D56反常积分

当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例7. 求 解：
x2 d ex 0
lim x2 2 x d ex
e x x
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例8. 求 解：
令x tan t
0
2
sec2 sec3
t t
dt
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第六节 反常积分
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
第五章
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、无穷限的反常积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
A
dx 1 x2
其含义可理解为
A lim b
b 1
dx x2
lim b
1 x
b 1
lim 1 b
1 b
1
y
1 x2
A
1b
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义1. 设f (x)C[a, ), 取b a, 若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作
这时称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称反常积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C (, b], 则定义
1 dx
lim 2 x 0
x
1
lim 2(1 ) 2
0
y 1 x
A
0
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义2. 设 f (x) C (a, b], 而在点 a 的右邻域内无界,
若极限
存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 (a , b] 上的反常积分, 记作
这时称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
01
1
1 t4
1 t2
d t
t 2 0 1t4
d
t
d
0 1
x x4
1 2
d 0 1
x x4
01
x2 x4
d
x
1
2
1 0 1
x2 x4
d
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1
2
0
1 x2
1
1 x2
x2
d
x
1
2
0
(x
1
1 x
)2
2
d
(x
就称反常积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界,
则定义
机动 目录 上页 下页 返回 结束
而在点 c 的
邻域内无界 , 则定义
c
b
a f (x) dx c f (x) dx
lim 1 0
c1 f (x) dx lim
a
2 0
b
f (x)dx
c 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6. 证明反常积分
当 q < 1 时收敛 ; q≥1 时发散 .
证: 当 q = 1 时,
ln
x
a
b a
当 q≠1 时
(x a)1q 1 q
b
a
(b a)1q 1 q
,
,
q 1 q 1
所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 (b a)1q ; 1 q
例3. 计算反常积分
解: 原式= 1 t de pt t e pt
p0
p
1 p2
e pt
1 p2
1 e pt d t
p0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、无界函数的反常积分
引例:曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积可记作
y
所围成的
其含义可理解为
A lim 0
内容小结
积分区间无限 1. 反常积分
被积函数无界
2. 两个重要的反常积分
,
(
p
1 1)
a
p1
,
常义积分的极限
p 1 p 1
,
q 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互 相转化 .
例如 ,
1 0
1
1 x2
x2
1 x2
dt
1 d(x 1x) 0 (x 1x)2 2
当 p >1 时收敛 ; p≤1 时发散 .
证:当 p =1 时有
ln x
a
当 p ≠ 1 时有
x1 p 1 p
a
, a 1 p , p 1
p 1 p 1
因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为 a 1 p ; p 1
当 p≤1 时, 反常积分发散 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0 dt 2 t2
(2) 当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,
分别讨论每一区间上的反常积分.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
作业
P317 1 单数 ; 2 ; 3
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
试证
d x 0 1 x4
01
x2 x4
d
x
,
并求其值
.
解:
令
t
1 x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
若 f (x) C (, ), 则定义
c
b
lim f (x) dx lim f (x) dx
a a
b c
( c 为任意取定的常数 )
只要有一个极限不存在 , 就称
发散 .
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 计算反常积分
解:
[arctan x ]
( )
22
思考:
y
y
1 1 x2
o
x
分析: 原积分发散 !
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质,否则会出现错误 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 证明第一类 p 积分
dx
F
(b)
F
(c
)
F
(c
)
F
(a)
可相消吗?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 计算反常积分
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式
arcsin
x a
a 0
arcsin1
2
例5. 讨论反常积分
的收敛性 .
解下: 所述1以1解dx反x2法常是0积否1dx分1x正x2 确110:1dxx21发1散.1x2 ,0∴1积 分1x收敛01
无界函数的积分又称作第二类反常积分, 无界点常称
为瑕点(奇点) .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
则也有类似牛 – 莱公式的
Baidu Nhomakorabea
的计算表达式 : 若 b 为瑕点, 则 若 a 为瑕点, 则
b
a
f
(x)
dx
F
(b
)
F
(a)
b
a
f
(x)
dx
F
(b)
F
(a
)
注意: 若瑕点 c (a,b), 则
b
a
f
(
x)
它表明该反常积分发散 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
引入记号
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a f (x) dx F(x)
F() F(a)
b
f (x) dx F(x)
f (x) dx F(x)
F(b) F() F() F()