不等式练习题

不等式基本性质练习
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） １．若a >0, b >0,则)11)((b
a b a ++ 的最小值是 （ ）
A ．2
B ．22
C ．24
D ．4
2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的
（ ）
A ．必要条件
B ．充分条件
C ．充要条件
D ．必要或充分条件
3．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中正确的一个是
（ ）
A ．
11
1<+b
a B ．
11
1≥+b
a C ．
21
1<+b a D ．21
1≥+b
a 4．已知a 、
b 均大于1，且log a C ·log b C=4，则下列各式中，一定正确的是
（ ）
A ．a c ≥b
B ．a b ≥c
C ．bc ≥a
D ．a b ≤c
5．设a =2，b=37-，26-=
c ，则a 、b 、c 间的大小关系是
（ ）
A ．a >b>c
B ．b>a >c
C ．b>c>a
D ．a >c>b 6．已知a 、b 、m 为正实数，则不等式
b
a
m b m a >++
（ ）
A ．当a < b 时成立
B ．当a > b 时成立
C ．是否成立与m 无关
D ．一定成立
7．设x 为实数，P=e x
+e -x
，Q=(sin x +cos x )2
，则P 、Q 之间的大小关系是
（ ）
A ．P ≥Q
B ．P ≤Q
C ．P>Q
D ． P<Q 8．已知a > b 且a + b <0，则下列不等式成立的是
（ ）
A ．
1>b
a
B ．
1≥b
a
C ．
1<b
a
D ．
1≤b
a 9．设a 、
b 为正实数，P=a a b b
，Ｑ=a b b a
，则P 、Q 的大小关系是
（ ）
A ．P ≥Q
B ．P ≤Q
C ．P=Q
D ．不能确定
10．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以
速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，若m ≠n ，则甲、乙两
人到达指定地点的情况是
（ ）
A ．甲先到
B ．乙先到
C ．甲乙同时到
D ．不能确定
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．若正数a 、b 满足a b=a +b+3，则a b 的取值范围是 ． 12．已知a >1，a lgb
=100，则lg(a b)的最小值是 ． 13．使不等式a 2
>b 2，
1>b
a
，lg(a －b )>0， 2a >2b-1同时成立的a 、b 、1的大小关系是 ．
14．建造一个容积为8m 3
，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120
元和80元，则水池的最低总造价为 元． 三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．若a 、b 、c 都是正数，且a +b+c=1，求证： (1–a )(1–b)(1–c)≥8a bc ．（12分）
16．设2
1
log log 21,0,1,0+>≠>t t t a a a a 与试比较的大小．（12分）
17．已知a ，b ，c 都是正数，且a ，b ，c 成等比数列，求证：2
222)(c b a c b a +->++（12分）
18．已知x 2
= a 2
+ b 2
，y 2
= c 2
+ d 2
，且所有字母均为正，求证：xy ≥ac + bd ．（12分）
19．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2
，画面的宽与高的比为λ（λ<1），画面的上下各
留8cm 空白，左、右各留5cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？（14分）
20．数列{x n }由下列条件确定：N n x a
x x a x n
n n ∈+=
>=+),(21,011． （Ⅰ）证明：对n ≥2，总有x n ≥a ；（Ⅱ）证明：对n ≥2，总有x n ≥1+n x ． （14分）
参考答案
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．x ≥9 12．22 13．a >b>1 14．1760 三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）
[证明]：因为a 、b 、c 都是正数，且a +b+c=1，
所以(1–a )(1–b)(1–c)=(b+c)( a +c)( a +b)≥2
bc ·2ac ·2ab =8a bc ．
16．（12分）
[解析 ]： t
t t t a
a
a
21log log
2
1log +=-+ t t t
21,0≥+> （当且仅当t=1时时等号成立） 121≥+∴
t t （1） 当t=1时，t t a a
log 2
1
log =+ （2） 当1≠t 时，
121>+t
t ，
若t t t
t a a
a a log 2
121log ,021log ,1>+>+>则
若t t t t a a
a a log 2
121log ,021log ,10<+<+<<则 17．（12分）
[证明]：左－右=2（ab +bc －ac ） ∵a ，b ，c 成等比数列， ac b
=2
又∵a ，b ，c 都是正数，所以ac b =
<0≤c a c a +<+2
∴b c a >+
∴0)(2)(2)(22>-+=-+=-+b c a b b bc ab ac bc ab ∴2222)(c b a c b a +->++
18．（12分）
[证法一]：（分析法）∵a , b , c , d , x , y 都是正数 ∴要证：xy ≥ac + bd
只需证：(xy )2
≥(ac + bd )2
即：(a 2
+ b 2
)(c 2
+ d 2
)≥a 2c 2
+ b 2
d 2
+ 2abcd 展开得：a 2c 2
+ b 2d 2
+ a 2d 2
+ b 2c 2
≥a 2c 2
+ b 2d 2
+ 2abcd 即：a 2d 2
+ b 2c 2≥2abcd 由基本不等式，显然成立 ∴xy ≥ac + bd
[证法二]：（综合法）xy =222222222222d b d a c b c a d c b a +++=
++
≥bd ac bd ac d b abcd c a +=+=++22222)(2 [证法三]：（三角代换法）
∵x 2
= a 2
+ b 2
，∴不妨设a = x sin , b = x cos
y 2 = c 2 + d 2 c = y sin , d = y cos
∴ac + bd = xy sin sin + xy cos cos = xy cos( )≤xy
19．（14分）
[解析]：设画面高为x cm ，宽为λx cm 则λx 2
=4840．
设纸张面积为S ，有 S=（x +16）(λx +10) =λ x 2
+(16λ+10) x +160,
S=5000+44).5(10λ
λ+
当8
.)185
(85,5
取得最小值时即S <==
λλ
λ
此时，高：,884840
cm x ==
λ
宽：,55888
5cm x =⨯=λ
答：画面高为88cm ，宽为55cm 时，能使所用纸张面积最小． 20．（14分） （I ）证明：由,01
>=a x 及),(2
11n
n n x a x x +=+可归纳证明0>n x （没有证明过程不扣分）
从而有).()(211
N a a x a
x x a x x
n
n n n n ∈=⋅≥+=
+ 所以，当a x n ≥≥,2时成立.
（II ）证法一：当)(21,0,21n
n n n
x a
x x a x n +=
>≥≥+因为时 所以,021)(212
1≤-⋅=-+=-+n
n n n n n n x x a x x a x x x
故当.,21成立时+≥≥n n x x n 证法二：当)(2
1,0,21n
n
n x a x x a x n +=>≥≥+因为时
所以1
22)(21222221
=+≤+=+=+n
n n n n n n n n
n x x x a x x x a
x x x 故当成立时1,2+≥≥n n x x n .。