《模糊控制与应用》总复习

1, 0.7, 0.6, 0.5, 0.3
的 ( [0,1]) 截集。
A1 =u3 , A0.7 =u3 , u4, A0.6 =u2 , u3 , u4
A0.5 =u1, u2 , u3 , u4, A0.3 =u1, u2 , u3 , u4 , u5
将
截集写成模糊集合的形式：
A (U ) {0，， 0 0.3， 0.7，，， 1 1 0.7， 0.3，， 0 0}
则A可表示成：
0 0 0.3 0.7 1 1 0.7 0.3 0 0 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.3 0.7 1 1 0.7 0.3 3 4 5 6 7 8
A 是A 的 设A为论域U上的一个模糊集合 ，
截集，
[0,1] ，则有如下分解定理成立：
A A [0,1]
A表示语言变量x的一个模糊集合，称为 与 A
的“乘积”
A
, 0,
x A x A
例2-3：求模糊集合
0.5 0.6 1 0.7 0.3 A u1 u2 u3 u4 u5
③ 当两个隶属函数重叠，重叠部分任何点的隶属函数和应 该小于等于1。
四、确定隶属函数的方法
1. 模糊统计法
基本思想是：对论域U 上的一个确定元素u0，考虑n个 有模糊集合A属性的普通集合A*以及元素u0对A*的归属次 * 数。u0对A 的归属次数和n的比值就是元素u0对模糊集合A 的隶属度： u0 A*的次数 A (u0 ) lim n n
例2 - 4：设论域U (u0 , u1 , u2 , u3 ), u0 代表国外某名牌汽车产品， 而u1 , u2 , u3则代表国产同类产品，若考虑国产的产品在功能、 外形特征上对国外名牌汽车相似这样一个模糊概念，可用 对比排序法确定国产汽车u1 , u2 , u3相似于国外名牌汽车u0的 隶属度函数。假设：u1和u2相比较，对u0的相似程度分别为 0.8和0.5；u2和u3相比较，对u0的相似程度分别为0.6和0.9； u1和u3相比较，对u0的相似程度分别为0.7和0.3。
1 1 1 G 0.625 1 0.667 g ( g1 , g 2 , g3 ) [1, 0.625, 0.429] 1 0.429 1 4. 典型函数法：根据问题的性质，应用一定的分析与推理，
选用某些典型函数作为隶属函数。
五、模糊关系的表示
1) 模糊集合表示法
六、模糊关系的性质
1) 自反性
x X ,都有 R ( x, x) 1，则称R为具有自反性的模糊关系。 如果 R ( x, x) 0，则称R具有非自反性。
2) 对称性 ( x, y ) X Y ,都有 R ( x, y ) R ( y, x)，则称R为具有对称性的 模糊关系。其相应的模糊矩阵应满足：
A (A(u1 ), A(u2 ),, A(un ))
注意：隶属度为0的项不能 省略，必须依次列入。
例2-1： A (0.5, 0.8, 0.4, 0.3, 0.0) 例2-2： A (0, 0, 0.3, 0.7, 1, 1, 0.7, 0.3, 0, 0)
二、分解定理
设给定论域U中一对元素(u1 , u2 ), 其具有某特征的等级分 别为g u2 (u1 )和gu1 (u2 )，满足： 0 g u2 (u1 ) 1， 0 g u1 (u2 ) 1 当 gu2 (u1 ) g u1 (u2 ) 时 g u2 (u1 ) gu1 (u2 ) 令： g (u1 u2 ) 当 gu2 (u1 ) g u1 (u2 ) 时 1 若由g (u1 u2 )为元素构成矩阵，并设g (u1 u2 )，当i j时取 值为1，则得到矩阵G，被称为“相及矩阵”，如 1 G= g (u2 u1 ) g (u1 u2 ) 1
2) 模糊关系表表示法
3) 模糊矩阵表示法
当U、V 都是有限集时，模糊关系R可以用模糊矩阵R表示。
0 0 0.5 0.8 1 R 0 0 0 0.5 0.8 0 0.5 0 0 0
4) 模糊关系图表示法 用图直观表示模糊关系时，则将ui，vj作为节点，在ui到 vj的连线上标上μR(ui，vj)的值，这样的图便称为模糊关系图。 例：二人博弈，具有相同的策略 集：U=V={剪刀，石头，布}， “甲胜”定为1；“平局”定为 0.5，“甲负”定为0。则二人胜 负关系可用模糊关系图表示，如 图所示。
2. 专家经验法：由专家的实际经验给出模糊信息的处理 算
式或相应权系数来确定隶属函数的方法。 3. 对比排序法：二元对比排序法是一种较实用的确定隶属度 函数的 方法。它是通过对多个事物之间两两对比来确定某种 特征下的顺序，由此来决定这些事物对该特征的隶属函数的 大致形状。根据对比尺度不同，可分为：相对比较法、对比 平均法、优先关系排序法和相似优先比较法等。
模糊控制及其应用
一 模糊集合（隶属函数）
二 模糊关系 三 模糊语言 四 五 模糊推理 模糊控制器
总复习
一、模糊集合的表示方法
1.Zadeh表示法
1) 当U 为离散有限论域U {u1 , u2 , , un }时，模糊集合A表示为 A A(u1 ) u1 A(u2 ) u2 A(un ) un 式中 A(ui ) ui 并不代表“分式”，而是表示论域中的元素ui与其 隶属度之间的对应关系；“”也不代表“加”运算，而是表示 模糊集合在论域U 上的整体。 2) 当U 为连续有限域时，按Zadeh表示法有 A (u ) A U u A (u ) 式中 并不代表“分式”，而是表示论域中的元素u与其 u
1 0.7 0.7 0.6 0.6 0.6 A A [0,1] u3 u3 u4 u2 u3 u4 0.5 0.5 0.5 0.5 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 + u u u u u u u u u 2 3 4 2 3 4 5 1 1 0.5 0.6 1 0.7 0.3 A u1 u2 u3 u4 u5
属函数的值必须单调递减，不允许有波浪形。
2. 变量所取隶属函数通常对称和平衡 3. 隶属函数要符合人们的语义顺序，避免不 恰当的重叠 除以上三条基本规则外，模糊控制系统隶属函数通常应遵循： ① 论域中的每个点应该至少属于一个隶属函数的区域，同 时，它一般应该属于至多不超过两个隶属函数的区域； ② 对同一个点没有两个隶属函数同时有最大隶属度；
R T R。

----如同学、校友关系

当 R ( x, y )>0时，如果 R ( y, x)>0则x y；当x y时如果
R ( x, y )>0，那么 R ( y, x) 0，则称R为反对称性的，其相应的
模糊矩阵满足R R I。 对角线对称的元素必有一个为零。
T
A 0.5 u1 0.8 u2 0.4 u3 0.3 u4 0.0 u5 0.5 u1 0.8 u2 0.4 u3 0.3 u4
例2-2：U {1 ，，，，，，，，， 2 3 4 5 6 7 8 9 10}
设
数依次为：

A 表示模糊集合“几个”，并设各元素的隶属度函

3) 传递性 一个模糊关系R，如果( x, y )， ( y, z )， ( x, z ) X X ，均有： R ( x, z ) [ R ( x, y ) R ( y, z )]
y
即x与z从属于模糊关系R的程度不小于x与y从属于模糊关系R的 程度和y与z从属于模糊关系R的程度中较小的那一个，则称R为 具有传递性的模糊关系。其相应的模糊矩阵应满足： R R R。 不具有传递性。 1 即： R 2 R
三、确定隶属函数的原则
隶属函数的确定应遵守一些基本原则： 1.表示隶属函数的模糊集合必须是凸模糊集合； 某专家根据他本身的经验对“舒适”温度的隶属函数
定义如下：
舒适温度 0 0C 0.5 10C 1 20C 0.5 30C 0 40C
通常，某一模糊概念的隶属函数的确定应首先从最适 合这一模糊概念的点下手，然后向两边延伸。延伸时其隶
0.6 0.6 0.6 0.6A0.6 = + + u2 u3 u4
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5A0.5 = + + + ， u1 u2 u3 u4 0.3A0.3 = 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 + + + + u1 u2 u3 u4 u5
由分解定理，又可构成原来的模糊集合：
1 g (u1 u2 ) g (u1 un ) g (u u ) 1 g (u2 un ) 2 1 G= 1 g ( u u ) g ( u u ) 1 n 1 n 2 若对相及矩阵G的每一行取最小值 gi = min[g (ui u1 ), g (ui u2 ), , g (ui un )] 然后按其值gi (i 1, 2, , n)大小排序，即可得到 元素u1 , u2 , , un 对某特征的隶属度函数。
R R (u, v) (u, v) U V 或: R ((u, v)，R (u, v)) U V (u, v) U V
例：设集合U 1, 2， 3，V 1, 2，， 3 4, 5，从U 到V的 一个模糊关系R可表示为： R 0.5 (1,3) 0.8 (1, 4) 1 (1,5) 0.5 (2, 4) 0.8 (2,5) 0.5 (3,5)
隶属度 A (u )之间的对应关系；“ ”既不表示“积分”运算， 也不是“求和”记号，而是表示论域U 上的元素u与隶属度 A (u )