反常积分03420

f ( x)dx F ( x) F() F(a),
a
a
F() lim F( x).
b
b
x
f (x)dx F (x) F(b) F(),
F() lim F( x).
x
f ( x)dx F ( x) F() F().
9
例
计算反常积分
1
dx x
2
.
解
1
dx x2
x
x
2
11
例
证明反常积分
1
x1pdx,当p
1时收敛,
* 当p 1时发散.
证 (1) p 1,
1
1 x pdx
1 dx
1x
ln
x
1
(2) p 1,
1
1 xp
dx
x1 1
p
p
1
, 1 p1
p1 p1
因此 当p 1时 收敛, 其值为 1 ;
p1
当p 1时 发散.
12
lim 1 t2 eu d u
2 t
0
能否将这里的书
lim 1 (eu ) 2 t
t2 0
写方式简化？
lim ( 1 et2 1 )
t
2
2
1. 2
8
注 为这了时方反便常起积见分, 的规收定敛: 与发散取决于F ( ) 若和FF对( x(反)是常)连是积续否分函存可数 在用f.如( x下)的的原简函记法数使. 用N--L公式,
ta t
函数 f ( x) 在(a,b]上的反常积分, 仍然记为
b
b
b
f ( x)dx, 即 f ( x)dx lim f ( x)dx
a
a
ta t
也称反常积分 b f ( x)dx收敛;当极限不存在时, a
称反常积分 b f ( x)dx发散. a
16
(2) 设f ( x)在[a, b)上连续, 点b为f ( x)的瑕点,
b 1
y
1 x2
A
1b
lim 1 b
1 b
1
4
一、无穷限的反常积分
定义1 (1) 设f ( x)在[a,)上连续,取t a,
如果极限 lim t f ( x
t a 为f (x)在[a, )上的
)dx存在, 则称这个极限值
反常积分,记作
f ( x)dx
.
a
即
t
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
t a
当极限存在时, 称反常积分 收敛;
当极限不存在时, 称反常积分 发散.
5
(2) 设f ( x)在(, b]上连续, 取t b
b
如果极限 lim f ( x)dx 存在,则称这个极限值 t t
为f ( x)在(,b]上的反常积分,记作 b f ( x)dx.
即
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
1 dx
lim 2 x 0
x
1
lim 2(1 ) 2
0
y 1 x
A
0
x
15
二、无界函数的反常积分(瑕积分)
定义2 (1) 设f ( x)在(a, b]上连续,在a点右邻域
内f ( x)无界 (即 lim f ( x) ). 取t a, 瑕点（无
如极限 lim
b
x a
界间断点）
f ( x)dx 存在,则称此极限为
1
ln x x2
d
x
.
解 运用分部积分法
1
ln x x2
d
x
ln x x
1
1
1 x2
d
x
lim
ln x
罗
lim
10
x x
x x
d x 1 x2
Βιβλιοθήκη Baidu1 x
1
1.
14
无界函数的反常积分的引例：
曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积可记作
y
所围成的
其含义可理解为
A lim 0
c点为f ( x)的瑕点,(即lim f ( x) ).如果 x c
反常积分 b f ( x)dx写成 a
b f ( x)dx
a
c
f ( x)dx
a
b
c f ( x)dx
若等号右边两个反常积分 都收敛, 则定义
b
1.计算
e
x
1 ln 2
dx x
解
e
1 x ln2
dx x
e
1 ln 2
dlnx x
1 ln x
e
1
2.位于曲线 y xex (0 x )下方, x轴上方的
无界图形的面积是
解 A xexdx xdex
0
0
[ xe x e xdx] 1
0
0
13
3. 计算
t t
当极限存在时, 称反常积分 收敛;
当极限不存在时, 称反常积分 发散.
6
(3) 设f ( x)在(,)上连续, 如果反常积分
0
f ( x)dx 和 f ( x)dx
0
都收敛, 则称上述两反常积分之和为函数 f ( x)
在(,)上的反常积分,记作 f ( x)dx, 即
f ( x)dx
arctan x
lim arctan x lim arctan x
x
x
2
2
.
y
反常积分的积分值 的几何意义
y
1
1 x
2
O
x
10
例
计算反常积分
1 1
2
x2 sin x dx
解
1 1
2
x2 sin x dx
2
sin
1 x
d
1 x
cos
1 x
2
lim cos 1 cos 1.
我们将运用极限的方法来完成这个工作.
2
正常积分 积分区间有限 被积函数有界
推 广
反常积分
积分区间无限 被积函数无界
正常积分的极限
3
无穷限的反常积分引例：
曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
A
dx 1 x2
其含义可理解为
A lim b
b 1
dx x2
lim b
1 x
0
f ( x)dx
f ( x)dx
0
lim
0
f ( x)dx lim
t
f ( x)dx
t t
t 0
称反常积分 f ( x)dx收敛; 否则称反常积分
f ( x)dx发散.
7
例
解
计算 x ex2 d x . 0
x ex2 d x lim t x ex2 d x
0
t 0
令 u x2
§5.4 反常积分
improper integral 无穷限的反常积分 无界函数的反常积分 小结
1
第五章 定积分
我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界函 数的积分.在科学技术和工程中，往往需要计算无 穷区间上的积分或者计算不满足有界条件的函数的 积分，有时还需计算不满足有界条件的函数在无穷 区间上的积分.这就需要我们将定积分的概念及其 计算方法进行推广.
(即 lim f ( x) ).取t b, 如极限
x b
t
lim f ( x)dx
tb a
存在, 则定义
b
t
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
tb a
否则,称反常积分 b f ( x)dx发散. a
17
(3) 设f ( x)在[a,b]上 除x c(a c b)外连续,