走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学4-2
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 11-4数学归纳法课后强化作业 新人教A版
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 11-4数学归纳法课后强化作业 新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<3[答案]B[解析]∵n ∈N *，n >1，∴n 取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.2．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )A ．n ＝6时该命题不成立B ．n ＝6时该命题成立C ．n ＝4时该命题不成立D ．n ＝4时该命题成立 [答案]C[解析]∵“若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则当n ＝k ＋1时，该命题也成立”，故若n ＝4时命题成立，则n ＝5时命题也应成立，现已知n ＝5时，命题不成立，故n ＝4时，命题也不成立．[点评] 可用逆否法判断．3．用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n 2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3，第二步证明由“k 到k ＋1”时，左边应加( )A ．k 2B ．(k ＋1)2C ．k 2＋(k ＋1)2＋k 2D ．(k ＋1)2＋k 2 [答案]D[解析]当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋…＋22＋12，∴选D.4．(2013·某某某某联考)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n ＋1＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n )时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝( )时等式成立．( )A ．k ＋1B ．k ＋2C ．2k ＋2D ．2(k ＋2) [答案]B[解析]∵n ＝k 为偶数，∴下一个偶数应为n ＝k ＋2，故选B.5．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2、a 3、a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －2B ．a n ＝n 2C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝4n －3 [答案]B[解析]a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2. 二、填空题6．如果不等式2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立，则n 0的最小值为________． [答案]5[解析]当n ＝1时，2>2不成立， 当n ＝2时，4>5不成立． 当n ＝3时，8>10不成立 当n ＝4时，16>17不成立 当n ＝5时，32>26成立当n ＝6时，64>37成立，由此猜测n 0应取5.7．用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n (3n ＋1)2(n ∈N *)的第二步中，当n ＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时等式左边的差等于________．[答案]3k ＋2[解析][(k ＋1)＋1]＋[(k ＋1)＋2]＋…＋[(k ＋1)＋(k ＋1)]－[(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(k ＋k )] ＝[(k ＋1)＋k ]＋[(k ＋1)＋(k ＋1)]－(k ＋1) ＝3k ＋2.8．(2012·某某一模)已知n ∈N *，设平面上的n 个椭圆最多能把平面分成a n 部分，则a 1＝2，a 2＝6，a 3＝14，a 4＝26，…，则a n ＝________.[答案]2n 2－2n ＋2[解析]观察规律可知a n －a n －1＝(n －1)×4，利用累加法可得a n ＝2n 2－2n ＋2.9．(2012·某某模拟)如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来的(n ＝1,2,3，…)，则第n －2(n ≥3，n ∈N *)个图形共有________个顶点．[答案]n (n ＋1)[解析]当n ＝1时，顶点共有3×4＝12(个)， 当n ＝2时，顶点共有4×5＝20(个)， 当n ＝3时，顶点共有5×6＝30(个)， 当n ＝4时，顶点共有6×7＝42(个)，故第n －2图形共有顶点(n －2＋2)(n －2＋3)＝n (n ＋1)个． 三、解答题10．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)．试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n 与1的大小，并说明理由． [解析]∵f ′(x )＝x 2－1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1.∵函数g (x )＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x 在区间[－1，＋∞)上单调递增，于是由a 1≥1，及a 2≥(a 1＋1)2－1得，a 2≥22－1，进而得a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1>23－1，由此猜想：a n ≥2n －1.下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时结论成立，即a k ≥2k －1，则当n ＝k ＋1时，由g (x )＝(x ＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k －1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②知，对任意n ∈N *，都有a n ≥2n －1. 即1＋a n ≥2n .∴11＋a n ≤12n .∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a 3＋…＋11＋a n ≤12＋122＋123＋…＋12n ＝1－(12)n <1.能力拓展提升11.已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n1－4a 2n (n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)． (1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． [解析](1)由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1. ∴b 2＝b 11－4a 21＝13，a 2＝a 1·b 2＝13. ∴点P 2的坐标为(13，13)．∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立， 则当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1 ＝b k 1－4a 2k ·(2a k＋1)＝b k1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上． 12．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N *.(1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明． [解析](1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1， 所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)<g (2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)<g (3)．(2)由(1)猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明． ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时不等式成立， 即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2，那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3<32－12k 2＋1(k ＋1)3， 因为12(k ＋1)2－[12k 2－1(k ＋1)3]＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2＝－3k －12(k ＋1)3k 2<0， 所以f (k ＋1)<32－12(k ＋1)2＝g (k ＋1)．由①②可知，对一切n ∈N *， 都有f (n )≤g (n )成立．13．(2013·某某一模)已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝1，当n ∈N *时，a n ＋2＝a n ＋1＋a n .求证：数列{a n }的第4m ＋1项(m ∈N *)能被3整除．[证明](1)当m ＝1时，a 4m ＋1＝a 5＝a 4＋a 3＝(a 3＋a 2)＋(a 2＋a 1)＝(a 2＋a 1)＋2a 2＋a 1＝3a 2＋2a 1＝3＋0＝3.即当m ＝1时，第4m ＋1项能被3整除．故命题成立． (2)假设当m ＝k 时，a 4k ＋1能被3整除， 则当m ＝k ＋1时，a 4(k ＋1)＋1＝a 4k ＋5＝a 4k ＋4＋a 4k ＋3＝2a 4k ＋3＋a 4k ＋2＝2(a 4k ＋2＋a 4k ＋1)＋a 4k ＋2 ＝3a 4k ＋2＋2a 4k ＋1.显然，3a 4k ＋2能被3整除， 又由假设知a 4k ＋1能被3整除．∴3a 4k ＋2＋2a 4k ＋1能被3整除．即当m ＝k ＋1时，a 4(k ＋1)＋1也能被3整除．命题也成立．由(1)和(2)知，对于n ∈N *，数列{a n }中的第4m ＋1项能被3整除． 14．用数学归纳法证明下面的等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n (n ＋1)2. [证明](1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0·1×(1＋1)2＝1，∴原等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立， 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2 ＝(－1)k －1k (k ＋1)2. 那么，当n ＝k ＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1)k －1k (k ＋1)2＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1)k·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)]＝(－1)k(k ＋1)(k ＋2)2，∴n ＝k ＋1时，等式也成立， 由(1)(2)得对任意n ∈N ＋有 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2 ＝(－1)n －1n (n ＋1)2.考纲要求1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．补充说明1．归纳法归纳法有不完全归纳法和完全归纳法，如果我们考察了某类对象中的一部分，由这一部分对象具有某种特征而得出该类对象中的全体都具有这种特征的结论，为不完全归纳．由不完全归纳法得出的结论不一定都是正确的，其正确性还需进一步证明；如果我们考察了某类对象中的每一个对象，而得出该类对象的某种特征的结论为完全归纳，由完全归纳法得出的结论一定是正确的，数学归纳法是一种完全归纳法．2．归纳、猜想与证明从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从理论上证明(或否定)这种猜想，即“归纳—猜想—证明”．这是我们归纳探究一些有规律性问题的一般步骤．3．在用数学归纳法证明不等式时，常根据题目的需要进行恰当的放缩，要注意既不能放缩的不到位，也不能放缩过了头．备选习题1．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某人的证明过程如下：1°当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立.2°假设n＝k(k∈N*)时不等式成立，即k2＋k<k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋k＋2＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立.上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[答案]D[解析]上述证明过程中，在由n＝k变化到n＝k＋1时，不等式的证明使用的是放缩法而没有使用归纳假设．故选D.2．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为( )A ．190B ．715C ．725D ．385 [答案]B[解析]由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n 项和，通项a n ＝4n －3.由此可归纳出第n 件首饰的珠宝数为n [1＋(4n －3)]2＝2n 2－n .则前n 件首饰所用的珠宝总数为2(12＋22＋…＋n 2)－(1＋2＋…＋n )＝4n 3＋3n 2－n6. 当n ＝10时，总数为715.3．(2013·某某模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足2S n ＝a 2n ＋n ，a n >0(n ∈N *)．(1)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明．(2)设x >0，y >0，且x ＋y ＝1，证明：a n x ＋1＋a n y ＋1≤2(n ＋2). [解析](1)分别令n ＝1,2,3， 得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝a 21＋1，2(a 1＋a 2)＝a 22＋2，2(a 1＋a 2＋a 3)＝a 23＋3.∵a n >0，∴a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3. 猜想：a n ＝n . 由2S n ＝a 2n ＋n .①可知，当n ≥2时，2S n －1＝a 2n －1＋(n －1)．②①－②，得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1， 即a 2n ＝2a n ＋a 2n －1－1.(ⅰ)当n＝2时，a22＝2a2＋12－1，∵a2>0，∴a2＝2.(ⅱ)假设当n＝k(k≥2)时，a k＝k，那么当n＝k＋1时，a2k＋1＝2a k＋1＋a2k－1＝2a k＋1＋k2－1⇒[a k＋1－(k＋1)][a k＋1＋(k－1)]＝0，∵a k＋1>0，k≥2，∴a k＋1＋(k－1)>0，∴a k＋1＝k＋1.即当n＝k＋1时也成立．∴a n＝n(n≥2)．显然n＝1时，也成立，故对于一切n∈N*，均有a n＝n.(2)要证nx＋1＋ny＋1≤2(n＋2)，只要证nx＋1＋2(nx＋1)(ny＋1)＋ny＋1≤2(n＋2)．即n(x＋y)＋2＋2n2xy＋n(x＋y)＋1≤2(n＋2)，将x＋y＝1代入，得2n2xy＋n＋1≤n＋2，即只要证4(n2xy＋n＋1)≤(n＋2)2，即4xy≤1.∵x>0，y>0，且x＋y＝1，∴xy≤x＋y2＝12，即xy≤14，故4xy≤1成立，所以原不等式成立．[失误与防X]证明不等式时，不能利用x＋y＝1作代换，找不到思路是解答本题中常出现的失误．证题时要注意把题设条件(特别是隐含条件)都找出来，当证题思路打不通时，看看有没有没用上的条件．4．(2013·房山摸底)已知曲线C：y2＝2x(y≥0)，A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，…，A n(x n，y n)，…是曲线C上的点，且满足0<x1<x2<…<x n<…，一列点B i(a i,0)(i＝1,2，…)在x轴上，且△B i－1A iB i(B0是坐标原点)是以A i为直角顶点的等腰直角三角形．(1)求A1，B1的坐标；(2)求数列{y n}的通项公式；(3)令b i ＝1a i ，c i ＝(2)－y i 2，是否存在正整数N ，当n ≥N 时，都有∑i ＝1nb i <∑i ＋1n c i ，若存在，求出N 的最小值并证明；若不存在，说明理由．[解析](1)∵△B 0A 1B 1是以A 1为直角顶点的等腰直角三角形， ∴直线B 0A 1的方程为y ＝x . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2x ，y >0，得x 1＝y 1＝2，即点A 1的坐标为(2,2)，进而得B 1(4,0)．(2)根据△B n －1A n B n 和△B n A n ＋1B n ＋1分别是以A n 和A n ＋1为直角顶点的等腰直角三角形可得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝x n ＋y n ，a n ＝x n ＋1－y n ＋1，即x n ＋y n ＝x n ＋1－y n ＋1.(*)∵A n 和A n ＋1均在曲线C ：y 2＝2x (y ≥0)上，∴y 2n ＝2x n ，y 2n ＋1＝2x n ＋1.∴x n ＝y 2n 2，x n ＋1＝y 2n ＋12，代入(*)式得y 2n ＋1－y 2n ＝2(y n ＋1＋y n )． ∴y n ＋1－y n ＝2(n ∈N *)．∴数列{y n }是以y 1＝2为首项，2为公差的等差数列． ∴其通项公式为y n ＝2n (n ∈N *)．(3)由(2)可知，x n ＝y 2n2＝2n 2，∴a n ＝x n ＋y n ＝2n (n ＋1)．∴b i ＝12i (i ＋1)，c i ＝(2)－y i 2＝12i ＋1，∴∑i ＝1nb i ＝12(1×2)＋12(2×3)＋…＋12n (n ＋1)＝12(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝12(1－1n ＋1)， ∑i ＝1n c i ＝122＋123＋…＋12n ＋1＝14(1－12n )1－12＝12(1－12n )． ∑i ＝1n b i －∑i ＝1n c i ＝12(1－1n ＋1)－12(1－12n ) ＝12(12n －1n ＋1)＝n ＋1－2n 2n ＋1(n ＋1). 当n ＝1时，b 1＝c 1不符合题意，当n ＝2时b 2<c 2符合题意，当n ＝3时，b 3<c 3，符合题意，猜想对于一切大于或等于2的自然数都有∑i ＝1n b i <∑i ＝1nc i ，(*)观察知，欲证(*)式成立，只需证明n ≥2时，n ＋1≤2n .以下用数学归纳法证明，①当n ＝2时，左边＝3，右边＝4，左边<右边；②假设n ＝k (k ≥2)时，k ＋1<2k ，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1)＋1<2k ＋1<2k ＋2k ＝2k ＋1＝右边．∴对于一切大于或等于2的正整数，都有n ＋1<2n ，即∑i ＝1n b i <∑i ＝1nc i 成立．综上，满足题意的n 的最小值为2.5．已知正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有a 2n ≤a n －a n ＋1成立．(1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1；(2)探究a n 与1n的大小，并证明你的结论． [解析](1)由a 2n ≤a n －a n ＋1得a n ＋1≤a n －a 2n .∵在数列{a n }中a n >0，∴a n ＋1>0，∴a n －a 2n >0，∴0<a n <1，故数列{a n }中的任何一项都小于1.(2)解法1：由(1)知0<a n <1＝11， 那么a 2≤a 1－a 21＝－⎝⎛⎭⎫a 1－122＋14≤14<12， 由此猜想：a n <1n. 下面用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N 时猜想正确．①当n ＝2时，显然成立；②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N )时，有a k <1k ≤12成立． 那么a k ＋1≤a k －a 2k ＝－⎝⎛⎭⎫a k －122＋14<－⎝⎛⎭⎫1k －122＋14＝1k －1k 2＝k －1k 2<k －1k 2－1＝1k ＋1， ∴当n ＝k ＋1时，猜想也正确．综上所述，对于一切n ∈N *，都有a n <1n. 解法2：由a 2n ≤a n －a n ＋1，得0<a k ＋1≤a k －a 2k ＝a k (1－a k )，∵0<a k <1，∴1a k ＋1≥1a k (1－a k )＝1a k ＋11－a k， ∴1a k ＋1－1a k ≥11－a k>1. 令k ＝1,2,3，…，n －1得：1a 2－1a 1>1，1a 3－1a 2>1，…，1a n －1a n －1>1， ∴1a n >1a 1＋n －1>n ，∴a n <1n. 6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 都在函数f (x )＝x ＋a n 2x的图象上．(1)求a 1、a 2、a 3的值，猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明；(2)将数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a 1)，(a 2，a 3)，(a 4，a 5，a 6)，(a 7，a 8，a 9，a 10)；(a 11)，(a 12，a 13)，(a 14，a 15，a 16)，(a 17，a 18，a 19，a 20)；(a 21)，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n }，求b 5＋b 100的值．[分析] (1)将点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 代入函数f (x )＝x ＋a n 2x中，通过整理得到S n 与a n 的关系，则a 1，a 2，a 3可求；(2)通过观察发现b 100是第25组中第4个括号内各数之和，各组第4个括号中各数之和构成首项为68、公差为80的等差数列，利用等差数列求和公式可求b 100.[解析](1)∵点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 在函数f (x )＝x ＋a n 2x的图象上， ∴S n n ＝n ＋a n 2n ，∴S n ＝n 2＋12a n . 令n ＝1得，a 1＝1＋12a 1，∴a 1＝2； 令n ＝2得，a 1＋a 2＝4＋12a 2，∴a 2＝4； 令n ＝3得，a 1＋a 2＋a 3＝9＋12a 3，∴a 3＝6. 由此猜想：a n ＝2n .用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，由上面的求解知，猜想成立．②假设n ＝k (k ≥1)时猜想成立，即a k ＝2k 成立，则当n ＝k ＋1时，注意到S n ＝n 2＋12a n (n ∈N *)， 故S k ＋1＝(k ＋1)2＋12a k ＋1，S k ＝k 2＋12a k . 两式相减得，a k ＋1＝2k ＋1＋12a k ＋1－12a k ，所以a k ＋1＝4k ＋2－a k . 由归纳假设得，a k ＝2k ，故a k ＋1＝4k ＋2－a k ＝4k ＋2－2k ＝2(k ＋1)．这说明n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②知，对一切n ∈N *，a n ＝2n 成立．(2)因为a n ＝2n (n ∈N *)，所以数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2)，(4,6)，(8,10,12)，(14,16,18,20)；(22)，(24,26)，(28,30,32)，(34,36,38,40)；(42)，….每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b 100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以b100＝68＋24×80＝1988，又b5＝22，所以b5＋b100＝2010.[点评]由已知求出数列的前几项，做出猜想，然后利用数学归纳法证明，是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式问题的方法．证明的关键是根据已知条件和假设寻找a k与a k＋1或S k与S k＋1间的关系，使命题得证．。
走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题12
阶段性测试题十二(综合素质能力测试)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2014·海南省文昌市检测)设函数y ＝x －2的定义域为M ，集合N ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．∅B ．NC ．[1，＋∞)D ．M[答案] D[解析] 由题意知，M ＝{x |x ≥2}，N ＝{y |y ≥0}，∴M ∩N ＝M ，故选D.(理)(2014·泉州实验中学期中)设集合M ＝{x |x 2－2x －3<0}，N ＝{x |log 12x <0}，则M ∩N 等于( )A ．(－1,1)B ．(1,3)C ．(0,1)D ．(－1,0) [答案] B[解析] 由题意知M ＝{x |－1<x <3}，N ＝{x |x >1}，∴M ∩N ＝{x |1<x <3}．2．(2014·泸州市一诊)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x >1 D ．∃x ∈R ，tan x ＝2 [答案] B[解析] 当x ＝1时，(x －1)2＝0，∴B 为假命题．3．(文)(2014·哈六中期中)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＋a5＋a11＝12，则S11的值为()A．66 B．44C．36 D．33[答案] B[解析]∵a2＋a5＋a11＝3a1＋15d＝12，∴a6＝a1＋5d＝4，∴S11＝11a6＝44.(理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝a n－1＋2n(n≥2)，则a7＝() A．53 B．54C．55 D．109[答案] C[解析]∵a1＝1，a n＝a n－1＋2n，∴a7＝(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2×7＋2×6＋…＋2×2＋1＝55.4．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)如图是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是()A．4＋4 3 B．12C．4 3 D．8[答案] B[解析] 由三视图知，该几何体是正四棱锥，底面边长为2，高为3，∴表面积S ＝22＋4×(12×2×2)＝12，故选B.(理)(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )A ．2 3 B. 3 C ．4 D ．2[答案] A[解析] 由正视图和俯视图可知，其侧视图矩形的长和宽分别为3和2，∴其面积为S ＝2 3.5．(文)(2014·绵阳市南山中学检测)在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，如果向该矩形内随机投一点P ，那么使得△ABP 与△ADP 的面积都不小于1的概率为( )A.49B.13C.12D.25 [答案] A[解析] 在矩形内取一点Q ，由点Q 分别向AD 、AB 作垂线，垂足依次为E 、F ，由S △ABQ ＝S △ADQ ＝1知，QF ＝1，QE ＝23，设直线EQ 、FQ 分别交BC 、CD 于M 、N ，则当点P 落在矩形QMCN 内时，满足要求，∴所求概率P ＝S 矩形QMCN S 矩形ABCD ＝(3－1)×(2－23)3×2＝49.(理)(2014·山西省太原五中月考)若(x ＋2x 2)n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．180B ．120C ．90D ．45[答案] A[解析] ∵只有第6项的二项式系数最大，∴n ＝10，∴展开式的通项T r ＋1＝C r 10·(x )10－r ·(2x 2)r ＝2r ·C r 10·x 10－5r2，令10－5r 2＝0得，r ＝2，∴常数项为T 3＝22·C 210＝180.6．(2014·河南淇县一中模拟)下图是一个算法框图，则输出的k 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] C[解析] 解法1：k ＝1时，k 2－5k ＋4＝0，不满足条件；k ＝2时，k 2－5k ＋4＝－2不满足条件；k ＝3时，k 2－5k ＋4＝－2不满足条件；k ＝4时，k 2－5k ＋4＝0不满足条件；k ＝5时，k 2－5k ＋4＝0>0满足条件，此时输出k 的值为5.解法2：由k 2－5k ＋4>0得k <1或k >4，∵初值k ＝1，由“k ＝k ＋1”知步长为1，∴k ∈N ，∴满足k 2－5k ＋4>0的最小k 值为5，故当k ＝5时，满足程序条件，输出k 的值．7．(2014·山东省菏泽市期中)已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：①f (x ＋1)是偶函数；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1≤x 2≤3时，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，则f (2011)，f (2012)，f (2013)的大小关系为( )A ．f (2011)>f (2012)>f (2013)B ．f (2012)>f (2011)>f (2013)C ．f (2013)>f (2011)>f (2012)D ．f (2013)>f (2012)>f (2011) [答案] D[解析] ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期为4，∴f (2011)＝f (3)，f (2013)＝f (1)，∵f (x ＋1)是偶函数，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (2012)＝f (0)＝f (2)，∵1≤x 1<x 2≤3时，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，∴f (x )在[1,3]上单调递减，∴f (1)>f (2)>f (3)，∴f (2013)>f (2012)>f (2011)，故选D.8．(2014·海南省文昌市检测)过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为( )A ．a <－3或1<a <32B ．1<a <32C ．a >1或a <－3D ．－3<a <1或a >32[答案] A[解析] 由条件知点A 在圆外，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 2－2a 2＋a 2＋2a －3>0，4a 2－4(a 2＋2a －3)>0， ∴⎩⎨⎧a <－3或a >1，a <32，∴a <－3或1<a <32，故选A.9．(文)(2014·北京东城区联考)要得到函数y ＝sin(2x －π4)的图象，只要将函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移π4单位B ．向右平移π4单位 C ．向右平移π8单位 D ．向左平移π8单位 [答案] C[解析] ∵y ＝sin(2x －π4)＝sin[2(x －π8)]，∴将y ＝sin2x 的图象右移π8个单位即可得到y ＝sin(2x －π4)的图象．(理)(2014·开滦二中期中)已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝cos 2x －sin 2x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度 C ．向左平移π4个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度 [答案] C[解析] ∵f (x )＝a ·b ＝cos x sin x ＋sin x cos x ＝sin2x ，y ＝cos 2x －sin 2x＝cos2x ＝sin(π2＋2x )＝sin2(x ＋π4)，∴要得到函数y ＝cos 2x －sin 2x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位长度．10．(文)(2014·河北冀州中学期中)在平面直角坐标系中，A (3，1)，B 点是以原点O 为圆心的单位圆上的动点，则|OA →＋OB →|的最大值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] B[解析] 由条件知|OA→|＝2，|OB →|＝1， ∵|OA →＋OB →|2＝|OA →|2＋|OB →|2＋2OA →·OB →＝5＋2OA →·OB →，∴要使|OA →＋OB →|最大，应使OA →·OB→取最大值， 又|OA →|，|OB →|为定值，∴当OA →与OB →同向时，|OA →＋OB →|取到最大值，此时OA →·OB →＝2，∴|OA →＋OB →|max＝3，故选B. (理)(2014·华师一附中月考)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数的“新驻点”，若函数g (x )＝sin x (0<x <π)，h (x )＝ln x (x >0)，φ(x )＝x 3(x ≠0)的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c[答案] B[解析] g ′(x )＝cos x ，h ′(x )＝1x ，φ′(x )＝3x 2， 由sin x ＝cos x,0<x <π得x ＝π4，∴a ＝π4； 由x 3＝3x 2，x ≠0得x ＝3，∴c ＝3.由ln x＝1x及x>0得x>1,0<1x<1，∴1<x<e，即1<b<e，∵π4<1<b<e<3，∴a<b<c.11．(2014·山西曲沃中学期中)双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2＝4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为()A. 2 B．1＋ 2C．1＋ 3 D．2＋ 3[答案] B[解析]y2＝4x的焦点F2(1,0)，∵|AF2|＝|F1F2|＝2，∴由抛物线的定义知A点的横坐标为1，即AF2⊥x轴，从而|AF1|＝22，∴2a＝|AF1|－|AF2|＝22－2，∴a＝2－1，∴e＝ca＝12－1＝2＋1，故选B.12．(文)(2014·江西白鹭洲中学期中)函数f(x)＝x－sin x(x∈R)的部分图象可能是()[答案] A[解析] 首先f (x )为奇函数，排除D ；其次由f ′(x )＝1－cos x ≥0知f (x )为增函数，排除C ；又在(0，π)上y ＝cos x 单调递减，从而f ′(x )＝1－cos x 单调递增，即在(0，π)上f (x )的切线斜率逐渐增大，曲线向下凸，排除B ，选A. (理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)函数y ＝3x cos3x 9x －1的图象大致为( )[答案] D[解析] 对于f (x )＝3x cos3x9x －1，有f (－x )＝3－x cos (－3x )9－x －1＝3x cos3x 1－9x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ；当x 略大于0时，y >0，排除B ；由3x cos3x9x－1＝0得3x ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝π6＋k π3，∴f (x )的零点等间隔出现，排除C ，故选D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(文)(2014·抚顺二中期中)已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α－π4)＝________.[答案] －7[解析] ∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34，∴tan(α－π4)＝tan α－tan π41＋tan α·tan π4＝－34－11＋(－34)×1＝－7. (理)(2014·黄冈中学、荆州中学联考)在△ABC 中，b cos C ＋c cos Ba ＝________.[答案] 1[解析] 由正弦定理知，b cos C ＋c cos B a ＝sin B cos C ＋sin C cos B sin A ＝sin (B ＋C )sin A ＝sin (π－A )sin A ＝1.14．(文)(2014·韶关市曲江一中月考)设实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ≥y 2x －y ≤1，则3x ＋2y 的最大值是________．[答案] 5[解析] 作出可行域如图，作直线l 0：3x ＋2y ＝0，平移l 0得直线l ：3x ＋2y ＝u ，当l 经过点A (1,1)时，u 取最大值，u max ＝3×1＋2×1＝5.(理)(2014·山东省博兴二中质检)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0x ＋y －1≥03x －y －3≤0，则2x －y 的最大值为________．[答案] 2[解析] 作出可行域如图，作直线l 0：2x －y ＝0，平移l 0得直线l ：2x －y ＝t ，当平移到l 经过点A (1,0)时，t 取最大值，t max ＝2.[点评] 当直线l ：2x －y ＝t 的纵截距最小时，t 取最大值，故t 最大时，直线l 应过A (1,0)点，而不是B (0,1)点．15．(文)(2014·吉林省实验中学一模)已知奇函数f (x )是定义在R 上的增函数，数列{x n }是一个公差为2的等差数列，且满足f (x 8)＋f (x 9)＋f (x 10)＋f (x 11)＝0，则x 2014＝________.[答案] 4009[解析] ∵{x n }是公差为2的等差数列，∴x 8<x 9<x 10<x 11，∵奇函数f (x )是定义在R 上的增函数，∴f (x 8)<f (x 9)<f (x 10)<f (x 11)，又∵x 8＋x 11＝x 9＋x 10，f (x 8)＋f (x 9)＋f (x 10)＋f (x 11)＝0，∴x 8<x 9<0且x 11>x 10>0，∴x 10＝－x 9，x 11＝－x 8，∴x 9＝－1，x 2014＝x 9＋2·(2014－9)＝4009. (理)(2014·吉林市摸底)边长是22的正△ABC 内接于体积是43π的球O ，则球面上的点到平面ABC 的最大距离为________．[答案] 433[解析] 因为球O 的体积为43π，即4π3r 3＝43π，所以r ＝3，设正△ABC 的中心为D ，连接OD ，AD ，OA ，则OD ⊥平面ABC ，且OA ＝3，AD ＝263，所以OD ＝(3)2－(263)2＝33， 所以球面上的点到平面ABC 的最大距离为33＋r ＝433.16．(2014·开滦二中期中)给出下列四个命题：①函数f (x )＝ln x －2＋x 在区间(1，e)上存在零点；②若f ′(x 0)＝0，则函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极值；③若m ≥－1，则函数y ＝log 12(x 2－2x －m )的值域为R ；④“a ＝1”是“函数f (x )＝a －e x1＋a e x在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．其中正确的是________．[答案] ①③④[解析] ①∵f (1)·f (e)＝－1·(e －1)<0，又f (x )在(1，e)上的图象连续不断，∴f (x )在(1，e)上存在零点，故①正确；②f ′(x 0)＝0是f (x )在x ＝x 0处取得极值的必要条件，但不是充分条件，②为假命题；③要使函数y ＝log 12(x 2－2x －m )的值域为R ，应使x 2－2x ＋m 取遍所有正数，∴Δ＝4＋4m ≥0，∴m ≥－1，故③正确；④a ＝1时，f (x )＝1－e x 1＋e x ，f (－x )＝1－e －x 1＋e －x ＝e x －1e x ＋1＝－f (x )，∴f (x )为奇函数；f (x )＝a －e x 1＋a e x 为奇函数时，f (－x )＝－f (x )恒成立，∴a －e －x1＋a e －x ＝－a －e x 1＋a e x ，即a e x －1e x ＋a ＝e x －a 1＋a e x ，∴e 2x －a 2＝a 2e 2x －1，∴(a 2－1)(e 2x ＋1)＝0，∴a 2－1＝0，∴a ＝±1，∴④正确，故填①③④.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(文)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且m ＝(sin A ＋sin B ＋sin C ，sin C )，n ＝(sin B ，sin B ＋sin C －sin A )，若m ∥n .(1)求A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值及此时B 的值．[解析] (1)因为m ∥n ，所以(sin A ＋sin B ＋sin C )(sin B ＋sin C －sin A )＝sin B sin C ，根据正弦定理得，(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又A ∈(0，π)，所以A ＝23π.(2)由正弦定理及a ＝3得，S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A ·a sin C ＝3sin B sin C ，所以S ＋3cos B cos C ＝3(cos B cos C ＋sin B sin C ) ＝3cos(B －C )，所以当B ＝C 时，即B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B cos C 取最大值 3.(理)(2014·西安市长安中学期中)已知平面向量a ＝(cos φ，sin φ)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin φ，－cos φ)，其中0<φ<π，且函数f (x )＝(a ·b )cos x＋(b ·c )sin x 的图象过点(π6，1)．(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在[0，π2]上的最大值和最小值．[解析] (1)∵a ·b ＝cos φcos x ＋sin φsin x ＝cos(φ－x )，b ·c ＝cos x sin φ－sin x cos φ＝sin(φ－x )，∴f (x )＝(a ·b )cos x ＋(b ·c )sin x＝cos(φ－x )cos x ＋sin(φ－x )sin x＝cos(φ－x －x )＝cos(2x －φ)，即f (x )＝cos(2x －φ)，∴f (π6)＝cos(π3－φ)＝1，而0<φ<π，∴φ＝π3.(2)由(1)得，f (x )＝cos(2x －π3)，于是g (x )＝cos[2(12x )－π3]，即g (x )＝cos(x －π3)．当x ∈[0，π2]时，－π3≤x －π3≤π6，所以12≤cos(x －π3)≤1，即当x ＝0时，g (x )取得最小值12，当x ＝π3时，g (x )取得最大值1.18．(本小题满分12分)(文)(2014·韶关市曲江一中月考)等差数列{a n }中，a 3＝3，前7项和S 7＝28.(1)求数列{a n }的公差d ；(2)等比数列{b n }中，b 1＝a 2，b 2＝a 4，求数列{b n }的前n 项和T n (n ∈N *)．[解析] (1)S 7＝(a 1＋a 7)×72＝7a 4＝28， ∴a 4＝4，又∵a 3＝3，∴d ＝a 4－a 3＝1.(2)由(1)知数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝1＋(n －1)＝n ，∴b 1＝2，b 2＝4，∴数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2， ∴T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2. (理)(2014·开滦二中期中)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋cn ，(c 是不为0的常数，n ∈N *)，且a 1，a 2，a 3成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n －c n ·c n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由已知a 2＝2＋c ，a 3＝2＋3c ，则(2＋c )2＝2(2＋3c )，∴c ＝2，∴a n ＋1＝a n ＋2n ，n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋2×1＋2×2＋…＋2×(n －1)＝n 2－n ＋2，n ＝1时，a 1＝2也适合上式，因此a n ＝n 2－n ＋2.(2)b n ＝a n －2n ·2n ＝n －12n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝02＋122＋223＋…＋n －22n －1＋n －12n ， 12T n ＝022＋123＋224＋…＋n －22n ＋n －12n ＋1，用错位相减法可求得T n ＝1－n ＋12n .19．(本小题满分12分)(文)(2014·泗阳县模拟)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝BB 1＝1，AB 1＝ 3.(1)求证：平面AB1C⊥平面B1CB；(2)求三棱锥A1－AB1C的体积．[解析](1)直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，∴BB1⊥AB，BB1⊥AC，又由于AC＝BC＝BB1＝1，AB1＝3，∴AB＝2，则由AC2＋BC2＝AB2可知，AC⊥BC，∴AC⊥平面B1CB，∴平面AB1C⊥平面B1CB.(2)∵BC⊥AC，BC⊥CC1，∴BC⊥平面ACC1A1，∴B到平面ACC1A1的距离d＝1，∵BB1∥平面ACC1A1，∴B1到平面A1AC的距离为1，∴三棱锥A1－AB1C的体积＝13×(12×1×1)×1＝1 6.(理)(2014·海南省文昌市检测)如图，已知ABCD为平行四边形，∠A＝60°，AF＝2FB，AB＝6，点E在CD上，EF∥BC，BD⊥AD，BD与EF相交于点N.现将四边形ADEF沿EF折起，使点D在平面BCEF上的射影恰在直线BC上．(1)求证：BD⊥平面BCEF；(2)求折后直线DN与直线BF所成角的余弦值；(3)求三棱锥N－ABF的体积．[解析](1)由条件知EF⊥DN，EF⊥BN，∴EF⊥平面BDN，∴平面BDN⊥平面BCEF，∵BN＝平面BDN∩平面BCEF，∴D在平面BCEF上的射影在直线BN上，又D在平面BCEF上的射影在直线BC上，∴D在平面BCEF上的射影即为点B，故BD⊥平面BCEF.(2)法一．如图，建立空间直角坐标系，∵在原平面图形中AB＝6，∠DAB＝60°，∴BD＝33，∵EF∥AD，AF＝2FB，∴DN＝2BN，∴BN＝3，DN＝23，∴折后立体图形中BD＝3，BC＝3，∴N (0，3，0)，D (0,0,3)，C (3,0,0)，NF →＝13CB →＝(－1,0,0)，∴BF→＝BN →＋NF →＝(－1，3，0)，DN →＝(0，3，－3)， ∴cos 〈BF →，DN →〉＝BF →·DN →|BF →|·|DN →|＝34， ∴折后直线DN 与直线BF 所成角的余弦值为34.法二：在线段BC 上取点M ，使BM ＝NF ，则MN ∥BF ， ∴∠DNM 或其补角为DN 与BF 所成的角．又MN ＝BF ＝2，DM ＝BD 2＋BM 2＝10，DN ＝2 3.∴cos ∠DNM ＝DN 2＋MN 2－DM 22DN ·MN ＝34， ∴折后直线DN 与直线BF 所成角的余弦值为34.(3)∵AD ∥EF ，∴A 到平面BNF 的距离等于D 到平面BNF 的距离，∴V N －ABF ＝V A －BNF ＝V D －BNF ＝13S △BNF ·BD ＝32， 即所求三棱锥的体积为32.20．(本小题满分12分)(文)(2014·屯溪一中期中)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a 、b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)设g (x )＝f ′(x )e －x ，求函数g (x )的极值．[解析] ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， ∵f ′(1)＝2a ，∴3＋2a ＋b ＝2a ，∵f ′(2)＝－b ，∴12＋4a ＋b ＝－b ，∴a ＝－32，b ＝－3，∴f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－3x －3， ∴f (1)＝－52，f ′(1)＝－3，∴切线方程为y －(－52)＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)∵g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x ，∴g ′(x )＝(6x －3)e －x ＋(3x 2－3x －3)·(－e －x )，∴g ′(x )＝－3x (x －3)e －x ，∴当0<x <3时，g ′(x )>0，当x >3时，g ′(x )<0，当x <0时，g ′(x )<0， ∴g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，所以g 极小(x )＝g (0)＝－3，g 极大(x )＝g (3)＝15e －3.(理)(2014·福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x －b ln x 10，a ，b 为常数．当x ＝10万元时，y ＝19.2万元；当x ＝30万元时，y ＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．(1)求f (x )的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)．[解析] (1)由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a ×102＋10150×10－b ln1＝19.2，a ×302＋10150×30－b ln3＝50.5，解得a ＝－1100，b ＝1，则f (x )＝－x 2100＋10150x －ln x10(x ≥10)． (2)T (x )＝f (x )－x ＝－x 2100＋5150x －ln x10(x ≥10)， 则T ′(x )＝－x 50＋5150－1x ＝－(x －1)(x －50)50x ， 令T ′(x )＝0，则x ＝1(舍)或x ＝50，当x ∈(10,50)时，T ′(x )>0，因此T (x )在(10,50)上是增函数； 当x ∈(50，＋∞)时，T ′(x )<0，因此T (x )在(50，＋∞)上是减函数，∴当x ＝50时，T (x )取最大值．T (50)＝－502100＋5150×50－ln 5010＝24.4(万元)．即该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值为24.4万元． 21．(本小题满分12分)(文)(2014·长沙市重点中学月考)某数学老师对本校2014届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，分数用茎叶图记录如下：得到频率分布表如下：率(分数在[90,150]范围内为及格)；(2)从大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的概率．[解析] (1)由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，∴a ＝220＝0.1，b ＝3从茎叶图可知分数在[90,150]范围内的有13人， 所以估计全校数学成绩的及格率为1320＝65%.(2)设A 表示事件“大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，平均得分大于等于130”，由茎叶图可知大于等于110分有5人，记这5人分别为a，b，c，d，e，则选取学生的所有可能结果为：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，基本事件数为10，事件“2名学生的平均得分大于等于130”，也就是“这两个学生的分数之和大于等于260”，所有可能结果为：(118,142)，(128,136)，(128,142)，(136,142)，共4种情况，基本事件数为4，所以P(A)＝410＝2 5.(理)(2014·山西省太原五中月考)某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：(1)求表中a ，b 的值及分数在[90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率(分数在[90,150]内为及格)；(2)从成绩在[100,130)范围内的学生中随机选4人，设其中成绩在[100,110)内的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．[解析] (1)由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，∴a ＝220＝0.1，b ＝3；分数在[70,90)范围内的人数为20×0.25＝5，结合茎叶图可得分数在[70,80)内的人数为2，所以分数在[90,100)范围内的学生人数为4，故数学成绩及格的学生为13人，所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为1320×100%＝65%.(2)由茎叶图可知分数在[100,130)范围内的有7人，分数在[100,110)范围内的有4人，则随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.相应的概率为：P (X ＝1)＝C 14C 33C 47＝435；P (X ＝2)＝C 24C 23C 47＝1835；P (X ＝3)＝C 34C 13C 47＝1235；P (X ＝4)＝C 44C 03C 47＝135.随机变量X 的分布列为：E (X )＝1×35＋2×35＋3×35＋4×35＝7.22．(本小题满分14分)(文)(2014·天津市六校联考)在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点．(1)写出C 的方程；(2)若OA→⊥OB →，求k 的值． [解析] (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－(3)2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1.消去y 并整理得，(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.∵OA →⊥OB →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. ∵y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝0，化简得－4k 2＋1＝0，∴k ＝±12.(理)(2014·江西白鹭洲中学期中)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为23，离心率为32.(1)求椭圆方程；(2)设过椭圆顶点B (0，b )，斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且|BD |，|BE |，|DE |成等比数列，求k 2的值．[解析] (1)由已知2c ＝23，c a ＝32. 解得a ＝2，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝1， ∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)得过B 点的直线方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋1，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0， ∴x D ＝－8k1＋4k 2，y D ＝1－4k 21＋4k 2，依题意k ≠0，k ≠±12.∵|BD |，|BE |，|DE |成等比数列，∴|BE |2＝|BD ||DE |， ∴b －y D＝|BE ||DE |＝|BD ||BE |＝b －y Db ， ∵b ＝1，∴y 2D －y D －1＝0，解得y D ＝1－52，∴1－4k 21＋4k 2＝1－52，解得k 2＝2＋54， ∴当|BD |，|BE |，|DE |成等比数列时，k 2＝2＋54.。
走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题4
阶段性测试题四(三角函数与三角形)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·威海期中)角α的终边经过点P (sin10°，－cos10°)，则α的可能取值为( )A ．10°B ．80°C ．－10°D ．－80°[答案] D[解析] 由条件知tan α＝－cos10°sin10°＝－tan80°＝tan(－80°)，故选D.2．(文)(2014·北京海淀期中)在△ABC 中，若tan A ＝－2，则cos A ＝( )A.55B ．－55 C.255 D ．－255[答案] B[解析] 在△ABC 中，若tan A ＝－2，则A ∈(π2，π)，cos A ＝－11＋tan 2A ＝－15＝－55， 故选B.(理)(2014·三亚市一中月考)若tan α＝2，则cos2α＋sin2α的值为( )A ．0 B.15 C ．1 D.54[答案] B[解析] ∵tan α＝2，∴cos2α＋sin2α＝cos 2α－sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝15.3．(文)(2014·江西临川十中期中)已知sin(θ＋π2)＝35，则cos2θ等于( )A.1225 B ．－1225C ．－725D.725[答案] C[解析] ∵sin(θ＋π2)＝cos θ＝35，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝－725.(理)(2014·枣庄市期中)化简cos (π＋α)cos (π2＋α)cos (11π2－α)cos (π－α)sin (－π－α)sin (9π2＋α)的结果是( ) A ．－1 B ．1 C ．tan αD ．－tan α[答案] C[解析] 原式＝－cos α·(－sin α)·(－sin α)－cos α·sin α·cos α＝tan α，故选C.4．(2014·山东省菏泽市期中)要得到y ＝sin(2x －2π3的图象，只要将函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象向右平移( )个单位即可( )A.π3 B ．π C.2π3 D.π2[答案] D[解析] ∵sin[2(x －π2)＋π3]＝sin(2x －2π3)，∴只需将y ＝sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位可得到y ＝sin(2x－2π3)的图象． 5．(2014·九江市七校联考)在△ABC 中，AC ＝7，∠B ＝2π3，△ABC的面积S ＝1534，则AB ＝( )A ．5或3B ．5C ．3D ．5或6 [答案] A[解析] 设AB ＝x ，BC ＝y ，则x >0，y >0，由条件得，⎩⎨⎧72＝x 2＋y 2－2xy cos 2π3，12xy sin 2π3＝1534，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋xy ＝49，xy ＝15， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，∴AB ＝3或5. 6．(2014·山东省菏泽市期中)已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．2sin1C ．2sin －11D ．sin2[答案] C[解析] 设圆半径为R ，由条件知sin1＝1R ，∴R ＝1sin1，∴l ＝2R ＝2sin1C.7．(文)(2014·辽宁师大附中期中)在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且cos A >sin B ，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 [答案] C[解析] ∵cos A ＝sin(π2－A )>sin B,0<π2－A <π2，0<B <π2∴π2－A >B ，∴A ＋B <π2，∴C >π2，故选C.(理)(2014·安徽程集中学期中)在△ABC 中，“sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1”是“△ABC 是直角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由条件式得sin A ≥1，∴sin A ＝1，∴A 为直角，但△ABC 为直角三角形时，不一定A 为直角，故选A.8．(2014·浙江省五校联考)函数y ＝2sin(π4－x 2)sin(π4＋x2)的图象的一条对称轴为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝3π2[答案] C[解析] y ＝2sin(π4－x 2)sin(π4＋x 2)＝2sin(π4－x 2)cos(π4－x 2)＝sin(π2－x )＝cos x ，其对称轴方程为x ＝k π，k ∈Z .9．(文)(2014·江西白鹭洲中学期中)函数y ＝cos2x 在下列哪个区间上是减函数( )A ．[0，π2]B ．[π4，3π4]C ．[－π4，π4]D ．[π2，π][答案] A[解析] 由2k π≤2x ≤2k π＋π得k π≤x ≤k π＋π2(k ∈Z )，令k ＝0知选A.(理)(2014·福州市八县联考)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2][答案] A[解析] 由2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2ω>0得，2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω，k ∈Z . ∵f (x )在(π2，π)上单调递减，∴(π2，π)⊆[2k πω＋π4ω，2k πω＋5π4ω]， ∴k ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧π4ω≤π2，5π4ω≥π.∴12≤ω≤54，故选A. 10．(2014·营口三中期中)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12B.22C.32 D ．1[答案] C[解析] ∵x 1，x 2∈(－π6，π3)时，f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝f (π6)，由图象知，T 2＝π3－(－π6)＝π2，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，由于f (x )的图象过点(π12，1)，∴sin(π6＋φ)＝1，∴φ＝π3，∴f (π6)＝sin(2×π6＋π3)＝sin 2π3＝32，故选C.11．(2014·哈六中期中)2sin 225°－1sin20°cos20°的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2[答案] B[解析] 原式＝－cos50°12＝－2.12．(文)(2014·威海期中)函数f (x )＝sin x ＋cos2x 的图象为( )[答案] B[解析] f (0)＝sin0＋cos0＝1，排除A 、D ；f (－π)＝sin(－π)＋cos(－2π)＝1，排除C ，故选B.(理)(2014·山东省菏泽市期中)函数f (x )＝2x －tan x 在(－π2，π2上的图象大致为( )[答案] C[解析] ∵f (－x )＝－2x －tan(－x )＝－(2x －tan x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，排除A 、B ；f ′(x )＝(2x －sin x cos x )′＝2－1cos 2x ，令f ′(x )≥0得，cos 2x ≥12，∴cos x ≥22或cos x ≤－22，∵x ∈(－π2，π2)，∴－π4≤x ≤π4，故选C.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝0，则角C 的大小为________．[答案] 135°[解析] ∵a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝0， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－22，∵0°<C <180°，∴C ＝135°.14．(文)(2014·甘肃临夏中学期中)函数f (x )＝3sin(2x －π3)的图象为C ，则如下结论中正确的序号是________．①图象C 关于直线x ＝1112对称；②图象C 关于点(2π3，0)对称；③函数f (x )在区间(－π12，5π12)内是增函数；④由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .[答案] ①②③[解析] ①当x ＝11π12时，f (11π12)＝3sin 3π2＝－3，∴正确；②当x＝2π3时，f (2π3)＝0，∴正确；③由2k π－π22x －π3≤2k π＋π2可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )，∴正确；④y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度得到y ＝3sin2(x－π3)，∴④错误． (理)(2014·威海期中)将函数y ＝sin(x －π3)，x ∈[0,2π]的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π6个单位，所得函数的单调递增区间为____________．[答案] [－π6，3π2，[7π2，23π6][解析]由2k π－π2≤12x －π4≤2k π＋π2得，4k π－π2≤x ≤4k π＋3π2，k ∈Z ，由已知函数中x ∈[0,2π]得所求函数的定义域为[－π6，23π6]，令k＝0得，－π2≤x ≤3π2，令k ＝1得，7π2≤x ≤11π2，故所求函数的单调增区间为[－π6，3π2]和[7π2，23π6]．15．(文)(2014·吉林省实验中学一模)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π3)＝________. [答案] 2425[解析] ∵α为锐角，∴0<α＋π6<π，∵cos(α＋π6)＝45，∴sin(α＋π6)＝35，∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)·cos(α＋π6)＝2×35×45＝2425.(理)(2014·吉林延边州质检)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，若△ABC 的面积为S ＝a 2－(b －c )2，则sin A 1－cos A＝________.[答案] 4[解析] ∵S ＝12bc sin A ，a 2－(b －c )2＝2bc －(b 2＋c 2－a 2)＝2bc －2bc cos A ，S ＝a 2－(b －c )2，∴12bc sin A ＝2bc －2bc cos A ，∴sin A 1－cos A＝4. 16．(2014·浙江省五校联考)已知O (0,0)，A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，C (cos γ，sin γ)，若kOA →＋(2－k )OB →＋OC →＝0(0<k <2)，则cos(α－β)的最大值是________．[答案] －12[解析] ∵kOA→＋(2－k )OB →＋OC →＝0，OA →＝(cos α，sin α)，OB →＝(cos β，sin β)，OC →＝(cos γ，sin γ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k cos α＋(2－k )cos β＋cos γ＝0，k sin α＋(2－k )sin β＋sin γ＝0，∵cos 2γ＋sin 2γ＝1，∴k 2＋(2－k )2＋2k (2－k )cos αcos β＋2k ·(2－k )sin αsin β＝1， ∴cos(α－β)＝－2k 2＋4k －3－2k 2＋4k 1＋32k 2－4k ，∵0<k <2，∴－2≤2k 2－4k <0，∴cos(α－β)≤－12.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求f (x )的最大值．[解析] f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos2x ＋sin2x＝2(22sin2x －22cos2x )＋1＝2sin(2x －π4)＋1，(1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝π2，即x ＝3π8f (x )取得最大值，且最大值为f (3π8)＝2sin π2＋1＝2＋1.(理)(2014·北京东城区联考)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值及相应的x 的值．[解析] (1)因为f (x )＝32sin2x －12cos2x －12＝sin(2x －π6)－12，所以T ＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6.所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值12.18．(本小题满分12分)(文)(2014·辽宁师大附中期中)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． [解析] (1)∵cos B ＝45，∴sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin30°＝103.∴a ＝53.(2)∵△ABC 的面积S ＝12ac sin B ，sin B ＝35，S ＝3，∴ac ＝10.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得， 4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.∴(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40， ∴a ＋c ＝210.(理)(2014·威海期中)△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋b sin B －c sin C ＝a sin B .(1)求角C ；(2)若a ＋b ＝5，S △ABC ＝323，求c 的值．[解析] (1)根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，原等式可转化为：a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∵0°<C <180°，∴C ＝60°.(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab ·32＝332，∴ab ＝6，c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝25－18＝7， ∴c ＝7.19．(本小题满分12分)(2014·江西白鹭洲中学期中)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知tan A ＋tan B1－tan A ·tan B ＝－3，c＝7，三角形面积为332.(1)求∠C 的大小；(2)求a ＋b 的值．[解析] (1)∵tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，且tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )， ∴tan C ＝3，又∵0<C <π，∴∠C ＝π3.(2)由题意可知：S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝34ab ＝332，∴ab ＝6.由余弦定理可得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， ∴(a ＋b )2＝3ab ＋c 2＝3×6＋(7)2＝25， 又a >0，b >0，∴a ＋b ＝5.20．(本小题满分12分)(文)(2014·马鞍山二中期中)已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈(π2，3π2)．(1)若|AC→|＝|BC →|，求角α的值； (2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin2α1＋tan α的值． [解析] (1)∵AC→＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC→2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC→2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α， 由|AC→|＝|BC →|，可得AC →2＝BC →2， 即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又∵α∈(π2，3π2)，∴α＝5π4.(2)由AC →·BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α.由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝－59.(理)(2014·辽宁师大附中期中)已知向量a ＝(2sin x ，sin x －cos x )，b ＝(cos x ，3(cos x ＋sin x ))，函数f (x )＝a ·b ＋1.(1)当x ∈[π4，π2]时，求f (x )的最大值和最小值；(2)求f (x )的单调区间．[解析] (1)f (x )＝sin2x －3cos2x ＋1＝2sin(2x －π3)＋1.∵π4≤x ≤π2，∴π2≤2x ≤π，∴π6≤2x －π3≤2π3， ∴12≤sin(2x －π3)≤1，∴1≤2sin(2x －π3)≤2， 于是2≤2sin(2x －π3)＋1≤3，∴f (x )的最大值是3，最小值是2.(2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z 得2k π－π6≤2x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ，同理由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z 得，f (x )的单调递减区间为[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z .21．(本小题满分12分)(2014·马鞍山二中期中)如图A 、B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)n mile 的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h ，该救援船到达D 点需要多长时间？[解析] 由题意知AB ＝5(3＋3)n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°， 在△DAB 中，由正弦定理得， DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB∴DB ＝AB ·sin ∠DABsin ∠ADB＝5(3＋3)·sin45°sin105°＝5(3＋3)·sin45°sin45°·cos60°＋sin60°·cos45° ＝53(3＋1)3＋12＝103(n mile)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203(n mile)，在△DBC 中，由余弦定理得， CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(n mile)，则需要的时间t ＝3030＝1(h)．答：救援船到达D 点需要1h.22．(本小题满分14分)(文)(2014·安徽程集中学期中)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2的图象过点(0，12)，最小正周期为2π3，且最小值为－1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若x ∈[π6，m ]，f (x )的值域是[－1，－32]，求m 的取值范围．[解析] (1)由函数的最小值为－1，可得A ＝1，因为最小正周期为2π3，所以ω＝3.可得f (x )＝cos(3x ＋φ)， 又因为函数的图象过点(0，12)，所以cos φ＝12，而0<φ<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝cos(3x ＋π3)． (2)由x ∈[π6，m ]，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f (π6)＝cos 5π6＝－32，且cosπ＝－1，cos 7π6＝－32， 由余弦曲线的性质知，π≤3m ＋π3≤7π6，得2π9≤m ≤5π18，即m ∈[2π9，5π18]． (理)(2014·浙江省五校联考)已知函数f (x )＝(3sin ωx ＋cos ωx )cos ωx －12，其中ω>0，f (x )的最小正周期为4π.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．[解析] f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＝sin(2ωx ＋π6)． (1)∵2π2ω＝4π，∴ω＝14，f (x )＝sin(x 2＋π6)．由2k π－π2≤x 2＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得：4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3.∴f (x )的单调递增区间是[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )．(2)由正弦定理得，(2sin A －sin C )cos B ＝sin B ·cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )， ∵sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A >0， ∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3，∴0<A <2π3，π6<A 2＋π6<π2，∴f (A )∈(12，1)．。
走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题十一
阶段性测试题十一(算法、框图、复数、推理与证明)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·白鹭洲中学期中)复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( )A ．0或－1B ．0C ．1D ．－1[答案] D[解析] ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，m ≠0，∴m ＝－1，故选D.2．(文)(2014·山东省博兴二中质检)如果等差数列{a n }中，a 5＋a 6＋a 7＝15，那么a 3＋a 4＋…＋a 9等于( )A ．21B ．30C ．35D ．40[答案] C[解析] ∵3a 6＝a 5＋a 6＋a 7＝15，∴a 6＝5， ∴a 3＋a 4＋…＋a 9＝7a 1＋35d ＝7a 6＝35.(理)(2014·银川九中一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B ．(32)n －1C ．(23)n －1D.12n －1 [答案] B[解析] ∵S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )，∴S n ＋1S n ＝32，又S 1＝a 1＝1，∴S n ＝(32)n －1，故选B.3．(文)(2014·银川九中一模)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3 C.3π2 D.5π3[答案] C[解析] ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴sin －x ＋φ3＝sin x ＋φ3，∴cos φ3sin x3＝0， ∵此式对任意x 都成立，∴cos φ3＝0， ∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.(理)(2014·杭州七校联考)“sin x ＝1”是“cos x ＝0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 若sin x ＝1，则x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴cos x ＝0；若cos x ＝0，则x ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴sin x ＝±1.4．(文)(2014·北京朝阳区期中)执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为( )A ．91B ．55C ．54D ．30 [答案] B[解析] 所给的程序的作用是计算：T ＝12＋22＋32＋42＋52＝55. (理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)下列程序框图的输出结果为( )A.20122013B.12013C.20132014D.12014 [答案] C[解析] 由程序框图知，每循环一次，i 的值增加1，S 的值加上1i (i ＋1)，当i ＝2013时，不满足i >2013，再循环一次，i 的值变为2014，满足i >2013，此时输出S ，故S 最后加上的数为12013×2014，∴S ＝11×2＋12×3＋…＋12013×2014＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12013－12014)＝1－12014＝20132014，故选C.5．(2014·武汉市调研)复数z ＝m (3＋i)－(2＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] B[解析] 复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内的对应点P (3m －2，m －1)，当m >1时，P 在第一象限；当m <23时，P 在第三象限，当23<m <1时，P 在第四象限，当m ＝23时，P 在y 轴上，当m ＝1时，P 在x 轴上，故选B.6．(2014·佛山市质检)将n 2个正整数1、2、3、…、n 2(n ≥2)任意排成n 行n 列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a 、b (a >b )的比值ab ，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n ＝2时，数表的所有可能的“特征值”最大值为( )A.32B.43 C ．2 D ．3[答案] A[解析] 当n ＝2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，当1,2同行或同列时，这个数表的“特征值”为43；当1,3同行或同列时，这个数表的特征值分别为43或32；当1,4同行或同列时，这个数表的“特征值”为43或32；故这些可能的“特征值”的最大值为32.7．(2014·山西省太原五中月考)某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝|x |xB ．f (x )＝ln(x 2＋1－x )C ．f (x )＝e x ＋e －xe x －e －xD ．f (x )＝sin 2x1＋cos 2x[答案] B[解析] 由框图知，f (x )为有零点的奇函数，A 、C 中函数f (x )无零点；D 中函数f (x )为偶函数；B 中函数f (x )＝ln(x 2＋1－x )满足f (0)＝0且f (－x )＝ln(x 2＋1＋x )＝ln 1x 2＋1－x＝－ln(x 2＋1－x )＝－f (x )，故选B.8．(2014·哈六中期中)若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)[答案] B[解析] ∵x >0，y >0，1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝2＋y4x ＋4xy ≥2＋2y 4x ·4x y ＝4，等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立，∴x ＋y 4的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋y4有解，应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，故选B.9．(文)(2014·吉林市摸底)如图，程序输出的结果s ＝132，则判断框中应填( )A ．i ≥10?B ．i ≥11?C ．i ≤11?D ．i ≥12?[答案] B[解析]第一次循环：s＝1×12＝12，i＝12－1＝11，不满足条件，继续循环；第二次循环：s＝12×11＝132，i＝11－1＝10，此时应输出，结束循环，因此判断框中应填i≥11？.(理)(2014·成都七中模拟)阅读下边的程序框图，若输出S的值为－14，则判断框内可填写()A．i<6? B．i<8?C．i<5? D．i<7?[答案] B[解析]这是一个循环结构，每次循环的结果为：S＝2－1＝1，i＝1＋2＝3；S＝1－3＝－2，i＝3＋2＝5；S＝－2－5＝－7，i＝5＋2＝7；S＝－7－7＝－14，i＝7＋2＝9.因为最后输出－14，所以判断框内可填写i<8？选B.10．(2014·广东梅县东山中学期中)在f(m，n)中，m，n，f(m，n)∈N*，且对任意m，n都有：(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝2f(m,1)；给出下列三个结论：①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26；其中正确的结论个数是()个．()A．3B．2C．1D．0[答案] A[解析]∵f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，∴f(m，n)组成首项为f(m,1)，公差为2的等差数列，∴f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)．又f(1,1)＝1，∴f(1,5)＝f(1,1)＋2×(5－1)＝9，又∵f(m＋1,1)＝2f(m,1)，∴f(m,1)构成首项为f(1,1)，公比为2的等比数列，∴f(m,1)＝f(1,1)·2m－1＝2m－1，∴f(5,1)＝25－1＝16，∴f(5,6)＝f(5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A.11．(文)(2014·九江市修水一中第四次月考)如图，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，垂足分别是D、E，以A、B为焦点且过D、E的椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则1e1＋1e2的值为()A．1 B. 3C．2 D．2 3[答案] B[解析]设AE＝1，则AB＝2，BD＝1，AD＝BE＝3，∴椭圆的焦距2c＝2，∴c＝1，长轴长2a＝AD＋BD＝3＋1，∴离心率e 1＝13＋12＝3－1，双曲线的焦距2c 1＝2，∴c 1＝1，双曲线的实轴长2a 1＝AD －BD ＝3－1， ∴离心率e 2＝13－12＝3＋1.∴1e 1＋1e 2＝13－1＋13＋1＝3，故选B. (理)(2014·北京市海淀区期末)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，BD ∩AC ＝O ，M 是线段D 1O 上的动点，过点M 作平面ACD 1的垂线交平面A 1B 1C 1D 1于点N，则点N 到点A 距离的最小值为( )A. 2B.62C.233 D ．1[答案] B[解析] 因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，因为BB 1⊂平面BDD 1B 1，所以平面BDD 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，因为M ∈平面BDD 1B 1，MN ⊥平面ACD 1，平面BDD 1B 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以N ∈B 1D 1.因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，棱长为1，所以△AB 1D 1为正三角形，边长为2，所以当N 为B 1D 1中点时，AN 最小为2sin60°＝62.故B 正确．12．(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c ；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4[答案] C[解析] 将△ABC 的三条边长a 、b 、c 类比到四面体P －ABC 的四个面面积S 1、S 2、S 3、S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，∴V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(文)(2014·高州四中质量监测)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…，现观察猜想每组内各数之和a n 与其组的编号数n 的关系为________．[答案] a n ＝n 3[解析] 第n 组含n 个数，前n －1组共有1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2个数，∴第n 组的最小数为n 2－n ＋1，第n 组的n 个数组成首项为n 2－n ＋1，公差为2的等差数列，∴其各项之和为a n ＝n (n 2－n ＋1)＋n (n －1)2×2＝n 3.(理)(2014·陕西工大附中四模)由13＝12,13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，……，可猜想出的第n 个等式是________．[答案] 13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2[解析] 观察各等式可见第n 个等式左边有n 项，每个等式都是从13到n 3的和，等式右端是从1到n 的和的平方，故第n 个等式为13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2.14．(文)(2014·吉林市摸底)下列说法：①“∃x ∈R ，使2x >3”的否定是“∀x ∈R ，使2x ≤3”；②函数y ＝sin(2x ＋π3)的最小正周期是π；③“在△ABC 中，使sin A >sin B ，则A >B ”的逆命题是真命题； ④“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋2＝0垂直”的充要条件；其中正确的说法是______(只填序号)．[答案] ①②③[解析] ①∵特称命题的否定是全称命题，∴“∃x ∈R ，使2x >3”的否定是“∀x ∈R ，使2x ≤3”，正确；②因为T ＝2π2＝π，所以函数y ＝sin(2x ＋π3)的最小正周期是π，正确；③“在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ”的逆命题是“在△ABC中，若A >B ，则sin A >sin B ”，在△ABC 中，若A >B ⇒a >b ⇒2r sin A >2r sin B ⇒sin A >sin B ，故③正确；④由3m ＋(2m －1)m ＝0得m ＝0或－1，所以“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋2＝0垂直”的充分不必要条件，∴④错误．(理)(2014·泸州市一诊)已知集合A ＝{f (x )|f 2(x )－f 2(y )＝f (x ＋y )·f (x －y )，x 、y ∈R }，有下列命题：①若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0－1， x <0，则f (x )∈A ； ②若f (x )＝kx ，则f (x )∈A ；③若f (x )∈A ，则y ＝f (x )可为奇函数；④若f (x )∈A ，则对任意不等实数x 1，x 2，总有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立． 其中所有正确命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号)[答案] ②③[解析] 对于①，取x ＝1，y ＝－1知，f 2(x )－f 2(y )＝f 2(1)－f 2(－1)＝1－1＝0，但f (x ＋y )f (x －y )＝f (0)·f (2)＝1，∴①错；对于②，当f (x )＝kx 时，f 2(x )－f 2(y )＝k 2x 2－k 2y 2＝k (x ＋y )·k (x －y )＝f (x ＋y )·f (x －y )，∴②正确；对于③，在f 2(x )－f 2(y )＝f (x ＋y )f (x －y )中令x ＝0，y ＝0得，f (0)＝0，又令x ＝0得，f 2(0)－f 2(y )＝f (y )·f (－y )，当f (y )≠0时，有f (－y )＝－f (y )，∴f (x )可以为奇函数．对于④，取f (x )＝x ，则f 2(x )－f 2(y )＝x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝f (x＋y )f (x －y )，但x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝x 1－x 2x 1－x 2＝1>0，∴④错．15．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC ，△BOC ，△BDC 三者面积之间关系为________．[答案] S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC [解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . 16．(文)(2014·西安市长安中学期中)21×1＝2,22×1×3＝3×4,23×1×3×5＝4×5×6,24×1×3×5×7＝5×6×7×8，…依此类推，第n 个等式为________________．[答案] 2n ×1×3×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×…×(2n －1)×2n[解析] 由所给4个等式可看出，第n 个等式左边是2n 与从1开始的连续的n 个奇数之积，第n 个等式右边是从n ＋1开始的连续的n 个正整数之积．所以第n 个等式为：2n ×1×3×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×…×(2n －1)×2n .(理)(2014·江西临川十中期中)给出下列不等式：1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2，…，则按此规律可猜想第n 个不等式为________________．[答案] 1＋12＋13＋14＋…＋12n ＋1－1＞n ＋12[解析] 观察不等式左边最后一项的分母3,7,15，…，通项为2n ＋1－1，不等式右边为首项为1，公差为12的等差数列，故猜想第n 个不等式为1＋12＋13＋14＋…＋12n ＋1－1＞n ＋12. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，△ABC 的面积S满足S ＝32bc cos A .(1)求角A 的值；(2)若a ＝3，设角B 的大小为x 用x 表示c ，并求c 的取值范围．[解析] (1)在△ABC 中，由S ＝32bc cos A ＝12bc sin A ，得tan A ＝3，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由a ＝3，A ＝π3及正弦定理得：c sin C ＝a sin A ＝332＝2， ∴c ＝2sin C ＝2sin(π－A －B )＝2sin(2π3－x )．∵A ＝π3，∴0<x <2π3，∴0<2π3－x <2π3.∴0<sin(2π3－x )≤1,0<2sin(2π3－x )≤2，即c ∈(0,2]．18．(本小题满分12分)(文)(2014·吉林省实验中学一模)如图，ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，ED ＝1，EF ∥BD 且EF ＝12BD .(1)求证：BF ∥平面ACE ；(2)求证：平面EAC ⊥平面BDEF ；(3)求几何体ABCDEF 的体积．[解析] (1)设AC 与BD 的交点为O ，则DO ＝BO ＝12BD ，连接EO ，∵EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴EF ∥DO 且EF ＝BO ，则四边形EFBO 是平行四边形，则BF ∥EO ，又EO ⊂平面ACE ，BF ⊄平面ACE ，故BF ∥平面ACE .(2)∵ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥AC .∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，又ED ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面BDEF ，又AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面BDEF .(3)因为ED ⊥平面ABCD ，∴ED ⊥BD ，又∵EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴四边形BDEF 是直角梯形，又∵四边形ABCD 是边长为2的正方形，BD ＝22，EF ＝2，∴梯形BDEF 的面积为(2＋22)×12＝322， 由(1)知AC ⊥平面BDEF ， 所以几何体的体积V ABCDEF ＝2V A －BDEF ＝2×13S BDEF ·AO ＝2×13×322×2＝2.(理)(2014·佛山市质检)如图1，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝6，E 、F 分别为CD 、AB 边上的点，且DE ＝3，BF ＝4，将△BCE 沿BE 折起至△PBE 位置(如图2所示)，连结AP 、PF ，其中PF ＝2 5.(1)求证：PF ⊥平面ABED ；(2)在线段P A 上是否存在点Q 使得FQ ∥平面PBE ？若存在，求出点Q 的位置；若不存在，请说明理由．(3)求点A 到平面PBE 的距离．[解析] (1)连结EF ，由翻折不变性可知，PB ＝BC ＝6，PE ＝CE ＝9，在△PBF 中，PF 2＋BF 2＝20＋16＝36＝PB 2，所以PF ⊥BF ，在图1中，易得EF ＝62＋(12－3－4)2＝61，在△PEF 中，EF 2＋PF 2＝61＋20＝81＝PE 2，所以PF ⊥EF ，又BF ∩EF ＝F ，BF ⊂平面ABED ，EF ⊂平面ABCD ，所以PF ⊥平面ABED .(2)当Q 为P A 的三等分点(靠近P )时，FQ ∥平面PBE .证明如下：因为AQ ＝23AP ，AF ＝23AB ，所以FQ ∥BP ，又FQ ⊄平面PBE ，PB ⊂平面PBE ，所以FQ ∥平面PBE .(3)由(1)知PF ⊥平面ABCD ，所以PF 为三棱锥P －ABE 的高． 设点A 到平面PBE 的距离为h ，由等体积法得V A －PBE ＝V P －ABE ，即13×S △PBE h ＝13×S △ABE ·PF ，又S △PBE ＝12×6×9＝27，S △ABE ＝12×12×6＝36，所以h ＝S △ABE ·PF S △PBE ＝36×2527＝853，即点A 到平面PBE 的距离为853.19．(本小题满分12分)(文)(2014·佛山市质检)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10人的身高(单位：cm)分别是162、170、171、182、163、158、179、168、183、168，篮球队10人的身高(单位：cm)分别是：170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.(1)请把两队身高数据记录在如图所示的茎叶图中，并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；(2)现从两队所有身高超过178cm 的同学中随机抽取三名同学，则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少？[解析] (1)茎叶图如图所示，篮球队的身高数据方差较小.(2)两队所有身高超过178cm 的同学恰有5人，其中3人来自排球队，记为a ，b ，c,2人来自篮球队，记为A ，B ，则从5人中抽取3名同学的基本事件为：abc ，abA ，abB ，acA ，acB ，aAB ，bcA ，bcB ，bAB ，cAB 共10个；其中恰有两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有：abA ，abB ，acA ，acB ，bcB ，bcA 共6个，所以，恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是610＝35.(理)(2014·山西省太原五中月考)已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )≥－x 2＋ax －6在(0，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围；(3)过点A (－e －2,0)作函数y ＝f (x )图象的切线，求切线方程．[解析] (1)∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴由f ′(x )<0得ln x <－1，∴0<x <1e ，∴函数f (x )的单调递减区间是(0，1e )．(2)∵f (x )≥－x 2＋ax －6，∴a ≤ln x ＋x ＋6x ， 设g (x )＝ln x ＋x ＋6x ，则g ′(x )＝x 2＋x －6x 2＝(x ＋3)(x －2)x 2， 当x ∈(0,2)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增．∴g (x )最小值为g (2)＝5＋ln2，∴实数a 的取值范围是(－∞，5＋ln2]．(3)设切点T (x 0，y 0)，则k AT ＝f ′(x 0)，∴x 0ln x 0x 0＋1e 2＝ln x 0＋1，即e 2x 0＋ln x 0＋1＝0， 设h (x )＝e 2x ＋ln x ＋1，则h ′(x )＝e 2＋1x ，当x >0时h ′(x )>0，∴h (x )是单调递增函数，∴h (x )＝0最多只有一个根，又h (1e 2)＝e 2×1e 2＋ln 1e 2＋1＝0，∴x 0＝1e 2，由f ′(x 0)＝－1得切线方程是x ＋y ＋1e 2＝0.20．(本小题满分12分)(文)(2014·山东省烟台市期末)近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用x 万元满足P ＝3－2x ＋1(其中0≤x ≤a ，a 为正常数)；已知生产该产品还需投入成本(10＋2P )万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4＋20p )万元/万件．(1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？[解析] (1)由题意知，y ＝(4＋20P )×P －(10＋2P )－x ，将P ＝3－2x ＋1代入化简得： y ＝16－4x ＋1－x ，(0≤x ≤a )． (2)y ＝16－4x ＋1－x ＝17－(4x ＋1＋x ＋1) ≤17－24x ＋1×(x ＋1)＝13， 当且仅当4x ＋1＝x ＋1，即x ＝1时，上式取等号． 当a ≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a <1时，y ＝17－(4x ＋1＋x ＋1)在[0，a ]上单调递增，所以在x ＝a 时，函数有最大值．促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大．综上所述，当a ≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a <1时，促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大．(理)(2014·北京市海淀区期末)如果函数f (x )满足在集合N *上的值域仍是集合N *，则把函数f (x )称为N 函数．例如：f (x )＝x 就是N 函数．(1)判断下列函数：①y ＝x 2，②y ＝2x －1，③y ＝[x ]中，哪些是N 函数？(只需写出判断结果)；(2)判断函数g (x )＝[ln x ]＋1是否为N 函数，并证明你的结论；(3)证明：对于任意实数a，b，函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．(注：“[x]”表示不超过x的最大整数)[解析](1)只有y＝[x]是N函数．①∵当x∈N*时，{y|y＝x2}N*，如3不是函数y＝x2(x∈N*)的函数值，∴y＝x2不是N函数；②同理，∵当x∈N*时，y＝2x－1为奇数，∴y＝2x－1不是N 函数；③对于任意x∈N*，当n2≤x<(n＋1)2时，y＝[x]＝n，∴y＝[x]是N函数．(2)函数g(x)＝[ln x]＋1是N函数．证明如下：显然，∀x∈N*，g(x)＝[ln x]＋1∈N*.不妨设[ln x]＋1＝k，k∈N*.由[ln x]＋1＝k可得k－1≤ln x<k，即1≤e k－1≤x<e k.因为∀k∈N*，恒有e k－e k－1＝e k－1(e－1)>1成立，所以一定存在x∈N*，满足e k－1≤x<e k，所以∀k∈N*，总存在x∈N*满足[ln x]＋1＝k，所以函数g(x)＝[ln x]＋1是N函数．(3)①当b≤0时，有f(2)＝[b·a2]≤0，所以函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．②当b>0时，1°若a≤0，有f(1)＝[b·a]≤0，所以函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．2°若0<a≤1，由指数函数性质易得b·a x≤b·a，所以∀x∈N*，都有f(x)＝[b·a x]≤[b·a]，所以函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．3°若a>1，令b·a m＋1－b·a m>2，则m>log a2 b·(a－1)，所以一定存在正整数k使得b·a k＋1－b·a k>2，所以∃n1，n2∈N*，使得b·a k<n1<n2<b·a k＋1，所以f(k)<n1<n2≤f(k＋1)．又因为当x<k时，b·a x<b·a k，所以f(x)≤f(k)；当x>k＋1时，b·a x>b·a k＋1，所以f(x)≥f(k＋1)，所以∀x∈N*，都有n1∉{f(x)|x∈N*}，所以函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．综上所述，对于任意实数a，b，函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．21．(本小题满分12分)(文)(2014·北京市海淀区期末)已知函数f(x)＝(x＋a)e x，其中a为常数．(1)若函数f(x)在区间[－3，＋∞)上的增函数，求实数a的取值范围；(2)若f(x)≥e2在x∈[0,2]时恒成立，求实数a的取值范围．[解析](1)f′(x)＝(x＋a＋1)e x，x∈R，因为函数f(x)是区间[－3，＋∞)上的增函数，所以f′(x)≥0，即x＋a＋1≥0在[－3，＋∞)上恒成立．因为y＝x＋a＋1是增函数，所以只需－3＋a＋1≥0，即a≥2.(2)令f′(x)＝0，解得x＝－a－1，f(x)，f′(x)的变化情况如下：①当－a－1≤0，即a≥－1时，f(x)在[0,2]上的最小值为f(0)，若满足题意只需f(0)≥e2，解得a≥e2，所以，此时a≥e2；②当0<－a－1<2，即－3<a<－1时，f(x)在[0,2]上的最小值为f(－a－1)，若满足题意只需f(－a－1)≥e2，此不等式无解，所以a不存在；③当－a－1≥2，即a≤－3时，f(x)在[0,2]上的最小值为f(2)，若满足题意只需f(2)≥e2，解得a≥－1，所以此时，a不存在．综上讨论，所求实数a的取值范围为[e2，＋∞)．(理)(2014·武汉市调研)甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列和数学期望．[解析]解法1：(1)用A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A ＝A 1·A 2，P (A 1)＝12，P (A 2)＝12，∴P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14.(2)X 的可能取值为0,1,2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”， B 1表示事件“第1局丙和乙比赛时，结果为乙胜丙”， B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”， B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (B －1·B 3)＝P (B －1)P (B 3)＝14，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝58.∴X 的分布列为 ∴E (X )＝0×18＋1×58＋2×14＝98.解法2：四局比赛所有可能情况如下树状图：第一局 第二局 第三局 第四局由树状图知，(1)第4局甲当裁判的概率为P ＝14.(2)P (X ＝0)＝18，P (X ＝1)＝58，P (X ＝2)＝14，∴E (X )＝0×18＋1×58＋2×14＝98.22．(本小题满分14分)(文)(2014·佛山质检)如图所示，已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且F 2到直线x －3y －9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 的圆心为P (0，t )(t >0)，且经过F 1、F 2，Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外，过Q 作圆P 的切线，切点为M ，当|QM |的最大值为322时，求t 的值．[解析] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意，2b ＝|1－9|2＝4，所以b ＝2，又c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5， 所以椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1.(2)设Q (x ，y )(其中x 25＋y 24＝1)，圆P 的方程为x 2＋(y －t )2＝t 2＝1，因为PM ⊥QM ， 所以|QM |＝|PQ |2－t 2－1＝x 2＋(y －t )2－t 2－1 ＝－14(y ＋4t )2＋4＋4t 2，若－4t ≤－2即t ≥12，则当y ＝－2时，|QM |取得最大值，且|QM |max＝4t ＋3＝322，解得t ＝38<12(舍去)．若－4t >－2即0<t <12，则当y ＝－4t 时，|QM |取最大值，且|QM |max＝4＋4t 2＝322， 解得t 2＝18，又0<t <12，所以t ＝24. 综上，当t ＝24时，|QM |的最大值为322.(理)(2014·山东省烟台市期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，且|F 1F 2|＝22，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点．(1)求椭圆方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0，－1)，当|AM |＝|AN |时，求实数m 的取值范围．[解析] (1)由已知，可得c ＝2，a ＝3b ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝3，b ＝1，∴x 23＋y 2＝1.(2)当k ＝0时，直线和椭圆有两交点只需－1<m <1；当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x P ，y P )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，消去y 得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴Δ>0，即m 2<3k 2＋1，①x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1， 从而y P ＝kx P ＋m ＝m 3k 2＋1，k AP ＝y P ＋1x P＝－m ＋3k 2＋13mk ， 又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1，②将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2，由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求的m 取值范围是(12，2)．综上知，k ≠0时，m 的取值范围是(12，2)；k ＝0时，m 的取值范围是(－1,1)．。
走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学4-5
基础巩固强化一、选择题1．(文)设π2<θ<π，且|cos θ|＝15，那么sin θ2的值为( ) A.105 B ．－105 C ．－155 D.155[答案] D[解析] ∵π2<θ<π，∴cos θ<0，∴cos θ＝－15. ∵π4<θ2<π2，∴sin θ2>0，又cos θ＝1－2sin 2θ2，∴sin 2θ2＝1－cos θ2＝35，∴sin θ2＝155.(理)已知x ∈(π2，π)，cos2x ＝a ，则cos x ＝( ) A.1－a2 B ．－1－a 2 C.1＋a 2D ．－1＋a 2[答案] D[解析] a ＝cos2x ＝2cos 2x －1， ∵x ∈(π2，π)，∴cos x <0，∴cos x ＝－a ＋12.2．(2013·山西诊断)已知sin(π2＋θ)＝35，则cos(π－2θ)＝( ) A.1225 B ．－1225 C ．－725 D.725[答案] D[解析] 依题意得sin(θ＋π2)＝cos θ＝35，cos(π－2θ)＝－cos2θ＝1－2cos 2θ＝1－2×(35)2＝725，选D.3．(文)在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则tan A 2＋tan C2＋3tan A 2·tan C 2的值是( )A ．±3B ．－ 3 C. 3 D.33 [答案] C[解析] ∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ， 又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，A ＋C ＝2π3， ∴tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2·tan C 2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2·tan C 2＋3tan A 2tan C2 ＝3，故选C.(理)(2013·兰州名校检测)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4[答案] A[解析] 由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A＝π4.4．(文)若cos(x ＋y )cos(x －y )＝13，则cos 2x －sin 2y 等于( ) A ．－13 B.13 C ．－23 D.23[答案] B[解析] ∵cos(x ＋y )cos(x －y )＝(cos x cos y －sin x sin y )·(cos x cos y ＋sin x sin y )＝cos 2x cos 2y －sin 2x sin 2y ＝cos 2x (1－sin 2y )－(1－cos 2x )·sin 2y ＝cos 2x －cos 2x sin 2y －sin 2y ＋cos 2x sin 2y ＝cos 2x －sin 2y ，∴选B.(理)已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x 、y 为锐角，则sin(x ＋y )的值是( )A ．1B ．－1 C.13 D.12 [答案] A[解析] 两式相加得sin x ＋cos x ＝sin y ＋cos y ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋π4， ∵x 、y 为锐角，且sin x －sin y <0，∴x <y ， ∴x ＋π4＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋π4，∴x ＋y ＝π2，∴sin(x ＋y )＝1.5．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos α＝45，则tan2α等于( )A ．－247 B.247 C ．－724 D.724[答案] A[解析] ∵－π2<α<0，cos α＝45，∴sin α＝－1－cos 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－34，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，故选A.6．若α、β∈(0，π2)，cos(α－β2)＝32，sin(α2－β)＝－12，则cos(α＋β)的值等于( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32[答案] B[解析] 由α、β∈(0，π2)得， α－β2∈(－π4，π2)，α2－β∈(－π2，π4)．又cos(α－β2)＝32，sin(α2－β)＝－12， ∴α－β2＝±π6，α2－β＝－π6， ∵α，β∈(0，π2)，∴α＝β＝π3， ∴cos(α＋β)＝－12. 二、填空题7．已知sin α·cos α<0，sin αtan α>0，化简 cos α2·1－sin α21＋sin α2＋sin α2·1＋cos α21－cos α2＝________. [答案] ±2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4[解析] ∵sin α·cos α<0，∴α为第二或第四象限角， 又∵sin α·tan α>0，∴α为第四象限角， ∴α2为第二或四象限角．∴原式＝cos α2·1－sin α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2·1＋cos α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝⎩⎪⎨⎪⎧sin α2＋cos α2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2为第二象限角，－sin α2－cos α2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2为第四象限角.∴原式＝±2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4.8．已知sin α＝35，cos β＝35，其中α、β∈(0，π2)，则α＋β＝________.[答案] π2[解析] ∵α，β∈(0，π2)，sin α＝35，cos β＝35， ∴cos α＝45，sin β＝45，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×35－35×45＝0， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π2.9．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________． [答案] 17250[解析] 本题考查三角函数倍角公式及两角差的正弦公式等知识，考查学生运算能力，∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<2π3， 又cos(α＋π6)＝45， ∴sin(α＋π6)＝1－cos 2(α＋π6)＝35，∴sin2(α＋π6)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6) ＝2×35×45＝2425，cos2(α＋π6)＝2cos 2(α＋π6)－1 ＝2×(45)2－1＝725，∴sin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝sin2(α＋π6)cos π4－cos2(α＋π6)sin π4 ＝2425×22－725×22＝17250.[点评] 已知三角函数值求值问题，解题策略是用已知条件中的角表示未知角，即用角的变换转化，然后用倍角公式或两角和与差公式求值．三、解答题10．(文)已知函数f (x )＝sin x (1＋sin x )＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在[－π6，2π3]上的最大值和最小值． [解析] (1)f (x )＝sin x ＋sin 2x ＋cos 2x ＝sin x ＋1， ∴f (x )的最小正周期为2π.(2)f (x )在[－π6，π2]上为增函数，在[π2，2π3]上为减函数，又f (－π6)<f (2π3)，∴x ＝－π6时，f (x )有最小值f (－π6)＝sin(－π6)＋1＝12； x ＝π2时，f (x )有最大值f (π2)＝sin π2＋1＝2. (理)已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4)． (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，π4)，若f (α2)＝2cos2α，求α的大小．[解析] (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠π8＋k π2，k ∈Z .f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos2α得，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0. 因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12. 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. 所以2α＝π6，即α＝π12.能力拓展提升一、选择题11．(2013·东北三省四市联考)已知复数z 1＝cos23°＋isin23°，复数z 2＝cos37°＋isin37°，则z 1·z 2为( )A.12＋32iB.32＋12i C.12－32i D.32－12i[答案] A[解析] 由已知条件可得z 1z 2＝cos(23°＋37°)＋isin(23°＋37°)＝cos60°＋isin60°＝12＋32i ，故应选A.12．(2013·沈阳、大连联考)已知△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，且B ＝π4，则cos A －cos C 的值为( )A ．±2 B. 2 C.42 D ．±42[答案] D[解析] 由三边成等差数列得2b ＝a ＋c ，据正弦定理将边化角得2sin B ＝2＝sin A ＋sin C ①，令cos A －cos C ＝x ②，将两式两边平方并相加可得2＋2(sin A sin C －cos A cos C )＝2－2cos(A ＋C )＝2＋x 2，由已知A ＋C ＝3π4得2＝x 2，解得x ＝±42，故选D.13．(文)设α为△ABC 的内角，且tan α＝－34，则sin2α的值为( ) A.2425 B ．－2425 C ．－916 D.916[答案] B[解析] ∵tan α＝－34， ∴sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×(－34)(－34)2＋1＝－2425. (理)(2014·樟树中学月考)已知tan α2＝3，则cos α＝( ) A.45 B ．－45 C.415 D ．－35[答案] B[解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2 ＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－91＋9＝－45，故选B. 二、填空题14．(2013·南京调研二)计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.[答案]2[解析] cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos (10°－60°)2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2. 15．(文)(2013·江苏苏锡常镇调研)已知钝角α满足cos α＝－35，则tan(α2＋π4)的值为________．[答案] －3[解析] ∵cos α＝－35，α为钝角，∴sin α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝45－35＝－43，由二倍角公式得tan α＝2tan α21－tan 2α2＝－43，且tan α2>0， 解得tan α2＝2，故tan(α2＋π4)＝tan α2＋11－tan α2＝－3.(理)已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin2αcos (α－π4)等于________．[答案] －255[解析] 由已知得tan α＋11－tan α＝12，解得tan α＝－13， 即sin αcos α＝－13，cos α＝－3sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中，结合－π2<α<0，可得sin α＝－1010，所以2sin 2α＋sin2αcos (α－π4)＝22sin α(sin α＋cos α)sin α＋cos α＝22sin α ＝22×(－1010)＝－255.三、解答题16．(文)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f (C 2)＝－14，且C 为锐角，求sin A 的值．[解析] (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x 2＝12－32sin2x ， 所以函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)f (C 2)＝12－32sin C ＝－14，所以sin C ＝32， 因为C 为锐角，所以C ＝π3，在△ABC 中，cos B ＝13，所以sin B ＝223，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝223×12＋13×32＝22＋36. (理)(2013·山东实验中学三诊)设函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a .(1)写出函数f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)当x ∈[－π6，π3]时，函数f (x )的最大值与最小值的和为32，求f (x )的解析式；(3)将满足(2)的函数f (x )的图象向右平移π12个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向下平移12个单位，得到函数g (x )的图象，求g (x )的图象与x 轴的正半轴、直线x ＝π2所围成图形的面积．[解析] (1)f (x )＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＋a ＝sin(2x ＋π6)＋a ＋12，∴最小正周期T ＝π.由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .故函数f (x )的单调递减区间是[π6＋k π，2π3＋k π](k ∈Z )．(2)∵－π6≤x ≤π3，∴－π6≤2x ＋π6≤5π6.∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1.当x ∈[－π6，π3]时，函数f (x )的最大值最小值的和(1＋a ＋12)＋(－12＋a ＋12)＝32，∴a ＝0，∴f (x )＝sin(2x ＋π6)＋12.考纲要求能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．补充说明1．函数与方程的思想[例1] 已知sin x ＋sin y ＝13，求sin x －cos 2y 的最大、最小值．[分析] 令u ＝sin x －cos 2y ，消去sin x 得u ＝13－sin y －cos 2y 可转化为二次函数求最值，关键是消元后sin x 的范围，同时要转化为sin y 的取值范围．[解析] 由sin x ＝13－sin y 及－1≤sin x ≤1得，－23≤sin y ≤1.而sin x －cos 2y ＝sin 2y －sin y －23 ＝(sin y －12)2－1112，所以当sin y ＝12时，最小值为－1112，当sin y ＝－23时，最大值为49.[点评] 求二元函数最大值时，一般需将函数转化为一元函数，故首先要消去一个字母，而sin x ＝13－sin y 能提供两种功能，其一是消元，其二是要从此消元式中解出sin y 的范围，即二次函数的“定义域”，这是本题的难点及易错点，切不可盲目认定－1≤sin y ≤1.2．角的构造技巧与公式的灵活运用[例2] 求sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°的值．[解析] 解法1：因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin 210°＋cos 2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin 210°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos10°－12sin10°2＋sin10°·32cos10°－12sin10°＝34(sin 210°＋cos 210°)＝34.解法2：令sin10°＝a ＋b ，cos40°＝a －b ，则a ＝12(sin10°＋cos40°)＝12(sin10°＋sin50°)＝sin30°cos20°＝12cos20°，b ＝12(sin10°－cos40°)＝12(sin10°－sin50°)＝cos30°sin(－20°)＝－32sin20°.原式＝(a ＋b )2＋(a －b )2＋(a ＋b )(a －b )＝3a 2＋b 2 ＝34cos 220°＋34sin 220°＝34.解法3：设x ＝sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°，y ＝cos 210°＋sin 240°＋cos10°sin40°.则x ＋y ＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°x －y ＝cos80°－cos20°－12＝－sin50°－12＝－cos40°－12，因此，2x ＝32，x ＝34.[点评] 解法1：通过对该题中两个角的特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化和差公式．当然运用降次、和积互化也是一般方法．解法2：运用代数中方程的方法，将三角问题代数化处理，解法新颖别致，不拘一格，体现了数学的内在美．解法3：利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法简明．在此基础上，通过分析三角函数式中的角度数之间的特定关系，作推广创新．你能解决下列问题吗？(1)求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值；求cos 273°＋cos 247°＋cos47°cos73°的值；(2)求sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)的值；求cos 2α＋sin 2(α＋30°)－cos αsin(α＋30°)的值；(3)求sin 2α＋cos 2(α＋60°)＋3sin αcos(α＋60°)的值；求cos 2α＋sin 2(α＋60°)－3cos a sin(α＋60°)的值；(4)若x ＋y ＝2k π＋π3(k ∈Z )，则sin 2x ＋sin 2y ＋sin x sin y 为定值34；若x ＋y ＝2k π＋2π3(k ∈Z )，则sin 2x ＋sin 2y －sin x sin y 为定值34.3．三角恒等式的证明三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．(1)证明绝对恒等式是根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择恰当途径对条件等式进行变形，直到得到所证等式，或者将欲证等式及条件进行变形，创造机会代入条件，最终推导出所证等式．备选习题1．已知函数f (x )＝2cos 2x 2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f (α－π3)＝13，求cos2α1＋cos2α－sin2α的值．[解析] (1)因为f (x )＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos(x ＋π3)，所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为[－1,3]．(2)因为f (α－π3)＝13，所以1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.又因为α为第二象限角，所以sin α＝223.所以cos2α1＋cos2α－sin2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)2cos α(cos α－sin α)＝cos α＋sin α2cos α ＝－13＋223－23＝1－222.2．(2013·池州期末)已知α，β∈(0，π)，f (α)＝3－2cos2α4sin α.(1)用sin α表示f (α)；(2)若f (α)＝sin β，求α及β的值．[解析] (1)f (α)＝3－2(1－2sin 2α)4sin α＝1＋4sin 2α4sin α. (2)∵0<α<π，∴sin α>0.∴f (α)＝sin α＋14sin α≥214＝1，又f (α)＝sin β≤1，∴f (α)＝1，此时sin α＝14sin α，即sin α＝12，∴α＝π6或5π6.又∵0<β<π，0<sin β≤1，f (α)≥1，所以f (α)＝sin β＝1，所以β＝π2.综上可知α＝π6或5π6，β＝π2.。
走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题1
阶段性测试题一(集合与常用逻辑用语) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2014·甘肃临夏中学、金昌市二中期中)设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x(x－2)<0}，则A∩B等于()A．{x|x>2}B．{x|0<x<2}C．{x|1<x<2} D．{x|0<x<1}[答案] C[解析]∵B＝{x|x(x－2)<0}＝{x|0<x<2}，∴A∩B＝{x|1<x<2}．(理)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－x＝0}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则M∩N为()A．{0} B．{1}C．{0,1} D．∅[答案] B[解析]∵M＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}中的元素是奇数，∴M∩N＝{1}，选B.2．(2014·威海期中)已知集合A＝{－1,1}，B＝{m|m＝x＋y，x∈A，y∈A}，则集合B等于()A．{－2,2} B．{－2,0,2}C．{－2,0} D．{0}[答案] B[解析]∵x∈A，y∈A，A＝{－1,1}，m＝x＋y，∴m的取值为－2,0,2，即B＝{－2,0,2}，故选B.3．(2014·山西曲沃中学期中)集合A＝{x|(x－1)(x＋2)≤0}，B＝{x|x<0}，则A∪B＝()A．(－∞，0] B．(－∞，1]C．[1,2] D．[1，＋∞)[答案] B[解析]∵A＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|x<0}，∴A∪B＝{x|x≤1}，故选B.4．(文)(2014·山东省德州市期中)若U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，N＝{2,3,6}，则∁U(M∪N)＝()A．{1,2,3} B．{5}C．{1,3,4} D．{2}[答案] B[解析]∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M∪N＝{1,2,3,4,6}，∴∁U(M∩N)＝{5}．(理)(2014·文登市期中)已知集合A＝{x|log4x<1}，B＝{x|x≥2}，则A∩(∁R B)＝()A．(－∞，2) B．(0,2)C．(－∞，2] D．[2,4)[答案] B[解析]∵A＝{x|log4x<1}＝{x|0<x<4}，B＝{x|x≥2}，∴∁R B＝{x|x<2}，所以A∩∁R B＝(0,2)，故选B.5．(文)(2014·福州市八县联考)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )A ．∀x ∈R ，|x |>0B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0C ．∀x ∈R ，|x |≤0D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤0[答案] C[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.(理)(2014·甘肃临夏中学期中)命题“存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≤0成立”的否定是( )A ．存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0B ．不存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0C ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m ≤0D ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m >0[答案] D[解析] 特称命题的否定是全称命题．6．(文)(2014·河北冀州中学期中)下列命题中的真命题是( )A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．∃x ∈(－∞，0)，2x <3xD ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x[答案] B[解析] ∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，32>2，∴不存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝32成立，故A 错；令f (x )＝e x －x －1(x ≥0)，则f ′(x )＝e x －1，当x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝0，∴x >0时，f (x )>0恒成立，即e x >x ＋1对∀x ∈(0，＋∞)都成立，故B 正确；在同一坐标系内作出y ＝2x 与y ＝3x 的图象知，C 错误；当x ＝π4时，sin x ＝22＝cos x ，∴D 错误，故选B.(理)(2014·山东省德州市期中)下面命题中，假命题是( )A ．∀x ∈R,3x >0B ．∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βC ．∃m ∈R ，使f (x )＝mxm 2＋2m 是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增D ．命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1>3x ”[答案] D[解析] 由指数函数性质知，对任意x ∈R ，都有3x >0，故A 真；当α＝π3，β＝2π时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；故B 真；要使f (x )＝mxm 2＋2m 为幂函数，应有m ＝1，∴f (x )＝x 3，显然此函数在(0，＋∞)上单调递增，故C 真；D 为假命题，“>”的否定应为“≤”．7．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)a 、b 为非零向量，“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )为一次函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] ∵f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )＝x 2a ·b ＋x (|b |2－|a |2)－a ·b ，当f (x )为一次函数时，a ·b ＝0且|b |2－|a |2≠0，∴a ⊥b ，当a ⊥b 时，f (x )未必是一次函数，因为此时可能有|a |＝|b |，故选B.(理)(2014·江西临川十中期中)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则“m ＝1”是“(a －m b )⊥a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析]∵|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝1×2×cos60°＝1，(a－m b)⊥a⇔(a－m b)·a＝0⇔|a|2－m a·b＝0⇔m＝1，故选C.8．(2014·江西都昌一中月考)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{2,3,4}，集合B＝{2,4,5}，则右图中的阴影部分表示()A．{2,4}B．{1,3}C．{5}D．{2,3,4,5}[答案] C[解析]阴影部分在集合B中，不在集合A中，故阴影部分为B∩(∁U A)＝{2,4,5}∩{1,5,6}＝{5}，故选C.9．(2014·华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中六校联考)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，m⊥β，则α∥β[答案] D[解析] m ∥α，n ∥α时，m 与n 可平行，也可相交或异面，故A 错误；由正方体相邻三个面可知，α⊥β，α⊥γ时，β与γ可能相交，故B 错；当α∩β＝l ，m ⊄α，m ⊄β，m ∥l 时，m ∥α，m ∥β，故C 错，故选D.10．(2014甘肃临夏中学期中)已知函数f (x )＝x ＋b cos x ，其中b 为常数．那么“b ＝0”是“f (x )为奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 当b ＝0时，f (x )＝x 为奇函数，故满足充分性；当f (x )为奇函数时，f (－x )＝－f (x )，∴－x ＋b cos x ＝－x －b cos x ，从而2b cos x ＝0，∵此式对任意x ∈R 都成立，∴b ＝0，故满足必要性，选C.11．(2014·海南省文昌市检测)下列命题中是假命题．．．的是( ) A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数[答案] D[解析] ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真；∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为[－14，＋∞)，∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解，即f (x )有零点，故B 真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x 为偶函数，故D 为假命题．12．(2014·黄冈中学检测)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“理想集合”，则下列集合是“理想集合”的是( )A ．M ＝{(x ，y )|y ＝1x }B ．M ＝{(x ，y )|y ＝cos x }C ．M ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x ＋2}D ．M ＝{(x ，y )|y ＝log 2(x －1)}[答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由x 1x 2＋y 1y 2＝0知OA ⊥OB ，由理想集合的定义知，对函数y ＝f (x )图象上任一点A ，在图象上存在点B ，使OA ⊥OB ，对于函数y ＝1x ，图象上点A (1,1)，图象上不存在点B ，使OA ⊥OB ；对于函数y ＝x 2－2x ＋2图象上的点A (1,1)，在其图象上也不存在点B ，使OA ⊥OB ；对于函数y ＝log 2(x －1)图象上的点A (2,0)，在其图象上不存在点B ，使OA ⊥OB ；而对于函数y ＝cos x ，无论在其图象上何处取点A ，总能在其位于区间[－π2，π2]的图象上找到点B ，使OA ⊥OB ，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(文)(2014·高州四中质量检测)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x 0>0，f (x 0)<0”为真，则m 的取值范围是________．[答案] (－∞，－2)[解析] 由条件知⎩⎨⎧ －m 2>0，m 2－4>0，∴m <－2.(理)(2014·福州市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值范围是________．[答案] m ≤－2或－1<m <2[解析] p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值范围是m ≤－2或－1<m <2.14．(文)(2014·安徽程集中学期中)以下四个命题：①在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝a cos B ，则B ＝π4；②设a ，b 是两个非零向量且|a ·b |＝|a ||b |，则存在实数λ，使得b ＝λa ；③方程sin x －x ＝0在实数范围内的解有且仅有一个；④a ，b ∈R 且a 3－3b >b 3－3a ，则a >b ；其中正确的是________．[答案] ①②③④[解析] ∵b sin A ＝a cos B ，∴sin B sin A ＝sin A cos B ，∵sin A ≠0，∴sin B ＝cos B ，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π4，故①正确；∵|a ·b |＝||a |·|b |·cos 〈a ，b 〉|＝|a |·|b |，∴|cos 〈a ，b 〉|＝1，∴a 与b 同向或反向，∴存在实数λ，使b ＝λa ，故②正确；由于函数y ＝sin x 的图象与直线y ＝x 有且仅有一个交点，故③正确；∵(a 3－3b )－(b 3－3a )＝(a 3－b 3)＋3(a －b )＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2＋3)>0，∵a 2＋ab ＋b 2＋3>0，∴a －b >0，∴a >b ，故④正确．(理)(2014·屯溪一中期中)下列几个结论：①“x <－1”是“x <－2”的充分不必要条件；②⎠⎛01(e x ＋sin x )d x ＝e －cos1； ③已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值为92；④若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tan a π3的值为－3； ⑤函数f (x )＝2sin(2x －π3)－1的对称中心为(k π2＋π6，0)(k ∈Z )其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)[答案] ②③④[解析] x <－1⇒/ x <－2，x <－2⇒x <－1，故①错误；⎠⎛01(e x ＋sin x )d x ＝(e x －cos x )|10＝e －cos1，故②正确；∵a >0，b >0，a ＋b ＝2，∴y ＝1a ＋4b ＝12(a ＋b )(1a ＋4b )＝12(5＋b a ＋4a b )≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，等号在⎩⎨⎧ b a ＝4a b，a ＋b ＝2，即a ＝23，b ＝43时成立，故③正确；∵(a,9)在函数y ＝3x的图象上，∴3a ＝9，∴a ＝2，∴tan 2π3＝－tan π3＝－3，故④正确；f (x )＝2sin(2x －π3)－1的对称中心不落在x 轴上，故⑤错．正确答案为②③④.15．(2013·福建文，16)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)， 那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合： ①A ＝N ，B ＝N *；②A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |－8≤x ≤10}；③A ＝{x |0<x <1}，B ＝R .其中，“保序同构”的集合对的序号是________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号)[答案] ①②③[解析] 由(1)知T 是定义域为S 的函数y ＝f (x )的值域；由(2)知f (x )为增函数，因此对于集合A 、B ，只要能够找到一个增函数y ＝f (x )，其定义域为A ，值域为B 即可．对于①，A ＝N ，B ＝N *，可取f (x )＝x ＋1，(x ∈A )；对于②，A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |－8≤x ≤10}，可取f (x )＝92x－72(x ∈A )；对于③，A ＝{x |0<x <1}，B ＝R ，可取f (x )＝tan(x －12)π(x ∈A )．16．(文)(2014·合肥八中联考)给出下列四个命题：①∃α，β∈R ，α>β，使得tan α<tan β；②若f (x )是定义在[－1,1]上的偶函数，且在[－1,0]上是增函数，θ∈(π4，π2)，则f (sin θ)>f (cos θ)；③在△ABC 中，“A >π6”是“sin A >12”的充要条件；④若函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝3，其中所有正确命题的序号是________．[答案] ①④[解析] ①当α＝3π4，β＝π3时，tan α<0<tan β，∴①为真命题；∵f (x )是[－1,1]上的偶函数，在[－1,0]上单调递增，∴在[0,1]上单调递减，又θ∈(π4，π2)，∴1>sin θ>cos θ>22，从而f (sin θ)<f (cos θ)，∴②为假命题；③当A ＝5π6时，A >π6成立，但sin A ＝12，∴③为假命题；④由条件知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋2＝52，∴f (1)＋f ′(1)＝3，∴④为真命题．(理)(2014·银川九中一模)给出下列命题：①已知a ，b 都是正数，且a ＋1b ＋1>a b ，则a <b ； ②已知f ′(x )是f (x )的导函数，若∀x ∈R ，f ′(x )≥0，则f (1)<f (2)一定成立；③命题“∃x ∈R ，使得x 2－2x ＋1<0”的否定是真命题；④“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充要条件．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ①②③[解析] ①∵a ，b 是正数，∴a ＋1>0，b ＋1>0，∵a ＋1b ＋1>a b，∴b (a ＋1)>a (b ＋1)，∴b >a ，即a <b ，∴①正确；②∵对任意x ∈R ，f ′(x )≥0，∴f (x )在R 上为增函数，∴f (1)<f (2)，∴②正确；③“∃x ∈R ，使得x 2－2x ＋1<0”的否定为“∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0”，∵x ∈R 时，x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0成立，∴③正确；④当x ≤1且y ≤1时，x ＋y ≤2成立；当x ＝3，y ＝－2时，满足x ＋y ≤2，∴由“x ＋y ≤2”推不出“x ≤1且y ≤1”，∴④错误．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(文)(2014·福州市八县联考)A ＝{x |x 2－2x －8<0}，B ＝{x |x 2＋2x －3>0}，C ＝{x |x 2－3ax ＋2a 2<0}，(1)求A ∩B ；(2)试求实数a 的取值范围，使C ⊆(A ∩B )．[解析] (1)依题意得：A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x >1或x <－3}， ∴A ∩B ＝{x |1<x <4}．(2)①当a ＝0时，C ＝∅，符合C ⊆(A ∩B )；②当a >0时，C ＝{x |a <x <2a }，要使C ⊆(A ∩B )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12a ≤4，解得1≤a ≤2； ③当a <0时，C ＝{x |2a <x <a }，∵a <0，C ⊆(A ∩B )不可能成立，∴a <0不符合题设．∴综上所述得：1≤a ≤2或a ＝0.(理)(2014·甘肃临夏中学期中)记函数f (x )＝lg(x 2－x －2)的定义域为集合A ，函数g (x )＝3－|x |的定义域为集合B .(1)求A ∩B ；(2)若C ＝{x |x 2＋4x ＋4－p 2<0，p >0}，且C ⊆(A ∩B )，求实数p 的取值范围．[解析] (1)由条件知，x 2－x －2>0，∴A ＝{x |x <－1，或x >2}，由g (x )有意义得3－|x |≥0，所以B ＝{x |－3≤x ≤3}，∴A ∩B ＝{x |－3≤x <－1，或2<x ≤3}；(2)∵C＝{x|x2＋4x＋4－p2<0}(p>0)，∴C＝{x|－2－p<x<－2＋p}，∵C⊆(A∩B)，∴－2－p≥－3，且－2＋p≤－1，∴0<p≤1，∴实数p的取值范围是{p|0<p≤1}．18．(本小题满分12分)(2014·山东省菏泽市期中)已知命题p：关于x的不等式|x－1|>m－1的解集为R，命题q：函数f(x)＝(5－2m)x 是R上的增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m 的取值范围．[解析]不等式|x－1|>m－1的解集为R，须m－1<0，即p是真命题时，m<1；函数f(x)＝(5－2m)x是R上的增函数，须5－2m>1，即q是真命题时，m<2.∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴p、q中一个为真命题，另一个为假命题．(1)当p真，q假时，m<1且m≥2，此时无解；(2)当p假，q真时，m≥1且m<2，此时1≤m<2，因此1≤m<2.19．(本小题满分12分)(文)(2014·灵宝实验高中月考)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；命题q：实数x满足x2＋2x －8>0且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．[解析]由x2－4ax＋3a2<0及a<0得，3a<x<a，∴p：3a<x<a；由x2＋2x－8>0得，x<－4或x>2，∴q：x<－4或x>2.∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，∴a≤－4.(理)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设命题p ：实数x 满足(x －a )(x －3a )<0，其中a >0，命题q ：实数x满足x －3x －2≤0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．[解析] (1)∵a ＝1，∴不等式化为(x －1)(x －3)<0，∴1<x <3； 由x －3x －2≤0得，2<x ≤3，∵p ∧q 为真，∴2<x <3. (2)∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件，又q ：2<x ≤3，p ：a <x <3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a >3，∴1<a ≤2. 20．(本小题满分12分)(2014·马鞍山二中期中)设命题p ：f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，且不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意的实数a ∈[－1,1]恒成立，若(綈p )∧q 为真，试求实数m 的取值范围．[解析] 对命题p ：x －m ≠0，又x ∈(1，＋∞)，故m ≤1， 对命题q ：|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8对a ∈[－1,1]有a 2＋8≤3，∴m 2＋5m －3≥3⇒m ≥1或m ≤－6.若(綈p )∧q 为真，则p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1. 21．(本小题满分12分)(2014·河北冀州中学期中)设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式(ax －1a )(x ＋4)≤0的解集．(1)求A ∩B ；(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．[解析] (1)由于－x 2－2x ＋8>0，解得A ＝(－4,2)，又y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1， 当x ＋1>0时，y ≥2(x ＋1)·1x ＋1－1＝1；当x ＋1<0时，y ≤－2(x ＋1)·1x ＋1－1＝－3. ∴B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)，∴A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)∵∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)，由(ax －1a )(x ＋4)≤0，知a ≠0，当a >0时，由(ax －1a )(x ＋4)≤0，得C ＝[－4，1a 2]，不满足C ⊆∁R A ； 当a <0时，由(ax －1a )(x ＋4)≤0，得C ＝(－∞，－4]∪[1a 2，＋∞)，欲使C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，解得：－22≤a <0或0<a ≤22，又a <0，所以－22≤a <0，综上所述，所求a 的取值范围是[－22，0)．22．(本小题满分14分)(2014·九江市七校第一次联考)“城中观海”是近年来国内很多大中型城市内涝所致的现象，究其原因，除天气因素、城市规划等原因外，城市垃圾杂物也是造成内涝的一个重要原因．暴雨会冲刷城市的垃圾杂物一起进入下水道，据统计，在不考虑其他因素的条件下，某段下水道的排水量V (单位：立方米/小时)是杂物垃圾密度x (单位：千克/立方米)的函数．当下水道的垃圾杂物密度达到2千克/立方米时，会造成堵塞，此时排水量为0；当垃圾杂物密度不超过0.2千克/立方米时，排水量是90立方米/小时；研究表明，0.2≤x ≤2时，排水量V 是垃圾杂物密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤2时，求函数V (x )的表达式；(2)当垃圾杂物密度x 为多大时，垃圾杂物量(单位时间内通过某段下水道的垃圾杂物量，单位：千克/小时)f (x )＝x ·V (x )可以达到最大，求出这个最大值．[解析] 当0.2≤x ≤2时，排水量V 是垃圾杂物密度x 的一次函数，设为V (x )＝mx ＋n ，将(0.2,90)，(2,0)代入得V (x )＝－50x ＋100，V (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 90(0≤x ≤0.2)，－50x ＋100(0.2<x ≤2).(2)f (x )＝x ·V (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90x (0≤x ≤0.2)，－50x (x －2)(0.2<x ≤2). 当0≤x ≤0.2时，f (x )＝90x ，最大值为1.8千克/小时；当0.2≤x ≤2时，f (x )＝50x (2－x )≤50，当x ＝1时，f (x )取到最大值50，所以，当杂物垃圾密度x ＝1千克/立方米，f (x )取得最大值50千克/小时．。
走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学2-3
基础巩固强化一、选择题1．(文)下列各函数中，()是R上的偶函数() A．y＝x2－2x B．y＝2xC．y＝cos2x D．y＝1|x|－1[答案] C[解析]A、B不是偶函数，D的定义域{x∈R|x≠±1}不是R，故选C.(理)(2012·洛阳示范高中联考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是()A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|[答案] B[解析]y＝x3是奇函数，y＝－x2＋1与y＝2－|x|在(0，＋∞)上为减函数，故选B.2．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是()A．(－∞，2) B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)[答案] B[解析]∵f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，由f(x)<f(2)得f (|x |)<f (2)，∴|x |<2，∴－2<x <2.3．(文)若奇函数f (x )(x ∈R )满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32等于( ) A ．0 B ．1 C.12 D ．－12 [答案] C[解析] 在f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)中取x ＝－32得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋f (3)，∵f (x )是奇函数，且f (3)＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝12. [点评] 解答此类题目，一般先看给出的值和待求值之间可以通过条件式怎样赋值才能产生联系，赋值时同时兼顾奇偶性或周期性的运用．(理)(2013·湖南)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] B[解析] 本题考查的是函数的奇偶性及方程组的解法． ∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，所以g (1)＝3.故选B.4．(文)(2013·宁夏育才中学模拟)已知函数f (x )＝sin(2x －π4)，若存在α∈(0，π)使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α等于( )A.π6B.π3C.π4D.π2[答案] D[解析] 由f (x ＋α)＝f (x ＋3α)得f (x )＝f (x ＋2α)， ∴f (x )周期为2α，又α∈(0，π)，所以α＝π2.(理)(2014·华师附中检测)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[1,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数[答案] D[解析] 由f (x ＋1)＝－f (x )得，f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )的周期为2.∵f (x )在[－1,0]上为减函数，f (x )为偶函数，∴f (x )在[0,1]上为增函数，∴f (x )在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，故选D.5．(2013·宁夏育才中学模拟)若奇函数f (x )在R 上是增函数，且a ＋b >0，则有( )A ．f (a )－f (b )>0B ．f (a )＋f (b )<0C ．f (a )＋f (b )>0D ．f (a )－f (b )<0 [答案] C[解析] 由a ＋b >0得a >－b ，因为f (x )在R 上是奇函数且为增函数，所以f (a )>f (－b )，即f (a )>－f (b )，故选C.6．(2013·琼海市嘉积中学质检)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )在区间[0,6]上零点的个数有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个[答案] B[解析] 当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则有f (0)＝f (1)＝0，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，所以函数y ＝f (x )在区间[0,6]上有f (0)＝f (2)＝f (4)＝f (6)＝0，f (1)＝f (3)＝f (5)＝0，所以有7个．二、填空题7．已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π [解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵f (x )g (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0，g (x )>0.或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0，g (x )<0.观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.8．若函数f (x )＝a －e x1＋a e x(a 为常数)在定义域上为奇函数，则实数a的值为________．[答案] 1或－1[解析] f (－x )＝a －e －x 1＋a e －x ＝a e x －1e x ＋af (x )＋f (－x )＝(a －e x )(a ＋e x )＋(1＋a e x )(a e x －1)(1＋a e x )(e x ＋a )＝a 2－e 2x ＋a 2e 2x －1(1＋a e x )(e x ＋a )＝0恒成立， 所以a ＝1或－1.9．(2013·银川质检)已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________． [答案] ①②④[解析] 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，即f (－2)＝0.又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确；根据f (2)＝0可得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴，②正确；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两极为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确．故正确命题的序号为①②④.三、解答题10．(2012·扬州模拟)已知函数f (x )对任意x 、y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2.(1)求证：f (x )是奇函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．[解析] (1)证明：令x ＝y ＝0，知f (0)＝0；再令y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)解：对任意x 1、x 2∈[－3,3]，设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)<0，∴f (x )为减函数．而f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)＝－6，f (－3)＝－f (3)＝6.∴f (x )max ＝f (－3)＝6，f (x )min ＝f (3)＝－6.能力拓展提升一、选择题11．(2012·山西四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(a －2)x ，x ≥2，(12)x－1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，138] C ．(－∞，2] D ．[138，2)[答案] B[解析] 函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎨⎧a －2<0，(a －2)×2≤(12)2－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是(－∞，138]，选B.12．(文)已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若g (1)＝2，则f (2014)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2[答案] C[解析] 由已知：g (－x )＝f (－x －1)， 又g (x )、f (x )分别为R 上的奇、偶函数，∴－g (x )＝f (x ＋1)，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)，即f (x )的周期T ＝4，∴f (2014)＝f (2)＝g (－1)＝－g (1)＝－2，故选C.(理)已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，则f (2015)等于( )A ．2B ．－3C ．－12 D.13 [答案] C[解析] 由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x )(x ∈N *)．∴f (x )的周期为4， 故f (2015)＝f (3)＝－12. [点评] 严格推证如下： f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1－f (x ＋2)＝f (x )．即f (x )周期为4.故f (4k ＋x )＝f (x )，(x ∈N *，k ∈N *)，13．(文)(2012·江西盟校二联)函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)[答案] C[解析] f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0，得，x ∈(－1,0)； 当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得，x 无解； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得，x ∈(1,3)．∴x ∈(－1,0)∪(1,3)，故选C.(理)(2013·芜湖一模)函数y ＝f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，其图象上任一点P (x ，y )满足x 24＋y 2＝1，若函数y ＝f (x )的值域是(－1,1)，则f (x )一定是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．单调函数D ．幂函数[答案] A[解析] 设P (x ，y )在函数图象上，则由条件知P ′(－x ，－y )也在函数图象上，所以f (－x )＝－f (x )，函数一定是奇函数，但不能确定函数是不是单调函数，是不是幂函数，故选A.二、填空题14．(2012·福州质检)已知集合M 是满足下列条件的函数f (x )的全体：(1)f (x )既不是奇函数也不是偶函数；(2)函数f (x )有零点．那么在函数①f (x )＝|x |－1，②f (x )＝2x －1，③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，0，x ＝0，x ＋2，x <0，④f (x )＝x 2－x －1＋ln x 中，属于M 的有________．(写出所有符合条件的函数序号)[答案] ②④[解析] 对于①，∵f (－x )＝|－x |－1＝|x |－1，∴f (x )＝|x |－1是偶函数，∴①不符合条件；易知f (x )＝2x －1既不是奇函数也不是偶函数，且有一个零点x ＝0，∴②符合条件；对于③，令x >0，则－x <0，∴f (x )＝x －2，f (－x )＝－x ＋2＝－(x －2)，即f (x )＝－f (－x )，又f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，0，x ＝0，x ＋2，x <0，是奇函数，∴③不符合条件；对于④，函数f (x )＝x 2－x －1＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，故它既不是奇函数也不是偶函数，∵f ′(x )＝2x －1＋1x ＝2x 2－x ＋1x＝2(x －14)2＋78x >0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝1－1－1＋0＝－1<0，f (e)＝e 2－e －1＋1＝e(e －1)>0，∴函数f (x )在(1，e)上存在零点，∴④符合条件．故应填②④.15．(2013·吉林质检)已知函数f (x )满足下面关系： (1)f (x ＋π2)＝f (x －π2)；(2)当x ∈(0，π]时，f (x )＝－cos x . 给出下列命题： ①函数f (x )是周期函数； ②函数f (x )是奇函数；③函数f (x )的图象关于y 轴对称； ④方程f (x )＝lg|x |解的个数是8.其中正确命题的序号是________(把正确命题的序号都填上)． [答案] ①④[解析] 由f (x ＋π2)＝f (x －π2)，可得f (x ＋π)＝f (x )，即可得函数f (x )是以π为周期的周期函数，即命题①正确；又由f (0)＝f (π)＝－cosπ＝1≠0可知，函数f (x )不是奇函数，即命题②不正确；由f (－π3)＝f (2π3)＝－cos 2π3＝12≠f (π3)＝－12，可得函数f (x )不是偶函数，其函数图象不关于y 轴对称，即命题③不正确；函数f (x )与函数y ＝lg|x |在同一坐标系下的图象如图所示，由图示可得，方程f (x )＝lg|x |有8个解，即命题④正确．综上可得正确的命题的序号是①④.三、解答题16．(文)已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x ＋T )＝Tf (x )成立．(1)函数f (x )＝x 是否属于集合M ？说明理由；(2)设f (x )∈M ，且T ＝2，已知当1<x <2时，f (x )＝x ＋ln x ，当－3<x <－2时，求f (x )的解析式．[解析] (1)假设函数f (x )＝x 属于集合M ，则存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x ＋T )＝Tf (x )成立，即x ＋T ＝Tx 成立．令x ＝0，得T ＝0，与题目矛盾．故f (x )∉M .(2)f (x )∈M ，且T ＝2，则对任意x ∈R ，有f (x ＋2)＝2f (x )． 设－3<x <－2，则1<x ＋4<2. 又f (x )＝12f (x ＋2)＝14f (x ＋4)， 且当1<x <2时，f (x )＝x ＋ln x ，故当－3<x <－2时，f (x )＝14[x ＋4＋ln(x ＋4)]． (理)已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1(a >0且a ≠1)是奇函数．(1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；(3)当a >1，x ∈(1，3)时，f (x )的值域是(1，＋∞)，求a 的值． [解析] (1)∵f (x )是奇函数，x ＝1不在f (x )的定义域内，∴x ＝－1也不在函数定义域内，令1－m ·(－1)＝0得m ＝－1. (也可以由f (－x )＝－f (x )恒成立求m ) (2)由(1)得f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0且a ≠1)，任取x 1、x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，令t (x )＝x ＋1x －1，则t (x 1)＝x 1＋1x 1－1，t (x 2)＝x 2＋1x 2－1，∴t (x 1)－t (x 2)＝x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)， ∵x 1>1，x 2>1，x 1<x 2， ∴x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0. ∴t (x 1)>t (x 2)，即x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1，∴当a >1时，log a x 1＋1x 1－1>log a x 2＋1x 2－1，即f (x 1)>f (x 2)；当0<a <1时，log a x 1＋1x 1－1<log a x 2＋1x 2－1，即f (x 1)<f (x 2)，∴当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上是减函数，当0<a <1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(3)∵a >1，∴f (x )在(1，3)上是减函数，∴当x ∈(1，3)时，f (x )>f (3)＝log a (2＋3)， 由条件知，log a (2＋3)＝1，∴a ＝2＋ 3.考纲要求结合具体函数，了解函数奇偶性及周期性的含义． 补充说明1．牢记：奇(偶)函数的定义域关于原点对称；奇函数若在x ＝0处有定义，则f (0)＝0；奇偶函数单调性，图象对称性．2．把握四个考向：奇偶性判断；由奇偶性求参数值；求周期；函数性质的综合应用．3．突破三个难点综合利用奇偶性、周期性求函数值；抽象函数性质讨论；函数不等式求解．备选习题1．(2013·济南模拟)设偶函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f (x )，且当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝4x ，则f (107.5)＝( ) A ．10 B.110 C ．－10 D ．－110[答案] B[解析] 由f (x ＋6)＝f (x )知该函数为周期函数， 所以f (107.5)＝(6×18－12)＝f (－12)＝－1f (52)＝－1f(－52)＝－1－10＝110.2．(2013·东北三省四市联考)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x ＋6)＋f(x)＝2f(3)，y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且f(4)＝4，则f(2012)＝()A．0 B．－4C．－8 D．－16[答案] B[解析]由y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称可知，y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即为奇函数．令x＝－3可知，f(3)＋f(－3)＝2f(3)，进而f(－3)＝f(3)，又f(－3)＝－f(3)，可知f(3)＝0，所以f(6＋x)＋f(x)＝0，可知f(x)是一个周期为12的周期函数，所以f(2012)＝f(168×12－4)＝f(－4)＝－f(4)＝－4，故选B.3．(2013·福州质检)已知函数f(x＋1)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的实数x1，x2，不等式(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0恒成立，则不等式f(1－x)<0的解集为()A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，1)[答案] C[解析]∵函数f(x＋1)是定义在R上的奇函数，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即得函数f(x)的对称中心为(1,0)，又由对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0恒成立，可得函数为R上的减函数，由此可得不等式f(x)<0的解为x>1，则由f(1－x)<0可得1－x>1，解得x<0，即不等式f(1－x)<0的解集为(－∞，0)，故应选C.4．(2012·河南商丘模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f (－T2)的值为( )A ．－T 2B ．0 C.T 2 D ．T[答案] B[解析] ∵f (－T 2)＝－f (T 2)，且f (－T 2)＝f (－T 2＋T )＝f (T 2)，∴f (T2)＝0，∴f (－T2)＝0.5．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a 、b 、c的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．∵log 47＝log 27>1，|log 123|＝log 23>log 27，0<0.20.6<0.20＝1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数． ∴b <a <c .故选C.。
走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学2-1
基础巩固强化一、选择题1．(文)若函数f (x )的定义域是[0,4]，则函数g (x )＝f (2x )x 的定义域是( )A ．[0,2]B ．(0,2)C ．(0,2]D ．[0,2)[答案] C[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤4，x ≠0.∴0<x ≤2，故选C.(理)(2013·湖北荆门期末)函数f (x )＝1x ln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( ) A ．(－∞，－4]∪(2，＋∞) B ．(－4,0)∪(0,1) C ．[－4,0)∪(0,1] D ．[－4,0)∪(0,1) [答案] D[解析] 要使函数f (x )有意义，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－3x ＋2≥0，x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4>0，解得－4≤x <0或0<x <1.故选D.2．(文)(2012·江西文，3)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1.则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139[答案] D[解析] 本题考查分段函数求值问题， 由条件知f (3)＝23， f (f (3))＝f (23)＝(23)2＋1＝139.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，f (x －3)，x >0，则f (2014)等于( )A ．－1B ．1C ．－3D ．3[答案] C[解析] f (2014)＝f (2011)＝f (2008)＝……＝f (1)＝f (－2)＝2×(－2)＋1＝－3.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a 等于( )A.12 B.45 C ．2 D ．9[答案] C[解析] ∵f (0)＝20＋1＝2，f (f (0))＝4a ， ∴22＋2a ＝4a ，∴a ＝2.4．(2013·银川模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) [答案] A[解析] 由题意知f (1)＝3，故原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解之得－3<x <1或x >3， ∴原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A. 5．(文)函数f (x )＝22x －2的值域是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)∪(0，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)[答案] D[解析] 1f (x )＝2x －1－1>－1，结合反比例函数的图象可知f (x )∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)．(理)若函数y ＝f (x )的值域是[12，3]，则函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域是( )A ．[12，3]B ．[2，103]C ．[52，103]D ．[3，103][答案] B[解析] 令t ＝f (x )，则12≤t ≤3，由函数g (t )＝t ＋1t 在区间[12，1]上是减函数，在[1,3]上是增函数，且g (12)＝52，g (1)＝2，g (3)＝103，可得值域为[2，103]，选B.6．a 、b 为实数，集合M ＝{ba ，1}，N ＝{a,0}，f 是M 到N 的映射，f (x )＝x ，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1 [答案] C[解析] ∵f (x )＝x ，∴f (1)＝1＝a ，若f (b a )＝1，则有ba ＝1，与集合元素的互异性矛盾，∴f (ba )＝0，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1. 二、填空题7．(文)函数y ＝16－x －x 2的定义域是________． [答案] (－3,2)[解析] 由6－x －x 2>0，得x 2＋x －6<0， 即{x |－3<x <2}．(理)(2013·福州模拟)函数f (x )＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 的定义域为________．[答案] (－∞，－1)∪(－1,1][解析] ∵要使函数f (x )＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ≥0，x ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠－1， ∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．[失误与防范] 本题若将函数f (x )的解析式化简为f (x )＝(x ＋1)－1－x 后求定义域，会误认为其定义域为(－∞，1]．事实上，上述化简过程扩大了自变量x 的取值范围．防范错误的有效方法是每一步变形时观察一下是否为等价变换，否则应附加限制条件保持等价．8．(文)如果函数f (x )＝1－x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋…f (2012)＋f (12)＋f (13)＋…＋f (12012)的值为________．[答案] 0[解析] 由于f (x )＋f (1x )＝1－x21＋x 2＋1－(1x )21＋(1x )2＝1－x 21＋x 2＋x 2－1x 2＋1＝0，f (1)＝0，故该式值为0.(理)规定记号“⊕”表示一种运算，且a ⊕b ＝ab ＋a ＋b ＋1，其中a 、b 是正实数，已知1⊕k ＝4，则函数f (x )＝k ⊕x 的值域是________．[答案] (2，＋∞)[解析] 1⊕k ＝k ＋k ＋2＝4，解之得k ＝1，∴f (x )＝x ＋x ＋2，由于“⊕”的运算对象是正实数，故x >0，∴f (x )>2.9．(2012·辽宁辽南协作体期中)已知f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2， x >2，2－x， x ≤2，则f (1)＝________.[答案] 10[解析] f (1)＝f (3－2)＝1＋32＝10. 三、解答题10．(2012·北京海淀期中)某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：元)与日产量x (单位：t)满足函数关系式C ＝10 000＋20x ，每日的销售额R (单位：元)与日产量x 的函数关系式为R ＝⎩⎨⎧－130x 3＋ax 2＋290x ，0<x <120，20 400，x ≥120.已知每日的利润y ＝R －C ，且当x ＝30时，y ＝－100.(1)求a 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．[解析] (1)∵当x ＝30时，y ＝－100，∴－100＝－130×303＋a ×302＋270×30－10 000， ∴a ＝3.(2)当0<x <120时，y ＝－130x 3＋3x 2＋270x －10 000. 令y ′＝－110x 2＋6x ＋270＝0， 可得：x 1＝90，x 2＝－30(舍去)，所以当x ∈(0,90)时，原函数是增函数，当x ∈(90,120)时，原函数是减函数．∴当x ＝90时，y 取得极大值14 300. 当x ≥120时，y ＝10 400－20x ≤8 000.所以当日产量为90t 时，每日的利润可以达到最大值14 300元.能力拓展提升一、选择题11．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．4或1 [答案] C[解析] ∵f (1)＝0，∴f (a )＝2，∴log 2a ＝2(a >0)或2a ＝2(a ≤0)，解得a ＝4或a ＝1(舍)，故选C.(理)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2) (－1<x <0)，e x －1 (x ≥0).若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1B ．1，－22 C ．－22 D ．1，22[答案] B [解析] f (1)＝1，当a ≥0时，f (a )＝e a －1，∴1＋e a －1＝2， ∴a ＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)， ∴1＋sin(πa 2)＝2， ∴πa 2＝π2＋2k π(k ∈Z )，∵－1<a <0，∴a ＝－22，故选B.12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －4a (x <1)，log a x (x ≥1).是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[35，3) D ．(1,3)[答案] D[解析] 解法1：由f (x )在R 上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上单增，由对数函数单调性知a >1，① 又由f (x )在(－∞，1)上单增，∴3－a >0，∴a <3，②又由于f (x )在R 上是增函数，为了满足单调区间的定义，f (x )在(－∞，1]上的最大值3－5a 要小于等于f (x )在[1，＋∞)上的最小值0，才能保证单调区间的要求，∴3－5a ≤0，即a ≥35，③ 由①②③可得1<a <3.解法2：令a 分别等于35、0、1，即可排除A 、B 、C ，故选D. [点评] f (x )在R 上是增函数，a 的取值不仅要保证f (x )在(－∞，1)上和[1，＋∞)上都是增函数，还要保证x 1<1，x 2≥1时，有f (x 1)<f (x 2)．二、填空题[答案] －1或1 [解析]14．(2013·四川省内江市第一次模拟)设函数f (x )＝|x |x ＋bx ＋c ，则下列命题中正确命题的序号有________．①函数f (x )在R 上有最小值；②当b >0时，函数在R 上是单调增函数； ③函数f (x )的图象关于点(0，c )对称；④当b <0时，方程f (x )＝0有三个不同实数根的充要重要条件是b 2>4|c |；⑤方程f (x )＝0可能有四个不同实数根． [答案] ②③④[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c (x ≥0)－x 2＋bx ＋c (x <0)取b ＝0知，①⑤错； 容易判断②，③正确；b <0时，方程f (x )＝0有三个不同实数根，等价于c －b 24<0且c ＋b 24>0，∴b 2>4c 且b 2>－4c ，∴b 2>4|c |，故填②、③、④.三、解答题15．(文)函数f (x )＝x 2＋x －14.(1)若定义域为[0,3]，求f (x )的值域；(2)若f (x )的值域为[－12，116]，且定义域为[a ，b ]，求b －a 的最大值．[解析] ∵f (x )＝(x ＋12)2－12， ∴对称轴为x ＝－12. (1)∵3≥x ≥0>－12， ∴f (x )的值域为[f (0)，f (3)]， 即[－14，474]；(2)∵x ＝－12时，f (x )＝－12是f (x )的最小值， ∴x ＝－12∈[a ，b ]，令x 2＋x －14＝116， 得x 1＝－54，x 2＝14，根据f (x )的图象知当a ＝－54，b ＝14时，b －a 取最大值14－(－54)＝32.(理)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x 2－2)的值域． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1.∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2)＝12(x 4－3x 2＋2)＝12(x 2－32)2－18，当x 2＝32时，y 取最小值－18. ∴函数y ＝f (x 2－2)的值域为[－18，＋∞)． 16．(文)某地区预计2014年的前x 个月内对某种商品的需求总量f (x )(万件)与月份x 的近似关系式是f (x )＝175x (x ＋1)(19－x )，x ∈N *,1≤x ≤12，求：(1)2014年的第x 月的需求量g (x )(万件)与月份x 的函数关系式．(2)求第几个月需求量g (x )最大．[解析] (1)第x 月的需求量为g (x )＝f (x )－f (x －1)＝175x (x ＋1)(19－x )－175(x －1)x (20－x )＝125x (13－x )．(2)g (x )＝125(－x 2＋13x )＝－125[42.25－(x －6.5)2]，因此当x ＝6或7时g(x)最大．第6、7月需求量最大．(理)某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系如图所示：该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如表所示：(1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；(2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定日销售量Q 与时间t 的一个函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)[解析] (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20 (0<t <25，t ∈N *)，－t ＋100 (25≤t ≤30，t ∈N *). (2)图略，Q ＝40－t (t ∈N *)．(3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －t 2＋20t ＋800 (0<t <25，t ∈N *)，t 2－140t ＋4000 (25≤t ≤30，t ∈N *). 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(t －10)2＋900 (0<t <25，t ∈N *)，(t －70)2－900 (25≤t ≤30，t ∈N *). 若0<t <25(t ∈N *)，则当t ＝10时，y max ＝900；若25≤t ≤30(t ∈N *)，则当t ＝25时，y max ＝1125.由1125>900，知y max ＝1125，∴这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大．考纲要求1．了解构成函数的要素；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单地应用．4．会求一些简单函数的定义域．5．了解求函数值域的方法，会求一些简单函数的值域．6．会求一些简单函数的解析式．补充说明1．掌握几类题型：求定义域，分段函数求值、解不等式，已知分段函数值求自变量的值及函数的图象变换．2．函数的定义域是一个集合，应该用集合或区间表示，有几段时，要用“∪”连接，函数解析式是几个代数式的和时，定义域是使各部分有意义的x 的集合的交集．3．了解求函数解析式的常见类型及方法(1)配凑法当已知函数表达式比较简单时，可直接应用此法．即根据具体解析式凑出复合变量的形式，从而求出解析式．(2)换元法已知f [g (x )]是关于x 的函数，即f [g (x )]＝F (x )，求f (x )的解析式，通常令g (x )＝t ，由此能解出x ＝φ(t )．将x ＝φ(t )代入f [g (x )]＝F (x )中，求得f (t )的解析式，再用x 替换t ，便得f (x )的解析式．注意，换元后要确定新元t 的取值范围．[例1] 已知f (2x ＋1)＝lg x ，求f (x )的解析式．[解析] 令2x ＋1＝t ，由于x >0，∴t >1且x ＝2t －1， ∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (3)待定系数法若已知函数的结构形式，则可用此法．[例2] (2012·德州模拟)设二次函数f (x )满足f (x －2)＝f (－x －2)且图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求f (x )的解析式．[解析] ∵二次函数f (x )满足f (x －2)＝f (－x －2)，∴f (x )的图象关于直线x ＝－2对称，故可设f (x )＝a (x ＋2)2＋c ，∵f (x )的图象在y 轴上的截距为1，∴f (0)＝1，∴4a ＋c ＝1，①又f (x )的图象在x 轴上截得线段长为22，∴－2＋2与－2－2是方程a (x ＋2)2＋c ＝0的两根，∴2a ＋c ＝0②由①、②解得，a ＝12，c ＝－1，∴f (x )＝12(x ＋2)2－1，即f (x )＝12x 2＋2x ＋1.(4)消元法已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还出现其它未知量，如f (－x )、f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 等，必须根据已知等式再构造其它等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[例3] 已知函数f (x )满足条件：f (x )＋2f (－x )＝x ，则f (x )＝________.[分析] 由于难以判断f (x )是何种类型的函数，故不可能先设出f (x )的表达式，但如果把条件中的x 换成－x ，即得f (－x )＋2f (x )＝－x ，把f (x )、f (－x )作为一个整体量，实际上得到了这两个量的方程组．[解析] 用－x 代换条件方程中的x 得f (－x )＋2f (x )＝－x ，把它与原条件式联立．⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋2f (－x )＝x ， ①f (－x )＋2f (x )＝－x . ② ②×2－①得，f (x )＝－x .[答案] －x[点评] 充分抓住已知条件式的结构特征，运用x 取值的任意性获得②式是解决此题的关键．若已知2f (x )－f (－1x )＝2x －1，你会求f (x )吗？(5)赋值法此类解法的依据是：如果一个函数关系式中的变量对某个范围内的一切值都成立，则对该范围内的某些特殊值必成立，结合题设条件的结构特点，给变量适当取值，从而使问题简单化、具体化，进而获解．[例4] 已知f (0)＝1，f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)，求f (x )．[解析] 令a ＝0，则f (－b )＝f (0)－b (－b ＋1)＝1＋b (b －1)＝b 2－b ＋1再令－b ＝x 得：f (x )＝x 2＋x ＋1.[点评] 赋值法的关键环节是“赋值”，赋值的方法灵活多样，既要照顾到已知条件的运用和待求结论的产生，又要考虑所给关系式的结构特点．如本题另解：令b ＝a ，则1＝f (0)＝f (a )－a (2a －a ＋1)＝f (a )－a (a ＋1)＝f (a )－a 2－a ，∴f (a )＝a 2＋a ＋1，∴f (x )＝x 2＋x ＋1.(6)转化法已知f (x )在某个区间上的表达式及f (x )具有某种性质(如奇偶性、对称性等)，求f (x )在另一个区间上的表达式，常用转化法求解．[例5] 已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝kf (x ＋2)，其中常数k 为负数，且f (x )在区间[0,2]上有表达式f (x )＝x (x －2)．(1)求f (－1)，f (2.5)的值；(2)写出f (x )在[－3,3]上的表达式，并讨论函数f (x )在[－3,3]上的单调性．[解析] (1)由f (－1)＝kf (1)，f (2.5)＝1k f (12)知需求f (12)和f (1)，f (1)＝－1，f (12)＝12×(12－2)＝－34，∴f (－1)＝－k ，f (2.5)＝－34k(2)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x (x －2)，设－2≤x <0，则0≤x ＋2<2，∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k (x ＋2)x ；设－3≤x <－2，则－1≤x ＋2<0，∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k 2(x ＋4)(x ＋2)；设2<x ≤3，则0<x －2≤1，∵f (x )＝kf (x ＋2)，∴f (x －2)＝kf (x )，∴f (x )＝1k f (x －2)＝1k (x －2)(x －4)．综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ k 2(x ＋2)(x ＋4) －3≤x <－2，kx (x ＋2) －2≤x <0，x (x －2) 0≤x ≤2，1k (x －2)(x －4) 2<x ≤3.∵k <0，∴由二次函数的知识知：f (x )在[－3，－2)上是增函数，在[－2，－1)上是增函数，在[－1,0)上是减函数，在[0,1)上是减函数，在[1,2]上是增函数，在(2,3]上是增函数，又各区间都可以是闭区间，∴f(x)在[－3，－1]上是增函数，在[－1,1]上是减函数，在[1,3]上是增函数．[点评]可用导数讨论单调性．备选习题1．值域为{2,5,10}，对应关系为y＝x2＋1的函数个数为()A．1 B．8C．27 D．39[答案] C[解析]本题的关键是寻找满足条件的定义域有多少种情况．当y＝2，即x2＝1时，x＝1，－1或±1有三种情况，同理当y＝5,10时，x的值各有三种情况，由分步乘法计数原理知，共有3×3×3＝27种可能．故选C.2．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如下图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()[答案] A[解析] ∵f (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点为a 和b 且a >b ，由图象知0<a <1，b <－1，∴g (x )＝a x ＋b 单调减，且g (0)＝1＋b <0，故选A.3．函数f (x )＝|log 12x |的定义域是[a ，b ]，值域为[0,2]，对于区间[m ，n ]，称n －m 为区间[m ，n ]的长度，则[a ，b ]长度的最小值为( )A.154B ．3C ．4D.34 [答案] D[解析] 令f (x )＝0得，x ＝1，令f (x )＝2得，log 12x ＝±2，∴x ＝14或4，∴当a ＝14，b ＝1时满足值域为[0,2]，故选D.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x －1 (x <1)，lg x (x ≥1).若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(10，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,10)D ．(0,10)[答案] A[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x 0<1，21－x 0－1>1，或⎩⎨⎧x 0≥1，lg x 0>1. ∴x 0<0或x 0>10.5．(2012·东北三校二模)函数y ＝x ln(－x )与y ＝x ln x 的图象关于( )A．直线y＝x对称B．x轴对称C．y轴对称D．原点对称[答案] D[解析]若点(m，n)在函数y＝x ln x的图象上，则n＝m ln m，所以－n＝－m ln[－(－m)]，可知点(－m，－n)在函数y＝x ln(－x)的图象上，反之亦然，而点(m，n)与点(－m，－n)关于原点对称，所以函数y＝x ln x与y＝x ln(－x)的图象关于原点对称，故选D.6．如图，动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M、N.设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是()[答案] B[解析]解法1：取AA1、CC1的中点E、F，EF交BD1于O，则EF ∥AC ，∵AC ⊥BD ，AC ⊥BB 1，∴AC ⊥平面BDD 1B 1，∴EF ⊥平面BDD 1B 1，∴平面BED 1F ⊥平面BDD 1B 1，过点P 作MN ∥EF ，则MN ⊥平面BDD 1B 1，MN 交BE 、BF 于M 、N ，则BP BO ＝MN EF ，∴MN ＝EF BO ·BP ，不难看出当P 在BO 上时，y 是x 的一次增函数，当P 在OD 1上时，y 是x 的一次减函数，故选B.解法2：连接AC ，A 1C 1，则MN ∥AC ∥A 1C 1，当且仅当P 为BD 1的中点O 时，MN ＝AC 取得最大值，故答案A ，C 错，又当P 为BO中点时，MN ＝12AC ，故答案D 错，所以选B.7．已知函数f (x )的值域为[0,4]，(x ∈[－2,2])，函数g (x )＝ax －1，x ∈[－2,2]，∀x 1∈[－2,2]，总∃x 0∈[－2,2]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，则实数a 的取值范围是______．[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ [解析] 只需要函数f (x )的值域是函数g (x )值域的子集即可．(1)当a >0时，g (x )＝ax －1单调递增，∵x ∈[－2,2]，∴－2a －1≤g (x )≤2a －1，要使条件成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧－2a －1≤02a －1≥4，∴a ≥52.(2)当a <0时，g (x )＝ax －1单调递减．∵x ∈[－2,2]，∴2a －1≤g (x )≤－2a －1，要使条件成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －1≤0－2a －1≥4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12a ≤－52，∴a ≤－52.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. 8．某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x 元(7≤x ≤10)时，一年的产量为(11－x )2万件，若该企业所生产的产品全部售出，则称该企业正常生产，但为了保护环境，用于治理污染的费用与产量成正比，比例系数为常数a (1≤a ≤3)．(1)求该企业正常生产一年的利润L (x )与出厂价x 的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润．[解析] (1)依题意，L (x )＝(x －3)(11－x )2－a (11－x )2＝(x －3－a )(11－x )2，x ∈[7,10]．(2)因为L ′(x )＝(11－x )2－2(x －3－a )·(11－x )＝(11－x )(11－x －2x ＋6＋2a )＝(11－x )(17＋2a －3x )．由L ′(x )＝0，得x ＝11∉[7,10]或x ＝17＋2a 3.因为1≤a ≤3，所以193≤17＋2a 3≤233.①当193≤17＋2a 3≤7，即1≤a ≤2时，L ′(x )在[7,10]上恒为负，则L (x )在[7,10]上为减函数，所以L (x )max ＝L (7)＝16(4－a )．②当7<17＋2a 3≤233，即2<a ≤3时，L (x )max ＝L (17＋2a 3)＝427(8－a )3.当1≤a ≤2时，在每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－a )万元．当2<a ≤3时，在每件产品出厂价为17＋2a 3元时，年利润最大，为427(8－a )3万元．。
走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学4-6
基础巩固强化一、选择题1．(文)已知△ABC 中，a ＝2、b ＝3、B ＝60°，那么角A 等于( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°[答案] C[解析] 由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ， sin A ＝a sin B b ＝2sin60°3＝22，又∵a <b ，∴A <B ，故A ＝45°，选C.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 [答案] B[解析] 解法1：由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，3sin π3＝1sin B ，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°. 由a >b 得A >B ，∴B ＝30°.故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2，选B.解法2：由余弦定理知，3＝c 2＋1－2c cos π3，即c 2－c －2＝0，∴c ＝2或－1(舍去)．2．(文)(2014·莲塘一中质检)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C 等于( )A.441B.45C.425D.44141[答案] B[解析] 依题意得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝5，又c sin C ＝b sin B ，所以sin C ＝c sin B b ＝42sin45°5＝45，选B. (理)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )sin B ，则角C 等于( )A.π6B.π3C.5π6D.2π3 [答案] B[解析] 由正弦定理得a 2－c 2＝(a －b )·b ＝ab －b 2， 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， ∵0<C <π，∴C ＝π3.3．(文)(2013·浙江调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＋sin B sin C ＝0，则tan A 的值是( )A.33B ．－33C. 3 D ．－ 3[答案] D[解析] 依题意及正弦定理可得，b 2＋c 2－a 2＝－bc ，则由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，又0<A <π，所以A ＝2π3，tan A ＝tan 2π3＝－3，选D.(理)(2013·浙江宁波十校联考)在△ABC 中，a 2tan B ＝b 2tan A ，则角A 与角B 的关系是( )A ．A ＝BB ．A ＋B ＝90°C ．A ＝B 或A ＋B ＝90°D ．A ＝B 且A ＋B ＝90°[答案] C[解析] 由已知条件a 2tan B ＝b 2tan A ⇒sin2A ＝sin2B ，因为A ，B 为三角形内角，所以有2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°，即A ＝B 或A ＋B ＝90°.学生容易错选D ，即A ＝B 且A ＋B ＝90°.4．(2013·合肥二检)△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 [答案] A[解析] 依题意得sin Csin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形，选A.5．(文)(2013·浙江五校第二次联考)若△ABC 的内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，∠B ＝45°，S △ABC ＝2，则b ＝( )A ．5B ．25 C.41 D ．5 2[答案] A[解析] 解法1：由S △ABC ＝12ac sin45°＝2⇒c ＝42， 再由余弦定理可得b ＝5.解法2：作三角形ABC 中AB 边上的高CD ， 在Rt △BDC 中求得高CD ＝22，结合面积求得 AB ＝42，AD ＝722，从而b ＝AD 2＋CD 2＝5.(理)(2013·呼和浩特第一次统考)在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，角B 所对的边长b ＝2，则△ABC 的面积为( )A ．4B ．1 C.3 D ．2 [答案] C[解析] 据正弦定理将角化边得a ＝3c ，再由余弦定理得c 2＋(3c )2－23c 2cos30°＝4，解得c ＝2，故S △ABC ＝12×2×23×sin30°＝ 3.6．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33 D ．2＋ 3[答案] C[解析] 12ac sin B ＝12，∴ac ＝2， 又2b ＝a ＋c ，∴a 2＋c 2＝4b 2－4，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b ＝3＋33.二、填空题7．(2014·弋阳一中月考)在直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－1,0)，C (1,0)，顶点B 在椭圆x 24＋y 23＝1上，则sin A ＋sin C sin B 的值为________．[答案] 2[解析] 由题意知△ABC 中，AC ＝2，BA ＋BC ＝4， 由正弦定理得sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋BAAC ＝2.8．(2014·江西四校联考)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知c ＝3，C ＝π3，a ＝2b ，则b 的值为________．[答案]3[解析] 依题意及余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即9＝(2b )2＋b 2－2×2b ×b cos π3，解得b 2＝3，∴b ＝ 3.9．(文)(2012·石家庄质检)在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝2，AC ＝263，则∠B ＝________.[答案] 45°[解析] 利用正弦定理可知：BC sin A ＝AC sin B ， 即2sin60°＝263sin B ，∴sin B ＝22，∵2>263，∴BC >AC ，∴∠A >∠B ，∴∠B ＝45°.(理)(2012·北京西城区期末)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b ＝5，B ＝π4，tan C ＝2，则c ＝________.[答案] 2 2 [解析]⎭⎬⎫sin 2C ＋cos 2C ＝1tan C ＝2⇒sin Ccos C ＝2⇒sin 2C ＝45⇒sin C ＝255.由正弦定理，得b sin B ＝c sin C ，∴c ＝sin Csin B ×b ＝2 2.三、解答题10．(文)(2012·浙江文，18)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a 、c 的值． [解析] (1)由b sin A ＝3a cos B 及a sin A ＝bsin B 得， sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，因为0<B <π，所以B ＝π3. (2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C 得，c ＝2a .① 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得， 9＝a 2＋c 2－ac .②由①、②得a ＝3，c ＝2 3.[点评] 本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识，同时考查运算求解能力．(理)(2013·浙江省名校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －3cos C cos B＝3c －ab . (1)求sin Csin A 的值；(2)若B 为钝角，b ＝10，求a 的取值范围． [解析] (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ， 则3c －a b ＝3k sin C －k sin A k sin B ＝3sin C －sin A sin B ， 所以cos A －3cos C cos B ＝3sin C －sin A sin B， 即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，因此sin C sin A ＝3. (2)由sin Csin A ＝3得c ＝3a .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c >ba 2＋c 2<b 2，又b ＝10，所以52<a <10.能力拓展提升一、选择题11．(文)(2013·东北三省四市二联)若满足条件AB ＝3，C ＝π3的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2，2)[答案] C[解析] 解法一：若满足条件的三角形有两个，则32＝sin C <sin A <1，又因为BC sin A ＝ABsin C ＝2，故BC ＝2sin A ，所以3<BC <2，故选C.解法二：由条件知，BC sin π3<3<BC ，∴3<BC <2.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π3 [答案] A[解析] 由条件知b sin A <a ，即22sin A <2， ∴sin A <22，∵a <b ，∴A <B ，∴A 为锐角，∴0<A <π4.12．(文)(2013·浙江金丽衢十二校二联)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 所对的边，且b 2＋c 2＝a 2＋3bc ，则2sin B cos C －sin(B －C )的值为( )A.33B.32C.22D.12[答案] D[解析] 利用余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32，又A∈(0，π)，所以A ＝π6，B ＋C ＝5π6，所以2sin B cos C －sin(B －C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin(B ＋C )＝12.(理)(2013·浙江稽阳联谊学校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝3bc 且b ＝3a ，则△ABC 不．可能．．是( ) A ．等腰三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．锐角三角形[答案] D[解析] 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，可得A ＝π6，又由b ＝3a 可得b a ＝sin B sin A ＝2sin B ＝3，可得sin B ＝32，得B ＝π3或B ＝2π3，若B ＝π3，则△ABC 为直角三角形；若B ＝2π3，C ＝π6＝A ，则△ABC 为钝角三角形且为等腰三角形，由此可知△ABC 不可能为锐角三角形，故应选D.13．(2014·大城一中月考)在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，则△ABC 面积的最大值为( )A.21B.3214 C.212 D ．321 [答案] B[解析] 设角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，∵AC →·AB →＝|AC→－AB →|＝3，∴bc cos A ＝a ＝3.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1－92bc ＝1－3cos A 2，∴cos A ≥25，∴0<sin A ≤215，∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32tan A ≤32×212＝3214，故△ABC 面积的最大值为3214.二、填空题14．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则∠A 的大小为________．[答案] π6[解析] ∵sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2， ∴sin(B ＋π4)＝1， ∵0<B <π，∴B ＝π4，∵b sin B ＝a sin A ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×222＝12， ∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3，则△ABC 的面积为________．[答案] 2[解析] 依题意得cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，∴sin A ＝1－cos 2A ＝45，∵AB →·AC →＝AB ·AC ·cos A ＝3，∴AB ·AC ＝5，∴△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝2.15．在△ABC 中，C ＝60°，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，则a b ＋c ＋b c ＋a＝________. [答案] 1[解析] ∵C ＝60°，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴(a 2＋ac )＋(b 2＋bc )＝(b ＋c )(a ＋c )，∴a b ＋c ＋b a ＋c＝1. 三、解答题16．(文)已知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A 、sin C 、sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长．[解析] (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由于sin(A ＋B )＝sin C .∴m ·n ＝sin C .又∵m ·n ＝sin2C ，∴sin2C ＝sin C ，∴2sin C cos C ＝sin C .又sin C ≠0，所以cos C ＝12.而0<C <π，因此C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列得，2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得，2c ＝a ＋b .∵CA →·(AB →－AC →)＝18，∴CA →·CB →＝18.即ab cos C ＝18，由(1)知，cos C ＝12，所以ab ＝36.由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－3ab .∴c 2＝4c 2－3×36，∴c 2＝36.∴c ＝6.(理)(2013·江西省七校联考)已知在△ABC 中，C ＝2A ，cos A ＝34，且2BA →·CB →＝－27.(1)求cos B 的值；(2)求AC 的长度．[解析] (1)∵C ＝2A ，∴cos C ＝cos2A ＝2cos 2A －1＝18，∴sin C ＝378，sin A ＝74.∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝sin A sin C －cos A cos C＝74×378－34×18＝916.(2)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴AB ＝32BC .∵2BA →·CB →＝－27，cos B ＝916，∴|BA →||CB →|＝24，∴BC 2＝16，AB ＝6，∴AC ＝BC 2＋AB 2－2BC ·AB ·cos B ＝16＋36－2×4×6×916＝5.考纲要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 补充说明1．求解三角形中的三角函数问题的技巧解三角形问题的两重性：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路：②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口．2．在解斜三角形的问题中，有时所给问题在一个多边形中，需将多边形分割成三角形，有时在同一个图形中有几个三角形，解题时要先分析条件，将已知和待求量归结到一个可解的三角形中，如果不能归到同一个三角形中，则应看待求量需要在哪个三角形中解决，这个三角形中的哪个量与已知条件所在的三角形共用，先解可解的三角形求出这个量或建立方程求解．备选习题1．(2013·杭州第二次质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为1534，b ＋c ＝8，A ＝120°，则a ＝( )A ．7B ．3 3C ．5D ．3[答案] A[解析] 由已知条件可得S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×32＝34bc ＝1534，得bc ＝15，又由b ＋c ＝8可得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b＋c)2－2bc＋bc＝64－15＝7，故应选A.2．(2013·沈阳二中四模)在△ABC中，A＝120°，b＝1，面积为3，则b－c－asin B－sin C－sin A＝()A.2393 B.393C．27 D．47[答案] C[解析]∵S＝12bc sin A＝12c sin120°＝3，∴c＝4，∴a＝b2＋c2－2bc cos A＝17＋8×12＝21，∴b－c－asin B－sin C－sin A＝asin A＝2132＝27，故应选C.3．在△ABC中，sin A＝513，cos B＝45，则cos C＝________. [答案]－3365[解析]由cos B＝45得，sin B＝35>513＝sin A，∴b>a，即B>A，∴A为锐角，∴cos A＝1213，∴cos C＝－cos(A＋B)＝sin A sin B－cos A cos B＝513×35－1213×45＝－3365.4．(2012·天津文，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝2，c＝2，cos A＝－2 4.(1)求sin C 和b 的值；(2)求cos(2A ＋π3)的值．[分析] (1)由cos A ＝－24及0<A <π，sin 2A ＋cos 2A ＝1可求sin A ，再由正弦定理求sin C ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可求b 的值．(2)由(1)知道sin A ，cos A ，用正弦、余弦二倍角公式求sin2A ，cos2A ，展开cos(2A ＋π3)代入即可．[解析] (1)在△ABC 中，由cos A ＝－24，可得sin A ＝144.又由a sin A ＝c sin C 及a ＝2，c ＝2，可得sin C ＝74.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋b －2＝0，因为b >0，故解得b ＝1.所以sin C ＝74，b ＝1.(2)由cos A ＝－24，sin A ＝144得，cos2A ＝2cos 2A －1＝－34， sin2A ＝2sin A cos A ＝－74.所以，cos(2A ＋π3)＝cos2A cos π3－sin2A sin π3 ＝－3＋218. 5．(2012·新课标全国文)已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A .(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b 、c .[分析] (1)已知c ＝3a sin C －c cos A ，求角A ，注意到等式中的三项都含有c 或sin C ，故可用正弦定理化边为角，约去sin C (sin C ≠0)得到角A 的关系式，再结合0<A <π，求出角A .(2)可结合角A 的值，选择合适的△ABC 的面积公式，建立关于b 、c 的方程组，解得b 、c 的值．已知a 和S △ABC 及角A ，可选择面积公式S △ABC ＝12bc sin A ，再结合余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，建立b与c 的方程组解之．[解析] (1)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理得，3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin(A －π6)＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.[点评] 本题考查解三角形的有关知识，该类问题在已知条件中如果涉及到边角关系时，经常考虑边角互化，另外还要注意三角形面积公式的合理选择．。
走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题五
阶段性测试题五(平面向量)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．(文)(2014·浙江杜桥中学期中)已知向量a＝(1，m)，向量b＝(m,2)．若a∥b，则实数m等于()A．－2 B. 2C．±2 D．0[答案] C[解析]∵a∥b，∴1×2－m2＝0，∴m＝±2.(理)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()A．－2 B．0C．1 D．2[答案] D[解析]∵a＋b＝(3,1＋x)，4b－2a＝(6,4x－2)，a＋b与4b－2a 平行，∴3(4x－2)－6(1＋x)＝0，∴x＝2.2．(2014·威海期中)已知|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，则|2a－b|＝()A．2 B．4C．2 2 D．8[答案] A[解析] 由条件知|a |2＝1，|b |2＝4，a ·b ＝1， ∴|2a －b |2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝4，∴|2a －b |＝2.3．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] C[解析] ∵c ⊥a ，∴c ·a ＝(a ＋b )·a ＝|a |2＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－1，即1×2×cos 〈a ，b 〉＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.(理)(2014·营口三中期中)已知a ＋b ＋c ＝0，且a 与c 的夹角为60°，|b |＝3|a |，则cos 〈a ，b 〉等于( )A.32B.22 C ．－12 D ．－32 [答案] D[解析] 设〈a ，b 〉＝α，∵|b |＝3|a |， ∴|b |2＝3|a |2，a ·b ＝3|a |2cos α， a ·c ＝|a |·|c |·cos60°＝12|a |·|a ＋b |. ∵a ·c ＝－(a ＋b )·a ＝－|a |2－a ·b ＝－|a |2－3|a |2cos α， |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b＝|a |2＋3|a |2＋23|a |2cos α＝4|a |2＋23|a |2cos α，∴－|a |2－3|a |2cos α＝12|a |·4|a |2＋23|a |2cos α，∴－3cos α－1＝124＋23cos α，∴cos α＝－32，故选D. 4．(2014·泸州市一诊)△ABC 中，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.13 B.23 C ．－23 D ．－13[答案] B[解析] ∵AD →＝2DB →，∴AD →＝23AB →＝23(CB →－CA →)，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →， ∴λ＝23.5．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝3，点P 在AD 上且满足AD →＝3AP →，则DA →·(PB→＋PC →)＝( ) A ．6 B ．－6 C ．－12 D ．12[答案] C[解析] ∵AD ＝3，AD→＝3AP →，∴|AD →|＝3，|AP →|＝1，∴|PD→|＝2， ∵D 为BC 的中点，∴DA →·(PB →＋PC →)＝DA →·2PD →＝－2·|DA →|·|PD →|＝－12.(理)(2014·开滦二中期中)已知△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝43，点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则AP →·(AB→＋AC →)满足( ) A ．最大值为16 B ．最小值为4 C ．为定值8 D ．与P 的位置有关[答案] C[解析] 设BC 边中点为D ，〈AP →，AD →〉＝α，则|AD →|＝|AP →|·cos α，∵AB ＝AC ＝4，BC ＝43，∴∠BAC ＝120°，∴0°≤α≤60°， ∴AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·2AD →＝2|AP →|·|AD →|·cos α ＝2|AD→|2＝8. 6．(2014·辽宁师大附中期中)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1[答案] D[解析] ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线，∴存在实数k ，使得AB→＝kAC →，即λa ＋b ＝k (a ＋μb )，∵a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝kμ，∴λμ＝1，故选D.7．(2014·抚顺二中期中)已知向量a ＝(cos75°，sin75°)，b ＝(cos15°，sin15°)，则a －b 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] C[解析] 解法1：∵a －b ＝(cos75°－cos15°，sin75°－sin15°)， ∴|a －b |2＝(cos75°－cos15°)2＋(sin75°－sin15°)2＝2－2(cos75°cos15°＋sin75°sin15°)＝2－2cos60°＝1，∴|a －b |＝1，又b ＝1，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°－1＝cos60°－1＝－12， ∴cos 〈a －b ，b 〉＝(a －b )·b |a －b |·|b |＝－121×1＝－12，∴〈a －b ，b 〉＝120°.解法2：作单位圆如图，∠AOx ＝75°，∠BOx ＝15°，则OA →＝a ，OB→＝b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，∴△AOB 为正三角形，∴∠ABO ＝60°，从而OB →与BA →所成的角为120°， 即b 与a －b 所成的角为120°.[点评] 数形结合解答本题显得特别简捷．8．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知在△ABC 中，AR →＝2RB→，CP →＝2PR →，若AP →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝( ) A ．1 B.89 C.79 D.23[答案] C[解析] ∵AR→＝2RB →，CP →＝2PR →， ∴AR →＝23AB →，RP →＝－13CR →，∴AP →＝AR →＋RP →＝AR →－13CR →＝AR →－13(CA →＋AR →)＝23AR →＋13AC →＝49AB →＋13AC →，∴m ＋n ＝79.9．(文)(2014·营口三中期中)已知点G 是△ABC 的重心，AG →＝λAB →＋μAC →(λ、μ∈R )，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG→|的最小值是( ) A.33 B.22 C.23 D.34 [答案] C[解析] 设D 为△ABC 的边BC 的中点，AG →＝23AD →＝23·12(AB →＋AC →＝13AB →＋13AC →，∴λ＝μ＝13，∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，∴|AB →|·|AC→|＝4， ∴|AG →|2＝19(|AB →|2＋|AC →|2－4)≥19×(2|AB →|·|AC →|－4)＝49，∴|AG →|≥23. (理)(2014·哈六中期中)已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAC＝45°，AD ＝2，AB ＝2，BC ＝1，P 是边AB 所在直线上的动点，则|PC→＋2PD →|的最小值为( ) A ．2 B ．4 C.522 D.252[答案] C[解析] ∵AB ＝2，BC ＝1，∠BAC ＝45°，∴AB ·sin ∠BAC ＝BC ，∴AC ⊥BC ，以C 为原点直线BC 与AC 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系如图，则C (0,0)，B (－1,0)，A (0,1)，D (2,1)，∵P 在直线AB ：y －x ＝1上，∴设P (x 0,1＋x 0)，则PC →＋2PD →＝(－x 0，－1－x 0)＋2(2－x 0，－x 0)＝(4－3x 0，－1－3x 0)，∴|PC →＋2PD →|2＝(4－3x 0)2＋(－1－3x 0)2＝18x 20－18x 0＋17＝18(x 0－12)2＋252，∴当x 0＝12时，|PC →＋2PD →|min ＝522，故选C.10．(文)(2014·河南淇县一中模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0[答案] A[解析] 由条件知，A 1(－1,0)，F 2(2,0)，∵P 在双曲线右支上，∴P 在上半支与下半支上结论相同，设P (x 0，3x 20－3)，x 0≥1，∴P A 1→·PF 2→＝(－1－x 0，－3x 20－3)·(2－x 0，－3x 20－3)＝(－1－x 0)(2－x 0)＋(3x 20－3)＝4x 20－x 0－5＝4(x 0－18)2－8116，∴当x 0＝1时，(P A 1→·PF 2→)min＝－2，故选A. (理)(2014·浙江省五校联考)已知A 、B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且∠AOB ＝120°，MN 是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(0<λ<1)，则CM →·CN→的取值范围是( ) A ．[－12，1) B ．[－1,1) C ．[－34，0) D ．[－1,0)[答案] C[解析] 以直线MN 为x 轴，单位圆的圆心O 为原点建立直角坐标系，则M (－1,0)，N (1,0)，∴OM →·ON→＝－1，∵OC→＝λOA →＋(1－λ)OB →，(0<λ<1)， ∴BC→＝λBA →(0<λ<1)， ∴C 在线段AB 上(不包括端点)，∵OA ＝OB ＝1，∠AOB ＝120°，∴|OC →|∈[12，1)，∴CM →·CN →＝(CO →＋OM →)·(CO →＋ON →)＝|CO →|2＋CO →·(OM →＋ON →)＋OM →·ON →＝|CO →|2－1∈[－34，0)． 11．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)如图，平面内的两个单位向量OA →，OB →，它们的夹角是60°，OC →与OA →、OB →向量的夹角都为30°，且|OC→|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ的值为( )A ．2B ．4C ．2 3D ．4 3[答案] B[解析] 以OA 、OB 为邻边作▱OADB ，∵OA ＝1，OB ＝1，∠AOB ＝60°，∴OD ＝3，∵OC →与OA →、OB →的夹角都为30°，∴OD →与OC →共线，∴OC→＝2OD →＝2OA →＋2OB →，∴λ＝μ＝2，λ＋μ＝4. 12．(2014·枣庄市期中)如图，OA →，OB →分别为x 轴，y 轴非负半轴上的单位向量，点C 在x 轴上且在点A 的右侧，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、BC 上的点．若OE →与OA →＋OB →共线.DE →与OA →共线，则OD →·BC→的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[答案] B[解析] 由条件设OE→＝λ(OA →＋OB →)，DE →＝μOA →， ∴OE→＝(λ，λ)，DE →＝(μ，0)， ∴OD →＝OE →＋ED →＝(λ，λ)＋(－μ，0)＝(λ－μ，λ)，BC →＝(x 0，－1)，x 0>1，∵BD →与BA →共线，BD →＝OD →－OB →＝(λ－μ，λ－1)，BA →＝OA →－OB →＝(1，－1)，∴λ－μ1＝λ－1－1，∴2λ－μ＝1，∵BE→与BC →共线，BE →＝OE →－OB →＝(λ，λ－1)， ∴x 0λ＝－1λ－1，∴x 0＝λ1－λ.∴OD →·BC →＝(λ－μ)x 0－λ＝(λ－μ)λ1－λ－λ＝(1－λ)·λ1－λ－λ＝0.故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是________．[答案] －2[解析] ∵a 与b 的方向相反，∴存在k <0，使a ＝k b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k ，kx ＝1，∴x 2＝4，∵k <0，∴x ＝－2. (理)(2014·江西临川十中期中)若非零向量a ，b ，c ，满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝________.[答案] 0[解析] ∵a ∥b ，∴存在实数λ，使b ＝λa ，又a ⊥c ，∴a ·c ＝0，∴c ·(a ＋2b )＝c ·(a ＋2λa )＝(1＋2λ)a ·c ＝0.14．(文)(2014·辽宁师大附中期中)已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为________．[答案] －17[解析] ∵λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)，由条件知(λa ＋b )·(a －2b )＝3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.(理)(2014·浙江杜桥中学期中)已知a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为________．[答案] 2[解析] ∵a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝3，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λ|a |2－2|b |2＋(2λ－3)a ·b ＝3λ－6＝0，∴λ＝2.15．(文)(2014·北京朝阳区期中)已知平面向量a 与b 的夹角为π6，|a |＝3，|b |＝1，则|a －b |＝________；若平行四边形ABCD 满足AB→＝a ＋b ，AD→＝a －b ，则平行四边形ABCD 的面积为________． [答案] 1 3[解析] 由条件知，|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝3－2×3×1×cos π6＋1＝1，|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝3＋2×3×1×cos π6＋1 ＝7，∵AB →·AD→＝(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2＝2， ∴AB →·AD →＝|a ＋b ||a －b |cos 〈AB →，AD →〉＝7cos 〈AB →，AD →〉＝2，∴cos 〈AB →，AD →〉＝27，sin 〈AB →，AD →〉＝37， ∴S ＝|AB →||AD →|sin 〈AB →，AD →〉＝1×7×37＝ 3. (理)(2014·山西曲沃中学期中)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →·AP→的取值范围是________． [答案] [0,1][解析] 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∵棱长为1， ∴四边形ABC 1D 1为矩形，AB ＝1，AD 1＝2，又DC→＝AB →， ∴DC →·AP →＝AB →·AP →＝|AB →|·|AP →|·cos 〈AB →，AP →〉，当P 点与D 1点重合时，|AP →|·cos 〈AB→，AP →〉取最小值0， 当P 点与B 点重合时，|AP →|·cos 〈AP→，AB →〉取最大值1，∴|AP →|·cos 〈AB→，AP →〉∈[0,1]， 又|AB →|＝1，∴DC →·AP→∈[0,1]． 16．(文)(2014·湖南省五市十校联考)点M (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤3y ≤3x ≤3y 表示的平面区域Ω内的一动点，使z ＝y －2x 的值取得最小的点为A (x 0，y 0)，则OM →·OA→(O 为坐标原点)的取值范围是________．[答案] [0,6][解析] 作出可行域Ω为如图四边形OBCD 区域，作直线l 0：y －2x ＝0，平移l 0，当平移到经过点B (3，1)时，z 取最小值，∴A 为B 点，即A (3，1)，∵M 在平面区域Ω内运动，|OA→|为定值， OM →·OA →＝|OA →|·(|OM →|·cos 〈OA→，OM →〉)，∴当M 与O (或C )重合时，|OM→|cos 〈OA →，OM →〉取到最小值(或最大值)，且M 与O 重合时，OM →·OA →＝0，M 与C 重合时，OM →·OA→＝(3，3)·(3，1)＝6，∴0≤OM →·OA→≤6.(理)(2014·襄阳四中、襄阳五中联考)设点P (x ，y )为平面上以A (4,0)，B (0,4)，C (1,2)为顶点的三角形区域(包括边界)内一动点，O为原点，且OP→＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ的取值范围为________． [答案] [14，1][解析] 直线AB ：x ＋y ＝4，直线AC ：2x ＋3y －8＝0，直线BC ：2x ＋y －4＝0，∴点P 所在的平面区域为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤4，2x ＋3y ≥8，2x ＋y ≥4.即△ABC 的内部和边界，∵OP→＝λOA →＋μOB →＝(4λ，4μ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4λ，y ＝4μ.∴λ＋μ＝14(x ＋y )． 作直线l 0：x ＋y ＝0，平移l 0，可知当平移到经过点C (1,2)时，x ＋y 取最小值3，与直线AB 重合时，x ＋y 取最大值4，从而3≤x ＋y ≤4，∴14≤λ＋μ≤1.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a ＋b )·(a －b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值[解析] (1)由条件知(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝12，|a |＝1，∴|b |＝22，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝121×22＝22， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.(2)∵(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝12， ∴|a －b |＝22，∵(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝52， ∴|a ＋b |＝102，设a －b ，a ＋b 的夹角为α，则cos α＝(a －b )·(a ＋b )|a －b |·|a ＋b |＝1222×102＝55. 18．(本小题满分12分)(文)(2014·江西临川十中期中)已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线；(2)若t 1＝a 2，当OM→⊥AB →且△ABM 的面积为12时，求a 的值． [解析] (1)证明：∵当t 1＝1时，AM →＝OM →－OA →＝t 2AB →， ∴不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点共线．(2)当t 1＝a 2时，OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2)．又∵AB →＝(4,4)，OM →⊥AB →，∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0，∴t 2＝－14a 2.∴OM→＝(－a 2，a 2)． 又∵|AB→|＝42， 点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|·S △ABM ＝12，∴12|AB →|·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12，解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.(理)(2014·山东省德州市期中)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是等腰梯形，A (6,0)，C (1，3)，点M 满足OM →＝12OA →，点P 在线段BC 上运动(包括端点)，如图．(1)求∠OCM 的余弦值；(2)是否存在实数λ，使(OA→－λOP →)⊥CM →，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意可得OA →＝(6,0)，OC →＝(1，3)，OM →＝12OA →＝(3,0)，CM→＝(2，－3)，CO →＝(－1，－3)，∴cos ∠OCM ＝cos 〈CO →，CM →〉＝CO →·CM →|CO→||CM →|＝714. (2)设P (t ，3)，其中1≤t ≤5，λOP→＝(λt ，3λ)， OA→－λOP →＝(6－λt ，－3λ)，CM →＝(2，－3)， 若(OA →－λOP →)⊥CM →，则(OA →－λOP →)·CM→＝0， 即12－2λt ＋3λ＝0⇒(2t －3)λ＝12，若t ＝32，则λ不存在，若t ≠32，则λ＝122t －3， ∵t ∈[1，32)∪(32，5]，故λ∈(－∞，－12]∪[127，＋∞)．19．(本小题满分12分)(文)(2014·浙江台州中学期中)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知sin C ＝2sin(B ＋C )cos B .(1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(a ＋c ，b )，n ＝(b ＋a ，c －a )，若m ∥n ，求∠A .[解析] (1)在△ABC 中，∵sin(A ＋B )＝sin C ，sin(B ＋C )＝sin A ， ∴sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，∴sin(A －B )＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ∥n ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b ＋a )＝0，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝－12. ∵0<C <π，∴C ＝2π3，又△ABC 为等腰三角形，∴∠A ＝π6.(理)(2014·哈六中期中)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(2a －c ，cos C )，n ＝(b ，cos B )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)求a ＋c b 的取值范围．[解析] (1)∵m ∥n ，∴(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ，即2sin A cos B ＝sin A ，∵sin A ≠0，∴cos B ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由正弦定理得a ＋c b ＝sin A ＋sin C sin B ＝233(sin A ＋sin C )，∵C ＋A ＝2π3，∴sin C ＝sin(2π3－A )＝32cos A ＋12sin A ，∴a ＋c b ＝2sin(A ＋π6)，∵A ∈(0，2π3)，∴A ＋π6∈(π6，5π6)，∴a ＋c b ∈(1,2]．20．(本小题满分12分)(2014·抚顺二中期中)在△ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos A ，sin A )，向量n ＝(2－sin A ，cos A )，|m ＋n |＝2.(1)求角A 的大小； (2)若b ＝42，且c ＝2a ，求△ABC 的面积．[解析] (1)∵|m ＋n |2＝(cos A ＋2－sin A )2＋(sin A ＋cos A )2＝4＋22(cos A －sin A )＝4＋4cos(π4＋A )，∴4＋4cos(π4＋4)＝4，∴cos(π4＋A )＝0，∵A ∈(0，π)，∴π4＋A ＝π2，∴A ＝π4.(2)由余弦定理知：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝(42)2＋(2a )2－2×42×2a cos π4， ∴a 2－82a ＋32＝0，解得a ＝42，∴c ＝8，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×8×22＝16.21．(本小题满分12分)(文)(2014·安徽程集中学期中)已知△ABC三个内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos C 2，sin C 2)，n ＝(cos C 2，－sin C 2)，且m 与n 的夹角为π3.(1)求角C 的值；(2)已知c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求a ＋b 的值．[解析] (1)∵|m |＝|n |＝1，∴m ·n ＝|m |·|n |·cos π3＝12，又m ·n ＝cos C 2cos C 2＋sin C 2(－sin C 2)＝cos C ， ∴cos C ＝12，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得a 2＋b 2－ab ＝9，①由S △ABC ＝12ab sin C ＝433，得ab ＝163，②由①②得(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝9＋3ab ＝25，∵a ，b ∈R ＋，∴a ＋b ＝5.(理)(2014·河北冀州中学期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝(cos 3A 2，sin 3A 2)，n ＝(cos A 2，sin A 2)，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若|AC→|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状． [解析] (1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3，即1＋1＋2(cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2)＝3， ∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵|AC→|＋|AB →|＝3|BC →|，∴sin B ＋sin C ＝3sin A ， ∴sin B ＋sin(2π3－B )＝3×32，即32sin B ＋12cos B ＝32， ∴sin(B ＋π6)＝32.∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6，∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2.当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6.故△ABC 是直角三角形．22．(本小题满分14分)(文)(2014·河南淇县一中模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的两点A ，B .(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB→的值； (2)如果OA →·OB→＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． [解析] (1)由题意知抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1， 代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)证明：∵直线l 与抛物线交于不同两点，∴直线l 与x 轴不平行，故可设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x 中，消去x 得，y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2，∴直线l 过定点(2,0)．(理)(2014·湖南省五市十校联考)已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(3cos x ，－12)，函数f (x )＝m 2＋m ·n －2.(1)求f (x )的最大值，并求取得最大值时x 的取值集合；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等比数列，角B 为锐角，且f (B )＝1，求1tan A ＋1tan C 的值．[解析] (1)f (x )＝m 2＋m ·n －2＝(m ＋n )·m －2 ＝(sin x ＋3cos x ，－32)·(sin x ，－1)－2＝sin 2x ＋3sin x cos x －12＝1－cos2x 2＋32sin2x －12 ＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6)．故f (x )max ＝1，此时2x －π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π3，k ∈Z .所以取得最大值时x 的集合为{x |x ＝k π＋π3，k ∈Z }．(2)∵f (B )＝1，∴sin(2B －π6)＝1，又∵0＜B ＜π2，∴－π6<2B －π6<56π.∴2B －π6＝π2，∴B ＝π3.∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，∴sin 2B ＝sin A sin C . ∴1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B ＝1sin B ＝132＝233.。
走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学2-2
基础巩固强化一、选择题1．(文)下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝ln 1|x | B ．y ＝x 3 C ．y ＝2|x | D ．y ＝cos x[答案] A[解析] 排除法：B 、C 在(0，＋∞)上单调递增，D 在(0，＋∞)上不单调，故选A.(理)(2013·宣城月考)下列四个函数中，在区间(0,1)上是减函数的是( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝x13C ．y ＝－(12)xD ．y ＝1x[答案] D[解析] y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数；y ＝x 13在(0，＋∞)上是增函数；∵y ＝(12)x 在(0，＋∞)上是减函数，∴y ＝－(12)x在(0，＋∞)上是增函数；y ＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，故y ＝1x 在(0,1)上是减函数．故选D.2．已知f (x )＝⎩⎨⎧a x (x >1)，(4－a2)x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．[4,8) C ．(4,8) D ．(1,8)[答案] B[解析] 由y ＝a x(x >1)单调增知a >1；由y ＝(4－a2)x ＋2(x ≤1)单调增知，4－a2>0，∴a <8；又f (x )在R 上单调增，∴a ≥(4－a2)＋2， ∴a ≥4，综上知，4≤a <8.[点评] 可用筛选法求解，a ＝2时，有f (1)＝5>4＝f (2)，排除A 、D.a ＝4时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x (x >1)，2x ＋2 (x ≤1).在R 上单调递增，排除C ，故选B.3．(2013·北京海淀期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋1，x ≥1，ax 2＋x ＋1，x <1，则“－2≤a ≤0”是“函数f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] f (x )在R 上单调递增的充要条件是a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧－a2≤1，a <0，－12a ≥1，12＋a ×1＋1≥a ×12＋1＋1，解得－12≤a <0.由此可知“－2≤a ≤0”是“函数f (x )在R 上单调递增”的必要而不充分条件，故选B.4．(文)若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2][答案] A[解析] 由h ′(x )＝2＋kx 2≥0，得k ≥－2x 2， 由于φ(x )＝－2x 2在[1，＋∞)内的最大值为－2， 于是，实数k 的取值范围是[－2，＋∞)．(理)若f (x )＝x 3－6ax 的单调递减区间是(－2,2)，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[－2,2]C ．{2}D ．[2，＋∞) [答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2－6a ，若a ≤0，则f ′(x )≥0，∴f (x )单调增，排除A ；若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝±2a ，当x <－2a 和x >2a 时，f ′(x )>0，f (x )单调增，当－2a <x <2a 时，f (x )单调减，∴f (x )的单调减区间为(－2a ，2a )，从而2a ＝2， ∴a ＝2.[点评] f (x )的单调递减区间是(－2,2)和f (x )在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．本例亦可用x ＝±2是方程f ′(x )＝3x 2－6a ＝0的两根解得a ＝2.5．(文)(2012·天津文)已知a ＝21.2，b ＝(12)－0.8，c ＝2log 52，则a 、b 、c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a[答案] A[解析] 本题考查指数、对数值的大小比较．a ＝21.2>21＝2，b ＝(12)－0.8＝20.8<21＝2，b ＝20.8>20＝1，c ＝2log 52＝log 522＝log 54<log 55＝1，所以c <b <a .(理)(2012·大纲全国理)已知x ＝lnπ，y ＝log 52，z ＝e －12，则( ) A ．x <y <z B ．z <x <y C ．z <y <x D ．y <z <x[答案] D[解析]∵y ＝log 52＝1log 25，z ＝e －12 ＝1e 且e<2<log 25，∴y <z <1，又lnπ>1，∴y <z <x ，故选D.[点评] 比较两数的大小通常是利用中介值法或函数的单调性求解．解题时，应注意观察判断数的正负，正数区分大于1还是小于1，再找出同底数的、同指数的、同真数的，区别不同情况采用不同函数的单调性或图象与性质进行比较，有时需要先进行变形再比较．6．(2013·阜阳月考)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )[答案] A[解析] 由f (x )的图象知f (x )≥1， ∴y ＝log 12f (x )≤0，故选A.二、填空题7．(文)(2013·柳州月考)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上递增，且f (12)＝0，则满足f (log 19x )>0的x 的集合为________．[答案] {x |0<x <13，或1<x <3}[解析] 由奇函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上递增，且f (12)＝0，得函数y ＝f (x )在(－∞，0)上递增，且f (－12)＝0.由f (log 19 x )>0，得log 19x >12或－12<log 19x <0，解得0<x <13或1<x <3.所以满足条件的x 的取值集合为{x |0<x <13，或1<x <3}． (理)(2013·黄山月考)若定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (12)＝0，则不等式f (log 4x )>0的解集是________．[答案] (0，12)∪(2，＋∞)[解析] 由f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，可得f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (log 4x )>0⇔f (log 4x )>f (12)⇔log 4x <－12或log 4x >12，解得0<x <12或x >2.8．(文)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(12)x x ≤0，log 2(x ＋2) x ＞0.若f (x 0)≥2，则x 0的取值范围是____________．[答案] (－∞，－1]∪[2，＋∞)． [解析](理)(2012·湖北八校联考)若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋5)(a >0且a ≠1)满足对任意的x 1、x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 2)－f (x 1)<0，则实数a 的取值范围为________．[答案] 1<a <2 5[解析] 由题意知函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋5)在(－∞，a2]上递减，又因为函数y ＝x 2－ax ＋5在(－∞，a2]上递减，由对数函数的性质可知a >1.又真数大于零，所以函数y ＝x 2－ax ＋5的最小值大于零，即(a 2)2－a ×a2＋5>0，所以－25<a <25，综上1<a <2 5.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －2，x ≤0，2ax －1，x >0，(a 是常数且a >0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1；②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )>0在[12，＋∞)上恒成立，则a 的取值范围是a >1；④对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2. 其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)． [答案] ①③④ [解析](数形结合法)根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，故②错误；若f (x )>0在[12，＋∞)上恒成立，则2a ×12－1>0，a >1，故③正确；由图象可知对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2成立，故④正确． 三、解答题10．(2012·南通市调研)经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (天)的函数，且日销售量近似地满足g (t )＝－13t ＋1123(1≤t ≤100，t ∈N )．前40天价格为f (t )＝14t ＋22(1≤t ≤40，t ∈N )，后60天价格为f (t )＝－12t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N )，试求该商品的日销售额S (t )的最大值和最小值．[解析] 当1≤t ≤40，t ∈N 时，S (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(14t ＋22)＝－112t 2＋2t ＋112×223＝－112(t －12)2＋25003，所以768＝S (40)≤S (t )≤S (12)＝112×223＋12＝25003.当41≤t ≤100，t ∈N 时，S (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(－12t ＋52)＝16t 2－36t ＋112×523＝16(t －108)2－83，所以8＝S (100)≤S (t )≤S (41)＝14912. 所以，S (t )的最大值为25003，最小值为8.能力拓展提升一、选择题11．(文)若函数y ＝f (x )的导函数．．．在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )[答案] A[解析] ∵导函数f ′(x )是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大， 故选A.[点评] B 图中切线斜率逐渐减小，C 图中f ′(x )为常数，D 图中切线斜率先增大后减小．(理)如果函数y ＝a －x (a >0，且a ≠1)是减函数，那么函数f (x )＝log a 1x ＋1的图象大致是( )[答案] C[解析] 解法一：由函数y ＝a －x (a >0，且a ≠1)是减函数知a >1，∴0<1a <1，f (x )＝log a 1x ＋1＝－log a (x ＋1)＝log 1a (x ＋1)．函数f (x )的图象可以看作由函数y ＝log 1a x 的图象向左平移1个单位长度得到，又y ＝log 1a x 是减函数，∴f (x )为减函数，故选C.解法二：由于f (0)＝0，故排除A 、B ；由y ＝a －x，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x是减函数知a >1，∴x >0时，f (x )<0，排除D ，选C.12．(文)已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y ＝2某两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则该函数在区间( )上是增函数．( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－π2，－π4B.⎝⎛⎭⎪⎫－π4，π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 [答案] A[解析] ∵y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，0<θ<π，∴θ＝π2，∴y ＝2cos ωx ，由条件知，此函数的周期为π，∴ω＝2，∴y ＝2cos2x ，由2k π－π≤2x ≤2k π，(k ∈Z )得，k π－π2≤x ≤k π(k∈Z )，令k ＝0知，函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上是增函数，故A 正确．(理)(2013·潍坊模拟)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c[答案] D[解析] ∵x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0，∴f (x )在[1，＋∞)上为减函数，又f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称， ∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴a ＝f (－12)＝f (52)， ∴f (2)>f (52)>f (3)，即b >a >c .13．(2012·新课标全国文)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A ．(0，22)B ．(22，1) C ．(1，2) D ．(2，2)[答案] B[解析] ∵0<x ≤12时，log a x >4x >0，∴0<a <1，排除C 、D ；当x ＝12时，log a 12>4 12＝2＝log a a 2，∴⎩⎨⎧a >1，a 2<12，或⎩⎨⎧0<a <1，a 2>12，∴a >22，排除A ，选B.二、填空题14．(文)若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．[答案] (0,1][解析] 由f (x )＝－x 2＋2ax 得函数对称轴为x ＝a ， 又在区间[1,2]上是减函数，所以a ≤1， 又g (x )＝ax ＋1在[1,2]上减函数，所以a >0，综上a 的取值范围为(0,1]．(理)若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≤－4[解析] ∵函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋a x≤0，∴g (x )＝2x 2＋2x ＋a ≤0在x ∈(0,1)时恒成立，∵g (x )的对称轴x ＝－12，x ∈(0,1)， ∴g (1)≤0，即a ≤－4.15．函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调递减区间为________．[答案] (3，＋∞)[解析] 设t ＝x 2－3x ，由t >0，得x <0或x >3，即函数的定义域为(－∞，0)∪(3，＋∞)．函数t 的对称轴为直线x ＝32，故t 在(－∞，0)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．而函数y ＝log 13t 为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调递增区间是(－∞，0)，单调递减区间是(3，＋∞)．三、解答题16．(文)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值范围．[解析] (1)要使f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0.解得－1<x <1. 故所求定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数， 所以f (x )>0⇔x ＋11－x >1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值范围是{x |0<x <1}．(理)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为实数，且a ≠0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) x >0，－f (x ) x <0. (1)若f (－1)＝0，曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，且在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,1]时，g (x )＝kx －f (x )是单调函数，求实数k 的取值范围；(3)设mn <0，m ＋n >0，a >0，且f (x )为偶函数，证明F (m )＋F (n )>0. [解析] (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝2ax ＋b . 又曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，故f ′(－1)＝0，即－2a ＋b ＝0，因此b ＝2a .① 因为f (－1)＝0，所以b ＝a ＋c .② 又因为曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)， 所以c ＝2a ＋3.③解由①，②，③组成的方程组得，a ＝－3，b ＝－6，c ＝－3. 从而f (x )＝－3x 2－6x －3.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3(x ＋1)2x >0，3(x ＋1)2x <0. (2)由(1)知f (x )＝－3x 2－6x －3， 所以g (x )＝kx －f (x )＝3x 2＋(k ＋6)x ＋3. 由g (x )在[－1,1]上是单调函数知：－k ＋66≤－1或－k ＋66≥1，得k ≤－12或k ≥0. (3)因为f (x )是偶函数，可知b ＝0. 因此f (x )＝ax 2＋c .又因为mn <0，m ＋n >0，可知m 、n 异号． 若m >0，则n <0.则F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋c －an 2－c ＝a (m ＋n )(m －n )>0. 若m <0，则n >0. 同理可得F (m )＋F (n )>0. 综上可知F (m )＋F (n )>0.考纲要求理解函数的单调性，会求函数的单调区间，能用定义证明函数在给定区间上的单调性，会利用单调性比较函数值的大小，能利用单调性求参数的取值范围．补充说明1．把握判断单调性的三法：定义、图象、导数，掌握单调性的四点应用：求单调区间及最值，比较数的大小，解函数不等式，利用单调性求参数的取值范围．了解求最值的基本方法与思路：单调性法，图象法，基本不等式法，换元法，导数法，判别式法等．2．牢记．．讨论函数性质要先考虑函数的定义域，注意．．奇偶函数及图象关于直线x ＝a 对称的函数的单调性特征．防范．．函数f (x )的多个单调增(或减)区间不可用“∪”表示，了解．．f (x )单调增(或减)的各种不同表达方式．3．闭区间上连续的函数f (x )一定有最大值与最小值，闭区间上单调函数最值必在区间端点．备选习题1．已知函数f (x )图象的两条对称轴x ＝0和x ＝1，且在x ∈[－1,0]上f (x )单调递增，设a ＝f (3)，b ＝f (2)，c ＝f (2)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >b >a[答案] D[解析] ∵f (x )在[－1,0]上单调增，f (x )的图象关于直线x ＝0对称，∴f (x )在[0,1]上单调减；又f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减． 由对称性f (3)＝f (－1)＝f (1)<f (2)<f (2)， 即c >b >a .2．函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如下图所示，则函数g (x )＝f (log 12x )的单调减区间是( )A ．[1，2]B ．[22，1]C ．(0,1]和[2，＋∞)D ．(－∞，1]和[2，＋∞) [答案] C[解析] 令t ＝log 12x ，则此函数为减函数，由图知y ＝f (t )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12和[0，＋∞)上都是增函数，当t ∈－∞，－12时，x ∈[2，＋∞)，当t ∈[0，＋∞)时，x ∈(0,1]，∴函数g (x )＝f (log 12x )在(0,1]和[2，＋∞)上都是减函数，故选C.[答案] C [解析]4．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，32] B ．[32，＋∞) C ．(－1，32] D ．[32，4)[答案] D[解析] 由4＋3x －x 2>0得，函数f (x )的定义域是(－1，4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－(x －32)2＋254的减区间为[32，4)，∵e>1，∴函数f (x )的单调减区间为[32，4)．[点评] 可用筛选法求解，显然x ＝±100时，f (x )无意义，排除A 、B ；f (0)＝ln4，f (1)＝ln6，f (0)<f (1)，排除C ，故选D.。
2015届高三人教A版理科数学二轮复习课件2-4-2
热 点 盘 点
(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒ a⊥β.
[二轮备考讲义]
第二部分 专题四 第2讲
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4．垂直关系的转化
基 础 记 忆
与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意 图．
提 能 专 训
热 点 盘 点
[二轮备考讲义]
第二部分 专题四 第2讲
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3．直线、平面垂直的判定及其性质
基 础 记 忆
(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l ⊥n⇒l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
试做真题
基础要记牢,真题须做熟
提 能 专 训
[二轮备考讲义]
第二部分 专题四 第2讲
第 6页
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基础知识不“背死”，就不能“用活”！
基 础 忆
1．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥ α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
提 能 专 训
热 点 盘 点
和这个平面可以平行、相交、也可以在平面内，故选项D错 误．所以选B.
[二轮备考讲义]
第二部分 专题四 第2讲
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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题十
阶段性测试题十(统计与概率)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)某学校进行问卷调查，将全校4200名同学分为100组，每组42人按1～42随机编号，每组的第34号同学参与调查，这种抽样方法是()A．简单随机抽样B．分层抽样C．系统抽样D．分组抽样[答案] C(理)(2013·郑州质量预测)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤－2)＝()A．0.16B．0.32C．0.68 D．0.84[答案] A[解析]因为ξ服从正态分布N(1，σ2)，所以P(ξ≤4)＝P(ξ≥－2)＝0.84，故P(ξ≤－2)＝1－P(ξ≥－2)＝1－0.84＝0.16.2．(2014·武汉市调研)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为( )A ．2,6B ．2,7C ．3,6D ．3,7[答案] D[解析] x ＝17×5－(9＋12＋10＋27＋24)＝3，∵15<10＋y <18且中位数为17，∴y ＝7，故选D.3．(文)(2014·银川九中一模)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A.110B.310C.35D.910 [答案] D[解析] 将3个红球记作A 、B 、C,2个白球记作D 、E ，从中任取3个球，不同的取法有(A ，B ，C )，(A ，B ，D )，(A ，B ，E )，(A ，C ，D )，(A ，C ，E )，(A ，D ，E )，(B ，C ，D )，(B ，C ，E )，(B ，D ，E )，(C ，D ，E )，共10种，其中所取3个球全是红球的只有1种，∴所求概率P ＝1－110＝910，故选D.(理)(2014·合肥八中联考)将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )A ．10种B ．20种C ．36种D ．52种[答案] A[解析] 根据2号盒子里放球的个数分类：第一类，2号盒子里放2个球，有C 24种放法，第二类，2号盒子里放3个球，有C 34种放法，剩下的小球放入1号盒中，共有不同放球方法C 24＋C 34＝10种．4．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中，龙海二中六校联考)设函数f (x )＝－x ＋2，x ∈[－5,5]．若从区间[－5,5]内随机选取一个实数x 0，则所选取的实数x 0满足f (x 0)≤0的概率为( )A ．0.5B ．0.4C ．0.3D ．0.2 [答案] C[解析] 令f (x 0)≤0得x 0≥2，∴所求概率P ＝5－25－(－5)＝0.3，故选C.(理)(2014·成都七中模拟)已知f (x )、g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，f (x )g (x )＝a x，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则关于x 的方程abx 2＋2x ＋52＝0(b ∈(0,1))有两个不同实根的概率为( )A.35B.25C.15D.12[答案] B[解析] 令h (x )＝f (x )g (x )＝a x，则h ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2<0，∴h (x )是减函数，∴0<a <1.又f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，∴a ＋1a ＝52，∴a ＝12.由Δ>0得b <25.又b ∈(0,1)，由几何概型概率公式得：p ＝25，选B.5．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中，龙海二中六校联考)如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A.84,4.8 B ．84,1.6 C ．85,4 D ．85,1.6 [答案] D[解析] 去掉最高分93分和最低分79后，所剩数据的平均分为：x －＝80＋15(4×3＋6＋7)＝85，方差为：S 2＝15[(85－84)2×3＋(85－86)2＋(85－87)2]＝1.6.(理)(2014·长安一中质检)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A ．243B ．252C ．261D ．279 [答案] B[解析]有两个重复数字时，①含2个0，有9种，②含1个0,0不能排在百位，∴有C12C19＝18种；③不含0，有C19C13C18＝216种(或C29C12C13＝216种)；有三个重复数字时，有C19＝9种，∴共有含重复数字的三位数9＋18＋216＋9＝252个，故选B.6．(2014·湖南益阳市箴言中学模拟)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y^＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y^＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y^＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④[答案] D[解析]y与x正(或负)相关时，线性回归直线方程y＝b^x＋a^中，x的系数b^>0(或b^<0)，故①④错．7．(2014·北京市海淀区期末)为了估计某水池中鱼的尾数，先从水池中捕出2000尾鱼，并给每尾鱼做上标记(不影响存活)，然后放回水池，经过适当的时间，再从水池中捕出500尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为() A．10000 B．20000C．25000 D．30000[答案] C[解析] 设估计该水池中鱼的尾数为n ，根据题意可得2000n ＝40500，解得n ＝25000.故C 正确．8．(文)(2014·长沙市重点中学月考)已知正方形ABCD 的边长为2，H 是边DA 的中点．在正方形ABCD 内部随机取一点P ，则满足|PH |<2的概率为( )A.π8B.π8＋14C.π4D.π4＋14[答案] B [解析]取AB 的中点E ，∵正方形边长为2，H 为AD 的中点，∴HE ＝2，以H 为圆心，HE 为半径画弧交CD 于F ，当点P 落在扇形HEF 和△AHE 、△DHF 内时，|PH |< 2.这是面积型几何概型，∴所求概率P ＝2×(12×1×1)＋14×π·(2)22×2＝π＋28，故选B.(理)(2014·广东执信中学期中)在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A ．1－π8 B ．1－π4 C ．1－π2 D ．1－3π4[答案] B[解析] ∵f (x )有零点，∴Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，∴a 2＋b 2≥π2，∵a ，b ∈[－π，π]，∴所求概率P ＝4π2－π·π24π2＝1－π4，故选B.9．(2014·云南景洪市一中期末)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，得K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” [答案] C10．(文)(2014·宝鸡市质检)定义函数y ＝f (x )，x ∈D ，若存在常数c ，对任意x 1∈D ，存在唯一x 2∈D 的，使得f (x 1)＋f (x 2)2＝c ，则称函数f (x )在D 上的均值为c ，已知f (x )＝lg x ，x ∈[10,100]，则函数f (x )＝lg x 在x ∈[10,100]上的均值为( )A.32 B.34 C.710 D ．10[答案] A[解析] 根据定义，函数y ＝f (x )，x ∈D ，若存在常数c ，对任意的x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得f (x 1)＋f (x 2)2＝c ，则称函数f (x )在D 上的均值为c ，令x 1x 2＝10×100＝1000，当x 1∈[10,100]时，选定x 2＝1000x 1∈[10,100]可得：c ＝lg (x 1x 2)2＝32，故选A.(理)(2014·开滦二中期中)二项式(x 2＋2x)10的展开式中的常数项是( )A ．第10项B ．第9项C ．第8项D ．第7项[答案] B [解析] 通项T r ＋1＝C r 10·(x 2)10－r ·(2x)r ＝2r·C r10x 20－5r 2，令20－5r2＝0得r ＝8，∴常数项为第9项．11．(2014·安徽示范高中联考)给出下列五个命题：①将A 、B 、C 三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体为9个，则样本容量为30；②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同； ③甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，那么这两组数据中比较稳定的是甲；④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为y ＝1－2x ，则x 每增加1个单位，y 平均减少2个单位；⑤统计的10个样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为0.4.其中真命题为( ) A ．①②④ B ．②④⑤ C ．②③④ D ．③④⑤ [答案] B[解析] ①样本容量为9÷36＝18，①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为16(1＋2＋3＋3＋4＋5)＝3，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③x －乙＝5＋6＋9＋10＋55＝7，s 2乙＝15[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝15×(4＋1＋4＋9＋4)＝4.4，∵s 2甲>s 2乙，∴乙稳定，③是假命题；④是真命题；⑤数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120共4个，故所求概率为410＝0.4，⑤是真命题．12．已知x ，y 的取值如下表：从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且y ^＝0.95x ＋a ^，则a ^＝( )A ．2.5B ．2.6C ．2.7D ．2.8 [答案] B[解析] x －＝2，y －＝4.5， ∵回归直线过样本点中心(2,4.5)， ∴4.5＝0.95×2＋a ^， ∴a^＝2.6，故选B. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(文)(2014·佛山市质检)一个总体分为甲、乙两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本．已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19，则总体中的个体数为________．[答案] 180[解析] 因为分层抽样中每个个体被抽到的概率相等，故总体中的个体数为20÷19＝180.(理)(2014·长沙市重点中学月考)从某500件产品中随机抽取50件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将这500件产品按001,002,003，…，500进行编号．如果从随机数表第7行第4列的数2开始，从左往右读数，则依次抽取的第4个个体的编号是________．(下面摘录了随机数表第6行至第8行各数)16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 72 06 50 25 83 42 16 33 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79[答案] 206[解析] 按规定的读数方法，依次读取的数是：217,157,245,217,206，…，由于重复的数字应只保留1个，故读取的第4个个体的编号为206.14．(文)(2014·海南省文昌市检测)在区域M ＝(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y <4y >x x >0内撒一粒豆子，落在区域N ＝{(x ，y )|x 2＋(y －2)2≤2}内的概率为________．[答案] π4[解析] ∵⊙C ：x 2＋(y －2)2＝2的圆心C (0,2)与直线y ＝x 和x ＋y ＝4都相切．∴区域M 中落在区域N 内的部分为半圆．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝4，得A (2,2)，∴S △OAB ＝12×4×2＝4， 又S 半圆＝π，∴所求概率P ＝π4.(理)(2014·浙江省五校联考)若对任意的实数x ，有x 4＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋a 3(x ＋2)3＋a 4(x ＋2)4，则a 3的值为________．[答案] －2[解析] ∵x 4＝[(x ＋2)－2]4＝(x ＋2)4－2(x ＋2)3＋4(x ＋2)2－8(x ＋2)＋16，∴a 3＝－2.15．(2014·安徽示范高中联考)在三棱锥P －ABC 中，任取两条棱，则这两条棱异面的概率是________．[答案] 15[解析] 三棱锥中两条相对的棱所在直线是异面直线，共有3对，从6条棱中任取两条，可知有15种取法，∴取到两条棱异面的概率P ＝315＝15.16．(文)(2014·北京朝阳区期末)某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名学生的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图(如图所示)，那么这100名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为________．[答案] 54[解析] 这100名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为100×[(0.12＋0.15)×2]＝54.(理)(2014·浙北名校联盟联考)一袋中装有分别标记着1,2,3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同)，现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X ，Y ，设ξ＝Y －X ，则E (ξ)＝________.[答案] 43[解析] 由题意知ξ的取值为0,1,2，ξ＝0，表示X ＝Y ，ξ＝1表示X ＝1，Y ＝2；或X ＝2，Y ＝3；ξ＝2表示X ＝1，Y ＝3.∴P (ξ＝0)＝333＝19，P (ξ＝1)＝2×2×333＝49， P (ξ＝2)＝2×3＋A 3333＝49， ∴E (ξ)＝0×19＋1×49＋2×49＝43.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(2014·海南省文昌市检测)某水泥厂甲、乙两个车间包装水泥，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102,101,99,98,103,98,99 乙：110,115,90,85,75,115,110 (1)画出这两组数据的茎叶图；(2)求出这两组数据的平均值和方差(用分数表示)；并说明哪个车间的产品较稳定．(3)从甲中任取一个数据x (x ≥100)，从乙中任取一个数据y (y <100)，求满足条件|x －y |≤20的概率．[解析] (1)茎叶图如图：(2)x －甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100； x －乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100； S 2甲＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)＝247；S 2乙＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)＝16007，∵S 2甲<S 2乙，故甲车间产品比较稳定．(3)所有可能的情况有：(102,90)，(102,85)，(102,75)，(101,90)，(101,85)，(101,75)，(103,90)，(103,85)，(103,75)，不满足条件的有：(102,75)，(101,75)，(103,75)，所以P (|x －y |≤20)＝1－39＝23.18．(本小题满分12分)(文)(2014·广东执信中学期中)某校高三文科分为五个班．高三数学测试后，随机地在各班抽取部分学生进行成绩统计，各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，人数最少的班被抽取了18人．抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示，其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05，此分数段的人数为5人．(1)问各班被抽取的学生人数各为多少人？(2)在抽取的所有学生中，任取一名学生，求分数不小于90分的概率．[解析] (1)由频率分布条形图知，抽取的学生总数为50.05＝100人．∵各班被抽取的学生人数成等差数列，设其公差为d ， 由5×18＋10d ＝100，解得d ＝1.∴各班被抽取的学生人数分别是18人，19人，20人，21人，22人．(2)在抽取的学生中，任取一名学生，则分数不小于90分的频率为0.35＋0.25＋0.1＋0.05＝0.75.用频率作为概率的估计值知所求概率约为0.75.(理)(2014·抚顺二中期中)在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目．已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，选课情况如下表：(1)求选出的4人均选科目乙的概率；(2)设ξ为选出的4个人中选科目甲的人数，求ξ的分布列和数学期望．[解析] (1)设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件A ， “从第二小组选出的2人选科目乙”为事件B .由于事件A 、B 相互独立，且P (A )＝C 25C 26＝23，P (B )＝C 24C 26＝25，所以选出的4人均选科目乙的概率为 P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝23×25＝415. (2)由条件知ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝415，P (ξ＝1)＝C 25C 26·C 12C 14C 26＋C 15C 26·C 24C 26＝2245，P (ξ＝3)＝C 15C 26·1C 26＝145，P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝29，ξ的分布列为：∴ξ的数学期望E (ξ)＝0×415＋1×2245＋2×29＋3×145＝1. 19．(本小题满分12分)(文)(2014·抚顺市六校联合体期中)用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表：(单位：人)(1)求x ，y ；(2)若从高二、高三年级抽取的人中选2人，求这二人都来自高二年级的概率．[解析] (1)由题意可得x 99＝y 27＝218，所以x ＝11，y ＝3. (2)记从高二年级抽取的3人为b 1，b 2，b 3，从高三年级抽取的2人为c 1，c 2，则从这两个年级中抽取的5人中选2人的基本事件有：(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 2，b 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 3，c 1)，(b 3，c 2)，(c 1，c 2)共10种，设选中的2人都来自高二的事件为A ，则A 包含的基本事件有：(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)共3种． 因此P (A )＝310＝0.3.故选中的2人都来自高二的概率为0.3.(理)(2014·泸州市一诊)在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如下.(1)计算样本的平均成绩及方差；(2)现从10个样本中随机抽出2名学生的成绩，设选出学生的分数为90分以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值．[解析] (1)样本的平均成绩x －＝92＋98×2＋85×2＋74×3＋60×210＝80， 方差s 2＝110[(92－80)2＋(98－80)2×2＋(85－80)2×2＋(74－80)2×3＋(60－80)2×2]＝175.(2)由题意知选出学生的分数为90分以上的人数为ξ，得到随机变量ξ＝0,1,2.P (ξ＝0)＝C 27C 210＝715，P (ξ＝1)＝C 13C 17C 210＝715，P (ξ＝2)＝C 23C 210＝115，分布列为：E (ξ)＝0×715＋1×15＋2×15＝5.20．(本小题满分12分)(文)(2013·沈阳联考)某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：(1) (2)求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额． [解析] (1)依题意，画出散点图如图所示，(2)从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，设所求的线性回归方程为y ^＝b^x ＋a ^. 则b^＝∑i ＝15(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝15(x i －x －)2＝1020＝0.5，a ^＝y －－b ^x －＝0.4，∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为y ^＝0.5x ＋0.4. (3)由(2)可知，当x ＝11时，y ^＝0.5x ＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．∴可以估计第6名推销员的年销售金额为5.9万元．(理)(2014·河南淇县一中模拟)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．[解析] (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝2466＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P (ξ＝2)＝6C 212＝111，于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2) ＝1－411－111＝611， 所以随机变量ξ的分布列是因此E (ξ)21．(本小题满分12分)(文)(2014·绵阳市南山中学检测)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，…，[140,150]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在[120,130)内的频率；(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区间[100,110)的中点值为100＋1102＝105.)作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．[解析] (1)分数在[120,130)内的频率为：1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3.(2)估计平均分为x －＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.(3)由题意，[110,120)分数段的人数为60×0.15＝9(人)，[120,130)分数段的人数为60×0.3＝18(人)．∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m ，n ； 在[120,130)分数段内抽取4人并分别记为a ，b ，c ，d ； 设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A ，则基本事件有：(m ，n )，(m ，a )，(m ，b )，(m ，c )，(m ，d )，(n ，a )，(n ，b )，(n ，c )，(n ，d )，(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )共15种．事件A 包含的基本事件有：(m ，n )，(m ，a )，(m ，b )，(m ，c )，(m ，d )，(n ，a )，(n ，b )，(n ，c )，(n ，d )共9种．∴P (A )＝915＝35.(理)(2014·保定市八校联考)某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两族人数占各自小区总人数的比例如下：(1)从概率；(2)在B 小区中随机选择20户，从中抽取的3户中“非低碳族”数量为X ，求X 的分布列和期望E (X )．[解析] (1)记这3人中恰好有2人是低碳族为事件A ， P (A )＝12×45×13＋12×15×23＋12×45×23＝715，(2)在B 小区中随机选择20户中，“非低碳族”有4户，P (X ＝k )＝C k 4C 3－k 16C 320，(k ＝0,1,2,3)，E (X )＝0×2857＋1×819＋2×895＋3×1285＝0.6.22．(本小题满分14分)(文)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：(1)试分析估计两个班级的优秀率；(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.甲班优秀人数为30人，优秀率为3050＝60%， 乙班优秀人数为25人，优秀率为2550＝50%， 所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%. (2)因为K 2＝50×50×55×45＝10099≈1.010，所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．(理)(2014·浙江省五校联考)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立．求：(1)打满4局比赛还未停止的概率；(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E (ξ)．[解析] 令A k ，B k ，C k 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜．(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满4局比赛还未停止的概率为P(A1C2B3A4)＋P(B1C2A3B4)＝124＋1 24＝18.(2)ξ的所有可能值为2,3,4,5,6，且P(ξ＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝122＋122＝12，P(ξ＝3)＝P(A1C2C3)＋P(B1C2C3)＝123＋123＝14.P(ξ＝4)＝P(A1C2B3B4)＋P(B1C2A3A4)＝124＋124＝18.P(ξ＝5)＝P(A1C2B3A4A5)＋P(B1C2A3B4B5)＝125＋125＝116. P(ξ＝6)＝P(A1C2B3A4C5)＋P(B1C2A3B4C5)＝125＋125＝116. 故分布列为∴E(ξ)＝2×12＋3×14＋4×18＋5×116＋6×116＝4716.。
走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学10-9
基础巩固强化一、选择题1．(2013·湖州模拟)一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n 把钥匙依次分给n 名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为( )A ．1B ．n C.n ＋12D.n －12[答案] C[解析] 这把可以打工柜门的钥匙排在任何一个位置都是等可能的，概率为1n ，设试开次数为ξ，则E (ξ)＝(1＋2＋…＋n )·1n ＝n ＋12.2．(2013·广州一模)已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (η)，D (η)分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6 [答案] B[解析] ∵X ～B (10,0.6)，∴E (X )＝10×0.6＝6，D (X )＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，∴E (η)＝8－E (X )＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝2.4.3．(2013·白山联考)设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10[答案] A[解析] ∵X ～N (1,52)，P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，∴(a －2)＋02＝1，∴a ＝4. 4．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利( )A ．39元B ．37元C ．20元D.1003元 [答案] B[解析] ξ的分布列为∴E (ξ)＝50×0.637(元)，故选B.5．已知随机变量ξ，η满足ξ＝2η－1，且ξ～B (10，p )，若E (ξ)＝8，则D (η)＝( )A ．0.5B ．0.8C ．0.2D ．0.4[答案] D[解析] ∵E (ξ)＝10p ＝8，∴p ＝0.8，∴D (ξ)＝10p (1－p )＝10×0.8×0.2＝1.6，又D (ξ)＝D (2η－1)＝4D (η)，∴D (η)＝0.4.6．(2013·深圳调研)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16[答案] B [解析] P ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512 二、填空题7．抛掷一枚均匀的正方体骰子，观察出现的点数，如果出现了5点或6点，则称“抛掷高效”，若“抛掷高效”则得1分，否则得0分，则抛掷一次得分的期望为________．[答案] 13[解析] 由题意P (ξ＝0)＝23，P (ξ＝1)＝13，∴E (ξ)＝0×23＋1×13＝13.8．如果随机变量ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，且D (ξ)＝2，则E (pξ－D (ξ))＝________.[答案] 0[解析] ∵ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，∴np ＝4，又∵D (ξ)＝2，∴np (1－p )＝2，∴p ＝12，∴E (pξ－D (ξ))＝E (12ξ－2)＝12E (ξ)－2＝0.9．甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、4个白球和2个黑球，先从甲罐中任意取出一球放入乙罐，再从乙罐中取出一球，则从乙罐中取出的球是白球的概率为________．[答案] 2155[解析] 设从甲罐中取出红球、白球、黑球的事件分别为A 1、A 2、A 3，设从乙罐中取出白球的事件为B ，则P (A 1)＝12，P (A 2)＝15，P (A 3)＝310，所求概率P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝12×411＋15×511＋310×411＝2155.三、解答题10．(2013·海淀模拟)某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次．在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别为910或13.(1)如果选手甲以在A 、B 区投篮得分的期望较高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择在哪个区投篮？(2)求选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率．[解析] (1)法一：设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则X ～B (2，910)，故E (X )＝2×910＝95，则选手甲在A 区投篮得分的期望为2×95＝3.6.设选手甲在B 区投三次篮的进球数为Y ，则Y ～B (3，13)，故E (Y )＝3×13＝1，则选手甲在B 区投篮得分的期望为3×1＝3.∵3.6>3，∴选手甲应该选择在A 区投篮．法二：设选手甲在A 区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0,2,4，P (ξ＝0)＝(1－910)2＝1100，P (ξ＝2)＝C 12×910×(1－910)＝18100，P (ξ＝4)＝(910)2＝81100.所以ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×1100＋2×18100＋4×81100＝3.6.同理，设选手甲在B 区域投篮的得分为η，则η的可能取值为0,3,6,9，P (η＝0)＝(1－13)3＝827，P (η＝3)＝C 13×13×(1－13)2＝49，P (η＝6)＝C 23×(13)2(1－13)＝29， P (η＝9)＝(13)3＝127.所以η的分布列为： ∴E (η)＝0×827＋3×49＋6×29＋9×127＝3.∵E (ξ)>E (η)，∴选手甲应该选择在A 区投篮．(2)设选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分为事件C ，甲在A 区投篮得2分、在B 区投篮得0分为事件C 1，甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得0分为事件C 2，甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得3分为事件C 3，则C ＝C 1∪C 2∪C 3，其中C 1，C 2，C 3为互斥事件．则：P (C )＝P (C 1∪C 2∪C 3)＝P (C 1)＋P (C 2)＋P (C 3)＝18100×827＋81100×827＋81100×49＝4975，故选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为4975.能力拓展提升11.(2013·福州模拟)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ.(1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？[解析] (1)由于1件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为6,2,1，－2，由题意知P (ξ＝6)＝126200＝0.63，P (ξ＝2)＝50200＝0.25，P (ξ＝1)＝20200＝0.1，P (ξ＝－2)＝4200＝0.02.故ξ的分布列为(2)10.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)．(3)设技术革新后三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.7＋2×(1－0.7－x－0.01)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x.由E(ξ)≥4.73，得4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.12．(2012·湖北理，20)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：900的概率分别为0.3、0.7、0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．[分析](1)利用概率的加法公式及对立事件求分布列，再求均值与方差．(2)利用条件概率公式求解．[解析](1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2.P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为：于是，E (Y )＝00.1＝3；D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X <300)＝0.7，又P (300≤X <900)＝P (X <900)－P (X <300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300)＝P (300≤x <900)P (X ≥300)＝0.60.7＝67. 故在降水量X 至少是300mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.13．(2013·四川理，18)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)乙的频数统计表(部分)当n＝2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．[解析](1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整中数随机产生的一个数，共有24种可能．当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n ＝2100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03×(13)0×(23)3＝827，P (ξ＝1)＝C 13×(13)1×(23)2＝49， P (ξ＝2)＝C 23×(13)2×(23)1＝29， P (ξ＝3)＝C 33×(13)3×(23)0＝127， 故ξ的分布列为所以，Eξ＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1.即ξ的数学期望为1.14．某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女学生；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法，从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动．(1)求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；(2)求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率；(3)记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望．[解析](1)因为数学兴趣小组人数：英语兴趣小组人数＝＝，从数学兴趣小组和英语兴趣小组中抽取3人，则抽取数学小组的人数为2人，英语小组的人数为1人．(2)从数学兴趣小组中抽取2人恰有一名女生的概率P＝C16·C14C210＝815.(3)随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ＝0)＝C24C210·35＝225；P(ξ＝1)＝C16·C14C210·35＋C24C210·25＝2875；P(ξ＝2)＝C26C210·35＋C16·C14C210·25＝3175；P(ξ＝3)＝C26C210·25＝215，所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×225＋1×2875＋2×3175＋3×215＝85.考纲要求1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．3．利用实际问题的直方图，了解正态分布的特点及曲线所表示的意义．补充说明1．均值与方差的理解(1)均值E (X )是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 值的取值平均水平．(2)D (X )表示随机变量X 对E (X )的平均偏离程度，D (X )越小，X 的取值越集中，D (X )越大，X 的取值越分散．2．正态曲线与正态分布函数f (x )＝φμ，σ(x )＝12πσe －(x －μ)22σ2，x ∈R .其中实数μ和σ为参数，我们称f (x )的图象为正态曲线．服从正态分布的随机变量叫做正态变量．正态随机变量X 落在区间[a ，b ]内的概率为： P (a <X ≤b )≈⎠⎛ab f (x )dx .即由正态曲线，过点(a,0)和(b,0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，就是随机变量X落在区间[a，b]的概率的近似值，如下图．正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布．如长度测量误差、正常生产条件下各种产品的质量指标等．一般地，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．化归思想将正态变量在任意区间上的概率化归为特殊区间的概率后求值．4．3σ原则服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．这就是正态分布的3σ原则．正态总体在三个特殊区间内取值的概率为P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.5．求解随机变量的的期望与方差的问题，先要弄清概率模型，其次弄清事件的关系．三要熟记相关公式．四是注意期望与方差的性质．备选习题1．(2013·山西模拟)某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为( )A ．0.9B ．0.8C ．1.2D ．1.1[答案] A[解析] 依题意得，得分之和X 的可能取值分别是0,1,2，且P (X ＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3，P (X ＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5，P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，因此，这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.2．设一随机试验的结果只有A 和A －，且P (A )＝p ，令随机变量X＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (A 出现)，0 (A 不出现).则X 的方差D (X )等于( ) A ．p B ．2p (1－p ) C ．－p (1－p ) D ．p (1－p )[答案] D[解析] X 服从两点分布，故D (X )＝p (1－p )．3．(2012·杭州质检)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )A ．(0，712) B ．(712，1) C ．(0，12) D ．(12，1)[答案] C[解析] 由已知条件可得P (X ＝1)＝p ， P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>1.75，解得p >52或p <12，又由p ∈(0,1)，可得p ∈(0，12)，故应选C.4．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a 、b 、c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a －b |的取值”，则ξ的数学期望E (ξ)为( )A.89 B.35 C.25 D.13[答案] A[解析] ∵对称轴在y 轴左侧， ∴－b2a <0，∴ab >0，即a 与b 同号，∴满足条件的抛物线有2C 13C 13C 17＝126条．ξ的取值为0、1、2，P (ξ＝0)＝6×7126＝13，P (ξ＝1)＝8×7126＝49，P (ξ＝2)＝4×7126＝29.∴E (ξ)＝13×0＋49×1＋29×2＝89.5．(2013·山东聊城一模)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时部分每小时的收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)．[解析] (1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14.记“甲，乙两人所付的租车费用相同”为事件A ， 则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516，即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516. (2)随机变量ξ的所有可能取值为0,2,4,6,8，且 P (ξ＝0)＝14×12＝18； P (ξ＝2)＝14×14＋12×12＝516；P(ξ＝4)＝12×14＋14×12＋14×14＝516；P(ξ＝6)＝12×14＋14×14＝316；P(ξ＝8)＝14×14＝116.ξ的分布列为所以E(ξ)＝0×8＋2×16＋4×16＋6×16＋8×116＝7 2.6．有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：B 只能在约定日期的前12天出发．(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径．(2)若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元(其他费用忽略不计)，此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，销售商将少支付给生产商2万元．如果汽车A、B长期按(1)中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．(注：毛利润＝销售商支付给生产商的费用－一次性费用)[解析](1)频率分布表，如下：设12将货物运往城市乙；B1、B2分别表示汽车B在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙．P(A1)＝0.2＋0.4＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∴汽车A应选择公路1.P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∴汽车B应选择公路2.(2)设X表示汽车A选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则X＝42,40,38,36.X的分布列如下：E(X)＝42×0.2＝39.2.∴汽车A选择公路1时的毛利润为39.2－3.2＝36.0(万元)设Y表示汽车B选择公路2时的毛利润，Y＝42.4，40.4，38.4,36.4.则分布列如下：E(Y)＝42.4××0.1＝39.4，∴汽车B选择公路2时的毛利润为39.4万元，∵36.0<39.4，∴汽车B为生产商获得毛利润更大．。
走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学4-4
∴tan(x－y)＝＝－.
13．(2013·忻州一中期中)命题：∀x∈[0，]，使3cos2＋sincos<a＋成立，则实数a的取值范围是()
A．(1，＋∞)B．(，＋∞)
C．(，＋∞)D．(，＋∞)
[答案]D
[解析]3cos2＋sincos＝＋sinx＝＋(cosx＋sinx)＝＋sin(x＋)<a＋，
故a>sin(x＋)，因为x∈[0，]，故x＋∈[，]，故sin(x＋)的最大值为，要使不等式恒成立，则a>，选D.
二、填空题
14．(2012·山西高考联合模拟)设f(x)＝asin(π－2x)＋bsin(＋2x)，其中a，b∈R，ab≠0，若f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立，则
①f()＝0
②f(x)的周期为2π
[答案]α＋β<
[解析]∵tanα·tanβ<1，α、β∈，
∴<1，∴sinα·sinβ<cosα·cosβ，
∴cos(α＋β)>0，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β<.
9．已知tanα、tanβ是关于x的一元二次方程x2＋4x－5＝0的两实根，则＝________.
[答案]1
[解析]∵tanα、tanβ为方程x2＋4x－5＝0的两根，
基础巩固强化
一、选择题
1．sin75°cos30°－sin15°sin150°的值为()
A．1B.
C.D.
[答案]C
[解析]sin75°cos30°－sin15°sin150°＝sin75°cos30°－cos75°sin30°＝sin(75°－30°)＝sin45°＝.
2．(2012·豫南九校联考)函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π，则a的值是()
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基础巩固强化一、选择题1．(文)设cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A.1－k 2k B ．－1－k 2k C.k 1－k 2D ．－k1－k 2[答案] B[解析] ∵sin80°＝1－cos 280° ＝1－cos 2(－80°)＝1－k 2，∴tan100°＝－tan80°＝－sin80°cos80°＝－1－k 2k .(理)(2012·辽宁理，7)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )A ．－1B ．－22 C.22 D ．1 [答案] A[解析] 解法1：由题意知，sin α－cos α＝2，sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝2，sin2α＝－1，∵α∈(0，π)．∴2α∈(0,2π)，∴2α＝3π2，α＝3π4， ∴tan α＝tan 3π4＝－1.解法2：设tan α＝k ，则sin α＝k cos α，代入sin α－cos α＝2中得，cos α＝2k －1，∴sin α＝2kk －1，∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴2k 2(k －1)2＋2(k －1)2＝1，∴k ＝－1. 2．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A ＝( ) A.1213 B.513 C ．－513 D ．－1213[答案] D[解析] 在△ABC 中，由tan A ＝－512<0知，∠A 为钝角，所以cos A <0,1＋tan 2A ＝sin 2A ＋cos 2A cos 2A ＝1cos 2A ＝169144，所以cos A ＝－1213，故选D.[点评] 学习数学要加强多思少算的训练，以提高思维能力，尤其是选择题，要注意结合其特点选取．本题中，tan A ＝－512，A 为三角形内角，即知A 为钝角，∴cos A <0，排除A 、B ；又由勾股数组5、12、13及tan A ＝sin A cos A 知，|cos A |＝1213，故选D.3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则sin2α＝( ) A ．－78 B.78 C ．－3132 D.3132[答案] A[解析] sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78. 4．(2013·山东青岛高三教学评估)若△ABC 的内角A 满足sin2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝( )A.153 B ．－153 C.53 D ．－53[答案] A[解析] ∵0<A <π，∴0<2A <2π.又∵sin2A ＝23，即2sin A cos A ＝23，∴0<A <π2. ∵(sin A ＋cos A )2＝sin 2A ＋cos 2A ＋2sin A cos A ＝53， ∴sin A ＋cos A ＝153.5．(2012·广东六校联考)sin (－250°)cos70°cos 2155°－sin 225°的值为( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 [答案] C[解析] 原式＝－sin (270°－20°)cos (90°－20°)cos 225°－sin 225°＝cos20°sin20°cos50°＝sin40°2cos50°＝cos50°2cos50°＝12，故选C. 6．已知tan140°＝k ，则sin140°＝( )A.k 1＋k 2B.11＋k 2 C ．－k 1＋k 2 D ．－11＋k2 [答案] C[解析] k ＝tan140°＝tan(180°－40°)＝－tan40°， ∴tan40°＝－k ，∴k <0，sin40°＝－k cos40°， sin140°＝sin(180°－40°)＝sin40°， ∵sin 240°＋cos 240°＝1， ∴k 2cos 240°＋cos 240°＝1， ∴cos40°＝1k 2＋1，∴sin40°＝－k k 2＋1. 二、填空题7．(2013·江西临川期末)已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin(α＋π2)＝________ [答案] －64[解析] 由题意得cos α＝x 5＋x 2＝24x ， 解得x ＝0或x ＝3或x ＝－ 3. 又α是第二象限角，∴x ＝－ 3. 即cos α＝－64，sin(α＋π2)＝cos α＝－64.8．化简sin (k π－α)·cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]·cos (k π＋α)＝______(k ∈Z )．[答案] －1[解析] 对参数k 分奇数、偶数讨论．当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin (2n π＋π－α)·cos (2n π－α)sin (2n π＋2π＋α)·cos (2n π＋π＋α)＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1. 当k ＝2n (n ∈Z )时，原式 ＝sin (2n π－α)·cos (2n π－π－α)sin (2n π＋π＋α)·cos (2n π＋α) ＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1.所以sin (k π－α)·cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]·cos (k π＋α)＝－1.9．函数y ＝tan x ＋lg cos x 的定义域是________________． [答案] {x |2k π≤x <2k π＋π2，k ∈Z }[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，cos x >0，如图，由tan x ≥0得，m π≤x <m π＋π2，m ∈Z ， 由cos x >0得，2n π－π2<x <2n π＋π2，n ∈Z . ∴2k π≤x <2k π＋π2，k ∈Z .三、解答题10．(2013·长沙一中月考)已知6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，α∈(3π2，2π)．(1)求tan α的值； (2)求cos(α＋π3)的值．[解析] (1)∵α∈(3π2，2π)，∴cos α≠0， ∵6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0， ∴6tan 2α＋5tan α－4＝0， 解得tan α＝－43或tan α＝12. ∵α∈(3π2，2π)，∴tan α<0. 故tan α＝12(舍去)，∴tan α＝－43. (2)∵α∈(3π2，2π)，∴由tan α＝－43， 求得sin α＝－45，cos α＝35. ∴cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3 ＝35×12－(－45)×32＝3＋4310.能力拓展提升一、选择题11．(文)(2013·天津耀华中学模拟)若sin α＋cos α＝2，则tan α＋cos αsin α的值为( )A ．－1B ．－2C ．－12D ．2[答案] D[解析] tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α ＝2(sin α＋cos α)2－1＝2，故应选D. (理)(2014·龙岩月考)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝( )A ．－53B ．－59 C.59 D.53[答案] A[解析] 由sin α＋cos α＝33平方得：1＋sin2α＝13， 即sin2α＝－23.又α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－153.∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝33×(－153)＝－53.故选A. 解答本题要注意到sin α±cos α与sin αcos α之间的关系．12．已知tan θ>1，且sin θ＋cos θ<0，则cos θ的取值范围是( ) A ．(－22，0) B ．(－1，－22) C ．(0，22) D ．(22，1)[答案] A[解析] 如图，依题意结合三角函数线进行分析可知，2k π＋5π4<θ<2k π＋3π2，k ∈Z ，因此－22<cos θ<0.选A.13．(文)已知tan x ＝sin(x ＋π2)，则sin x ＝( ) A.－1±52 B.3＋12 C.5－12 D.3－12[答案] C[解析] ∵tan x ＝sin(x ＋π2)，∴tan x ＝cos x ， ∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0， 解得sin x ＝－1±52，∵－1≤sin x ≤1，∴sin x ＝5－12.故选C.(理)(2013·北京海淀期中)已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形[答案] C[解析] 由题意得，cos A cos B ＝12·2sin 2C 2⇒ cos A ·cos B ＝1－cos C2⇒2cos A ·cos B ＝1＋cos(A ＋B ) ⇒2cos A ·cos B ＝1＋cos A ·cos B －sin A ·sin B⇒cos A ·cos B ＋sin A ·sin B ＝1⇒cos(A －B )＝1⇒A －B ＝0⇒A ＝B ，所以△ABC 一定是等腰三角形，故选C.二、填空题14．设a ＝2tan70°1＋tan 270°，b ＝1＋cos109°2，c ＝32cos81°＋12sin99°，将a 、b 、c 用“<”号连接起来________．[答案] b <c <a[解析] a ＝2tan70°1＋tan 270°＝2sin70°cos70°cos 270°＋sin 270°＝sin140°，b ＝1＋cos109°2＝1－cos71°2＝sin35.5°＝sin144.5°， c ＝sin60°cos81°＋cos60°sin81°＝sin141°， ∵y ＝sin x 在(90°，180°)内单调递减， ∴a >c >b .15．(2012·唐山二模)若3cos(π2－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则cos 2θ＋12sin2θ的值是________．[答案] 65[分析] 利用诱导公式可将条件式化简得到sin θ＝k cos θ(或tan θ＝k )结合sin 2θ＋cos 2θ＝1可求得sin θ与cos θ代入待求值式可获解(或将待求式除以1＝sin 2θ＋cos 2θ，分子分母都化为tan θ的表示式获解)．[解析] ∵3cos(π2－θ)＋cos(π＋θ)＝0，即3sin θ－cos θ＝0，即tan θ＝13.∴cos 2θ＋12sin2θ＝cos 2θ＋sin θcos θ1＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋(13)2＝43109＝65. [点评] 形如a sin α＋b cos α和a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子分别称为关于sin α、cos α的一次齐次式和二次齐次式．若已知tan α＝m ，求涉及它们的三角式的值时，常作①1的代换，②sin α＝m cos α代入，③选择题常用直角三角形法求解，④所给式是分式时，常用分子、分母同除以cos k α(k ＝1,2，…)变形．三、解答题16．(文)(2014·龙湾中学月考)已知向量a ＝(cos α，1)，b ＝(－2，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，且a ⊥b .(1)求sin α的值； (2)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．[解析] (1)∵a ＝(cos α，1)，b ＝(－2，sin α)，且a ⊥b . ∴a ·b ＝(cos α，1)·(－2，sin α)＝－2cos α＋sin α＝0. ∴cos α＝12sin α.∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝45. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin α＝－255.(2)由(1)可得cos α＝－55，则tan α＝2.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－3. (理)已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，又函数f (x )的图象任意两相邻对称轴间距为32π.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32α＋π2＝2326，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos (4π＋2α)的值． [解析] (1)由题意得m ·n ＝0，所以，f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )＝1＋cos2ωx 2＋3sin2ωx 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12， 根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π.又ω>0，所以ω＝13.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6＋12. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32α＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋12 ＝cos α＋12＝2326，解得cos α＝513，因为α是第一象限角，故sin α＝1213，所以，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos (4π＋2α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α＝22·1cosα－sinα＝－13214.考纲要求理解同角三角函数的基本关系式，能利用平方关系和商数关系进行化简、求值和证明有关问题．能利用单位圆中的三角函数线推导出有关的诱导公式，能利用诱导公式化简任意角的三角函数值．补充说明1．怎样计算任意角的三角函数值计算任意角的三角函数值，主要是运用诱导公式化任意角三角函数为锐角三角函数，其一般步骤是：(1)负化正：当已知角为负角时，先利用－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为正角的三角函数值；(2)正化主：当已知角不在区间[0°，360°)时，可用k·360°＋α的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间[0°，360°)上的角的三角函数值；(3)主化锐：当已知角是90°到360°间的角时，可利用180°±α，360°－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为0°到90°间的角的三角函数值(对于非特殊角用查表或用计算器求出结果)．2．证明三角恒等式的常用方法证明三角恒等式的主要思考方法有：(1)化繁为简，即从等式较繁的一边出发，利用三角公式及变形技巧，逐步变形到等式的另一边．(2)左右归一，当欲证式两边都比较复杂时，把两边分别变形化简，得到同一个式子．(3)转换命题，即把原命题转化为它的等价命题，简化证明过程．3．三角函数求值中直角三角形的运用先根据所给三角函数值，把角看成锐角构造相应的直角三角形．，求出该锐角的各三角函数值，再添上符号即可．4．同角三角函数关系的六边形法则记忆：上弦中切下割，左正右余中1，倒数对角线、平方倒三角、乘积两边夹、商数依次除．应用：寻找解题途径．如已知sin α①利用平方关系可求cos α，进而求tan α，cot α.②利用倒数关系可求csc α，进而可求cot α等．5．三角形中的诱导公式在三角形ABC 中常用到以下结论：sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ，sin(A 2＋B 2)＝sin(π2－C 2)＝cos C 2，cos(A 2＋B 2)＝cos(π2－C 2)＝sin C 2.6．求角的一般步驟求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．备选习题1．(2013·青岛期末)sin45°cos15°＋cos225°sin15°的值为( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32[答案] C[解析] sin45°cos15°＋cos225°sin15°＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝12.2．(2013·吉林四平期末)若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos2θ [答案] C[解析] ∵θ为第一象限角，∴θ2为第一象限角或第三角限角，所以选C.3．若sin76°＝m ，则cos7°＝______.[答案] 2m ＋22 [解析] ∵sin76°＝m ，∴cos14°＝m ，2＋2m 即2cos27°－1＝m，∴cos7°＝2.。