2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：1.2.1几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式

1．2.1几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式填一填1.函数导数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2f(x)＝x f′(x)＝12x函数导数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝01.已知y ＝sin π6，则2．位移y 与时间x 的函数关系为y ＝x ，则y ′＝1的物理意义是：物体做匀速直线运动．(√) 3．已知f (x )＝2x 4，则f ′(2)＝82.(×)4．因为(ln x )′＝1x，所以⎝⎛⎭⎫1x ′＝ln x ．(×) 5．若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x ．(×)6．已知f (x )＝a x ，则f ′(x )＝1x ln a.(×)7．若f (x )＝x n (n ∈N )是奇函数，则f ′(x )为偶函数．(√) 8．若f (x )＝x n (n ∈N *)是偶函数，则f ′(x )为奇函数．(√)1.函数y＝c(常数)若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．2．一次函数y＝x导数的几何意义和物理意义分别是什么？导数值为1，几何意义为函数在任意点处的切线斜率为1，物理意义为当y＝x表示路程与时间的函数时，y′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．一般地，一次函数y ＝kx：导数值y′＝k的几何意义为函数在任意点处的切线斜率为k，|k|越大，函数变化得越快．3．你是否熟悉下列几个基本初等函数导数公式的特点？(1)幂函数f(x)＝xα中的α可以由Q*推广到任意实数；(2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”；(3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数；(4)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数．4．利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较烦杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度．感悟体会1.下列求导运算正确的是( )A ．(cos x )′＝sin xB ．(3x )′＝x ·3x －1C ．(ln x )′＝1x D.⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3解析：∵(cos x )′＝－sin x ，(3x )′＝3x ln 3，(ln x )′＝1x ，⎝⎛⎭⎫sin π3′＝0，∴C 正确． 答案：C2．若函数f (x )＝x 2019，则f ′＝( )A ．0B ．1C ．2018D ．2019解析：∵f (x )＝x 2019，∴f ′(x )＝2019·x 2018， ∴f ′＝2019·＝2019×12019＝1，故选B.答案：B3．若f (x )＝sin x ，f ′(α)＝12，则下列α的值中满足条件的是( )A.π3B.π6C.2π3D.5π6解析：f ′(x )＝cos x ，f ′(α)＝cos α＝12，又cos π3＝12，故选A.答案：A4．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k ＝________.解析：设直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切的切点为M (x 0，y 0)，由y ＝ln x ，得y ′＝1x，∴k ＝1x 0，又点M 在直线上也在曲线上，∴y 0＝kx 0＝1x 0·x 0＝1，∴y 0＝ln x 0＝1，解得x 0＝e ，∴k ＝1e .答案：1e1.已知f (A ．3 B ．2C ．0D ．不存在解析：∵f (x )＝23为常数，∴f ′(x )＝0，故选C. 答案：C2．曲线y ＝x 在点(4,2)的切线方程为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝14x ＋1C ．y ＝－12x ＋32D ．y ＝x解析：∵y ′＝12x ，∴x ＝4时，k ＝y ′|x ＝4＝124＝14，∴切线方程为y －2＝14(x －4)，即y ＝14x ＋1，故选B.3.曲线解析：∵y ＝x n ，∴y ′＝nx n －1，∴y ′|x ＝2＝n ·2n －1＝12，解得n ＝3. 答案：34．求下列函数的导数． (1)y ＝lg 5；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x；(3)y ＝x 2x ；(4)y ＝2cos 2x2－1.解析：(1)∵lg 5为常数，∴y ′＝0；(2)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12； (3)∵y ＝x 2x＝x 12-2＝x 32，∴y ′＝32x 12＝32x ；(4)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝－sin x .5.曲线y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 在点A ⎝⎛⎭⎫－π3，12处的切线方程是________． 解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ，则y ′＝－sin x ．点A ⎝⎛⎭⎫－π3，12是曲线y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 上的点， y ′|x ＝－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝32，所求的切线方程为y －12＝32⎝⎛⎭⎫x ＋π3，即3x －2y ＋33π＋1＝0.答案：3x －2y ＋33π＋1＝0 6．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点， (1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程． (2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程． 解析：(1)因为y ′＝2x ，P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点． 过P 点的切线的斜率k 1＝y ′|x ＝－1＝－2， 过Q 点的切线的斜率k 2＝y ′|x ＝2＝4， 过P 点的切线方程：y －1＝－2(x ＋1)， 即2x ＋y ＋1＝0.过Q 点的切线方程：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14，与PQ 平行的切线方程：y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.7.n 12·…·x n 的值为( )A.1nB.1n ＋1C.n n ＋1 D ．1 解析：由y ＝x n ＋1(n ∈N *)，得y ′＝(n ＋1)x n ，当x ＝1时，曲线在点(1,1)处的切线的斜率k＝n ＋1，∴切线方程为y －1＝k (x －1)＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x n ＝n n ＋1，∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1，故选B. 答案：B8．设曲线y ＝e x (x ≥0)在点M (t ，e t )处的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S (t )，求S (t )的解析式．解析：由y ＝e x ，得y ′＝e x ， ∴切线l 在点M (t ，e t )处的斜率k ＝e t ， ∴切线l 的方程为y －e t ＝e t (x －t )， 即e t x －y ＋e t －e t ·t ＝0令x ＝0，得y ＝e t －e t ·t ；令y ＝0，得x ＝t －1，∴S (t )＝12|t －1|·|e t －e t t |＝12e t (t －1)2(t ≥0)．一、选择题1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：∵曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，∴k ＝f ′(x )＝－12<0，故选B.答案：B2．已知函数f (x )＝lg x ，则f ′(e)＝( ) A.1e B.1ln 10 C.1eln 10 D.110解析：∵f (x )＝lg x ，∴f ′(x )＝1x ln 10，∴f ′(e)＝1eln 10，故选C.答案：C3．已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b ＝( ) A ．4 B ．－4 C ．28 D ．－28解析：∵y ＝x 3，∴y ′＝3x 2，∴k ＝y ′|x ＝2＝12，∴曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为y －8＝12(x －2)，即y ＝12x －16，∴k ＝12，b ＝－16，∴k －b ＝28，故选C.答案：C4．在曲线f (x )＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)或(－1，－1)解析：∵f (x )＝1x ，∴f ′(x )＝－1x 2，∵切线的倾斜角为34π，∴切线的斜率为－1，由－1x 2＝－1，得x ＝±1，当x ＝1时，f (1)＝1；当x ＝－1时，f (－1)＝－1，∴所求点的坐标为(1,1)或(－1，－1)，故选D.答案：D5．下列结论正确的个数是( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝5x ，则y ′＝5x ln 5.④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2.A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①中，∵ln 2为常数，∴y ′＝0，①不正确；②中，y ＝1x2＝x －2，∴y ′＝－2·x －3，∴y ′|x ＝3＝－2·3－3＝－227，②正确；③中，y ＝5x 时，y ′＝5x ln 5，③正确；④中，y ＝log 2x时，y ′＝1x ln 2，④正确．综上，正确结论有3个，故选D.答案：D6．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0解析：因为l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，所以切线l 的斜率为4，又y ′＝4x 3，由4x 3＝4，得x ＝1，当x ＝1时，y ＝14＝1，∴切线l 的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0，故选A.答案：A7．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2019(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：∵f 0(x )＝sin x ，∴f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…，依此类推，f n (x )为4个函数循环出现，又2019＝4×504＋3，∴f 2019(x )＝f 3(x )＝－cos x ，故选D.答案：D 二、填空题8．若f (x )＝3x ，则f ′(－1)＝________.解析：因为f ′(x )＝13x 2-3，所以f ′(－1)＝13.答案：139．质点的运动方程是s ＝1t4(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)．质点在t ＝3 s 时的速度是________．解析：由导数公式，得s ′＝⎝⎛⎭⎫1t 4′＝(t －4)′＝－4t －5，所以质点在t ＝3 s 时的速度 s ′|t＝3＝－4×3－5＝－4243 (m/s)． 答案：－4243(m/s)10．已知f (x )＝a 2(a 为常数)，g (x )＝ln x ，若2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝1，则x ＝________.解析：∵f (x )＝a 2(a 为常数)，g (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝0，g ′(x )＝1x，又2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝1，∴2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12，∵x >0，∴x ＝1.答案：111．函数f (x )＝ln x 在点(e,1)处的切线方程为________．解析：∵f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，∴f (x )＝ln x 在点(e,1)处的切线的斜率k ＝f ′(e)＝1e，∴切线方程为y －1＝1e(x －e)，即x －e y ＝0.答案：x －e y ＝012．已知函数f (x )＝1x 在(x 0，y 0)(x 0>0)处的切线方程为y ＝－14x ＋b ，则b ＝________.解析：∵f (x )＝1x ，∴f ′(x )＝－1x 2，∵f (x )在(x 0，y 0)处的切线方程为y ＝－14x ＋b ，∴f ′(x 0)＝－1x 20＝－14，又x 0>0，∴x 0＝2，∴y 0＝12，∵切点⎝⎛⎭⎫2，12在切线上，∴12＝－14×2＋b ，解得b ＝1.答案：1 三、解答题13．求曲线y ＝3x 2在点(1,1)处的切线方程． 解析：∵y ＝3x 2＝x 23， ∴y ′＝23x 1-3，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝23，∴曲线y ＝3x 2在点(1,1)处的切线方程为：y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0.14．求过曲线f (x )＝cos x 上一点P ⎝⎛⎭⎫π3，12且与曲线在该点的切线垂直的直线方程． 解析：∵f (x )＝cos x ， ∴f ′(x )＝－sin x ，∴曲线f (x )＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线的斜率k ＝f ′⎝⎛⎭⎫π3＝－sin π3＝－32. ∴所求直线的斜率为233，∴所求直线的方程为y －12＝233⎝⎛⎭⎫x －π3， 即y ＝233x －239π＋12.15.求证：曲线y ＝a 2x(a 为非零常数)上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为定值．证明：设曲线上任意一切点为P ⎝⎛⎭⎫x 0，a 2x 0， 因为y ′＝－a 2x 2，所以k ＝－a2x 20，过P 点的切线方程为y －a 2x 0＝－a 2x 20(x －x 0)，切线与两坐标轴的交点为(2x 0,0)，⎝⎛⎭⎫0，2a 2x 0， 显然三角形的面积为12|2x 0|·⎪⎪⎪⎪2a 2x 0＝2a 2，为常数．故命题得证． 16．当常数k 为何值时，直线y ＝x 与曲线y ＝x 2＋k 相切？请求出切点．解析：设切点为M (x 0，x 20＋k )， ∵y ′＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1，x 20＋k ＝x 0，解得⎩⎨⎧x 0＝12，k ＝14.∴当k ＝14时，直线y ＝x 与曲线y ＝x 2＋k 相切，此时，切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，12.。