反常积分的计算

a f ( x )dx tlim a t

b
b
f ( x )dx
•反常积分的计算
如果F(x)为f(x)的原函数, 则f(x)在(a, b]上的反常积分为
b f ( x ) dx [ F ( x )] a F (b ) lim F ( x ) a x a b
提问： f(x)在[a, b)上和在[a, c)(c, b]上的反常积分如何计算？ 如何判断反常积分的敛散性？
v.p.
b
f ( x) dx lim
f ( x ) dx a a
a
v.p. f ( x) dx (c 为瑕点, a c b)
a
c b lim f ( x ) dx f ( x ) dx c a 0
注意: 主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反
b
lim F (b ) F (a ) lim F ( x ) F (a )
b x
可采用如下简记形式：
a

f ( x )dx [ F ( x )] a lim F ( x ) F ( a ) x
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一、无穷限的反常积分
§6.4 反常积分
一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分
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一、无穷限的反常积分
无穷限的反常积分的定义 连续函数f(x)在区间[a, )上的反常积分定义为
a

f ( x )dx lim
在反常积分的定义式中, 如果极限是存在的, 则称此反常 积分收敛, 否则称此反常积分发散 类似地, 连续函数f(x)在区间(, b]上和在区间(, ) 的反常积分定义为
常积分收敛 .
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计算

0
dx 4 1 x
dx 1 x4
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0
b
一、无穷限的反常积分
无穷限的反常积分的定义 连续函数f(x)在区间[a, )上的反常积分定义为
a


f ( x )dx lim
f ( x )dx a b
b
•反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数, 则有
a
f ( x )dx lim
b
b f ( x ) dx lim [ F ( x )] a a b
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a f ( x )dx tlim a t

b
b
f ( x )dx
二、无界函数的反常积分
无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a, b]上连续, 点a为f(x)的瑕点 函数f(x) 在(a, b]上的反常积分定义为
类似地, 函数f(x)在[a, b)上(b为瑕点)的反常积分定义为
无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a, b]上连续, 点a为f(x)的瑕点 函数f(x) 在(a, b]上的反常积分定义为
在反常积分的定义式中, 如果极限是存在的, 则称此反常 积分收敛 否则称此反常积分发散
注： 如果函数f(x)在点x0的任一邻域内都无界 , 那么点x0称为 函数f(x)的瑕点(也称为无界间断点) 无界函数的反常积分又称为瑕积分

b
t
f ( x )dx
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二、无界函数的反常积分
无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a, b]上连续, 点a为f(x)的瑕点 函数f(x) 在(a, b]上的反常积分定义为
a f ( x )dx tlim a t

b
b
f ( x )dx
•反常积分的计算
f ( x) d f ( x) 1 f 2 ( x) d x 1 f 2 ( x) arctan f ( x) C
] 2
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32 ] arctan 2 2 27
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说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以 互相转化 .
0
即 反 常 积 分 1 12 dx 发 散 , 所 以 反 常 积 分 x
1 dx 发 散 1 x 2
1
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dx 的 敛 散 性 a ( x a ) q b b dx dx b 解 当 q 1 时 , [ln( x a )] a q a ( x a) a xa b 当 q 1 时 , a dx q [ 1 ( x a )1 q ] b a 1 q ( x a) b 1 (b a )1 q 当 q 1 时 , a dx q [ 1 ( x a )1 q ] b a 1 q 1 q ( x a) 因 此 , 当 q <1 时 , 此 反 常 积 分 收 敛 , 其 值 为 1 (b a )1 q 1 q 当q1时, 此反常积分发散

当 p >1 时 ,
a

1 dx [ 1 x1 p ] a1 p a 1 p p 1 xp
1 p a 因 此 , 当 p >1 时 , 此 反 常 积 分 收 敛 , 其 值 为 p 1 当p1时, 此反常积分发散
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二、无界函数的反常积分
类似地, 有
b
b f ( x ) dx [ F ( x )] F (b ) lim F ( x ) , x


f ( x )dx [ F ( x )] lim F ( x ) lim F ( x ) x x
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当c (acb)为瑕点时,
a f ( x )dx a f ( x)dx c f ( x)dx [ xlim c
例5 5 讨论反常积分 例
1
b
c
b

F ( x ) F (a )] [ F (b ) lim F ( x )]
x c
1 dx 的 收 敛 性 1 x 2 解 在 区 间 [ 1 , 1] 上 x 0 为 函 数 12 的 瑕 点 x 0 1 1 1 )) 0 0 lim ( 1 1 ,, 由 于 1 2 dx [ 1 ] 1 1 x x x x x 0 0 x
例6 6 讨论反常积分 例
b
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例7. 解： 积分.
0
f ( x) dx 求 I 1 2 1 f ( x)
3
的无穷间断点, 故 I 为反常
3 f ( x) f ( x) 2 ( x) f I dx dx d x 2 2 2 11 f ( x ) 2 1 f ( x) 0 1 f ( x)
1 dx ( a >0) 的 敛 散 性 a x p 1 1 解 当 p 1 时 , dx dx [ln x ] a a x a xp 1 1 x1 p ] 当 p <1 时 , dx [ a a xp 1 p
x x
( ) 2 2
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a


f ( x )dx [ F ( x )] a lim F ( x ) F ( a ) x
例2 2 计算反常积分 例 解
0

te pt dt ( p 是 常 数 , 且 p >0)
xb
b
例4 4 计算反常积分 例 解 因 为 lim
a
0
a
1 dx 2 2 a x
1 , x a a2 x2 所以点a为被积函数的瑕点
x]a 1 dx [arc sin 0 a 2 x 2 a 0 lim arc sin x 0 a 2 x a
例如 ,

1 1 x2 0 x2 1 x2
1
dt
1
d( x 1 ) x 2
பைடு நூலகம்
0 ( x 1)2 x
dt 2 t 2
0
(2) 当一题同时含两类反常积分时, 分别讨论每一区间上的反常积分.
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应划分积分区间,
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(3) 有时需考虑主值意义下的反常积分. 其定义为
1 tde pt ] pt pt te dt [ te dt ] [ 0 0 0 p [ 1 te pt 1 e pt dt ]0 p p
[ 1 te pt 12 e pt ]0 p p
lim [ 1 te pt 12 e pt ] 12 12 t p p p p
提示：
t
lim te pt lim
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t
e
t lim pt
t
1 0 pe pt
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a

f ( x )dx [ F ( x )] a lim F ( x ) F ( a ) x
例3 3 讨论反常积分 例
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f ( x )dx [ F ( x )] lim F ( x ) lim F ( x ) x x
例1 1 计算反常积分 例 解 解
1 dx 1 x 2

1 dx [arctan x] 1 x 2 lim arc tan x lim arc tan x
如果F(x)为f(x)的原函数, 则f(x)在(a, b]上的反常积分为
b f ( x ) dx lim f ( x ) dx lim [ F ( x )] t a t ta t a b b
F (b ) lim F (t ) F (b ) lim F ( x )
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当 a 为 瑕 点 时 , a f ( x )dx [ F ( x )]b a F (b ) lim F ( x )
x a
b
当 b 为 瑕 点 时 , a f ( x )dx [ F ( x )]b a lim F ( x ) F ( a )
函数f(x)在[a, c)(c, b]上(c为瑕点)的反常积分定义为
a f ( x )dx tlim a t

b
b
f ( x )dx
a f ( x )dx tlim b a

b
t
f ( x )dx
b
f ( x )dx lim t a f ( x)dx tlim a c tc
ta x a
可采用简记形式
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b f ( x ) dx [ F ( x )] a F (b ) lim F ( x ) a x a
b
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二、无界函数的反常积分
无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a, b]上连续, 点a为f(x)的瑕点 函数f(x) 在(a, b]上的反常积分定义为
无穷限的反常积分的定义 连续函数f(x)在区间[a, )上的反常积分定义为
a


f ( x )dx lim
f ( x )dx a b
b
•反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数, 则有
a
f ( x )dx [ F ( x )] a lim F ( x ) F ( a ) x
f ( x )dx a b
b
f ( x )dx f ( x)dx alim a
b
b
f ( x )dx lim 0 f ( x )dx f ( x)dx alim a b
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