2020-2021高一数学上期末第一次模拟试题含答案(3)
2020-2021学年山东省青岛市高一(上)期末数学试卷 (含解析)
故选：B．
2．命题“对∀x∈R，都有sinx≤1”的否定为（ ）
A．对∀x∈R，都有sinx＞1B．对∀x∈R，都有sinx≤﹣1
C．∃x0∈R，使得sinx0＞1D．∃x0∈R，使得sinx≤1
解：∵全称命题的否定是特称命题，
∴命题“对∀x∈R，都有sinx≤1”的否定为：∃x0∈R，使得sinx0＞1；
＝（sin2x﹣cos2x）（sin2x+cos2x）+2sinxcosx
＝sin2x+sin2x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x
＝ sin（2x﹣ ），
则最小正周期T＝ ，
故选：C．
5．已知a＝sin160°，b＝cos50°，c＝tan110°，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b
（1）写出f（x）＝sinx和g（x）＝cosx在[0，π]上的一个“Ω区间”（无需证明）；
（2）若f（x）＝x3，[﹣1，1]是f（x）和g（x）的“Ω区间”，证明：g（x）不是偶函数；
（3）若 ，且f（x）在区间（0，1]上单调递增，（0，+∞）是f（x）和g（x）的“Ω区间”，证明：g（x）在区间（0，+∞）上存在零点．
C．f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣（3x﹣3﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，在R上是增函数，满足条件，
D．f（﹣x）＝﹣xcos（﹣x）＝﹣xcosx＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，f（0）＝0，f（π）＝﹣π，则f（x）不是增函数，不满足条件．
故选：AC．
11．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）
河南省平顶山市2020-2021学年高一上学期第一次调研考试数学试题Word版含答案
河南省平顶山市2020-2021学年高一上学期第一次调研考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则实数a的值为（）A. B. 0 C. 1 D. 22.若集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A. B. C. D. R3.已知集合A={a-2，2a2+5a，12}，-3∈A，则a的值为（）A. B. C. D.4.已知全集，则正确表示集合和集合关系的韦恩图是（）A. B. C. D.5.已知集合A={x|1≤x<5},B={x|-a<x≤a+3}.若B∩A=B,则a的取值范围为A. B. C. D.6.设全集为R,函数的定义域为M,则= ( )A. B. 且C. 或D. 或7.设x取实数，则f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A. B.C. ,D.8.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{5，19}的“孪生函数”共有（）A. 4个B. 6个C. 8个D. 9个9.已知函数 ，则函数的图象是（ ）A. B. C. D.10.已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=020)(2x x x x xx f ，方程，，则方程的根的个数是A. 2B. 3C. 4D. 511.已知偶函数f （x ）满足：对任意的[)+∞∈,0,21x x ()21x x ≠,都有0)()(2121>--x x x f x f 成立，则满足f （2x -1）＜f （）的x 取值范围是（ ）A. B. C. D.12.若函数y =f (x )的图像关于点（1，-1）对称， 1)(-=x xx g ，若f (x )与g (x )图像的交点坐标分别是 （x 1,y 1）,(x 2,y 2),(x 3,y 3)...(x m ,y m ),(*N m ∈),则(x 1+y 1)+(x 2+y 2)+(x 3+y 3)+...+(x m +y m )=（ ）A. 0B. 2C. -2mD. 4m第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.写出函数的单调递增区间 ．14.已知函数f （x ）=ax 3+bx +1，若f （a ）=8，则f （-a ）= ______ ．15.已知 λ∈R ，函数 ⎩⎨⎧<+-≥-=λλx x x x x x f 344)(2，若f (x )的图像与轴恰好有2个交点，则λ的取值范围是_____________16.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f （x ），若函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0，则不等式的解集为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（10分）（1）计算：41-32-314-168181276421⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛（2）化简：()0,04216132332>>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅b a b a b b a ab18.(12分)设全集U =R ，集合A ={x |1≤x ＜4}，B ={x |2a ≤x ＜3-a }． （1）若a = -2，求B ∩A ，B ∩∁U A ； （2）若A ∪B =A ，求实数a 的取值范围．19.(12分)已知函数f （x ）=2|x -1|-x +1．（1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数f （x ）的图象； （2）根据函数f （x ）的图象回答下列问题： ①求函数f （x ）的单调区间； ②求函数f （x ）的值域；③求关于x 的方程f （x ）=2在区间[0，2]上解的个数． （回答上述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤）20(12分))已知一次函数f （x ）是增函数且满足f [ f (x )]=4x -3． （Ⅰ）求函数f （x ）的表达式；（Ⅱ）若不等式f （x ）＜m 对于一切x ∈[-2，2]恒成立，求实数m 的取值范围．21.(12分已知函数f (x )=-x 2+2ax +1-a ．若，求在区间上的最小值；若在区间上有最大值3，求实数a 的值．22.(12分)已知函数=x 2-4x +a +3 ,R a ∈若函数y =f (x )的图像与x 轴无交点，求a 的取值范围； 若方程=0在区间[-1,1]上存在实根，求a 的取值范围；设函数g (x )=bx +5-2b ,R b ∈,当a =0时若对任意的[]4,11∈x ，总存在[]4,12∈x ，使得f (x 1)=g(x 2) ， 求b 的取值范围．河南省平顶山市2020-2021学年高一上学期第一次调研考试数学试题参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ADBDCCBDCDAA13.和解：由题意，函数，作出函数的图象由图象知，函数的单调递增区间是和．14. 【答案】-6 解：设g (x )=ax 3+bx ，则f (x )=g (x )+1 易知g (x )为奇函数，故g (-x )+g (x )=0.故f (-x )+f (x )=g (-x )+1+g (x )+1=2 故f (-a )=2-f (a )=-6. 15. 【答案】解：若f (x )的图像与轴恰好有2个交点，即函数f (x )恰有两个零点.∵当时，， 此时，∴，即在上有两个零点； ∵当时，，由在上只能有一个零点得. ∴综上，的取值范围为.16. 【答案】（-1，0）∪（0， 1） 解：由题意得到f （x ）与x 异号，故不等式可转化为：或， 根据题意可作函数图象，如右图所示：由图象可得：当f （x ）＞0，x ＜0时，-1＜x ＜0； 当f （x ）＜0，x ＞0时，0＜x ＜1， 则不等式的解集是（-1，0）∪（0，1）．17. 解：（1）原式=3243416+++=22 （2）原式=()b a b a b a b a b b a ab ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛373234354216131212331218. 解：（1）集合A ={x |1≤x ＜4}，∁U A ={x |x ＜1或x ≥4}，a =-2时，B ={-4≤x ＜5}，所以B ∩A =[1，4），B ∩∁U A ={x |-4≤x ＜1或4≤x ＜5};（2）若A ∪B =A 则B ⊆A ，分以下两种情形： ①B =∅时，则有2a ≥3-a ，∴a ≥1，②B ≠∅时，所以，解得，综合上述，所求a 的取值范围为.19.解：（1）根据函数f（x）=2|x-1|-x+1=．可得函数的图象，如图所示：（2）结合函数的图象可得，①函数f（x）的单调递增区间为[1，+∞），函数f（x）的单调递减区间为（-∞，1）；②函数f（x）的值域为[0，+∞），③方程f（x）=2在区间[0，2]上解的个数为1个．20. 解：（1）由题意可设f（x）=ax+b（a＞0）．由f（f（x））=4x-3，得：a（ax+b）+b=4x-3，即a2x+ab+b=4x-3，所以，，解得：或，因为a＞0，所以a=2，b=-1．所以f（x）=2x-1；（2）由f（x）＜m，得m＞2x-1．不等式f（x）＜m对于一切x∈[-2，2]恒成立，即为m＞2x-1对于一切x∈[-2，2]恒成立，因为函数f（x）=2x-1在[-2，2]上为增函数，所以f max（x）=f（2）=3．所以m＞3．所以，不等式f（x）＜m对于一切x∈[-2，2]恒成立的实数m的取值范围（3，+∞）．21.21解：（1）若a=2，则f（x）=-x2+4x-1= -（x-2）2+3，函数图象开口向下，对称轴为x=2，∴函数f（x）在区间[0，2]上是增函数，在区间[2，3]上是减函数，又f（0）=-1，f（3）=2，∴f（x）min=f（0）=-1.（2）f(x)对称轴为x=a，当a≤0时，函数在f（x）在区间[0，1]上是减函数，则f（x）max=f（0）=1-a=3，即a=-2；当0＜a＜1时，函数f（x）在区间[0，a]上是增函数，在区间[a，1]上是减函数，则f（x）max=f（a）=a2-a+1=3，解得a=2或-1，不符合；当a≥1时，函数f（x）在区间[0，1]上是增函数，则f（x）max=f（1）=-1+2a+1-a=3，解得a=3；综上所述，a=-2或a=3．22.。
高一上学期期末考试数学试题(含答案)
高一上学期期末考试数学试题(含答案) 高一上学期期末考试数学试题（含答案）第I卷选择题（共60分）1.sin480的值为()A。
-1133B。
-2222C。
2222D。
11332.若集合M={y|y=2,x∈R}，P={x|y=x-1}，则M∩P=()A。
(1,+∞)B。
[1,+∞)C。
(-∞,+∞)D。
(-∞。
+∞)3.已知幂函数通过点(2,22)，则幂函数的解析式为()A。
y=2xB。
y=xC。
y=x2D。
y=x1/24.已知sinα=-1/2，且α是第二象限角，那么tanα的值等于()A。
-5/3B。
-4/3C。
4/3D。
5/35.已知点A(1,3)，B(4,-1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A。
(3/5,-4/5)B。
(-3/5,4/5)C。
(-4/5,-3/5)D。
(4/5,3/5)6.设tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两根，则tan(α+β)的值为()A。
-3B。
-1C。
1D。
37.已知锐角三角形ABC中，|AB|=4，|AC|=1，△ABC的面积为3，则AB·AC的值为()A。
2B。
-2C。
4D。
-48.已知函数f(x)=asin(πx+β)+bcos(πx+β)，且f(4)=3，则f(2015)的值为()A。
-1B。
1C。
3D。
-39.下列函数中，图象的一部分如图所示的是()无法确定图像，无法判断正确选项）10.在斜△ABC中，sinA=-2cosB·cosC，且tanB·tanC=1-2，则角A的值为()A。
π/4B。
π/3C。
π/2D。
2π/311.已知f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是()A。
(-∞,4]B。
(-∞,4)C。
(-4,4]D。
[-4,4]12.已知函数f(x)=1+cos2x-2sin(x-π/6)，其中x∈R，则下列结论中正确的是()A。
f(x)是最小正周期为π的偶函数B。
福建省漳州市2020-2021学年学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
福建省漳州市2020-2021学年学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷共5页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|4}A x x =>，{|2}B x x ，则A B =（ ）A. (2,)+∞B. (4,)+∞C. (2,4)D. (,4)-∞【答案】B 【解析】 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】{|{|2}4}{|4}x A B x x x x x =>>=>故选：B【点睛】本题主要考查了集合间的交集运算，属于基础题. 2.sin(600)-︒的值是（ ）A.12B. 12-C.2D. 【答案】C 【解析】 【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】解：()()()sin 600sin 720120sin120sin 18060sin60-︒=-︒+︒=︒=︒-︒=︒= 故选C ．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 3.下列各函数的值域与函数y x =的值域相同的是（ ） A. 2yxB. 2xy =C. sin y x =D.2log y x =【答案】D 【解析】 【分析】分别求出下列函数的值域，即可判断. 【详解】函数y x =的值域为R20y x =≥，20x y =>则A ，B 错误；函数sin y x =的值域为[]1,1-，则C 错误； 函数2log y x =的值域为R ，则D 正确； 故选：D【点睛】本题主要考查了求具体函数的值域，属于基础题.4.已知函数42,0,()log ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩则((1))f f -=（ ）A. 2-B. 12-C.12D. 2【答案】B 【解析】 【分析】分别计算(1)f -，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭即可得出答案.【详解】121(1)2f --==，241211log log 12222f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭所以1((1))2f f -=- 故选：B【点睛】本题主要考查了已知自变量求分段函数的函数值，属于基础题. 5.函数log ||()(1)||a x x f x a x =>图象的大致形状是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】判断函数函数()f x 为奇函数，排除BD 选项，取特殊值排除C ，即可得出答案. 【详解】log ||log ||()()||||a a x x x x f x f x x x ---==-=--所以函数()f x 为奇函数，故排除BD.log ||()10||a a a f a a ==>，排除C故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于基础题.6.已知0.22log 0.2,2,sin 2a b c ===，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B【解析】 【分析】分别求出a ，b ，c 的大概范围，比较即可.【详解】因为22log 0.2log 10<=，0sin 21<<，0.20221>= 所以a c b <<. 故选：B【点睛】本题主要考查了指数，对数，三角函数的大小关系，找到他们大概的范围再比较是解决本题的关键，属于简单题.7.已知以原点O 为圆心的单位圆上有一质点P ，它从初始位置01(,22P 开始，按逆时针方向以角速度1/rad s 做圆周运动.则点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系为 A. sin(),03y t t π=+≥ B. sin(),06y t t π=+≥ C. cos(),03y t t π=+≥D. cos(),06y t t π=+≥【答案】A 【解析】当时间为t 时，点P 所在角的终边对应的角等于3t π+, 所以点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系为sin(),03y t t π=+≥.8.已知函数()f x 为定义在(0,)+∞的增函数，且满足()()()1f x f y f xy +=+.若关于x 的不等式(1sin )(1)(cos )(1sin )f x f f a x f x --<+-+恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. 1a >- B. 14a >-C. 1a >D. 2a >【答案】D 【解析】 【分析】将题设不等式转化为2(cos )(cos )f x f a x <+，根据函数()f x 的单调性解不等式得出2cos cos x a x <+，通过换元法，构造函数2()g x t t =-，[]1,1t ∈-求出最大值，即可得到实数a 的取值范围.【详解】(1sin )(1)(cos )(1sin )f x f f a x f x --<+-+(1sin )(1sin )(cos )(1)f x f x f a x f ∴-++<++因为()()()2(1sin )(1sin )1sin 1sin 1(cos)1f x f x fx x f x -++=-++=+，(cos )(1)(cos )1f a x f f a x ++=++所以2(cos )(cos )f x f a x <+在(0,)x ∈+∞恒成立故2cos cos x a x <+在(0,)x ∈+∞恒成立，即2cos cos x x a -<在(0,)x ∈+∞恒成立 令[]cos ,1,1x t t =∈-，则22()cos cos g x x x t t =-=-所以函数2()g x t t =-在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，(1)2(1)0g g -=>= 所以2a > 故选：D【点睛】利用函数的单调性解抽象不等式以及不等式的恒成立问题，属于中档题.二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.设11,,1,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域是R ，且为奇函数的α值可以是（ ）A. 1-B.12C. 1D. 3【答案】CD 【解析】 【分析】求出对应α值函数y x α=的定义域，利用奇偶性的定义判断即可.【详解】当α的值为11,2-时，函数y x α=的定义域分别为()(),00,-∞+∞，[)0,+∞当1α=时，函数y x =的定义域为R ，令()f x x =，()()f x x f x -=-=-，则函数y x =为R 上的奇函数当3α=时，函数3y x =的定义域为R ，令3()f x x =，3()()f x x f x -=-=-，则函数3y x=为R 上的奇函数故选：CD【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性，属于基础题. 10.要得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A. 向右平行移动5π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍B. 向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍C. 横坐标缩短到原来的12倍，再把所得各点向右平行移动5π个单位长度D. 横坐标缩短到原来的12倍，再把所得各点向右平行移动10π个单位长度【答案】AD 【解析】 【分析】由正弦函数的伸缩变换以及平移变换一一判断选项即可. 【详解】将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动5π个单位长度，得到函数n 5si y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故A 正确；将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，得到函数sin 10y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 210y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故B 错误；将函数sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 2y x =的图象，再把所得各点向右平行移动5π个单位长度，得到25sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，故C 错误； 将函数sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 2y x =的图象，再把所得各点向右平行移动10π个单位长度，得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了正弦函数的伸缩变换以及平移变换，属于基础题.11.对于函数()sin(cos )f x x =，下列结论正确的是（ ） A. ()f x 为偶函数B. ()f x 的一个周期为2πC. ()f x 的值域为[sin1,sin1]-D. ()f x 在[]0,π单调递增【答案】ABC 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义以及周期的定义判断A ，B 选项；利用换元法以及正弦函数的单调性判断C 选项；利用复合函数的单调性判断方法判断D 选项. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称()()()()sin cos sin cos ()f x x x f x -=-==，则函数()f x 偶函数，故A 正确；()()()sin co 22s sin cos ()f x x x f x ππ+=+==⎡⎤⎣⎦，则函数()f x 的一个周期为2π，故B正确；令[]cos ,1,1t x t =∈-，则()sin f x t =，由于函数sin y t=[]1,1-上单调递增，则()sin 1()sin1sin1()sin1f x f x -≤≤⇒-≤≤，故C 正确；当[]0,x π∈时，函数cos t x =为减函数，由于[]cos 0,1t x =∈，则函数sin y t =在0,1上为增函数，所以函数()f x 在[]0,π单调递减，故D 错误； 故选：ABC【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性，周期性，求函数值域，复合函数的单调性，属于中档题.12.已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =.记()sin ()cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（ ） A. ()g x 为奇函数B. 若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=C. ()g x 在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为3个 D. 若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ，则1223x x ππ<+<【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义判断A 选项；将()0g x =等价变形为tan ()x f x =-，结合()f x 的奇偶性判断B 选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数()g x 的奇偶性判断C 选项，结合图象，得出12,x x 的范围，由不等式的性质得出12x x +的范围. 【详解】由题意可知()g x 的定义域为R ，关于原点对称因为()()()sin ()cos sin ()cos ()g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-，所以函数()g x 为奇函数，故A 正确； 假设cos 0x =，即,2x k k Z ππ=+∈时，sin ()co cos s sin 02x k x f x k πππ⎛⎫++⋅==≠ ⎪⎝⎭所以当,2x k k Z ππ=+∈时，()0g x ≠当,2x k k Z ππ≠+∈时，sin ()cos 0tan ()x f x x x f x +⋅=⇔=-当00x <，00x ->，则()000()()lg f x f x x =--=--由于()g x 的一个零点为0x ， 则()()00000tan ()lg t lg an 0x x f x x x =-=⇒--=-，故B 正确；当0x >时，令12tan ,lg y x y x ==-，则()g x 大于0的零点为12tan ,lg y x y x ==-的交点，由图可知，函数()g x 在区间()0,π的零点有2个，由于函数()g x 为奇函数，则函数()g x 在区间,02π⎛⎫-⎪⎝⎭的零点有1个，并且(0)sin 0(0)cos00g f =+⋅= 所以函数在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为4个，故C 错误；由图可知，()g x 大于1的零点123,222x x ππππ<<<< 所以1223x x ππ<+< 故选：ABD【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的零点个数，属于较难题. 三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.13.函数()1xf x a =+（0a >且1a ≠）的图象恒过点__________【答案】()0,2 【解析】分析：根据指数函数xy a =过()0,1可得结果.详解：由指数函数的性质可得xy a =过()0,1，所以1xy a =+过()0,2，故答案为()0,2.点睛：本题主要考查指数函数的简单性质，属于简单题. 14.已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【答案】6π 【解析】 【分析】由扇形面积公式求出扇形半径，根据扇形弧长公式即可求解.【详解】设扇形的半径为r 由扇形的面积公式得：216212r ππ=⨯，解得2r该扇形的弧长为2126ππ⨯=故答案为：6π 【点睛】本题主要考查了扇形面积公式以及弧长公式，属于基础题. 15.函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为______；【答案】[2] 【解析】 【分析】由x 的范围，确定23x π-的范围，利用换元法以及正弦函数的单调性，即可得出答案.【详解】0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,333x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦令22,333t x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，函数()2sin g t t =在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减2si ()(n 33)g ππ--==2si 2()2n 2g ππ==， 222sin (3)3g ππ==所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[2]故答案为：[2]【点睛】本题主要考查了正弦型函数的值域，属于中档题. 16.已知函数1()f x x=，()2sin g x x =，则函数()f x 图象的对称中心为_____，函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点的横坐标与纵坐标之和为____. 【答案】 (1). (0,0) (2). 0 【解析】 【分析】判断函数()f x ，()g x 为奇函数，即可得出函数()f x ，()g x 图象的对称中心都为原点； 根据对称性即可得出所有交点的横坐标与纵坐标之和. 【详解】1()()f x f x x-=-=-，则函数()f x 为奇函数，即函数()f x 图象的对称中心为(0,0) ()()2sin 2sin ()g x x x g x -=-=-=-，则函数()g x 为奇函数，即函数()g x 的对称中心为(0,0)所以函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点都关于原点对称 即所有交点的横坐标之和为0，纵坐标之和也为0则函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点的横坐标与纵坐标之和为0 故答案为：(0,0)；0【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用以及对称性的应用，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知α为锐角，且3cos 5α=. （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求cos sin(2)2παπα⎛⎫-+-⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）-7（2）4425【解析】 【分析】（1）利用平方关系以及商数关系得出tan α，再利用两角和的正切公式求解即可； （2）利用诱导公式以及二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】解：（1）因为α为锐角，且3cos 5α=. 所以24sin 1cos 5αα， 所以sin 4tan cos 3ααα==， 所以41tan tan34tan 7441tan tan 1143παπαπα++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭--⨯. （2）因为cos sin 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭， sin(2)sin 2παα-=，所以cos sin(2)sin sin 22παπααα⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭sin 2sin cos ααα=+4432555=+⨯⨯ 4425= 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，诱导公式，二倍角的正弦公式，属于中档题. 18.已知集合{}|2216xA x =<<，{|sin 0,(0,2)}B x x x π=>∈. （1）求AB ；（2）集合{|1}C x x a =<<()a ∈R ，若AC C =，求a 的取值范围.【答案】（1）{|04}A B x x ⋃=<<（2）4a 【解析】 【分析】（1）利用指数函数以及正弦函数的性质化简集合,A B ，再求并集即可；（2）由题设条件得出C A ⊆，分别讨论集合C =∅和C ≠∅的情况，即可得出答案.【详解】解：（1）依题意{|14}A x x =<<，{|0}B x x π=<<，所以{|04}A B x x ⋃=<<. （2）因为AC C =，所以C A ⊆.①当C =∅时，1a ，满足题意；②当C ≠∅时，1a >，因为C A ⊆，得4a ≤，所以14a <； 综上，4a .【点睛】本题主要考查了集合的并集运算以及根据集合间的包含关系求参数范围，属于中档题.19.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =⋅+. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）最小正周期为π.（2）单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，()f x 的单调递减区间为37,()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【解析】 【分析】利用倍角公式以及辅助角公式化简函数()f x ，根据周期公式得出第一问；根据正弦函数的单调增区间和减区间求()f x 的单调区间，即可得出第二问. 【详解】解：因为2()2sin 2sin cos f x x x x =+⋅22sin sin 2x x =+1cos2sin2x x =-+ sin2cos21x x =-+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（1）所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==.（2）由222,242k x k k πππππ-+-+∈Z ，得3222,44k x k k ππππ-++∈Z ， 即3,88k xk k ππππ-++∈Z ， 所以()f x 的单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，同理可得，()f x 的单调递减区间为37,()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最小正周期以及单调区间，属于中档题. 20.已知2()1x af x x bx +=++是定义在[1,1]-上的奇函数. （1）求a 与b 的值；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性定义加以证明； （3）若[0,2)απ∈时，试比较(sin )f α与(cos )f α的大小.【答案】（1）0a =. 0b =.（2）()f x 在[1,1]-单调递增.见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质得出(0)0f =，(1)(1)f f -=-，求解方程，即可得出a 与b 的值； （2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）分别讨论α的取值使得sin cos αα=，sin cos αα<，sin cos αα>，结合函数()f x 的单调性，即可得出(sin )f α与(cos )f α的大小.【详解】解：（1）因为()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，所以(0)0f =，得0a =.又由(1)(1)f f -=-，得到1122b b -=--+，解得0b =. （2）由（1）可知2()1xf x x =+，()f x 在[1,1]-上为增函数.证明如下：任取12,[1,1]x x ∈-且设12x x <， 所以()()1212221211x x f x f x x x -=-++()()22121212221211x x x x x x x x +--=++ ()()()()122112221211x x x x x x x x -+-=++()()()()21122212111x x x x xx --=++由于12x x <且12,[1,1]x x ∈-，所以210x x ->，且2110x x -<，又2110x +>，2210x +>，所以()()()()211222121011x x x x xx --<++，所以()()12f x f x <，从而()f x 在[1,1]-单调递增. （3）当4πα=或54πα=时，sin cos αα=，所以(sin )(cos )f f αα=；当04πα<或524παπ<<时，sin cos αα<， 又因为sin [1,1]α∈-，cos [1,1]α∈-，且()f x 在[1,1]-上为增函数，所以(sin )(cos )f f αα<当544ππα<<时，sin cos αα>，同理可得(sin )(cos )f f αα>； 综上，当4πα=或54πα=时，(sin )(cos )f f αα=；当50,,244ππαπ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭时，(sin )(cos )f f αα<；当5,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(sin )(cos )f f αα>.【点睛】本题主要考查由函数的奇偶性求参数，判断函数的单调性以及利用单调性比较函数值大小，属于中档题.21.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： .（1）设港口在x 时刻的水深为y 米，现给出两个函数模型：sin()(0,0,)y A x h A ωϕωπϕπ=++>>-<<和2(0)y ax bx c a =++≠.请你从两个模型中选择更为合适的函数模型来建立这个港口的水深与时间的函数关系式（直接选择模型，无需说明理由）；并求出7x =时，港口的水深.（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口，何时应离开港口？一天内货船可以在港口呆多长时间？【答案】（1）选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合. 水深为3米 （2）货船可以在1时进入港口，在5时出港；或者在13时进港，17时出港.一天内货船可以在港口呆的时间为8小时. 【解析】 【分析】（1）观察表格中水深的变化具有周期性，则选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合，由表格数据得出,,,A h ωϕ的值，将7x =代入解析式求解即可； （2）由题意 5.5y 时，船可以进港，解不等式2.5sin4.255.56x π+，得出x 的范围，由x的范围即可确定进港，出港，一天内在港口呆的时间. 【详解】解：（1）选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合因为港口在0：00时刻的水深为4.25米，结合数据和图象可知 4.25h =6.75 1.752.52A -==因为12T =，所以22126T πππω===， 所以 2.5sin 4.256y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 因为0x =时， 4.25y =，代入上式得sin 0ϕ=，因为πϕπ-<<，所以0ϕ=， 所以 2.5sin4.256y x π=+.当7x =时，712.5sin4.25 2.5 4.25362y π⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭， 所以在7x =时，港口的水深为3米（2）因为货船需要的安全水深是4 1.5 5.5+=米， 所以 5.5y 时，船可以进港， 令2.5sin4.255.56x π+，则1sin62xπ， 因为024x <，解得15x 或1317x ，所以货船可以在1时进入港口，在5时出港；或者在13时进港，17时出港. 因为(51)(173)8-+-=，一天内货船可以在港口呆的时间为8小时. 【点睛】本题主要考查了三角函数在生活中的应用，属于中档题. 22.已知函数3(1)log (1)f x a x +=+，且(2)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）已知()f x 的定义域为[2,)+∞. （ⅰ）求()41xf +的定义域；（ⅱ）若方程()()412xxf f k k x +-⋅+=有唯一实根，求实数k 取值范围.【答案】（1）2()log f x x =（2）（ⅰ）[0,)+∞.（ⅱ）1k = 【解析】 【分析】（1）利用换元法以及(2)1f =，即可求解()f x 的解析式；（2）（ⅰ）解不等式412x +≥，即可得出()41xf +的定义域；（ⅱ）根据()41xf +，()2x f k k ⋅+的定义域得出1k ，结合函数()f x 的解析式将方程化为()2(1)2210x x k k -⋅+⋅-=，利用换元法得出2()(1)1,[1,)g t k t k t t =-+⋅-∈+∞，讨论k的值，结合二次函数的性质即可得出实数k 的取值范围.【详解】解：（1）令1(0)t x t =+>，则3()log f t a t =，所以3()log f x a x =， 因为3(2)log 21f a ==，所以231log 3log 2a ==， 所以3232()log log 3log log f x a x x x ==⨯= （2）（ⅰ）因为()f x 的定义域为[2,)+∞， 所以412x +≥，解得0x ， 所以()41xf +的定义域为[0,)+∞.（ⅱ）因为0,22,x x k k ⎧⎨⋅+⎩，所以221xk +在[0,)+∞恒成立， 因为221x y =+在[0,)+∞单调递减，所以221x y =+最大值为1，所以1k .又因为()()412xxf f k k x +-⋅+=，所以()()22log 41log 2xxk k x +-⋅+=， 化简得()2(1)2210xx k k -⋅+⋅-=，令2(1)xt t =，则2(1)10k t k t -⋅+⋅-=在[1,)+∞有唯一实数根， 令2()(1)1,[1,)g t k t k t t =-+⋅-∈+∞，当1k =时，令()0g t =，则1t =，所以21x =，得0x =符合题意，所以1k =； 当1k >时，2440k k ∆=+->，所以只需(1)220g k =-，解得1k ，因为1k >，所以此时无解； 综上，1k =.【点睛】本题主要考查了利用换元法求函数解析式以及根据函数的零点确定参数的范围，属于较难题.。
2020-2021上海久隆模范中学高一数学上期末第一次模拟试卷(含答案)
2020-2021上海久隆模范中学高一数学上期末第一次模拟试卷(含答案)一、选择题1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =I （ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,22．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( ) A ．B ．C ．D ．3．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-4．函数()2sin f x x x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．5．已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1()21f x x =-有2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ），则1232022x x x x ++++=L ( ) A ．1010 B ．2020 C ．1011D ．20226．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073D ．10937．定义在[]7,7-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26xf x x =+-，则不等式()0f x >的解集为A ．(]2,7B ．()(]2,02,7-UC ．()()2,02,-+∞UD ．[)(]7,22,7--U8．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos 12xf x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,5B ．()2,4C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭9．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，则()0g x 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．函数()f x 是周期为4的偶函数,当[]0,2x ∈时，()1f x x =-,则不等式()0xf x >在[]1,3-上的解集是 ( ) A ．()1,3B ．()1,1-C ．()()1,01,3-UD ．()()1,00,1-U11．已知函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）（x ∈R ），若函数f （x ）是偶函数，记a=m ，若函数f （x ）为奇函数，记a=n ，则m+2n 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．﹣112．函数()()212ln 12f x x x =-+的图象大致是( ) A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若函数(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),∞∞-+上单调递增，则m 的取值范围是__________．14．若关于x 的方程42x x a -=有两个根，则a 的取值范围是_________15．函数22log (56)y x x =--单调递减区间是 ．16．若点(4,2)在幂函数()f x 的图像上，则函数()f x 的反函数1()f x -=________.17．已知11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若幂函数()af x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a的取值集合为______. 18．若函数()121xf x a =++是奇函数，则实数a 的值是_________. 19．若函数()242xx f x a a =+-（0a >，1a ≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a =______.20．已知函数1,0()ln 1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解()a b c a b c <<、、，则()a b c +的取值范围为______；三、解答题21．已知函数()log (12)a f x x =+，()log (2)a g x x =-，其中0a >且1a ≠，设()()()h x f x g x =-.(1)求函数()h x 的定义域; (2)若312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求使()0h x <成立的x 的集合. 22．已知函数()()sin ωφf x A x B =++(0A >，0>ω，2πϕ<)，在同一个周期内，当6x π=时，()f x取得最大值2，当23x π=时，()f x取得最小值2-. (1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间. (2)将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围.23．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同祥强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投人固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210200,040()100008019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩…，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（Ⅰ）求出2020年的利润()Q x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）；（Ⅱ）2020年产量x 为多少（千部）时，企业所获利润最大?最大利润是多少? （说明：当0a >时，函数ay x x=+在单调递减，在)+∞单调递增） 24．设函数()()2log xxf x a b=-，且()()211,2log 12f f ==.（1）求a b ，的值； （2）求函数()f x 的零点；（3）设()xxg x a b =-，求()g x 在[]0,4上的值域.25．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()30030180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，，（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．26．已知()log a f x x =，()()()2log 2201,1,a g x x a a a =+>+≠∈R ，()1h x x x=+. （1）当[)1,x ∈+∞时，证明：()1h x x x=+为单调递增函数； （2）当[]1,2x ∈，且()()()F x g x f x =-有最小值2时，求a 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．2．B解析：B 【解析】因为||0x ≥，所以1x a ≥，且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B ．3．A解析：A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行4．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数()2sin f x x x =是奇函数，且函数过点[],0π，从而得出结论．【详解】由于函数()2sin f x x x =是奇函数，故它的图象关于原点轴对称，可以排除B 和D ；又函数过点(),0π，可以排除A ，所以只有C 符合． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查奇函数的图象和性质，正弦函数与x 轴的交点，属于基础题．5．C解析：C 【解析】 【分析】 函数()f x 和121=-y x 都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所有1()21f x x =-的所有零点都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，根据对称性计算1232022x x x x ++++L 的值. 【详解】()()10f x f x ++-=Q ，()f x ∴关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，而函数121=-y x 也关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的所有零点关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，()121f x x ∴=-的2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ）， 有1011组关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，122022...101111011x x x ∴+++=⨯=.故选：C 【点睛】本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型.6．D解析：D 【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log n a a M n M =.7．B解析：B 【解析】 【分析】当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(]2,7，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃．【详解】当07x <≤时，()26xf x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤< 时，()f x 在[7,0)-上单调递增，且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃ 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．8．D解析：D 【解析】试题分析：由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，0111{log 31,53log 51a a a a <<>-⇒<<<-，故D 正确. 考点：函数零点【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．9．B解析：B 【解析】 【分析】根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】 因为()2ln f x x x=-在定义域内递增， 且()2ln 210f =-<，()23ln 303f =->， 由零点存在性定理可得023x <<，根据[]x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =， 故选：B. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.10．C解析：C 【解析】若[20]x ∈-，，则[02]x -∈，，此时1f x x f x -=--Q （），（）是偶函数，1f x x f x ∴-=--=（）（）， 即1[20]f x x x =--∈-（），，， 若[24]x ∈， ，则4[20]x -∈-，， ∵函数的周期是4，4413f x f x x x ∴=-=---=-（）（）（），即120102324x x f x x x x x ---≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，（），， ，作出函数f x （）在[13]-， 上图象如图， 若03x ≤＜，则不等式0xf x （）＞ 等价为0f x （）＞ ，此时13x ＜＜， 若10x -≤≤ ，则不等式0xfx （）＞等价为0f x （）＜ ，此时1x -＜＜0 ， 综上不等式0xf x （）＞ 在[13]-， 上的解集为1310.⋃-（，）（，）故选C.【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．11．B解析：B 【解析】试题分析：利用函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，得到g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数，然后利用g （0）=0，可以解得m ．函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数，可得n ，即可得出结论．解：设g （x ）=e x +ae ﹣x ，因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数．又因为函数f （x ）的定义域为R ，所以g （0）=0， 即g （0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数 所以（e ﹣x +ae x ）=e x +ae ﹣x 即（1﹣a ）（e ﹣x ﹣e x ）=0对任意的x 都成立 所以a=1，所以n=1， 所以m+2n=1 故选B ．考点：函数奇偶性的性质．12．A解析：A 【解析】函数有意义，则：10,1x x +>∴>-， 由函数的解析式可得：()()21002ln 0102f =⨯-+=，则选项BD 错误； 且211111112ln 1ln ln 402222848f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--⨯-+=-=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则选项C 错误； 本题选择A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．二、填空题13．【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征可求得的取值范围【详解】∵函数在上单调递增∴函数在区间上为增函数∴解得∴实数的取值范围是故答案为【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根 解析：(0,3]【解析】 【分析】由题意根据函数1y mx m =+-在区间(),0-∞上为增函数及分段函数的特征，可求得m 的取值范围． 【详解】∵函数(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),-∞+∞上单调递增，∴函数1y mx m =+-在区间(),0-∞上为增函数， ∴01212m m >⎧⎨-≤+=⎩，解得03m <≤， ∴实数m 的取值范围是(0,3]． 故答案为(0,3]． 【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题．14．【解析】【分析】令可化为进而求有两个正根即可【详解】令则方程化为:方程有两个根即有两个正根解得:故答案为:【点睛】本题考查复合函数所对应的方程根的问题关键换元法的使用难度一般解析：1(,0)4-【解析】 【分析】令20x t =>,42x x a -=,可化为20t t a --=,进而求20t t a --=有两个正根即可. 【详解】令20x t =>,则方程化为:20t t a --=Q 方程42x x a -=有两个根,即20t t a --=有两个正根,1212140100a x x x x a ∆=+>⎧⎪∴+=>⎨⎪⋅=->⎩,解得:104a -<<.故答案为: 1(,0)4-. 【点睛】本题考查复合函数所对应的方程根的问题,关键换元法的使用,难度一般.15．【解析】【分析】先求出函数的定义域找出内外函数根据同增异减即可求出【详解】由解得或所以函数的定义域为令则函数在上单调递减在上单调递增又为增函数则根据同增异减得函数单调递减区间为【点睛】复合函数法：复 解析：(,1)-∞-【解析】 【分析】先求出函数的定义域，找出内外函数，根据同增异减即可求出. 【详解】由2560x x -->，解得6x >或1x <-，所以函数22log (56)y x x =--的定义域为(,1)(6,)-∞-+∞U .令256u x x =--，则函数256u x x =--在(),1-∞-上单调递减，在()6,+∞上单调递增，又2log y u =为增函数，则根据同增异减得，函数22log (56)y x x =--单调递减区间为(,1)-∞-.【点睛】复合函数法：复合函数[]()y f g x =的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =若具有相同的单调性，则[]()y f g x =为增函数，若具有不同的单调性，则[]()y f g x =必为减函数．16．【解析】【分析】根据函数经过点求出幂函数的解析式利用反函数的求法即可求解【详解】因为点在幂函数的图象上所以解得所以幂函数的解析式为则所以原函数的反函数为故答案为：【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式 解析：2(0)x x ≥【解析】【分析】根据函数经过点(4,2)求出幂函数的解析式，利用反函数的求法，即可求解．【详解】因为点(4,2)在幂函数()()f x x R αα=∈的图象上，所以24α=，解得12α=， 所以幂函数的解析式为12y x =，则2x y =，所以原函数的反函数为12()(0)fx x x -=≥． 故答案为：12()(0)fx x x -=≥【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式的求法，以及反函数的求法，其中熟记反函数的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 17．【解析】【分析】由幂函数为奇函数且在上递减得到是奇数且由此能求出的值【详解】因为幂函数为奇函数且在上递减是奇数且故答案为：【点睛】本题主要考查幂函数的性质等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程思想 解析：{}1-【解析】【分析】由幂函数()af x x =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，得到a 是奇数，且0a <，由此能求出a 的值．【详解】 因为11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，幂函数为奇()a f x x =函数，且在(0,)+∞上递减， a ∴是奇数，且0a <，1a ∴=-．故答案为：1-．【点睛】本题主要考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．【解析】【分析】由函数是奇函数得到即可求解得到答案【详解】由题意函数是奇函数所以解得当时函数满足所以故答案为：【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键解析：12- 【解析】【分析】由函数()f x 是奇函数，得到()010021f a =+=+，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()121x f x a =++是奇函数，所以()010021f a =+=+，解得12a =-， 当12a =-时，函数()11212x f x =-+满足()()f x f x -=-， 所以12a =-. 故答案为：12-. 【点睛】 本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题，其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．2或【解析】【分析】将函数化为分和两种情况讨论在区间上的最大值进而求【详解】时最大值为解得时最大值为解得故答案为:或2【点睛】本题考查已知函数最值求参答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解解析：2或12 【解析】【分析】将函数化为()2()26x f x a =+-,分01a <<和1a >两种情况讨论()f x 在区间[]1,1-上的最大值,进而求a .【详解】()242x x f x a a =+-()226x a =+-,11x -≤≤Q , 01a ∴<<时,1x a a a -<<,()f x 最大值为()21(1)2610f a --=+-=,解得12a = 1a >时,1x a a a -≤≤,()f x 最大值为()2(1)2610f a =+-=,解得2a =, 故答案为:12或2.【点睛】本题考查已知函数最值求参,答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解.20．【解析】【分析】画出的图像根据图像求出以及的取值范围由此求得的取值范围【详解】函数的图像如下图所示由图可知令令所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质考查数形结合的数学思想方法属解析：)22,2e e ⎡--⎣【解析】【分析】画出()f x 的图像，根据图像求出+a b 以及c 的取值范围，由此求得()a b c +的取值范围.【详解】函数()f x 的图像如下图所示，由图可知1,22a b a b +=-+=-.令2ln 11,x x e -==，令ln 10,x x e -==，所以2e c e <≤，所以)2()22,2a b c c e e ⎡+=-∈--⎣. 故答案为：)22,2e e ⎡--⎣【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.三、解答题21．(1)1,22⎛⎫-⎪⎝⎭;(2)1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】(1)由真数大于0列出不等式组求解即可；(2)由312f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得出14a =，再利用对数函数的单调性解不等式即可得出答案. 【详解】(1)要使函数有意义，则12020x x +>⎧⎨->⎩， 即122x -<<，故()h x 的定义域为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. (2)∵312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴log (13)log 41a a +==-， ∴14a =， ∴1144()log (12)log (2)h x x x =+--，∵()0h x <，∴0212x x <-<+，得123x <<， ∴使()0h x <成立的的集合为1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】 本题主要考查了求对数型函数的定义域以及由对数函数的单调性解不等式，属于中档题.22．(1)()262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，单调增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3轾犏犏臌；(2)a ∈⎣ 【解析】【分析】（1）由最大值和最小值求得,A B ，由最大值点和最小值点的横坐标求得周期，得ω，再由函数值（最大或最小值均可）求得ϕ，得解析式；（2）由图象变换得()g x 的解析式，确定()g x 在[0,]2π上的单调性，而()g x a =有两个解，即()g x 的图象与直线y a =有两个不同交点，由此可得．【详解】(1)由题意知2A B A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩解得A =，2B =. 又22362T πππ=-=，可得2ω=.由6322fππϕ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得6π=ϕ.所以()262f x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由222262k x kπππππ-≤+≤+，解得36k x kππππ-≤≤+，k∈Z.又[]0,xπ∈，所以()f x的单调增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3轾犏犏臌.(2)函数()f x的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数()g x的图象，得到函数()g x的表达式为()23xg xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭.因为0,2xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333xπππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()g x在[0,]12π是递增，在[,]122ππ上递减，要使得()g x a=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同的实数解，即()y g x=的图像与y a=有两个不同的交点，所以2a∈⎣.【点睛】本题考查求三角函数解析式，考查图象变换，考查三角函数的性质．“五点法”是解题关键，正弦函数的性质是解题基础．23．（Ⅰ）()210600250,040,100009200,40.x x xQ xx xx⎧-+-<<⎪∴=⎨--+≥⎪⎩（Ⅱ）2020年年产量为100（千部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意知利润等于销售收入减去可变成本及固定成本，分类讨论即可写出解析式（Ⅱ）利用二次函数求040x<<时函数的最大值，根据对勾函数求40x≥时函数的最大值，比较即可得函数在定义域上的最大值.【详解】（Ⅰ）当040x << 时,()()228001020025010600250Q x x x x x x =-+-=-+- ；当40x ≥时,()100001000080080194502509200Q x x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪⎝⎭. ()210600250,040,100009200,40.x x x Q x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨--+≥⎪⎩（Ⅱ）当040x <<时，()()210308750Q x x =--+， ()()max 308750Q x Q ∴==万元；当40x ≥时，()100009200Q x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ，当且仅当100x =时， ()()max 1009000Q x Q ==万元.所以，2020年年产量为100（千部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元.【点睛】本题主要考查了分段函数，函数的最值，函数在实际问题中的应用，属于中档题.24．（1）4,2a b ==（2）2log x =（3）()[]0,240g x ∈ 【解析】【分析】（1）由()()211,2log 12f f ==解出即可（2）令()0f x =得421x x -=，即()22210xx --=，然后解出即可 （3）()42x x g x =-，令2x t =，转化为二次函数【详解】（1）由已知得()()()()222221log 12log log 12f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，即22212a b a b -=⎧⎨-=⎩， 解得4,2a b ==；（2）由（1）知()()2log 42x x f x =-，令()0f x =得421x x -=，即()22210x x --=，解得122x =，又20,2x x >∴=，解得2log x = （3）由（1）知()42x x g x =-，令2x t =，则()221124g t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，[]1,16t ∈， 因为()g t 在[]1,16t ∈上单调递增 所以()[]0,240g x ∈，25．(1) ()45100x ，∈时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.【解析】【分析】（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义．【详解】（1）由题意知，当30100x <<时，()180029040f x x x=+->， 即2659000x x -+>，解得20x <或45x >，∴()45100x ∈，时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当030x <≤时，()()30%401%4010x g x x x =⋅+-=-； 当30100x <<时， ()()218013290%401%585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭； ∴()2401013585010x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩；当032.5x <<时，()g x 单调递减；当32.5100x <<时，()g x 单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．26．（1）证明见解析（2）4a =【解析】【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）首先表示出()()()F x g x f x =-，再根据复合函数的单调性分类讨论可得。
2020-2021学年上学期高一数学期末模拟卷03(人教A版新教材)(浙江专用)【解析版】
数学模拟试卷03第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·河北高二学业考试）已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）．A ．{}1,2B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】C 【解析】由并集定义可得：{}0,1,2M N =.故选：C.2．（2019·浙江高二学业考试）已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若a b >，则a b b >≥，即a b >，故22a b >. 取1,2a b ==-，此时22a b >，但a b <， 故22a b >推不出a b >， 故选：A.3．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D.4．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，532b =，21log 3c =，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】23110133⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，503221>=，221log log 103<=， ∴c a b <<. 故选：C5．（2020·江苏南通市·高三期中）已知角α的终边经过点()3,4P ，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．50-B ．50C ．50-D ．50【答案】A 【解析】角α的终边经过点()3,4P ，5OP ∴==，由三角函数的定义知：3cos 5α=，4sin 5α， 2237cos 22cos 121525αα⎛⎫∴=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，()()π724cos 2cos2cos sin 2sin 4442525ππααα∴+=-=-=.故选：A.6．（2020·甘肃兰州市·西北师大附中高三期中）函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞D ．[]0,4【答案】D 【解析】因为()3f x +关于3x =-对称，所以()f x 关于y 轴对称，所以()()221f f -==， 又()f x 在[)0,+∞单调递增，由()21f x -≤可得222x -≤-≤，解得：04x ≤≤， 故选：D7．（2020·浙江高一期末）对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭， 当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确；当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误； 当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误； 当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即2523,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④错误. 故选：A8．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A 【解析】由函数图象的平移可知， 函数1()11f x x=+-与函数()2sin 1g x x π=+的图象都关于(1,1)M 对称. 作出函数的图象如图，由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点(1,1)对称）， 所以所有交点的横坐标之和等于428⨯=.故选：A9．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．[2,0)-C ．(1,0)-D ．[1,0)-【答案】B 【解析】当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，只需当0x ≤时，20x e a +=有一个根，利用“分离参数法”求解即可.解：因为函数()2,021,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =， 所以只需当0x ≤时，202x xa e a e +==-即有一个根即可，因为2xy e =单调递增，当0x ≤时，(]0,1xe ∈，所以(]0,2a -∈，即[)2,0a ∈-，故选：B.10．（2020·河北高二学业考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则不等式()2f x ≤的解集是（ ）． A ．[]3,3- B ．[]4,4-C ．(][),33,-∞-+∞D ．(][),44,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】0x ≥时，()()2log 1f x x =+，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x ∴在R 上单调递增，易知()()223log 31log 42f =+==，()()332f f -=-=-， 由()2f x ≤， 解得：()22f x -≤≤， 由()f x 在R 上单调递增， 解得：33x -≤≤，()2f x ∴≤的解集是[]3,3-.故选：A.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（2020·上海青浦区·高三一模）圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.【答案】π； 【解析】因为圆锥底面半径为1cm ，所以圆锥的底面周长为2cm π， 则其侧面展开图扇形的圆心角22πθπ==， 故答案为：π.12．（2020·浙江宁波市·高三期中）设2log 3a =，则4a =______（用数值表示），lg 36lg 4=______.（用a 表示）【答案】9 1a + 【解析】2log 3a =，22394429log log a ∴===，4222236log 36log 6log (23)log 2log 314lg a lg ===⨯=+=+， 故答案为：9，1a +．13．（2020·深圳科学高中高一期中）某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）30元，在国内通话时每分钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元．若某用户每月手机费预算为50元，则使用__________种卡才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机费预算（元）的区间为__________． 【答案】乙 (60,)+∞ 【解析】由题意，设月通话时间为t 分钟，有甲费用为300.1t +，乙费用为0.2t ， ∴每月手机费预算为50元，则：由300.150t +=知，甲的通话时间为200分钟， 由0.250t =知，乙的通话时间为250分钟， ∴用户每月手机费预算为50元，用乙种卡合算；要使用甲种卡合算，即月通话时间相同的情况下甲费用更低，即300.10.2t t +<， 解得300t >时，费用在(60,)+∞. 故答案为：乙，(60,)+∞14．（2020·商丘市第一高级中学高一期中）设函数()112,1,1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为______． 【答案】(],9-∞ 【解析】当1x <时，由13x e -≤得1ln3x ≤+，所以1x <； 当1≥x 时，由213x ≤得9x ≤，所以19x ≤≤． 综上，符合题意的x 的取值范围是(,9]-∞． 故答案为：(,9]-∞.15．（2020·辽宁本溪市·高二月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为110m ，到达最高点时，距离地面的高度为120m ，能看到方圆40km 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到min t 后距离地面的高度为m H ，则转到10min 后距离地面的高度为______m ，在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式为______.【答案】1852 π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤. 【解析】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系.设0min t =时，游客甲位于点()0,55P -，以OP 为终边的角为π2-； 根据摩天轮转一周大约需要30min ， 可知座舱转动的角速度约为πmin 15rad ， 由题意可得πππ55sin 6555cos 6515215H t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，030t ≤≤.当10t =时，π18555cos 1065152H ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：1852；π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤ 16．（2020·浙江建人专修学院高三三模）已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =___________；()1f a -=___________.3 233-因为4log 3a =，所以43a =，即2a =01a <<，所以()2a f a ==1(1)(1)2a f a f a --=--=-==3-17．（2020·上海虹口区·高三一模）已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________.【解析】2212sin 2cos214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,)απ∈，所以sin 0α≠，因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈，而22sin cos 1(1)αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 5αααα+=⇒=⇒=(0,)2πα∈，因此cos α=.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（2020·黑龙江工农�鹤岗一中高二期末（文））函数()22xxaf x =-是奇函数． ()1求()f x 的解析式；()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）()122xxf x =-；（2）5m <-.() 1函数()22x x af x =-是奇函数， ()()1222222x x x x x x a af x a f x --∴-=-=-+=-+=-，故1a =， 故()122xx f x =-； ()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，即21(2)42x xm +<-⋅在()0,x ∈+∞恒成立，令()2(2)42x xh x =-⋅，(0)x >，显然()h x 在()0,+∞的最小值是()24h =-， 故14m +<-，解得：5m <-．19．（2020·宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知函数()22sin cos 22222x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.【答案】（1）最小正周期为2π；（2）()min f x =()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)1cos ()2sin cos 222x x xf x +=+sin x x =+12sin cos 2sin 223x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为2π. (2)因为[]0,x π∈，所以4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当433x ππ+=，即x π=时，函数()f x 取得最小值由4233x πππ≤+≤，得6x ππ≤≤，所以函数()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 20．（2019·河北师范大学附属中学高一期中）已知二次函数()f x 的图象经过点()4,4-，方程()0f x =的解集为{}0,2.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21()2f x x x =-+；（2）存在；2m =-，0n =. 【解析】（1）由已知，设()()2f x ax x =-.因为()f x 的图象经过点()4,4-，所以()4442a -=-，解得12a =-， 即()f x 的解析式为21()2f x x x =-+； （2）假设满足条件实数m ，n 的存在， 由于221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤，因此122n ≤，即14n ≤. 又()f x 的图象是开口向下的抛物线，且对称轴方程1x =，可知()f x 在区间[],m n 上递增，故有()2()2f m m f n n=⎧⎨=⎩，并注意到14m n <≤，解得2m =-，0n =. 综上可知，假设成立，即当2m =-，0n =时，()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n .21．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min 7x x π-=，求ϕ的值. 【答案】（1）37π；（2）14π. 【解析】（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 可知：236T πππω-≤=，故有012ω<≤. 又6x π=与3x π=在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 4x π∴=时，函数取到最小值.2,()432k k Z πππωπ∴+=-+∈ 故有1083k ω=-+， 又因为012ω<≤，所以143ω=. 所以函数()f x 的最小正周期为37π. （2）由()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π. ∴有12min 314x x πϕ-+=. 即314714πππϕ=-=.22．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一月考）设函数()()21x x a t f x a--=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）求t 的值；（2）若函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，是否存在正数()1m m ≠，使函数()()22log x x m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21,log 3上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2t =；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，∴2t =；经检验知符合题意.（2）函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2132a a -=， ∴2a =（12a =-舍去）， 假设存在正数m ，且1m ≠符合题意，由2a =得()()22log 2222x x x x m g x m --⎡⎤=+--⎣⎦， 设22x x t -=-，则()()22222222x x x x m t mt -----+=-+，∵[]21,log 3x ∈，2[2,3]x ∈，∴38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()22h t t mt =-+， ∵函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0，∴（i ）若01m <<时，则函数()22h t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有最小值为1， 由于对称轴122m t =<，∴()min 31731312426h t h m m ⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭，不合题意. （ii ）若1m 时，则函数()220h t t mt =-+>在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，且最大值为1，最小值大于0， ①()max 1252512212736873241324m m m h t h m ⎧⎧<≤<≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩， 而此时7338,24823m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，又()min 73048h t h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 故()g x 在[]21,log 3无意义， 所以7324m =应舍去； ②()max 25252126313126m m h t h m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩m 无解， 综上所述：故不存在正数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0．。
山东省济南市2020-2021学年高三上学期期末考试数学试题(含解析)
山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3C ．D ．46．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2C D8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点 11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是 A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32π D ．直线PB 1与平面BCC 1B 112．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白 第11题球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为 ． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为 ． 15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为 ．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为 ；若|TF |5=，则|PQ |的值为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝2，D 为BC 的中点，平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，设直线l 为平面AC 1D 与平面A 1B 1C 1的交线．（1）证明：l ⊥平面BB 1C 1C ；（2）已知四边形BB 1C 1C 为边长为2的菱形，且∠B 1BC ＝60°，求二面角D—AC 1—C 的余弦值．某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元． 以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率； （2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围．山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 答案：D解析：{}2A |60x x x =−−≤＝[﹣2，3]，{}B |10x x =−<＝(−∞，1)，故AB =[﹣2，1)．选D ．2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−答案：D解析：i i(1i)1i1i (1i)(1i)22z −===+++−，则1i 22z =−．选D ． 3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：“直线l 的方程为y ＝2”⇒“直线l 与圆224x y +=相切”, “直线l 与圆224x y += 相切”“直线l 的方程为y ＝2”，故选A ．4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种答案：B解析：甲若选牛，则有1124C C 种；甲若选马，则有1124C C 种．故共有16种，选B ．5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3 C．D ．4答案：B解析：由题意知△AEF 的等边三角形，故AE AF +=3，选B ．6．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒ 答案：C解析：221321240e e 2k k −−=+⇒=，6311240e 1240()172k θ−=+=+⨯=，故选C ． 7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2CD 答案：B解析：将直线AP 与斜率为正数的渐近线方程联立：()a y x a bb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得P(322a b a −，222a b b a −)，因为OP ＝a ，则322222222()()a a b a b a b a+=−−，化简得2222222334a b a c a c a =⇒=−⇒=2e ⇒=，选B ．8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 答案：C解析：0()0f x <，参变分离得：000(1)e x x a x <+，令000()(1)(1)e x x g x x x =≥+，2000201()0(1)e x x x g x x +−'=−<+，所以0()g x 在[1，+∞)且0x Z ∈单调递增， 求得1(1)2e g =，22(2)3eg =，故要使存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <， 则223e ≤a ＜12e，选C ． 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大 答案：AC解析：班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，故B 错误；班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的小，故D 错误．综上选AC ．10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是 A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为π C ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点答案：BD解析：()12f x π−为偶函数，故A 错误；()f x 在区间[12π−，125π]上单调，但不一定是单调递增，故C 错误．综上选BD ．11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32πD ．直线PB 1与平面BCC 1B 1答案：ABD解析：因为平面AB 1D 1∥平面BC 1D ，PB 1⊂平面AB 1D 1，所以直线PB 1∥平面BC 1D ，A 正确；V P—BC1D ＝V A—BC1D ＝V C1—ABD ＝111112=323⨯⨯⨯⨯，故B 正确；三棱锥D 1—BC 1D=S 球＝246ππ=，故C 错误；PB 1min 点P 到平面BCC 1B 1的距离为1，所以直线PB 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值的最，故D 正确．综上选ABD ．12．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 答案：ACD解析：第n 此取出球是红球的概率为n P ，则白球概率为(1)n P −，对于第1n +次，取出红球有两种情况． ①从红箱取出1(1)58n n P P +=⋅（条件概率）， ②从白箱取出2(1)3(1)8n nP P +=−⋅， 对应121(1)(1)3184n n n n P P P P +++=+=+（转化为数列问题）， 所以1111()242n n P P +−=−， 令12n n a P =−，则数列{n a 为等比数列，公比为14，因为158P =，所以118a =， 故2(21)2n n a −+=即对应(21)122n n P −+=+， 所以21732P =，故选项A 正确； [2(1)1](21)231111112[2]222224n n n n n P P −++−+−−+−=+−⨯+=−，故117232n n P P +=+不成立，故选项B 错误； 经验证可得，211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+，故选项C 正确；1(21)(21)11111()()2222n ni j i j i j n i j i P P −−+−+<==+−−=⋅∑∑∑ 1(21)(23)(23)142[22]3n i i n i −−+−+−+==⋅−∑11(44)(23)(21)114[222]3n n i n i i i −−−+−+−+===−∑∑ 844(23)3214164[(22)2(22)]3153n n n −−−−+−−−=−−⋅− 424141122218045369n n n −−−=−⋅−⋅+⋅ 421(14252)180n n −−=+⋅−⋅ 221(142)(12)180n n −−=−⋅−11(14)(14)180n n −−=−−，故D 正确． 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为 ． 答案：13解析：51sin()sin[()]sin()6663ππαπααπ−=−+=+=． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为 ．答案：4解析：11lg lg lg()1x y x y xy x y x y+=+⇒=+⇒+=， 11()()24y xxy x y x y x y x y=+=++=++≥，当且仅当x ＝y ＝2时取“＝”．15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为 ．答案：(0，3)(﹣5，﹣1)解析：0(1)0(1)0x xf x f x >⎧+>⇒⎨+>⎩或003(1)0x x f x <⎧⇒<<⎨+<⎩或51x −<<−，故原不等式的解集为(0，3)(﹣5，﹣1)．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为 ；若|TF |5=，则|PQ |的值为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）答案：16，252解析：当PQ 为抛物线通径时△PTQ 的面积最小，为16；当TF ＝5时，可得线段PQ 中点的纵坐标为3或﹣3，故PQ 的斜率为43或43−，故PQ ＝2228254sin 2()5p α==． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积．解：在△ABC 中，由余弦定理可得：所以在△ACD 中，由正弦定理可得：，即所以所以 因为，所以所以所以18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：（1）因为所以所以当时，适合上式，所以（2）若选①： 因为所以若选②：因为所以则两式相减可得：所以若选③：当n为偶数时，当n为奇数时，综上：19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝2，D为BC的中点，平面BB1C1C⊥平面ABC，设直线l为平面AC1D与平面A1B1C1的交线．（1）证明：l⊥平面BB1C1C；（2）已知四边形BB1C1C为边长为2的菱形，且∠B1BC＝60°，求二面角D—AC1—C的余弦值．解：（1）证明：因为AB＝AC＝2，D为BC的中点，所以AD⊥BC，又因为平面BB1C1C⊥平面ABC，且平面BB1C1C平面ABC＝BC，AD 平面ABC，所以AD⊥平面BB1C1C，而AD∥平面A1B1C1，且AD⊂平面AC1D，平面AC1D平面A1B1C1＝l，所以AD∥l，所以l⊥平面BB1C1C；（2）因为AD⊥平面BB1C1C，AD⊂平面AC1D，所以平面AC1D⊥平面BB1C1C，在平面BB1C1C内，过C作CH⊥DC1于点H，则CH⊥平面AC1D，过C作CG⊥AC1于点G，则G为线段AC1的中点，连接HG，则∠CGH就是二面角D—AC1—C的平面角，在直角中，在中，，在中，，在直角中，，所以所以二面角D—AC1—C的余弦值为20．（本小题满分12分）某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元． 以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率；（2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由． 解：（1）从红枣中任意取出一个，则该红枣为优质品的概率是，记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为A 类”为事件A ，则（2）记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为B 类”为事件B ，“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为C 类”为事件C ，则所以如果该农户采用方案一装箱，每箱红枣收入的数学期望为：元；由题意可知，如果该农户采用方案二装箱，则一箱红枣被定为A 类的概率为，被定为C 类的概率也为，所以如果该农户采用方案二装箱，每箱红枣收入的数学期望为： 元；所以该农户采用方案二装箱更合适．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．解：（1）由题可知22c a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为，所以所以椭圆C 的标准方程为（2）因为折线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点B 关于x 轴的对称点为B′， 则直线与椭圆C 相交于A ，B′两点，设则由得所以所以整理得解得22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）若，，此时在上单调递减；若，由得，此时在上单调递减，在上单调递增；综上所述，，在上单调递减；，在上单调递减，在上单调递增；（2）因为记所以在上单调递增，所以，所以恒成立；若不合题意；若，由（1）知，在上单调递减，所以不合题意；若，记记所以在上单调递增，所以所以符合题意；综上实数a的取值范围是．。
2020-2021学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试卷及答案
绝密★启用前2020-2021学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}1,0,2,3A =-，{21,}B xx k k ==-∈N ∣，那么A B =（）A ．{}1,0-B ．{}1,2-C ．{}0,3D ．{}1,3-答案：D【分析】根据交集的定义可求AB .解：因为{21,}B xx k k ==-∈N ∣，故B 中的元素为大于或等于1-的奇数， 故{}1,3A B =-， 故选：D. 2．方程组22x y x x +=⎧⎨+=⎩的解集是（） A ．()(){}1,1,?1,1- B ．()(){}1,1,2,2- C ．()(){}1,1,2,2-- D ．()(){}2,2,2,2--答案：C【分析】解出方程组202x y x x +=⎧⎨+=⎩得解，再表示成集合的形式即可.解：由方程组202x y x x +=⎧⎨+=⎩可得22x y =-⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=-⎩ 所以方程组202x y x x +=⎧⎨+=⎩的解集是()(){}1,1,2,2--故选：C3．函数11lg x x y =+-的定义域是（） A ．(0,)+∞ B ．(1,)+∞C ．()0,11(),⋃+∞D ．[)0,11(),⋃+∞答案：C【分析】根据对数式的真数大于零、分式的分母不为零，求解出x 的取值范围即为定义域. 解：因为010x x >⎧⎨-≠⎩，所以01x <<或1x >，所以函数的定义域为：()()0,11,+∞，故选：C.点评：结论点睛：常见函数的定义域分析： （1）偶次根式下被开方数大于等于零； （2）分式分母不为零； （3）对数式的真数大于零； （4）0y x =中{}0x x ≠.4．为了解学生在“弘扬传统文化，品读经典文学”月的阅读情况，现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间（阅读时间[]0,50t ∈），分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图.则图中a 的值为（）A ．0.028B ．0.030C ．0.280D ．0.300答案：A【分析】根据五个矩形的面积和为1列式可得结果.解：由(0.0060.0400.0200.006)101a ++++⨯=得0.028a =. 故选：A5．若a b >，则一定有（） A ．11a b< B ．|a |>|b|C 22a bD ．33a b >答案：D【分析】利用不等式的性质或反例逐项检验后可得正确的选项.解：取1,1a b ==-，则11a b>，||||a b =，22a b =，故A 、B 、C 均错误， 由不等式的性质可得33a b >，故D 正确. 故选：D.6．在平行四边形ABCD 中，设对角线AC 与BD 相交于点O ，则AB CB +=（） A ．2BO B ．2DOC ．BDD ．AC答案：B【分析】根据向量的线性运算可得正确的选项.解：因为四边形ABCD 为平行四边形，故0AO CO +=， 故22AB CB AO OB CO OB OB DO +=+++==， 故选：B.7．设23m n =，则m ，n 的大小关系一定是（） A ．m n > B ．m n <C ．m n ≥D ．以上答案都不对答案：D【分析】根据23m n =可分三种情况讨论：,,m n m n m n >=<，根据指数函数的单调性分析出每一种情况下,,0m n 的大小关系，由此得到,m n 的大小关系.解：当m n >时，因为2xy =为()0,∞+上增函数，所以232m n n =>，所以312n⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以0n >，所以0m n >>；当m n =时，312n⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以0n =，所以0m n ==； 当m n <时，因为2xy =为()0,∞+上增函数，所以232m n n =<，所以312n⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以0n <，所以0m n <<， 故选：D.点评：方法点睛：已知(,1m na ba b =>或)0,1a b <<，比较,m n 大小的常用方法：（1）分类讨论法：,,m n m n m n <=>，根据指数函数的单调性分析出,m n 的大小关系；（2）数形结合法：在同一平面直角坐标系作出,x x y a y b ==的图象，作直线y t =与两图象相交，根据交点横坐标的大小关系判断出,m n 的大小关系.8．从2015年到2020年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了2020年该企业单位生产总值能耗降低了20%.如果这五年平均每年降低的百分率为x ，那么x 满足的方程是（） A ．50.2x = B ．()510.8x -=C ．50.2x =D ．5(1)0.8x -=答案：D【分析】根据题设逐年列出生产总值能耗后可得正确的选择.解：设2015年该企业单位生产总值能耗为a ，则2016年该企业单位生产总值能耗()1a x -，2017年该企业单位生产总值能耗()21a x -，2018年该企业单位生产总值能耗()31a x -，2019年该企业单位生产总值能耗()41a x -，2020年该企业单位生产总值能耗()51a x -，由题设可得()510.8a x a -=即()510.8x -=， 故选：D.9．设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得a b =λ”是“a b a b +=+”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B【分析】由题意结合向量共线的性质分类讨论充分性和必要性是否成立即可. 解：存在实数λ，使得λab ，说明向量,a b 共线，当,a b 同向时，a b a b +=+成立， 当,a b 反向时，a b a b +=+不成立，所以，充分性不成立.当a b a b +=+成立时，有,a b 同向，存在实数λ，使得λa b 成立，必要性成立，即“存在实数λ，使得λa b ”是“a b a b +=+”的必要而不充分条件.故选B.点评：本题主要考查向量共线的充分条件与必要条件，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．设()f x 为定义在R 上的函数，函数()1f x +是奇函数.对于下列四个结论：①()10f =；②()()11f x f x -=-+；③函数()f x 的图象关于原点对称； ④函数()f x 的图象关于点()1,0对称； 其中，正确结论的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：C【分析】令()()1g x f x =+，①：根据()00g =求解出()1f 的值并判断；②：根据()g x 为奇函数可知()()g x g x -=-，化简此式并进行判断；根据()1y f x =+与()y f x =的图象关系确定出()f x 关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确. 解：令()()1g x f x =+，①因为()g x 为R 上的奇函数，所以()()0010g f =+=，所以()10f =，故正确； ②因为()g x 为R 上的奇函数，所以()()g x g x -=-，所以()()11f x f x -+=-+，即()()11f x f x -=-+，故正确；因为()1y f x =+的图象由()y f x =的图象向左平移一个单位得到的，又()1y f x =+的图象关于原点对称，所以()y f x =的图象关于点()1,0对称，故③错误④正确，所以正确的有：①②④， 故选：C.点评：结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：（1）若()f x a +为偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称； （2）若()f x a +为奇函数，则函数()y f x =的图象关于点(),0a 成中心对称. 二、填空题11．已知向量()1,2a =-，()3,1b =-，那么a b -=__________. 答案： 5【分析】求出a b -的坐标后可得a b -.解：因为()1,2a =-，()3,1b =-，故()4,3a b -=-，故5a b -=， 故答案为：512．若方程220x x a -+=有两个不相等的正实数根，则实数a 的取值范围是__________. 答案：01a <<【分析】根据条件可得1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，列出不等式求解即可.解：由方程220x x a -+=有两个不相等的正实数根，设为12,x x则1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，即1212440200a x x x x a ∆=->⎧⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得01a << 故答案为：01a <<13．设定义在R 上的奇函数()f x 在()0+∞，上为增函数，且()20f =，则不等式()0f x <的解集为__________.答案：(,2)(0,2)-∞-⋃解：定义在R 上的奇函数()f x 在()0+∞，上为增函数， 则(0)0f =，且()f x 在(,0)-∞为增函数， 由于(2)0f =，则(2)0f -=，函数图象关于原点对称，画出函数的模拟图象可知， 不等式()0f x <的解集为(,2)(0,2)-∞.故答案为：(,2)(0,2)-∞.14．某厂商为推销自己品牌的可乐，承诺在促销期内，可以用3个该品牌的可乐空罐换1罐可乐.对于此促销活动，有以下三个说法：①如果购买10罐可乐，那么实际最多可以饮13罐可乐; ②欲饮用100罐可乐，至少需要购买67罐可乐：③如果购买*()n n ∈N 罐可乐，那么实际最多可饮用可乐的罐数1()2n f n n -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦.（其中[]x 表示不大于x 的最大整数） 则所有正确说法的序号是__________. 答案：②③.【分析】①10罐可乐有10个可乐空罐，第一次可换3罐可乐还剩1个空罐，第二次可换1罐可乐还剩2个空罐，由此算出最多可饮用的可乐罐数；②：先分析购买66罐可乐的情况，再分析购买67罐可乐的情况，由此确定出至少需要购买的可乐罐数；③：先分析购买1到9罐可乐分别可饮用多少罐可乐以及剩余空罐数，然后得到规律，再分奇偶罐数对所得到的规律进行整理，由此计算出()f n 的结果.解：①：购买10罐可乐时，第一次可换3罐还剩1个空罐，第二次可换1罐还剩2个空罐，所以最多可饮用103114++=罐可乐，故错误；②：购买66罐时，第一次可换22罐可乐，第二次可换7罐可乐还剩1个空罐， 第三次可换2罐可乐还剩2个空罐，第四次可换1罐可乐还剩2个空罐，所以一共可饮用662272198++++=罐；购买67罐时，第一次可换22罐可乐还剩1个空罐，第二次可换7瓶可乐还剩2个空罐， 第三次可换3罐可乐，第四次可换1罐可乐还剩1个空罐，所以一共可饮用6722731100++++=罐；所以至少需要购买67罐可乐，故正确；③：购买1到9罐可乐分别可饮用可乐罐数以及剩余空罐数如下表所示：由表可知如下规律：（1）当购买的可乐罐数为奇数时，此时剩余空罐数为1，当购买的可乐罐数为偶数时，此时剩余的空罐数为2； （2）实际饮用数不是3的倍数；（3）每多买2罐可乐，可多饮用3罐可乐，（4）实际饮用的可乐罐数要比购买的可乐罐数的1.5倍少0.5或1； 设购买了n 罐可乐，实际可饮用的可乐罐数为()f n ，所以()()()**3221,312,m n m m N f n m n m m N ⎧-=-∈⎪=⎨-=∈⎪⎩，即()()()**3121,2322,2n n m m N f n n n m m N -⎧=-∈⎪⎪=⎨-⎪=∈⎪⎩，即()()()**121,222,2n n n m m N f n n n n m m N -⎧+=-∈⎪⎪=⎨-⎪+=∈⎪⎩，又因为12,22n n --可看作12n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即不大于12n -的最大整数，所以1()2n f n n -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦成立，故正确；故答案为：②③.点评：关键点点睛：解答本题时，一方面需要通过具体购买的可乐罐数去分析实际饮用的可乐罐数，另一方面需要对实际的购买情况进行归纳，由此得到购买的可乐罐数与实际饮用的可乐罐数的关系，从而解决问题. 三、双空题15．已知函数0.52log ,0()2,0x x f x x x x >⎧=⎨+≤⎩，那么()2f =_________;当函数()y f x a =-有且仅有三个零点时，实数a 的取值范围是__________. 答案：1-10a -<<【分析】由()0.52log 2f =可得结果，函数()y f x a =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =的图象与y a =的图象仅有三个交点，作出函数()y f x =的图象，根据图象可得答案.解：()0.52log 21f ==-函数()y f x a =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =的图象与y a =的图象仅有三个交点.作出函数()y f x =的图象,如图.由图可知，当10a -<<时，函数()y f x =的图象与y a =的图象有三个交点. 所以函数()y f x a =-有且仅有三个零点时，实数a 的取值范围是10a -<< 故答案为：1-；10a -<< 四、解答题16．某校高一年级1000名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理并按分数段[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如下（I ）估计该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数；（II ）现从体育成绩在[)60,70和[)80,90的样本学生中随机抽取2人，求其中恰有1人体育成绩在[)60,70的概率. 答案：（I ）750；（II ）35【分析】（I ）根据折线图可以得到体育成绩大于或等于70分的学生人数，从而可以估计出该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生频率，进而得到学生人数. （II ）利用列举法可得基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可求概率. 解：（I ）根据折线图可以得到体育成绩大于或等于70分的学生人数为1431330++=，所以该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数估计为：30100075040⨯=. （II ）体育成绩在[)60,70和[)80,90的人数分别为2、3，分别记为,,,,a b A B C 若随机抽取2人，则所有的基本事件为：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a A a B a C b A b B b C A B A C B C ，故基本事件的总数为10.其中恰有1人体育成绩在[)60,70的基本事件的个数有6个， 设A 为：“恰有1人体育成绩在[)60,70”，则()63105P A ==. 点评：思路点睛：古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）. 17．设函数4()3f x x x=++（1）求函数()f x 的图像与直线2y x =交点的坐标：（2）当(0,)x ∈+∞时，求函数()f x 的最小值（3）用单调性定义证明：函数()f x 在()2,+∞上单调递增.答案：(1)()4,8或()12--，(2)7(3)证明见解析. 【分析】（1）由432x x x++=解出方程可得答案. （2）利用均值不等式433x x ++≥可得答案. (3)由定义法证明函数单调性的步骤即可证明.解：（1）由432x x x++=，即2340x x --=，解得4x =或1x =- 所以函数()f x 的图像与直线2y x =交点的坐标为()4,8或()12--， （2）当0x >时，4()337f x x x =++≥= 当且仅当4x x=,即2x =时，取得等号. 所以当(0,)x ∈+∞时，函数()f x 的最小值为7.(3)任取12,2x x >，且12x x <则()()2121224433f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2111211222444x x x x x x x x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭-=-+-+ ()()2112112122441x x x x x x x x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=--- 由12,2x x >，且12x x <，则124x x >，210x x ->所以1240x x ->，则()12122140x x x x x x ->- 所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >所以函数()f x 在()2,+∞上单调递增点评：思路点睛：本题考查利用函数的奇偶性求参数，证明函数的单调性和利用单调性解不等式.证明函数的单调性的基本步骤为：(1)在给定的区间内任取变量12,x x ，且设12x x <.(2)作差()()12f x f x -变形，注意变形要彻底，变形的手段通常有通分、因式分解、配方、有理化等.(3)判断符号，得出()()12f x f x ，的大小.(4)得出结论.18．以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩.乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示.（I ）若甲、乙两组的数学平均成绩相同，求a 的值;（II ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率;（III ）当3a =时，试比较甲、乙两组同学数学成绩的方差的大小.（结论不要求证明） 答案：（I ）1a =；（II ）45；（III ）甲组同学数学成绩的方差大于乙组同学数学成绩的方差.【分析】（I ）先求解出甲、乙两组的数学平均成绩，根据平均成绩相同求解出a 的值； （II ）先确定出a 的所有可取值，再求解出满足条件的a 的取值，根据满足条件a 的取值个数与总的可取值个数的比值求解出对应概率；（III ）根据数据的分布情况直接判断出甲、乙两组同学数学成绩的方差大小. 解：（I ）因为889292272909190271,3333a a x x ++++++====甲乙，且x x =甲乙，所以27227133a +=，所以1a =； （II ）记“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， 因为乙组平均成绩超过甲组平均成绩，所以27127233a +>，所以1a >， 所以a 的可取值有：{}2,3,4,5,6,7,8,9，共8个数，又因为{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9a ∈，集合中共有10个元素，所以()84105P A ==； （III ）甲组同学数学成绩的方差大于乙组同学数学成绩的方差. （理由如下：因为889292272909193274,3333x x ++++====甲乙，所以22222722722728892923233339s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==甲， 22222742742749091931433339s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==乙，因为321499>，所以22s s >甲乙） 19．设函数21()21x x f x +=- （I ）若()2f a =，求实数a 的值;（II ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论;（III ）若()f x m ≤对于[)1,x ∈+∞恒成立，求实数m 的最小值.答案：（I ）2log 3；（II ）奇函数，证明见解析；（III ）3.【分析】（I ）代入x a =，得到21221a a +=-，由此求解出2a 的值，即可求解出a 的值； （II ）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算()(),f x f x -的数量关系，由此完成证明；（III ）先求解出()f x 在[)1,+∞上的最大值，再根据()max m f x ⎡⎤≥⎣⎦求解出m 的最小值.解：（I ）因为()2f a =，所以21221a a +=-，所以21222a a +=⋅-且21a ≠， 所以23a =，所以2log 3a =；（II ）()f x 为奇函数，证明如下：因为210x -≠，所以定义域为{}0x x ≠关于原点对称， 又因为()()211221211221x x x x x x f x f x --+++-===-=----，所以()f x 为奇函数； （III ）因为()2121221212121x x x x x f x +-+===+---， 又因为21x y =-在[)1,+∞上递增，所以221x y =-在[)1,+∞上递减，所以()()1max 211321f x f ==+=⎡⎤⎣⎦-，又因为()f x m ≤对于[)1,x ∈+∞恒成立，所以()max m f x ⎡⎤≥⎣⎦，所以3m ≥，所以m 的最小值为3.点评：思路点睛：判断函数()f x 的奇偶性的步骤如下：（1）先分析()f x 的定义域，若()f x 定义域不关于原点对称，则()f x 为非奇非偶函数，若()f x 的定义域关于原点对称，则转至（2）；（2）若()()f x f x =-，则()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数.20．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产品，每1吨亏损300元.经销商为下一个销售季度购进了130吨该农产品.以x （单位：吨，100150x ≤≤）表示下一个销售季度内的市场需求量，y （单位：元）表示下一个销售季度内销售该农产品的利润.（I ）将y 表示为x 的函数：（II ）求出下一个销售季度利润y 不少于57000元时，市场需求量x 的范围.答案：（I ）80039000,10013065000,130150x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩；（II ）[]120150,. 【分析】（I ）分情况考虑：100130,130150x x ≤<≤≤，分别求解出每一种情况下y 的表示，由此可得到y 关于x 的分段函数；（II ）根据条件分段列出不等式，求解出每一个不等式的解集，由此求解出市场需求量x 的范围.解：（I ）当100130x ≤<时，此时130吨的该农产品售出x 吨，未售出()130x -吨， 所以()500300130y x x =--，即80039000y x =-；当130150x ≤≤时，此时130吨的该农产品全部售出，所以500130y =⨯，即65000y =，综上可知：80039000,10013065000,130150x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩； （II ）当100130x ≤<时，令8003900057000x -≥，解得120130x ≤<， 当130150x ≤≤，此时6500057000>符合，所以市场需求量x 的范围是[]120150,. 21．设函数()f x 的定义域为R ．若存在常数(0)m m ≠，对于任意x ∈R ，()()f x m mf x +=成立，则称函数()f x 具有性质Γ.记P 为满足性质Γ的所有函数的集合.（I ）判断函数y x =和2y =是否属于集合P ？（结论不要求证明）（II ）若函数()x g x =，证明：()g x P ∈;（III ）记二次函数的全体为集合Q ，证明：P Q =∅.答案：（I ）y x =不属于集合P ，2y =属于集合P ；（II ）证明见解析；（III ）证明见解析.【分析】（I ）根据性质Γ的定义判断y x =与2y =是否具有性质Γ，由此判断出函数y x =和2y =是否属于集合P ；（II ）先根据定义证明函数()xg x =具有性质Γ，然后即可证明()g x P ∈； （III ）将问题转化为证明二次函数不具备性质Γ，先假设二次函数具备性质Γ，然后通过已知条件推出与条件矛盾的结果，由此完成证明.解：（I ）y x =不属于集合P ，2y =属于集合P ；（理由如下：设()f x x =，若()()f x m mf x +=，则有x m mx +=，解得0m =，不符题意，所以y x =不具有性质Γ，所以y x =不属于集合P ；设()2f x =，若()()f x m mf x +=，则有22m =，所以1m =，所以2y =具有性质Γ，所以2y =属于集合P ）（II ）证明如下：因为()x g x =，不妨令()()g x m mg x +=，所以x m x m +=，所以m m =，显然关于m 的方程有解：2m =，所以()xg x =具有性质Γ， 所以()g x P ∈；（III ）根据题意可知：P Q =∅⇔二次函数不具备性质Γ，假设存在二次函数()()20f x ax bx c a =++≠具备性质Γ，所以存在常数()0m m ≠对于任意x ∈R 都有()()f x m mf x +=成立，所以存在常数()0m m ≠使()()22a x m b x m c amx bmx cm ++++=++成立，所以存在常数()0m m ≠使()2222ax am b x am bm c amx bmx cm +++++=++成立，所以22a am am b bm am bm c cm =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，解得0,0,1a b m ===，这与假设中0a ≠矛盾，所以假设不成立，所以二次函数都不具备性质Γ，所以P Q =∅.点评：关键点点睛：解答本题第三问的关键是将待证明的问题转化为分析二次函数是否具备性质Γ，再通过“反证”的思想完成证明.。
2020-2021高三数学上期末模拟试题(及答案)(3)
2020-2021高三数学上期末模拟试题(及答案)(3)一、选择题1．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( )A ．100B ．-100C ．-110D ．1102．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．13．已知正数x 、y 满足1x y +=，且2211x y m y x +≥++，则m 的最大值为（ ） A ．163B ．13C ．2D ．44．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <5．数列{}{},n n a b 为等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，若3n 22n n S T n +=，则77a b =（ ） A ．4126B ．2314C ．117 D ．1166．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S，且2S =，则A 等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 7．“0x >”是“12x x+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知01x <<，01y <<，则）AB ．CD ．9．已知x 、y 满足约束条件50{03x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（ ）A ．6-B ．5C ．10D ．10-10．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20B ．24C ．28D ．3211．在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是( ) A．38- B．34- C．38+ D12．一个递增的等差数列{}n a ，前三项的和12312a a a ++=，且234,,1a a a +成等比数列，则数列{}n a 的公差为 ( ) A ．2±B ．3C ．2D ．1二、填空题13．若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.14．已知lg lg 2x y +=，则11x y+的最小值是______. 15．已知变数,x y 满足约束条件340{210,380x y x y x y -+≥+-≥+-≤目标函数(0)z x ay a =+≥仅在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为_____________． 16．关于x 的不等式a 34≤x 2﹣3x +4≤b 的解集为[a ，b ]，则b －a ＝________． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为2*()2n S n n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______．18．已知函数()2xf x =，等差数列{}n a 的公差为2，若()2468104f a a a a a ++++=，则()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦L ___________.19．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞+++=L ________________.20．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.三、解答题21．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C的对边，且sin cos 20A a B a --=.（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若b =ABC ∆的面积为2，求a c +的值． 22．解关于x 的不等式()222ax x ax a R -≥-∈. 23．等差数列{}n a 中，71994,2a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 24．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 114=，公比q >0，S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列.（1）求{a n }； （2）设b n ()()22212n n n n c n b b log a +==+，，求数列{c n }的前n 项和T n .25．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项为12，且()3122123a a a -=+。
湖南省永州市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题 (解析版)
2020-2021学年湖南省永州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设全集U＝{1，2，3}，A＝{1，2}，则∁U A＝（）A．{1}B．{2}C．{3}D．{1，3} 2．365°是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3．命题“∃x∈R，x﹣1＞2”的否定是（）A．∃x∈R，x﹣1＜2B．∃x∈R，x﹣1≤2C．∀x∈R，x﹣1＜2D．∀x∈R，x﹣1≤2 4．扇形的半径为1，圆心角为2，则扇形的面积为（）A．1B．2C．3D．45．已知a＝log2，b＝（）﹣2，c＝2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c6．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，内容为：“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．”由此推断，“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．函数f（x）＝x+cos x的零点所在的区间为（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣）C．（0，）D．（）8．设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）＝f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝x（1﹣x）．若存在x∈[m，+∞），使得f（x）＝有解，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，]D．（﹣∞，]二、多项选择题（共4小题）.9．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．下列函数中，在（0，+∞）上单调递增且图象关于y轴对称的是（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝x2C．y＝x﹣2D．f（x）＝|x| 10．设a，b，c∈R，a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c＜b+c B．e﹣a＞e﹣b C．ac2＜bc2D．＜11．将函数f（x）＝sin（2x﹣φ）（0＜φ＜）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到偶函数h（x）的图象，则下列结论中正确的有（）A．h（x）的图象关于点（，0）对称B．h（x）的图象关于x＝对称C．h（x）在[，]上的值域为[，]D．h（x）在[]上单调递减12．若函数f（x）对∀x1，x2∈（1，+∞），（x1≠x2），不等式＜1成立，则称f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有（）A．f（x）＝﹣2x+1B．f（x）＝x2+2x+1C．f（x）＝x2﹣log2x D．f（x）＝x2﹣x+三、填空题（共4小题）.13．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则f（4）＝．14．已知sinα＝，则cos（）＝．15．若f（x）＝，则不等式f（x）＞4的解集为．16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即a b＝N⇔b＝log a N，现已知a＝log36，2b＝36，则（）×3＝．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|3＜x≤5}．（1）求A∪B；（2）定义M﹣N＝{x|x∈M且x∉N}，求A﹣B．18．（12分）给定两个条件：①充分不必要，②必要不充分，从上述两个条件中，任选一个补充在下面问题中，并加以解答．问题：已知p：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0，a＞0．（1）若a＝1，求实数x的取值范围；（2）已知q：实数x满足2＜x≤3．若存在实数a，使得p是q的_____条件，则求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为，．（1）求sinα的值；（2）求α+β．20．（12分）已知函数f（x）＝cos4x﹣2sin x cos x﹣sin4x+m（x∈[0，]）的最大值为1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求使f（x）≥0成立时自变量x的集合．21．（12分）某市为发展农业经济，鼓励农产品加工，助推美丽乡村建设，成立了生产一种饮料的食品加工企业，每瓶饮料的售价为14元，月销售量为9万瓶．（1）根据市场调查，若每瓶饮料的售价每提高1元，则月销售量将减少5000瓶．要使月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为多少元？（2）为了提高月销售量，该企业对此饮料进行技术和销售策略改革，提高每瓶饮料的售价到x元，并投入x2万元作为技术革新费用，投入2万元作为固定宣传费用．试问：技术革新后，要使革新后的月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，求月销售量t（万瓶）的最小值，以及t取最小值时的每瓶饮料的售价．22．（12分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝ln（e x+e﹣x）+2021．（1）判断函数g（x）的奇偶性并证明；（2）若∀x1∈（0，+∞），∃x2∈R，使得f（2x1）+mf（x1）﹣g（x2）＞0成立，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．设全集U＝{1，2，3}，A＝{1，2}，则∁U A＝（）A．{1}B．{2}C．{3}D．{1，3}解：∵U＝{1，2，3}，A＝{1，2}，∴∁U A＝{3}．故选：C．2．365°是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解：因为365°＝360°+5°，5°是第一象限角，所以365°是第一象限角．故选：A．3．命题“∃x∈R，x﹣1＞2”的否定是（）A．∃x∈R，x﹣1＜2B．∃x∈R，x﹣1≤2C．∀x∈R，x﹣1＜2D．∀x∈R，x﹣1≤2解：命题“∃x∈R，x﹣1＞2”的否定是∀x∈R，x﹣1≤2，故选：D．4．扇形的半径为1，圆心角为2，则扇形的面积为（）A．1B．2C．3D．4解：扇形的半径为1，圆心角为2，扇形的弧长为2，所以扇形的面积为：故选：A．5．已知a＝log2，b＝（）﹣2，c＝2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c解：∵，∴a＝﹣1，∵＝4，∴b＝4，∵，∴c＝，∴a＜c＜b，故选：C．6．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，内容为：“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．”由此推断，“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件，故选：A．7．函数f（x）＝x+cos x的零点所在的区间为（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣）C．（0，）D．（）解：根据题意，f（x）＝x+cos x，则f（﹣1）＝﹣1+cos1＜0，f（﹣）＝﹣+cos＞﹣+cos＞0，则函数f（x）＝x+cos x的零点所在的区间为（﹣1，﹣），故选：A．8．设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）＝f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝x（1﹣x）．若存在x∈[m，+∞），使得f（x）＝有解，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，]D．（﹣∞，]解：f（x+1）＝f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝x（1﹣x）．当x∈（1，2]时，f（x）＝﹣（x﹣1）（x﹣2）．当x∈（2，3]时，f（x）＝﹣（x﹣2）（x﹣3）．当x∈（3，4]时，f（x）＝﹣（x﹣3）（x﹣4）．根据f（x）＝，结合图象可得，＝﹣（x﹣2）（x﹣3），所以x＝，所以m，所以m的取值范围为．故选：C．二、多项选择题（共4小题）.9．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．下列函数中，在（0，+∞）上单调递增且图象关于y轴对称的是（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝x2C．y＝x﹣2D．f（x）＝|x|解：对于A，f（x）＝x3为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意；对于B，f（x）＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于C，y＝x﹣2＝为偶函数，在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；对于D，f（x）＝|x|为偶函数，图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递增，符合题意．故选：BD．10．设a，b，c∈R，a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c＜b+c B．e﹣a＞e﹣b C．ac2＜bc2D．＜解：对于A，因为a＜b，所以a+c＜b+c，故A正确；对于B，因为a＜b，所以﹣a＞﹣b，所以e﹣a＞e﹣b，故B正确；对于C，若c＝0，则ac2＝bc2，故C错误；对于D，取a＝﹣2，b＝﹣1，则＝2，＝，则＞，故D错误．故选：AB．11．将函数f（x）＝sin（2x﹣φ）（0＜φ＜）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到偶函数h（x）的图象，则下列结论中正确的有（）A．h（x）的图象关于点（，0）对称B．h（x）的图象关于x＝对称C．h（x）在[，]上的值域为[，]D．h（x）在[]上单调递减解：将函数f（x）＝sin（2x﹣φ）（0＜φ＜）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到函数h（x）＝sin（2x+﹣φ）的图象，由于函数h（x）为偶函数，故﹣φ＝kπ，所以φ＝kπ+，由于0＜φ＜，所以当k＝0时，φ＝．所以h（x）＝sin（2x+）＝sin（2x+）＝cos2x，对于A：当x＝﹣时，h（﹣）＝0，故A正确；对于B：当x＝时h（）＝cos（﹣π）＝﹣1，故B正确；当x时，，所以，故C错误；对于D：，所以，根据函数的性质，函数在该区间上单调递减，故D正确．故选：AD．12．若函数f（x）对∀x1，x2∈（1，+∞），（x1≠x2），不等式＜1成立，则称f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有（）A．f（x）＝﹣2x+1B．f（x）＝x2+2x+1C．f（x）＝x2﹣log2x D．f（x）＝x2﹣x+解：根据题意，设g（x）＝f（x）﹣x2，若f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，则对∀x1，x2∈（1，+∞），（x1≠x2），不等式＜1成立，则有﹣1＝＝×＝＜0，则有＜0，则函数g（x）＝f（x）﹣x2在[1，+∞）为减函数，反之，若函数g（x）＝f（x）﹣x2在[1，+∞）为减函数，则有＝（x1+x2）＜0，即f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，分析选项：对于A，f（x）＝﹣2x﹣1，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣x2﹣2x﹣1，为开口向下，对称轴为x ＝﹣1的二次函数，g（x）在区间[1，+∞）为减函数，则f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”；对于B，f（x）＝x2+2x+1，g（x）＝f（x）﹣x2＝2x+1，g（x）在区间[1，+∞）为增函数，则f（x）在（1，+∞）上不是“平方差减函数”；对于C，f（x）＝x2﹣log2x，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣log2x，g（x）在区间[1，+∞）为减函数，则f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”；对于D，f（x）＝x2﹣x+，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣x+，g（x）在区间[1，+∞）为减函数，则f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”；故选：ACD．三、填空题（共4小题）.13．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则f（4）＝2．解：设幂函数y＝f（x）＝xα，α∈R，其图象过点（2，），∴2α＝，解得α＝，∴f（x）＝，∴f（4）＝＝2．故答案为：2．14．已知sinα＝，则cos（）＝．解：∵sinα＝，∴cos（）＝sinα＝，故答案为：．15．若f（x）＝，则不等式f（x）＞4的解集为（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）．解：x≥0时，由2x＞4，解得x＞2，x＜0时，由﹣2x+1＞4，解得x＜﹣，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）．16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即a b＝N⇔b＝log a N，现已知a＝log36，2b＝36，则（）×3＝．解：因为a＝log36，2b＝36，所以b＝log236，故，，所以，故（）×3＝．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|3＜x≤5}．（1）求A∪B；（2）定义M﹣N＝{x|x∈M且x∉N}，求A﹣B．解：（1）∵A＝{x|x≥2}，B＝{x|3＜x≤5}，∴A∪B＝{x|x≥2}；（2）∵M﹣N＝{x|x∈M且x∉N}，A＝{x|x≥2}，B＝{x|3＜x≤5}，∴A﹣B＝{x|2≤x≤3或x＞5}．18．（12分）给定两个条件：①充分不必要，②必要不充分，从上述两个条件中，任选一个补充在下面问题中，并加以解答．问题：已知p：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0，a＞0．（1）若a＝1，求实数x的取值范围；（2）已知q：实数x满足2＜x≤3．若存在实数a，使得p是q的_____条件，则求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）因为a＝1，解不等式x2﹣3x+2＜0，可得1＜x＜2，所以实数x的取值范围为（1，2）；（2）由x2﹣3ax+2a2＜0，a＞0，可得a＜x＜2a，若选①：因为p是q的充分不必要条件，则有a≥2且2a≤3，不等式组无解，所以实数a的值不存在；若选②：因为p是q的必要不充分条件，则有a≤2且2a＞3，解得，所以实数a的取值范围为．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为，．（1）求sinα的值；（2）求α+β．解：（1）以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为，．∴sinα＝，sinβ＝．（2）由题意可得cosα＝＝，cosβ＝＝．∵α+β∈（0，π），cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝﹣＝0，∴α+β＝．20．（12分）已知函数f（x）＝cos4x﹣2sin x cos x﹣sin4x+m（x∈[0，]）的最大值为1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求使f（x）≥0成立时自变量x的集合．解：（1）函数f（x）＝cos4x﹣2sin x cos x﹣sin4x+m＝（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）﹣sin2x+m ＝cos2x﹣sin2x+m＝sim（﹣2x）+m，（x∈[0，]）．∴函数f（x）的最小正周期T＝＝π；（2）∵x∈[0，]，∴（﹣2x）∈[﹣，]，∴sim（﹣2x）∈[﹣，]，∴sim（﹣2x）+m∈[m﹣1，m+1]，∵f（x）的最大值为1，∴m+1＝1，解得m＝0．使f（x）≥0成立，即sim（﹣2x）≥0，化为：sim（2x﹣）≤0，∴﹣≤2x﹣≤0，解得：0≤x≤，∴使f（x）≥0成立时自变量x的集合为[0，]．21．（12分）某市为发展农业经济，鼓励农产品加工，助推美丽乡村建设，成立了生产一种饮料的食品加工企业，每瓶饮料的售价为14元，月销售量为9万瓶．（1）根据市场调查，若每瓶饮料的售价每提高1元，则月销售量将减少5000瓶．要使月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为多少元？（2）为了提高月销售量，该企业对此饮料进行技术和销售策略改革，提高每瓶饮料的售价到x元，并投入x2万元作为技术革新费用，投入2万元作为固定宣传费用．试问：技术革新后，要使革新后的月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，求月销售量t（万瓶）的最小值，以及t取最小值时的每瓶饮料的售价．解：（1）设饮料每瓶售价最多为x元，则[9﹣0.5（x﹣14）]x≥14×9，即x2﹣32x+252≤0，解得：14≤x≤18，所以要使月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为18元．（2）当x＞14时，由题意可得，tx≥14×9++2，即当x＞14时，t，∵＝16，当且仅当即x＝16时，等号成立，∴t≥16，所以技术革新后，该饮料月销售量t至少达到16万个时，可使月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，此时每瓶饮料的售价为16元．22．（12分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝ln（e x+e﹣x）+2021．（1）判断函数g（x）的奇偶性并证明；（2）若∀x1∈（0，+∞），∃x2∈R，使得f（2x1）+mf（x1）﹣g（x2）＞0成立，求实数m 的取值范围．解：（1）g（x）＝ln（e x+e﹣x）+2021为偶函数．理由：g（x）的定义域为R，且g（﹣x）＝ln（e﹣x+e x）+2021＝g（x），所以g（x）为偶函数；（2）由e﹣x+e x≥2＝2，当且仅当x＝0时，取得等号，可得g（x）≥ln2+2021，由∀x1∈（0，+∞），∃x2∈R，使得f（2x1）+mf（x1）﹣g（x2）＞0成立，可得f（2x）+mf（x）＞ln2+2021对x∈（0，+∞）恒成立，即为e2x+me x＞ln2+2021对x∈（0，+∞）恒成立，可令t＝e x（t＞1），则t2+mt＞ln2+2021对t∈（1，+∞）恒成立，可得m＞＝﹣t对t∈（1，+∞）恒成立，设h（t）＝﹣t，可得h（t）在t∈（1，+∞）递减，则h（t）＜h（1）＝ln2+2020，则m≥ln2+2020．即m的取值范围是[ln2+2020，+∞）．。
2020-2021学年湖南省怀化市高一上期末考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年湖南省怀化市高一上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|m＜x≤m+4}，若A∪B＝R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，2）D．[﹣1，1）2．已知命题p：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，命题q：函数y＝﹣（a+1）x是减函数，则命题p成立是q成立的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上为减函数，则以下关系正确的是（）A．f（π）＜f（1）＜f（﹣3）B．f（1）＜f（﹣3）＜f（π）C．f（1）＜f（π）＜f（﹣3）D．f（﹣3）＜f（1）＜f（π）4．已知，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b5．函数y＝f（x）为定义在R上的偶函数，且对任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）都有，则下列关系正确的是（）A．f（﹣3）＞f（﹣2）＞f（1）B．f（﹣3）＜f（﹣2）＜f（1）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（﹣3）D．f（﹣2）＞f（1）＞f（﹣3）6．已知函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）在区间（]上单调递增，在区间[，）上单调递减，则ω＝（）A．6k﹣，k∈N B．6k+，k∈N C．D．37．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝1﹣2|x+2|，若关于x的方程f2（x）﹣|a+1|f（x）+a2＝0恰好有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则[1﹣f（x1）][1﹣f（x2）][1﹣f（x3）][1﹣f（x4）]的取值范围是（）A．B．C．D．8．网络上盛极一时的数学恒等式“1.0130≈1.4，1.01365≈37.8，1.01730≈1427.6”形象地向我们展示了通过努力每天进步1%，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异．虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”．小明是一位极其勤奋努力的同学，假设他每天进步2.01%，那么30天后小明的学习成果约为原来的（）倍A．1.69B．1.748C．1.96D．2.8二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．若a，b∈R*，则下列不等式中正确的是（）A．≥B．（）2＞C．+≥2D．（a+b）（）≥410．定义一种运算．设f（x）＝min{4+2x﹣x2，|x﹣t|}（t为常数），且x∈[﹣3，3]，则使函数f（x）最大值为4的t值可以是（）A．﹣2B．6C．4D．﹣411．已知函数f（x）＝2sin（x﹣）cos（x﹣），则（）A．f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于（，0）对称C．x＝﹣是函数f（x）图象的一条对称轴D．将函数g（x）＝cos2x﹣sin2x的图象向右平移个单位后得到函数f（x）的图象12．已知符号函数sgn（x）＝，下列说法正确的是（）A．函数y＝sgn（x）是奇函数B．对任意的x≥0，sgn（x）＝1C．对任意的x∈R，x•sgn（x）＝|x|D．y＝2x•sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，1）三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．二次函数f（x）＝x2﹣2x+2在区间[0，3]上的最大值为．14．若函数f（x）满足2f（x）﹣f（）＝2x﹣1（x≠0），则f（）＝．15．设函数f（x）＝2cos2x+2sin x cos x+m，当x∈[0，]时，f（x）的值域为[，]，则实数m的值是．16．已知a＝log26，b＝log515，c＝2﹣π，则a，b，c的大小关系为（用“＜”连接）．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，（a＞0）；命题q：实数x满足（x﹣3）（2﹣x）≥0．（1）若a＝1，p，q均为真命题，求x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）若f（x）在[﹣2，b）上有最大值，求实数b的取值范围．19．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本f（x）（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为．（1）写出自变量x的取值范围；（2）为使每吨平均处理成本最低（如处理400吨垃圾时每吨垃圾平均处理成本为），该厂每月处理量垃圾应为多少吨？20．已知函数f（x）＝cos（﹣）sin（+）+cos2．（Ⅰ）若x，求f（x）的递增区间和值域；（Ⅱ）若f（x0）＝，求sin（x0）．21．已知函数f（x）＝．（1）若f（a）＝1，求a的值；（2）若关于x的方程f2（x）+mf（x）+2m+1＝0恰有5个实数根，求m的取值范围．22．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+1．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；（Ⅲ）求f（x）在区间上的最小值．2020-2021学年湖南省怀化市高一上期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|m＜x≤m+4}，若A∪B＝R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，2）D．[﹣1，1）解：∵A＝{x|x2﹣4x+3＞0}＝{x|x＞3或x＜1}，B＝{x|m＜x≤m+4}，若A∪B＝R，∴，解得：﹣1≤m＜1，故选：D．2．已知命题p：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，命题q：函数y＝﹣（a+1）x是减函数，则命题p成立是q成立的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：命题p：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，若命题p为真命题，则a＝0或，解得0≤a＜4，命题q：函数y＝﹣（a+1）x是减函数，若命题q为真命题，则﹣（a+1）＜0，解得a ＞﹣1，由0≤a＜4能推出a＞﹣1，反之不成立，故命题p成立是q成立的充分不必要条件，故选：A．3．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上为减函数，则以下关系正确的是（）A．f（π）＜f（1）＜f（﹣3）B．f（1）＜f（﹣3）＜f（π）C．f（1）＜f（π）＜f（﹣3）D．f（﹣3）＜f（1）＜f（π）解：依题意，f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（﹣3）＝f（3），f（x）在（﹣∞，0）为减函数，故f（x）在（0，+∞）为增函数，所以f（1）＜f（﹣3）＜f（π）．故选：B．4．已知，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a ＜b解：∵，，∴b＞a＞1，∵，∴0＜c＜1，∴c＜a＜b，故选：D．5．函数y＝f（x）为定义在R上的偶函数，且对任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）都有，则下列关系正确的是（）A．f（﹣3）＞f（﹣2）＞f（1）B．f（﹣3）＜f（﹣2）＜f（1）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（﹣3）D．f（﹣2）＞f（1）＞f（﹣3）解：因为函数y＝f（x）为定义在R上的偶函数，所以（﹣3）＝f（3），f（﹣2）＝f（2），又因为对任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）都有，所以函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，所以f（3）＜f（2）＜f（1），即f（﹣3）＜f（﹣2）＜f（1）．故选：B．6．已知函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）在区间（]上单调递增，在区间[，）上单调递减，则ω＝（）A．6k﹣，k∈N B．6k+，k∈N C．D．3解：函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）在区间（]上单调递增，在区间[，）上单调递减，∴ω•＝2kπ+，且•≥+，•≥﹣，即ω＝6k+，k∈Z，且ω≤，∴ω＝．故选：C．7．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝1﹣2|x+2|，若关于x的方程f2（x）﹣|a+1|f（x）+a2＝0恰好有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则[1﹣f（x1）][1﹣f（x2）][1﹣f（x3）][1﹣f（x4）]的取值范围是（）A．B．C．D．解：令t＝f（x），则t2﹣|a+1|t+a2＝0，①若关于x的方程f2（x）﹣|a+1|f（x）+a2＝0有四个不同的根，则方程t2﹣|a+1|t+a2＝0有两个根，设为t1，t2，所以△＝|a+1|2﹣4a2＝﹣3a2+2a+1＞0，解得﹣＜a＜1，所以a+1＞0，且t1+t2＝a2≥0，所以方程①仅在t∈[0，+∞）上有解，当x＜﹣2时，f（x）＝1﹣2﹣（x+2）＝1﹣（）x+2，当﹣2＜x＜0时，f（x）＝1﹣2x+2，根据对称性，得其图象如下：所以当t＝0时，f（x）有3个解，当0＜t＜2时，f（x）＝t有2个解，当t≥3时，f（x）＝t有一个解，（1）若a＝0时，则t2﹣t＝0，解得t1＝0，t2＝1，则f（x）＝0有3个解，f（x）＝1有2个解，所以f（x）＝t共5个解，不合题意（舍去），（2）若a≠0时，则t1t2＝a2＞0，t1+t2＝|a+1|＞0，所以t＞0，要使f（x）＝t1和f（x）＝t2共4个解，则t1，t2∈（0，3），即方程t2﹣（a+1）t+a2＝0，两个根t1，t2∈（0，3），则有△＞0，0＜＜3，且32﹣（a+1）×3+a2＞0，解得﹣＜a＜1，且a≠0，不妨设f（x1）＝f（x2）＝t1，f（x1）f（x2）＝t2，则[1﹣f（x1）][1﹣f（x2）][1﹣f（x3）][1﹣f（x4）]＝（1﹣t1）2（1﹣t2）2＝[（1﹣t1）（1﹣t2）]2＝[1﹣（t1+t2）+t1t2]2，＝[1﹣（a+1）+a2]2＝（a2﹣a）2，a∈（﹣，1），令h（a）＝（a2﹣a）2，a∈（﹣，1），h′（a）＝4a3﹣6a2+2a＝2a（2a﹣1）（2a+1），所以当x∈（﹣，0）时，h′（a）＜0，h（a）单调递减，当x∈（0，）时，h′（a）＞0，h（a）单调递增，当x∈（，1）时，h′（a）＜0，h（a）单调递减，所以h（﹣）＝，h（0）＝0，h（）＝，h（1）＝0，所以h（a）∈（0，），故选：A．8．网络上盛极一时的数学恒等式“1.0130≈1.4，1.01365≈37.8，1.01730≈1427.6”形象地向我们展示了通过努力每天进步1%，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异．虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”．小明是一位极其勤奋努力的同学，假设他每天进步2.01%，那么30天后小明的学习成果约为原来的（）倍A．1.69B．1.748C．1.96D．2.8解：小明每天进步2.01%，即0.0201，则30天后为1.020130＝（1.012）30＝（1.0130）2≈（1.4）2＝1.96．∴30天后小明的学习成果约为原来的1.96倍．故选：C．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．若a，b∈R*，则下列不等式中正确的是（）A．≥B．（）2＞C．+≥2D．（a+b）（）≥4解：由基本不等式可知，当且仅当a＝b时等号成立，选项A 成立；取a＝2，b＝4，则，此时，选项B错误；由基本不等式可知：，当且仅当a＝b时等号成立，选项C成立；，当且仅当a＝b时等号成立，选项D成立；故选：ACD．10．定义一种运算．设f（x）＝min{4+2x﹣x2，|x﹣t|}（t为常数），且x∈[﹣3，3]，则使函数f（x）最大值为4的t值可以是（）A．﹣2B．6C．4D．﹣4解：y＝4+2x﹣x2在x∈[﹣3，3]上的最大值为4，所以由4+2x﹣x2＝4，解得x＝2或x＝0，所以要使函数f（x）最大值为4，则根据定义可知，当t＜1时，即x＝2时，|2﹣t|＝4，此时解得t＝﹣2，当t＞1时，即x＝0时，|0﹣t|＝4，此时解得t＝4，故t＝﹣2或4，故选：AC．11．已知函数f（x）＝2sin（x﹣）cos（x﹣），则（）A．f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于（，0）对称C．x＝﹣是函数f（x）图象的一条对称轴D．将函数g（x）＝cos2x﹣sin2x的图象向右平移个单位后得到函数f（x）的图象解：由函数f（x）＝2sin（x﹣）cos（x﹣）＝sin（2x﹣），可得周期T＝，故A错误；令x＝，可得f（）＝sin（2×﹣）＝0，∴函数f（x）的图象关于（，0）对称，故B正确；令2x﹣＝，k∈Z，可得x＝，当k＝﹣2时，可得x＝﹣，∴x＝﹣是函数f（x）图象的一条对称轴，故C正确；由函数g（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x＝sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到y＝sin[2（x）+]＝sin（2x﹣），即得到函数f（x）的图象，故D正确；故选：BCD．12．已知符号函数sgn（x）＝，下列说法正确的是（）A．函数y＝sgn（x）是奇函数B．对任意的x≥0，sgn（x）＝1C．对任意的x∈R，x•sgn（x）＝|x|D．y＝2x•sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，1）解：sgn（x）＝的图象如图所示，图象关于原点对称，为奇函数，A正确；当x＝0时，x＝0，sgn（x）＝0，当x＞0时，x＞0，sgn（x）＝1，B错误；因为x•sgn（x）＝＝|x|，C正确；因为y＝2x sgn（﹣x）＝其值域为[0，1）∪（﹣∞，﹣1]，D不正确．故选：AC．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．二次函数f（x）＝x2﹣2x+2在区间[0，3]上的最大值为5．解：函数的对称轴想x＝1，故f（x）在[0，1）递减，在（1，3]递增，故f（x）max＝f（3）＝5，故答案为：5．14．若函数f（x）满足2f（x）﹣f（）＝2x﹣1（x≠0），则f（）＝1．解：根据题意，函数f（x）满足2f（x）﹣f（）＝2x﹣1（x≠0），令x＝2可得：2f（2）﹣f（）＝3，①令x＝可得：2f（）﹣f（2）＝0，②联立①②可得：f（）＝1，故答案为：1．15．设函数f（x）＝2cos2x+2sin x cos x+m，当x∈[0，]时，f（x）的值域为[，]，则实数m的值是．解：函数f（x）＝2cos2x+2sin x cos x+m＝2×+sin2x+m＝2sin（2x+）+1+m，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，2sin（2x+）∈[﹣1，2]，f（x）∈[m，3+m]．∵已知f（x）的值域为[，]，则实数m＝，故答案为：．16．已知a＝log26，b＝log515，c＝2﹣π，则a，b，c的大小关系为c＜b＜a（用“＜”连接）．解：∵log26＞log24＝2，1＝log55＜log515＜log525＝2，2﹣π＜20＝1，∴c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，（a＞0）；命题q：实数x满足（x﹣3）（2﹣x）≥0．（1）若a＝1，p，q均为真命题，求x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：由题意得，当p为真命题时，a＜x＜3a；当q为真命题时，2≤x≤3，（1）若a＝1，p，q均为真命题，则，得2≤x＜3，故x的取值范围为[2，3）；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，则，解得1＜a＜2，故实数a的取值范围是（1，2）．18．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）若f（x）在[﹣2，b）上有最大值，求实数b的取值范围．解：（1）根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）＝﹣x2﹣2x，又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝x2+2x，综合可得：f（x）＝，（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝，其草图如图：若f（x）在[﹣2，b）上有最大值，即函数图象在区间[﹣2，b）上有最高点，必有﹣2＜b≤0或b＞1，故b的取值范围为：（﹣2，0]∪（1，+∞）．19．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本f（x）（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为．（1）写出自变量x的取值范围；（2）为使每吨平均处理成本最低（如处理400吨垃圾时每吨垃圾平均处理成本为），该厂每月处理量垃圾应为多少吨？解：（1）由题意可得，300≤x≤600；（2）∵，∴每吨平均处理成本w＝，当且仅当，即x＝400吨时，上式等号成立．∴该厂每月处理垃圾应为400吨．20．已知函数f（x）＝cos（﹣）sin（+）+cos2．（Ⅰ）若x，求f（x）的递增区间和值域；（Ⅱ）若f（x0）＝，求sin（x0）．解：（Ⅰ）f（x）＝cos（﹣）sin（+）+cos2＝sin cos+cos2＝sin+×＝sin（+）+，令2kπ﹣≤+≤2kπ+，k∈Z，解得3kπ﹣≤x≤3kπ+，k∈Z，又x②，当k＝0时，由①可得x∈[﹣，]，与②取交集可得x∈[﹣，]，所以f（x）的递增区间为[﹣，]，若x，则+∈[0，π]，所以sin（+）∈[0，1]，可得f（x）＝sin（+）+∈[，1+]．即f（x）的值域为[，1+]．（Ⅱ）若f（x0）＝sin（+）+＝，可得sin（+）＝，cos（+）＝±，所以sin（x0）＝sin[（+）﹣]＝sin（+）cos﹣cos（+）sin＝（±×）＝．21．已知函数f（x）＝．（1）若f（a）＝1，求a的值；（2）若关于x的方程f2（x）+mf（x）+2m+1＝0恰有5个实数根，求m的取值范围．解：（1）若a＜0，则f（a）＝lg（﹣a）＝1，解得a＝﹣10；若a≥0，则f（a）＝|e a﹣2|＝1，解得a＝0或ln3．故a的值为0或﹣10或ln3．（2）由题可知，当x＜0时，f（x）单调递减，且f（x）∈R；当0≤x＜ln2时，f（x）单调递减，且f（x）∈（0，1]；当x≥ln2时，f（x）单调递增，且f（x）∈[0，+∞）．关于x的方程f2（x）+mf（x）+2m+1＝0恰有5个实数根，如图，等价于关于t的方程t2+mt+2m+1＝0有2个不相等的实数根t1，t2，不妨设t1＞t2，则，．令h（t）＝t2+mt+2m+1，若t1＞1，0＜t2＜1，则，即，不等式无解；若t1＞1，t2＝1，则，即，不等式无解；若t2＝0，0＜t1≤1，则，即，解得．故m的取值范围是．22．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+1．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；（Ⅲ）求f（x）在区间上的最小值．解：（Ⅰ）f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+1＝sin2x+cos2x＝；所以f（）＝sin（+）＝×＝1；（或直接求）（II）所以f（x）的最小正周期为；（III）由，得，所以；当2x+＝﹣，即x＝﹣时，f（x）取得最小值为．。
2020-2021学年山东省济南市高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年山东省济南市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）下列集合与集合{1A =，3}相等的是( ) A ．(1,3) B ．{(1,3)}C ．2{|430}x x x -+=D ．{(,)|1x y x =，3}y =2．（5分）命题：“0x R ∃∈，210x ->”的否定为( ) A ．x R ∃∈，210x - B ．x R ∀∈，210x - C ．x R ∃∈，210x -< D ．x R ∀∈，210x -<3．（5分）“α是锐角”是“α是第一象限角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．（5分）sin 20cos10sin70sin10(︒︒+︒︒= )A ．14B C ．12D 5．（5分）已知()||f x lnx =，若1()5a f =，1()4b f =，c f =（3），则( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<6．（5分）要得到函数cos(3)5y x π=+的图象，需将函数cos3y x =的图象( ) A ．向左平移15π个单位长度 B ．向左平移5π个单位长度 C ．向右平移15π个单位长度D ．向右平移5π个单位长度7．（5分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征．如函数||2sin 2x y x =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．8．（5分）质数也叫素数，17世纪法国数学家马林⋅梅森曾对“21P -” (p 是素数）型素数作过较为系统而深入的研究，因此数学界将“21P -” (p 是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数为12721M =-，第14个梅森素数为60721N =-，则下列各数中与NM最接近的数为( ) （参考数据：120.3010)g ≈ A ．14010B ．14210C ．14110D ．14610二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）若函数2()2()f x x ax a Z =-+∈在区间[0，1]上单调递增，在区间[3，4]上单调递减，则a 的取值为( ) A ．4B ．3C ．2D ．110．（5分）若0a b >>，则下列不等式成立的是( ) A ．11a b< B ．11b b a a +<+ C ．11a b b a+>+ D ．11a b a b+>+ 11．（5分）下列说法中正确的是( ) A ．函数sin()2y x π=+是偶函数B ．存在实数α，使sin α cos 1α=C ．直线8x π=是函数5sin(2)4y x π=+图象的一条对称轴 D ．若α，β都是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>12．（5分）已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，21,01()1,121x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪-⎩，下列说法中正确的是( )A ．当121122x x -<<<时，恒有12()()f x f x >B ．若当(0x ∈，]m 时，()f x 的最小值为34，则m 的取值范围为17[,]26C ．不存在实数，使函数()()F x f x x =-有5个不相等的零点D ．若关于x 的方程3[()][()]04f x f x a --=所有实数根之和为0，则34a =-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）23182252lg lg ++的值为 ．14．（5分）函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)πϕ-<<的部分图象如图所示，则()4f π的值为 ．15．（5分）已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，对任意x R ∈都有(3)()f x f x +=-，当3[2x ∈-，0]时，()2f x x =-，则(100)f 的值为 ．16．（5分）设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数，使对任意的x D ∈，都有x D +∈，且()()f x f x +>恒成立，则称函数()f x 为D 上的“型增函数”．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||2f x x a a =--，若()f x 为R 上的“2021型增函数”，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合{|52}A x x =-<<，2{|340}B x x x =-->．（1）求A B ，()R AB ；（2）若{|11}C x m x m =-<<+，BC ≠∅，求实数m 的取值范围．18．（12分）在①2sin 3sin 2αα=，②cos 2α=，③tan α=补充在下面问题中，并解决问题．已知(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，1cos()4αβ+=-，____，求cos β．19．（12分）设函数2()cos cos()6f x x x x π=⋅-（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）当[,]122x ππ∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．20．（12分）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品、让展商变投资商，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台，成为全球共享的国际公共产品． 在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场已知该产品年固定研发成本150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品x 万台且全部售完，每万台的销售收入为()R x 万元，且25002,020()21406250370,20x x R x x x x -<⎧⎪=⎨+->⎪⎩． （1）写出年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润．21．（12分）已知函数3()1(26)31xx a f x b x b ⋅=--<<+是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）证明：()f x 是区间(26,)b b -上的减函数； （3）若(2)(21)0f m f m -++>，求实数m 的取值范围． 22．（12分）已知函数()f x =． （1）若()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围；（2）设函数()()g x f x =-，若()0g lnx 对任意的[x e ∈，2]e 恒成立，求实数m 的取值范围．2020-2021学年山东省济南市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）下列集合与集合{1A =，3}相等的是( ) A ．(1,3) B ．{(1,3)}C ．2{|430}x x x -+=D ．{(,)|1x y x =，3}y =【解答】解：2{|430}{1x x x -+==，3}，∴与集合{1A =，3}相等的是2{|430}x x x -+=．故选：C ．2．（5分）命题：“0x R ∃∈，210x ->”的否定为( ) A ．x R ∃∈，210x - B ．x R ∀∈，210x - C ．x R ∃∈，210x -< D ．x R ∀∈，210x -<【解答】解：命题：“0x R ∃∈，2010x ->”的否定为“x R ∀∈，210x -”，故选：B ．3．（5分）“α是锐角”是“α是第一象限角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解答】解：因为α是锐角，故090α︒<<︒，则α一定是第一象限角， 若α是第一象限角，不妨取330-︒，则α不是锐角，所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件． 故选：A ．4．（5分）sin 20cos10sin70sin10(︒︒+︒︒= )A ．14B C ．12D 【解答】解：sin20cos10sin10sin70cos70cos10sin70sin10︒︒+︒︒=︒︒+︒︒ cos(7010)=︒-︒1cos602=︒=． 故选：C ．5．（5分）已知()||f x lnx =，若1()5a f =，1()4b f =，c f =（3），则( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<【解答】解：11()||555a f ln ln ===，11()||444b f ln ln ===，c f =（3）|3|3ln ln ==，函数y lnx =在(0,)+∞上单调递增，且345<<， 345ln ln ln ∴<<，即c b a <<， 故选：D ．6．（5分）要得到函数cos(3)5y x π=+的图象，需将函数cos3y x =的图象( )A ．向左平移15π个单位长度B ．向左平移5π个单位长度C ．向右平移15π个单位长度D ．向右平移5π个单位长度【解答】解：将函数cos3y x =的图象，向左平移15π个单位长度，可得函数cos(3)5y x π=+的图象，故选：A ．7．（5分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征．如函数||2sin 2x y x =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：||||()2sin(2)2sin 2()x x f x x x f x --=-=-=-，函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ， 当2x ππ<<时，()0f x <，排除C ，故选：D ．8．（5分）质数也叫素数，17世纪法国数学家马林⋅梅森曾对“21P -” (p 是素数）型素数作过较为系统而深入的研究，因此数学界将“21P -” (p 是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数为12721M =-，第14个梅森素数为60721N =-，则下列各数中与NM最接近的数为( ) （参考数据：120.3010)g ≈ A ．14010B ．14210C ．14110D ．14610【解答】解：60748012721221N M -=≈-，令4802=，两边同时取常用对数得：4802lg lg =， 4802144.48lg lg ∴=≈， 144.4810∴=，∴与NM最接近的数为14610， 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）若函数2()2()f x x ax a Z =-+∈在区间[0，1]上单调递增，在区间[3，4]上单调递减，则a 的取值为( ) A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：函数2()2f x x ax =-+是开口向下，对称轴为x a =的二次函数，因为函数2()2()f x x ax a Z =-+∈在区间[0，1]上单调递增，在区间[3，4]上单调递减， 所以13a ，又a 是整数， 所以a 的可能取值为1，2，3， 故选：BCD ．10．（5分）若0a b >>，则下列不等式成立的是( ) A ．11a b< B ．11b b a a +<+ C ．11a b b a+>+ D ．11a b a b+>+ 【解答】解：若0a b >>，则11a b<，故A 正确； 11(1)b b b a a a a a +--=++，由0a b >>，可得0b a -<，所以0(1)b a a a -<+，即11b b a a +<+，故B 正确； 由A 可知11a b b a+>+，故C 正确； 取12a =，13b =，则152a a +=，1103b b +=，此时11a b a b+<+，故D 错误． 故选：ABC ．11．（5分）下列说法中正确的是( ) A ．函数sin()2y x π=+是偶函数B ．存在实数α，使sin α cos 1α=C ．直线8x π=是函数5sin(2)4y x π=+图象的一条对称轴 D ．若α，β都是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>【解答】解：对于A ：函数sin()cos 2y x x π=+=，故该函数是偶函数，故A 正确；对于B ：由于sin cos 1αα=，故sin α和cos α互为倒数，与22sin cos 1αα+=矛盾，故不存在实数α，使sin cos 1αα=，故B 错误； 对于C ：当8x π=时，5()sin()1844f πππ=+=-，故C 正确； 对于D ：设136πα=，3πβ=，由于α，β都是第一象限角，但是sin sin βα>，故D 错误； 故选：AC ．12．（5分）已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，21,01()1,121x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪-⎩，下列说法中正确的是( )A ．当121122x x -<<<时，恒有12()()f x f x >B ．若当(0x ∈，]m 时，()f x 的最小值为34，则m 的取值范围为17[,]26C ．不存在实数，使函数()()F x f x x =-有5个不相等的零点D ．若关于x 的方程3[()][()]04f x f x a --=所有实数根之和为0，则34a =-【解答】解：根据定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，21,01()1,121x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪-⎩， 如图所示：对于A ：当121122x x -<<<时，根据函数的图象12()()f x f x >不一定成立，故A 错误；对于B ：要使()f x 的最小值为34，令13214x =-，解得76x =，故m 的取值范围为17[,]26，故B 正确；对于C ：令()f x x =，故21x x x -+=，整理得2(1)10x x -++=，由于△2(1)40=+->，解得1>或3<-，故存在，故C 错误； 对于3:()4D f x =，解得12x =或76，根据函数的图象的对称性可得34a =-，故D 正确； 故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）23182252lg lg ++的值为 5 ．【解答】解：原式2323225215lg lg ⨯=++=+=．故答案为：5．14．（5分）函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)πϕ-<<的部分图象如图所示，则()4f π的值为3 ．【解答】解：由图象得：2A =，()2362T πππ=--=， 故T π=，故22πωπ==，由()2sin(2)233f ππϕ=⨯+=，故232ππϕ+=，解得：6πϕ=-， 故()2sin(2)6f x x π=-，3()2sin(2)2sin 234463f ππππ=⨯-===，315．（5分）已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，对任意x R ∈都有(3)()f x f x +=-，当3[2x ∈-，0]时，()2f x x =-，则(100)f 的值为 2 ．【解答】解：根据题意，对任意x R ∈都有(3)()f x f x +=-， 则(6)(3)()f x f x f x +=-+=， 则函数()f x 是周期为6的周期函数，则(100)(4616)f f f =+⨯=（4）f =-（1）(1)f =-， 当3[2x ∈-，0]时，()2f x x =-，则(1)2f -=-，故(100)f f =（4）f =-（1）(1)2f =-=， 故答案为：2．16．（5分）设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数，使对任意的x D ∈，都有x D +∈，且()()f x f x +>恒成立，则称函数()f x 为D 上的“型增函数”．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||2f x x a a =--，若()f x 为R 上的“2021型增函数”，则实数a 的取值范围是 2021(,)6-∞ ．【解答】解：()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0f ∴=．设0x <，则0x ->．()||2||2f x x a a x a a ∴-=---=+-，()()||2f x f x x a a ∴=--=-++．||2,0()0,0||2,0x a a x f x x x a a x -->⎧⎪∴==⎨⎪--+<⎩， ①当0x >时，由(2021)()f x f x +>，可得|2021|2||2x a a x a a +-->--，化为|(2021)|||x a x a -->-，由绝对值的几何意义可得20210a a +-<，解得20212a <； ②当0x <时，由(2021)()f x f x +>，分为以下两类研究：当20210x +<时，可得|2021|2||2x a a x a a -+-+>--+，化为|2021|||x a x a +-<-，由绝对值的几何意义可得20210a a --->，解得20212a <-． 当20210x +>，|2021|2||2x a a x a a +-->-++，化为|2021||||20212|4x a x a a a +-++->，0a 时成立；当0a >时，20216a <，因此可得20216a <． ③当0x =时，由(2021)(0)f f >可得|2021|20a a -->，当0a 时成立，当0a >时，20213a <． 综上可知：a 的取值范围是2021(,)6-∞． 故答案为：2021(,)6-∞． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合{|52}A x x =-<<，2{|340}B x x x =-->．（1）求A B ，()R A B ；（2）若{|11}C x m x m =-<<+，BC ≠∅，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）{|52}A x x =-<<，{|1B x x =<-或4}x >， {|2A B x x ∴=<或4}x >，{|14}R B x x =-，(){|12}R A B x x =-<；（2）B C ≠∅，11m ∴-<-或14m +>，解得0m <或3m >，m ∴的取值范围为：(-∞，0)(3⋃，)+∞．18．（12分）在①2sin 3sin 2αα=，②cos2α=，③tan α=补充在下面问题中，并解决问题． 已知(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，1cos()4αβ+=-，____，求cos β． 【解答】解：选择条件①，2sin 3sin 2αα=．得sin 3sin cos ααα=， 因为(0,)2πα∈，所以sin 0α>，可得1cos 3α=；所以sin α== 由于(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，所以(0,)αβπ+∈，所以sin()αβ+== 所以11cos cos[()]cos()cos sin()sin 43βαβααβααβα=+-=+++=-⨯+． 选择条件②：cos2α=221cos 2cos 12123αα=-=⨯-=，以下解法同条件①． 选择条件③：因为0(0,)2πα∈，所以sin 0α>，cos 0α>；由tan α=22sin cos sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin α，1cos 3α=； 以下解法同条件①．19．（12分）设函数2()cos cos()6f x x x x π=⋅- （1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）当[,]122x ππ∈时，求函数()f x 的最大值和最小值． 【解答】解：（1）2()cos cos()6f x x x x π=⋅-21cos sin)cos)2x x x x=+-21sin cos2x x x=1sin24x x=1sin(2)23xπ=-，所以()f x的最小正周期是22Tππ==，由222232xπππππ-+-+，Z∈，解得51212xππππ-++，Z∈，所以函数的单调递增区间为[12ππ-+，5]12ππ+，Z∈．（2）当[,]122xππ∈时，2[36xππ-∈-，2]3π，此时1sin(2)[32xπ-∈-，1]，可得1()[4f x∈-，1]2，综上，()f x最大值为12，最小值为14-．20．（12分）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品、让展商变投资商，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台，成为全球共享的国际公共产品．在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场已知该产品年固定研发成本150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为()R x万元，且25002,020()21406250370,20x xR xxx x-<⎧⎪=⎨+->⎪⎩．（1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润．【解答】解：（1）当020x<时，S xR=()(380150)x x-+2250023801502120150x x x x x=---=-+-，当20x>时，S xR=()(380150)x x-+625062503702140380150101990x x xx x=+---=--+，∴函数S的解析式为22120150,&0206250101990,&20x x xSx xx⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩．（2）当020x <时，2221201502(30)1650S x x x =-+-=--+， ∴函数S 在(0，20]上单调递增，∴当20x =时，S 取得最大值，为1450，当20x >时，62506250101990(10)1990S x x x x =--+=-++ 210199050019901490x -=-+=， 当且仅当625010x x=，即25x =时，等号成立，此时S 取得最大值，为1490， 14901450>，∴当年产量为25万台时，该企业获得的利润最大，最大利润为1490万元．21．（12分）已知函数3()1(26)31xx a f x b x b ⋅=--<<+是奇函数． （1）求a ，b 的值；（2）证明：()f x 是区间(26,)b b -上的减函数；（3）若(2)(21)0f m f m -++>，求实数m 的取值范围．【解答】（1）解：函数3()1(26)31xx a f x b x b ⋅=--<<+是奇函数， 所以()()f x f x -=-恒成立，即331113131x xx x a a --⋅⋅---+-++， 整理得(2)(31)0x a -+=，所以2a =，因为60b b -+=，解得2b =， 所以2a =，2b =．（2）证明：由（1）得23()131xx f x ⋅=-=+，(2,2)x ∈-， 设任意1x ，2(2,2)x ∈-，且12x x <，则122112*********(33)()()(1)(1)3131(31)(31)x x x x x x x x f x f x ⋅⋅--=---=++++， 因为12x x <，所以1233x x <，所以21330x x ->，而1310x +>，2310x +>，所以21122(33)0(31)(31)x x x x ->++，所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >， 所以()f x 是区间(26,)b b -上的减函数．（3）解：(2)(21)0f m f m -++>，所以(2)(21)f m f m ->-+， 因为函数()f x 是奇函数，所以(2)(21)f m f m ->--， 因为函数()f x 是区间(2,2)-上的减函数，所以2212222212m m m m -<--⎧⎪-<-<⎨⎪-<+<⎩，解得103m <<， 所以实数m 的取值范围是1(0,)3． 22．（12分）已知函数()f x =．（1）若()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围；（2）设函数()()g x f x =-，若()0g lnx 对任意的[x e ∈，2]e 恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为R ，即220mx mx -+在R 上恒成立， 当0m =时，20恒成立，符合题意，当0m ≠时，00m >⎧⎨⎩即2080m m m >⎧⎨-⎩得08m <， 综上，实数m 的取值范围是[0，8]．（2）因为()()g x f x ==， 所以()0g lnx 对任意的[x e ∈，2]e 恒成立等价于220()22()m lnx mlnx lnx -+在[x e ∈，2]e 恒成立，即222()20(*)()22()m lnx mlnx m lnx mlnx lnx ⎧-+⎨-+⎩在[x e ∈，2]e 恒成立， 设t lnx =，因为[x e ∈，2]e ，所以[1t ∈，2]，不等式组(*)化为222()20()22m t t m t t t⎧-+⎨-+⎩，[1t ∈，2]时，20t t -（当且仅当1t =时取等号）， ()i 当1t =时，不等式组成立，()ii 当(1t ∈，2]时，222()20()22m t t m t t t ⎧-+⎨-+⎩，所以222222m t t t m t t ⎧-⎪⎪-⎨-⎪⎪-⎩恒成立， 因为2222111()24t t t -=----+，所以1m -，因为22222(1)22t t t t t t -+==+-在(1t ∈，2]上单调递减，所以2232m +=， 综上，实数m 的取值范围时[1-，3]．。
北京市2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
北京市东城区2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M2．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x33．（5分）已知函数y＝sin x在区间M上单调递增，那么区间M可以是（）A．（0，2π）B．（0，π）C．D．4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（）A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．a D．6．（5分）下列各式正确的是（）A．B．C．D．7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100 B．900 C．81 D．9二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数f（x）＝1+cos x，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A．当t＜0或t≥2时，有0个交点B．当t＝0或时，有1个交点C．当时，有2个交点D．当0＜t＜2时，有2个交点10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A．对于任意实数a，f（x）为偶函数B．对于任意实数a，f（x）＞0C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是．12．（5分）sin的值为．13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f （x）可以为．（写出符合条件的一个函数即可）14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为．15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝；若f（t）＝1，则实数t＝．16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．其中正确命题的序号有．（注：请写出所有正确结论的序号）四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．18．（13分）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．（1）求tanβ的值；（2）求的值．20．（16分）已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性并说明理由；（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．21．（15分）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．2020-2021学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M【分析】利用集合与集合的关系直接求解．【解答】解：∵集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，∴M⫋N．故选：C．【点评】本题考查集合的关系的判断，考查交集、并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x3【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝|x|，是偶函数，符合题意；对于B，y＝lnx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；对于C，y＝e x，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；对于D，y＝x3，是幂函数，不是偶函数，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性，属于基础题．3．（5分）已知函数y＝sin x在区间M上单调递增，那么区间M可以是（）A．（0，2π）B．（0，π）C．D．【分析】直接利用函数的单调性和子区间之间的关系求出结果．【解答】解：根据函数y＝sin x的单调递增区间：[]（k∈Z），当k＝0时，单调增区间为[]，由于为[]的子区间，故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（）A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为∃x∈A，2x∉B，故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．a D．【分析】直接利用不等式的应用和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：由于a＞b，且a和b的正负号不确定，所以选项ACD都不正确．对于选项：B由于函数y＝2x为单调递增函数，且a＞b，故正确故选：B．【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6．（5分）下列各式正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式直接求解．【解答】解：在A中，sin＞0＞sin＝﹣sin，故A错误；在B中，＜cos，故B正确；在C中，＞，故C错误；在D中，＞cos＝sin，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】可以取特殊值讨论充要性．【解答】解：若a，b为正实数，取a＝1，b＝1，则a+b＝2，则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的不充分条件；若a+b＞2，取a＝1，b＝0，则b不是正实数，则“a+b＞2”是“a，b为正实数''的不必要条件；则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题考查命题充要性，以及不等式，属于基础题．8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100 B．900 C．81 D．9【分析】由题意令V＝2m/s，0m/s，则可求出耗氧量，求出之比．【解答】解：鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量为：令v＝2＝，即，即，即o＝8100，鲑鱼静止时耗氧量为：令v＝0＝，即，即o'＝100，故鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为，故选：C．【点评】本题考查对数求值，属于中档题．二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数f（x）＝1+cos x，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A．当t＜0或t≥2时，有0个交点B．当t＝0或时，有1个交点C．当时，有2个交点D．当0＜t＜2时，有2个交点【分析】直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况，进一步确定结果．【解答】解：根据函数的解析式画出函数的图象：①对于选项A：当t＜0或t≥2时，有0个交点，故正确．②对于选项B：当t＝0或时，有1个交点，故正确．③对于选项C：当t＝时，只有一个交点，故错误．④对于选项D：当，只有一个交点，故错误．故选：AB．【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的应用，利用函数的图象求参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A．对于任意实数a，f（x）为偶函数B．对于任意实数a，f（x）＞0C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】直接利用函数的对称性和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：函数f（x）＝4|x|+x2+a，①对于选项A：由于x∈R，且f（﹣x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数．故选项A正确．②对于选项B：由于x2≥0，所以，故4|x|+x2≥1所以当x＝0时a＝﹣2时，f（x）＜0，故选项B错误．③对于选项C：由于函数f（x）的图象关于y轴对称，在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，故选项C正确．④对于选项D：由于函数的图象关于y轴对称，且在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，故存在实数a＝0时，当x∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）时，不等式成立，故选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是（﹣1，1）．【分析】解不等式1﹣x2＞0即可．【解答】解：令1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．12．（5分）sin的值为﹣．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：sin＝sin（2π﹣）＝﹣sin＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f （x）可以为f（x）＝．（写出符合条件的一个函数即可）【分析】由函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，即是符合要求的一个函数．【解答】解：∵函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，∴函数f（x）＝（）x即是符合要求的一个函数，故答案为：f（x）＝（）x．【点评】本题主要考查了指数函数的单调性和值域，是基础题．14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．【分析】①利用交集定义直接求解．②利用并集定义直接求解．【解答】解：①设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B．故答案为：A∩B．②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．故答案为：A∪C．【点评】本题考查并集、交集的求法，考查并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝；若f（t）＝1，则实数t＝0或1 ．【分析】结合已知函数解析式，把x＝﹣2代入即可求解f（﹣2），结合已知函数解析式及f（t）＝1，对t进行分类讨论分别求解．【解答】解：f（x）＝则f（﹣2）＝2﹣2＝，∵f（t）＝1，①当t≥1时，可得＝1，即t＝1，②当t＜1时，可得2t＝1，即t＝0，综上可得t＝0或t＝1．故答案为：；0或1【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．其中正确命题的序号有①②④．（注：请写出所有正确结论的序号）【分析】直接利用函数的图象求出函数的解析式，进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果．【解答】解：浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t ﹣1（a＞0且a≠1），函数的图象经过（2，2）所以2＝a2﹣1，解得a＝2．①当x＝0时y＝，故选项A正确．②当第8个月时，y＝28﹣1＝27＝128＞60，故②正确．③当t＝1时，y＝1，增加0.5，当t＝2时，y＝2，增加1，故每月的增加不相等，故③错误．④根据函数的解析式，解得t1＝log210+1，同理t2＝log220+1，t3＝log230+1，所以2t2＝2log220+2＝log2400+2＞t1+t2＝log2300+2，所以则2t2＞t1+t3．故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，定义性函数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．【分析】（1）根据题意，求出集合A，进而由补集的性质分析可得答案；（2）根据题意，结合集合间的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，因为A＝{x|x2+3x+2＜0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}．因为全集U＝R，所以∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，（2）根据题意，∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，若B⊆∁U A，当m﹣1≥﹣1或m≤﹣2，即m≥0或m≤﹣2，所以m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）．【点评】本题考查集合的补集运算，涉及集合的子集关系，属于基础题．18．（13分）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．【分析】（1）利用函数值，转化求解函数的解析式，推出函数的周期；（2）利用函数的自变量的范围，求出相位的范围，然后求解正弦函数的最值．【解答】解：（1）因为，所以．又因为φ∈，所以φ＝．所以．所以f（x）最的小正周期．（2）因为x∈[0，2π]，所以．当，即时，f（x）有最大值2，当，即x＝2π时，f（x）有最小值．【点评】本题考查函数的周期以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．（1）求tanβ的值；（2）求的值．【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得tanβ的值．（2）由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：（1）因为β的终边与单位圆交于点B，B点的纵坐标为，所以．因为，所以．所以．（2）因为α的终边与单位圆交于点A，A点的纵坐标为，所以．因为，所以，故＝＝＝．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于基础题．20．（16分）已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性并说明理由；（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．【分析】（1）定义域为R，然后求出f（﹣x），得f（﹣x）＝﹣f（x），所以为奇函数；（2）直接由指数函数的单调性可判断函数f（x）的单调性；（3）不等式变形，由奇函数的性质得出ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，令关于a的函数g（a）＝xa+1﹣x＞0在（﹣∞，2]上恒成立，g（a）一定单调递减，所以满足则只需解出x的范围．【解答】解：（1）f（x）为奇函数．因为f（x）定义域为R，，所以f（﹣x）＝﹣f（x）．所以f（x）为奇函数；（2）在（﹣∞，+∞）是增函数．因为y＝3x在（﹣∞，+∞）是增函数，且y＝3﹣x在（﹣∞，+∞）是减函数，所以在（﹣∞，+∞）是增函数，（3）由（1）（2）知f（x）为奇函数且f（x）（﹣∞，+∞）是增函数．又因为f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0，所以f（ax﹣1）＞﹣f（2﹣x）＝f（x﹣2）．所以ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立．令g（a）＝xa+（1﹣x），a∈（﹣∞，2]．则只需，解得所以﹣1＜x≤0．所以x的取值范围为（﹣1，0]．【点评】考查函数的奇函数的判断即函数的单调性，使用中档题．21．（15分）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．【分析】（1）由新定义的元素即可求出f A（1）与f B（1）的值，再分情况求出A*B；（2）对x是否属于集合A，B分情况讨论，即可证明出f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）利用（2）的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律．【解答】解：（1）∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴f A（1）＝﹣1，f B（1）＝1，∴A*B＝{1，4，5}；（2）①当x∈A且x∈B时，f A（x）＝f B（x）＝﹣1，所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），②当x∈A且x∉B时，f A（x）＝﹣1，f B（x）＝1，所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），③当x∉A且x∈B时，f A（x）＝1，f B（x）＝﹣1．所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．④当x∉A且x∉B时，f A（x）＝f B（x）＝1．所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．综上，f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）因为A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，B*A＝{x|f B（x）•f A（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，所以A*B＝B*A．因为（A*B）*C＝{x|f A*B（x）•f C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，A*（B*C）＝{x|f A（x）•f B*C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，所以（A*B）*C＝A*（B*C）．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了新定义问题，是中档题．。
高一上学期数学期末测试题(含答案)
高一数学期末测试题（含答案）一、单选题1．函数1()f x x=的定义域是（ ）A ．RB ． [)1,-+∞C ． ()(),00,∞-+∞D ．[)()1,00,-+∞2．不等式()()1210x x --<的解集是（ ） A ．{}|12x x <<B ．{} 12x x <>或C ．112x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 D ．112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭3．以下函数中，在()0,∞+上单调递减且是偶函数的是（ ） A ．()3f x x =-B ．()f x x =C ．2()2f x x =-D ．1()f x x=-4．已知函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是（ ）A ．()()3,13,-+∞ B ．()(),12,3-∞- C ．()()1,13,-+∞D ．()(),31,3-∞-5．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．已知函数()()()3,2,log 13,2,xa a x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩是定义域上的单调增函数，则a 的取值范围是（ ）A．)32⎡⎣B．C．(D ．()1,27．已知函数()y f x =的图象如下图所示，则函数(||)y f x =的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知6log 2a =，12log 4b =，18log 6c =，则（ ） A ．c b a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．a c b >>9．函数4,0()(),0xt x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩为定义在R 上的奇函数，则21log 3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．23B ．-9C ．-8D ．13-2x1A ．[)10,2,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．(]1,11,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)10,4,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭11．函数211()()1x ax f x a R x ++=∈+，若对于任意的*N x ∈，()3f x ≥恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．8,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,-+∞12．定义运算：()()a ab a b b a b ⎧≤⎪*=⎨>⎪⎩，如121*=，函数()1x xf x a a -=*-（0a >且1a ≠）的值域为（ ）A ．()1,+∞B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)0,∞+D ．[)0,1二、填空题13．已知m ，R n ∈，22100m n +=，则mn 的最大值是___________.14．函数()22xf x x =+，则不等式()()212f x f x -<-的解集为___________.15．已知()22f x x x =-，()2xg x a =-，[]11,2x ∃∈-，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x ≤，则a 的取值范围是___________.16．直线3y a =与函数11(0x y a a +=->且1)a ≠的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________三、解答题17．计算(1)160.25371.586-⨯-+⎫⎛ ⎪⎝⎭(2)()32log 232lg 2lg 20lg527log 4log 9+⨯-+⨯．18．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{|1B x x =≤或}4x ≥．（1）当3a =时，求A B ⋂；（2）“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(),0x ∈-∞时，()2()1f x x =--.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()2220x xf a f -⋅+--<任意x 恒成立，求实数a 的取值范围.20．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y 212x =-200x ＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？21．设函数()y f x =是定义在R +上的函数，并且满足下面三个条件： ①对任意正数,x y ，都有()()()y f x f x f y =+； ①当1x >时，()0f x <； ①()31f =-．（1）求()()1,9,91f f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）证明：()f x 在()0,∞+上是减函数；（3）如果不等式()()22f x f x +-<成立，求x 的取值范围．22．已知函数()221xx f x a =-+是定义域为R 的奇函数．(1)求实数a 的值；(2)证明：f （x ）是R 上的减函数(3)当[]3,9x ∈时，不等式()()233log 2log 0f x f m x +-≥恒成立，求实数m 的取值范围参考答案：1．D【分析】列出使函数解析式有意义的不等式，解出x 的取值范围即函数的定义域.【详解】由题，100x x +≥⎧⎨≠⎩，解得[)()1,00,x ∈-+∞.故选： D. 2．D【分析】由一元二次不等式的解法求()()1210x x --<的解集. 【详解】①()()121=0x x --的根为112x =，21x =， 作函数()()121y x x =--图象可得观察图象可得不等式()()1210x x --<的解集是112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，故选：D. 3．C【分析】依次判断各个选项的奇偶性和单调性，即可得解【详解】选项A ，定义域为R ，()3()f x x f x -==-为奇函数，错误；选项B ，定义域为R ，()||()f x x f x -==为偶函数，但,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩在()0,∞+上单调递增，错误；选项C ，定义域为R ，2()2()f x x f x -=-=为偶函数，为对称轴为0x =的开口向下的二次函数，故在()0,∞+上单调递减，正确；选项D ，定义域为1{|0},()()x x f x f x x≠-==-为奇函数，错误. 故选：C 4．A【分析】根据给定条件，分段解不等式，再求并集作答.【详解】函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >等价于063x x <⎧⎨+>⎩或者2463x x x ≥⎧⎨-+>⎩， 解063x x <⎧⎨+>⎩得：30x -<<，解20463x x x ≥⎧⎨-+>⎩得：01x ≤<或3x >，于是得31x -<<或3x >，所以不等式()3f x >的解集是()()3,13,-+∞.故选：A 5．C【分析】根据复合函数单调性结合对数函数定义域计算得到答案.【详解】()()212log 45f x x x =-++，函数定义域满足：2450x x -++>，解得15x -<<，12log y x=在()0,∞+上单调递减，根据复合函数单调性知，245y x x =-++在()32,2m m -+单调递减，函数对称轴为2x =，故32232225m m m m -≥⎧⎪-<+⎨⎪+≤⎩，解得423m ≤<.故选：C. 6．A【解析】根据题中条件，分别保证每段都单调递增，且必须满足()()23log 213a a -≤-+，进而可求解出结果.【详解】因为函数()()()3,2log 13,2xaa x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩是定义域上的单调增函数，所以()()23113log 213a a a a ⎧->⎪⎪>⎨⎪-≤-+⎪⎩解得：32<a 故选：A. 7．B【分析】保持函数()y f x =的位于y 轴右侧的图象不变，再作其关于y 轴对称的左侧的图象即可.【详解】由已知可得，保持函数()y f x =的位于y 轴右侧的图象不变，再作其关于y 轴对称的左侧的图象即可得到函数(||)y f x =的图象. 故选B.【点睛】本题主要考查函数图象的对称变换，属基础题. 8．A【分析】利用对数性质比较111,,a b c的大小关系，即得,,c b a 的关系. 【详解】由对数运算公式得，221log 61log 3a ==+，441log 121log 3b==+， 661log 181log 3c ==+，易知246log 3log 3log 30>>>，即1111a b c>>>， 故c b a >>. 故选：A. 9．C【分析】根据题意，由奇函数的性质可得()0040f t =+=，解可得t 的值，进而求出()2log 3f 的值，由奇函数的性质分析可得答案.【详解】根据题意，()()4,0,0x m x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为定义在R 上的奇函数，则有()0040f t =+=，解可得：1t =-，则()24log 3log 92log 341418f =-=-=，则()()2221log log 3log 383f f f ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭；故选：C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数以及函数值的计算，在涉及奇函数求参数时，注意结论()00f =的应用，考查计算能力，属于基础题. 10．C【分析】由题意，212x a x >-在(1,1)-上恒成立，令()x g x a =，21()2m x x =-，结合图象，分01a <<和1a >两种情况讨论，列出不等式求解即可得答案．【详解】解：若当(1,1)x ∈-时，均有1()2f x <，即212x a x >-在(1,1)-上恒成立，令()x g x a =，21()2m x x =-，由图象可知：当01a <<时，()1g ()1m ，即11122a -=，所以112a <； 当1a >时，()(1)1g m --，即111122a --=，所以12a <； 综上，112a <或12a <，即实数a 的取值范围是(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C ． 11．A【分析】恒成立求参数取值范围问题，在定义域满足的情况下，可以进行参变分离，构造新函数，通过求新函数的最值，进而得到参数取值范围.【详解】对任意*x ∈N ，()3f x ≥恒成立，即21131x ax x ++≥+恒成立，即知83a x x ⎛⎫≥-++ ⎪⎝⎭．设8()g x x x =+，*x ∈N ，则(2)6g =，17(3)3g =． ①(2)(3)g g >，①min 17()3g x =， ①8833x x ⎛⎫-++≤- ⎪⎝⎭，①83a ≥-，故a 的取值范围是8,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．故选：A.12．D【解析】1a >时，根据*a b 的定义即可得出10()*110xxxxa x f x a a ax --⎧-=-=⎨->⎩，这样即可求出0()1f x <；同样01a <<时，可得出0()1f x <，即得出()f x 的值域为[0，1)．【详解】解：1a >时，10()*110xxxxa x f x a a ax --⎧-=-=⎨->⎩，此时0()1f x <； 01a <<时，10()*110xxxxa x f x a a ax --⎧-=-=⎨-<⎩，此时0()1f x <， ()f x ∴的值域为[0，1)．故选：D ． 13．50【分析】根据给定条件利用基本不等式求解即得.【详解】因m ，R n ∈，22100m n +=，则有22502m n mn +≤=，当且仅当m n =时取“=”，由m n =且22100m n +=解得：m n ==-m n ==于是得当m n ==-m n ==max ()50mn = 所以mn 的最大值是50. 故答案为：50 14．()1,1-【分析】确定函数的奇偶性与单调性后，利用这些性质解不等式．【详解】显然22()2()2()x xf x x x f x --=+-=+=，()f x 是偶函数，0x ≥时，2()2x f x x =+是增函数，所以不等式()()212f x f x -<-等价于(21)(2)f x f x -<-，即212x x -<-， 22(21)(2)x x -<-，2330x ，解得11x -<<．故答案为：(1,1)-． 15．(],3-∞【分析】题干条件，可转化为()()12min max f x g x ≤，借助二次函数的性质和指数型函数的单调性即得解【详解】由题意，[]11,2x ∃∈-，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x ≤ 可转化为：()()12min max f x g x ≤当[]11,2x ∈-，()22f x x x =-为对称轴为1x =的开口向上的二次函数，因此()in 1m (1)1f f x ==-；当[]20,1x ∈，()2xg x a =-单调递增，因此()ax 2m (1)2g g x a ==-；()()12min max 12f x g x a ∴≤⇔-≤-3a ∴≤故答案为：(],3-∞ 16．1(0,)3【分析】根据1a >和01a <<分类讨论，作出函数11x y a +=-的图象与直线3y a =，由它们有两个交点得出a 的范围．【详解】1a >时，作出函数11x y a +=-的图象，如图，此时在1x ≤-时，01y ≤<，而331a >>，因此3y a =与函数11x y a +=-的图象只有一个交点，不合题意；01a <<时，作出函数11x y a +=-的图象，如图，此时在1x ≥-时，01y ≤<，因此3y a=与函数11x y a +=-的图象有两个交点，则031a <<，解得103a <<． 综上所述，1(0,)3a ∈．故答案为：1(0,)3．【点睛】方法点睛：本题考查直线与函数图象交点个数问题，掌握指数函数的性质与解题关键，解题方法是作出函数图象，由图象观察直线与函数图象交点个数，形象直观，易于得出结论． 17．(1)110 (2)-3【解析】(1)解：原式113133234422222333⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2108110=+=. (2)()32log 232lg 2lg 20lg527log 4log 9+⨯-+⨯()()()()332log 22lg 22lg3lg 21lg 21lg 23lg3lg 2=++--+⋅ ()()223lg 21lg 224=+--+ 184=-+ 3=-．18．（1）{|11A B x x ⋂=-≤≤或}45x ≤≤；（2）{}|1a a < 【分析】（1）先求出集合{}15A x x =-≤≤，再求A B ⋂；（2）先求出{}|14R B x x =<<，用集合法分类讨论，列不等式，即可求出实数a 的取值范围.【详解】（1）当3a =时，{}15A x x =-≤≤. 因为{|1B x x =≤或}4x ≥，所以{|11A B x x ⋂=-≤≤或}45x ≤≤；（2）因为{|1B x x =≤或}4x ≥，所以{}|14R B x x =<<. 因为“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件， 所以AB R.当A =∅时，符合题意，此时有22a a +<-，解得：a <0.当A ≠∅时，要使A B R ，只需222421a a a a +≥-⎧⎪+<⎨⎪->⎩，解得：01a ≤<综上：a <1.即实数a 的取值范围{}|1a a <.19．（1）()()()221,00,01,0x x f x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪--<⎪⎩；（2）(],0-∞.【分析】（1）由奇函数的性质可得出()00f =，设()0,x ∈+∞，由奇函数的性质可得出()()f x f x =--可得出()f x 的表达式，综合可得出结果；（2）分析可知函数()f x 为R 上的增函数，由原不等式变形可得出222x x a -⋅<+，利用参变量分离法结合二次函数的基本性质可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，且()()f x f x =--. 设()0,x ∈+∞，则(),0x -∈-∞，所以()()()21f x f x x =--=+，所以()()()221,00,01,0x x f x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪--<⎪⎩；（2）因为()()2220x x f a f -⋅+--<对任意x 恒成立，所以()()222x xf a f -⋅<---，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()222x xf a f -⋅<+，作出函数()f x 的图象如下图所示：由图可知，()f x 在R 上单调递增，所以222x x a -⋅<+，即()2222x x a <+⨯恒成立， 令20x m =>，22y m m =+，0m >，则函数22y m m =+在()0,∞+上单调递增，所以0y >， 所以0a ≤，即实数a 的取值范围(],0-∞. 20．(1)400；(2)不能获利，至少需要补贴35000元.【分析】(1)每月每吨的平均处理成本为yx，利用基本不等式求解即得最低成本； (2)写出该单位每月的获利f (x )关于x 的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答.【详解】（1）由题意可知：()21200800003006002y x x x =-+≤≤，每吨二氧化碳的平均处理成本为：800002002002002y x x x =+-≥=， 当且仅当800002x x=，即400x =时，等号成立， ①该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低； （2）该单位每月的获利：()221110020080000(300)3500022f x x x x x ⎛⎫=--+=--- ⎪⎝⎭，因300600x ≤≤，函数()f x 在区间[]300,600上单调递减，从而得当300x =时，函数()f x 取得最大值，即()max ()30035000f x f ==-， 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.21．（1）()()10,9291,2f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭；（2）证明见解析；（3）1⎛ ⎝⎭． 【分析】（1）运用赋值法对①式中的,x y 进行赋值可得()1f ，结合①与①可得1(9),9f f ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）运用函数单调性的定义和条件①①，可证函数单调递减；（3）利用①与19f ⎛⎫⎪⎝⎭，可将原不等式转化为()129f x x f ⎛⎫⎡⎤-< ⎪⎣⎦⎝⎭，利用函数单调性和定义域可将其转化为具体的不等式求解，得结果．【详解】（1）令1x y ==易得()10f =，而()()()933112f f f =+=--=-， 且()()19109f f f ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，得129f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）不妨设1201x x ，故211x x > 由①可得210x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，①()()()22211111·x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫==+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ①()f x 在()0,∞+上为减函数. （3）由条件（1）及（1）的结果得：()129f x x f ⎛⎫⎡⎤-< ⎪⎣⎦⎝⎭，其中020x x >⎧⎨->⎩， 由（2）可得()129x x ->， 解得x的范围是133⎛-+ ⎝⎭.22．(1)12 (2)证明见解析 (3)[)3,+∞【分析】(1)对于定义域是R 的奇函数只要令()00f =，即可求出a 的值.(2)要证明单调性就需要用定义法，即对于定义域内任意的21x x >都有()()21f x f x <，则函数()f x 是单调递减的.(3)解这样的不等式需要应用函数的单调性和奇偶性. (1)①函数是定义域为R 的奇函数，①()0020021f a =-=+，解得12a =．检验：()12221x x f x =-+，()1211221221x x xf x ---=-=-++， ()()0f x f x +-=，故()f x 为奇函数；即所求实数a 的值为12； (2)设1x ∀，2x R ∈且12x x <，则()()1212121212222121x x x x f x f x ⎛⎫-=--- ⎪++⎝⎭()()()()()()21122112122212212221212121x x x x x x x x x x +-+-==++++， ①12x x <，①21220x x ->，()()1221210x x++>，①()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以f （x ）是R 上的减函数， (3)由()()233log 2log 0f x f m x +-≥，可得()()233log 2log f x f m x ≥--．①f （x ）是R 上的奇函数，①()()233log log 2f x f m x ≥-，又f （x ）是R 上的减函数，所以233log log 20x m x -+≤对[]3,9x ∈恒成立，令3log t x =，①[]3,9x ∈，①[]1,2t ∈， ①220t mt -+≤对[]1,2t ∈恒成立， 即222t m t t t+≥=+； 对于函数()2g t t t=+，当t 12t t ≤，并)12,t t ∞∈+， 则()()()212121212121222t t g t g t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫--=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于)12,t t ∞∈+，所以212t t >，即()()210g t g t ->， 即()g t在t ≥同理可以证明在0t <≤()g t是减函数，故在t 时取最小值； 图像如下：()13g =，()23g =，故3m ≥；。
安徽省六安市第一中学2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
安徽省六安市第一中学 20212021 学年高一数学上学期 期末考试试题（含解析）数学试卷第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线的倾斜角为（ ）A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°【答案】A【解析】直线的斜率为 ，因此倾斜角为 30°.故选 A.2. 空间直角坐标系中，已知点A.B.C.【答案】A【解析】点，，则线段 的中点坐标为（ ） D.由中点坐标公式得中得为：，即.故选 A. 3. 一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的俯视图可能为（ ）【答案】D 【解析】由几何体的三视图可知，三棱锥的顶点在底面的射影在底面棱上，可知几何体如图：- 1 - / 13侧视图为：D. 故选：D. 4. 下列四个命题:①三点确定一个平面;②一条直线和一个点确定一个平面;③若四点不共面, 则每三点一定不共线;④三条平行直线确定三个平面.其中正确的有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】A 【解析】关于①，三个不共线的点能够确定一个平面，因此①不正确； 关于②，一条直线和直线外一点能够确定一个平面，因此②不正确； 关于③，若三点共线了，四点一定共面，因此③正确； 关于④，当三条平行线共面时，只能确定一个平面，因此④不正确. 故选 A.5. 已知圆,圆,则两圆的位置关系为( )A. 相离 B. 相外切 【答案】AC. 相交D. 相内切【解析】圆,即，圆心为(0,3)，半径为 1，圆,即，圆心为(4,0)，半径为 3..因此两圆相离，故选 A.6. 设入射光线沿直线 y=2x+1 射向直线是( )A.B.C.【答案】D,则被 反射后,反射光线所在的直线方程 D.【解析】由可得反射点 A(−1,−1),在入射光线 y=2x+1 上任取一点 B(0,1)，则点 B(0,1)关于 y=x 的对称点 C(1,0)在反射光线所在的直线上。
上海市实验学校2020-2021学年高一上学期期末数学试题(解析版)
上海实验学校高一期末数学试卷2021.01一. 填空题1. 集合6{|3P x x =∈-Z 且}x ∈Z ，用列举法表示集合P =________ 【答案】{3,0,1,2,4,5,6,9}- 【解析】 【分析】 由已知可得63Z x ∈-，则636x -≤-≤，解得39x -≤≤且x ∈Z ，结合题意，逐个验证，即可求解. 【详解】由题意，集合6|3P x Z x ⎧=∈⎨-⎩且}a Z ∈，可得63Z x ∈-，则636x -≤-≤， 解得39x -≤≤且x ∈Z ，当3x =-时，6133Z =-∈--，满足题意； 当2x =-时，66235Z =-∉--，不满足题意； 当1x =-时，63132Z =-∉--，不满足题意； 当0x =时，6203Z =-∈-，满足题意； 当1x =时，6313Z =-∈-，满足题意； 当2x =时，6623Z =-∈-，满足题意； 当3x =时，633-，此时分母为零，不满足题意；当4x =时，6643Z =∈-，满足题意； 当5x =时，6353Z =∈-，满足题意； 当6x =时，6263Z =∈-，满足题意； 当7x =时，63732Z =∉-，不满足题意； 当8x =时，66835Z =∉-，不满足题意； 当9x =时，6193Z =∈-，满足题意； 综上可得，集合P ={3,0,1,2,4,5,6,9}-.故答案为：{3,0,1,2,4,5,6,9}-.2. 若关于x 的不等式20x x b -+<的解集是(1,)t -，则b =________ 【答案】2- 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系求解出结果即可．【详解】解：由题设可知：关于x 的一元二次方程20x x b -+=的两根为1-与t ，由韦达定理可得：11t t b -+=⎧⎨-=⎩，解得：2t =，2b =-，故答案为：2-． 3. 若25a b M ==，且122a b+=，则M =________.【答案】【解析】 【分析】将指数式化为对数式，然后利用对数运算，化简求得m 的值.【详解】25a b M ==,2log a M ∴=,5log ,0b M M =>.1log 2M a ∴=,1log 5M b =. 又∵122a b+=,log 22log 52log 2log 522M M M M ∴+=⇒+=,即log 502M =,250M ∴=,0M M >∴=故答案为：4. 设函数()()121x f x a a +=->的反函数为()1y fx -=，若()121f -=，()2f =___________.【答案】6 【解析】 【分析】本题首先可根据题意以及反函数的性质得出()12f =，然后根据()12x f x a+=-求出a 的值，最后代入2x =，即可得出结果.【详解】因为函数()f x 的反函数为()1y fx -=，()121f -=，所以()12f =，即1122a +-=，解得2a =，()122x f x +=-， 则()212226f +=-=，故答案为：6.5. 设函数21273()3x x ax x f x a x -⎧-+-≤=⎨>⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 的取值范围是________ 【答案】[3,)+∞ 【解析】 【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得2232(1)1616a a a a a ⎧-=⎪⨯-⎪⎪>⎨⎪-⎪⎪⎩，解可得a 的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，函数2127,3(),3x x ax x f x a x -⎧-+-=⎨>⎩是定义在R 上的增函数，则有2232(1)1616a a a a a ⎧-=⎪⨯-⎪⎪>⎨⎪-⎪⎪⎩，解可得3a ，即a 的取值范围为[3,)+∞， 故答案为：[3,)+∞．6. 若不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围为_______. 【答案】【解析】【详解】试题分析：时，有80≥，对任意x R ∈恒成立；时，若不等式2680kx kx k -++≥对任意x R ∈恒成立，则需，解得，综上可知，实数k 的取值范围为．考点：含参数不等式恒成立问题，需对二次项系数讨论 7. 若0,0,lg lg lg()a b a b a b >>+=+，则1411b a b +--的最小值为___________. 【答案】8 【解析】 【分析】利用对数运算法则得出,a b 满足的等式，然后利用基本不等式求最值．【详解】∵0,0,lg lg lg()a b a b a b >>+=+，∴lg()lg()ab a b =+，即ab a b =+，∴(1)(1)1a b --=，则1010a b ->⎧⎨->⎩或1010a b -<⎧⎨-<⎩， 若01a <<，01b <<，则110,110a b -<-<-<-<，(1)(1)1a b --<，不合题意， ∴10,10a b ->->．∴()()1444114481111b b b b a b b b +=-+=-++≥=----，当且仅当411b b -=-，即3b =时等号成立，∴所求最小值为8．故答案为：8．【点睛】本题考查对数的运算法则，考查基本不等式求最值．属于中档题．8. 已知函数()f x 的定义域为[9,9]-，其图象关于原点对称，且当(0,9]x ∈时()3213xf x x =+-，则不等式()0f x >的解集为______（用区间表示）.【答案】(2,0)(2,9]-【解析】 【分析】当(0,9]x ∈时，注意到(2)0f =且()f x 单调递增可得()0f x >的解集为(2,9]，再利用奇函数图象的性质可得[9,0)x ∈-时，不等式()0f x >的解集为(2,0)-.详解】易知当(0,9]x ∈时，函数()f x 单调递增，且(2)0f =，故当(0,2)x ∈时，()0f x <， 当(2,9]x ∈时，()0f x >，所以当(0,9]x ∈时，不等式()0f x >的解集为(2,9].因为函数()f x 的图象关于原点对称，所以(0)0f =，且当[9,0)x ∈-时，不等式()0f x >的解集为(2,0)-.故不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,9]-.故答案为：(2,0)(2,9]-.【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，涉及到函数的奇偶性，考查学生的数形结合的思想，是一道中档题.9. 函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，若(1)3f =，则(1)(2)(50)f f f +++=__________．【答案】3 【解析】 【分析】首先由函数的奇偶性和对称性，分析函数的周期性，再求值. 【详解】()(2)f x f x =-，(2)()f x f x ∴+=-，又()f x 为奇函数，(2)()(),(4)(2)()f x f x f x f x f x f x ∴+=-=-+=-+=()f x ∴是周期为4的周期函数，()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0,(4)(0)0f f f ∴=∴==，(2)(0)0,(3)(1)(1)3f f f f f ===-=-=-(1)(2)(3)(4)0f f f f ∴+++=，()()()()()12...50012123f f f f f ∴+++=⨯++=.故答案为：3．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，属于中档题型，本题关键是能够通过对称性与周期性的关系确定函数的周期，进而确定函数值的变化特点．10. 已知函数()232020232020f x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-，且243()1()f a a f a -+=-，则满足条件的所有整数a 的和是______.【答案】10 【解析】 【分析】先分析出()f x 是偶函数且(0)(2)(2)f f f ==-，然后即可求出所有的a 的值【详解】因为()232020232020f x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-所以()232020232020f x x x x x x x -=-++-++⋅⋅⋅+-++--+--+⋅⋅⋅+--()232020232020()f x x x x x x x f x ==++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-=所以()f x 是偶函数若243()1()f a a f a -+=-则2431a a a -+=-或()2431a a a -+=--解得1a =或2或4又因为(0)(2)(2)f f f ==- 所以当3a =时也成立故满足条件的所有整数a 的和是123410+++=故答案为：10【点睛】要善于从一个函数的解析式分析出其性质，比如单调性、奇偶性和一些特有的性质.二. 选择题11. 已知12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两个不同的实根12,x x ，则“11x >且21>x ”是“12+2x x >且121x x ⋅>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念， 直接判断，即可得出结果. 【详解】若11x >且21>x ，则121221x x x x +>⎧⎨>⎩；但是1214,2x x ==时，满足121221x x x x +>⎧⎨>⎩，但不满足121,1x x >>．所以“11x >且21>x ”是“12+2x x >且121x x ⋅>”的充分不必要条件． 故选：A.【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于基础题型.12. 若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）在区间2,2a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值比最小值多2，则a =（ ）A. 2B. 3或13C. 4或12D. 2或12【答案】A 【解析】【分析】分别讨论1a >和01a <<，然后利用对数函数的单调性列方程即可得解. 【详解】由题意22a a <解得12a >或0a <（舍去）， ①当1a >时，函数()log a f x x =在定义域内为增函数， 则由题意得()2log 2log2aa aa -=，所以log 22a a =即22a a =，解得2a =或0a =（舍去）； ②当112a <<时，函数()log a f x x =在定义域内为减函数， 则由题意得()2log log 22a a a a -=，所以1log 22aa =即212a a=，解得a =；综上可得：2a =.故选：A.【点睛】本题考查了分类讨论思想的应用，考查了对数函数单调性的应用，属于基础题. 13. 定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上是增函数，且()20f =，则不等式()0f x x>的解集为（ ）A. ()()2,00,2- B. ()(),22,-∞-+∞C. ()(),20,2-∞-D. ()()2,02,-+∞【答案】D 【解析】【分析】分0x >和0x <两种情况讨论，利用函数的奇偶性和单调性可解得结果. 【详解】当0x >时，()0f x x>可化为()0f x >， 又()f x 为偶函数且(2)0f =，所以不等式()0f x >可化为(||)(2)f x f >， 因为()f x 在[)0,+∞上是增函数，所以||2x >，解得2x >； 当0x <时，()0f x x>可化为()0f x <， 又()f x 为偶函数且(2)0f =，所以不等式()0f x <可化为(||)(2)f x f <， 因为()f x 在[)0,+∞上是增函数，所以||2x <，解得20x -<<；综上所述：不等式()0f x x>的解集为()()2,02,-+∞.故选：D【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性和单调性求解是解题关键.14. 设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b x ==+∈≠Q ，在下列集合中；（1）{|2,}y y x x X =∈；（2）{|}y y x X =∈；（3）1{|,}y y x X x =∈；（4）2{|,}y y x x X =∈；与X 相同的集合有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B 【解析】 【分析】将x a =+分别代入（1）、（2）、（3）中，化简并判断,p q 与,a b 是否一一对应，再举反例判断（4）.【详解】对于（1），由2(a p +=+2,2p a q b ==，一一对应，则{|2,}y y x x X X =∈=对于（2）2ab p =+=+,2a p d q ==，一一对应，则{|}y y x X X =∈= 对于（3）222222a b p a b a b ⎛⎫=+-=+ ⎪--⎝⎭2222,22a p q a b b b a ==---，一一对应，则1{|,}y y x X X x=∈= 对于（4），1X -，但方程21x -=无解，则2{|,}y y x x X =∈与X 不相同 故选：B三. 解答题15. 已知全集U =R ，集合{|22}A x a x a =<<+，2{|540}B x x x =-+<.（1）若1a =，求A B ；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{12A B x x ⋂=<≤或34}x ≤<；（2）12a ≥. 【解析】 【分析】（1）先化简集合，再由集合的补集和交集运算求解即可；（2）由A B B ⋃=得A B ⊆，再讨论A =∅，A ≠∅两种情况，根据包含关系得出不等式组，求解得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）{14},{23}B x x A x x =<<=<<{2A x x ∴=≤∣或3}x{12A B x x ∴⋂=<≤或34}x ≤<（2）,A B B A B ⋃=∴⊆当A =∅时，满足A B ⊆，由22a a +，解得2a当A ≠∅时，要使得A B ⊆，必须212422a a a a ⎧⎪+≤⎨⎪<+⎩，解得122a ≤<综上，12a ≥【点睛】关键点睛：在第二问中，关键是将并集运算转化为包含关系，即A B B ⋃=得A B ⊆，注意不要忽略集合A 为空集的情况.16. 已知函数2()log f x x =，2()28g x x x =-++.（1）求[(0)]f g 的值；（2）设()[()]h x f g x =，求函数()h x 在[0,4)x ∈上的值域. 【答案】（1）3；（2）2(,log 9]-∞. 【解析】 【分析】（1）可求出(0)8g =，从而可得出[(0)]f g 的值；（2）[0x ∈，4)时，可得出()g x 的值域，进而可得出()h x 在[0，4)上的值域． 【详解】解：（1）因为2()log f x x =，2()28g x x x =-++ 所以(0)8g =，()()208log 83f g f ∴===⎡⎤⎣⎦；（2）22()(28)h x log x x =-++，()2228(1)9g x x x x =-++=--+，[)0,4x ∴∈时，()(]2280,9g x x x =-++∈， 22()log 92log 3h x ∴=，()h x ∴在[)0,4x ∈上的值域为(]2,2log 3-∞．17. 如图所示，设矩形ABCD （AB AD >）的周长为20厘米，把ABC 沿AC 向ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，设AB x =厘米，AD y =厘米.（1）证明：DP B P '=；（2）建立变量y 与x 之间的函数关系式()y f x =，并写出函数()y f x =的定义域；（3）求ADP △的最大面积以及此时的x 的值.【答案】（1）证明过程见解析；（2）()10y f x x ==-，定义域为：(5,10)；（3）ADP △的最大面积为2(752)cm -，此时52x =.【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，结合折叠图形的不变性、三角形全等的判定定理和性质定理进行证明即可； （2）直接运用周长公式进行求解即可；（3）根据（1）（2），结合三角形面积公式和基本不等式进行求解即可.【详解】（1）因为ABCD 是矩形，所以有90D B ︒∠=∠=，AD CB =，因为'AB C 是ABC 沿AC 向ADC 折叠所得，所以有'90B B ︒∠=∠=，'CB CB =，因此有'90B D ︒∠=∠=，'CB DA =，在ADP △和'CB P 中，AD CB D B APD CPB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠''⎩'所以ADP ≌'CB P ，因此DP B P '=；（2）因为AB x =，AD y =，矩形ABCD 的周长为20厘米，所以222010x y y x +=⇒=-，因为AB AD >，所以100x x >->，解得510x <<，所以()10y f x x ==-，定义域为：(5,10)；（3）由（1）可知：ADP ≌'CB P ，所以设AP CP z ==，而ABCD 是矩形，所以DC AB =，因此DP DC CP x z =-=-，在直角三角形ADP 中，有22222250(10)()10AP AD DP z x x z z x x =+⇒=-+-⇒=+-，510x << 所以11150()(10)(10)222ADP S AD DP y x z x x x x=⋅=⋅⋅-=⋅---+，化简得：25025075575(5)7575ADP S x x x x =--=-+≤-=-当且仅当2505x x=时取等号，即x =时，ADP △的最大面积为2(75cm -. 18. 已知函数()22x x f x k -=⋅-是定义域为R 上的奇函数.（1）求k 的值；（2）用定义法证明函数的单调性，并求不等式2(2)(4)0f x x f x ++->的解集；（3）若22()222()x x g x mf x -=+-在[1,)+∞上的最小值为2-，求m 的值.【答案】（1）1k =；（2）证明见解析，(,4)(1,)-∞-+∞；（3）2m =．【解析】【分析】 （1）因为()f x 是定义域为R 上的奇函数，根据奇函数性质(0)0f =，结合已知，即可求得答案； （2）先根据定义法判断()f x 的单调性，结合奇函数性质，即可求解不等式的解集；（3）因为22()222()x x g x mf x -=+-，令22x x t -=-，可得2()()22h t g x t mt ==-+，分别讨论32m ≥和32m <，即可求得m 的值. 【详解】（1）()f x 是定义域为R 上的奇函数，根据奇函数性质()()f x f x -=-可得当0x =时，可得(0)0f =()000?220f k -=-=即：10k -=解得：1k =（2）由（1）可得：1k =∴()22x x f x -=-可知()f x 的定义为R在R 上任取12,x x ，且21x x >，即210x x ->111()22x x f x -=-222()22x x f x -=-∴()()221121()()2222x x x x f x f x ---=---()2112112222x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ ()()211221222222x x x x x x -=-+⋅()2112122102x x x x ⋅⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭∴()f x 在R 上单调递增，∴2(2)(4)0f x x f x ++->可化简为：()22(4)f x x f x +>- 224x x x ∴+>-，即2340x x +->，解得1x >或4x <-．∴不等式的解集为(,4)(1,)-∞-+∞． （3）22()222()x x g x mf x -=+-∴()()()222()22222222222x x x x x xx x g x m m ----=+--=---+．令22x x t -=-，则2()()22h t g x t mt ==-+． 1x ≥，32t ∴≥．2223()22()22h t t mt t m m t ⎛⎫∴=-+=--+≥ ⎪⎝⎭ 当32m ≥时，则当t m =时，2min ()22h t m =-+=-，解得2m =； 当32m <时，则当32t =时，min 17()324h t m =-=-，解得253122m =>，(舍去)． 综上所述，2m =．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了根据奇偶性和单调性解不等式和根据函数最值求参数，解题关键是掌握定义法判断函数单调性的步骤和根据函数最值求参数的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.四. 附加题19. 设函数()|2|||f x x x a =-+-，其中a ∈R .（1）当1a =时，解不等式()21f x x ≥-；（2）若关于x 的不等式()1f x x ≥-恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）(,1]-∞；（2）(,1]a ∈-∞.【解析】【分析】（1）根据题意得到2121x x x -+-≥-，分1x ≤，12x <<，2x ≥三种情况讨论，即可得出结果； （2）先由关于x 的不等式()1f x x ≥-恒成立，得到21x x a x -+-≥-恒成立，代入特殊值可知f （2）≥1，从而有a ≤1或a ≥3；令F （x ）＝f （x ）﹣x +1，分类讨论a ≤1或a ≥3时F （x ）的最小值，使得F （x ）min ≥0，可求出a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()21f x x ≥-即为2121x x x -+-≥-，当1x ≤时，2121x x x -+-+≥-，解得1x ≤；当12x <<时，121x ≥-，可得x 解集空集；当2x ≥时，2121x x x -+-≥-，解得x 解集为空集，综上，原不等式的解集为(],1-∞；（2）关于x 的不等式()1f x x ≥-恒成立，即为21x x a x -+-≥-恒成立，因为f （2）≥1成立，即|2﹣a |≥1，解得a ≤1或a ≥3，设函数F （x ）＝f （x ）﹣x +1，则F （x ）≥0恒成立，若a ≥3，则F （x ）＝1,1,233,2x a x a x a x a x a x --≥⎧⎪-+-<<⎨⎪-++≤⎩，由此F （x ）min ＝﹣1与F （x ）≥0恒成立矛盾，若a ≤1，则F （x ）＝1,23,233,x a x x a a x x a x a --≥⎧⎪-+-<<⎨⎪-++≤⎩，由此F （x ）min ＝1﹣a ≥0恒成立，符合F （x ）≥0恒成立的要求，综上，a 的取值范围为（﹣∞，1]．【点睛】方法点睛：（1）含绝对值的不等式的解法，通常需要用到分类讨论的思想，去掉绝对值求解； （2）含绝对值不等式的恒成立有解问题，可以通过做图像数形结合的方法求参，也可以通过含参讨论去绝对值求参.20. 已知a 、b 、c 、d 都是区间[1，2]上的实数，求证：|()()()()|4abcd a b b c c d d a ----. 【答案】证明见解析【解析】【详解】根据题意，|()()()()|4abcd a b b c c d d a ---- 2222()()()()116a b b c c d d a ab bc cd da----⇔⋅⋅⋅. 由于2()1122022a b a a ab b b -⎛⎫⎛⎫⇔-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 因为a ，b ∈[1，2]，所以上式成立同理222()1()1()1,,222b c c d d a bc cd da ---. 将上面的4个不等式相乘就得到所要证明的不等式.其中当(a ，b ，c ，d )=(2，1，2，1)或(，2，1，2)时等号成立.。
福建省福州市福清市高中联合体2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题(含解析)
福清市高中联合体2020—12021学年第一学期高一年期末考试数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}31B x x =-<，则A B =（ ）A. {}3B. {}1,0,1-C.1,0,1,2D. {}1,0,1,2,3-2. 命题“0x ∀≥，sin x x ≤”的否定是（ ） A. 0x ∀≥，sin x x > B. 00x ∃<，00sin x x > C. 00x ∃≥，00sin x x >D. 00x ∃≥，00sin x x ≤3. 函数()f x x =是（ ） A. 奇函数，且在R 上单调递减 B. 奇函数，且在R 上单调递增 C. 偶函数，且在R 上单调递减D. 偶函数，且在R 上单调递增4. 若角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,-，则sin 2α=（ ）A. B. 12-C.12D.25. 函数()38ln f x x x =-+的零点所在区间应是（ ）A. ()1,2B. ()2,3C. ()3,4D. ()4,56. 要得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ） A. 向左平移12π个单位长度B. 向右平移12π个单位长度C. 向左平移24π个单位长度D. 向右平移24π个单位长度7. 已知51log 4a =，1514b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. b a c >>D. c b a >>8. 月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中12个月的月均温y （单位：C ）与月份x （单位：月）的关系可近似地用函数()sin 36y A x a π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦（1,2,3,,12x =）来表示，已知6月份的月均温为29C ，12月份的月均温为17C ，则10月份的月均温为（ ） A. 20CB. 20.5CC. 21CD. 21.5C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9. 下列函数中，最小值是2的有（ ）A. 1y xx=+B. y =C. 223y x x =++D. e e x x y -=+10. 命题“x R ∀∈，210x ax -+≥”为真命题的一个必要不充分条件可以是（ ） A. 22a -≤≤B. 2a ≥-C. 2a ≤D. 22a -<<11. 关于函数()sin cos f x x x =+有下述四个结论，其中正确的是：（ ） A. ()f x 的图象关于原点对称 B. ()f x 在区间,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在[],ππ-有2个零点D. ()f x 的最大值为212. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，若()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对任意的[]12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 是偶函数B. ()f x 在()2018,2020上单调递增C. 4是函数()f x 的周期D. ()f x 在()2018,2020上单调递减第Ⅱ卷注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13. 已知函数()1,12,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩则()()0f f =________．14. 已知22tan 31tan αα=--，且α为锐角，则α=________．15. 如图，Rt ABC 的三个顶点A ，B ，C 恰好分别落在函数()21xy x =>，y x =，12log y x =的图象上，且B ，C 两点关于x 轴对称，则点A 的横坐标为________．16. 已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，函数()cos ,01,,1,x x f x x x π≤<⎧=⎨-≥⎩则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 求下列各式的值： （1）(0312932224-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭；（2）55251log 3log log 25log 215++⨯. 18. 已知全集U =R ，集合{}20A x x a =+>，()(){}140B x x x =+-≤. （1）当2a =时，求()UA B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．19. 在①1k =-，②1k =这两个条件中任选一个，补充在下面问题中． 已知函数()kf x kx x=-，且_______， （1）求()f x 的定义域，并判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 的单调性，并用定义给予证明．20. 已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2sin cos 222αα-= （1）求cos α的值； （2）若()4sin 5αβ-=，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β的值． 21. 某儿童活动中心，为儿童修建一个面积为100平方米的矩形游泳池，为保障儿童生命安全，在其四周都留有宽2米的路面，问所选场地的长和宽各为多少时，才能使占用场地的面积S 最小，并求出该最小值？ 22. 已知函数()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数()f x 在[]0,6上的图象； （2）求()f x 图象的对称轴与单调递增区间； （3）当[]0,x m ∈时，()12f x ≤≤，求实数m 取值范围．福清市高中联合体2020—12021学年第一学期高一年期末考试数学试卷（解析版）（完卷时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}31B x x =-<，则A B =（ ）A. {}3B. {}1,0,1-C.1,0,1,2D. {}1,0,1,2,3-【答案】A 【解析】 【分析】先求得集合B ，再根据交集定义直接得结果.【详解】因为{}()312B x x =-<=+∞，，又{}1,0,1,2,3A =-，所以{}3A B ⋂=， 故选：A.2. 命题“0x ∀≥，sin x x ≤”的否定是（ ） A. 0x ∀≥，sin x x > B. 00x ∃<，00sin x x > C. 00x ∃≥，00sin x x > D. 00x ∃≥，00sin x x ≤【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题的否定变换形式即可得出结果. 【详解】命题“0x ∀≥，sin x x ≤” 的否定是00x ∃≥，00sin x x >.故选：C3. 函数()f x x =是（ ） A. 奇函数，且在R 上单调递减 B. 奇函数，且在R 上单调递增 C. 偶函数，且在R 上单调递减 D. 偶函数，且在R 上单调递增【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性定义判断奇偶性，根据函数的解析式判断单调性. 【详解】函数的定义域为R ，关于原点对称，又()(()f x x x f x -=-+=-+=-，所以()f x是奇函数，又,y x y ==R 上的增函数，所以()f x 是R 上的增函数， 故选：B4. 若角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,-，则sin 2α=（ ）A. B. 12-C.12D.【答案】D 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义，求出sin α和cos α，再由二倍角的正弦公式，即可求出结果.【详解】因为角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(1,-，所以sin 2α==-，1cos 2α==-，因此1sin 22sin cos 22ααα⎛⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故选：D.5. 函数()38ln f x x x =-+的零点所在区间应是（ ）A. ()1,2B. ()2,3C. ()3,4D. ()4,5【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的零点存在定理求解.【详解】由函数()38ln f x x x =-+， 因为()()2ln 220,3ln310f f =-<=+>， 所以函数的零点所在区间应是()2,3 故选：B6. 要得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ） A. 向左平移12π个单位长度B. 向右平移12π个单位长度C. 向左平移24π个单位长度 D. 向右平移24π个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】根据sin 2sin 23244y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用平移变换求解. 【详解】因为sin 2sin 23244y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以要得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需由sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点横坐标向右平移24π个单位长度，故选：D 7. 已知51log 4a =，1514b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. b a c >>D. c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断.【详解】因为55510log log 4log 514a >==->-=-，15110144b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4441log log 5log 415c ==-<-=-，所以b a c >> 故选：C8. 月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中12个月的月均温y （单位：C ）与月份x （单位：月）的关系可近似地用函数()sin 36y A x a π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦（1,2,3,,12x =）来表示，已知6月份的月均温为29C ，12月份的月均温为17C ，则10月份的月均温为（ ） A. 20C B. 20.5CC. 21CD. 21.5C【答案】A 【解析】 【分析】由题意得出关于A 、a 的方程组，可得出函数解析式，在函数解析式中令10x =可得结果.【详解】由题意可得sin 2923sin 172A a A a A a a A ππ⎧+=+=⎪⎪⎨⎪+=-=⎪⎩，解得623A a =⎧⎨=⎩，所以，函数解析式为()6sin 3236y x π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦， 在函数解析式中，令10x =，可得716sin236232062y π⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭. 因此，10月份的月均温为20C . 故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9. 下列函数中，最小值是2的有（ ）A. 1y xx=+B. y =C. 223y x x =++D. e e x x y -=+【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式逐一判断即可.【详解】对于A ，1y x x =+，当0x >时，12y x x =+≥=，当且仅当1x =时取等号；当0x <时，12y x x ⎛⎫=--+≤-=- ⎪-⎝⎭， 当且仅当1x =-时取等号，故A 不正确；对于B ，2y=≥=，当且仅当1x =时取等号. 对于C ，()2223122y x x x =++=++≥，当1x =-时，取最小值；对于D ，e e 2x x y -=+≥=，当且仅当0x =时取等号； 故选：BCD【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方10. 命题“x R ∀∈，210x ax -+≥”为真命题的一个必要不充分条件可以是（ ） A. 22a -≤≤ B. 2a ≥- C. 2a ≤ D. 22a -<<【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，命题为真可得()240a ∆=--≤，求出a 的取值范围，再根据必要不充分条件即可求解. 【详解】由命题“x R ∀∈，210x ax -+≥”为真命题，可得()240a ∆=--≤，解得22a -≤≤， 对于A ，22a -≤≤是命题为真的充要条件； 对于B ，由2a ≥-不能推出22a -≤≤，反之成立， 所以2a ≥-是命题为真的一个必要不充分条件； 对于C ，2a ≤不能推出22a -≤≤，反之成立， 所以2a ≤也是命题为真的一个必要不充分条件； 对于D ，22a -<<能推出22a -≤≤，反之不成立， 22a -<<是命题为真的一个充分不必要条件.故选：BC11. 关于函数()sin cos f x x x =+有下述四个结论，其中正确的是：（ ） A. ()f x 的图象关于原点对称 B. ()f x 在区间,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减C. ()f x在[],ππ-有2个零点 D. ()f x 的最大值为2【答案】BC 【解析】 【分析】分sin 0x ≥，sin 0x <，将函数转化(),224sin cos ,2224x k x k f x x x x k x k πππππππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭=+=⎛⎫++<<+ ⎪⎝⎭，再逐项求解判断.【详解】当sin 0x ≥，即22k x k πππ≤≤+时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当sin 0x <，即222ππππ+<<+k x k 时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，所以(),224sin cos ,2224x k x k f x x x x k x k πππππππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭=+=⎛⎫++<<+ ⎪⎝⎭，A.因为函数定义域为R ，关于原点对称，又()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，故错误；B.当,4x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时， 53,,42422x πππππ⎛⎫⎛⎫+∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为sin y x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在区间,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，故正确； C. 令()04f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则4x k ππ+=，因为[]0,x π∈，解得34x π=，又因为()f x 是偶函数，所以函数()f x 在[],ππ-有2个零点，故正确； D. ()f x，故错误； 故选：BC【点睛】关键点点睛：将函数变形为(),224,2224x k x k f x x k x k πππππππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++<<+ ⎪⎝⎭是本题求解的关键.12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，若()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对任意的[]12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 在()2018,2020上单调递增 C. 4是函数()f x 的周期 D. ()f x 在()2018,2020上单调递减【答案】ACD 【解析】 【分析】A. 由()1y f x =-的图象与()y f x =的图象关系判断；C.由()f x 满足()()4f x f x +=判断；BD.由对任意的[]12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，得到()f x 在[]0,2上递增，再结合函数的周期性判断.【详解】因为()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，所以()y f x =的图象关于直线0x =对称，所以()f x 是偶函数，故A 正确；()f x 满足()()4f x f x +=，所以4是函数()f x 的周期，故C 正确；因为对任意的[]12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在[]0,2上递增，又()()()()20182,20200f f f f == ，所以()f x 在()2018,2020上单调递减，故D 正确B 错误； 故选：ACD第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13. 已知函数()1,12,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩则()()0f f =________．【答案】2 【解析】 【分析】根据分段函数每段的定义域求解.【详解】因为函数()1,12,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩所以()01f =， 所以()()()012ff f ==，故答案为：214. 已知22tan 1tan αα=-α为锐角，则α=________． 【答案】3π 【解析】 【分析】根据二倍角的正切公式，求出tan2α，再由α为锐角，即可求出α.【详解】因为22tan tan 21tan ααα==-α为锐角，所以02απ<<， 因此223πα=， 所以3πα=.故答案为：3π.15. 如图，Rt ABC 的三个顶点A ，B ，C 恰好分别落在函数()21xy x =>，y x =，12log y x =的图象上，且B ，C 两点关于x 轴对称，则点A 的横坐标为________．【答案】2 【解析】 【分析】设出点(),2tA t ，根据题意可知//AB x 轴，从而可得出点B ，进而可得点C ，代入对数函数的解析式即可求解.【详解】设出点(),2tA t ，ABC 是直角三角形，且B ，C 两点关于x 轴对称，∴//AB x 轴，A 和B 纵坐标相同，2t x ∴=4t x ∴=，()4,2t t B ∴，则()4,2t t C -，C 在12log y x =的图象上，则12log 42t t=-，整理可得22t t -=-，()1t >，解得2t =. 故答案为：216. 已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，函数()cos ,01,,1,x x f x x x π≤<⎧=⎨-≥⎩则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是________． 【答案】113-<<x【解析】 【分析】根据cos y x =和y x =-的单调性，又 cos 1π=-，得到()f x 在 [0,)+∞上递减，再根据()f x 是偶函数，将不等式()()12f x f x +<转化为()()12fx f x +<求解.【详解】当0x ≥时，函数()cos ,01,,1,x x f x x x π≤<⎧=⎨-≥⎩当01x ≤<时， 0x ππ≤<，因为 cos y x =在 []0,π上递减，所以 ()f x 在 [0,1)上递减，当1≥x 时，y x =-递减，又 cos 1π=-，所以()f x 在 [0,)+∞上递减， 又因为()f x 是定义在R 上的偶函数， 则不等式()()12f x f x +<可化为：()()12f x f x +<，所以12x x +>， 解得113-<<x ， 故答案为：113-<<x四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 求下列各式的值： （1）(03129324-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭；（2）55251log 3log log 25log 215++⨯. 【答案】（1）3；（2）1. 【解析】 【分析】（1）根据指数的运算性质即可求解. （2）利用对数的运算性质即可求解. 【详解】（1）原式=33=+=（2）原式51lg 25lg 2log (3)15lg 2lg5=⨯+⨯ 152lg5lg 2log 5lg 2lg5-=+⨯ 12=-+ 1=.18. 已知全集U =R ，集合{}20A x x a =+>，()(){}140B x x x =+-≤. （1）当2a =时，求()UA B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}|4x x ；（2）()2,+∞. 【解析】 【分析】（1）由2a =得到{}|1A x x =>-，再利用集合的补集和并集运算求解. （2）化简|2a A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，{}|14B x x=-，再由B A ⊆求解.【详解】（1）当2a =时，集合{}|1A x x =>-，{}|1UxA x -=,因为()(){}|140B x x x =+-，所以{}|14B x x=-， 所以{}()|4U A B x x=.（2）因为{}|20A x x a =+>， 所以|2a A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭， 由（1）知，{}|14B x x=-，又因为B A ⊆，所以12a-<-， 解得2a >，所以实数a 的取值范围()2,+∞.19. 在①1k =-，②1k =这两个条件中任选一个，补充在下面问题中． 已知函数()kf x kx x=-，且_______，（1）求()f x 的定义域，并判断()f x 的奇偶性； （2）判断()f x 的单调性，并用定义给予证明． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】选择①1k =-，可得1()f x x x =-，选择②1k =，可得1()f x x x=-. （1）使函数()f x 有意义，只需0x ≠；再求出()f x -与()f x 的关系即可求解. （2）根据证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号即可证明. 【详解】选择①1k =-，因为()kf x kx x =-，所以1()f x x x=-. （1）要使函数()f x 有意义，只需0x ≠， 所以函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.因为11()()()f x x x f x x x-=--=--=--， 所以()f x 为奇函数．⑵ 函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞均为增函数． 证明如下： 12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <， 则12121211()()()f x f x x x x x -=--- 121212()x x x x x x -=-+12121()1)x x x x =-+（ ()121212()1x x x x x x -+=，因为120x x <<，所以120x x -<，120x x >，1210x x +>， 所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <， 故函数()f x 在区间(0,)+∞为增函数； 同理可证，函数()f x 在区间(,0)-∞为增函数；所以函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞均为增函数． 选择②1k =，因为()kf x kx x =-，所以1()f x x x=-． （1）要使函数()f x 有意义，只需0x ≠， 所以函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.因为11()()()()f x x x f x x x-=--=--=--， 所以()f x 奇函数．⑵ 函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞均为减函数． 证明如下：12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <， 则12121211()()()f x f x x x x x -=--- 212112()x x x x x x -=+- 21121()1x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()211212()1x x x x x x -+=，因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >，1210x x +>， 所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >， 故函数()f x 在区间(0,)+∞为减函数； 同理可证，函数()f x 在区间(,0)-∞为减函数； 所以函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞均为减函数．20. 已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin cos 222αα-=. （1）求cos α的值； （2）若()4sin 5αβ-=，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β的值． 【答案】（1）；（2. 【解析】 【分析】（1）将已知条件两边平方，求得sin α的值，进而求得cos α的值.（2）先求得()cos αβ-的值，然后利用cos cos[()]βααβ=--，结合两角差的余弦公式，求得cos β的值.【详解】（1）将sincos222αα-=两边同时平方，得11sin 2α-=，则1sin 2α=，又2παπ∈（，），所以cos 2α==-.（2）由（1）知，1sin ,cos 2αα==， 因为2παπ∈（，），2βπ∈π（，），所以22ππαβ-<-<.又因为4sin()5αβ-=，所以3cos()5αβ-，所以cos cos[)]βααβ=--（ cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-314525=+⨯， 【点睛】关键点点睛：对于三角函数给值求值的问题，关键在于运用已知角的和，差，二倍的运算表示待求的角，再选择相关公式得以求值．21. 某儿童活动中心，为儿童修建一个面积为100平方米的矩形游泳池，为保障儿童生命安全，在其四周都留有宽2米的路面，问所选场地的长和宽各为多少时，才能使占用场地的面积S 最小，并求出该最小值？ 【答案】长为14米，宽为14米；196平方米. 【解析】 【分析】先设泳池的长为x 米，宽为y 米，列出式子，再利用基本不等式即可求解.【详解】解：设游泳池的长为x 米，宽为y 米，则场地长为(4)x +米，宽为(4)y +米，()1000,0xy x y =>>，(4)(4)S x y =++ 4()16xy x y =+++ 100164()x y =+++ 1164()x y =++1168xy ≥+11680=+196=，当且仅当“10x y ==”时取等号．∴当10x y ==时，S 取得最小值为196平方米，此时场地长为14米，宽为14米.22. 已知函数()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数()f x 在[]0,6上的图象； （2）求()f x 图象的对称轴与单调递增区间；（3）当[]0,x m ∈时，()12f x ≤≤，求实数m 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）对称轴方程为()31x k k Z =+∈，递增区间为[]()62,61k k k -+∈Z ；（3）[1,2]．【解析】 【分析】（1）由[]0,6x ∈，计算出36x ππ+的取值范围，通过列表、描点、连线，可作出函数()f x 在[]0,6上的图象； （2）解方程()362x k k Z ππππ+=+∈可得出函数()f x 的对称轴方程，解不等式()222362k x k k Z ππππππ-≤+≤+∈可得函数()f x 的单调递增区间；（3）利用（1）中的图象结合()12f x ≤≤可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）因为()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当[]0,6x ∈时，13,3666x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 列表如下：x0 1 524112636xππ+6π2ππ32π2π136πy 1 2 0 2-0 1作图如下：（2）因为()2sin36f x xππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，令()362x k k Zππππ+=+∈，解得()31x k k Z=+∈，令()222362k x k k Zππππππ-≤+≤+∈，解得()6261k x k k Z-≤≤+∈，所以()f x的对称轴方程为()31x k k Z=+∈，递增区间为[]()62,61k k k-+∈Z；（3）[]0,x m∈，,36636mxπππππ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，又()12f x≤≤，由（1）的图象可知，12m≤≤，m∴的取值范围是[]1,2．【点睛】方法点睛：函数()()sin0y A x Aωϕω=+>>0,的图象的两种作法是五点作图法和图象变换法：（1）五点法：用“五点法”作()()sin0y A x Aωϕω=+>>0,的简图，主要是通过变量代换，设z xωϕ=+，由z取0、2π、π、32π、2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；（2）三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．。
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2020-2021高一数学上期末第一次模拟试题含答案(3)一、选择题1．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 A ．-2B ．2C ．-98D ．982．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，若方程()60f x a +=，有两个相等的根，则实数a =（ ）A ．－15B ．1C ．1或－15D ．1-或－153．若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)4．函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为（ ） A ．(),1-∞ B ．()2,+∞ C ．(),0-∞D ．()1,+∞5．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦6．下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ） A ．2y x = B ．211y x =+ C ．2x y =-D ．()lg 1(0)y x x =+>7．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(3)0f x f x ++-=，且(1)0f ≠，若函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，则(2019)f =（ ）A ．1B ．-1C ．-3D ．38．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ） A ．(1)(2)(0)f f f -<< B ．(1)(0)(2)f f f -<< C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<9．定义在[]7,7-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26xf x x =+-，则不等式()0f x >的解集为A ．(]2,7B ．()(]2,02,7-UC ．()()2,02,-+∞UD ．[)(]7,22,7--U10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。
若实数a 满足()(12a f f ->，则a 的取值范围是 （ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UC ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭11．若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>12．已知函数()()f x g x x =+，对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-，且(1)1g -=，则(1)g =（ ）A ．1-B ．3-C ．3D ．1二、填空题13．已知log log log 22a a a x yx y +-=，则x y 的值为_________________． 14．已知函数12()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的11[,2]4x ∈，总存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．15．已知()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，其中a 是方程lg 4x x +=的解，b 是方程104x x +=的解，如果关于x 的方程()f x x =的所有解分别为1x ，2x ，…，n x ，记121==+++∑nin i xx x x L ，则1ni i x ==∑__________．16．己知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a =______.17．设定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若()()1f m f m -<，则实数m 的取值范围是________．18．对于复数a bc d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时，b c d ++等于___________19．已知11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若幂函数()af x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a的取值集合为______.20．已知正实数a 满足8(9)aaa a =，则log (3)a a 的值为_____________.三、解答题21．已知函数()21log 1x f x x +=-. （1）判断()f x 的奇偶性并证明； （2）若对于[]2,4x ∈，恒有()2log (1)(7)mf x x x >-⋅-成立，求实数m 的取值范围.22．已知函数()()2lg 1x f x x =++.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()()1210f m f m -++≤，求实数m 的取值范围.23．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--(0a >，1a ≠)，且()31f =. (1)求a 的值，并判定()f x 在定义域内的单调性，请说明理由； (2)对于[]2,6x ∈，()()()log 17a mf x x x >--恒成立，求实数m 的取值范围.24．已知函数2()(,)1ax bf x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,且(1)1f =. (1)用定义证明()f x 在(1,)+∞的单调性;(2)解不等式()()2341xxf f +≤+.25．如图，OAB ∆是等腰直角三角形，ABO 90∠=o ，且直角边长为22，记OAB ∆位于直线()0x t t =>左侧的图形面积为()f t ，试求函数()f t 的解析式.26．已知函数()()()9log 91xkx R x k f =++∈是偶函数.（1）求k 的值； （2）若不等式()102x a f x --≥对(],0x ∈-∞恒成立，求实数a 的取值范围.（注：如果求解过程中涉及复合函数单调性，可直接用结论，不需证明）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2. 故选A2．A解析：A 【解析】 【分析】设()2f x ax bx c =++，可知1、3为方程()20f x x +=的两根，且0a <，利用韦达定理可将b 、c 用a 表示，再由方程()60f x a +=有两个相等的根，由0∆=求出实数a 的值. 【详解】由于不等式()2f x x >-的解集为()1,3，即关于x 的二次不等式()220ax b x c +++>的解集为()1,3，则0a <.由题意可知，1、3为关于x 的二次方程()220ax b x c +++=的两根，由韦达定理得2134b a +-=+=，133ca=⨯=，42b a ∴=--，3c a =， ()()2423f x ax a x a ∴=-++，由题意知，关于x 的二次方程()60f x a +=有两相等的根， 即关于x 的二次方程()24290ax a x a -++=有两相等的根，则()()()224236102220a a a a ∆=+-=+-=，0a <Q ，解得15a =-，故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式、二次方程相关知识，考查二次不等式解集与方程之间的关系，解题的关键就是将问题中涉及的知识点进行等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数， 所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.4．C解析：C 【解析】 【分析】求出函数()()212log 2f x x x =-的定义域，然后利用复合函数法可求出函数()y f x =的单调递增区间. 【详解】解不等式220x x ->，解得0x <或2x >，函数()y f x =的定义域为()(),02,-∞+∞U . 内层函数22u x x =-在区间(),0-∞上为减函数，在区间()2,+∞上为增函数， 外层函数12log y u =在()0,∞+上为减函数，由复合函数同增异减法可知，函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为(),0-∞. 故选：C. 【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.5．C解析：C 【解析】分析：由题意分别确定函数f (x )的图象性质和函数h (x )图象的性质，然后数形结合得到关于k 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线()()2log 1f x x =+右移一个单位，得()21log y f x x =-=， 所以g (x )=2x ，h (x -1)=h (-x -1)=h (x +1)，则函数h (x )的周期为2. 当x ∈[0,1]时，()21xh x =-，y =kf (x )-h (x )有五个零点，等价于函数y =kf (x )与函数y =h (x )的图象有五个公共点. 绘制函数图像如图所示，由图像知kf （3）<1且kf （5）>1，即：22log 41log 61k k <⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log22k <<. 即k 的取值范围是612,2log ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D 【解析】 【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】对于A ：2y x =的值域为[)0,+∞；对于B ：20x ≥Q ，211x ∴+≥，21011x ∴<≤+， 211y x ∴=+的值域为(]0,1； 对于C ：2xy =-的值域为(),0-∞；对于D ：0x >Q ，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；故选：D ． 【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．7．C解析：C 【解析】 【分析】由(1)(3)0f x f x ++-=结合()f x 为奇函数可得()f x 为周期为4的周期函数，则(2019)(1)f f =-，要使函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，结合图像可得(1)3f =，即可得到答案．【详解】Q ()f x 为定义在R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，又Q (1)(3)0(13)(33)0f x f x f x f x ++-=⇔+++--=，(4)()0(4)()()f x f x f x f x f x ++-=⇔+=--=∴， ∴()f x 在R 上为周期函数，周期为4， ∴(2019)(50541)(1)(1)f f f f =⨯-=-=-Q 函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，令6()m x x = ，则5()6m x x '=，所以(,0)x ∈-∞为函数6()m x x =减区间，(0,)x ∈+∞为函数6()m x x =增区间，令()(1)cos 43x f x ϕ=⋅-，则()x ϕ为余弦函数，由此可得函数()m x 与函数()x ϕ的大致图像如下：由图分析要使函数()m x 与函数()x ϕ只有唯一交点，则(0)(0)m ϕ=，解得(1)3f =∴(2019)(1)3f f =-=-，故答案选C ． 【点睛】本题主要考查奇函数、周期函数的性质以及函数的零点问题，解题的关键是周期函数的判定以及函数唯一零点的条件，属于中档题．解析：C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-Q 在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数Q 函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数 ()()11f f -=Q ,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．9．B解析：B 【解析】 【分析】当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(]2,7，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃．【详解】当07x <≤时，()26xf x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤< 时，()f x 在[7,0)-上单调递增，且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃ 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．解析：D 【解析】()(12a f f ->11112(2)(222a a a f f ---⇒->⇒->⇒< 111131122222a a a ⇒-<⇒-<-<⇒<<,选D. 11．A解析：A 【解析】因为00.31,1e <，所以0.3log 0c e =<，由于0.30.3031,130log 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A ．12．B解析：B 【解析】由题意，f （﹣x ）+f （x ）=0可知f （x ）是奇函数， ∵()()f x g x x =+，g （﹣1）=1， 即f （﹣1）=1+1=2 那么f （1）=﹣2． 故得f （1）=g （1）+1=﹣2， ∴g （1）=﹣3， 故选：B二、填空题13．【解析】【分析】首先根据对数的运算性质化简可知：即解方程即可【详解】因为且所以即整理得：所以或因为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算性质同时考查了学生的计算能力属于中档题解析：3+【解析】 【分析】首先根据对数的运算性质化简可知：2()2x y xy -=，即2()6()10x x y y -+=，解方程即可.【详解】 因为log log log 22a a ax yx y +-=，且x y >， 所以2log log ()2aa x y xy -=，即2()2x y xy -=.整理得：2260x y xy +-=，2()6()10x x y y-+=.26432∆=-=，所以3x y =-3x y =+因为0x y >>，所以1xy >.所以3x y=+故答案为：3+【点睛】本题主要考查对数的运算性质，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.14．【解析】分析：对于多元变量任意存在的问题可转化为求值域问题首先求函数的值域然后利用函数的值域是函数值域的子集列出不等式求得结果详解：由条件可知函数的值域是函数值域的子集当时当时所以解得故填：点睛：本 解析：[0,1]【解析】分析：对于多元变量任意存在的问题，可转化为求值域问题，首先求函数()(),f x g x 的值域，然后利用函数()f x 的值域是函数()g x 值域的子集，列出不等式，求得结果. 详解：由条件可知函数()f x 的值域是函数()g x 值域的子集，当11,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()[]1,2f x a a ∈-++，当[]21,2x ∈-时，()[]1,3g x ∈- ，所以1123a a -+≥-⎧⎨+≤⎩ ，解得01a ≤≤，故填：[]0,1. 点睛：本题考查函数中多元变量任意存在的问题，一般来说都转化为子集问题，若是任意1x D ∈，存在2x E ∈，满足()()12f x g x >，即转化为()()min min f x g x >，若是任意1x D ∈，任意2x E ∈，满足()()12f x g x >，即转化为()()min max f x g x >，本题意在考查转化与化归的能力.15．【解析】【分析】根据互为反函数的两个图像与性质可求得的等量关系代入解析式可得分段函数分别解方程求得方程的解即可得解【详解】是方程的解是方程的解则分别为函数与函数和图像交点的横坐标因为和互为反函数所以 解析：1-【解析】 【分析】根据互为反函数的两个图像与性质,可求得a ,b 的等量关系,代入解析式可得分段函数()f x .分别解方程()f x x =,求得方程的解,即可得解. 【详解】a 是方程lg 4x x +=的解,b 是方程104x x +=的解,则a ,b 分别为函数4y x =-+与函数lg y x =和10x y =图像交点的横坐标因为lg y x =和10x y =互为反函数,所以函数lg y x =和10x y =图像关于y x =对称 所以函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像的两个交点也关于y x =对称 所以函数4y x =-+与y x =的交点满足4y x y x =-+⎧⎨=⎩,解得22x y =⎧⎨=⎩ 根据中点坐标公式可得4a b += 所以函数()242,02,0x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩当0x ≤时,()242f x x x =++,关于x 的方程()f x x =,即242x x x ++= 解得2,1x x =-=-当0x >时,()2f x =,关于x 的方程()f x x =,即2x =所以()()12121ni i x ==-+-+=-∑故答案为:1-【点睛】本题考查了函数与方程的关系,互为反函数的两个函数的图像与性质,分段函数求自变量,属于中档题.16．或【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系分类讨论求出最大值且等于2解关于的方程即可求解【详解】函数对称轴方程为为；当时；当即（舍去）或（舍去）；当时综上或故答案为:或【点睛】本题考查二次函数的图像与 解析：1-或2.【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系，分类讨论求出最大值且等于2，解关于a 的方程，即可求解.【详解】函数()22221()1f x x ax a x a a a =-++-=--+-+， 对称轴方程为为x a =；当0a ≤时，max ()(0)12,1f x f a a ==-==-；当2max 01,()()12a f x f a a a <<==-+=，即210,a a a --==（舍去），或a = 当1a ≥时，max ()(1)2f x f a ===，综上1a =-或2a =.故答案为:1-或2.【点睛】本题考查二次函数的图像与最值，考查分类讨论思想，属于中档题.17．【解析】【分析】由题意知函数在上是减函数在上是增函数其规律是自变量的绝对值越小其函数值越大由此可直接将转化成一般不等式再结合其定义域可以解出的取值范围【详解】解：函数是偶函数定义在上的偶函数在区间上 解析：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由题意知函数在[]0,2上是减函数，在[]2,0-上是增函数，其规律是自变量的绝对值越小，其函数值越大，由此可直接将(1)()f m f m -<转化成一般不等式，再结合其定义域可以解出m 的取值范围【详解】解：Q 函数是偶函数，(1)(|1|)f m f m ∴-=-，()(||)f m f m =，Q 定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，(1)()f m f m -<，0|||1|2m m ∴<-剟， 得112m -<…． 故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查利用抽象函数的单调性解抽象不等式，解决此类题的关键是将函数的性质进行正确的转化，将抽象不等式转化为一般不等式求解．本题在求解中有一点易疏漏，即忘记根据定义域为[]22-,来限制参数的范围．做题一定要严谨，转化要注意验证是否等价．18．-1【解析】由题意可得：结合集合元素的互异性则：由可得：或当时故当时故综上可得：解析：-1【解析】由题意可得：21,1b a == ，结合集合元素的互异性，则：1b =- ，由21c b ==- 可得：c i = 或c i =- ，当c i = 时，bc i S =-∈ ，故d i =- ，当c i =- 时，bc i S =∈ ，故d i = ，综上可得：1b c d ++=- .19．【解析】【分析】由幂函数为奇函数且在上递减得到是奇数且由此能求出的值【详解】因为幂函数为奇函数且在上递减是奇数且故答案为：【点睛】本题主要考查幂函数的性质等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程思想 解析：{}1-【解析】【分析】由幂函数()af x x =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，得到a 是奇数，且0a <，由此能求出a 的值．【详解】 因为11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，幂函数为奇()a f x x =函数，且在(0,)+∞上递减， a ∴是奇数，且0a <，1a ∴=-．故答案为：1-．【点睛】本题主要考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20．【解析】【分析】将已知等式两边同取以为底的对数求出利用换底公式即可求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查指对数之间的关系考查对数的运算以及应用换底公式求值属于中档题 解析：916【解析】【分析】将已知等式8(9)a aa a =，两边同取以e 为底的对数，求出ln a ，利用换底公式，即可求解.【详解】 8(9)a a a a =，8ln ,l )l n 8(ln 9(9ln n )a a a a a a a a +==，160,7ln 16ln 3,ln ln 37a a a >∴=-=-Q ， ln 3ln 39log (3)116ln 16ln 37a a a a ∴==+=-.故答案为:916. 【点睛】 本题考查指对数之间的关系，考查对数的运算以及应用换底公式求值，属于中档题.三、解答题21．（1）奇函数，证明见解析；（2）015m <<【解析】【分析】（1）先求出函数定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即可；（2）由题意，101(1)(7)x m x x x +>>---对[]2,4x ∀∈恒成立，转化为0(1)(7)m m x x >⎧⎨<+-⎩恒成立，求出函数()()()17g x x x =+-的最小值进而得解.【详解】（1）因为101x x +>-，解得1x <-或1x >， 所以函数()f x 为奇函数，证明如下：由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称， 又因为1222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+-+⎛⎫-====- ⎪--+-⎝⎭， 所以函数()f x 为奇函数；（2）若对于[]2,4x ∈，2()log (1)(7)m f x x x >--恒成立， 即221log log 1(1)(7)x m x x x +>---对[]2,4x ∈恒成立， 即101(1)(7)x m x x x +>>---对[]2,4x ∈恒成立， 因为[]2,4x ∈，所以107m x x +>>-恒成立， 即0(1)(7)m m x x >⎧⎨<+-⎩恒成立， 设函数()()()17g x x x =+-，求得()g x 在[]2,4上的最小值是15，所以015m <<.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断及不等式的恒成立问题，考查分离变量法的运用，考查分析问题及解决问题的能力，难度不大.22．（1）奇函数；（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，求出函数的定义域及()f x 与()f x -的关系，可得答案； （2）由（1）知函数()f x 是奇函数，将原不等式化简为()()121f m f m -≤--，判断出()f x 的单调性，可得关于m 的不等式，可得m 的取值范围.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域是R ，因为()(lg f x x -=-+，所以()()((lg lg lg10x x f x f x =+-=-=+， 即()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数.（2）由（1）知函数()f x 是奇函数，所以()()()12121f m f m f m -≤-+=--，设lg y u =，u x =，x ∈R .因为lg y u =是增函数，由定义法可证u x =在R 上是增函数，则函数()f x 是R 上的增函数.所以121m m -≤--，解得2m ≤-，故实数m 的取值范围是(],2-∞-.【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性的综合应用，属于中档题.23．(1)2a =，单调递减，理由见解析；(2) 07m <<【解析】【分析】（1）代入(3)1f =解得a ，可由复合函数单调性得出函数的单调性，也可用定义证明； （2）由对数函数的单调性化简不等式，再由分母为正可直接去分母变为整式不等式，从而转化为求函数的最值．【详解】(1)由()3log 4log 2log 21a a a f =-==，所以2a =.函数()f x 的定义域为()1,+∞，()()()222212log 1log 1log log 111x f x x x x x +⎛⎫=+--==+ ⎪--⎝⎭. 因为211y x =+-在()1,+∞上是单调递减， (注:未用定义法证明不扣分)所以函数()f x 在定义域()1,+∞上为单调递减函数.(2)由(1)可知()()()221log log 117x m f x x x x +=>---，[]2,6x ∈， 所以()()10117x m x x x +>>---. 所以()()()2201767316m x x x x x <<+-=-++=--+在[]2,6x ∈恒成立. 当[]2,6x ∈时，函数()2316y x =--+的最小值min 7y =. 所以07m <<.【点睛】本题考查对数函数的性质，考查不等式恒成立，解题关键是问题的转化．由对数不等式转化为整式不等式，再转化为求函数最值．24．(1)证明见解析;(2){|1}x x ≤.【解析】【分析】（1）根据函数为定义在R 上的奇函数得(0)0f =，结合(1)1f =求得()f x 的解析式，再利用单调性的定义进行证明；（2）因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+，解指数不等式即可得答案.【详解】(1)因为函数2()(,)1ax b f x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,所以(0)0f = 则有0001111b a b +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩解得20a b =⎧⎨=⎩,即22()1x f x x =+ 12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <()()()()()()2212211212222212122121221111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++ ()()()()122122122111x x x x x x --=++因为12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <,所以()()2212110x x ++>,1210x x ->,210x x -> 所以()()120f x f x ->即()()12f x f x > ,所以()f x 在(1,)+∞上单调递减 .(2)因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+不等式可化为22220x x x ⋅--≤,即(()()21220x x +-≤解得22x ≤,即1x ≤所以不等式的解集为{|1}x x ≤【点睛】本题考查奇函数的应用、单调性的定义证明、利用单调性解不等式，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式的解集要写成集合的形式.25．()221,022144,2424,4t tf t t t tt⎧<≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪>⎪⎪⎩【解析】【分析】分02t<≤、24t<≤和4t>三种情况讨论，当02t<≤时，直线x t=左边为直角边长为t的等腰直角三角形；当24t<≤时，由AOB∆的面积减去直角边长为4t-的等腰直角三角形面积得出()f t；当4t>时，直线x t=左边为AOB∆.综合可得出函数()y f t=的解析式.【详解】等腰直角三角形OAB∆中，ABO90∠=o，且直角边长为22，所以斜边4OA=，当02t<≤时，设直线x t=与OA、OB分别交于点C、D，则OC CD t==，()212f t t∴=；当24t<≤时，设直线x t=与OA、AB分别交于点E、F，则4EF EA t==-，()()221112222444222f t t t t∴=⨯⨯--=-+-.当4t>时，()4f t=.综上所述，()221,022144,2424,4t t f t t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪>⎪⎪⎩. 【点睛】本题考查分段函数解析式的求解，解题时要注意对自变量的取值进行分类讨论，注意处理好各段的端点，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.26．（1）12k =-（2）(]9,log 2-∞ 【解析】【分析】(1)由偶函数定义()()f x f x -=,代入解析式求解即可;(2)题设条件可等价转化为()9log 91x a x ≤+-对(],0x ∈-∞恒成立,因此设()()9log 91x g x x =+-,求出其在(],0x ∈-∞上的最小值即可得出结论.【详解】(1)∵函数()()()9log 91x kx R x k f =++∈ 是偶函数. ∴()()f x f x -=,∴()()99log 91log 91x x kx kx -+-=++,∴()()999912log 91log 91log 91x x x x kx x --+-=+-+==+, ∴12k =-. (2)由(1)知,()()91log 912x f x x =+-, 不等式1()02f x x a --≥即为()9log 91x a x ≤+-, 令()()9log 91x g x x =+-,(],0x ∈-∞, 则()()()99991log 91log log 199x xx x x g x -+=+-==+, 又函数()g x 在(],0-∞上单调递减,所以()()9min 0log 2g x g ==,∴a 的取值范围是(]9,log 2-∞.【点睛】本题考查函数奇偶性的定义运用以及不等式恒成立问题,属于中档题.解决不等式恒成立问题时,一般首选参变分离法,将恒成立问题转化为最值问题求解.。