在这种情况下，定义域可能受到时间的限制，例如t≥0，因为时间不能为负。
对于值域的确定，我们可以通过求解函数的表达式、观察图像或进行其他数学推导来确定。
有时，值域可能很容易确定，例如三角函数sin(x)的值域是[-1, 1]，因为正弦函数的值在此范围内变化。
然而，对于某些函数，值域可能更加复杂。
考虑另一个简单的函数f(x) = x^3。
从表达式来看，我们可以看出这个函数的值域是所有实数，因为平方运算可以得到任意实数结果。
但是，通过观察其图像，我们可以发现这个函数的值域实际上是所有实数，而不仅仅是平方运算所能得到的结果。
在实际问题中，定义域和值域的概念经常被用于描述各种情况。
函数的定义域与值域
函数的定义域与值域函数是数学中的一个重要概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系。
在函数中，定义域和值域是两个关键的概念，它们分别指代了函数的输入和输出的取值范围。
一、定义域的概念在数学中，函数的定义域是指函数的自变量（输入）可以取值的范围。
简单来说，定义域就是函数中所有可能的输入值所组成的集合。
以一个简单的例子来说明定义域的概念。
考虑一个函数f(x) = √x，其中x为实数。
在这个函数中，由于开方运算的定义域为非负实数，所以函数f(x)的定义域为[0, +∞)。
也就是说，只有当x大于等于0时，函数f(x)才有定义。
定义域的确定需要考虑函数中的各种限制条件，比如根号函数中不能出现负数、分母不能为零等等。
因此，在定义函数时，我们需要仔细考虑自变量的取值范围，以确保函数在定义域内有意义。
二、值域的概念值域是函数的输出值所能取到的范围。
也就是说，值域是函数在定义域内所有可能的输出值所组成的集合。
继续以上面的函数f(x) = √x为例。
由于开方运算的结果为非负实数，所以函数f(x)的值域也为[0, +∞)。
也就是说，函数f(x)的输出值只能是大于等于0的实数。
确定函数的值域需要考虑函数的性质和限制条件。
有些函数的值域可以通过观察函数的图像来确定，而有些函数的值域则需要通过数学推导来得出。
三、定义域与值域的关系函数的定义域和值域之间存在着密切的关系。
一般来说，函数的值域是由定义域内的元素经过函数运算得到的结果所组成的。
对于一些简单的函数，比如线性函数y = kx + b，其中k和b为常数，它们的定义域和值域可以很容易地确定。
但对于一些复杂的函数，比如三角函数、指数函数等，确定定义域和值域就需要更深入的研究。
在实际问题中，函数的定义域和值域常常与问题的背景相关。
比如在描述人口增长的函数中，定义域可能是非负实数集合，而值域则可能是正实数集合。
总结起来，函数的定义域和值域是函数的重要属性，它们描述了函数输入和输出的取值范围。
函数的定义域与值域
函数的定义域与值域函数是数学中常见的概念，它在实际问题中起到了非常重要的作用。
而函数的定义域与值域是函数的两个重要属性，它们决定了函数的输入与输出的范围。
本文将详细讨论函数的定义域与值域的概念、计算方法以及应用。
一、函数的定义域函数的定义域指的是函数中所有可能的输入值所构成的集合。
通俗地说，定义域就是函数的自变量（输入）的取值范围。
对于一元函数，我们可以通过分析函数的解析式来确定其定义域。
例如，对于函数f(x) = √(x + 1)，我们可以发现根号下的被开方数必须大于等于0，所以函数的定义域为x ≥ -1。
对于多元函数，定义域的确定更为复杂，需要考虑各个自变量之间的约束关系。
以二元函数f(x, y) = √(x + y)为例，需要满足x + y ≥ 0，因此定义域为x + y ≥ 0的平面区域。
二、函数的值域函数的值域指的是函数中所有可能的输出值所构成的集合。
通俗地说，值域就是函数的因变量（输出）的取值范围。
对于简单的函数来说，我们可以通过分析函数的图像来确定其值域。
例如，对于函数f(x) = x²，我们可以发现函数的图像是一个开口向上的抛物线，因此它的值域为y ≥ 0的区间。
对于复杂的函数，我们通常需要借助数学工具来计算其值域。
例如，对于函数f(x) = 1 / x，在无穷大、无穷小附近的值都可以取得，因此其值域为除了0以外的所有实数。
三、定义域与值域的应用函数的定义域与值域在实际问题中具有广泛的应用，下面以几个具体例子说明其用途。
1. 对于自然科学中的物理问题，函数的定义域和值域可以帮助我们确定问题的合理范围和可能结果。
例如，对于自由落体运动的位移函数，定义域可以告诉我们物体下落的时间范围，值域可以告诉我们物体的落地位置范围。
2. 在经济学中，函数的定义域和值域可以帮助我们理解和分析经济问题。
例如，对于需求曲线和供给曲线，定义域可以表示价格的取值范围，值域可以表示商品的数量范围。
函数的值域和定义域课件
函数的表示方法
总结词
函数的表示方法有多种，包括解析法、表格法和图象法。
详细描述
解析法是通过数学表达式来表示函数关系，例如y=f(x)。表格法是通过列出输入值和对应的输出值来展示函数关 系。图象法则是通过绘制函数图像来表示函数关系，图像上的点(x,y)满足函数的对应关系。
函数的分 类
总结词
根据不同的分类标准，函数可以分为多种类型。
在实际生活中的应用
经济模型
在建立经济模型时，函数的值域 和定义域可以用来描述经济变量 之间的关系，如需求和供给函数。
数据分析
在进行数据分析时，确定数据的 值域和定义域有助于进行数据清 洗、数据可视化和统计推断等操
作。
工程设计
在工程设计中，如机械、电子和 航空航天等领域，函数的值域和 定义域可以用来分析设计参数对
值域是函数图像在y轴上的投影，反映了函数因变量取值的变 化范围。
确定值域的方法
01
02
03
观察法
通过观察函数表达式或图 像，了解函数的变化趋势 和取值范围，从而确定值 域。
反推法
根据函数的最值点或特定 点，反推出函数的值域。
代数法
通过代数运算和不等式求 解，确定函数的值域。
常见函数的值域
常数函数
分式函数：分母不为0，即$x neq pm a$ （a为常数）；
04
根式函数：被开方数大于等于0，即$x geq 0$；
对数函数：真数大于0，即$x > 0$；
05
06
指数函数：底数大于0且不等于1，即$x > 0$且$x neq 1$。
03
函数的值域
值域的概念
值域是函数所有可能取值的集合，即当自变量在定义域内取 值时，因变量所对应的值的全体。
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第五讲 函数的定义域与值域班级________ 姓名________ 学号________日期________ 得分________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．将正确答案的代号填在题后的括号内)1．函数y ＝(x ＋1)0|x |－x 的定义域是( )A ．{x |x <0}B ．{x |x >0}C ．{x |x <0，且x ≠－1}D ．{x |x ≠0，且x ≠－1，x ∈R}2．(2011·北京)设A (0,0)，B (4,0)，C (t ＋4,4)，D (t,4)，(t ∈R)．记N (t )为平行四边形ABCD 内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N (t )的值域为( )A ．{9,10,11}B ．{9,10,12}C ．{9,11,12}D ．{10,11,12}3．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，(x <g (x ))g (x )－x ，(x ≥g (x ))，则f (x )的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞) 4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，(|x |≥1)x ，(|x |＜1).g (x )是二次函数，若f [g (x )]的值域为[0，＋∞)，则g (x )的值域是( )A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C．[0，＋∞)D．[1，＋∞)5．已知函数f(x)的定义域为[1,9]，且当1≤x≤9时，f(x)＝x＋2，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域为()A．[1,3]B．[1,9]C．[12,36] D．[12,204]6．若函数y＝x2－6x－16的定义域为[0，m]，值域为[－25，－16]，则m的取值范围为()A．(0,8] B．[3,8]C．[3,6] D．[3，＋∞)二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．把正确答案填在题后的横线上)7．若函数f(x＋1)的定义域是[1,2]，则函数f(x)的定义域为________．8．函数y＝2x－5x－3的值域是{y|y≤0，或y≥4}，则此函数的定义域为________．9．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为________．10．(2011·上海)g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x)＝x＋g(x)在区间[3,4]上的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[－10,10]上的值域为________．三、解答题(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分．写出证明过程或推演步骤)11．已知函数y＝mx2－6mx＋m＋8的定义域为R.(1)求实数m的取值范围；(2)当m变化时，若y的最小值为f(m)，求函数f(m)的值域．12．(2011·南昌模拟)设f(x)＝2x2x＋1，g(x)＝ax＋5－2a(a>0)．(1)求f(x)在x∈[0,1]上的值域；(2)若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a 的取值范围．13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－1x ，(x ≥1)1x －1，(0<x <1).(1)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b 的值；(2)是否存在实数a ，b (a <b )，使得函数y ＝f (x )的定义域、值域都是[a ，b ]，若存在，则求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0|x |－x >0，解得x <0，且x ≠－1，故定义域是{x |x <0，且x ≠－1}．答案 C2解析 由图可知，整点的纵坐标有三种可能，即1,2,3，每行的整点可能是3个或4个，如果每行都是3个整点，如t ＝0时，那么共有9个整点；如果每行都是4个整点，如t ＝0.5时，那么共有12个整点；如果有的行是3个整点，有的行是4个整点，如t ＝43时，那么共有11个整点，所以N (t )的值域为{9,11,12}．答案 C评析 本题主要考查对整点的理解，考查分类讨论、应用知识解决问题的能力．对于平行四边形内的整点，要考虑各种可能的情况，可以利用数形结合的方法直观解题．3解析 令x <g (x )，即x 2－x －2>0，解得x <－1，或x >2.令x ≥g (x )，而x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2.故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，(x <－1，或x >2)x 2－x －2，(－1≤x ≤2).当x <－1， 或x >2时，函数f (x )>f (－1)＝2；当－1≤x ≤2时，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f (x )≤f (－1)，即－94≤f (x )≤0.故函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)．答案 D4解析 设t ＝g (x )，则f [g (x )]＝f (t )，∴t ＝g (x )的值域即为f (t )的定义域．画出函数y ＝f (x )的图像(如图)．∵函数f [g (x )]的值域为[0，＋∞)， ∴函数f (t )的值域为[0，＋∞)．∵g (x )是二次函数，且g (x )的值域即为f (t )的定义域， ∴由图像可知f (t )的定义域为[0，＋∞)， 即g (x )的值域为[0，＋∞)． 答案 C5解析 ∵函数f (x )的定义域为[1,9]，∴要使函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤91≤x 2≤9，解得1≤x ≤3，∴函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为[1,3]．∵当1≤x ≤9时，f (x )＝x ＋2，∴当1≤x ≤3时，y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(x ＋2)2＋(x 2＋2)＝2(x ＋1)2＋4，∴当x ＝1时，y min ＝12，当x ＝3 时，y max ＝36，∴所求函数的值域为[12,36]，故答案选C.答案 C评析 本题容易忽视复合函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域，而错误地把f (x )的定义域[1,9]当作函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域，从而得出错误的结果D.6解析 函数y ＝(x －3)2－25，因为函数的定义域为[0，m ]，值域为[－25，－16]，而当x ＝0时，y ＝－16，当x ＝3时，y ＝－25，由二次函数的对称性可得m 的取值范围为[3,6]，故选C.答案 C7解析 ∵f (x ＋1)的定义域是[1,2]， ∴f (x )的定义域为[2,3]， 对于函数f (x )满足2≤x ≤3， ∴4≤x ≤9.∴f (x )的定义域为[4,9]． 答案 [4,9]8解析 ∵y ≤0，或y ≥4，∴2x －5x －3≤0，或2x －5x －3≥4.∴52≤x ＜3，或3＜x ≤72. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，3∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3，729解析 由图像可知[a ，b ]应为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3的一个子区间．当a ＝13，b＝1时b －a 取最小值为23.答案 2310解析 令f (x )分别在x 1，x 2(x 1，x 2∈[3,4])处取得最大、小值，即f (x 1)＝x 1＋g (x 1)＝5，f (x 2)＝x 2＋g (x 2)＝－2，因为y ＝x 为增函数，y ＝g (x )的周期为1，故f (x 1＋6)是f (x )在[9,10]上的最大值，此即为f (x )在[－10,10]上的最大值．f (x 2－13)是f (x )在[－10，－9]上的最小值，此即为f (x )在[－10,10]的最小值．f (x 1＋6)＝x 1＋6＋g (x 1＋6)＝x 1＋g (x 1)＋6＝11.f (x 2－13)＝x 2－13＋g (x 2－13)＝x 2＋g (x 2)－13＝－15.故值域为[－15,11]．答案 [－15,11]11解 (1)依题意当x ∈R 时，mx 2－6mx ＋m ＋8≥0恒成立．当m ＝0时，x ∈R ；当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0(－6m )2－4m (m ＋8)≤0. 解之得0＜m ≤1，故实数m 的取值范围是0≤m ≤1. (2)当m ＝0时，y ＝22；当0＜m ≤1时，y ＝m (x －3)2＋8－8m ， ∴y min ＝8－8m ，因此f (m )＝8－8m (0≤m ≤1)， ∴f (m )的值域为[0,22]．12解 (1)解法一：(导数法)f ′(x )＝4x (x ＋1)－2x 2(x ＋1)2＝2x 2＋4x (x ＋1)2≥0在x ∈[0,1]上恒成立． ∴f (x )在[0,1]上单调递增， ∴f (x )值域[0,1]．解法二：f (x )＝2x 2x ＋1＝⎩⎨⎧0，(x ＝0)，21x ＋1x 2，(x ∈(0，1])，用复合函数求值域． 解法三：f (x )＝2x 2x ＋1＝2(x ＋1)2－4(x ＋1)＋2x ＋1＝2(x ＋1)＋2x ＋1－4，用双勾函数求值域．(2)f (x )值域[0,1]，g (x )＝ax ＋5－2a (a >0)在x ∈[0,1]上的值域[5－2a,5－a ]．由条件，只需[0,1]⊆[5－2a,5－a ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧5－2a ≤0，5－a ≥1，⇒52≤a ≤4. 13解(1)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－1x ，(x ≥1)1x －1，(0<x <1)，∴f (x )在(0,1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数． 由0<a <b ，且f (a )＝f (b )，可得 0<a <1≤b ，且1a －1＝1－1b ，∴1a ＋1b ＝2. (2)不存在满足条件的实数a ，b . 若存在满足条件的实数a ，b ，则0<a <b .①当a ，b ∈(0,1)时，f (x )＝1x －1在(0,1)上为减函数．故⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝b f (b )＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1＝b1b －1＝a .解得a ＝b .故此时不存在符合条件的实数a ，b .②当a ，b ∈[1，＋∞)时，f (x )＝1－1x 在[1，＋∞)上是增函数．故⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝a f (b )＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－1a ＝a1－1b ＝b .此时a ，b 是方程x 2－x ＋1＝0的根，此方程无实根．故此时不存在符合条件的实数a ，b .③当a ∈(0,1)，b ∈[1，＋∞)时，由于1∈[a ，b ]，而f (1)＝0∉[a ，b ]，故此时不存在适合条件的实数a ，b .综上可知，不存在适合条件的实数a ，b .。