东北师大附中数学高考模拟试题
东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2023届高三二模数学试题含答案
哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学2023年高三第二次联合模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.已知集合{}1,2,3A =，{}20B x x x m =-+=，若{}2AB =，则B =（ ）A.{}2,1B.{}2,4C.{}2,3D.{}2,1-2.已知复数z 满足24i z z +=+，则z =（ ） A.34i +B.34i -C.34i -+D.34i --3.已知向量()1,0a =，1,22b ⎛=-⎝⎭，则a b -=（ ） A.3C.14.有7名运动员（5男2女）参加A 、B 、C 三个集训营集训，其中A 集训营安排5人，B 集训营与C 集训营各安排1人，且两名女运动员不在同一个集训营，则不同的安排方案种数为（ ） A.18B.22C.30D.365.两条直线()0y kx k =>和2y kx =-分别与抛物线24y x =交于异于原点的A 、B 两点，且直线AB 过点()1,0，则k =（）A.12B.1D.26.如图，直角梯形ABCD 中，3AB CD =，30ABC ∠=︒，4BC =，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为（ ）A.1123πB.48πC.128πD.208π7.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且在[]0,1上单调递减，若方程()10f x +=在[)0,1有实数根，则方程()1f x =在区间[)1,11-上所有实数根之和是（ ） A.6B.12C.30D.568.已知三个互异的正数a ，b ，c 满足2ln cc aa=+，()21ab =+，则关于a ，b ，c 下列判断正确的是（ ） A.a b c <<B.a b c >>C.2a c b -<-D.2a c b ->-二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A.()f x 为偶函数B.()f x 的最小正周期是πC.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D.()f x 的最小值为1-10.金枪鱼因为肉质柔嫩鲜美、营养丰富深受现代人喜爱，常被制作成罐头食用.但当这种鱼罐头中的汞含量超过1.0mg/kg 时，食用它就会对人体产生危害.某工厂现有甲、乙两条金枪鱼罐头生产线，现从甲、乙两条生产线中各随机选出10盒罐头并检验其汞含量（单位为mg/kg ），其中甲生产线数据统计如下：0.07，0.24，0.39，0.54，0.61，0.66，0.73，0.82，0.95，0.99，其方差为210.08s =.乙生产线统计数据的均值为20.4x =，方差为220.11s =，下列说法正确的是（ ）A.甲生产线的金枪鱼罐头汞含量数值样本的上四分位数是0.82B.甲生产线的金枪鱼罐头汞含量数值样本的上四分位数是0.775C.由样本估计总体，甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量平均值高于两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量平均值D.由样本估计总体，甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值较两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值更稳定11.已知正方体1111ABCD A B C D -E ，F 是棱1DD ，1CC 的中点，点M 是侧面11CDD C 内运动（包含边界），且AM 与面11CDD C 所成角的正切值为2，下列说法正确的是（ ）A.1MC 2B.存在点M ，使得AM CE ⊥C.存在点M ，使得AM ∥平面BDFD.所有满足条件的动线段AM 形成的曲面面积为612.已知函数()()1,*mn f x x m n N x=+∈，下列结论正确的是（ ） A.对任意m ，*n N ∈，函数()f x 有且只有两个极值点 B.存在m ，*n N ∈，曲线()y f x =有经过原点的切线 C.对于任意10x >，20x >且12x x ≠，均满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭D.当0x >时，()()f x f x -≤恒成立第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.大气压强p =压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa ，21Pa 1N/m =），已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化规律是0khp p e -=，其中0p 是海平面大气压强，10.000126m k -=.当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的13，则高山上该处的海拔为______米.（答案保留整数，参考数据ln3 1.1≈） 14.曲线22x y x y +=+围成的图形的面积是______.15.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，过点F 且斜率为2的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于M 、N 两点，若P 是线段MN 的中点，且PF =，则双曲线的离心率为______. 16.A 、B 、C 、D 、E 五个队进行单循环赛（单循环赛制是指所有参赛队在竞赛中均能相遇一次），胜一场得3分，负一场得0分，平局各得1分.若A 队2胜2负，B 队得8分，C 队得9分，E 队胜了D 队，则D 队得分为______.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）17.（本小题满分10分）记ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()21cos 4bc A a +=.（1）证明：3b c a +=； （2）若2a =，7cos 9A =，角B 的内角平分线与边AC 交于点D ，求BD 的长. 18.（本小题满分12分）调查问卷中常常涉及到个人隐私或本人不愿正面回答的问题，被访人可能拒绝回答，即使回答，也不能期望答案是真实的.某小区要调查业主对物业工作是否满意的真实情况，现利用“随机化选答抽样”方法制作了具体调查方案，其操作流程如下：在一个箱子里放3个红球和2个白球，被调查者在摸到球后记住颜色并立即将球放回，如果抽到的是红球，则回答“你的性别是否为男性？”如果抽到的是白球，则回答“你对物业工作现状是否满意？”两个问题均用“是”或“否”回答.（1）共收取调查问卷100份，其中答案为“是”的问卷为60份，求一个业主对物业工作表示满意的概率，已知该小区共有业主500人，估计该小区业主对物业工作满意的人数；（2）现为了提高对物业工作满意的业主比例，对小区业主进行随机访谈，请表示不满意的业主在访谈中提出两个有待改进的问题.（ⅰ）若物业对每一个待改进的问题均提出一个相应的解决方案，该方案需要由5名业主委员会代表投票决定是否可行.每位代表投赞同票的概率均为13，方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，并最终解决该问题，求某个问题能够被解决的概率0p ；（ⅱ）假设业主所提问题各不相同，每一个问题能够被解决的概率都为0p ，并且都相互独立.物业每解决一个问题，业主满意的比例将提高一个百分点.为了让业主满意的比例提高到80%，试估计至少要访谈多少位业主？ 19.（本小题满分12分）如图，已知斜四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，点1A 在底面ABCD 的射影为O ，且11AD BC CD AA ====，2AB =，112AO =，1AA BC ⊥.（1）求证：平面ABCD ⊥平面11ACC A ；（2）若M 为线段11B D 上一点，且平面MBC 与平面ABCD 夹角的余弦值为7，求直线1A M 与平面MBC所成角的正弦值. 20.（本小题满分12分） 已知数列{}n a ，设()12*nn a a a m n N n+++=∈，若{}n a 满足性质Ω：存在常数c ，使得对于任意两两不等的正整数i 、j 、k ，都有()()()k i j i j m j k m k i m c -+-+-=，则称数列{}n a 为“梦想数列”. （1）若()2*nn b n N =∈，判断数列{}n b 是否为“梦想数列”，并说明理由； （2）若()21*n c n n N =-∈，判断数列{}n c 是否为“梦想数列”，并说明理由； （3）判断“梦想数列”{}n a 是否为等差数列，并说明理由. 21.（本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，x 轴被抛物线22:4x C y b =-截得的线段长与1C 长轴长的比为2:3.（1）求1C 、2C 的方程；（2）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A 、B ，直线MA 、MB 分别与1C 相交与D 、E .（ⅰ）设直线MD 、ME 的斜率分别为1k 、2k ，求12k k 的值； （ⅱ）记MAB △、MDE △的面积分别是1S 、2S ，求12S S 的最小值. 22.（本小题满分12分）已知函数()()ln 10f x x ax a =-->.（1）当1a =时，求过原点且与()f x 相切的直线方程；（2）若()()()0axg x x e f x a =+⋅>有两个不同的零点1x 、()2120x x x <<，不等式212mx x e ⋅>恒成立，求实数m 的取值范围.三省三校第二次模拟答案一、单选题二、多选题三、填空题：13、873014、2π+15 16、18.2ln 2ln c c a a -=-考虑：()()2ln 0f x x x x =->，则()221x f x x x-'=-= ()f x 在()0,2递减；()f x 在()2,+∞递增()()()min 221ln 20f x f ==->（1）当02a <<，2c >时，21a+=设()x xg x =+，是减函数，且()21g =()()2121aaag a g b a =+>=⇒=+>⇒> 2212152a b =+<+=⇒<所以，22c b a a c b >>>⇒->-（2）当02c <<，2a >时，同理可得：22a b c a c b >>>⇒->- 综上可得：2a c b ->-成立. 12.如图：（1）在第一象限+都是凹函数（二阶导数大于零） （2）图二、图三有过原点的切线 （3）极值点的个数是一个或两个（4）当m ，n 同奇数或同偶数时，()()f x f x =-；当m ，n 是一奇，一偶数时，()()f x f x >-； 15.设()11,M x y ，()22,N x y ，()00,P x y2211222222222200MN OP x y b a b k k a x y a b ⎧-=⎪⎪⇒⋅=⎨⎪-=⎪⎩，则OP 的方程为222b y x a =，MN 的方程为：()2y x c =- ()222224242P b y xa c x c OP e a ab y xc ⎧=⎪⇒==+⇒=⎨-⎪=-⎩16.A 队：2胜2负（无平局） C 队：3胜1负（无平局）B 队：2胜2平，则B 队和D 、E 是平局；B 队胜了A 、C这样找到了C 队负的一场，输给B 队 这样B 、C 结束；A 队赢D 、E 最后，E 胜D ，则D 的1分.四、解答题17.（本题满分10分）（1）证明：()222221cos 4142b c a bc A a bc a bc ⎛⎫+-+=⇒+= ⎪⎝⎭()229b c a +=，则3b c a +=……5'（2）由余弦定理得：2222cos a b c b A =+-，则9bc =，又3b c a +=，则3b c ==由角分线可得，95AD =所以，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos BD AD c AD c A =+-⋅，BD =10'18.（本题满分12分）（1）记：事件A =“业主对物业工作表示满意”，则()()2316035521004P A P A ⋅+⋅=⇒= 所以，35003754⨯=（人）……4' 答：该小区业主对物业工作表示满意的人数约为375人.（2）（ⅰ）3245345055512121173333381P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……8' （ⅱ）设至少要访谈n 位业主31738101280%10047.6481417n n ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅⋅≥-⨯⇒≥≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答：至少要访谈48位业主.……12' 19.（本题满分12分）（1）证明：等腰梯形ABCD 中，2AB =，1BC CD AD ===则，60ABC ∠=︒……2'1BC ACBC BC AA ⊥⎧⇒⊥⎨⊥⎩平面11A ACC ，BC ⊂平面ABCD ，则平面ABCD ⊥平面11A ACC ，……4' （2）建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，则)A，()0,1,0B，2O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1122A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，131,0222CD BA ⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭ 1133,022B DBD ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，1112DD AA ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，1110,,22D⎛⎫- ⎪⎝⎭ 设111,0D M D B λ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，131,,222M λ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭ (6)'设平面MBC 的法向量为(),,n x y z =131022220n CM y z n CB y λλ⎧⎛⎫⎧⋅-++=⎪⎪ ⎪⇒⎨⎨⎝⎭⋅⎪⎪⎩=⎩，取1x =，则()1,0,n =-……8' 取平面ABCD 的法向量()0,0,1m =221cos ,417m n m n m nλ⋅==⇒=，则12λ= 即：11,04A M ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，1,0,n ⎛= ⎝⎭……10' 设直线1A M 与平面MBC 所成的角为θ，则1113sin cos ,7A M n A M n A M nθ⋅===⋅所以，直线1A M 与平面MBC……12' 20.（本题满分12分）（1）()()()k i j i j m j k m k i m c -+-+-=()()()k j i j i m i k m k j m c -+-+-=所以，0c =当2nn b =时，12m =，23m =，3143m =()()()142612232313033-+-⋅+-⋅=≠所以，{}n b 不是“梦想数列”……4' （2）21i a i =-，21j a j =-，21k a k =-()()()2220k i j i j j k k i k i j-+-+-=所以，{}n c 不是“梦想数列”……6'（3）①令1i =，2j =，3k = ()()()1231121223310312a a a a a a +++-+-+-= 所以，1322a a a +=，即：1a 、2a 、3a 成等差数列……8' ②令1i =，2j =，()3k n n =≥ ()()()21122102n S S n a n n -+-+-= ()()2122310n S n n a n n a +---= ()()21122210n S n n a n n a ++---+= 所以，11121122220n n a na a na a a nd +++--=⇒=+ 所以，()()114n a a n d n =+-≥，当1,2,3n =时也成立. 综上可得，“梦想数列”{}n a 是等差数列. ……12' 21.（本题满分12分）（1）椭圆方程：()222210x y a b a b+=>>13323c b a a ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨=⎩=，所以，221:19x C y +=，221:14C y x =-……4' （2）设直线l 的方程为y kx =，()11,A x y ，()22,B x y22440114y kxx kx y x =⎧⎪⇒--=⎨=-⎪⎩，则121244x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩……6' 又111114y x k x +==，12121164x x k k ==- 联立122114014y k x x k x x y =-⎧⎪⇒-=⎨=-⎪⎩，则114x k =，同理：224x k = 联立()1221122191180990y k x k x k x x y =-⎧⇒+-=⎨+-=⎩ 13211891k x k =+，同理：24221891k x k =+……8' ()()2211221sin 429191181sin 2MA MB AMBS k k S MD ME DME ∠==++∠……10' 2121481916919811616324k k ⎛⎫=+++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当112k =±时，取等号 所以，12S S 的最小值为169324. ……12' 22.（本题满分12分）（1）()f x 的定义域为()0,+∞ ()111f x a x x'=-=- 设切点坐标()000,ln 1x x x -+，则切线方程为：()()00001ln 11y x x x x x ⎛⎫--+=--⎪⎝⎭把点()0,0带入切线得：20x e =所以，()f x 的切线方程为：221e y x e-=……4' （2）()()ln 1axg x x ex ax =+--有两个不同零点，则()()()ln ln 10ln 1ln 10ax x ax ax xx e x ax x ax e x ax e-+--=⇒+--=+--=……6' 构造函数()1xu x e x =+-，()1xu x e '=+()u x 为(),-∞+∞增函数，且()00u =即：ln 0x ax -=有两个不等实根1122ln ln ax x ax x =⎧⎨=⎩令1122ln ln x x t x x ==，()01t <<，则12ln ln x t x =，12ln ln ln x x t =+ 122ln 2ln ln 1t x x t t ++=-……8' 设()()2ln 011x v x x x x +=<<-，()()22123ln 1x x v x x x x ⎡⎤+-'=-+⎢⎥-⎣⎦ 设()23ln 1x x x xφ=-+-+，()()()212x x x x φ--'= ()x φ在()0,1递增，()10φ=，则()v x 在()0,1递减，且()10v =所以，()v x 的最小值()1v ，……10' ()()()112ln lim 2ln 31x x x x x x x =→+'=+=-所以，()v x 的最小值为3，即：m 的取值范围为(],3-∞. ……12'。
2024年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学四模试卷+答案解析
2024年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学四模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，x，，则()A.2B.3C.4D.52.若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则()A.0B.2C.D.3.某种酸奶每罐净重单位：服从正态分布随机抽取1罐，其净重在179g与之间的概率为()注：若，，，A. B. C. D.4.等差数列的前n项和记为，若，，则()A.51B.102C.119D.2385.过点作圆的切线PA，A为切点，，则的最大值是()A. B. C. D.6.已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，I为的内心，记，，的面积分别为，，，且满足，则双曲线的离心率是()A. B. C.2 D.37.某高中2023年的高考考生人数是2022年高考考生人数的倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2022年和2023年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：下列结论正确的是()A.该校2023年与2022年的本科达线人数比为6：5B.该校2023年与2022年的专科达线人数比为6：7C.2023年该校本科达线人数比2022年该校本科达线人数增加了D.2023年该校不上线的人数有所减少8.如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，Q为平面PMN上的动点，且直线与直线的夹角为，则点Q的轨迹长度为()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知，内角A，B，C分别对应边a，b，c则下列命题中正确的是()A.若，则为钝角三角形B.若，，，则的面积为C.在锐角中，不等式恒成立D.若，，且有两解，则b的取值范围是10.已知函数，则下列说法正确的是()A.的极值点为B.的极值点为1C.直线是曲线的一条切线D.有两个零点11.已知和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列说法中正确的是()A.4为的一个周期B.8为的一个周期C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
东北师范大学附属中学2018-2019年11月高考数学模拟题
东北师范大学附属中学2018-2019年11月高考数学模拟题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．16163π-32163π-1683π-3283π-【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力．2． 圆心在直线2x ＋y ＝0上，且经过点（－1，－1）与（2，2）的圆，与x 轴交于M ，N 两点，则|MN |＝（）A ．4B ．425C ．2D ．2253． 设集合，，则（ ）{}|||2A x R x =∈≤{}|10B x Z x =∈-≥A B = A.B.C. D. {}|12x x <≤{}|21x x -≤≤{}2,1,1,2--{}1,2【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题．4． 函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则()()f x x R Î02[,](1),01()sin ,12x x x f x x x ì-££ï=íp <£ïî（ ）1741()()46f f +=A ． B ． C ． D ．71691611161316【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识，意在考查转化和化归思想和基本运算能力．5． 在下面程序框图中，输入，则输出的的值是（）44N =SA ．B ．C ．D ．251253255260【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类.6． 设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若＝3＋b i ，则a －b 为（ ）2＋a i1＋iA ．3B ．2C ．1D ．07． 函数f （x ）＝sin （ωx ＋φ）（ω＞0，－≤φ≤）的部分图象如图所示，则的值为（）π2π2φωA.B ．1814C. D ．1128． 函数（，）的部分图象如右图所示，则 f （0）的值为()2cos()f x x ωϕ=+0ω>0ϕ-π<<（ ）A. B. C. D. 32-1-【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用.9． 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。
吉林省五校联考(东北师大附中、吉林一中等)2024届高三1月联合模拟考试数学含答案
2024届高三联合模拟考试一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{}22log 2,2x A xy x B y y -==-==∣∣，则A B ⋂=（）A.()0,2 B.[]0,2C.()0,∞+D.(],2∞-2.已知复数iz 1i =-，则z 的虚部为（）A.12-B.1i 2-C.12D.1i23.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x ，则这6个点数的中位数为4的概率为（）A.16 B.13C.12D.234.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD 为矩形，顶棱PQ 和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()126V AB PQ BC h =+⋅（其中h 是刍薨的高，即顶棱PQ 到底面ABCD 的距离），已知28,AB BC PAD == 和QBC 均为等边三角形，若二面角P AD B --和Q BC A --的大小均为120︒，则该刍薨的体积为（）A. B.D.48+5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲､乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）种A.8B.10C.16D.206.已知πcos sin 64αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（）A.34-B.14-C.14D.347.已知点F 为地物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，则2AF BF +的最小值为（）A. B.4C.3+D.68.已的1113sin ,cos ,ln 3332a b c ===，则（）A.c a b <<B.c b a<<C.b c a<< D.b a c<<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a 满足*1121,,N 1n n a na n a n +==∈+，则下列结论成立的有（）A.42a =B.数列{}n na 是等比数列C.数列{}n a 为递增数列D.数列{}6n a -的前n 项和n S 的最小值为6S 10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,M 为空间中动点，N 为CD 中点，则下列结论中正确的是（）A.若M 为线段AN 上的动点，则1D M 与11B C 所成为的范围为ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.若M 为侧面11ADD A 上的动点，且满足MN ∥平面1AD C ，则点M的轨迹的长度为C.若M 为侧面11DCC D 上的动点，且2213MB =，则点M 的轨迹的长度为23π9D.若M 为侧面11ADD A 上的动点，则存在点M满足MB MN +=11.已知()()()()1ln ,e 1xf x x xg x x =+=+（其中e 2.71828= 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（）A.()f x '为函数()f x 的导函数，则方程()()2560f x f x ⎡⎤-'+=⎣⎦'有3个不等的实数解B.()()()0,,x f x g x ∞∃∈+=C.若对任意0x >，不等式()()2ln e x g a x g x x -+≤-恒成立，则实数a 的最大值为-1D.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()21ln 21t x x +的最大值为1e三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为__________.13.已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=- ，向量c 与3a b +共线，则||b c + 的最小值为__________.14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,,F F P 为C 右支上一点，21122π,3PF F PF F ∠=的内切圆圆心为M ，直线PM 交x 轴于点,3N PM MN =，则双曲线的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰､滑雪､冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率为13：在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为34，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为25.（1）若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率：（2）苦某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X ，求X 的分布列及期望，16.（本小题15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1,cos cos 2cos 0a C c A b B =+-=.（1）求B ；（2）若2AC CD =，且BD =，求c .17.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的正方形，且PB =，点,O Q 分别为棱,CD PB 的中点，且DQ ⊥平面PBC .（1）证明：OQ ∥平面PAD ；（2）求二面角P AD Q --的大小.18.（本小题17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两焦点()()121,0,1,0F F -，且椭圆C 过32P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，直线l 交椭圆C 于,M N 两点（,M N 与,A B 均不重合），记直线AM的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ，且1220k k -=，设AMN ，BMN 的面积分别为12,S S ，求12S S -的取值范围19.（本小题17分）已知()2e2e xx f x a x =-（其中e 2.71828= 为自然对数的底数）.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程，（2）当12a =时，判断()f x 是否存在极值，并说明理由；（3）()1R,0x f x a∀∈+≤，求实数a 的取值范围.五校联合考试数学答案一､单选题1-8ACADB BCD二､多选题9.ABD10.BC11.AC三､填空题12.6013.1414.75四､解答题15.解：（1）若高一选修滑雪，设高三冬季学期选修滑冰为随机事件A ，则()3234510P A =⨯=.（2）随机变量X 的可能取值为1，2.()()323113221171,2.534320534320P X P X ==⨯+⨯===⨯+⨯=所以X 的分布列为：X 12P1320720()137272.202020E X =+⨯=16.解：（1）1,cos cos 2cos cos cos 2cos 0a C c A b B a C c A b B =∴+-=+-= .()sin cos sin cos 2sin cos sin 2sin cos 0.A C C AB B AC B B ∴+-=+-=又()1ππ,sin sin 0,cos 23A B C A C B B B ++=∴+=≠∴=∴= .（2）2AC CD =，设CD x =，则2AC x =，在ABC 中2222141cos ,1422c x B c x c c +-==∴+-=.在ABC 与BCD 中，22222142cos ,cos ,63042x c x BCA BCD x c x x ∠∠+--==∴--=.2321321330,022c c c c c ±∴--=∴=>∴=.17.解：（1）取PA 中点G ，连接,GQ GD ∴点Q 为PB 中点，GQ ∴∥1,2AB GQ AB =. 底面是边长为2的正方形，O 为CD 中点，DO ∴∥1,2AB DO AB =.GQ ∴∥,OD GQ OD =∴四边形GQOD 是平行四边形.OQ ∴∥DG .OQ ⊄ 平面,PAD GD ⊂平面,PAD OQ ∴∥平面PAD .（2）DQ ⊥ 平面,PBC BC ⊂平面PBC DQ BC ∴⊥.又 底面是边长为2的正方形，,,DC BC DQ DC D BC ∴⊥⋂=∴⊥ 平面DCQ .OQ ⊂ 平面,DCQ BC OQ ∴⊥.又CQ ⊂ 平面,DCQ BC CQ ∴⊥.2,PB QB BC QC =∴==∴=底面是边长为2的正方形，DB DQ DQ CQ ∴=∴==，O 为CD 中点，OQ DC ∴⊥.又,,BC OQ DC BC C OQ ⊥⋂=∴⊥ 平面ABCD .取AB 中点E ，以,,OE OC OQ 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()()()()()()0,0,0,0,0,1,2,1,0,2,1,0,0,1,0,2,1,2O Q A B D P ----所以()()()4,0,2,2,0,0,2,1,1AP AD AQ =-=-=-，设平面PAD 法向量为(),,m x y z =，则()4200,1,020m AP x z m m AD x ⎧⋅=-+=⎪∴=⎨⋅=-=⎪⎩设平面QAD 法向量为(),,n x y z =，则()200,1,120n AQ x y z n n AD x ⎧⋅=-++=⎪∴=-⎨⋅=-=⎪⎩2cos ,2m n m n m n⋅>==⋅又 二面角P AD Q --范围为()0,π，所以二面角P AD Q --的大小为π4.18.解：（1）由题意可得：2222213314c a b c ab ⎧⎪=⎪-=⎨⎪⎪+=⎩，解得2,31a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（2）依题意，()()2,0,2,0A B -，设()()1122,,,M x y N x y ，直线BM 斜率为BM k .若直线MN 的斜率为0，则点,M N 关于y 轴对称，必有120k k +=，不合题意.所以直线MN 的斜率必不为0，设其方程为()2x ty m m =+≠±，与椭圆C 的方程联立223412,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得()2223463120t y tmy m +++-=，所以()22Δ48340t m=+->，且12221226,34312.34tm y y t m y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为()11,M x y 是椭圆上一点，满足2211143x y +=，所以2121111221111314322444BM x y y y k k x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---，则12324BM k k k =-=，即238BM k k -⋅=.因为()()1221222BM y y k k x x ⋅=--()()()()121222121212222(2)y y y y ty m ty m t y y t m y y m ==+-+-+-++-()()()()()22222222223123432334,4(2)42831262(2)3434m m m t m m t m t m m m t t --++====------+-++所以23m =-，此时22432Δ4834483099t t ⎛⎫⎛⎫=+-=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故直线MN 恒过x 轴上一定点2,03D ⎛⎫-⎪⎝⎭.因此()12222122264,343431232.34334tm t y y t t m y y t t ⎧+=-=⎪++⎪⎨-⎪==-++⎪⎩，所以12S S -=12121212222323y y y y ⎛⎫⎛⎫-------- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.1223y y =-====令122110,,344x S S t ⎛⎤=∈-= ⎥+⎝⎦当211344t =+即0t =时，12S S -取得最大值869.12860,9S S ⎛∴-= ⎝⎦19.解：（1）当0a =时，()()()2,21xxf x xe f x x e =-=+'-.()14.f e =-∴' 曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()41242.y e x e ex e =---=-+（2）当12a =时，()2122x xf x e xe =-，定义域为(),∞∞-+()()()22122,x x x x f x e x e e e x '=-+=--令()e 22xF x x =--，则()2xF x e '=-，当()(),ln2,0x F x ∞∈-'<；当()()ln2,,0x F x ∞∈+'>；所以()F x 在(),ln2∞-递减，在()ln2,∞+上递增，()min ()ln222ln222ln20F x F ==--=-<()()2110,260F F e e-=>=->存在()11,ln2x ∈-使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，()1,x x ∞∈-时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；()12,x x x ∈时，()()()0,0,F x f x f x <'<单调递减；()1,x x ∞∈+时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；所以12a =时，()f x 有一个极大值，一个极小值.（3）()()()222121x x x xf x ae x e e ae x '=-+=--，由()()21111,0,00a x f x f a a a a a+∀∈+≤+=+=≤R ，得0a <，令()e 1xg x a x =--，则()g x 在R 上递减，0x <时，()()()e 0,1,e ,0,e 11x x xa a g x a x a x ∈∈∴=-->--，则()()1110g a a a ∴->---=又()110g ae--=< ，()01,1x a ∃∈--使得()00g x =，即()000e 10x g x a x =--=且当()0,x x ∞∈-时，()0g x >即()0f x '>；当()00,x x ∞∈+时，()0g x <即()0f x '<，()f x ∴在()0,x ∞-递增，在()0,x ∞+递减，()002max 00()2x x f x f x ae x e ∴==-，由()000001e 10,e xx x g x a x a +=--==，由max1()0f x a+≤得()000000e 1e 201x x x x x e x +-+≤+即()()00011101x x x -++≤+，由010x +<得20011,1x x -≤≤<-，001,e x x a +=∴ 设()1(1)e x x h x x +=≤<-，则()0xxh x e-=>'，可知()h x在)⎡⎣上递增，()((()()110h x h h x h ≥==<-=实数a的取值范围是()1⎡⎣.。
吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次摸底考试数学试卷
东北师大附中高三年级（数学）科试卷2024—2025学年上学期第一次摸底考试出题人：高三备课组审题人：高三备课组考试时长：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}213A x x =-≤，{}240B x xx =∈-≤N ，则A B = （）A.0,2B.0,2C.{}0,1,2 D.{}1,22.已知1tan 2α=，则sin cos sin 3cos αααα-=+（）A.23 B.17-C.12D.12-3.已知角α的终边经过点5π5πsin ,cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，则tan α=（）A. B.C.33-D.334.若函数()3ln f x a x x x=+-既有极大值也有极小值，则实数a 的取值范围为（）A.(0, B.((),-∞-⋃+∞C.(,-∞- D.()+∞5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()3e 1e 1x x f x -=-，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 有两个零点B.当0x >时，()e 3e 1x xf x -=-C.()0f x >的解集是(),ln 3-∞-D.m ∀∈R ，0x ∃∈R ，使得()0f x m=6.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()10f =，()()f x f x '>，则不等式()0f x >的解集为（）A.()0,∞+ B.()1,+∞ C.()0,1 D.()()0,11,+∞ 7.已知34m =，44m a -=，22m b -=，则下列说法正确的是（）A.a b <B.a b >C.a b= D.a b=-8.若关于x 不等式()ln ax x b ≤+恒成立，则当1e ea ≤≤时，1e lnb a +-的最小值为（）A.11e+ B.e 1- C.1D.e二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若0b a >>，则下列不等式成立的是（）A.2a ba b +<<< B.11a b<C.222log log log 22a b a b++< D.()22b a b a ->-10.已知π2sin 33α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.πcos 63α⎛⎫-=⎪⎝⎭ B.π1cos 239α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C.5π2cos 63α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ D.若()0,πα∈，cos 6α=11.定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()=2f x f x --，当(]1,0x ∈-时，()1f x x =--，则下列说法正确的是（）A.()10f =B.2027122f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.函数()()31y f x x =--的所有零点之和为5D.()0.11e1ln 1.1f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某扇形的圆心角为120°，弧长为2πcm ，则此扇形的面积为________2cm .13.已知函数2231,0()ln(3),0x x f x x ax x +⎧-<⎪=⎨++≥⎪⎩，()()30f f -=，则实数a 的值为______.14.对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x 满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为“局部奇函数”.若函数()14972xx f x m +=-⋅-在定义域R 上为“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足：11a =，()*12n n a a n +=+∈N，数列{}nb 为单调递增等比数列，22b=，且1b ，2b ，31b -成等差数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设2log n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .16.已知函数()2ee xx f x x =+-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当[]1,0x ∈-时，求函数()f x 的最大值与最小值.17.师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与投入的成本30x（单位：元）满足如下关系：()2343,02,332,2 5.1x x W x x x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪+⎩，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为()f x （单位：元）.（1）求()f x 的函数关系式；（2）当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?18.已知函数()()e ln xf x x a a x =--，a ∈R .（1）当e a =时，求函数()f x 的单调区间与极值；（2）若函数()f x 有2个不同的零点1x ，2x ，满足2121e 2e x xx x >，求a 的取值范围.19.对于数列{}n x ，若0M ∃>，对任意的*n ∈N ，有n x M ≤，则称数列{}n x 是有界的.当正整数n 无限大时，若n x 无限接近于常数a ，则称常数a 是数列{}n x 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记为lim n n x a →+∞=.单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题.（1）证明：对任意的1x ≥-，*n ∈N ，()11nx nx +≥+恒成立；（2）已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式为：11nn a n ⎛+⎫ ⎪⎝⎭=，111n n b n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n ∈N .（i ）判断数列{}n a ，{}n b 的单调性与有界性，并证明；（ii ）事实上，常数e lim lim n n n n a b →+∞→+∞==，以e 为底的对数称为自然对数，记为ln x .证明：对任意的*n ∈N ，()1111ln 11nnk k n k k ==<+<+∑∑恒成立.东北师大附中高三年级（数学）科试卷2024—2025学年上学期第一次摸底考试出题人：高三备课组审题人：高三备课组考试时长：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】3π【13题答案】【答案】3-【14题答案】【答案】1,7⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）232n n n T -=【16题答案】【答案】（1）22y x =+（2）函数()f x 的最大值为2，最小值3ln 24+【17题答案】【答案】（1）()23403030,02332020,251x x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪+⎩（2）当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是180元【18题答案】【答案】（1）()f x 单调递减区间为()0,1；()f x 单调递増区间为()1,+∞；()f x 有极小值0，无极大值.（2）2ln 2a >【19题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）{}n a 是递增数列，是有界的，{}n b 是递减数列，也是有界的，（ii ）证明见解析．。
2024届东北三省三校第一次联考数学试题+答案
哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学2024年高三第一次联合模拟考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，定在．本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2M =，(){}2log 212N x x =∈−≤R ，则M N = （ ） A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．∅2．已知复数z 的共轭复数是z ，若i 1i z ⋅=−，则z =（ ） A ．1i −+B ．1i −−C ．1i −D ．1i +3．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2af x x x=+，若()38f =−，则a =（ ） A ．3−B ．3C ．13D ．13−4．已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点和上顶点分别为A ，B ，过左焦点F 且平行于直线AB 的直线交y 轴于点D ，若2OD DB =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B C ．13D ．235．()521x x y y −−的展开式中32x y 的系数为（ ） A ．55B ．70−C ．30D ．25−6．已知正四棱锥P ABCD −各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为643，则该球表面积为（ ） A ．9πB ．36πC ．4πD ．4π37．已知函数()22e e xx f x ax −=−−，若0x ≥时，恒有()0f x ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2−∞B ．(],4−∞C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞8．设1033e a =，11ln 10b =，ln 2.210c =，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（ ） A ．若374a a +=，则918S =B ．若150S >，160S <，则2289a a > C ．若211a a +=，349a a +=，则7825a a += D ．若810a S =，则90S >，100S <10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，点Q 在抛物线C 的准线上，则以下命题正确的是（ ） A ．PQ PF +的最小值是2 B ．PQ PF ≥C ．当点P 的纵坐标为4时，存在点Q ，使得3QF FP =D ．若PQF △是等边三角形，则点P 的橫坐标是311．在一个只有一条环形道路的小镇上，有2家酒馆A ，一个酒鬼家住在D ，其相对位置关系如图所示．小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间．某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路。
东北三省(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2024届高三第三次联合模拟考试数学试题
=
uuur 2EA
.
(1)求证： D1E / / 平面 DB1C1 ； (2)若 ADD1A1 为菱形， ÐA1AD = 60o ，平面 ADD1A1 ^ 平面 ABCD . ①求平面 DB1C1 和平面 DCC1 夹角的余弦； ②求点 A1 到平面 DB1C1 的距离.
19．如图抛物线 C : y2 = x ，过 M (2,1) 有两条直线 l1, l2, l1 与抛物线交于 A, B,l2 与抛物线交于
故选：A 6．A
【分析】由题意可得 f ( x +1) = 10 - f (1- x) ，可将 f (2x +1) + f (1- x)≥10 转化为
答案第21 页，共22 页
f (2x +1) ³ f ( x +1) ，结合导数可得 f ( x) 在 (-¥, +¥) 上单调递增，即可得 2x +1 ³ x +1.
互独立，且没有平局，经抽签决定，第 1 局由甲开球. (1)求第 3 局甲开球的概率；
(2)设前 4 局中，甲开球的次数为 X ，求 X 的分布列及期望.
18．如图：四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 底面 ABCD 为等腰梯形，
AB
/
/ DC ,
DC
=
1,
AB
=
3,
AD
=
BC
=
2,
uuur BE
（）
试卷第11 页，共33 页
A．[0, +¥ )
B．[1, +¥)
C．[2, +¥)
7．已知 2a
=
log1 a
2
，
æ çè
1 2
2022-2023学年吉林省东北师大附中部分学校高三上学期1月联合模拟考试数学试题(word版)
2022-2023学年吉林省东北师大附中部分学校高三上学期1月联合模拟考试（数学）试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}29A x x =<，{}2450,B x x x x N =--<∈，则A B ⋂=A ．()1,3-B ．（0，5）C ．{0，1，2}D ．{1，2} 2．设复数z 满足i 2z +=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则A ．()2214x y -+=B ．()2214x y ++= C ．()2214x y +-= D ．()2214x y ++= 3．如图，圆心为C 的圆的半径为r ，弦AB 的长度为4，则AB AC ⋅=A ．2rB ．4rC ．4D ．84．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若164a a a =，且3a 与6a 的等差中项为92，则5S 等于 A ．35 B ．334 C ．314 D ．2945．已知()1sincos 62παα-+=，则()5sin 26πα+= A ．12 B ．34 C ．13 D ．34- 6．长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是23，夏季来的概率是13，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为A ．1115B ．1645C ．1745D ．137．已知函数()()f x x ∈R 满足()()2f x f x +-=，若函数3x y x +=与()y f x =图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()20222022,x y ，则()20221i i i x y =+=∑A ．0B ．2022C ．4044D ．1011 8．已知函数()()e 3,x f x ax b a b =++-∈R 在区间[1，2]上总存在零点，则()24a b 2+-的最小值为A ．()2e 12+ B ．413 C ．()22e 15+ D ．48e二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则以下四个结论中，正确的有A ．BD ∥平面11CB DB ．BD 与平面11BBC C 所成角为45° C ．1AC ⊥平面11CB DD ．异面直线AD 与1CB 所成的角为60° 10．已知函数()()()2sin06f x x b πωω=++>的最小正周期T 满足35T ππ<<，且(),13P π-是f （x ）的一个对称中心，则A ．2ω=B ．f （x ）的值域是[]1,3-C ．23x π=是f （x ）的一条对称轴 D ．π是f （x ）的一个零点 11．已知曲线C ：()2210y x mn m n+=≠，则下列结论正确的是A ．若0m n =>，则CB ．若0m <，0n >，且2m n =-，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =C ．若0m >，0n >，且2m n =，则C 是椭圆，若1A ，2A 是曲线C 的左、右顶点，P 是曲线C 上除1A ，2A 以外的任意一点，则1212PA PA k k ⋅=-D ．若0m >，0n <，则C 是双曲线，若P 是曲线C 上的任意点，则P 到两条渐近线的距离之积为mn n m- 12．已知函数()()ln 1f x x x =-+，数列{}n x 按照如下方式取定：11x =，曲线()y f x =在点()()11,n n x f x ++处的切线与经过点()()0,0f 与点()(),n n x f x 的直线平行，则A．21x > B ．0n x >恒成立 C ．112n n x x +> D ．数列{}n x 为单调数列三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．新时期党史学习教育，是党中央立足党的百年历史新起点、统筹中华民族复兴战略全局和世界百年末有之大变局，为动员全党全国满怀信心投身全面建设社会主义现代化国家而做出重大决策．某企业成立的党史学习教育督查组为调研本单位的党史学习情况，到某部门对10名成员进行了问卷測试，成绩如下：90，92，92，93，93，94，95，96，99，100，则这组数据的第75百分位数是______．14．若()()6626012621x x a a x a x a x ++-=+++⋅⋅⋅+，则3a =______． 15．已知正实数x ，y 满足15x y +=，则1232x y x y+++的小值为______． 16．著名的斐波那契数列{}n a 满足12=1a a =，21n n n a a a ++=+，其通项公式为n n n a ⎡⎤=-⎥⎝⎭⎝⎭⎥⎦，则1246100a a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第______项；又知高斯函数[]y x =也称为取整函数，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[1.1]＝1，[]1.12-=-，则14⎡⎤=⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦______．（第一空2分，第二空32.236≈）四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量(),sin m b a C =--，(),sin sin n c b A B =++，满足m n ∥．（1）求A ；（2）若角A 的平分线交边BC 于点D ，AD 长为2，求△ABC 的面积的最小值．18．（12分）在①()()222220n n S n n S n n -+--+=；②222n n n a a n S +-=；③12n n S n S n++=，11a =，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且______，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n a n b =-，若数列{}n c 满足11n n n n b c b b ++=⋅，求证：121n c c c ++⋅⋅⋅+<． 19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D 为线段AB 的中点，4CB =，AB =118AC =，三棱锥1A A DC -的体积为8．（1）证明：1A D ⊥平面11B C D ；（2）求平面1A CD 与平面1A BC 夹角的余弦值．20．（12分）第二十二届世界杯足球赛已于2022年12月18日在卡塔尔落下帷幕，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行．本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西、C 罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽入温柔的怀抱，即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起．世界杯，是球员们圆梦的舞台，也是球迷们情怀的归宿．（1）为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如下等高堆积条形图，完成2×2列联表：依据小概率值0.001a =的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？（2）在某次足球训练课上，球首先由A 队员控制，此后足球仅在A ，B ，C 三名队员之间传递，假设每名队员控球时传给其他队员的概率如表所示：若传球3次，记B 队员控球次数为X ，求X 的分布列及均值． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++． 附表：21．（12分）已知抛物线C ：()220y px p =>，过焦点F 的直线l 交抛物线于M 、N 两点，交y 轴于E 点，当点M 的横坐标为1时，2MF =．（1）若直线l 的斜率为1，求弦长MN ；（2）1EM MF λ=，2EN NF λ=，试问：12λλ+是否为定值．若是，求出此定值，若不是，请说明理由．22．（12分）()()e 12x f x a x b x=+-+，()e 1b g x x +-=，,a b ∈R （1）若()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，求实数a ，b 的值；（2）当0a =时，()y f x =的图象与()y g x =的图象在()0,1x ∈内有两个不同的公共点，求实数b 的取值范围．。
东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2022届高三第四次模拟联考文科数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知函数，若存在3个零点，则a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．2. 第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ）A．B．C．D．3. 等差数列中，若则公差=A ．3B ．6C ．7D ．104.已知数列满足.记数列的前n 项和为.若对任意的，都有，则实数k 的取值范围为（ ）A．B．C．D．5. 已知函数，若存在m 使得关于x的方程有两不同的根，则t 的取值范围为（ ）A．B．C．D．6. 在等腰直角三角形的斜边上有一点.已知，，若，则（ ）A．B．C ．0D．7.中，若，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．8. 已知函数（，）与轴的两个交点最短距离为，若将函数的图象向左平移个单位，得到的新函数图象关于轴对称，则的可能取值为（ ）A．B．C．D．9. 下列说法中正确的是（ ）A ．对于独立性检验，的值越大，说明这两个变量的相关程度越大B．已知随机变量，若，，则C ．某人在10次射击中，击中目标的次数，则当时概率最大D ．，10. 已知，且，，是在内的三个不同零点，则（ ）A．B．C．D．11.已知反双曲正切函数，则（ ）A．是奇函数B．的定义域是C ．曲线在点处的切线方程为东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2022届高三第四次模拟联考文东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2022届高三第四次模拟联考文三、填空题四、解答题D ．函数有且仅有3个零点12. 已知正实数a ，b ，c 满足，则（ ）A．B．C．D．13. 黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比，其比值为，上述比例又被称为黄金分割．将底和腰之比等于的等腰三角形称为黄金三角形，若某黄金三角形的一个底角为C ，则__________．14.已知集合，，则____________．15. 在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点，则该抛物线的方程是______.16. 我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t ），将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）记事件A ：“全市家庭月均用水量不低于6t ”，求的估计值；（2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值（精确到0.01）；（3）求全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值（精确到0.01）.17. 已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关，为了确定下一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的温度（单位：℃）对某种鸡的时段产蛋量（单位：t ）和时段投入成本（单位：万元）的影响，为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度和产蛋量的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．17.4082.30 3.61409.72935.135.0其中.(1)根据散点图判断，与哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量关于鸡舍时段控制温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)若用作为回归方程模型，根据表中数据，建立关于的回归方程；(3)已知时段投入成本与的关系为，当时段控制温度为℃时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少？附：①对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.②0.080.47 2.7220.091096.6318. 如图，以C为直角顶点的等腰直角三角形所在的平面与以O为圆心的半圆弧所在的平面垂直，P为上异于A，B的动点，已知圆O的半径为1．(1)求证：；(2)若二面角的余弦值为，求点P到平面的距离．19. 已知数列的前项和，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)设，的前项和为，证明：数列是递增数列．20. 今年的《春节联欢晚会》上，魔术师刘谦表演的魔术《守岁共此时》精彩纷呈．节目的第二部分是互动环节，全国观众跟着魔术师一起做魔术，将“好运留下来，烦恼丢出去”，把晚会欢乐的气氛推向高潮．节目主持人尼格买提手中的两张牌没有对上，直接登上热搜榜．如果我们将4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列．(1)将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张，求翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率；(2)将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为，求的分布列及数学期望．21. 已知等差数列的前项和为，且1，，成等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.。
2022年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中)高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)
2022年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）1. 复数z 满足，则复数( )A.B.C.D.2. 已知集合，，则等于( )A.B. C.D.3. 下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物的观测值：396 275 268 225 168 166 176 173 188 168 141 157若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征没有改变的是( )A. 极差B. 中位数C. 众数D. 平均数4. 设m ，n 是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的是( )A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，，则D. 若，，，则 5.等差数列的前n 项和为，已知，，则( )A. 3B.C. 5D.6.直线l ：与圆C ：交于A ，B 两点，若，则m 的值为( )A.B. C.D.7. 已知a ，，则“”的一个必要条件是( )A. B. C.D.8. 已知，，，则( )A.B.C.D.9. 已知某个函数的图像如图所示，则下列解析式中与此图像最为符合的是( )A. B. C.D.10.已知数列满足对任意的正整数n，都有…，其中，则数列的前2022项和是( )A. B. C. D.11. 如图是一个简单几何体的三视图，若，则该几何体外接球表面积的最小值为( )A. B. C. D.12. 已知，，是双曲线：的两个焦点，若点P为椭圆：上的动点，当P为椭圆的短轴端点时，取最小值，则椭圆离心率的取值范围为( )A. B. C. D.13. 已知向量，，点A的坐标为，则点B的坐标为______.14. 对称性是数学美的重要特征，是数学家追求的目标，也是数学发现与创造中的重要的美学因素．著名德国数学家和物理学家魏尔说：“美和对称紧密相连”．现用随机模拟的方法来估算对称蝴做一个边长为2dm的正方形将其蝶如图中阴影区域所示的面积，包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已恰有395个点落在阴影区域内，据此可估计图中对称蝴蝶的面积是______15.在棱长为2的正方体的侧面内有一动点P到直线与直线BC的距离相等，则在侧面上动点P的轨迹与棱AB，所围成的图形面积是______.16. 已知函数，恰有3个零点，，，且，有下列结论：①；②；③；④其中正确结论的序号为______填写所有正确结论的序号17. 第七次全国人口普查数据显示，我国60岁及60岁以上人口已达亿，预计“十四五”期间这一数字将突破3亿，我国将从轻度老龄化进人中度老龄化阶段．为了调查某地区老年人生活幸福指数，某兴趣小组在该地区随机抽取40位老人其中男性20人，女性20人，进行幸福指数调查，规定幸福指数越高老年生活越幸福，幸福指数大于或等于50的老人为老年生活非常幸福，反之即为一般幸福．调查所得数据的茎叶图如图：依据上述样本数据的茎叶图，分析此样本中男性老人和女性老人相比哪个幸福指数相对更高，并说明理由可以不计算说明；请完成下列列联表，并判断能否有的把握认为老年人幸福指数与性别有关？一般幸福非常幸福合计男性20女性20合计40附：，其中18. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，角C的内角平分线与边AB交于点求角B的大小；记，的面积分别为，，在①，，②，，这两个条件中任选一个作为已知，求的值．19.如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，，E，F分别为棱，BC的中点，G为线段CF的中点．证明：平面AEF；求二面角的余弦值．20. 已知椭圆，点P为椭圆C上非顶点的动点，点，分别为椭圆C的左、右顶点，过，分别作，，直线，相交于点G，连接为坐标原点，线段OG与椭圆C交于点若直线OP，OQ的斜率分别为，求的值；求面积的最大值．21. 已知函数其中e是自然对数的底数当时，证明：；当时，恒成立，求正整数k的取值集合；证明：!参考数据：，，22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是分别写出的普通方程与的直角坐标方程；将曲线绕点按逆时针方向旋转得到曲线，若曲线与曲线交于A，B 两点，求的值．23. 已知函数求不等式的解集；若函数最小值为m，已知，，，，求的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：，，即故选：根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．本题主要考查复数的运算法则，考查计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：，，故选：分别求解函数的值域与定义域，化简M与N，再由并集运算得答案．本题考查函数的定义域及值域的求法，考查并集及其运算，是基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，即最大值变为，极差为最大值与最小值的差，要发生改变，加入数据前，中位数为，加入数据后，中位数为发生改变，众数为数据中出现次数最多的数，不会改变，平均数体现数据的整体水平，要发生改变，故选：根据题意，由平均数、方差、众数、中位数的计算方法，依次分析是否发生改变，即可得答案．本题考查数据的数字特征，涉及平均数、方差、众数、中位数的计算，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，对于A，若，，则m与n相交、平行或异面，故A错误；对于B，若，，则与相交或平行，故B错误；对于C，若，，，则m与n平行或异面，故C错误；对于D，若，，，则由线面垂直的判定定理得，故D正确．故选：对于A，m与n相交、平行或异面；对于B，与相交或平行；对于C，m与n平行或异面；对于D，由线面垂直的判定定理得本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．5.【答案】C【解析】解法一：等差数列的前n项和为，，，，解得，，解法二：等差数列的前n项和为，，，，即，解得，故选：法一：利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组，求出，，由此能求出法二：由，求出，从而，由此能求出结果．本题实数等差数列的前5项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：直线l：与圆C：交于A，B两点，圆心到直线l的距离，，即，解得故选：根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解．本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：对于A，令，，推不出，故A错误，对于B，由“”得：且，故，反之，若，推不出，比如，，故是的必要不充分条件，故B正确，对于C，令，，推不出，故C错误，对于D，令，，推不出，故D错误，故选：取特殊值判断ACD，根据充分必要条件的定义判断本题考查了充分必要条件，考查特殊值法的应用，是基础题．8.【答案】B【解析】解：，且，，即，，，又，，故选：利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．9.【答案】B【解析】解：由图像可知函数的定义域为，对于A：函数的定义域为，故A不符合；对于B：函数的定义域为，故B符合，对于C：函数的定义域为，故C不符合；对于D函数的定义域为，但，故D不符合．故选：根据函数的定义域排除AC，根据函数的值排除本题考查了函数图像的识别，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：不妨设数列的前n项和为，故由题可得，故当时，，则，即，又当时，，故该数列是，且从第二项起是公比为2的等比数列，故故选：根据已知条件，利用，的关系，求得数列类型，再利用等比数列的前n项和公式即可求得结果．本题考查了数列的递推式以及等比数列求和的问题，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：由题意可知几何体的是三棱锥，是四棱柱的一部分，如图，三棱锥的外接球与四棱柱的外接球相同，该几何体外接球表面积的最小值就是外接球的半径取得最小值，即直径取得最小值，直径为AD，则，当且仅当时取等号，所以该几何体外接球表面积的最小值为：故选：判断几何体的形状，求解外接球的半径，然后求解即可．本题考查三视图求解几何体是外接球的表面积的最小值，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】A【解析】解：假设点P在x轴上方，设，则，由已知得，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，，，由于P为椭圆的短轴端点时，取最小值，即取最小值，也取最小值，此时，函数在上单调递减，，即，解得即椭圆离心率的取值范围为故选：假设点P在x轴上方，设，，利用与直线倾斜角以及直线倾斜角的关系构建关于的函数关系式，最后利用对勾函数的性质求解即可．本题考查了椭圆离心率取值范围的问题，属于中档题．13.【答案】【解析】解：设，由于向量，，故，整理得，故答案为：直接利用向量的线性运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：根据题意，设图中对称蝴蝶的面积为，正方形的边长为2dm，则正方形的面积，向该正方形内随机投掷1000个点，已恰有395个点落在阴影区域内，则有，解可得，故答案为：根据题意，设图中对称蝴蝶的面积为，求出正方形的面积，由几何概型的计算公式可得，解可得答案．本题考查几何概型的计算，涉及模拟方法估算概率，属于基础题．15.【答案】【解析】解：P到直线与直线BC的距离相等，可得点P到直线与直线B的距离相等，所以点P的轨迹是以B为焦点，为准线的抛物线，以的中点为坐标原点，过中点M，的中点O的直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，因为，所以抛物线方程为，所以在侧面上动点P的轨迹方程为，侧面上动点P的轨迹与棱AB，所围成的图形面积为故答案为：点P的轨迹是以B为焦点，为准线的抛物线，建立坐标系，求得曲线方程，利用定积分求面积．本题考查点的轨迹问题，以及曲线围成图形的面积，属中档题．16.【答案】②③④【解析】解：如下图所示：因为，则，由图可知，，则，且直线与曲线相切于点，对于①：若，即，由题意可得，所以，即，解得，因为，则不成立，故①错误；对于②：因为，则，故②正确；对于③：当时，则，，由题意可得，可得，所以，所以，故③正确；对于④：由上可知，所以，因此，，故④正确．故答案为：②③④．作出图形，分析可知，，且直线与曲线相切于点，可得出，利用反证法结合二倍角公式可判断①，由已知条件可判断②；利用二倍角的正弦公式和弦化切可判断③；利用已知条件可判断④．本题考查函数的零点与方程的根的关系，以及三角恒等变换，属难题．17.【答案】解：由茎叶图可知，女性老人的幸福指数主要集中在之间，男性老人的幸福指数主要集中在之间，故可推断出女性老人幸福指数的均值大于男性老人幸福指数的均值，故女性老人幸福指数更高．列联表如图所示：一般幸福非常幸福合计男性 16 4 20女性 11 9 20合计 27 1340，有的把握认为老年人幸福指数与性别有关．【解析】由茎叶图可得，女性老人幸福指数的均值大于男性老人幸福指数的均值，即可求解．根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．本题主要考查独立性检验公式，考查计算能力，属于中档题．18.【答案】解：因为，由正弦定理可得，由可得，因为，可得，所以，即，因为，所以；选①：因为，，由余弦定理可得b²²²，代入可得a²，解得，因为CD平方，令，则，，则；选②：因为，解得，由，再由余弦定理可得b²²²，即²²，可得a²²，联立，解得，，由CD平方，令，则则，，则【解析】由，化简可得，即可求解；选①：由余弦定理求得a，令，结合三角形的面积公式求得，，即可求得的值．选②：由，求得，利用余弦定理求得a²²，联立方程组即可求得a，c ，结合面积公式求得，，即可求得的值．本题考查解三角形，涉及正余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．19.【答案】解：证明：连接交AE于O，连接OF，由题意，四边形是平行四边形，所以，因为E为的中点，，∽，且相似比为，，又F，G分别为棱BC，CF的中点，，，又平面AEF，平面AEF，平面AEF，连接，，，，，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，，设平面AEF的一个法向量为，则，令，则，，平面AEF的一个法向量为，设平面BEF的一个法向量为，则，令，则，，平面BEF的一个法向量为，，，因为二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为【解析】连接交AE于O，连接OF，可证，进而可证平面AEF；建立如图所示的空间直角坐标系，求平面AEF的一个法向量，求平面BEF的一个法向量，利用向量法可求二面角的余弦值．本题考查线面平行的证明，以及面面角的余弦值的求法，属中档题．20.【答案】解：，，设，，由题意直线的方程为，①，直线的方程为，②，由①②得点，可得，，由知，设直线OP的方程为，直线OQ的方程为，由，得，由对称性，不妨设，，，由知，异号，，异号，，点Q到直线的距离，，，当且仅当，取等号，面积的最大值为【解析】设，，由题意写出直线，的方程，求出点G的坐标，从而表示出，，进而求出的值．设直线OP、OQ的方程，联立方程求出P，Q的坐标，计算点Q到直线的距离，表示出面积，利用基本不等式求解最大值．本题考查两直线的斜率的比值、三角形面积的最大值的求法，考查直线与椭圆的位置关系、韦达定理、根的判别式、弦长公式、点到直线距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：证明：设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即当且时，取等号，所以，则，即当且仅仅当时取等号，因为上述两个不等式等号不同时取到，所以，所以由已知，，且k为正整数，所以或，当时，令，所以在区间上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，即恒成立，当时，令，在上单调递增，所以，，所以存在，使得，当时，，则在上单调递减，所以，从而不满足恒成立，故，综上所述，正整数k的取值集合为由知时，，令，则，所以!，所以!，因为且，所以，所以，所以!【解析】设，求导判断单调性，从而证明，进而可证明当且仅仅当时取等号，可得，即证由已知判断得，分类讨论与的情况，令新函数，求导判断单调性，从而判断是否恒成立．由得，从而可得!，可证明!，即证!本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，消t可得，，，，①，故将曲线绕点按逆时针方向旋转得到曲线，直线的斜率为，即直线的方程为，则直线的参数方程为为参数②，联立①②可得，，A，B对应的参数为，，则，，点在圆C外，，同号，由参数方程的几何意义可知，【解析】根据已知方程，消t，即可求解，根据方程，结合极坐标公式，即可求解．根据已知条件，先求出，再可求得该参数方程，再结合参数方程的性质，即可求解．本题主要考查极坐标方程和参数方程的应用，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：由题意，当时，，解得，当时，恒成立，解得，当时，，解得，综上所述，不等式的解集为由绝对值不等式可得，，当且仅当时等号成立，故函数最小值为3，即，所以，，，，，当且仅当时，等号成立，故，即的最小值为【解析】根据题意，分，，三种情况讨论，即可求解．由绝对值三角不等式可得，函数的最小值为3，即，再根据柯西不等式，即可求解．本题主要考查绝对值不等式的求解，考查柯西不等式的应用，属于中档题．。
高三试卷数学-吉林省东北师范大学附属中学2024届高三上学期第三次摸底数学试卷及参考答案
2023-2024学年上学期东北师大附中数学学科试卷高三年级第三次摸底考试第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2Z 230A x x x =∈--<∣，则集合A 的子集个数为（）A.3B.4C.8D.162.设()()1i 21i z -=+，则z =（）A.22B.1C.D.23.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（参考数据：lg 20.3010,lg 30.4771==）（）A.6B.8C.10D.124.命题“2R,230x x x ∃∈-+<”的否定是（）A.2R,230x x x ∃∈-+>B.2R,230x x x ∀∈-+>C.2R,230x x x ∃∈-+≥ D.2R,230x x x ∀∈-+≥5.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（）A.26B.28C.30D.326.已知π1sin 63x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则2πcos 23x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.79-B.29-C.29D.797.已知函数()f x 及其导数()f x '的定义域均为R ，()f x '在R 上单调递增，()1f x '+为奇函数，若23a =，45b =，34c =，则（）A.()()()f a f b f c <<B.()()()f b f a f c <<C.()()()f b f c f a << D.()()()f c f b f a <<8.若对任意实数0,0x y >>，不等式()x a x y ≤+恒成立，则实数a 的最小值为（）A.12B.1- C.1D.12+二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知k ∈Z ，则函数()()22kxxf x x -=⋅+的图象可能是（）A.B.C. D.10.已知函数2()cos (0)3f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且()f x 的图象关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则（）A.()f x 的最小正周期为4πB.21099f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.将()f x 的图象向右平移4π3个单位长度后对应的函数为偶函数D.函数5()4y f x =+在[0,]π上有且仅有一个零点11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别为棱11,B C CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A.当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC⊥B.当,M N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C.当,M N 分别为棱11,B C CD 的中点时，过1,,A M N 三点作正方体的截面，则截面为五边形D.三棱锥11D A MN -的体积为定值12.已知曲线()e xf x =在点()()11,P x f x 处的切线和曲线()lng x x =在点()()22,Q x g x 处的切线互相平行，则下列命题正确的有（）A.12x x +有最大值是1B.()()12f x g x +有最小值是1C.12x x 有最小值是1eD.若10x <，则221212x x x x +有最大值为1e e--第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()2,1P -是θ终边上的一点，则sin 2θ=_____________.14.在ABC 中，2,4AB AC ==，P 是ABC 的外心，则AP BC ⋅等于___________.15.已知两个等差数列2，6，10，…，210及2，8，14，…，212，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和等于___________.16.正三棱锥-P ABC 的四个顶点都在同一个球面上，且底面边长是3，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为α，二面角P AB C --的平面角为β.当该球的表面积最小时，()tan αβ+=____________.四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2na n ⋅的前n 项和nT .18.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知()2cos cos cos B C B Cbcab ac+=+.（1）求A ；（2）D 为BC 边上一点，DA BA ⊥，且3BD DC =，求cos C .19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，11D D D C ==，22AB BC ==.（1）求证：1AD D C ⊥；（2）若点P 的在线段1BD 上，且二面角P CD B --的大小为4π，求1D P PB的值.20.甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为1()2p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59．（1）求p 的值；（2）设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．21.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为())12,F F ，渐近线方程为12y x =±.（1）求E 的方程；（2）直线l 与E 的左、右两支分别交于,M N 两点（,M N 在x 轴的同侧），当12//F M F N 时，求四边形12F F NM 面积的最小值.22.已知函数()()sin sin 0f x a x ax a =+>.（1）当1,0a x =>时，证明()2f x x <；（2）当2a =时，讨论()f x 的单调性；（3）设0x >，证明()()e 2e axax f x +->.2023-2024学年上学期东北师大附中数学学科试卷高三年级第三次摸底考试第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ABC【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】ACD【12题答案】【答案】BD第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】45-##0.8-【14题答案】【答案】6【15题答案】【答案】1872【16题答案】【答案】3-四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】（1）*21,N n a n n =-∈（2）211122339n n T n +⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭【18题答案】【答案】（1）2π3（2）71938【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）2【20题答案】【答案】（1）23p =．（2）ξ246P5920811681 26681Eξ=．【21题答案】【答案】（1）221 4x y-=（2【22题答案】【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）证明见解析。
东北师大附中高考模拟试题
东北师大附中数学高考模拟试题一、选择题（每小题5分，共60分） 1．二项式6)1(x -展开式的第三项是（ ）．A ．220x - B ．215x - C ．220x D ．215x2．（文科做）直线l 过点A （-2，-3）且在两坐轴上的截距相等，直线l 的方程是（ ）． A ．0=+y x B ．05=++y xC ．023=-y xD ．02305=-=++y x y x 或 （理科做）极坐标方程21sin cos ==θρθρ与的图形是（ ）．A B C D3．已知复平面内，复数i 31-，i 31+-分别对应点1Z 、2Z ，则向量21Z Z 对应复数的幅角主值是（ ）．A ．3π2 B ．6π5 C ．3π- D ．3π5 4．正方体的顶点都在球面上，这个球的球面面积是22πa ，则正方体的全面积是（ ）．A ．62aB ．42aC ．2a D ．223a5．在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排与一行，则得到的数能被5或2整除的概率是（ ）．A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.2 6．函数32x x y +-=的单调递减区间是（ ）．A ．-∞(，)36-B ．36(，)∞+ C ．-∞(，36()36Y -，)∞+ D ．36(-，)36 7．已知A 、B 、C 三点在曲线x y =上，其横坐标依次为1，m ，4)41(<<m ，当△ABC 的面积最大时，m 等于（ ）．A ．3B ．49C ．25D ．23 8．把函数的图象)3π4cos(+=x y 沿x 轴平移||ϕ个单位，所得图象关于原点对称，则||ϕ的最小值是（ ）． A ．6π5 B ．6π C ．32π D ．34π9．圆台上、下底面积分别为π、，4π侧面积为，6π这个圆台的体积是（ ）．A ．π332 B ．π32 C ．π637 D ．π337 10．已知直线012=++y a x 与直线03)1(2=+-+by x a 互相垂直，则||ab 的最小值为（ ）．A ．1B ．2C ．4D ．511．双曲线22ax －22b y ＝1的一条准线被它的两条渐近线所截得线段长度恰好为它的一个焦点到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率是（ ）． A ．3 B ．2 C ．3 D ．212．设二次函数，)0()(2>+-=a a x x x f 若0)(<m f ，则)1(-m f 的值为（ ）． A ．正数 B ．负数C ．非负数D ．正数、负数和零都有可能二、填空题（每小题4分，共16分）13．已知，x x x f 212)(+=则=-)31(1f __________． 14．（文科做）设q ＞1，则111lim ++∞→--n nn q q ＝__________．（理科做）无穷等比数列：1，θ2sin 21+，2)2sin 21(θ+，…，n)2sin 1(θ+，…的各项和存在，则θ的取值范围是__________．15．甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，若甲不值周一、乙不值周六，则可排出不同的值班表数为__________（用数字作答）． 16．已知函数)()(x g x f ，的定义域为R ，设不等式)0(|)()(|><+a a x g x f 的解集为M ，不等式a x g x f <++|)(||)(|的解集为N ，则集合M 与N 的关系是M __________N （填⊇⊆，，≠⊂，≠⊃中的一种）．三、解答题（第17~21题每题12分，每22题14分，共74分）17．设两个向量，，21e e 满足2||1=e ，1||2=e ，1e ，2e 的夹角为o60，若向量2172e te +与向量21te e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．18．已知}{n a ，}{n b 为两个数列，点M （1，2）n n n B a A ，，)2(n n 1(-，)2n为直角坐标平面上的点．（1）对*N ∈n ，若点M ，n n B A ，在一条直线上，求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足：，nnn n a a a b a b a b a c ++++++=ΛΛ2122112log 其中}{n c 的第三项为8，公比为4的等比数列．求}{n b 的通项公式．19．如图，正方体1111D C B A ABCD -，棱长为a ，E 、F 分别为AB 、BC 上的点，且AE ＝BF ＝x ．（1）当x 为何值时，三棱锥BEF B -1的体积最大？（2）求三棱椎BEF B -1的体积最大时，二面角B EF B --1的正切值； （3）（理科做）求异面直线E A 1与F B 1所成的角的取值范围．20．某公司取消福利分房和公费医疗，实行年薪制工资结构改革，该公司从2000年起每人的工资由三个项目并按下表规定实施： 项目 金额（元/人·年）性质与计算方法基础工资 一万元 考虑物价因素，从2000年起每年递增10%（与工龄无关） 房屋补贴 400元 按照职工到公司的年限计算，每年递增400元 医疗费1600元固定不变如果公司现有5名职工，计划从明年起每年新招5名职工．（1）若今年（2000年）算第一年，试把第n 年该公司付给职工工资总额y （万元）表示成年限n 的函数；（2）试判断公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和能否超过基础工资总额的20%？21．已知抛物线)21(22+=x y 的焦点为F ，准线为l ，是否存在双曲线C ，同时满足以下两个条件：（1）双曲线C 的一个焦点为F ，相应于F 的准线为l ；（2）双曲线C 上有A 、B 两点关于直线0=-y x 对称，且22||=AB ． 若存在这样的双曲线，求出该双曲线C 的方程；若不存在，说明理由．22．已知)(x f 是定义在[-1，1]上的奇函数，且1)1(=f ，若1[-∈n m ，，]1，当0≠+n m 时，0)()(>++nm n f m f ．（1）用单调性定义证明)(x f 在1[-，]1上是增函数； （2）解不等式：)11()21(-<+x f x f ； （3）（理科做）若12)(2+-≤at t x f 对所有1[-∈x ，]1，1[-∈a ，]1恒成立，求实数t 的取值范围．参考答案1．D 2．（文）D ，（理）A 3．A 4．C 5．B 6．D 7．B 8．B 9．D 10．B 11．B 12．A 13．-１ 14．（文）q 1，（理）)π4ππ()4ππ2ππ(k k k k ，，---Y ，Z ∈k 15．42 16．⊇17．cos 1221⨯⨯=⋅e e 60°=1，421=e ，122=e ，所以2121212)()72(te te e e te =++⋅71527)72(222212++=+++t t te e e t 又因为向量2172e te +与向量21te e +的夹角为纯角，则+22t 0715<+t ，解到；217-<<-t 当向量2172e te +与21te e +反向时，令，)(722121te e e te +=+λ)0(<λ，，，，1421472722-=-=⇒=⇒⎩⎨⎧==λλλt t t t 即214-=t 时，向量2172e te +与向量21te e +的夹角为π；t 的取值范围是)21214()2147(----，，Y18．（1）因为n n B A M ，，三点共线，所以n a nn n a n n 21122122=---=--，．)(*N ∈n （2）)1(2)22(21+=+=+++⋅n n nn a a a n Λ，由已知323248--==⋅n n n c ，因为nnn n a a a b a b a b a c ++++++=ΛΛ2122112log ，所以++2211b a b a )32)(1(-+=+n n n b a n n Λ，)52)(1(112211--=+++--n n n b a b a b a n n Λ，)86(-=n n b a n n ，43-=n b n19．（1）x x a a a x x a V BEFB )(6)(21311-=-=⋅⋅⋅-24)2(632a x x a a =+-≤，当2ax =时，三棱锥BEF B -1的体积最大． （2）取EF 中点O ，由EF O B EF BO ⊥⊥1，，所以OB B 1∠就是二面角B EF B --1的平面角．在Rt △BEF 中，a a EF BO 22222121===⋅ 22tan 11==BOBB OB B ． （3）在AD 上取点H 使AH ＝BF ＝AE ，则11////B A CD HF ， 11B A CD HF ==，F B H A 11//，所以E HA 1∠（或补角）是异面直线E A 1与F B 1所成的角；在Rt △AH A 1中，221x a H A +=，在Rt △AE A 1中，=E A 122x a +，在Rt △HAE中，x x x HE 222=+=，在△E HA 1中，EA H A EH E A H A E HA 112212112cos ⋅-+=，222x a a +=因为a x ≤<0，所以22222a a x a ≤+<，121222<+≤a x a ，1cos 211<≤E HA ，3π01≤∠<E HA 20．（1）第n 年共有5n 个职工，那么基础工资总额为nn )1011(5+（万元），医疗费总额为16.05⨯n 万元，房屋补贴为5×0.04＋5×0.04×2＋5×0.04×3＋…＋5×0.04×n ＝0.1×n （n ＋1）（万元），则=++⨯++=n n n n y n8.0)1(1.0)1011(51.0)1011(5[++n n ]8.0)1(++⨯n （万元）． （2）=-+⨯-⨯+8.0)1(1.0%20)1011(5n n n )1011(+ n n )1011(10[101)9(101+=+-)]9(+-n ，因为=+n )1011(10211011(10n n C C ++⋅)1001Λ+⋅910)101(10+>+=+>n n n，故房屋补贴和医疗费总和不会超过基础工资总额的20%21．假设满足题意的双曲线C 存在，并设其离心率为e ，AB 的中点坐标为)(00x x ，，点A 的坐标为)(11y x ，，则点B 的坐标为102(x x -，)210y x -．因为直线AB 的斜率1-=ABk ，且22||=AB ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+---=----，，22])2[(])2[(1)2()2(21102110110110y y x x x x x x x y y x 由此解到⎩⎨⎧+=-=，，110101x y x x 或⎩⎨⎧-=+=，，110101x y x x 不失一般性，取)11()11(0000-++-x x B x x A ，，，，由于F （0，0）和l ：x 1-=是对应的焦点和准线，所以||)1()1(02020x x x ++-＝e x x x =++++|2|)1()1(02020，解到a ＝-１，e ＝2．故满足题意的双曲线C 存在，其方程为2|1|22=++x y x ，即048322=+-+y x x 另解：由题意得：焦点F （0，0），准线l ：x 1-=设双曲线离心率为e ，则由，e x y x =++|1|22可得双曲线方程为：x e x e 2222)1(+-ΛΛ022=+-e y ①；设直线AB 方程为：ΛΛm x y +-=②，则由①②得ΛΛ0)(2)2(22222=+-++-e m x m e x e ③，设AB中点为，，)(00y x 则有2221022em e x x x -+=+=，，222002e m me e m x y -+--=+-=由=0x ，0y 可解得，2-=m 则③式化为；04)2(2)2(2222=+--+-e x e x e 又由22||=AB 可得e ＝2，代入①即得048322=+-+y x x22．（1）任取，1121≤<≤-x x 则+=-)()()(121x f x f x f 21212)()()(x x x f x f x f --+=-)(21x x -，因为1121≤<≤-x x ，所以0)(21≠-+x x ，由已知有0)()(2121>--+x x x f x f ，又021<-x x ，则0)()(21<-x f x f ，即)(x f 在[-1，1]上为增函数． （2）因为)(x f 在[-1，1]上为增函数，所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-，，，112111111211x x x x 解集为：123|{-<≤-x x ，}R ∈x ．（3）由（1）可知)(x f 在[-1，1]上为增函数，且1)1(=f ，故对1[-∈x ，]1，恒有1)(≤x f ，所以要12)(2+-≤at t x f 对所有1[-∈x ，]1，1[-∈a ，]1恒成立，即要1122≥+-at t 成立，故022≥-at t ，记at t a g 2)(2-=，对1[-∈a ，]1，使0)(≥a g ，只需⎩⎨⎧≥≥-，，0)1(0)1(g g 解到2-≤t 或0=t 或2≥t ．所以t 的取值范围是：{2|-≤t t 或0=t 或2≥t }。
2023年三省三校黑龙江省哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高考数学一模试卷+答案解析(附后)
2023年三省三校黑龙江省哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高考数学一模试卷1. 已知集合，集合，则( )A. B. C. D.2. 已知i为虚数单位，复数z满足，则复数z对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知非零向量，满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是( )A. B. C. D.4. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等.我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和…；若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，…构成数列，则关于数列叙述正确的是( )A. B.C. 数列的前n项和为D. 数列的前n项和为5. 若，则( )A. B. 1 C. D.6. “阿基米德多面体”这称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知，则该半正多面体外接球的表面积为( )A. B. C. D.7. 某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域如图，现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻没有公共边区域的概率为( )A.B. C. D.8. 已知函数，若关于x 的方程有且仅有四个相异实根，则实数k 的取值范围为( )A. B.C. D.9. 函数其中A ，，是常数，，，的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. 的值域为B. 的最小正周期为C.D. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象10. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C：，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点P反射，再经过C上另一点Q反射后，沿直线射出，经过点下列说法正确的是( )A.B. 若延长PO交直线于D，则点D在直线上C. MQ平分D. 抛物线C在点P处的切线分别与直线、FP所成角相等11. 已知实数a，b满足，下列结论中正确的是( )A. B.C. D.12. 已知异面直线a与直线b，所成角为，平面与平面所成的二面角为，直线a与平面所成的角为，点P为平面、外一定点，则下列结论正确的是( )A. 过点P且与直线a、b所成角均为的直线有3条B. 过点P且与平面、所成角都是的直线有4条C. 过点P作与平面成角的直线，可以作无数条D. 过点P作与平面成角，且与直线a成的直线，可以作3条13. 的展开式中，的系数为______.14. 若为奇函数，则实数______ .15.已知圆C：，直线交圆C于M、N两点，若的面积为2，则实数k的值为______ .16.已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，点A、B在椭圆C上，满足，，若椭圆C的离心率，则实数取值范围为______ .17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①；②；③注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.18.已知等差数列的首项，记的前n项和为，求数列的通项公式；若数列公差，令，求数列的前n项和19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，，E为棱AB的中点.证明：平面平面ABCD；若，，求二面角的正弦值.20. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月天完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：天数人数4153331116由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数每组数据取区间的中间值，且，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数精确到；调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在的学生中有30名男生，天数在的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：活动天数性别合计男生女生合计并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.附：参考数据：；；21. 已知双曲线C：过点，且渐近线方程为求双曲线C的方程；如图，过点的直线l交双曲线C于点M、直线MA、NA分别交直线于点P、Q，求的值.22. 已知函数，为函数的导函数.讨论的单调性；若，为的极值点，证明：答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为，，所以故选：根据题意，先将集合A，B化简，然后根据交集的运算即可得到结果．本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：因为，所以点z的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，所以复数z对应的点在第一象限．故选：根据条件得出z对应点的轨迹，从而可判断其所在的象限．本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：，，即，向量在向量方向的投影向量是，则向量在向量方向的投影向量，，即，且，则，即向量与的夹角是故选：根据题意结合数量积的运算律以及投影向量运算求解．本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：根据题意可得：对选项A：，正确；对选项B：，错误；对选项C：当时，，错误；对选项D：当时，，错误，故选：确定，计算，得到A正确B错误，取特殊值排除CD得到答案．本题考查数列的应用，属基础题．5.【答案】C【解析】解：因为，展开可得，所以，所以，即，解得，即，，因为，所以故选：利用两角和的正弦公式，化简已知等式，求出角，再利用两角差的正切公式，求出角的正切值．本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：如图，在正方体中，取正方体、正方形的中心O、，连接，，OA，，，B分别为，的中点，则，正方体的棱长为，故，可得，根据对称性可知：点O到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为O，半径，故该半正多面体外接球的表面积为故选：根据正方体的对称性可知：该半正多面体外接球的球心为正方体的中心O，进而可求球的半径和表面积．本题主要考查了多面体外接球问题，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：每个区域种不同颜色的花，有种方法，这9个区域中相邻的区域有9个；23；34；26；48；56；67；78；，所以红色、白色种在相邻区域有种方法，所以红色、白色在不相邻没有公共边区域的概率为，故选：每个区域种不同颜色的花，有种方法，红色、白色种在相邻区域有种方法，通过对立事件求出正确答案．本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了对立事件的概率关系，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：，，，关于x的方程有且仅有四个相异实根，根据对称性知，当时，有且仅有两个相异实根，即在上有两个不相等的实数根，化简得：令，，令，解得，令，解得，在为减函数，为增函数，又，则当时，，，当时，，，作出的简图如下图所示：直线l：恒过点，，，时，此时直线l：相切，直线l：与曲线只有一个公共点，此时方程在上有一个实数根，不符合题意；由图可知当或时，直线l：与均有两个公共点，即方程在上有两个不相等的实数根，关于x的方程有且仅有四个相异实根时，k的取值范围为故选：利用函数图象的对称性，将关于x的方程有且仅有四个相异实根，转化为关于x 的方程在有且仅有两个相异实根，结合函数的图象，数形结合，求出k 的取值范围．本题考查函数零点与方程根的关系，求解的关键是把方程有四个根的问题转化为上有两个根的问题，通过构造函数，结合导数研究出函数的性质，结合简图找出临界状态，从而得到解答．9.【答案】AB【解析】解：对于A，由图象可知，，即，，，故的值域为，则选项A正确；对于B，由图象可知，，所以，故选项B正确；对于C，，且，可得，，又的图象过点，即，则，且，可得，可得，则，故选项C错误；对于D，由前面的分析可知，，将函数的图象向左平移个单位，得到，则选项D错误；故选：对A、B、C：根据函数图象求A，，，即可分析判断；对D：根据图象变换结合诱导公式求解析式，即可得结果．本题考查三角函数的图象及性质，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．10.【答案】BD【解析】解：由题意可得，又，直线PF的斜率，直线PF的方程为：，联立，得，，，，，选项错误；又直线PO的斜率，直线PO的方程为：，延长PO交直线于D，则，直线的方程为：，点D在直线上，选项正确；设直线MQ的倾斜角为，直线PQ的倾斜角为，则，，可得为钝角，MQ不能平分，所以C选项错误；设抛物线在P处的切线方程为：，联立，得，由，解得抛物线在P处的切线方程为：，该切线与直线所成角的正切值为设该切线与直线FP所成角为，则，该切线与直线所成角的正切值与该切线与直线FP所成角的正切值相同，即抛物线C在点P处的切线分别与直线、FP所成角相等，选项正确．故选：分别求出P、Q的坐标，利用焦点弦公式求出弦长可得选项A错；求出直线的方程和点D的坐标，可得选项B正确；分别求出直线MQ和直线PQ的倾斜角、的正切，可得MQ不能平分，可得C错误；求出抛物线在P处的切线方程及其斜率，再求出切线与直线及直线FP所成角的正切值，可得选项D正确．本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，属中档题．11.【答案】ABD【解析】解：由，则，对于A，，则，故，故A正确；对于B，由选项A可得：，当且仅当，即时，等号成立，故，B正确；对于C，，令，则，故C错误；对于D，，等价于，构造，则，当时恒成立，则在上单调递增，由选项A可知：，则，故，故D正确．故选：根据题意可得，对于A，根据不等式性质分析运算；对于B，利用基本不等式分析运算；对于C，换元结合二次函数分析运算；对于D，构建，利用导数结合基本不等式判断原函数的单调性，即可得结果．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：因为异面直线a与直线b所成角为，所以过点P与直线a，b所成角均为的直线只有1条，故选项A错误；因为平面与平面所成的二面角为，则过点P与平面，所成角都是和的直线各有一条m，n，若过点P与平面，所成角都是，则在m，n的两侧各有一条，所以共条，故B正确；因为点P为平面外，且过点P作与平面成角的直线，则在以P为顶点，底面在上的圆锥的母线，如图所示：所以可以做无数条，故选项C正确；过点P作与平面成角，形成以P为顶点，与圆锥中轴线夹角为，且底面在上的圆锥的母线，与直线a成的直线，形成以P为顶点，且与圆锥中轴线夹角为的圆锥的母线，如图所示：因为角度不同，因此两个圆锥的母线没有重合母线，故不能做出满足条件的直线，故D错误．故选：根据选项，可知A只有1条，根据，可知B有4条，做以P为顶点，且与圆锥中轴线夹角为，且底面在上的圆锥可知C有无数条，同理做与圆锥中轴线夹角为的母线可知该直线不存在，选出选项即可．本题主要考查了几何综合应用，考查了空间中异面直线所成角、线面角和面面角的求法，属于难题．13.【答案】60【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．根据二项展开式的通项公式，求出含的项，可得结论．【解答】解：的展开式中，含的项为，故答案为：14.【答案】1【解析】解：若为奇函数，则，故，解得故答案为：根据奇函数定义结合指数运算求解．本题主要考查了奇函数的定义的应用，属于基础题、15.【答案】或1【解析】解：圆C：，圆心，半径，设圆心到直线的距离为d，则d为的边MN上的高，由点到直线的距离公式得，，由勾股定理得：，设的面积S，则，所以，两边平方得，，即，所以，因为，所以，化简可得，所以，所以或故答案为：或利用点到直线的距离公式和勾股定理，求出，再利用三角形面积公式建立方程，求出k的值．本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：根据题意知，由得，不妨设点A在第一象限，则点A的坐标为，由知，且，从而得到点B的坐标为，将点B的坐标代入椭圆C方程得，整理得，即，所以，又因为，所以，即实数取值范围为故答案为：先写出点、A的坐标，再利用求得点B的坐标，将点B的坐标代入椭圆C方程即可化简出实数与离心率e的关系，从而得到实数取值范围．本题主要考查了椭圆的性质，考查了椭圆离心率范围的求法，属于中档题．17.【答案】证明：选①②当条件，③当结论由②得，因为，所以，即，，所以，则，由①知，，代入可得，，所以，即；选①③作条件，②当结论，由③得：，因为，所以，则，所以，，所以，由③知，，所以，所以，所以，所以，；选②③作条件，①当结论，由②得：，而，所以，即，根据辅助角公式可得，，所以，，由③，，所以，得：，所以，所以，，则，，即：【解析】根据题意，分别选择其中两个作条件，另外一个做结论，利用正余弦定理化简证明即可．本题综合考查了正弦定理，余弦定理，辅助角公式在三角化简证明中的应用，属于中档题．18.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为d，则，化简整理，得，解得，或，当时，，当时，，或，由题意及，可得，，则，【解析】先设等差数列的公差为d，再根据题干已知条件列出关于公差d的方程，解出d的值，即可计算出等差数列的通项公式；根据题意及第题的结果确定等差数列的通项公式，进一步推导出数列的通项公式，最后运用裂项相消法推导出前n项和本题主要考查等差数列的基本运算，以及运用裂项相消法求前n项和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，分类讨论，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．19.【答案】解：证明：取AD的中点O，连接OP，OB，BD，OE，底面ABCD为菱形，则，又，E分别为AD，AB的中点，则，故，注意到，，OE，平面POE，则平面POE，平面POE，则，又，E为棱AB的中点，则，，，AC，平面ABCD，平面ABCD，且平面PAD，故平面平面若，，则为等边三角形，且O为AD的中点，故，由得，如图所示建立空间直角坐标系，设，则，可得，设平面PDE的法向量，则，即，则可取，易知平面PDA的一个法向量为，则，设二面角为，则，可得，所以二面角的正弦值为【解析】根据线面、面面垂直的判定定理分析证明；建系，求出平面PDE与平面PDA的法向量，利用空间向量求二面角即可．本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：由频数分布表知，则，，，，参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476人．由频数分布表知，锻炼活动的天数在的人数为：，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在的学生中有20名男生，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在的学生中有女生人数：由频数分布表知，锻炼活动的天数在的人数为，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在的学生中有30名男生，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在的学生中有女生人数：列联表如下：活动天数性别合计男生203050女生321850合计5248100零假设为：学生性别与获得“运动达人”称号无关依据的独立性检验，我们推断不成立，即：可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关；而且此推断犯错误的概率不大于，根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数超过15天的频率分别为：和，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”的称号频率的倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即男生更容易获得运动达人称号．【解析】利用频数分布表，求得样本的平均数，从而写出X近似服从正态分布，利用参考数据求得参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数；根据频数分布表和已知条件，完善列联表，根据独立性检验的公式，求出学生性别与获得“运动达人”称号是否有关联和它们之间如何相互影响．本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了独立性检验的应用，属于中档题．21.【答案】解：双曲线C的渐近线方程为，则可设双曲线C的方程为，代入点，即，故双曲线C的方程为；由双曲线C的方程为的方程可得，由题意可得点，则有：当直线l与y轴垂直时，则，可得直线，令，则，即点，同理可得：点，故，即；当直线l不与y轴垂直时，设直线l：，，，联立方程，消去x得，则，可得直线，令，则，即点，同理可得：点，，即点P，Q关于x轴对称，故，即；综上所述：的值为【解析】根据渐近线方程设双曲线C的方程为，代入点，运算求解即可得结果；设l：，，，根据题意求点P，Q的坐标，结合韦达定理证明，即可得结果，注意分类讨论直线是否与y轴垂直．本题主要考查了双曲线的标准方程，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题．22.【答案】解：设，则，注意到，则有：①当时，则，故对恒成立，故的单调递增区间为；②当时，令，解得，当时，；当时，；故的单调递增区间为，单调递减区间；综上所述：①当时，的单调递增区间为；②当时，的单调递增区间为，单调递减区间证明：若有两个极值点，则有两个变号的零点，由可得：，设，则在上递减，且，可得：，则，即，解得，即，解得，当时，则有：①先证：，设，则，令，解得；令，解得，所以在递减，在递增，所以，故对，恒成立，，当时，则，即，可得，故在上存在唯一一个零点，即；②再证：，当时，即，可得，则，当时，则，可得，故；综上所述：【解析】根据题意整理可得，分类讨论判断原函数的单调性；根据题意结合中的单调性，可求得，结合零点存在性定理分别证明，，即可得结果．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．。
东北三校(哈尔滨师大附中2025届高考仿真卷数学试卷含解析
东北三校（哈尔滨师大附中2025届高考仿真卷数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( )A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．02．已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（ ） A ．1318 B ．1318或1936 C ．139 D ．1363．要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（ ） A ．向右平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 4．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±5．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A ．48B ．72C ．90D ．966．在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=（ ）．A ．3-B ．6-C ．4D ．97．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=，则双曲线的离心率为( )A ．52 B ．3 C ．2 D ．728．已知函数()log (|2|)(0a f x x a a =-->，且1a ≠)，则“()f x 在(3,)+∞上是单调函数”是“01a <<”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件9．已知等差数列{a n }，则“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．下列与函数1y x =定义域和单调性都相同的函数是（ ）A ．2log 2x y =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．21log y x = D ．14y x =11．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知3log 2a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
东北三省三校
东北三省三校东北三省三校(哈尔滨师⼤附中、东北师⼤附中、辽宁省实验中学)⾼考数学试题模拟⼀、选择题1．已知集合A={x|-2＜x ＜1}，B={x|x 2-2x≤0}，则A∩B=（）A ．{x|0＜x ＜1}B ．{x|0≤x ＜1}C ．{x|-1＜x≤1}D ．{x|-2＜x≤1}2．复数ii 212-+=（）A ．2（2+i) B ．1+i C ．I D ．-i3．点M(1,1)到抛物线y=ax 2准线的距离为2，则a 的值为（）A ．41B ．-121C ．41或-121D ．-41或1214．设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＞0，若S 5=S 9，则当S n 最⼤时，n=（） A ．6B ．7C ．10D ．95．执⾏如图所⽰的程序框图，要使输出的S 值⼩于1，则输⼊的t 值不能是下⾯的（）A ．2012B ．2016C ．2014D ．20156．下列命题中①对于命题p ：?x ∈R ，使得x 2+x-1＜0，则￢p ：?x ∈R ，均有x 2+x-1＞0；②p 是q 的必要不充分条件，则￢p 是￢q 的充分不必要条件；③命题“若x=y ，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；④“m=-1”是“直线 l 1：mx+（2m-1）y+1=0与直线l 2：3x+my+3=0垂直”的充要条件．正确命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，⽹格纸上⼩正⽅形的边长为1，若粗线画出的是某⼏何体的三视图，则此⼏何体的体积为（）A ．6B ．8C ．10D ．128．设双曲线的⼀个焦点为F ，虚轴的⼀个端点为B ，焦点F 到⼀条渐近线的距离为d ，若|FB|≥3d ，则双曲线离⼼率的取值范围是（）A ．（1，2)B ．[2，+∞）C ．（1，3]D ．[3，+∞）9．不等式组≤≤≤≤-4022y x 表⽰的点集记为A ，不等式组≥≥+-202xy y x 表⽰的点集记为B ，在A 中任取⼀点P ，则P ∈B 的概率为（）A ．329B ．327C ．169D ．16710．设⼆项式(x-21)n （n ∈N *）展开式的⼆项式系数和与各项系数和分别为a n ，b n ，则nn b b b a a a ++++++.....2121=（）A ．2n-1+3B ．2（2n-1+1）C ．2n+1D ．111．数列{a n }满⾜a n =31n 3-45n 2+3+m ，若数列的最⼩项为1，则m 值为（）A ．41B ．31C ．-41D ．-3112．已知函数f(x)=<--≥+)0(),1ln()0(,1212x x x x ，若函数F(x)=f(x)-kx 有且只有两个零点，则k 的取值范围为（） A ．（0，1）B ．（0，0.5） C ．（0.5，1）D ．（1，+∞）⼆、填空题13．向量a ，b 满⾜|a |=1，|b |=2，（a +b ）⊥（2a -b ），则向量a 与b 的夹⾓为_______14．三棱柱ABC-A 1B 1C 1各顶点都在⼀个球⾯上，侧棱与底⾯垂直，∠ACB=120°，CA=CB=23，AA 1=4，则这个球的表⾯积为 ________15．⾼⼀开设4门选修课,有4名同学,每⼈只选⼀门,恰有2门课程没有同学选修,共有____ 种不同选课⽅案16．已知函数y=sin （πx+φ）-2cos （πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ=_________5题图7题图三、解答题17．已知△ABC的⾯积为2，且满⾜0＜AB?AC≤4，设AB和AC的夹⾓为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2（2π+θ）-3cos2θ的取值范围．18．为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进⾏统计的频率分布表Ⅰ和频率分布直⽅图2 频率分布表Ⅰ（1）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直⽅图，再根据频率分布直⽅图统计这500名志愿者得平均年龄；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采⽤分层抽样的⽅法抽取20名参加的宣传活动，再从这20名中选取2名志愿者担任主要发⾔⼈．记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的⼈数为X，求X的分布列及数学期望．19．如图，四棱锥P-ABCD的底⾯是边长为1的正⽅形，PA⊥底⾯ABCD，E、F分别为AB、PC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平⾯PAD；（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得⼆⾯⾓Q-AP-D的余弦值为55？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．20．椭圆22ax+22by=1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，点A(2,2)在椭圆上，且AF2与x轴垂直.(1)求椭圆的⽅程；(2)过A作直线与椭圆交于另外⼀点B，求△AOB⾯积的最⼤值．21．已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2.（1）若曲线y=f（x）在x=1处切线过点A(0,-2)，求实数a的值；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，①求证：-0.5＜a＜0；②求证：f(x2)＞f(x1)＞-0.5．22．曲线C的极坐标⽅程是ρ=2cosθ，以极点为平⾯直⾓坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建⽴平⾯直⾓坐标系，直线L的参数⽅程是=+=tymtx5.05.1（t为参数）（1）求曲线C的直⾓坐标⽅程和直线L的普通⽅程；（2）设点P(m，0)，若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|?|PB|=1，求实数m的值．23．设函数f(x)=|2x-1|-|x+2|．(Ⅰ)解不等式f(x)＞0；(Ⅱ)若?x0∈R，使得f(x0)+2m2＜4m，求实数m的取值范围．分组（单位：岁）频数频率[20，25] 5 0.05[25，30] 20 0.20[30，35] ①0.350[35，40] 30 ②[40，45] 10 0.10合计100 1.000答案1解：∵集合A={x|-2＜x ＜1}，B={x|x 2-2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴A∩B={x|0≤x ＜1}，故选：B ．2解：原式=i ，故选：C ．3解：抛物线准线⽅程为y=-a41，点M(1,1)到抛物线y=ax 2准线的距离为2，可得|1+a41|=2，解得a=41或-121．故选：C ．4解：由题意可得S 9-S 5=a 6+a 7+a 8+a 9=0，∴2（a 7+a 8）=0，∴a 7+a 8=0，⼜a 1＞0，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当S n 最⼤时，n=7故选：B5解：模拟执⾏程序框图，可得程序框图的功能是求S=sin 3π+sin 32π+…sin 3πt 的值，因为sin 3πt 的取值以6为周期，且sin 3πk +sin 3)1(π+k +…sin 3)6(π+k =0，由2012=335*6+2，所以输⼊的t 值是2012时，S=sin 3π+sin 32π=3＞1 2014=335*6+4，所以输⼊的t 值是2014时，S=sin 3π+sin 32π+sin 33π+sin 34π=23＜12015=335*6+5，所以输⼊的t值是2015时，S=sin 3π+sin 32π+sin 33π+sin 34π+sin 35π=0＜12016=335*6+6，所以输⼊的t 值是2016时，S=sin 3π+sin 32π+sin 33π+sin 34π+sin 35π+sin2π=0＜1,故选：A ． 6解：①对于命题p ：?x ∈R ，使得x 2+x-1＜0，则￢p ：?x ∈R ，均有x 2+x-1≥0，因此不正确；②p 是q 的必要不充分条件，则￢p 是￢q 的充分不必要条件，正确；③由于命题“若x=y ，则sinx=siny”是真命题，因此其逆否命题也为真命题，正确；④当m=0时，直线l 1：mx+（2m-1）y+1=0与直线l 2：3x+my+3=0垂直；m≠0时，若两条直线垂直，则?12-m m ×(?m3)=-1，解得m=-1，可知：“m=-1”是“直线l 1：mx+（2m-1）y+1=0与直线l 2：3x+my+3=0垂直”的充分不必要条件，因此不正确．综上可得：正确命题的个数为：2．故选：B ．7解：由三视图可知该⼏何体的直观图是三棱锥，其中⾯VAB ⊥⾯ABC ，VE ⊥AB ，CD ⊥AB ，且AB=5，VE=3， CD=4，则该三棱锥的体积V=1/3×1/2AB?CD?VE=1/3×1/2×5×4×3=10，故选：C(7)(8)8解：设F （c ，0），B （0，b ），⼀条渐近线的⽅程为bx+ay=0，则d=bc/22c b +=b ，|FB|=22c b +，因为|FB|≥3d ，所以3≥3b ，所以c 2≥2c 2-2a 2，所以2a 2≥c 2，所以1＜e≤2．故选：A ．9解：分别画出点集A ，B 如图，A 对应的区域⾯积为4×4=16，B 对应的区域⾯积,如图阴影部分⾯积为dx x x )2(212?--+=（21x 2+2x ?31x 3|21-=29，由⼏何概型公式得，在A 中任取⼀点P ，则P ∈B 的概率为29/16＝329；故选A ． 10解：由于⼆项式（x-21）n （n ∈N *）展开式的⼆项式系数和与各项系数和分别为a n 、b n ，则a n =2n ，b n =2-n ，所以nn b b b a a a ++++++.....2121=nn---++++++2...222...222121=2n+1 故选：C ．11解：数列a n =31n 3-45n 2+3+m ，令f （x ）=31x 3-45x 2+3+m ，（x≥1）．f′（x ）=x 2-25x ，由f′（x ）＞0，解得x ＞25，此时函数f （x ）单调递增；由f′（x ）＜0，解得1≤x ＜25，此时函数f （x ）单调递减．∴对于f （n ）来说，最⼩值只能是f （2）或f （3）中的最⼩值． f （3）-f （2）=9-25、445-（38-5）＞0，∴f （2）最⼩，∴31×8-5+3+m=1，解得m=31．故选：B ．12解：由题意，x≥0，f （x ）=0.512+x 为双曲线4y 2-x 2=1在第⼀象限的部分，渐近线⽅程为y=±0.5x ；当k=1时，由y=-ln （1-x ），可得y′=11-x =1可得x=0，即y=-ln （1-x ）在x=0处的切线⽅程为y=x ，此时函数F （x ）=f （x ）-kx 有且只有1个零点，∴若函数F （x ）=f （x ）-kx 有且只有两个零点，则k 的取值范围为（0.5，1），故选：C ．13解：因为|a |=1，|b |=2，（a +b ）⊥（2a -b ），所以2a 2+a ?b -b 2=0，则2+a ?b -2=0，即a ?b =0，所以a ⊥b ，则向量a 与b 的夹⾓为90°，故答案为：90°．14解：在△ABC 中∠ACB=120°，CA=CB=23,由余弦定理可得AB=6,由正弦定理可,得△ABC 外接圆半径r=23，设此圆圆⼼为O′，球⼼为O ，在RT △OAO′中，得球半径R=4，故此球的表⾯积为4πR 2=64π．故答案为：64π． 15解：恰有2门选修课没有被这4名学⽣选择,先从4门课中任选2门,为24C =6种,四个学⽣选这两种课共有24=16中, 排除四个⼈全选其中⼀门课程为16-2=14种,故有1424C =84种．故答案为：84．16解：y=sin （πx+φ）-2cos （πx+φ）=5sin （πx+φ-α），其中sinα=2/5，cosα=1/5．∵函数的图象关于直线x=1对称，∴π+φ-α=2π+kπ，即φ=α-2π+kπ，则sin2φ=sin2(α-2π+kπ)=sin(2α-π+2kπ)=sin(2α-π)=-sin2α=-2sinαcosα=-2×2/5×1/5=?4/5,故答案为：?4/517解：（1）由题意可得AB ?AC =cbcosθ，∵△ABC 的⾯积为2，∴0,5bcsinθ=2，变形可得cb=4/sinθ，∴AB ?AC =cbcosθ=4cosθ/sinθ=4/tanθ，由0＜AB ?AC ≤4，可得0＜4/tanθ≤4,解得tanθ≥1，⼜∵0＜θ＜π，∴向量夹⾓θ的范围为[4π，2（2）化简可得f （θ）=2sin 2（4π+θ）-3cos2θ=1+sin2θ-3cos2θ=1+2sin （2θ-3π）∵由（1）知θ∈[4π，2π），∴2θ-3π∈[6π，32π），∴sin （2θ-3π）∈[0,5，1]，∴1+2sin （2θ-3π）∈[2，3]，∴f （θ）的取值范围为：[2，3]18解：解：（1）由题意知频率分布表中的①位置应填数字为：100-5-20-30-10=35，②位置应填数字为：30/100=0.30．补全频率分布直⽅图，如右图所⽰．平均年龄估值为：0,5（45×0.05+55×0.2+65×0.35+75×0.3+85×0.1）=33.5（岁）．（2）由表知，抽取的20⼈中，年龄低于30岁的有5⼈，故X 的可能取值为0，1，2，P （X=0）=220215/c c =21/38， P （X=1）=22011515/c c c =15/38，P （X=2）=22025/c c =1/19，∴X 的分布列为：EX=0×21/38+1×15/38+2×1/19=1/2． X 0 1 2P 21/38 15/38 1/1919解：证明：（Ⅰ）取PD 中点M ，连接MF 、MA ，在△PCD 中，F 为PC 的中点，∴MF//0.5DC ，正⽅形ABCD 中E 为AB 中点，∴AE//0.5DC ，∴AE//MF ，故四边形EFMA 为平⾏四边形，∴EF ∥AM ，⼜∵EF ?平⾯PAD ，AM ?平⾯PAD ，∴EF ∥平⾯PAD ；（Ⅱ）结论满⾜条件的Q 存在，是EF 中点．理由如下如图以点A 为坐标原点建⽴空间直⾓坐标系，则P(0，0，2)，B （0，1，0），C （1，1，0），E （0，0.5，0），F （0.5，0.5，1），由题易知平⾯PAD 的法向量为n =（0，1，0），假设存在Q 满⾜条件：设EQ =λEF ，∵EF =（0.5，0，1），∴Q（0.5λ，0.5，λ），AQ =（0.5λ，0.5，λ），λ∈[0，1]，设平⾯PAQ 的法向量为m =（x ，y ，z ），由0.5λx+0.5y+λz=0,z ＝0，可得m =（1，-λ，0），∴cos ＜m ,n ＞=m n /|m ||n |=-λ/21λ+,由已知：-λ/21λ+=5/5,解得λ=0.5,所以满⾜条件的Q 存在,是EF 中点．20解：：（1）有已知：c=2，b 2/a ＝2, ∴a=22，b 2=4，故椭圆⽅程为4822y（2）当AB 斜率不存在时S △AOB =0.5×22×2＝22，当AB 斜率存在时设其⽅程为：y ?2=k (x ?2)(k ≠2/2)，由y ＝kx +(2?2k ). x 2+2y 2＝8得(2k 2+1)x 2+4(2?2k )kx +2(2?2k )2?8＝0，由已知：△=16(2?2k )2k 2-8（2k 2+1）[(2?2k )2?4]=8(2k +2)2＞0，即：k ≠?2/2，|AB|=21λ+?22?|2k+2|/(2k 2+1)，O 到直线AB 的距离：d=|2-2k|/21λ+，∴S △AOB =0.5|AB |d =2|2?4/(2k2+1)|，∴2k 2+1∈[1，2）∪（2，+∞），∴2?4/(2k 2+1)∈[?2，0)∪(0，2)，∴此时 S △AOB ∈(0，22]，综上所求：当AB 斜率不存在或斜率存在时：△AOB ⾯积取最⼤值为22．21解：（1）解：由已知可得，f′（x ）=lnx+1+2ax （x ＞0），切点P （1，a ），f （x ）在x=1处的切线斜率为k=1+2a ，切线⽅程：y-a=（2a+1）（x-1），把（0，-2）代⼊得：a=1；（2）证明：①依题意：f′（x ）=0 有两个不等实根x 1，x 2（x 1＜x 2），设g （x ）=lnx+2ax+1 则：g′（x ）=1/x+2a （x ＞0）当a≥0时，有g′（x ）＞0，所以g （x ）是增函数，不符合题意；当a ＜0时：由g′（x ）=0得：x=-1/2a ＞0，列表如下：x （0，-0.5a ）-0.5a （-0.5a ，+∞）g′（x ） + 0 - g （x ）↗极⼤值↘依题意：g(-1/2a)=ln(-1/2a)＞0，解得：-0.5＜a ＜0，综上可得，-0.5＜a ＜0得证；②由①知：f(x)，f′(x)变化如下： X （0，x 1）x 1（x 1，x 2）x 2（x 2，+∞） f′（x ）-0+0- f （x ）↘↗↘由表可知：f （x ）在[x 1，x 2]上为增函数，所以：f （x 2）＞f （x 1）⼜f′（1）=g （1）=1+2a ＞0，故x 1∈（0，1），由（1）知：ax 1=(-1-lnx)/2，f （x 1）=x 1lnx 1+ax 12=0.5（x 1lnx 1-x 1）（0＜x 1＜1）设h （x ）=0.5（xlnx-x ）（0＜x ＜1），则h′（x ）=0.5lnx ＜0成⽴，所以h （x ）单调递减，故：h （x ）＞h （1）=-0.5，也就是f （x 1）＞-0.5综上所证：f （x 2）＞f （x 1）＞-0.5成⽴．22解：：（1）曲线C 的极坐标⽅程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直⾓坐标⽅程：x 2+y 2=2x ．直线L 的参数⽅程是??=+=ty m t x 5.05.1（t 为参数），消去参数t 可得x ＝3y +m ．（2）把??=+=ty m t x 5.05.1（t 为参数），代⼊⽅程：x 2+y 2=2x 化为：t 2+(3m ?3)t +m 2-2m=0，由△＞0，解得-1＜m ＜3．∴t 1t 2=m 2-2m ．∵|PA|?|PB|=1=|t 1t2|，∴m 2-2m=±1，解得m ＝1±2，1．⼜满⾜△＞0．∴实数m=1±2，1．23解：：（Ⅰ）不等式f （x ）＞0，即|2x-1|＞|x+2|，即 4x 2-4x+1＞x 2+4x+4，即 3x 2-8x+3＞0，求得它的解集为{x|x ＜-31，或x ＞3}．（Ⅱ）f(x)=|2x-1|-|x+2|=??<≤----<+-5.02,132,3x x x x ，故f(x)最⼩值为f （0.5）=-2.5，根据?x 0∈R ，使得f （x 0）+2m 2＜4m ，可得4m-2m 2＞-2.5，即4m 2-8m-5＜0，求得-0.5＜m ＜2.5．。
东北师大附中高三数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. -√3D. 1/22. 若复数z满足|z+1|=2，则z的取值范围是（）A. z∈(-3,1)B. z∈(-∞,-3)∪(1,+∞)C. z∈(-∞,-1)∪(1,+∞)D. z∈(-∞,-3)∪(-1,1)∪(1,+∞)3. 已知函数f(x)=x^3-3x+2，则f(x)的对称中心是（）A. (0,2)B. (0,-2)C. (1,2)D. (1,-2)4. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=3，S10=55，则公差d是（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，则sinC的值为（）A. √2/2B. √3/2C. 1/2D. 2√3/36. 下列不等式中，正确的是（）A. |x|<0B. x^2>0C. √(-1)<0D. 1/x>07. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），若f(1)=2，f(2)=4，则f(x)的图像与x 轴的交点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 在极坐标系中，点P(2,π/6)对应的直角坐标系中的坐标是（）A. (1,√3)B. (1,0)C. (√3,1)D. (0,1)9. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2-1，则数列的前n项和Sn为（）A. n^3-nB. n^3+nC. n^3-2nD. n^3+2n10. 若复数z=1+i，则|z|^2的值为（）A. 2B. 1C. 0D. -2二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 已知等比数列{an}的第一项a1=2，公比q=3，则第10项a10=__________。
12. 在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则sinA的值为__________。
东师附中高考模拟数学试卷
1. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(2)的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 72. 在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 60°，则sinC的值为（）A. 1/2B. √3/2C. 2/3D. √3/33. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，公差d = 3，则S10的值为（）A. 100B. 105C. 110D. 1154. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. y = x^2B. y = -x^2C. y = 2xD. y = -2x5. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则z在复平面内的轨迹为（）A. y轴B. x轴C. 第一象限D. 第二象限6. 已知数列{an}满足an = an-1 + 2n，且a1 = 1，则数列{an}的前n项和为（）A. n(n+1)B. n(n+2)C. n(n+3)D. n(n+4)7. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，公差d = 2，则a10的值为（）A. 23B. 25C. 27D. 298. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 0，f(2) = 4，则f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 39. 在△ABC中，若a^2 + b^2 = c^2，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形10. 已知数列{an}满足an = 3^n - 2^n，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 3^n - 2^nB. an = 3^n + 2^nC. an = 3^n - 2D. an = 3^n +211. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，公比q = 3，则S5的值为______。
12. 在△ABC中，若∠A = 45°，∠B = 60°，则sinC的值为______。
2024届吉林省长春市东北师范大学附属中学高三模拟预测数学试题(含答案)
2024届吉林省长春市东北师范大学附属中学高三模拟预测数学试题考试时长：120分钟试卷总分：150分注意事项：1．答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合，则A ．B ．C ．D ．2．如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是A ．B ．C ．D ．3．已知圆，圆，则这两圆的位置关系为A ．内含B ．相切C ．相交D ．外离4．函数图象的对称中心为A ．B ．C ．D ．5．记为等差数列的前项和，若，则A ．30B ．40C ．50D ．606．若，则A ．B ．C ．D ．7．一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m ，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是A ．4B ．5C ．6D ．98．函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是{}{4},2x A x x B y y =∈<==N ∣∣A B ⋂=∅{0,1,2,3}{1,2,3}(0,4)a b 、a b= 1a b = 22a b≠ 22||||a b = 22:(2)(4)25E x y -+-=22:(2)(2)1F x y -+-=32()3f x x x =-(0,0)(1,2)-327,28⎛⎫-⎪⎝⎭(2,4)-n S {}n a n 375610,35a a a a +==10S =π1cos 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2α=58-5878-7835π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭A ．B ．函数的最小正周期为C ．函数在上单调递减D ．函数的图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列基本事实叙述正确的是A ．经过两条相交直线，有且只有一个平面B ．经过两条平行直线，有且只有一个平面C ．经过三点，有且只有一个平面D ．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面10．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，若，则下列选项一定正确的是A ．B ．C ．D ．11．已知正数a ，b ，c 满足为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设复数满足（其中为虚数单位），则______．13．在中，已知，当边BC 的中线的面积为______．14．已知椭圆：的左、右焦点分别为，点是轴正半轴上一点，交椭圆于点，若，且的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）己知函数，其中．π2,6A ϕ==()f x 2π()f x ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭()f x π12y 312(),(),()433P B P A B P A B ==+=∣1()4P AB =1()8P AB =1()6P A =1()4P A =2e ln ,e a b c ==2ac b>1b >2a c b +>c a>z (i)(1i)2z --=i ||z =ABC π,3A BC ==AD =ABC 2221(1)x y a a+=>12F F 、P y 1PF A 21AF PF ⊥2APF ()ln (1)f x x a x =--a ∈R（1）若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值；（2）是否存在实数，使得在（为自然对数的底数）上的最大值是-2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．16．（本题满分15分）某单位招聘大学应届毕业生，已知共有6名学生进入最后面试环节，分别是来自A 校的3人，校的2人和校的1人．该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟．（1）分别求面试号码为6号的学生来自校、校、校的概率；（2）记随机变量表示最后一名A 校学生完成面试所用的时长（从第1名学生开始面试到最后一名校学生完成面试所用的时间），求的分布列与数学期望．17．（本题满分15分）在四棱锥中，底面ABCD 是边长为2的正方形，，直线PA 与BC 所成的角的正切值等于分别是PB 、PC 的中点．（1）判断直线AM 和DN 的位置关系（不必说明理由，直接写出结论即可）；（2）证明：平面平面ABCD ；（3）求平面MPD 与平面APD 夹角的余弦值．18．（本题满分17分）己知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为6，左顶点为，点B ，C 是双曲线的右支上相异的两点，直线AB ，AC 分别与直线文于点M ，N ，且以线段MN 为直径的圆恰过双曲线的右焦点．（1）求双曲线的标准方程；（2）求面积的最小值．19．（本题满分17分）记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设()y f x =1x =a a ()f x (0,e]x ∈e a B C (1,2,3,,6)k k = k A B C X A X P ABCD -PA PD =2,3,PB M N =、PAD ⊥2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>y x =A E 1:2l x =E F E ABC {}{nS a =∣{}n a }*n ∈N {}na S ∈．定义运算若，则，且．（1）设，用表示；（2）若，证明：：（3）若数列满足数列满足设，证明：．高三年级第六次模拟考试数学试题答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．题号12345678答案CDABDCCC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABACBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分．共15分．1213．14．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）解：（1），则，{}()112,n n n a a a x a x x ϕ-=++++∈R :⊗{}{},n n a b S ∈{}{}n n a b S ⊗∈{}{}(){}(){}()nnnna b a b ϕϕϕ⊗= {}{}{}n n n a b d ⊗=123123,,,,,a a a b b b 3d {}{}{},,n n n a b c S ∈{}{}(){}{}{}{}()nnnnnna b c a b c ⊗⊗=⊗⊗{}n a 2(1)1,1100, (1)0,100.n n n a n n n ⎧++≤≤⎪=+⎨⎪>⎩{}n b 2031,1500,20,500.nn n b n -⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩{}{}{}n n na b d ⊗=20012d <1()(1)f x a x'=--(1)2,(1)1f a f a '=-=-故曲线在处的切线为，即．当时，此时切线为，不符合要求；当时，令，有．令，有，故，即．（2），因为，所以．①当时，即时，在上单调递增，所以的最大值是，解得，舍去；②当时，即时，令时，则；令时，则．所以的单调递增区间是，单调递减区间是．所以，所以符合题意．综上，存在符合题意，此时．16．（本题满分15分）解：（1）记“面试号码为6号的学生来自校、B 校、校”分别为事件A 、B 、C ．将A 校3名学生面试号码的安排情况作为样本空间，则样本点总数为，事件表示校有1名学生的面试号码为6，则事件包含的样本点数为，故．同理，．（2）随机变量的取值为15，20，25，30．所以的分布列为：15202530()y f x =1x =(1)(2)(1)y a a x --=--(2)1y a x =--2a =1y =-2a ≠0x =1y =-0y =12x a =-112a =--3a =1()(1)f x a x '=--0e x <≤11e x ≥11e a -≤11ca ≤+()0,()f x f x '≥(0,e]()f x (e)1(1)e 2f a =--=-31ea =+11e a ->11ea >+()0f x '>101x a <<-()0f x '<1e 1x a <<-()f x 10,1a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1,e 1a ⎛⎫⎪-⎝⎭max 1()ln(1)121f x f a a ⎛⎫==---=-⎪-⎝⎭e 1a =+a e 1a =+A C 36C A A A 25C 2536C 1()C 2P A ==11512166C C 11(),()C 3C 6P B P C ====X 22323366C C 13(15),(20),C 20C 20P X P X ======22543366C C 610(25),(30).C 20C 20P X P X ======X X P120320620102017．（本题满分15分）解:（1）直线AM 与DN 相交.（2）取AD 的中点为，连接PO ，BO ．因为，所以．因为，所以就是当线PA 与BC 所成的角，所以，又底面ABCD 是边长为2的正方形，所以，由得，．又，则有．所以．又平面．所以平面ABCD ．而平面PAD ．所以平面平面ABCD .（3）因为M 是PB 的中点，所以平面MPD 即为平面BPD ．在正方形ABCD 中，取BC 的中点，连接OQ ，则，又由（2）知平面ABCD ，故以O 为原点，OQ 、OA 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、轴、建如图所示的空间直角坐标系．则．依．则，取，则，故，而平面APD 的法向量为．所以平而MPD 与平而APD 夹角的余弦作为．18．（本题满分17分）13610105()15202530.202020204E X =⨯+⨯+⨯+⨯=O PA PD =PO AD ⊥//BC AD PAD ∠tan 2PAD ∠=22,AD AO BO ===tan 2POPAD AO∠==2PO =3PB =222PB PO BO =+PO BO ⊥,AD BO ⊂,ABCD BO AD O ⋂=PO ⊥PO ⊂PAD ⊥Q OQ AD ⊥PO ⊥z (2,1,0),(0,1,0),(0,0,2)B D P -(2,2,0),(2,1,2)BD BP =--=--220220n BD x y n BP x y z ⎧=--=⎪⎨=--+=⎪⎩ 2x =2,1y z =-=(2,2,1)n =- 2(1,0,0).cos ,||3m n m m n m n =〈〉===‖23解：（1）由题意可知，解得，双曲线的标准方程为；（2）由（1）知，，则直线是线段AF 的垂直半分线．因为以线段MN 为直径的圆恰过点，所以以线段MN 为直径的圆恰过点．所以，故．设直线，由双曲线的对称性可得B ，C 必在轴两侧，则，故将代入，得，则①，②，由B ，C 必在轴两侧，可得，因为，所以，所以，所以，③，将①②代入③中并整理，得，解得（舍去）或，所以直线过定点所以令，则，由对勾函数的性质可得在上单调递减，，2223c ba c ab =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴E 22145x y -=(2,0)A -1:2lx =F A ABAC ⊥0AB AC =()()1122:,,,,BC x my n B x y C x y =+x 1||m >||m <=x my n =+22145x y -=()22254105200m y mny n -++-=()221221080540,54mn m n y y m -∆=+->+=-212252054n y y m-=-x 2122520054n y y m -=<-||m <=2540m -<25200n ->||2n >()()()()121212122222AB AC x x y y my n my n y y =+++=+++++()()2212121(2)(2)0m y y m n y y n =++++++=216360n n --=2n =-18n =:18BC x my =+()2(18,0),8053200T m ∆=+>1210ABC ATB ATC S S S y y =+=-= ==232464645m t t ⎛⎫+=≤<⎪⎝⎭ABC S == 2324253240u t t =+-32464,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭max 14u =所以，当且仅当，即时取等号，所以面积的最小值为400．19．（本题满分17分）解：（1）因为，所以，所以，所以．（2）因为，所以．又，所以，所以．（3）对于，因为，所以，所以，所以，所以．所以．所以．所以400ABC S ≥ 64t =0m =ABC {}{}{}n n n a b d ⊗={}(){}{}(){}(){}()nnnnnd a b a b ϕϕϕϕ=⊗= ()()2221231231233,d d x d x a a x a x b b x b x x +++=++++++∈R 3132231d a b a b a b =++{}{}(){}(){}()nnnna b a b ϕϕϕ⊗= {}{}(){}(){}{}(){}(){}(){}(){}()nnnnnnnnna b c a b c a b c ϕϕϕϕϕϕ⊗⊗=⊗= {}{}{}()(){}(){}{}(){}(){}(){}()nnnnnnnnna b c a b c a b c ϕϕϕϕϕϕ⊗⊗=⊗= {}{}(){}(){}{}{}()()nnnnnna b c a b c ϕϕ⊗⊗=⊗⊗{}{}(){}{}{}{}()nnnnnna b c a b c ⊗⊗=⊗⊗{}{},n n a b S ∈{}{}{}n n n a b d ⊗={}(){}{}(){}(){}()nnnnnd a b a b ϕϕϕϕ=⊗= ()()111121212n n n n n n a a x a x b b x b x d d x d x ---++++++++=++++ ()()()1112111121,n n k n k n n n n k n k n n d x a b x a x b x a x b x a x b x ------+--=+++++∈R 1211121n n n k n k n n d a b a b a b a b a b -+--=++++++ 220010020010010020020120120120121110111(1)1(1)2k kk k k kk kk k k k k k k d a ba b a ba b k k ----+=====++==+==+∑∑∑∑∑100100100200221211112111112122(1)2k k k k k k k d k k k k ++++===⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦∑∑∑ 1001002100102111111111821,12424212k k +=⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-=- ⎪⎝⎭-∑1001002002121111122(1)2k k k k k d k k +++==⎡⎤=+-⎢⎥+⎣⎦∑∑ 102233410110211111111421222223210021012=-+-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯1021021111. 2210122=--<⨯。
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东北师大附中数学高考模拟试题一、选择题（每小题5分，共60分） 1．二项式6)1(x -展开式的第三项是（ ）．A ．220x - B ．215x - C ．220x D ．215x2．（文科做）直线l 过点A （-2，-3）且在两坐轴上的截距相等，直线l 的方程是（ ）． A ．0=+y x B ．05=++y xC ．023=-y xD ．02305=-=++y x y x 或 （理科做）极坐标方程21sin cos ==θρθρ与的图形是（ ）．A B C D3．已知复平面内，复数i 31-，i 31+-分别对应点1Z 、2Z ，则向量21Z Z 对应复数的幅角主值是（ ）．A ．3π2 B ．6π5 C ．3π- D ．3π5 4．正方体的顶点都在球面上，这个球的球面面积是22πa ，则正方体的全面积是（ ）．A ．62aB ．42a C ．2a D ．223a5．在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排与一行，则得到的数能被5或2整除的概率是（ ）．A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.2 6．函数32x x y +-=的单调递减区间是（ ）．A ．-∞(，)36-B ．36(，)∞+ C ．-∞(，36()36 -，)∞+ D ．36(-，)36 7．已知A 、B 、C 三点在曲线x y =上，其横坐标依次为1，m ，4)41(<<m ，当△ABC 的面积最大时，m 等于（ ）．A ．3B ．49C ．25D ．23 8．把函数的图象)3π4cos(+=x y 沿x 轴平移||ϕ个单位，所得图象关于原点对称，则||ϕ的最小值是（ ）．A ．6π5B ．6πC ．32πD ．34π9．圆台上、下底面积分别为π、，4π侧面积为，6π这个圆台的体积是（ ）．A ．π332 B ．π32 C ．π637 D ．π337 10．已知直线012=++y a x 与直线03)1(2=+-+by x a 互相垂直，则||ab 的最小值为（ ）． A ．1 B ．2 C ．4 D ．511．双曲线22ax －22b y ＝1的一条准线被它的两条渐近线所截得线段长度恰好为它的一个焦点到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率是（ ）．A ．3B ．2C ．3D ．212．设二次函数，)0()(2>+-=a a x x x f 若0)(<m f ，则)1(-m f 的值为（ ）． A ．正数 B ．负数C ．非负数D ．正数、负数和零都有可能二、填空题（每小题4分，共16分）13．已知，xx x f 212)(+=则=-)31(1f __________． 14．（文科做）设q ＞1，则111lim ++∞→--n nn q q ＝__________．（理科做）无穷等比数列：1，θ2sin 21+，2)2sin 21(θ+，…，n)2sin 1(θ+，…的各项和存在，则θ的取值范围是__________．15．甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，若甲不值周一、乙不值周六，则可排出不同的值班表数为__________（用数字作答）． 16．已知函数)()(x g x f ，的定义域为R ，设不等式)0(|)()(|><+a a x g x f 的解集为M ，不等式a x g x f <++|)(||)(|的解集为N ，则集合M 与N 的关系是M __________N （填⊇⊆，，≠⊂，≠⊃中的一种）．三、解答题（第17~21题每题12分，每22题14分，共74分）17．设两个向量，，21e e 满足2||1=e ，1||2=e ，1e ，2e 的夹角为o60，若向量2172e te +与向量21te e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．18．已知}{n a ，}{n b 为两个数列，点M （1，2）n n n B a A ，，)2(nn 1(-，)2n 为直角坐标平面上的点． （1）对*N ∈n ，若点M ，n n B A ，在一条直线上，求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足：，nnn n a a a b a b a b a c ++++++= 2122112log 其中}{n c 的第三项为8，公比为4的等比数列．求}{n b 的通项公式．19．如图，正方体1111D C B A ABCD -，棱长为a ，E 、F 分别为AB 、BC 上的点，且AE ＝BF ＝x ．（1）当x 为何值时，三棱锥BEF B -1的体积最大？（2）求三棱椎BEF B -1的体积最大时，二面角B EF B --1的正切值； （3）（理科做）求异面直线E A 1与F B 1所成的角的取值范围．20．某公司取消福利分房和公费医疗，实行年薪制工资结构改革，该公司从2000年起每人的工资由如果公司现有5名职工，计划从明年起每年新招5名职工．（1）若今年（2000年）算第一年，试把第n 年该公司付给职工工资总额y （万元）表示成年限n 的函数； （2）试判断公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和能否超过基础工资总额的20%？21．已知抛物线)21(22+=x y 的焦点为F ，准线为l ，是否存在双曲线C ，同时满足以下两个条件： （1）双曲线C 的一个焦点为F ，相应于F 的准线为l ；（2）双曲线C 上有A 、B 两点关于直线0=-y x 对称，且22||=AB ． 若存在这样的双曲线，求出该双曲线C 的方程；若不存在，说明理由．22．已知)(x f 是定义在[-1，1]上的奇函数，且1)1(=f ，若1[-∈n m ，，]1，当0≠+n m 时，0)()(>++nm n f m f ．（1）用单调性定义证明)(x f 在1[-，]1上是增函数； （2）解不等式：)11()21(-<+x f x f ； （3）（理科做）若12)(2+-≤at t x f 对所有1[-∈x ，]1，1[-∈a ，]1恒成立，求实数t 的取值范围．参考答案1．D 2．（文）D ，（理）A 3．A 4．C 5．B 6．D 7．B 8．B 9．D 10．B 11．B 12．A 13．-１ 14．（文）q 1，（理）)π4ππ()4ππ2ππ(k k k k ，，---，Z ∈k 15．42 16．⊇ 17．cos 1221⨯⨯=⋅e e 60°=1，421=e ，122=e ，所以2121212)()72(te te e e te =++⋅ 71527)72(222212++=+++t t te e e t 又因为向量2172e te +与向量21te e +的夹角为纯角，则+22t 0715<+t ，解到；217-<<-t 当向量2172e te +与21te e +反向时，令，)(722121te e e te +=+λ)0(<λ ，，，，1421472722-=-=⇒=⇒⎩⎨⎧==λλλt t t t 即214-=t 时，向量2172e te +与向量21te e +的夹角为π；t 的取值范围是)21214()2147(----，，18．（1）因为n n B A M ，，三点共线，所以n a nn n a n n 21122122=---=--，．)(*N ∈n （2）)1(2)22(21+=+=+++⋅n n nn a a a n ，由已知323248--==⋅n n n c ，因为nnn n a a a b a b a b a c ++++++= 2122112l o g ，所以++2211b a b a )32)(1(-+=+n n n b a n n ，)52)(1(112211--=+++--n n n b a b a b a n n ，)86(-=n n b a n n ，43-=n b n19．（1）x x a a a x x a V BEFB )(6)(21311-=-=⋅⋅⋅-24)2(632a x x a a =+-≤，当2a x =时，三棱锥BEF B -1的体积最大． （2）取EF 中点O ，由EF O B EF BO ⊥⊥1，，所以OB B 1∠就是二面角B EF B --1的平面角．在Rt △BEF 中，a a EF BO 22222121===⋅ 22tan 11==BOBB OB B ． （3）在AD 上取点H 使AH ＝BF ＝AE ，则11////B A CD HF ， 11B A CD HF ==，F B H A 11//，所以E HA 1∠（或补角）是异面直线E A 1与F B 1所成的角；在Rt △AH A 1中，221x a H A +=，在Rt △AE A 1中，=E A 122x a +，在Rt △HAE 中，x x x HE 222=+=，在△E HA 1中，EA H A EH E A H A E HA 112212112cos ⋅-+=，222x a a +=因为a x ≤<0，所以22222a a x a ≤+<，121222<+≤a x a ，1cos 211<≤E HA ，3π01≤∠<E HA 20．（1）第n 年共有5n 个职工，那么基础工资总额为nn )1011(5+（万元），医疗费总额为16.05⨯n 万元，房屋补贴为5×0.04＋5×0.04×2＋5×0.04×3＋…＋5×0.04×n ＝0.1×n （n ＋1）（万元），则=++⨯++=n n n n y n8.0)1(1.0)1011(51.0)1011(5[++n n ]8.0)1(++⨯n （万元）． （2）=-+⨯-⨯+8.0)1(1.0%20)1011(5n n n )1011(+ n n )1011(10[101)9(101+=+-)]9(+-n ，因为=+n )1011(10211011(10n n C C ++⋅ )1001 +⋅910)101(10+>+=+>n n n ，故房屋补贴和医疗费总和不会超过基础工资总额的20% 21．假设满足题意的双曲线C 存在，并设其离心率为e ，AB 的中点坐标为)(00x x ，，点A 的坐标为)(11y x ，，则点B 的坐标为102(x x -，)210y x -．因为直线AB 的斜率1-=AB k ，且22||=AB ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+---=----，，22])2[(])2[(1)2()2(21102110110110y y x x x x x x x y y x 由此解到⎩⎨⎧+=-=，，110101x y x x 或⎩⎨⎧-=+=，，110101x y x x 不失一般性，取)11()11(0000-++-x x B x x A ，，，，由于F （0，0）和l ：x 1-=是对应的焦点和准线，所以||)1()1(02020x x x ++-＝e x x x =++++|2|)1()1(02020，解到a ＝-１，e ＝2．故满足题意的双曲线C 存在，其方程为2|1|22=++x y x ，即048322=+-+y x x 另解：由题意得：焦点F （0，0），准线l ：x 1-=．设双曲线离心率为e ，则由，e x y x =++|1|22可得双曲线方程为：x e x e 2222)1(+- 022=+-e y ①；设直线AB 方程为：m x y +-=②，则由①②得 0)(2)2(22222=+-++-e m x m e x e ③，设AB 中点为，，)(00y x 则有2221022e m e x x x -+=+=，，222002e m me e m x y -+--=+-=由=0x ，0y 可解得，2-=m 则③式化为；04)2(2)2(2222=+--+-e x e x e 又由22||=AB 可得e ＝2，代入①即得048322=+-+y x x 22．（1）任取，1121≤<≤-x x 则+=-)()()(121x f x f x f 21212)()()(x x x f x f x f --+=-)(21x x -，因为1121≤<≤-x x ，所以0)(21≠-+x x ，由已知有0)()(2121>--+x x x f x f ，又021<-x x ，则0)()(21<-x f x f ，即)(x f 在[-1，1]上为增函数． （2）因为)(x f 在[-1，1]上为增函数，所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-，，，112111111211x x x x 解集为：123|{-<≤-x x ，}R ∈x ．（3）由（1）可知)(x f 在[-1，1]上为增函数，且1)1(=f ，故对1[-∈x ，]1，恒有1)(≤x f ，所以要12)(2+-≤at t x f 对所有1[-∈x ，]1，1[-∈a ，]1恒成立，即要1122≥+-at t 成立，故022≥-at t ，记at t a g 2)(2-=，对1[-∈a ，]1，使0)(≥a g ，只需⎩⎨⎧≥≥-，，0)1(0)1(g g 解到2-≤t 或0=t 或2≥t ．所以t 的取值范围是：{2|-≤t t 或0=t 或2≥t }。