快速傅立叶变换(FFT)函数使用说明文档
快速傅里叶变换 FFT
因为
，所以：
上式中X1(k)和X2(k)分别为x2(r)和x2(r)的N/2点DFT， 即
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且 X(k)又可表示为：
，以
即将一个N点的DFT分解成为两个N/2点的DFT。 上述运算可用右下图来表示，称为蝶形运算符号。
从右图可知，要完成一 个蝶形运算需要进行一 次复数相乘和两次复数 相加运算。
对于象雷达、通信、声纳等需要实时处理的信号， 因为其运算量更大，所以无法满足信号处理的实时 性要求。迫切需要有新的算法。
二、DFT运算的特点
实际上，DFT运算中包含有大量的重复运算。在WN
矩阵中，虽然其中有N2个元素，但由于WN的周期
性，其中只有N个独立的值，即
，且
这N个值也有一些对称关系。总之，WN因子具有如 下所述周期性及对称性：
N 1
X (k) x(n)WNkn n0
x(n)
1 N
N 1
X (k)WNkn
k 0
k 0,1,2, , N 1 n 0,1,2, , N 1
计算X(k)的运算量：需要N2次复数乘法，N(N－1)
次复数加法。在N较大时计算量很大。
例如：N＝1024时, 需要1,048,576次复数乘法, 即 4,194,304次实数乘法
1.对称性
2.周期性 由上述特性还可得出：
利用上述对称特性，可使DFT运算中有些项可以合 并，这样，可使乘法次数减少大约一半；利用WN 矩阵的对称性及周期性，可以将长序列的DFT分解 为短序列的DFT，N越小，运算量能够减少。 例如，对于四点的DFT，直接计算需要16次复数乘 法，根据上述特性可以有以下形5年，J. W. Cooley和J. W. Tukey巧妙应用DFT中 W因子的周期性及对称性提出了最早的FFT，这是 基于时间抽取的FFT。具有里程碑式的贡献(运算量 缩短两个数量级)
快速傅里叶变换FFT算法及其应用
快速傅里叶变换FFT算法及其应用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）的算法，它可以将一个时间域上的信号转换为频域上的表示。
FFT算法的提出改变了信号处理、图像处理、音频处理等领域的发展，广泛应用于各种科学与工程领域。
FFT算法的基本思想是将一个N点的DFT分解为多个较小规模的DFT，然后再通过合并子问题的解来得到原问题的解。
这种分治思想使得FFT算法的时间复杂度从O(N^2)降低到了O(NlogN)，大大提高了计算效率。
FFT算法主要利用了DFT的对称性和周期性质，通过递归和迭代的方式，以分离出DFT的实部和虚部的形式计算出频域上的信号。
FFT算法的应用非常广泛。
在通信领域中，FFT算法常被用于信号的频谱分析、频域滤波、信号调制解调等方面。
在图像处理中，FFT算法可用于图像增强、滤波、噪声去除等。
在音频处理中，FFT算法可以用于音频压缩、声音合成等。
此外，FFT算法还广泛应用于科学计算、数字信号处理、雷达信号处理、语音识别、生物信息学等领域。
以音频处理为例，使用FFT算法可以将音频信号从时域转换到频域表示，使得我们可以对音频信号进行频谱分析。
通过FFT计算，我们可以获取音频信号的频率分量、频谱特征、能量分布等信息。
这对于音频的压缩、降噪、音频增强、音频特征提取等操作非常有帮助。
例如，在音频压缩中，我们可以根据音频信号的频谱特性，选择性地保留主要的频率成分，从而实现压缩效果。
而在音频增强中，我们可以通过FFT计算，去除或减弱一些频率上的噪声，提高音频的质量。
在实际应用中，为了提高计算效率和减少计算量，通常会使用基于FFT算法的快速卷积、快速滤波等技术。
这些技术可以利用FFT算法的高效性质，实现更快速、更准确的计算。
此外，也可以采用多线程、并行计算等技术，进一步提高FFT算法的性能。
MATLAB信号频谱分析FFT详解
MATLAB信号频谱分析FFT详解FFT（快速傅里叶变换）是一种常用的信号频谱分析方法，它可以将信号从时域转换到频域，以便更好地分析信号中不同频率成分的特征。
在MATLAB中，使用fft函数可以方便地进行信号频谱分析。
首先，我们先介绍一下傅里叶变换的基本概念。
傅里叶变换是一种将信号分解成不同频率成分的技术。
对于任意一个周期信号x(t)，其傅里叶变换X(f)可以表示为：X(f) = ∫(x(t)e^(-j2πft))dt其中，X(f)表示信号在频率域上的幅度和相位信息，f表示频率。
傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，以便更好地分析信号的频率特征。
而FFT（快速傅里叶变换）是一种计算傅里叶变换的高效算法，它通过分治法将傅里叶变换的计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，提高了计算效率。
在MATLAB中，fft函数可以方便地计算信号的傅里叶变换。
使用FFT进行信号频谱分析的步骤如下：1. 构造信号：首先，我们需要构造一个信号用于分析。
可以使用MATLAB中的一些函数生成各种信号，比如sin、cos、square等。
2. 采样信号：信号通常是连续的，为了进行FFT分析，我们需要将信号离散化，即进行采样。
使用MATLAB中的linspace函数可以生成一定长度的离散信号。
3. 计算FFT：使用MATLAB中的fft函数可以方便地计算信号的FFT。
fft函数的输入参数是离散信号的向量，返回结果是信号在频率域上的复数值。
4. 频率换算：信号在频域上的复数值其实是以采样频率为单位的。
为了更好地观察频率成分，我们通常将其转换为以Hz为单位的频率。
可以使用MATLAB中的linspace函数生成一个对应频率的向量。
5. 幅度谱计算：频域上的复数值可以由实部和虚部表示，我们一般更关注其幅度，即信号的相对强度。
可以使用abs函数计算出频域上的幅度谱。
6. 相位谱计算：除了幅度谱，信号在频域上的相位信息也是重要的。
第03章-5 快速傅里叶变换(FFT)
令 得到
上面两式所表示的是N/2的DFT。
在实际计算中，首先形成序列g(n)和h(n)，然后计算h(n)WNn，最后分 别计算g(n) 和h(n)WNn的N/2点DFT，便得到偶数输出点和奇数输出点 的DFT。计算流程图如图3. 24所示。
由于N是2的整数幂，所以N/2仍然是偶数。这样，可以将N/2点DFT 的输出再分为偶数组和奇数组，也就是将N/2点的DFT计算进一步分 解为两个N/4点的DFT计算，其推导过程如下。 将g(n)分为前后两组，得到
图中用n表示自然顺序的标号，用l表示码位倒置的标号。当l=n时， x(n)和x(l)不必互相调换。当l≠n时， 必须将x(l)和x(n)互相调换，但只 能调换一次，为此必须规定每当l>n时，要将x(l)和x(n)相互调换，即 把原来存放x(n)的存储单元中的数据调入存储x(l)的存储单元中，而 把原来存储x(l)的存储单元中的数据调入到存储x(n)的存储单元中。 这样，按自然序输入的数据x(n)经过变址计算后变成了码位倒 置的排列顺序，便可进入第一级的蝶形运算。
3. 5. 3 蝶形、同址和变址计算 1. 蝶形计算 任何一个N为2的整数幂(即N=2M)的DFT，都可以通过M次分解，最 后成为2点的 DFT来计算。M次分解构成了从x(n)到X(k)的M级迭代计 算，每级由N/2个蝶形组成。图3.20表示了蝶形的一般形式表示。 其输入和输出之间满足下列关系：
从上式可以看出完成一个蝶形计 算需一次复数乘法和两次复数加法。 因此，完成N点的时间抽选FFT计 算的总运算量为
大多数情况下复数乘法所花的时间最多，因此下面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ以复数乘 法的计算次数为例来与直接计算进行比较。 直接计算DFT需要的乘法次数为αD=N2，于是有
fft 快速傅里叶变换 (fast fourier transform)
FFT 快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform) 是一种用于快速计算傅里叶变换的算法，是在傅里叶变换的基础上发展而来的。
FFT 算法被广泛应用于数字信号处理、图像处理、声音处理、卷积操作、解析几何等领域，它的高效性和实时性使得它成为了当今计算机科学领域不可或缺的一部分。
一、傅里叶变换简介傅里叶变换是将一个时域信号转换为频域信号的过程，其公式如下：$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$其中，$f(t)$ 表示时域信号，$F(\omega)$ 表示频域信号，$\omega$ 表示角频率。
傅里叶变换可以分为连续傅里叶变换和离散傅里叶变换两种。
连续傅里叶变换仅适用于连续信号，而离散傅里叶变换适用于离散信号。
二、离散傅里叶变换离散傅里叶变换是一种将离散信号变换为频域信号的方法，其公式如下：$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{-\frac{2\pi i}{N}kn},k=0,1,...,N-1$其中，$x_n(n=0,1,...,N-1)$ 表示原始离散信号，$X_k(k=0,1,...,N-1)$ 表示变换后的频域信号。
但是，使用该公式直接计算离散傅里叶变换的时间复杂度为$O(N^2)$，计算效率低下。
三、FFT 快速傅里叶变换FFT 快速傅里叶变换是一种基于DFT 离散傅里叶变换的高效算法，它的时间复杂度可以达到$O(NlogN)$，较之直接计算DFT 的时间复杂度要低得多。
FFT 算法的基本思想是将 DFT 分治成多个较小的 DFT，并利用其重复性降低运算次数。
1.蝴蝶运算蝴蝶运算是 FFT 算法的基本运算，通过它可以将 DFT 的计算复杂度降低为 $O(N)$。
蝴蝶运算的实质是将两个相邻点之间的信号进行乘法和加法运算，其公式如下：$X_k=X_{k1}+W_{N}^kX_{k2},X_{k+N/2}=X_{k1}-W_{N}^kX_{k2}$其中，$X_{k1}$ 表示 $X_k$ 中偶数项，$X_{k2}$ 表示 $X_k$ 中奇数项，$W_N$ 是DFT 的核函数。
快速傅里叶变换FFT算法及其应用_————
快速傅里叶变换FFT算法及其应用_————快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，简称FFT）是一种高效的计算傅里叶变换的算法，广泛应用于信号处理、图像处理、语音识别、音频压缩等领域。
它的优点是能够大幅度减少计算量，提高算法的运行速度。
FFT算法的核心思想是将复杂度为O(n^2)的DFT（离散傅里叶变换）转化为复杂度为O(nlogn)的运算。
它通过利用分治的思想，将一个规模为n的DFT分解为多个规模为n/2的子问题，然后再将子问题进一步分解，最终得到一系列规模为1的问题，即基本DFT。
然后通过计算每个基本DFT的结果，再经过一系列合并操作，得到最终的DFT结果。
FFT算法的步骤如下：1.将输入的序列进行位逆序排列。
通过位逆序排列可以将基本DFT的计算顺序优化成一定的规律，方便后续的计算。
2.对序列进行迭代式的分解和合并操作。
首先将序列拆分成两个长度为n/2的子序列，然后对子序列进行递归的FFT计算，再将两个子序列合并为一个序列的DFT结果。
3.重复以上步骤，直到计算得到最终的DFT结果。
FFT算法的应用非常广泛。
以下是一些常见的应用场景：1.信号处理：FFT算法在信号处理中广泛应用于频谱分析、滤波器设计、波形合成等方面。
它可以将信号从时间域转化到频域，方便分析信号的频谱特性。
2.图像处理：在图像处理中，FFT算法常用于图像增强、去噪、边缘检测等方面。
通过将图像转换到频域，可以更好地处理图像中的频域信息。
3.音频压缩：FFT算法在音频压缩中起到了至关重要的作用。
通过将音频信号转换到频域，可以将音频信号中的冗余信息去除，以达到音频压缩的目的。
4.语音识别：在语音识别中，FFT算法用于提取语音信号的频谱特征，以便进行语音识别算法的进一步处理。
5.通信系统：FFT算法在OFDM（正交频分复用）通信系统中得到了广泛的应用。
通过将信号转换到频域，可以减小不同子载波之间的干扰，提高通信系统的容量和可靠性。
python fft和ifft用法-概述说明以及解释
python fft和ifft用法-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容通常用于介绍文章的主题和目标，以及为读者提供一个整体的认识和背景信息。
下面是一种可能的概述部分的内容：1.1 概述Python中的FFT（快速傅立叶变换）和IFFT（逆快速傅立叶变换）是一对重要的信号处理工具，它们在多个领域中被广泛应用。
FFT和IFFT 的算法以及其在数字信号处理中的作用是理解和掌握Python信号处理的重要基础。
本文将详细介绍FFT和IFFT的用法，并探讨它们在信号处理中的实际应用案例。
首先，我们将对FFT的基本概念和算法进行介绍，包括如何将时域信号转换为频域信号，并解释频谱分析和频域滤波的基本原理。
然后，我们将介绍IFFT的概念和用法，包括如何将频域信号转换回时域信号，以及如何利用IFFT进行信号重构和滤波。
通过学习和掌握这些基础知识，读者将能够更好地理解和应用FFT和IFFT。
总之，本文旨在为读者提供一个全面的了解FFT和IFFT在Python中的用法，并展示它们在实际信号处理中的应用案例。
无论你是初学者还是有一些基础的读者，本文都将帮助你快速入门和深入理解这些强大的信号处理工具。
让我们开始探索吧！文章结构部分的内容应包括对整篇文章的组织方式和各个章节的简要介绍。
文章的组织方式是按照引言、正文和结论三大部分来分章节，以便更好地展示和阐述Python中FFT和IFFT的用法。
引言部分将提供文章的背景和目的，正文部分将详细介绍FFT和IFFT的概念、用法和实例，结论部分将总结FFT和IFFT的应用，以及展示一些实际应用案例。
具体各章节的简要介绍如下：1. 引言1.1 概述：对文章内容进行简短的概述，介绍FFT和IFFT的基本概念和作用。
1.2 文章结构：本节主要介绍文章的组织方式和各章节的内容安排。
1.3 目的：明确文章撰写的目的和意义，说明读者可以从本文中获得什么。
2. 正文2.1 FFT的介绍和用法：详细介绍FFT（快速傅里叶变换）的原理、步骤和常见应用场景，同时提供Python中使用FFT的方法和示例代码。
fft曲线平滑-概述说明以及解释
fft曲线平滑-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述FFT（Fast Fourier Transform，快速傅里叶变换）是一种广泛应用于信号处理和频谱分析的算法。
通过将信号从时域转换为频域，FFT能够分析信号中的频率成分，从而实现对信号的特征提取、滤波和谱分析等功能。
在信号处理领域，FFT被广泛应用于音频处理、图像处理、通信系统、雷达系统等众多领域。
通过将信号转换为频域表示，FFT能够快速计算信号的频谱，并提取信号中的频率特征。
这为进一步的信号分析和处理提供了基础。
本文的重点是FFT曲线平滑方法。
在实际应用中，我们常常会遇到从FFT得到的频谱曲线存在噪声或震荡的情况。
这些噪声和震荡会对进一步的信号分析和处理带来困扰。
为了去除这些噪声和震荡，研究人员提出了各种FFT曲线平滑的方法。
这些方法包括基于窗函数的平滑、滑动平均平滑、高斯平滑等。
本文将介绍这些方法的原理和应用，并比较它们的优劣。
通过对FFT曲线的平滑处理，我们可以得到更准确和可靠的频谱结果。
这将有助于在音频处理、图像处理和通信系统等领域中更好地分析和理解信号。
同时，FFT曲线平滑方法的研究也是一个不断发展的领域，未来我们可以期待更多更有效的平滑算法的出现。
通过本文的学习，读者将能够深入了解FFT的基本原理、应用，以及FFT曲线平滑方法的原理、效果和应用。
同时，读者也可以对FFT曲线平滑的未来发展进行展望。
本文的目的是为读者提供一个全面的介绍和参考，帮助读者更好地理解和应用FFT曲线平滑技术。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以是以下几点：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要对文章的研究对象进行概述，介绍FFT曲线平滑的背景和意义。
同时，还会对整个文章的结构进行简要说明，为读者提供一个概览。
正文部分是整篇文章的核心部分，包括FFT的基本原理、FFT在信号处理中的应用以及FFT曲线平滑的方法。
在2.1节中，我们将介绍FFT的基本原理，包括离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）的基本概念和理论基础。
FFT快速傅里叶变换详解
FFT快速傅里叶变换详解FFT（Fast Fourier Transform）快速傅里叶变换是一种高效的算法，用于将一个信号的时域表示转换为频域表示。
它基于分治思想，通过递归的将输入序列划分为较小的子序列，然后合并子序列的变换结果来获得整个序列的变换结果。
蝶形算法是FFT的核心思想之一、它通过将输入序列分为两组，每组包含偶数索引和奇数索引的元素，然后对每组执行蝶形计算。
蝶形计算的基本思想是，将输入序列中的每个元素与另一个元素进行乘积，并根据一定的规则进行合并。
具体而言，蝶形算法的步骤如下：1.将输入序列分为两组，一组包含偶数索引的元素，另一组包含奇数索引的元素。
2.对每组执行蝶形计算。
蝶形计算的基本公式为：Y[k]=X1[k]+W_N^k*X2[k]，其中X1[k]和X2[k]分别表示输入序列的两个子序列的第k个元素，Y[k]表示计算结果，W_N^k表示旋转因子，N表示序列的长度。
旋转因子的计算公式为：W_N^k=e^(-j*2πk/N)，其中j表示虚数单位。
3.重复步骤2，直到计算完所有的蝶形计算。
4.最后，将两组子序列的变换结果合并。
合并的方式是，将两个子序列的变换结果分别与旋转因子进行乘积，并按照一定的规则相加。
通过蝶形算法，FFT可以将一个长度为N的序列的变换时间复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)。
这使得FFT在信号处理、图像处理、通信等领域得到广泛应用，例如音频信号的频谱分析、图像的频域滤波等。
需要注意的是，蝶形算法要求输入序列的长度为2的幂次。
对于长度不是2的幂次的序列，可以通过补零或者裁剪的方式使其长度变为2的幂次，但这可能会引入一定的误差。
总结起来，FFT快速傅里叶变换通过蝶形算法实现高效的频域变换。
蝶形算法将输入序列分为两组，对每组执行蝶形计算，并最终合并结果。
通过蝶形算法，FFT的时间复杂度由O(N^2)降低到O(NlogN)，使得其在信号处理等领域发挥重要作用。
MATLAB快速傅里叶变换（fft）函数详解
MATLAB快速傅⾥叶变换（fft）函数详解定义：M ATLAB帮助⽂件原⽂The 'i' in the 'Nth root of unity' 是虚数单位调⽤：1. Y = fft（y）;2. Y = fft（y，N）;式中，y是序列，Y是序列的快速傅⾥叶变换。
y可以是⼀向量或矩阵，若y为向量，则Y是y的FFT，并且与y具有相同的长度。
若y为⼀矩阵，则Y是对矩阵的每⼀列向量进⾏FFT。
说明：1. 函数fft返回值的数据结构具有对称性根据采样定理，fft能分辨的最⾼频率为采样频率的⼀半（即Nyquist频率），函数fft返回值是以Nyqusit频率为轴对称的，Y的前⼀半与后⼀半是复数共轭关系。
2. 幅值作FFT分析时，幅值⼤⼩与输⼊点数有关，要得到真实的幅值⼤⼩，只要将变换后的结果乘以2除以N即可（但此时零频—直流分量—的幅值为实际值的2倍）。
对此的解释是：Y除以N得到双边谱，再乘以2得到单边谱（零频在双边谱中本没有被⼀分为⼆，⽽转化为单边谱过程中所有幅值均乘以2，所以零频被放⼤了）。
3. 基频若分析数据时长为T，则分析结果的基频就是f0=1/T，分析结果的频率序列为[0:N-1]*f04. 执⾏N点FFT在调⽤格式2中，函数执⾏N点FFT。
若y为向量且长度⼩于N，则函数将y补零⾄长度N，若向量y的长度⼤于N，则函数截断y使之长度为N。
注意：使⽤N点FFT时，若N⼤于向量y的长度，将给频谱分析结果带来变化，应该特别注意。
例⼦：将对N点FFT进⾏举例，说明当N⼤于向量y的长度时给频谱分析带来的变化。
例图上图中，左列为信号时域图形，右列为对应信号的频谱图。
可以看出当N⼤于向量y的长度时，由于fft⾃动将100s后的信号值补零，原信号实际变为左下⾓的时域图形，所以频率发⽣了变化（增加多种频率的⼩振幅振动，主峰幅值被削弱）。
结论：使⽤N点FFT时，不应使N⼤于y向量的长度，否则将导致频谱失真。
快速傅里叶变换（FFT）
快速傅⾥叶变换（FFT）§4.3 [实验4.3] 快速傅⾥叶变换 (FFT) 实现⼀、实验⽬的 1. 掌握FFT 算法的基本原理；2. 掌握⽤C 语⾔编写DSP 程序的⽅法。
⼆、实验设备 1. ⼀台装有CCS 软件的计算机； 2. DSP 实验箱的TMS320C5416主控板； 3. DSP 硬件仿真器。
三、实验原理傅⾥叶变换是⼀种将信号从时域变换到频域的变换形式，是信号处理的重要分析⼯具。
离散傅⾥叶变换（DFT ）是傅⾥叶变换在离散系统中的表⽰形式。
但是DFT 的计算量⾮常⼤， FFT 就是DFT 的⼀种快速算法, FFT 将DFT 的N 2 步运算减少⾄ ( N/2 )log 2N 步。
离散信号x(n)的傅⾥叶变换可以表⽰为∑=-=10][)(N N nk N W n x k X ， Nj N e W /2π-=式中的W N 称为蝶形因⼦，利⽤它的对称性和周期性可以减少运算量。
⼀般⽽⾔，FFT 算法分为时间抽取（DIT ）和频率抽取（DIF ）两⼤类。
两者的区别是蝶形因⼦出现的位置不同，前者中蝶形因⼦出现在输⼊端，后者中出现在输出端。
本实验以时间抽取⽅法为例。
时间抽取FFT 是将N 点输⼊序列x(n) 按照偶数项和奇数项分解为偶序列和奇序列。
偶序列为：x(0), x(2), x(4),…, x(N-2)；奇序列为：x(1), x(3), x(5),…, x(N-1)。
这样x(n) 的N 点DFT 可写成：()()∑++∑=-=+-=12/0)12(12/02122)(N n kn NN n nkNW n x Wn x k X考虑到W N 的性质，即2/)2//(22/)2(2][N N j N j N W e e W ===--ππ因此有：()()∑++∑=-=-=12/02/12/02/122)(N n nkN k NN n nkN W n x WWn x k X或者写成：()()k Z W k Y k X kN +=)(由于Y(k) 与Z(k) 的周期为N/2，并且利⽤W N 的对称性和周期性，即：k N N k N W W -=+2/可得：()()k Z W k Y N k X k N -=+)2/(对Y(k) 与Z(k) 继续以同样的⽅式分解下去，就可以使⼀个N 点的DFT 最终⽤⼀组2点的DFT 来计算。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
先设序列点数为N=2M，M为整数。如果不满足这个条 件，可以人为地加上若干零值点，使之达到这一要求。 这种N为2的整数幂的FFT称基-2 FFT。
(一)N/2点DFT
按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
(3)对X1(k)和X 2 (k)进行蝶形运算,前半部为
X(0)~X(3),后半部分为 X(4) ~ X(7) 整个过程如图4.2.2 所示:
x(0 )
X1(0 )
X(0 )
x(2 )
N/2点 X1(1 )
X(1 )
x(4 )
X1(2 )
X(2 )
DFT
x(6 )
X1(3 )
WNk
X2(k)
X(N 2
k)
X1(k) WNk
X 2 (k )
(后一半)
计算X(k)包含N/2个蝶形运算和两个N/2点DFT运算
计算工作量分析
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
(1)1个N/2点的DFT运算量:
复乘次数: ( N )2 N 2 复加次数: N ( N 1)
24
22
(2)两个N/2点的DFT运算量:
例如,N=8时的DFT可分解为四个N/4的DFT, 具体步骤如下:
(1) 将原序列x(n)的“偶中偶”部分:
x3(l) x1(r) x(n) x3(0) x1(0) x(0) x3(1) x1(2) x(4)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引言 4.2 基2FFT算法 4.3 进一步减少运算量的措施
快速傅里叶变换（FFT）详解
⽂中内容均为个⼈理解，如有错误请指出，不胜感激前⾔先解释⼏个⽐较容易混淆的缩写吧FMT 快速莫⽐乌斯变化—>感谢stump提供多项式复数在介绍复数之前，⾸先介绍⼀些可能会⽤到的东西(好像画的不是很标准。
)设$a,b$为实数，$i^2=-1$，形如$a+bi$的数叫复数，其中$i$被称为虚数单位，复数域是⽬前已知最⼤的域在复平⾯中，$x$代表实数，$y$轴（除原点外的点）代表虚数，从原点$(0,0)$到$(a,b)$的向量表⽰复数$a+bi$模长：从原点$(0,0)$到点$(a,b)$的距离，即$\sqrt{a^2+b^2}$幅⾓：假设以逆时针为正⽅向，从$x$轴正半轴到已知向量的转⾓的有向⾓叫做幅⾓运算法则加法：因为在复平⾯中，复数可以被表⽰为向量，因此复数的加法与向量的加法相同，都满⾜平⾏四边形定则（就是上⾯那个）乘法：⼏何定义：复数相乘，模长相乘，幅⾓相加代数定义：$$(a+bi)*(c+di)$$$$=ac+adi+bci+bdi^2$$$$=ac+adi+bci-bd$$$$=(ac-bd)+(bc+ad)i$$单位根下⽂中，默认$n$为$2$的正整数次幂在复平⾯上，以原点为圆⼼，$1$为半径作圆，所得的圆叫单位圆。
以圆点为起点，圆的$n$等分点为终点，做$n$个向量，设幅⾓为正且最⼩的向量对应的复数为$\omega_n$，称为$n$次单位根。
根据复数乘法的运算法则，其余$n-1$个复数为$\omega_n^2,\omega_n^3,\ldots,\omega_n^n$注意$\omega_n^0=\omega_n^n=1$（对应复平⾯上以$x$轴为正⽅向的向量）那么如何计算它们的值呢？这个问题可以由欧拉公式解决$$\omega_{n}^{k}=\cos\ k *\frac{2\pi}{n}+i\sin k*\frac{2\pi}{n}$$例如图中向量$AB$表⽰的复数为$8$次单位根单位根的幅⾓为周⾓的$\frac{1}{n}$在代数中，若$z^n=1$，我们把$z$称为$n$次单位根单位根的性质$\omega _{n}^{k}=\cos k\dfrac{2\pi}{n}+i\sin k\dfrac {2\pi }{n}$（即上⾯的公式）$\omega _{2n}^{2k}=\omega _{n}^{k}$证明：$$\omega _{2n}^{2k}=\cos 2k*\frac{2\pi}{2n}+i\sin2k*\frac{2\pi}{2n}$$$$=\omega _{n}^{k}$$$\omega _{n}^{k+\frac{n}{2}}=-\omega _{n}^{k}$$$\omega _{n}^{\frac{n}{2}}=\cos\frac{n}{2}*\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{n}{2}*\frac{2\pi}{n}$$$$=\cos \pi+i\sin\pi$$$$=-1$$$\omega _{n}^{0}=\omega _{n}^{n}=1$讲了这么多，貌似跟我们的正题没啥关系啊。
FFTW使用指南
FFTW使用指南FFTW（Fastest Fourier Transform in the West）是一个用于计算快速傅里叶变换（FFT）的开源库。
该库实现了多种高效的FFT算法，提供了一种在多个平台上进行FFT计算的灵活且高性能的方式。
本文将为您提供FFTW的使用指南，帮助您更好地理解和使用这个强大的库。
一、安装FFTW```bash./configuremakemake install```上述命令将会编译并安装FFTW库到系统中。
二、快速傅里叶变换FFTW库提供了多种用于进行快速傅里叶变换的函数，可以根据不同的需求选择合适的函数进行调用。
以下是一些常用的FFT函数：该函数用于创建一个一维离散傅里叶变换（DFT）的计划。
参数n指定了序列的长度，in和out分别是输入和输出序列的指针，sign表示正向（1）或逆向变换（-1），flags标志用于指定计算的一些选项，如是否进行内存对齐等。
2. void fftw_execute(const fftw_plan plan);该函数用于执行前面创建的计划，实现DFT变换。
3. void fftw_destroy_plan(fftw_plan plan);该函数用于销毁前面创建的计划，释放计划所使用的内存。
除了上述函数，FFTW还提供了其他一些用于高维和实数变换的函数，可根据具体需求选择合适的函数来完成FFT计算。
三、使用示例以下是一个简单的示例，展示了如何使用FFTW计算一维离散傅里叶变换：```c#include <fftw3.h>int mainint n = 1024; // 序列长度fftw_plan plan;//分配内存//创建计划plan = fftw_plan_dft_1d(n, in, out, FFTW_FORWARD,FFTW_ESTIMATE);//执行傅里叶变换fftw_execute(plan);//销毁计划fftw_destroy_plan(plan);//释放内存fftw_free(in);fftw_free(out);return 0;```以上示例创建了一个长度为1024的输入序列和输出序列，然后通过创建计划、执行变换和销毁计划的过程，完成了一维傅里叶变换的计算。
实验二应用快速傅里叶变换对信号进行频谱分析
实验二应用快速傅里叶变换对信号进行频谱分析引言频谱分析是一个常见的信号处理技术，它可以将一个信号分解成一系列不同频率的成分。
其中，傅里叶变换是一种常用的频谱分析方法。
在本实验中，我们将学习并应用快速傅里叶变换（FFT）算法对信号进行频谱分析。
一、理论背景快速傅里叶变换（FFT）是一种基于离散傅里叶变换（DFT）的算法，它能够快速计算出信号的频域表达。
傅里叶变换的公式为：X(k)=Σ(x(n)*e^(-j*2π*n*k/N))其中，X(k)代表频域上的第k个频率成分，x(n)代表时域上的第n个采样点，e为自然对数的底，j为虚数单位，N为采样点的总数。
快速傅里叶变换的主要思想是将信号分解成一系列长度为2的子序列，再通过迭代地应用DFT对这些子序列进行变换。
这样可以大幅度减少计算量，使得FFT算法在实际应用中具有较高的效率。
二、实验目的1.掌握快速傅里叶变换（FFT）算法的原理及实现方法。
2.学习如何使用FFT进行频谱分析，并理解频谱图的含义。
3.通过实验对比分析，了解FFT与其他频谱分析方法的差异。
三、实验步骤1.准备实验材料和仪器：一台电脑、MATLAB或其他信号分析软件。
2. 定义并生成需要分析的信号。
可以使用MATLAB中的sin、cos、randn等函数生成均匀分布或正态分布的随机信号，设置采样率和采样点数。
3.对信号进行FFT分析。
使用FFT算法对信号进行傅里叶变换，并得到频谱图。
4.对频谱图进行分析。
观察频谱图中的主要频率成分，并分析信号的频谱特征。
四、实验结果及分析1.生成信号并进行FFT分析。
通过MATLAB或其他信号分析软件，生成需要分析的信号，并进行FFT变换。
2.绘制频谱图。
根据FFT的结果，绘制出信号的频谱图。
频谱图通常以频率为横坐标，幅度为纵坐标进行绘制。
3.频谱分析。
观察频谱图，分析信号的频谱特征。
可以通过主要频率成分、频谱能量分布等参数来进行分析。
五、实验注意事项1.确保信号的采样率和采样点数足够满足信号分析的要求。
FFTW使用说明
FFTW使用说明FFTW是一款高效的快速傅里叶变换（FFT）库。
傅里叶变换是一种在信号处理和图像处理领域中广泛使用的数学工具，用于将一个信号从时域转换为频域，以便进行频谱分析和滤波等操作。
FFTW被广泛应用于科学计算、信号处理以及各种需要进行FFT运算的领域。
以下是使用FFTW的一般步骤：1.引入FFTW库：首先，你需要在你的程序中引入FFTW库。
FFTW库通常以C语言编写，可以通过链接静态库或者动态库的方式引入。
2.创建输入和输出数组：在进行FFT计算之前，你需要创建输入和输出数组。
输入数组表示时域信号，输出数组表示频域信号。
这些数组通常是一维数组，以实数或者复数的形式存储。
3.创建FFTW执行计划：在进行FFT计算之前，你需要创建一个FFTW 执行计划。
执行计划定义了FFT计算的参数和优化策略。
FFTW提供了多种不同类型的执行计划，可以根据具体的需求选择合适的类型。
4.执行FFT计算：在创建了FFTW执行计划之后，你可以使用该执行计划对输入数组进行FFT计算。
通过调用FFTW库提供的函数，可以将时域信号转换成频域信号。
5.获取输出结果：FFT计算完成后，你可以通过输出数组获取频域信号的结果。
根据具体的需求，你可以进一步对频域信号进行处理，例如频谱分析、滤波或反变换等。
6.释放资源：最后，在程序结束之前，你需要释放FFTW的执行计划和数组的内存资源。
FFTW提供了相应的函数，用于释放创建的执行计划和数组。
除了以上基本步骤，FFTW还提供了一些高级功能和优化选项，用于进一步提高计算效率和性能。
以下是一些常用的高级功能：1.并行计算：FFTW支持多线程计算，可以在多核处理器上实现并行计算，提高计算速度。
2.非标准大小的FFT计算：FFTW支持对非标准大小的数组进行FFT 计算，例如，对长度为质数的数组进行FFT计算。
3.多维FFT计算：除了一维FFT计算，FFTW还支持二维、三维甚至更高维度的FFT计算，可以用于图像处理和音频处理等领域。
快速傅里叶变换fft变换
快速傅里叶变换FFT的C语言算法彻底研究LED音乐频谱显示的核心算法就是快速傅里叶变换，FFT的理解和编程还是比较难的，特地撰写此文分享一下研究成果。
一、彻底理解傅里叶变换快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform)是离散傅里叶变换的一种快速算法，简称FFT，通过FFT可以将一个信号从时域变换到频域。
模拟信号经过A/D转换变为数字信号的过程称为采样。
为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的2倍，这称之为采样定理。
假设采样频率为fs，采样点数为N，那么FFT结果就是一个N点的复数，每一个点就对应着一个频率点，某一点n(n 从1开始)表示的频率为：fn=(n-1)*fs/N。
举例说明：用1kHz的采样频率采样128点，则FFT结果的128个数据即对应的频率点分别是0，1k/128，2k/128，3k/128，…，127k/128 Hz。
这个频率点的幅值为：该点复数的模值除以N/2（n=1时是直流分量，其幅值是该点的模值除以N）。
二、傅里叶变换的C语言编程1、对于快速傅里叶变换FFT，第一个要解决的问题就是码位倒序。
假设一个N 点的输入序列，那么它的序号二进制数位数就是t=log2N.码位倒序要解决两个问题：①将t位二进制数倒序；②将倒序后的两个存储单元进行交换。
如果输入序列的自然顺序号i用二进制数表示，例如若最大序号为15，即用4位就可表示n3n2n1n0，则其倒序后j对应的二进制数就是n0n1n2n3，那么怎样才能实现倒序呢？利用C语言的移位功能！程序如下，我不多说，看不懂者智商一定在180以下！复数类型定义及其运算#define N 64 //64点#define log2N 6 //log2N=6/*复数类型*/typedef struct{float real;float img;}complex;complex xdata x[N]; //输入序列/*复数加法*/complex add(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real+b.real;c.img=a.img+b.img;return c;}/*复数减法*/complex sub(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real-b.real;c.img=a.img-b.img;return c;}/*复数乘法*/complex mul(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real*b.real - a.img*b.img;c.img=a.real*b.img + a.img*b.real;return c;}/***码位倒序函数***/void Reverse(void){unsigned int i,j,k;unsigned int t;complex temp;//临时交换变量for(i=0;i<N;i++)//从第0个序号到第N-1个序号{k=i;//当前第i个序号j=0;//存储倒序后的序号，先初始化为0for(t=0;t<log2N;t++)//共移位t次，其中log2N是事先宏定义算好的{j<<=1;j|=(k&1);//j左移一位然后加上k的最低位k>>=1;//k右移一位，次低位变为最低位}if(j>i)//如果倒序后大于原序数，就将两个存储单元进行交换（判断j>i是为了防止重复交换）{temp=x[i];x[i]=x[j];x[j]=temp;}}}2、第二个要解决的问题就是蝶形运算①第1级（第1列）每个蝶形的两节点“距离”为1，第2级每个蝶形的两节点“距离”为2，第3级每个蝶形的两节点“距离”为4，第4级每个蝶形的两节点“距离”为8。
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输入数据按实部、虚部、实部、虚部......格式存放
FFT变换结果X(k)存放在汇编数组空间fft_data中
数据也按实部、虚部、实部、虚部......格式存放
FFT功率谱存放在全局变量fft_out中
3、 函数使用注意事项：
1） 输入的时域数组的数值范围为
绝不同意为了成功而不择手段,刻薄成家,理无久享.
快速傅立叶变换（FFT）函数使用说明文档
1、 函数功能说明：本FFT函数可实现128～1024点的FFT计算
并输出相应的功率义为：cFFT(int *
int)输入参数依次为时域采样数组指针
FFT计算阶数N(N=3～10)
例如： log = 8;
cFFT(fftdata
log);
4） 输出结果以32位格式保存
以保证结果的精度
5） 在FFT的蝶形计算的过程中
为防止溢出
对每次的蝶形计算结果进行了归一处理
故最后的FFT计算结果为相对结果
而非绝对结果
每次FFT计算的归一次数为（N为FFT阶数）
DATA0(RWX) : origin = 03000h length = 01800h
d_input : > DATA0 PAGE 1
fft_data: > DATA0 PAGE 1
3） 在计算中如需改变计算点数
只需改变函数输入的第二个参数（即FFT的计算阶数）就可实现
量化为Q15格式的定点模式范围为[0x8000
0x7fff]
2） CMD中
d_input
fft_data 必须从11位地址的边界开始分配
即其基地址的11个最低有效位必须为0；sine1
cosine1必须从9位地址的边界开始分配
及其基地址的9个最低有效位必须为0
例如：CMD文件中：