滚动测试12月

高三数学滚动测试2琚运萍 华玮一．选择题1．已知i 是虚数单位，在复平面内，复数2i -+和13i -对应的点间的距离是 （ ）ABC ．5D ．252.阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为（ ）A 、0 B、2CD、2-3．下列选项中，命题p 是q 的充要条件是（ ） A ．2:2;:3p m q y x mx m <-=+++有两个不同的零点B ．():1;:()()f x p q y f x f x -==是偶函数C ．:cos cos ;:tan tan p q αβαβ==D ．:;:U U p A B A q C B C A =⊆4．函数||(01)xx a y a x=<<的图像的大致形状（ ）5．下图是样本容量为200的频率分布直方图，根据样本的频率分布直方图估计，下列说法正确的是（ ）A ．样本数据落在[)6,10内的频数为64，数据落在[)2,10内的概率约为0.4B ．样本数据落在[)6,10内的频数为16，数据落在[)2,10内的概率约为0.1C ．样本数据落在[)10,14内的频数为18，数据落在[)6,14内的概率约为0.68D ．样本数据落在[)14,22内的频数为48，数据落在[)10,18内的概率约为0.12()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图像如图所示，则把函数()f x 图π个单位所对应的函数解析式（ ）A ．12sin()24y x π=-B ．12sin()24y x π=+C ．12cos()24y x π=-D ．12cos()24y x π=+7.设函数3()3f x x x =+()x R ∈，若02πθ≤≤时，(sin )(1)f m f m θ+-＞0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（-∞，0）C ．（-∞，12） D ．（-∞，1）8．实数x ，y 满足不等式组0,0,220,y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩则11y x ω-=+的取值范围是 （ ）A ．11[,]23-B ．1[1,]3-C ．[)1,1-D ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭9.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1)1(2012)1(434=-+-a a ，1)1(2012)1(200932009-=-+-a a ，则下列结论中正确的是（ ）A ．420092012,2012a a S <=B ．420092012,2012a a S >=C ．420092012,2011a a S <=D ．420092012,2011a a S >=10.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0M >，使|()|||f x M x ≤对一切实数x 均成立，则称()f x 为“倍约束函数”．现给出下列函数： ①()2f x x =； ②()sin cos f x x x =+；③()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切1x ，2x 均有1212|()()|2||f x f x x x -≤-；④[]0 1,1()ln (,1)(1,)x f x x x ⎧∈-⎪=⎨∈-∞-⋃+∞⎪⎩当时当时．其中是“倍约束函数”的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二．填空题11．已知a b 、都是正实数， 函数2xy ae b =+的图象过（0,1）点，则11ab+的最小值是 。

12．观察下表：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10 ………………………………………………则第 行的各数之和等于22009。

13.下列说法：①存在θ角使sinθ+cosθ>32；②存在一圆与直线系cos sin 1()x y x R θθ+=∈都相切；③当1a ≥时，不等式|4||3|x x a -+-<的解集非空；④函数()f x ∈对任意的x R,(2)(2)(1)(1f x f x f x f x +=-++-=满足且则f(x)的一个周期为4。

其中正确的有（写出所有可能结论的序号） 。

14.设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21nn S =-，则8a = .三．解答题16.已知向量(cos sin ),(cos sin ,2sin )m x x x n x x x =+=-，若函数().f x m n =⋅ （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且1,2,()1a b c f A =+==，求角A 、B 、C 的大小。

17.某中学举办安全法规知识竞赛，从参赛的高一、高二学生中各抽出100人的成绩作为样本。

对高一年级的100名学生的成绩进行统计，并按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，得到成绩分布的频率分布直方图（如图）。

（Ⅰ）若规定60分以上（包括60分）为合格，计算高一年级这次知识赛的合格率；（Ⅱ）若高二年级这次知识竞赛的合格率为60%，由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“这次知识竞赛的成绩与年级有关系”。

参考数据与公式： 由列联表中数据计算22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++临界值表18.设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系； (3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )＜1a 对任意x ＞0成立．19.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)20.已知正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*,21N n S a a n nn ∈=+．(Ⅰ)求证：数列}{2n S 是等差数列；(Ⅱ)求解关于n 的不等式84)(11->+-+n S S a n n n 、； (Ⅲ)记数列32n n S b =，nn b b b T 11121+++=，证明：nT n n 123111-<<+-．21.设函数2()()()x f x x ax b e x R =++∈．（1）若2,2a b ==-，求函数()f x 的极值； （2）若1x =是函数()f x 的一个极值点，试求出a 关于b 的关系式（用a 表示b ），并确定()f x 的单调区间；（3）在（2）的条件下，设0a >，函数24()(14)x g x a e +=+．若存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，求a 的取值范围．滚动测试答案1.C 解析 复数2i -+和13i -5=。

2.B3.D 解析：A ．2:3q y x mx m =+++有两个不同的零点24(3)02m m m ⇔-+>⇔<-或6m >，所以p 是q 的充分不必要条件；B ．():1()()()f x p f x f x f x -=⇒-=⇒:()q y f x =是偶函数；:()q y f x =是偶函数，当0()0f x =时，0()0f x -=，00()1()f x f x -≠，即():1()f x p f x -=不成立。

所以p 是q 的充分不必要条件；C ．:cos cos p αβ=推不出:tan tan q αβ=，:tan tan q αβ=推不出:cos cos p αβ=，所以p 是q 的既不充分也不必要条件；D ．因为A B A A B ⋂=⇔⊆⇔U U C B C A ⊆，所以p 是q 的充要条件。

4.B 解析：当0>x 时，x xa xa x y ==||，又10<<a ，可排除C 、D ；当0<x 时，x x a xa x y -==||，又10<<a ，可排除A,故选B ．5.A 解析：根据样本的频率分布直方图，样本数据落在[6,10)内的频率为0.32，所以频数为0.3220064⨯=，数据落在[2,10)内的概率约为0.4,故选Ａ。

6. B 由图可以知道()f x 的周期为4π，所以12ω=， 2A =，故1()2sin()2f x x ϕ=+，由零点可知122πϕπ⨯+=，34πϕ=，所以1()2sin()24y f x x ππ=-=+.7.D 8.D 9.A 10. C11.3+ 12.1005 13.②④14.2105 15.12816.解：（Ⅰ）22()cos sin cos f x x x x x =⋅=-+m n，cos 222sin(2)6x x x π=+=+，…………………………4分令222262k x k πππππ-+≤+≤+，即222233k x k ππππ-+≤≤+，所以,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，即函数()f x 的单调递增区间是[,]()36k k k Z ππππ-+∈；…………………………6分（Ⅱ）因为()1f A =，所以1sin(2)62A π+=．而132666A πππ<+<，所以52,663A A πππ+==。

22222()21cos 1,222b c a b c bc a A bc b c bcbc+-+--∴===⇒=∴=∴△ABC 为等边三角形，即3A B C π===…………………………12分27.（2）6分18.(1)由题设知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x.∴g ′(x )＝x －1x2.令g ′(x )＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0，故(0,1)是g (x )的单调减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，从而是最小值点．所以g (x )的最小值为g (1)＝1.(2)g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ＋x .设h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝－(x －1)2x 2.当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1x ，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )＜0，h ′(1)＝0. 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减，当0＜x ＜1时，h (x )＞h (1)＝0.即g (x )＞g ⎝⎛⎭⎫1x .当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫1x . (3)由(1)知g (x )的最小值为1，所以，g (a )－g (x )<1a ，对任意x >0成立⇔g (a )－1<1a，即ln a ＜1，从而得0＜a ＜e.19. (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0≤x <20，13200－x ， 20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， 0≤x <20，13x 200－x ， 20≤x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200； 当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13[x ＋200－x 2]2＝100003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值100003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 20解：(Ⅰ)n nn S a a 21=+．nn n S a a 212=+∴．当2≥n 时，n n n n n S S S S S )(21)(121---=+-，化简得1212=--n n S S ．由11121a a a =+，得21211S a ==．∴数列}{2n S 是等差数列． …(Ⅱ)由(I)知n n S n =-+=)1(12，又由84)(11->+++n S S a n n n ，得84))((11->+-++n S S S S n n n n ．84221->-∴+n S S n n ，即841->n ．49<∴n ．又*N n ∈，∴不等式的解集为}2,1{． (Ⅲ)当2≥n 时，nn n n n n nn n n n n nn b n111)1(11)1(1211--=---<--=-+<=．nnn T n 123)111)312)211(21(-=--++--+-+<∴111)112(11)1(1211+-=+⋅++->++-=++>=n nn n n n n n n n n nn b n．111)111.)31)211(+-=+-++-+->∴n n nh T n ，故nT n n 123111-<<+-21．解：（1）∵22()(2)()[(2)()]x x xf x x a e x ax b e x a x a b e '=++++=++++当2,2a b ==-时，2()(22)xf x x x e=+-则'()f x 2(4)xx x e =+ …………1分令'()0f x =得2(4)0xx x e +=，∵0x e ≠ ∴240x x +=，解得124,0x x =-= …………2分∵当(,4)x ∈-∞-时，'()0f x >，当(4,0)x ∈-时'()0f x <，当(0,)x ∈+∞时'()0f x >当0x =时，函数()f x 有极小值，()2f x =-极小. …………4分（2）由（1）知2()[(2)()]xf x x a x a b e '=++++ ∵1x =是函数()f x 的一个极值点 ∴(1)0f '= 即[1(2)()]0e a a b ++++=，解得32b a =--则2()[(2)(3)]xf x e x a x a '=+++--＝(1)[(3)]xe x x a -++ 令()0f x '=，得11x =或23x a =--∵1x =是极值点，∴31a --≠，即4a ≠- …………6分 当31a -->即4a <-时，由()0f x '>得(3,)x a ∈--+∞或(,1)x ∈-∞ 由()0f x '<得(1,3)x a ∈--当31a --<即4a >-时，由()0f x '>得(1,)x ∈+∞或(,3)x a ∈-∞-- 由()0f x '<得(3,1)x a ∈-- …………8分 综上可知：当4a <-时，单调递增区间为(,1)-∞和(3,)a --+∞，递减区间为(1,3)a --当4a >-时，单调递增区间为(,3)a -∞--和(1,)+∞，递减区间为(3,1)a -- …………9分（3）由（2）知，当a >0时，()f x 在区间（0，1）上的单调递减，在区间（1，4）上单调递增，∴函数()f x 在区间[0,4]上的最小值为(1)(2)f a e =-+ 又∵(0)f =(23)xbe a =-+0<，4(4)(213)0f a e =+>，∴函数()f x 在区间[0，4]上的值域是[(1),(4)]f f ，即4[(2),(213)]a e a e -++ 又24()(14)x g x a e+=+在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是2428[(14),(14)]a e a e ++ …………11分 ∵24(14)a e +－4(213)a e +＝24(21)a a e -+＝24(1)0a e -≥，。