对《不等式选讲》的认识与思考

对《不等式选讲》的认识与思考1．《不等式选讲》构成的背景及其定位众所周知，不等式一直在中学数学教材中占有相当的位置，也一直是高考中的必考内容，但由于“不等式的证明”所涉及到的复杂变换技巧和过于形式化的知识特点，给学生的学习带来了一定的困难，因此，近些年来，不等式内容有逐渐淡化处理的倾向。

例如，1963年制定的《全日制数学教学大纲》在我国数学教育史上首次提出要培养学生的“三大能力”（计算能力、逻辑思维能力、空间想象能力），根据该大纲编写的高中数学教材（普遍认为是建国以来编写得最好的一套教材）对不等式学习的要求较高；1978年制定的《全日制十年制学校中学数学教学大纲》，首次提出了“逐步培养学生分析问题和解决问题的能力”，对不等式学习的要求有增无减；1986年，国家教委按照“适当降低难度、减轻学生负担、教学要求尽量明确具体”的三项原则制定了《全日制中学数学教学大纲》，对不等式学习的要求开始降低，特别是对“不等式的证明”只要求会用重要不等式证明或求解一些简单问题；伴随着90年代“素质教育”的大力提倡，被认为“繁难”的不等式证明最终以“选修”教材的形式出现。

总的来说，不等式问题的处理逐渐呈现出淡化理论阐述与推导、减少恒等变换的技巧训练的趋势。

《普通高中数学课程标准》（实验稿）对不等式的处理分为两个部分：一是必修模块数学5中的一元二次不等式、二元一次不等式组以及基本不等式ab b a ≥+2，重在强调不等式的现实背景和实际应用，把不等式作为描述、刻画优化问题的一种数学模型；二是选修系列4中的专题5——“不等式选讲”，涉及的内容仍然大都是基础性的不等式知识，如，含有绝对值的不等式、不等式的基本证明方法、几个重要的不等式等。

特别值得注意的是，“不等式选讲”仍属于高等院校招生考试的命题范围。

而且，考虑到不等式在高等数学中的基础性和工具性特点，《标准》在“不等式选讲”中增加了“柯西不等式”、“排序不等式”、“贝努利不等式”等几个重要不等式的内容，并特别强调这些不等式的几何背景知识的介绍，意在增强学生对不等式本质的认识，为后续进一步的学习做准备。

2．新增内容的特点及其设列意向“不等式选讲”中真正能称得上是新增内容的实质上只有柯西不等式和排序不等式，贝努利不等式作为数学归纳法的一个简单应用算不上是新内容，而排序不等式的去留又一直存在着争议。

这样，柯西不等式就成为本专题的一大特色内容。

鉴于此，此处仅重点讨论一下柯西不等式的特点及其设列意向，顺便介绍排序不等式的大概情况。

一般来讲，柯西不等式∑∑∑===≥ni i i n i i n i ib a b a 121212)(是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“留数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauch-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，并将这一不等式应用到近乎完善的地步[⎰⎰⎰≤b a b a ba dx x g dx x f dx x g x f )()())()((222]。

这也说明，柯西不等式主要是作为数学分析的重要工具受到关注的。

但真正能显示其魅力的还在于它与高等代数中的内积空间的密切联系，即任意两个向量βα,的夹角βα,的余弦βαβαβα⋅∙=〉〈,cos ，于是1≤⋅∙βαβα，这就是柯西不等式的向量形式，如果设),,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα，容易得到∑∑∑===≥ni i i n i i n i ib a b a 121212)(。

可以说，《标准》将柯西不等式列为“不等式选讲”的重要内容，正是看中它的这一数学背景。

柯西不等式的向量形式将数学中的两个重要概念长度和角度（只考虑长度又如何？）内在地统一起来处理，一定程度上体现了数学的统一性和美感，作为中学数学的内容很有必要（多个国家的数学教材中也早已采用）。

但考虑到中学生数学学习的实际情况以及当前课程改革的基本理念，柯西不等式的呈现仍不宜过难，基本上应以二维形式为主，即重点研究22222)())((bd ac d c b a +≥++及其简单应用，而且还应淡化过于技巧化的式的变换。

★关于不等式22222)())((bd ac d c b a +≥++的证明及其几何背景（1）由于,))((222222222222c b d a d b c a d c b a +++=++22)()(ad bc bd ac -++=.22222222c b d a d b c a +++从而222222)()())((ad bc bd ac d c b a -++=++，又2)(ad bc -非负 所以，22222)())((bd ac d c b a +≥++。

（2）证明 22222)())((bd ac d c b a +≥++⇔ 0)())((22222≥+-++bd ac d c b a⇔ 0)2(222222222222≥++-+++d b abcd c a d b d a c b c a⇔ 022222≥-+abcd d a c b⇔0)(2≥-ad bc几何背景：如图，在三角形OPQ 中，c Q b a P ,(),,(则 ,,2222d c OQ b a OP +=+= .)()(22d b c a PQ -+-= b ）将以上三式代入余弦定理θcos 2222⋅⋅-+=OQ OP OQ OP PQ ，并化简，可得2222cos d c b a bdac +⋅++=θ或.))(()(cos 222222d c b a bd ac +++=θ 因为1cos 02≤≤θ，所以，1))(()(22222≤+++d c b a bd ac ， 于是22222)())((bd ac d c b a +≥++. 教材编写和教学过程重点则应放在柯西不等式的几何解释、向量背景以及实际应用上。

★柯西不等式的相关内容简介（1） 赫尔德(Holder)不等式)111()()(2211121121=++++≥++++++q p b a b a b a b b b a a a n n q q n q q p p n p p 当2==q p 时，即为柯西不等式。

因此，赫尔德不等式是柯西不等式更为一般的形式，在分析学中有着较为广泛的应用。

（2） 平面三角不等式（柯西不等式的等价形式）22222112222122221)()()(n n n n b a b a b a b b b a a a ++++++≥+++++++ 可以借助其二维形式22221122212221)()(b a b a b b a a +++≥+++来理解，根据三角形的两边之和大于第三边，很容易验证这一不等式的正确性。

该不等式的一般形式p p n n p p p p n p p p p n p p b a b a b a b b b a a a 12211121121])()()[()()(++++++≥+++++++ 称为闵可夫斯基（Minkowski ）不等式。

它是由闵可夫斯基在对n 维空间中的对称凸几何体定义了一种“距离”的基础上得到的，即对于点),,,(),,,,(2121n n y y y y x x x x ==，定义其距离为pn i p i i y x y x 1)(),(∑-=ρ.闵可夫斯基立足于这一不等式确立了相应的几何，建立了一种类似于现代度量空间的理论，即实变函数中的赋范空间基础。

这从另一个侧面体现了柯西不等式的丰富数学背景。

★排序不等式的设列意向及其基本思想排序不等式还从来没有作为正式内容进入中学教材。

《标准》之所以将其作为重要不等式提出来，主要是看中了其蕴含的一种重要数学思想——排序思想。

如所知，在解各种涉及到若干个可以比较大小的对象（如实数、线段、角度等）n a a a ,,,21 的数学问题时，如果根据对称性，假定他们按一定的顺序排列起来，往往能使问题迎刃而解。

这就是数学中的排序思想。

可以借助一个几何问题来认识排序不等式。

B n 设α=∠AOB （常数），在OA 边上顺次取n B j个点n A A A ,,,21 ，在OB 边上顺次取n 个点 B 1n B B B ,,,21 .将任意两个点j i B A ,连结，得到 O A 1 A i A n j i OB A ∆，这样一共可以搭配成n 个三角形。

显然，搭配的方式不同，得到的三角形j i OB A ∆不同，面积也就可能不一样。

问：如何搭配，才能使得到的n 个三角形面积的总和最大？最小？不妨设).,,2,1,(,n j i b OB a OA j j i i ===由题设知,321n a a a a <<<< （1）,321n b b b b <<<< （2） 因为αsin 21j i OB A b a S j i =∆，而αsin 21是常数。

于是，上述几何问题就归结为下面的代数问题：在数组（1）中取定1a ，然后在数组（2）中任取1j b ，得乘积11j b a ；再取2a 及1j b 作乘积2a 1j b ；类似地，得乘积nj n b a 。

这n 个乘积的和是 11j b a + 2a 1j b +…+ nj n b a 问怎样安排n j j j ,,,21 ，使这个和最大或最小。

这个问题的解就是下面的排序不等式。

一般地，设有两组正数n a a a ,,,21 与n b b b ,,,21 ，且n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21. 若将两组中的数一对一相乘后再相加，则其和同序时最大，倒序时最小.即（倒序）（乱序）（同序）112121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n i n i i nn n+++≥+++≥+++- 其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的任一个排列，等号当且仅当na a a === 21或n b b b === 21时成立。

其证明一般采用“逐步调整法”进行，教材对此不作要求，但要会用“向量递归方法”讨论这一不等式成立的事实。

排序不等式也有广泛的应用，许多重要的不等式（如柯西不等式、平均不等式等）都可以由它推得。

此外，它在涉及最优化问题的实际生活中也是重要的解决工具。

《不等式选讲》标准在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系。

它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式和它们的证明、数学归纳法和它的简单应用。

本专题特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。