山东建筑大学概率论第六章作业及答案
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参数 p 的矩法估计量和极大似然估计。
(1) EX mp(1 p)m1 p m(1 p)m1
m1
m1
而
qm
q
m1
1q
∴ mqm1
1
1
m1
(1 q)2 p2
∴
EX 1 p
令
1
p
1 n
n i 1
Xi
X
得
p的矩估计值为：pˆ
1 x
的无偏估计量。样本方差 S 2
4. 设 总 体 X ~ P() ， 其 中 0 是 未 知 参 数 ， X1, , X n 是 X 的 一 个 样 本 ， 则 的 矩 估 计量
为 ˆ X ，极大似然估计为 ˆ X
。
2
二、计算题
1. 设总体服从几何分布: PX x p1 p x1 , x 1,2,3. 如果取得样本观测值为 x1 , x2 ,, xn , 求
2
E( x2 ) b x2
1 dx
1
b3 a3 a2 ab b2
a ba ba 3
3
按矩法得方程组 a b 1 n
2 n i1 xi
a2
ab b2 3
1 n
n i 1
xi2
解得矩估计量为
aˆ 2X
3 n
百度文库
n i 1
xi2
4X2
试求 p 的极大似然估计量.
n
n
解：似然函数为： L( p)
n
pxi (1
p)1 xi
xi p i1 (1
n xi p) i1
i 1
n
n
ln
L(
p)
(
i1
xi
)
p
n
i1
xi
ln(1
p)
n
令 d ln L( p) dp
x
x2e dx
2
0
2
x
2
e
x
d
x
0
2 (3) 2 2
令
E(X 2)
1 n
n
X
2 i
i 1
2 2
参数θ的矩估计值为
ˆ
1 n
n i 1
xi2
解： （2）似然函数为：
n
n
L( ) e xi n e xi
i 1
i 1
n
ln L( ) nln xi i 1
令
d
ln L( ) d
n
n i 1
xi
0
极大似然估计值为： ˆ 1
X
6
3. 设总体 X 服从 0-1 分布 B(1, p)，这里 0 p 1. 现从总体中抽取了一个样本 X1,, X n ，
第六章 参数估计
概率论与数理统计作业15（§6.1） 概率论与数理统计作业16（§6.2～§6.5）
1
概率论与数理统计作业15（§6.1）
一、填空题
n
1. 若 X 是离散型随机变量，分布律是 P{X x} P(x; ) ，（ 是待估计参数），则似然函数
i 1
p(
xi
,
)
，
n
X 是连续型随机变量，概率密度是 f (x; ) ，则似然函数是 f (xi ,。)
bˆ
3 n
n i 1
xi2
4X2
8
5. 设总体 X 的概率密度为
x 1, 0 x 1,
f (x, ) 0,
其它.
其中 0，如果取得样本观测值为 x1, x2,L , xn ，求参数 的矩估计值和最大似然估计值.
解 (1) 矩估计法
Q E( x) 1 x x1dx
i 1
10
6. 设总体X 服从拉普拉斯分布：f ( x; )
1
x
e , x ,
2
其中 0. 如果取得样本观测值为 x1, x2 ,, xn , 求参数θ
的矩估计值与最大似然估计值.
解 (1) 矩估计法
E( X 2 ) 1
x
x2e dx 1
0
1
参数θ的矩估计值为
ˆ X
1 X
9
5. 设总体 X 的概率密度为
x 1, 0 x 1,
f (x, ) 0,
其它.
其中 0，如果取得样本观测值为 x1, x2,L , xn ，求参数 的矩估计值和最大似然估计值.
解 (2) 最大似然估计,似然函数为
dp
p 1 p
得
p的极大似然估计值为：pˆ
1 x
4
2. 设总体服从指数分布 X ~ e() ， 取一个样本为 X1, X2,L , Xn ，求 矩估计量和最大似 然估计量.
解： （1）矩估计
E( x) xexdx 1
0
解得矩估计量为 ˆ 1
X
5
2. 设总体服从指数分布 X ~ e() ， 取一个样本为 X1, X2,L , Xn ，求 矩估计量和最大似 然估计量.
n i 1
xi
n xi
i 1
1 p
0
得 p的极大似然估计值为：pˆ X
7
4. 设 X ~ U (a,b) ，一个样本为 X1, X 2,L , X n ，求参数 a, b 的矩估计量.
解： E( x)
b
x
1 dx
1
b2 a2 a b
a ba ba 2
2. 若未知参数 的估计量是 ，若 E(ˆ )
i 1
称 是 的无偏估计量。设 1, 2 是未知参数 的两个
无偏估计量，若 D(ˆ 1 ) D(ˆ 2 ) 则称 1 较 2 有效。
3. 对任意分布的总体，样本均值 X 是
总体均值E(X )
是 总体方差D( X ) 的无偏估计量。
3
n
n
xi n
(2) 似然函数为：L( p)
p(1 p)xi 1 pn (1 p) i1
i 1
ln L( p) n ln p ln(1 p) n xi n
n
i1
令 d ln L( p) n i1 xi n 0
n
n
L( ) xi 1 n( xi ) 1
i 1
i 1
n
ln L( ) nln ( 1) ln xi i 1
令
d
ln L( ) d
1
(
n
1)
i 1
ln
xi
0
最大似然估计为： ˆ n n
ln xi
(1) EX mp(1 p)m1 p m(1 p)m1
m1
m1
而
qm
q
m1
1q
∴ mqm1
1
1
m1
(1 q)2 p2
∴
EX 1 p
令
1
p
1 n
n i 1
Xi
X
得
p的矩估计值为：pˆ
1 x
的无偏估计量。样本方差 S 2
4. 设 总 体 X ~ P() ， 其 中 0 是 未 知 参 数 ， X1, , X n 是 X 的 一 个 样 本 ， 则 的 矩 估 计量
为 ˆ X ，极大似然估计为 ˆ X
。
2
二、计算题
1. 设总体服从几何分布: PX x p1 p x1 , x 1,2,3. 如果取得样本观测值为 x1 , x2 ,, xn , 求
2
E( x2 ) b x2
1 dx
1
b3 a3 a2 ab b2
a ba ba 3
3
按矩法得方程组 a b 1 n
2 n i1 xi
a2
ab b2 3
1 n
n i 1
xi2
解得矩估计量为
aˆ 2X
3 n
百度文库
n i 1
xi2
4X2
试求 p 的极大似然估计量.
n
n
解：似然函数为： L( p)
n
pxi (1
p)1 xi
xi p i1 (1
n xi p) i1
i 1
n
n
ln
L(
p)
(
i1
xi
)
p
n
i1
xi
ln(1
p)
n
令 d ln L( p) dp
x
x2e dx
2
0
2
x
2
e
x
d
x
0
2 (3) 2 2
令
E(X 2)
1 n
n
X
2 i
i 1
2 2
参数θ的矩估计值为
ˆ
1 n
n i 1
xi2
解： （2）似然函数为：
n
n
L( ) e xi n e xi
i 1
i 1
n
ln L( ) nln xi i 1
令
d
ln L( ) d
n
n i 1
xi
0
极大似然估计值为： ˆ 1
X
6
3. 设总体 X 服从 0-1 分布 B(1, p)，这里 0 p 1. 现从总体中抽取了一个样本 X1,, X n ，
第六章 参数估计
概率论与数理统计作业15（§6.1） 概率论与数理统计作业16（§6.2～§6.5）
1
概率论与数理统计作业15（§6.1）
一、填空题
n
1. 若 X 是离散型随机变量，分布律是 P{X x} P(x; ) ，（ 是待估计参数），则似然函数
i 1
p(
xi
,
)
，
n
X 是连续型随机变量，概率密度是 f (x; ) ，则似然函数是 f (xi ,。)
bˆ
3 n
n i 1
xi2
4X2
8
5. 设总体 X 的概率密度为
x 1, 0 x 1,
f (x, ) 0,
其它.
其中 0，如果取得样本观测值为 x1, x2,L , xn ，求参数 的矩估计值和最大似然估计值.
解 (1) 矩估计法
Q E( x) 1 x x1dx
i 1
10
6. 设总体X 服从拉普拉斯分布：f ( x; )
1
x
e , x ,
2
其中 0. 如果取得样本观测值为 x1, x2 ,, xn , 求参数θ
的矩估计值与最大似然估计值.
解 (1) 矩估计法
E( X 2 ) 1
x
x2e dx 1
0
1
参数θ的矩估计值为
ˆ X
1 X
9
5. 设总体 X 的概率密度为
x 1, 0 x 1,
f (x, ) 0,
其它.
其中 0，如果取得样本观测值为 x1, x2,L , xn ，求参数 的矩估计值和最大似然估计值.
解 (2) 最大似然估计,似然函数为
dp
p 1 p
得
p的极大似然估计值为：pˆ
1 x
4
2. 设总体服从指数分布 X ~ e() ， 取一个样本为 X1, X2,L , Xn ，求 矩估计量和最大似 然估计量.
解： （1）矩估计
E( x) xexdx 1
0
解得矩估计量为 ˆ 1
X
5
2. 设总体服从指数分布 X ~ e() ， 取一个样本为 X1, X2,L , Xn ，求 矩估计量和最大似 然估计量.
n i 1
xi
n xi
i 1
1 p
0
得 p的极大似然估计值为：pˆ X
7
4. 设 X ~ U (a,b) ，一个样本为 X1, X 2,L , X n ，求参数 a, b 的矩估计量.
解： E( x)
b
x
1 dx
1
b2 a2 a b
a ba ba 2
2. 若未知参数 的估计量是 ，若 E(ˆ )
i 1
称 是 的无偏估计量。设 1, 2 是未知参数 的两个
无偏估计量，若 D(ˆ 1 ) D(ˆ 2 ) 则称 1 较 2 有效。
3. 对任意分布的总体，样本均值 X 是
总体均值E(X )
是 总体方差D( X ) 的无偏估计量。
3
n
n
xi n
(2) 似然函数为：L( p)
p(1 p)xi 1 pn (1 p) i1
i 1
ln L( p) n ln p ln(1 p) n xi n
n
i1
令 d ln L( p) n i1 xi n 0
n
n
L( ) xi 1 n( xi ) 1
i 1
i 1
n
ln L( ) nln ( 1) ln xi i 1
令
d
ln L( ) d
1
(
n
1)
i 1
ln
xi
0
最大似然估计为： ˆ n n
ln xi