第2章自动控制系统的数学模型

b f s f s f1s 1 G ( s) 0 m n m1 n 1 K a0 en s en 1s e1s 1
m
m 1
( s 1) (T s 1)
j 1 i i 1 n
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关于传递函数的几点说明
1.递函数的概念只适用于线性定常系统。 2.传递函数可以作为系统的动态数学模型，与输入量的形式（幅度与大 小）无关。 3.传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律 。 4.传递函数分子多项式的阶次总是低于至多等于分母多项式的阶次，即 m≤n。这是由于系统中总是含有较多的惯性元件以及受到能源的 限制所造成的。 5.一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系 。 6.传递函数已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。 7.一旦建立G(s)，可以给出该系统动态特性的完整描述，与其它物理描 述不同 。 8. 若加于系统的输入信号是单位脉冲函数δ(t)，则其输出量的时间响应 函数等于该系统传递函数的拉氏反变换 。
d 2uc (t ) duc (t ) LC RC uc (t ) ur (t ) 2 dt dt
（线性定常二阶微分方程式）
5
建立动态微分方程
例2 弹簧—质量—阻尼器系统。
（1）确定输入、输出量为F 、y （2）根据力学、运动学原理列微分方程
ma F Ff Fs
Ff f dy dt
R(s) G1(s) C1(s) G2(s) C2(s) C (s) G3(s)
G( s)
C ( s) C ( s) C2 ( s) C1 ( s) G1 ( s) G2 ( s) G3 ( s) R( s) C2 ( s) C1 ( s) R( s)
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传递函数的性质：
（1）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输 入输出无关； （2）传递函数概念仅适用于线性定常系统，具有复变函 数的所有性质； （3）传递函数是复变量s 的有理真分式，即n≥m； （4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换； （5）传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系； （6）由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均 为实数，故零点和极点可以是实数，也可以是成对 的共轭复数。
d2y a 2 dt
f—— 阻尼系数 K—— 弹性系数
具有相同数学模型的不同物理系统称之为相似系统。 在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相似量。 （3）消去中间变量，可得电路微分方程 对于同一个物理系统，当输入量、输出量改变时，所求出的数学模型却是不同的。 利用相似系统的概念，我们可以用一个易于实现的系统来研究与其相似的复杂系 d2y dy （线性定常二阶微分方程式） m 2 f ky F 统，并根据相似系统的理论出现了仿真研究法。 dt dt
建立系统数学模型的几个步骤： （1）建立物理模型； （2）列写原始方程。利用适当的物理定律（如牛顿定律、基尔霍夫电 流和电压定律、能量守恒定律等）； （3）选定系统的输入量、输出量及状态变量（在建立状态模型时要 求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。
• 实验法：
人为施加某种测试信号，记录输入输出数据， 并用适当的数学模型去逼近—系统辩识。
10. 传递函数提供了两条研究系统的途径：①传递函数与系统内部的结构 系数a0~ an，b0~ bn有关，则通分析系统内部的结构了解系统的性能。② 传递函数定义为输出信号的拉氏变化与输入信号的拉氏变化之比，对于 一个复杂系统而言，可以通过给系统输入一个给定的输入信号，从所获 得的输出信号中，分析系统的特性――实验分析法。 11. 在求实际系统的传递函数时，总是将一个系统分解成若干个单元， 先分别求出各单元的传递函数，然后再综合。
0
x0 x
x
y
df ( x) dx
x0
x
原非线性方程的线性化增量方程
三．数学方法： 设f(x)在A(x0,y0)点连续可微，则将函数在该点展开为 泰勒级数，得：
df ( x) y y0 y f ( x0 ) dx 1 d 2 f ( x) x0 x 2! dx 2 1 d n f ( x) x0 (x) n ! dx n
推动
y
－X0 X0 x
8
非线性微分方程模型的线性化
设具有连续变化的非线性函数y=f(x)，若取 某一平衡状态为工作点A(x0,y0)。A点附近 有点为B(x0+△x,y0+△y)，当△x,△y很小时，
AB段看成线性的。
y
y0 y0
y0
B A
x0
y f ( x)
一．假设：x、y在平衡点（x0、y0）附近 作增量变化，即x=x0+△x ，y=y0+△y 二．近似处理：在平衡点（x0、y0）处， 以曲线的切线代替曲线，得到近似式
y f x1
x10 x20
x1
f x2
x10 x20
x2
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传递函数
• 拉普拉斯变换
F (s)
1 e U (t ) s s0
s0 t
0
f (t ) e s t dt
(t ) 1
tU (t ) 1 s2
1 U (t ) s
w0 s in( w0t ) 2 2 s w0
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非线性微分方程模型的线性化
非线性模型的线性化： 将非线性微分方程转换为近似的线性微分方程。 方法：（1）小偏差法（或称增量法） ；
将非线性特性用一段直线来代替
（2）针对不同情况的简化方法。 机械系统 饱和特性的放大器
小信号输入时
动态性能，在有润滑剂的情况下， 往往忽略小的干摩擦， 只考虑与速度成比例的粘性摩擦力
略去二级以上导数项，并令Δy＝y-f(x10,x20)
Δx1=x-x10
则线性化增量方程将为
Δx2=x-x20
y
f ( x10 , x20 ) f ( x10 , x20 ) x1 x2 K1x1 K 2 x2 x1 x2
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非线性微分方程模型的线性化
总结
（1）线性化方程描述的不是自变量自身，而是变量对平衡点的增量，有 时为了简便，增量符号常常略去。 （2）线性化方程中的增量，不应认为是无穷小量，而应理解为是有工程 实际概念的较小的变化量。 （3）平衡点应依据系统的平衡工作状态而定，各部件应统一，而不能任 意选取。否则线性化方程中的有关系数将不符合实际。 （4）关于增量假设的可靠性：所有变量都在平衡点附近变化。 （5） 尽管是小范围变化，线性化增量方程也仍是近似方程。 （6）对于某些严重的非线性，如继电特性、间隙、摩擦特性等，不能进 行求导运算，因此原则上不能用小偏差法进行线性化，只能作为非线性问 题处理。 （7）如果多变量非线性函数 则线性化增量方程将为 y=f（x1，x2），其平衡点（x10，x20，y0）
输入（已知） 黑匣子
4
输出（已知）
建立动态微分方程
例１ RLC电路。
（1）. 确定输入量，输出量为ur(t) 、uc(t) （2）. 根据电路原理列出微分方程： 根据基尔霍夫定律有
L
di Ri uc ur (t ) dt
u c (t )
1 idt C
（3）. 消去中间变量，得到微分方程： 消去中间变量ｉ（ｔ），可得
频(率)域模型： 频率特性
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微分方程 t （时域）
L
L
1
F
1
F
系统
传递函数
s j
频率特性
s
（复域）
j s

（频域）
数学分析法：用微分方程的求解、分析系统的方法。 工程分析法：把用传递函数、频率特性求解、分析系统的方法。
3
建立控制系统数学模型的方法
• 分析法：
对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所 依据的物理规律、化学规律分别列写运动方程。
变化时，输入与输出关系就变化了。
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非线性微分方程模型的线性化
两个变量的非线性函数 y=f（x1，x2）
f ( x10, x 20) f ( x10, x 20) ( x1 x10) ( x 2 x 20)] x1 x 2 1 2 f ( x10, x 20) f ( x10, x 20) [ ( x1 x10) 2 2 ( x x10)(x x 20) 2 2! x1x 2 x1 2 f ( x10, x 20) ( x1 x 20) 2 ] x 2 2 y f ( x1, x 2) f ( x10, x 20) [
初始情况为零时，两端取拉氏变换：
a0 sn xc (s) a1sn1xc (s) an xc (s) b0 s m xr (s) bm xr (s)
X 0 (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s ) X i (s) a0 s n a1s n1 an1s an
《自动控制原理》国家精品课程
浙江工业大学自动化研究所
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典型环节及其传递函数
• 比例环节
放大环节，无惯性环节
u(t) u(t) c r uc ur t 0
特点：输入量与输出量的关系为一种固 定的比例关系。
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关于传递函数的几点说明
9. 传递函数与微分方程之间有关系：
X 0 (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s ) X i (s) a0 s n a1s n1 an1s an
如果将 S
d 置换 dt
பைடு நூலகம்传递函数 微分方程
第二章 控制系统的数学模型
• • • • • • 2.1 建立动态微分方程 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 2.3 传递函数 2.4 系统动态结构图 2.5 系统的传递函数 2.6 信号流图