2013年广东高考文科数学试题与答案解析
【推荐】2013年广东省高考数学试卷(文科)
2013年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S={|2+2=0，∈R}，T={|2﹣2=0，∈R}，则S∩T=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}2．（5分）函数f（）=的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）3．（5分）若i（+yi）=3+4i，，y∈R，则复数+yi的模是（）A．2 B．3 C．4 D．54．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．76．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．17．（5分）垂直于直线y=+1且与圆2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．+y+1=0 C．+y﹣1=0 D．8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设数列{a n }是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|= ．12．（5分）若曲线y=a 2﹣ln 在点（1，a ）处的切线平行于轴，则a= ．13．（5分）已知变量，y 满足约束条件，则=+y 的最大值是 ．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD 中，，BC=3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED= ．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数．（1）求的值； （2）若，求． 17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD=AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A ﹣BCF ，其中BC=．（1）证明：DE ∥平面BCF ；（2）证明：CF ⊥平面ABF ；（3）当AD=时，求三棱锥F ﹣DEG 的体积V F ﹣DEG ．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n =a n+12﹣4n ﹣1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有．20．（14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：﹣y ﹣2=0的距离为，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．（1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （0，y 0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（14分）设函数f （）=3﹣2+（∈R ）．（1）当=1时，求函数f （）的单调区间；（2）当＜0时，求函数f （）在[，﹣]上的最小值m 和最大值M ．2013年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S={|2+2=0，∈R}，T={|2﹣2=0，∈R}，则S∩T=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}【分析】根据题意，分析可得，S、T分别表示二次方程的解集，化简S、T，进而求其交集可得答案．【解答】解：分析可得，S为方程2+2=0的解集，则S={|2+2=0}={0，﹣2}，T为方程2﹣2=0的解集，则T={|2﹣2=0}={0，2}，故集合S∩T={0}，故选：A．【点评】本题考查集合的交集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的交集．2．（5分）函数f（）=的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【分析】依题意可知要使函数有意义需要+1＞0且﹣1≠0，进而可求得的范围．【解答】解：要使函数有意义需，解得＞﹣1且≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：C．【点评】本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．3．（5分）若i（+yi）=3+4i，，y∈R，则复数+yi的模是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用复数的运算法则把i（+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出=4，y=﹣3．再利用模的计算公式可得|+yi|=|4﹣3i|==5．【解答】解：∵i（+yi）=i﹣y=3+4i，，y∈R，∴=4，﹣y=3，即=4，y=﹣3．∴|+yi|=|4﹣3i|==5．故选：D．【点评】熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A．B．C．D．【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．【解答】解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选：C．【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．7【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．1【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴．因此V===．故选：B．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．（5分）垂直于直线y=+1且与圆2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．+y+1=0 C．+y﹣1=0 D．【分析】设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=+1，设l方程为y=﹣+b，即+y+b=0．根据直线l与圆2+y2=1相切，得圆心0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．【解答】解：设所求的直线为l，∵直线l垂直于直线y=+1，可得直线l的斜率为=﹣1∴设直线l方程为y=﹣+b，即+y﹣b=0∵直线l与圆2+y2=1相切，∴圆心到直线的距离d=，解之得b=±当b=﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣），切点在第三象限；当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；∵直线l与圆2+y2=1的切点在第一象限，∴b=﹣不符合题意，可得b=，直线方程为+y﹣=0故选：A．【点评】本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l的方程．着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A 错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．【分析】由已知可知椭圆的焦点在轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出．【解答】解：选项①，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故①正确；选项②，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；选项③，取=（4，4），μ=2，=（1，0），无论λ取何值，向量λ都平行于轴，而向量μ的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故③错误；选项④，因为λ和μ为正数，所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出，故不一定能使成立，故④错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题．二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设数列{a n }是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|= 15 ．【分析】根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a 1+|a 2|+a 3+|a 4|的值． 【解答】解：∵数列{a n }是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴a n =a 1•q n ﹣1=（﹣2）n ﹣1，∴a 1=1，a 2=﹣2，a 3=4，a 4=﹣8，∴则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|=1+2+4+8=15， 故答案为15．【点评】本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题．12．（5分）若曲线y=a 2﹣ln 在点（1，a ）处的切线平行于轴，则a=．【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出的值．【解答】解：由题意得，∵在点（1，a ）处的切线平行于轴， ∴2a ﹣1=0，得a=， 故答案为：．【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．13．（5分）已知变量，y 满足约束条件，则=+y 的最大值是 5 ．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值． 【解答】解：画出可行域如图阴影部分， 由得A （1，4）目标函数=+y 可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大越大，由图数形结合可得当动直线过点A（1，4）时，=1+4=5．最大故答案为：5．【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为（θ为参数）．【分析】首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后化直角坐标方程为参数方程．【解答】解：由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即2+y2﹣2=0．化圆的方程为标准式，得（﹣1）2+y2=1．令，得．所以曲线C的参数方程为．故答案为．【点评】本题考查了圆的参数方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，解答此题的关键是熟记互化公式，是中档题．15．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED= ．【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．【分析】（1）把=直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值，然后将=θ﹣代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．【解答】解：（1）（2）∵，，∴．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合．17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．【分析】（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．【解答】解：（1）苹果的重量在[90，95）的频率为．（2）重量在[80，85）的有个．（3）设这4个苹果中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1．重量在[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种．设任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以．【点评】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC 边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；．（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积VF﹣DEG【分析】（1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF．（2）由条件证得AF⊥CF ①，且．在三棱锥A﹣BCF中，由，可得BC2=BF2+CF2，从而CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由，运算求得结果．【解答】解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，∴DE∥BC．又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF．（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且．∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②．又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．∴=．【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n =a n+12﹣4n ﹣1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列． （1）证明：a 2=；（2）求数列{a n }的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有．【分析】（1）对于，令n=1即可证明；（2）利用，且，（n ≥2），两式相减即可求出通项公式．（3）由（2）可得=．利用“裂项求和”即可证明．【解答】解：（1）当n=1时，，∵（2）当n ≥2时，满足，且，∴， ∴，∵a n ＞0，∴a n+1=a n +2，∴当n ≥2时，{a n }是公差d=2的等差数列． ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴，，解得a 2=3，由（1）可知，，∴a 1=1∵a 2﹣a 1=3﹣1=2，∴{a n }是首项a 1=1，公差d=2的等差数列．∴数列{a n }的通项公式a n =2n ﹣1． （3）由（2）可得式=．∴【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n 项和的关系a n =S n ﹣S n ﹣1（n ≥2）是解题的关键．20．（14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：﹣y ﹣2=0的距离为，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． （1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （0，y 0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．【分析】（1）利用焦点到直线l ：﹣y ﹣2=0的距离建立关于变量c 的方程，即可解得c ，从而得出抛物线C 的方程； （2）先设，，由（1）得到抛物线C 的方程求导数，得到切线PA ，PB 的斜率，最后利用直线AB 的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB 的方程；（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得1+2=20，12=4y 0，0=y 0+2，将它表示成关于y 0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．【解答】解：（1）焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：﹣y ﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C 的方程为2=4y ．（2）设，， 由（1）得抛物线C 的方程为，，所以切线PA ，PB 的斜率分别为，，所以PA ：①PB ：② 联立①②可得点P 的坐标为，即，，又因为切线PA 的斜率为，整理得，直线AB 的斜率， 所以直线AB 的方程为，整理得，即，因为点P （0，y 0）为直线l ：﹣y ﹣2=0上的点，所以0﹣y 0﹣2=0，即y 0=0﹣2， 所以直线AB 的方程为0﹣2y ﹣2y 0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得1+2=20，12=4y 0，0=y 0+2， 所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．【点评】本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．21．（14分）设函数f （）=3﹣2+（∈R ）． （1）当=1时，求函数f （）的单调区间；（2）当＜0时，求函数f （）在[，﹣]上的最小值m 和最大值M ．【分析】（1）当=1时，求出f ′（）=32﹣2+1，判断△即可得到单调区间； （2）解法一：当＜0时，f ′（）=32﹣2+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）．分△≤0和△＞0即可得出其单调性，进而得到其最值．解法二：利用“作差法”比较：当＜0时，对∀∈[，﹣]，f （）﹣f （）及f （）﹣f （﹣）．【解答】解：f ′（）=32﹣2+1 （1）当=1时f ′（）=32﹣2+1，∵△=4﹣12=﹣8＜0，∴f ′（）＞0，f （）在R 上单调递增．（2）当＜0时，f ′（）=32﹣2+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）（i ）当，即时，f ′（）≥0，f （）在[，﹣]上单调递增，从而当=时，f （）取得最小值m=f （）=，当=﹣时，f （）取得最大值M=f （﹣）=﹣3﹣3﹣=﹣23﹣． （ii ）当，即时，令f ′（）=32﹣2+1=0解得：，注意到＜2＜1＜0，∴m=min{f （），f （1）}，M=ma{f （﹣），f （2）}，∵，∴f（）的最小值m=f（）=，∵，∴f（）的最大值M=f（﹣）=﹣23﹣．综上所述，当＜0时，f（）的最小值m=f（）=，最大值M=f（﹣）=﹣23﹣解法2：（2）当＜0时，对∀∈[，﹣]，都有f（）﹣f（）=3﹣2+﹣3+3﹣=（2+1）（﹣）≥0，故f（）≥f（）．f（）﹣f（﹣）=3﹣2++3+3+=（+）（2﹣2+22+1）=（+）[（﹣）2+2+1]≤0，故f（）≤f（﹣），而f（）=＜0，f（﹣）=﹣23﹣＞0．=f（）=．所以，f（）【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键．。
2013广东高考文科数学试题及答案(完美版)
2013广东高考文科数学试卷及答案一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合{}{}22|20,,|20,S x x x x R T x x x x R =+=∈=-=∈，则ST =（ ）A. {}0B. {}0,2C. {}2,0-D. {}2,0,2-【答案】A ；【解析】由题意知{}0,2S =-，{}0,2T =，故{}0ST =；2. 函数()lg 11x y x +=-的定义域是（ ）A. ()1,-+∞B. [)1,-+∞C. ()()1,11,-+∞D. [)()1,11,-+∞【答案】C ； 【解析】由题意知1010x x +>⎧⎨-≠⎩，解得1x >-且1x ≠，所以定义域为()()1,11,-+∞；3. 若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】D ；【解析】因为()34i x yi i +=+，所以34xi y i -=+，根据两个复数相等的条件得：3y -=即3y =-，4x =，所以x yi +43i =-，x yi +的模5==；4. 已知51sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么cos α=（ ） A. 25-B. 15-C. 15D. 25【答案】C ； 【解析】51sin sin()cos ()cos()cos 22225ππππααααα⎛⎫⎡⎤+=+=-+=-==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；5. 执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是（ ）A. 1B. 2C. 4D. 7 【答案】D ；【解析】1i =时，1(11)1s =+-=；2i =时，1(21)2s =+-=；3i =时，2(31)4s =+-=；4i =时，4(41)7s =+-=；图1 图26. 某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是（ ）A.16 B. 13 C. 23D. 1 【答案】B ；【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为2， 所以该三棱锥的体积111112323V =⋅⋅⋅⋅=； 7. 垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第Ⅰ象限的直线方程是（ ）A. 20x y +-=B. 10x y ++=C. 10x y +-=D. 20x y ++= 【答案】A ；【解析】设所求直线为l ，因为l 垂直直线1y x =+，故l 的斜率为1-，设直线l 的方程为y x b =-+，化为一般式为0x y b +-=；因为l 与圆相切221x y +=相切，所以圆心(0,0)到直线l 的距离12b -==，所以2b =±，又因为相切与第一象限，所以0b >，故2b =，所以l 的方程为20x y +-=；8. 设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若//,//l l αβ，则//αβB. 若,l l αβ⊥⊥，则//αβC. 若,//l l αβ⊥，则αβ//D. 若,l αβα⊥//，则l β⊥ 【答案】B ；【解析】若α与β相交，且l 平行于交线，则也符合A ，显然A 错；若,//l l αβ⊥，则αβ⊥，故C 错；,l αβα⊥//，若l 平行交线，则//l β，故D 错； 9. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ，离心率等于12，则C 的方程是（ ） A. 22134x y += B. 2214x = C. 22142x y += D. 22143x y +=【答案】D ；【解析】由焦点可知()1,0F 可知椭圆焦点在x 轴上，由题意知11,2c c a ==，所以2,a b ===，故椭圆标准方程为22143x y +=； 10. 设a 是已知的平面向量且0a ≠，关于向量a 的分解，有如下四个命题：① 给定向量b ，总存在向量c ，使a b c =+；② 给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+；③ 给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a b c λμ=+； ④ 给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a b c λμ=+.上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D ；【解析】因为单位向量（模为1的向量，方向不确定）和一个不为零的实数可以表示任何一个向量，由题意可知A,B,C,D 均正确；二、 填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11~13题）11. 设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234a a a a +++=____________； 【答案】15；【解析】由题意知11a =，22a =-，34a =，48a =-，所以；1234a a a a +++124815=+++=；12. 若曲线2ln y ax x =-在点()1,a 处的切线平行于x 轴，则a =_____________；【答案】12； 【解析】因为2ln y ax x =-，所以12y ax x'=-，因为曲线2ln y ax x =-在点()1,a 处的切线平行于x 轴，所以1210x y a ='=-=，所以12a =；13. 已知变量,x y 满足约束条件30111x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值是_____________；【答案】5；【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为(1,1),(1,2),(1,1),(1,4)--，代入可知z 的最大值为145z =+=；（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为___________________；【答案】22(1)1x y -+=；【解析】因为曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=；所以2cos 2cos1cos2x ρθθθ===+① ，sin 2sin cos sin 2y ρθθθθ===②；①可变形得：cos 21x θ=-③，②可变形得：sin 2y θ=；由22sin 2cos 21θθ+=得：22(1)1x y -+=；15. （几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD 中，3AB =，3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED =___________； 【答案】212； 【解析】因为在矩形ABCD 中，3AB =，3BC =，BE AC ⊥，所以030BCA ∠=，所以03cos3032CE CB =⋅=；在CDE 中，因为060ECD ∠=，由余弦定理得： ()22222033331212cos603232224DE CE CD CE CD ⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭，所以212CD =；三、 解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明和演算步骤.16. （本小题满分12分）已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.（1） 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2） 若3cos 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【答案与解析】（1）133124f ππππ⎛⎫⎛⎫=-===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）因为3cos 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 5θ==-；cos cos sin sin 6612333f ππππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫-=--=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭314525210=⨯-⨯=⎭；17. （本小题满分12分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（1） 根据频数分布表计算苹果的重量在[)90,95的频率；（2） 用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个，其中重量在[)80,85的有几个？（3） 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[)80,85和[)95,100中各有一个的概率；【答案与解析】（1）重量在[)90,95的频率200.450==； （2）若采用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个，则重量在[)80,85的个数541515=⨯=+；（3）设在[)80,85中抽取的一个苹果为x ，在[)95,100中抽取的三个苹果分别为,,a b c ，从抽出的4个苹果中，任取2个共有(,),(,),(,),(,),(,),(,)x a x b x c a b a c b c 6种情况，其中符合“重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”的情况共有(,),(,),(,)x a x b x c 种；设“抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”为事件A ，则事件A 的概率31()62P A ==； 18. （本小题满分14分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G . 将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中22BC =. （1） 证明：DE BCF //平面； （2） 证明：CF ABF ⊥平面； （3） 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.图4 图5（1）证明：在图4中，因为ABC 是等边三角形，且AD AE =，所以AD AEAB AC=，//DE BC ；在图5中，因为//DG BF ，//GE FC ，所以平面DGE //平面BCF ，所以DE BCF //平面；（2）证明：在图4中，因为因为ABC 是等边三角形，且F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥； 在图5中，因为在BFC 中，1,22BF FC BC ===，所以222BF FC BC +=，BF CF ⊥，又因为AF CF ⊥，所以CF ABF ⊥平面；（3）因为,AF CF AF BF ⊥⊥，所以AF ⊥平面BCF ，又因为平面DGE //平面BCF ，所以AF ⊥平面DGE；所以11111113323233F DEG DGEV SFG DG GE FG -=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=； 19. （本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2*1441,n n S a n n N +=--∈，且2514,,a a a 构成等比数列；（1）证明：2a =（2） 求数列{}n a 的通项公式； （3） 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<. （1）证明：因为2*1441,n n S a n n N +=--∈，令1n =，则212441S a =--，即22145a a =+，所以2a =（2）当2n ≥时，()()221144441411n n n n n a S S a n a n -+⎡⎤=-=------⎣⎦2214n n a a +=--，所以221(2)n n a a +=+，因为{}n a 各项均为正数，所以12n n a a +=+；因为2514,,a a a 构成等比数列，所以22145a a a ⋅=，即2222(24)(6)aa a +=+，解得23a =，因为2a =11a =， 212a a =+ ，符合12n n a a +=+，所以12n n a a +=+对1n =也符合，所以数列{}n a 是一个以11a =为首项，2d =为公差的等差数列，1(1)221n a n n =+-⋅=-；（3）因为111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==-+--+，所以12231111111111111()()()21323522121n n a a a a a a n n ++++=-+-+⋅⋅⋅+--+ 111111111112133521212121212n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅-=-=< ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭； 所以对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<. 20. （本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为2. 设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点.（1） 求抛物线C 的方程；（2） 当点()00,P x y 为直线l上的定点时，求直线AB 的方程； （3） 当点P 在直线l上移动时，求AF BF ⋅的最小值. 【答案与解析】（1）因为抛物线焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为2所以d ==，又因为0c >，所以解得1c =，抛物线的焦点坐标为(0,1)，所以抛物线C 的方程为24x y =；（2）因为抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '=，设过()00,P x y 点的切线l '与抛物线的切点坐标为21(,)4m m ，所以直线l '的斜率2001142y m k m x m-==-，解得10m x =20m x=-A 点坐标为2111(,)4m m ，B 点坐标为2221(,)4m m ==0=>，所以12m m ≠；221212012111144()42AB m m k m m x m m -==+=-；所以直线AB 的方程为210111()42y m x x m -=-，代入整理得：012y x =； （3）A 点坐标为2111(,)4m m ，B 点坐标为2221(,)4m m ，F 点坐标为()0,1，因为0020x y --=；所以100m x x ==，200m x x ==，1202m m x +=，12048m m x =-；因此AF BF ⋅=()2222222212121212121211111111()1()2144164164m m m m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++=+++=++-+ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭()22220000001139(48)22(48)12692()16422x x x x x x ⎡⎤=-+--+=-+=-+⎣⎦，所以当032x =时，AF BF ⋅取最小值92；21. 设函数()()32f x x kx x k R =-+∈.（1） 当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2） 当0k <时，求函数在[,]k k -上的最小值m 和最大值M . 【答案与解析】（1） 因为()32f x x kx x =-+，所以2()321f x x kx '=-+；当1k =时，2212()3213()033f x x x x =-+=-+>，所以()f x 在R 上单调递增；（2） 因为2()321f x x kx '=-+，22(2)4314(3)k k ∆=--⨯⨯=-；① 当0∆≤时，即0k ≤<时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增，此时无最小值和最大值；② 当0∆>时，即k <令()0f x '=，解得x ==或x ==；令()0f x '>，解得x <或3k x >；令()0f x '<，解得33k k x +<<；因为0k <=<-23kk >=>作()f x的最值表如下：。
2013年广东高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合2{|20,}S x x x x =+=∈R ，2{|20,}T x x x x =-=∈R ，则S T = ( ) A ．{0} B ．{0,2} C ．{2,0}- D ．{2,0,2}- 【测量目标】集合的交集运算.【考查方式】先求一元二次方程的根，再用列举法求交集元素. 【参考答案】A【试题解析】集合S ={0，2-}，T ={0，2}，故S T ={0}，故选A. 2．函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 ( ) A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞ 【测量目标】函数的定义域和集合的交集运算.【考查方式】从函数有意义的角度分析求解定义域，再由各个集合的交集得出定义域. 【参考答案】C【试题解析】要使函数有意义，需1010x x +>⎧⎨-≠⎩，解得11x x >-≠且，（步骤1）故函数的定义域为1,11+∞ （-）（，），故选C. （步骤2）3．若i(i)34i x y +=+，,x y ∈R ，则复数i x y +的模是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【测量目标】复数的四则运算及复数的模.【考查方式】通过等式两边增添、通分等手段化简求出复数的代数形式，进而求出复数的模. 【参考答案】D【试题解析】方法一：因为i(i)34i x y +=+，所以()()()34i i 34i i ==43i i i i x y +-++=--，（步骤1）故22i =43i =4+(3)5x y +--=，故选D. （步骤2）方法二：因为i(i)34i x y +=+，所以+i=3+4i y x -，所以4x =，3y =-，（步骤1） 故22i =43i =4+(3)5x y +--=，故选D. （步骤2）方法三：因为i(i)34i x y +=+，所以(i)i(+i)=(i)(34i)=43i x y --⋅+-，（步骤1）即i=43i x y +-，故22i =43i =4+(3)5x y +--=，故选D. （步骤2）4．已知5π1sin()25α+=，那么cos α= ( ) A ．25- B ．15- C ．15 D ．25【测量目标】诱导公式.【考查方式】通过三角函数的化简变形，正弦和与余弦互化. 【参考答案】C【试题解析】因为5πππ1sin()sin(2π+)sin()2225ααα+=+=+=，故1cos =5α，故选C. 5．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是 ( )A ．1B ．2C ．4D ．7【测量目标】程序框图和流程图.【考查方式】给定带有循环结构的算法程序框图，分析每一次执行的结果并判断是否满足条件，最后得出答案. 【参考答案】C【试题解析】根据初始化条件，顺序执行程序就可以得到结果. 第一次执行循环：12s i ==，(23…成立)；（步骤1）第二次执行循环：23s i ==，(33…成立)；（步骤2）第三次执行循环：44s i ==，(43…不成立)，结束循环，故输出4s =，故选C. （步骤3）6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ()A ．16 B ．13 C ．23D ．1 第5题图第6题图【测量目标】平面图形的三视图的和棱锥的体积.【考查方式】由三视图还原出直观图，根据“长对正，高对齐，宽相等”寻找出三棱锥的相关数据，代入棱锥的体积公式进行计算. 【参考答案】B【试题解析】如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，（步骤1） 故其体积为111112323V =⨯⨯⨯⨯=，故选B. （步骤2） 7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是 ( ) A ．20x y +-= B ．10x y ++= C ．10x y +-= D ．20x y ++= 【测量目标】直线与圆的位置关系、直线的方程.【考查方式】给定所求直线与已知直线垂直和已知圆相切的位置关系，利用待定系数法求出直线方程，再利用数形结合法对所求参数值进行取舍. 【参考答案】A【试题解析】与直线1y x =+垂直的直线方程可设为0x y b ++=，（步骤1） 由0x y b ++=与圆221x y +=相切，可得22||111b =+，得2b =±.（步骤2）由于两者相切于第一象限，则可知2b =-，故直线方程为20x y +-=，故选A. （步骤3）8．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是. ( )A ．若l α∥，l β∥，则αβ∥ B ．若l α⊥，l β⊥，则αβ∥ C ．若l α⊥，l β∥，则αβ∥ D ．若αβ⊥，l α∥，则l β⊥ 【测量目标】空间中直线、平面之间的位置关系.【考查方式】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系. 【参考答案】B【试题解析】选项A ，若l α∥，l β∥，则α和β可能平行也可能相交，故错误；选项B ，若l l αβαβ⊥⊥，，则∥，故正确；选项C ，若l l αβαβ⊥⊥，∥，则，故错误；选项D ，若,l αβα⊥∥，则l 与β的位置关系有三种可能：l l l βββ⊥⊂，∥，，故错误.故选B. 9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是 () 第6题图A ．14322=+y xB ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x【测量目标】椭圆的标准方程和椭圆的几何性质.【考查方式】给定椭圆的离心率和焦点，求出各参数从而确定其标准方程. 【参考答案】D【试题解析】右焦点为(1,0)F 说明有两层含义：椭圆的焦点在x 轴上和1c =.又离心率为12c a =，故2a =，222413b a c =-=-=，（步骤1） 故椭圆的方程为13422=+y x .（步骤2）10．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【测量目标】平面向量基本定理.【考查方式】给定某些向量，利用平行四边形或三角形法则及平面向量基本定理来进行判断. 【参考答案】C【试题解析】对于①，若向量a ，b 确定，因为-a b 是确定的，故总存在向量c ，满足=-c a b ，即=+a b c ，故正确.对于②，因为c 和b 不共线，由平面向量基本定理可知，总存在唯一的一对实数λ，μ，满足λμ=+a b c ，故正确；对于③，如果λμ=+a b c ，则以||a ，||λb ，||μc 为三边长可以构成一个三角形，如果单位向量b 和正数μ确定，则一定存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ，故正确；对于④，如果给定的正数λ和μ不能满足“以||a ，||λb ，||μc 为三边长可以构成一个三角形”，这时单位向量b 和c 就不存在，故错误. 因此选C二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++=________ 【测量目标】等比数列的通项与性质.【考查方式】给定等比数列的首项和公比，求出通项公式，再构造新数列，求解新数列的部分和. 【参考答案】15【试题解析】由首项和公比写出等比数列的前四项，然后代入1234||||a a a a +++求值. 也可以构造新数列，利用其前n 项和公式求解.方法一：1234||||a a a a +++=()()()231|12||12||12|15+⨯-+⨯-+⨯-=.方法二：因为1234||||a a a a +++=1234||||||||a a a a +++，数列{||}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为4121512-=-.12．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a =________ ． 【测量目标】曲线的切线与导数的联系，导数的几何意义【考查方式】给定曲线上某点切线在坐标轴上的位置关系，利用该点导数的几何意义求解原方程，从而求出待定系数. 【参考答案】12【试题解析】计算出函数2ln y ax x =-在点(1,)a 处的导数，利用导数的几何意义求a 的值. 因为12y ax x'=-，所以1|2 1.x y a ='=-（步骤1） 因为曲线在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故210a -=，12a =.（步骤2） 13．已知变量,x y 满足约束条件30111x y x y -+⎧⎪-⎨⎪⎩…剟…，则z x y =+的最大值是 ________【测量目标】线性规划问题的最值求解.【考查方式】画出线性约束条件表示的平面区域，用图解法求最值. 【参考答案】5【试题解析】画出平面区域如图阴影部分所示，由z x y =+，得y x z =-+，z 表示直线y x z =-+在y 轴上的截距，（步骤1）由图知，当直线y x z =-+经过点(1,4)B 时，目标函数取得最大值，为145z =+=.（步骤2）（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）第13题图14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________ ．【测量目标】极坐标方程、普通方程和参数方程的互化.【考查方式】已知极坐标方程，通过建立直角坐标系将其化为普通方程，从而得出参数方程.【参考答案】cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数）【试题解析】先把极坐标方程化为普通方程，再把普通方程化为参数方程. 2cos ρθ=化为普通方程为22222x x y x y +=+，即22(1)1x y -+=，（步骤1）则其参数方程为1cos sin x y αα-=⎧⎨=⎩，（α为参数），即cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数）（步骤2）15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD 中，3,AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED =________ ．【测量目标】正弦定理和余弦定理在几何中的应用.【考查方式】由平面图形中给定线段，利用勾股定理和三角函数求解平面图形中线段的长度. 【参考答案】212【试题解析】由题意可求AE 的长及BAC ∠，故可把DE 放在AED △或ECD △中，利用余弦定理求解.也可以从E 点出发作辅助线，将DE 放在直角三角形中求解.方法一：因为3AB =，3BC =，所以223(3)23AC =+=，3tan 33BAC ∠==，所以π3BAC ∠=.（步骤1）在Rt BAE △中，π3cos 32AE AB ==，则3332322CE =-=. （步骤2）第15题图在ECD △中，2222cos DE CE CD CE CD ECD=+-⋅∠223333121()(3)232224=+-⨯⨯⨯=，故212DE =.（步骤3） 方法二：如图，作EM AB ⊥交AB 于点M ，作EN AD ⊥交AD 于点N .（步骤1） 因为3AB =，3BC =, 所以3tan 33BAC ∠==，则π3BAC ∠=，（步骤2）π3cos 32AE AB ==，π313cos 3224NE AM AE ===⨯=, π333sin 3224AN ME AE ===⨯=，39344ND =-=. （步骤3） 在Rt DNE △中，22DE NE ND =+223921()()442=+=，（步骤4）三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数π()2cos(),12f x x x =-∈R ． (1) 求π()3f 的值； (2) 若33πcos ,(,2π)52θθ=∈，求π()6f θ-． 【测量目标】正弦函数和余弦函数的图象与性质..【考查方式】给定余弦函数表达式，利用同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式等方法求出函数值. 【试题解析】(1)因为π()2cos()12f x x =-，所以ππππ2()2cos()2cos 21331242f =-==⨯= (2)因为3π(,2π)2θ∈，3cos 5θ=，所以22234sin 1cos 1()55θθ=--=--=-. （步骤1） 所以π()6f θ-=ππ26θ--π24θ=-=222(cos sin )22θθ⨯+=cos sin θθ+=341555-=-. （步骤2）17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：第15题图分组（重量） [80,85) [85,90)[90,95)[95,100)频数（个）5102015(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？ (3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率． 【测量目标】频数分布表、频率、分层抽样、古典概型等概念的理解和相关运算.【考查方式】由频数分布表找出相应范围内的频数，由分层抽样确定在某范围内的个体数目，用列举法求解古典概型.【试题解析】（1）根据频数分布表，苹果重量在[90,95)范围内的频数为20，因为样本容量为50，故所求频率为200.450=. （2）重量在[80,85)和[95,100)范围内的苹果频数之比为5:151:3=，又1414⨯=，故重量在[80,85)内的苹果个数为1.（3）从苹果重量在[80,85)范围内抽出的苹果记为a ，从[95,100)范围内抽出的苹果记为1,2,3，则任取两个苹果的所有情况为{,1}a ，{,2}a ，{,3}a {1,2}，{1,3}，{2,3}，共六个结果，（步骤1）记事件{A =重量在[80,85)和[95,100)中各有一个苹果}，其包含的基本事件个数为3，故31()62P A ==. （步骤2）18．（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF △沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥ABCF -，其中22BC =． (1) 证明：DE //平面BCF ； (2) 证明：CF ⊥平面ABF ； (3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -．【测量目标】线面平行、线面垂直和面面平行的判定与性质、平面图形的折叠问题和三棱锥的体积的求法. 【考查方式】通过折叠问题来分析折叠前后变化的元素和不变化的元素，从而得出线面平行或垂直关系以及三棱锥的体积.第18题图【试题解析】（1）证法一：在折叠后的图形中，因为,AB AC AD AE ==, 所以AD AEAB AC=, 所以DE BC ∥. （步骤1）因为DE ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCF ，所以DE ∥平面BCF .（步骤2） 证法二：在折叠前的图形中，因为,AB AC AD AE ==, 所以A D A EA B A C=, 所以D E B C ∥，即,D G B F E G C F ∥∥.（步骤1）在折叠后的图形中，仍有,DG BF EG CF ∥∥. 又因为DG ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以DG ∥平面BCF ，同理可证EG ∥平面BCF . （步骤2）又,DG EG G DG =⊂ 平面DEG ,EG ⊂平面DEG ，故平面DEG ∥平面BCF . （步骤3） 又DE ⊂平面DEG ，所以DE ∥平面BCF .（步骤4）（2）证明：在折叠前的图形中，因为ABC △为等边三角形，BF CF =， 所以AF BC ⊥，则在折叠后的图形中，,.AF BF AF CF ⊥⊥（步骤1）又12,22BF CF BC ===，所以222BC BF CF =+, 所以BF CF ⊥. （步骤2） 又BF AF F = ，BF ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以CF ⊥平面ABF .（步骤3） (3) 解：由（1）可知GE CF ∥，结合（2）可得GE ⊥平面DFG .（步骤1）1132F DEG E DFG V V DG FG GF --∴==⋅⋅⋅⋅1111313()323323324=⋅⋅⋅⋅⋅=（步骤2）19．（本小题满分14分）设各项均为正数的 数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n *+=--∈N 且2514,,a a a 构成等比数列．(1) 证明：2145a a =+；(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< ．【测量目标】等差数列、等比数列的定义及应用，函数与方程的思想以及不等式的证明.【考查方式】把等式、不等式、等差数列和等比数列等知识结合在一起来考查，考查了递推公式、等比中项、等差数列的概念和通项公式，会用列项相消法求数列的前n 项和，放缩法证明不等式的知识. 【试题解析】解：（1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，（步骤1）21045n a a a >∴=+ （步骤2）（2）当2n …时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,（步骤1）102n n n a a a +>∴=+ ∴当2n …时，{}n a 是公差2d =的等差数列. （步骤2）2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =,（步骤3）由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=（步骤4）21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列. 为正等差数列∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.（步骤5）（3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ （步骤1） 1111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111.2212n ⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦（步骤2）-20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为322．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．【测量目标】点到直线的距离公式、直线的点斜式方程、抛物线的定义和标准方程、导数的几何意义、直线与抛物线的交点、二次函数的最值以及待定系数法的应用.【考查方式】由点到直线的距离公式建立关于c 的方程，从而确定c 并写出抛物线的标准方程；设出点坐标并求出切线方程从而得到所求直线方程；利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，建立关于y 的目标函数，从而确定函数的最小值.【试题解析】（1）依题意023222c d --==，解得1c =（负根舍去）（步骤1） ∴抛物线C 的方程为24x y =.（步骤2）（2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . （步骤1）∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. （步骤2） ∵21141x y =， ∴112y x xy -= . （步骤3） ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ①，同理 20202y x xy -=. ② 综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. （步骤4） ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y x xy -=002，即00220x x y y --=；（步骤5）（3）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+，所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++ （步骤1）联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y y x y y +-+=，2212001202,y y x y y y y ∴+=-=（步骤2）0020x y --= ()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++2200019=22+5=2()+22y y y ++ （步骤3）∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为92 （步骤4）21．（本小题满分14分）设函数x kx x x f +-=23)( ()k ∈R ． (1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ,()2321f x x kx '=-+【测量目标】导数的计算和导数在研究函数中的应用，利用导数来求函数的单调区间和最值.【考查方式】由抛物线与直线方程的位置关系来求解方程，通过导数来求函数及函数的单调区间；对于导数中含有未知数，需要讨论判别式∆的符号，然后比较区间端点的函数值与极值的大小从而确定最值.【试题解析】(1)当1k =时()2321,f x x x '=-+（步骤1）41280∆=-=-<()0f x '∴>,()f x 在R 上单调递增.（步骤2）（2）当0k <时，()2321f x x kx '=-+，其开口向上，对称轴3kx =，且过()01，（步骤1） 第21题图（i ）当()()2412433k k k ∆=-=+-…，即30k -<…时，()0f x '…，()f x 在[],k k -上单调递增，（步骤2）从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k == ,当x k =-时，()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.（步骤3）（ii ）当()()24124330k k k ∆=-=+->，即3k <-时，令()23210f x x kx '=-+=解得：221233,33k k k k x x +---==,注意到210k x x <<<,（步骤4）(注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=，1223kx x k +=>,从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断) ()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,（步骤5）()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--（步骤6）综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--（步骤7）解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-…，故()()f x f k …（步骤1）32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++…故()()f x f k -…（步骤2）而 ()0f k k =<，3()20f k k k -=-->所以 3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==（步骤3）（1）解法3：因为2()321f x x kx '=-+，22(2)4314(3)k k ∆=--⨯⨯=-；（步骤1） ○1当0∆…时，即30k -<…时，()0f x '…，()f x 在R 上单调递增，此时无最小值和最大值；（步骤2）○2当0∆>时，即3k <-时，令()0f x '=，解得22223363k k k k x +-+-==或22223363k k k k x ----==；（步骤2）令()0f x '>，解得233k k x --<或233k k x +->；（步骤3）令()0f x '<，解得223333k k k k x --+-<<；（步骤4）因为223033k k k k k +-+<=<-，2232333k k k k k k --->=>作()f x 的最值表如下：xk 23,3k k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 233k k --2233,33k k k k ⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭233k k +-23,3k k k ⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭k -()f x ' +- 0+()f xk极大值极小值32k k --则23min (),3k k m f k f ⎧⎫⎛⎫+-⎪⎪= ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭，23max (),3k k M f k f ⎧⎫⎛⎫--⎪⎪=- ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭；（步骤5）因为22222333313333k k k k k k k k f k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-+-⎢⎥=-⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3222(26)3927k k k k ----+=； 3223222(26)1832(26)318()32727k k k kk k k k k k f f k ⎛⎫----+-------=> ⎪ ⎪⎝⎭2480279k k -==->，所以23min (),()3k k m f k f f k k ⎧⎫⎛⎫+-⎪⎪=== ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭；（步骤6）因为22222333313333k k k k k k k k f k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--------⎢⎥=-⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3222(26)3927k k k k -+--+=；2322332(26)395427()327k k k k k k k k f f k ⎛⎫---+--+++--= ⎪ ⎪⎝⎭32322352(26)3652(26)33650420272727k k k k k k k k k k +-++--++=<=<；所以233max (),()23k k M f k f f k k k ⎧⎫⎛⎫--⎪⎪=-=-=-- ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭；（步骤7） 综上所述，所以m k =，32M k k =--.（步骤8）。
2013年高考试题及答案广东卷文数
2013年高考试题及答案广东卷文数D8.设l 为直线，,αβ是两个不同的平面.下列命题中正确的是A 若l ∥α，l ∥β，则α∥βB 若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βC 若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD 若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β9.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F （1,0），离心率等于12，则C 的方程是 22.134x y A +=22.143x B +=22.142x y C +=22.143x y D +=10.设α是已知的平面向量且0α≠.关于向量α的分解，有如下四个命题：①给定向量b,总存在向量c ，使a b c =+；②给定向量b 和c,总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+； ③给定向量b 和正数，总存在单位向量c,使a b c λμ=+. ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c,使a b c λμ=+.上述命题中的向量b,c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
（一）必做题（11~13题）11．设数列| na |是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++=________。
12．若曲线2ln y ax x =-在点（1，a ）处的切线平行于x 轴，则a =________。
13．已知变量x ，y 满足约束条件30111x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩则z x y =+的最大值是________。
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程=2cos ρθ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________。
15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD 中，3AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED =________。
2013年广东高考文科数学完美Word版附答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）B数学（文科）一、选择题1、设集合22{|20,},{|20,}S x x x x R T x x x x R =+=∈=-=∈，则S T ⋂= A 、 {0} B 、 {0,2} C 、 {2,0}- D 、 {2,0,2}-2、函数lg(1)1x y x +=-的定义域是 A 、 (1,)-+∞ B 、 [1,)-+∞ C 、 (1,1)(1,)U -+∞ D 、 [1,1)(1,)U -+∞ 3、若()34,,i x yi i x y R +=+∈，则复数x yi +的模是 A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、已知51sin()25πα+=，则cos α= A 、25- B 、15- C 、15 D 、255、执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是 A 、1 B 、2 C 、4 D 、7图2216、某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 A 、16 B 、13 C 、23D 、1 7、垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A、0x y += B 、10x y ++= C 、10x y +-= D、0x y += 8、设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A 、若||,||l l αβ，则||αβ B 、若,l l αβ⊥⊥，则||αβ C 、若,||l l αβ⊥，则||αβ D 、若,||l αβα⊥，则l β⊥ 9、已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率为12，则C 的方程是 A 、22134x y += B、2214x += C 、22142x y += D 、22143x y += 10、设a 是已知的平面向量且0a ≠，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使a b c =+；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a b c λμ=+ ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a b c λμ=+ 上述命题中的向量b 、c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4二、填空题（一）必做题（11~13题）11、设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++=__________. 12、若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a =___________.13、已知变量x ，y 满足约束条件30111x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值是___________.（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题） 14、（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________________________.图3DCBA15、（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED=________.三、解答题16、（满分12分）已知函数()),12f x x x R π=-∈.（1）求()3f π的值； （2）若33cos ,(,2)52πθθπ=∈，求()6f πθ-.（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率. 18、（满分14分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，AD=AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中BC =. （1）证明：DE//平面BCF ；（2）证明：CF ⊥平面ABF ；（3）当AD=23时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.图5图4CB B19、（满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2*1441,n n S a n n N +=--∈，且2514,,a a a 构成等比数列. （1）证明：2a =（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<.20、（满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)(0)F c c>到直线:20l x y --=P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点.（1）求抛物线C 的方程；（2）当点00(,)P x y 为直线l 上定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF|·|BF|的最小值.21、（满分14分）设函数32()()f x x kx x k R =-+∈. （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0k <时，求函数()f x 在[,]k k -上的最小值m 和最大值M .2013广东高考文科数学答案1-5 DAADC 6-10 BCBCD11 [)()1,00,-+∞; 1214; 13 1,1,3,3; 14 (2,1); 1516. 解：（1）cos cos 312642f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2A = （2）43042cos 2cos 2sin 336217f πππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即15sin 17α= 2842cos 2cos 3665f ππβπββ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4cos 5β=因为0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，所以8cos 17α==，3sin 5β== 所以8415313cos()cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=- 17. 解：（1）依题意得，10(20.020.030.04)1a +++=，解得0.005a = （2）这100名学生语文成绩的平均分为：550.05650.475⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）（3）数学成绩在[50,60)的人数为：1000.055⨯=数学成绩在[60,70)的人数为：11000.4202⨯⨯= 数学成绩在[70,80)的人数为：41000.3403⨯⨯=数学成绩在[80,90)的人数为：51000.2254⨯⨯=所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100520402510----= 18. 解：（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ， 所以PH AB ⊥因为PH 为△PAD 中AD 边上的高 所以PH AD ⊥因为AB AD A = 所以PH ⊥平面ABCD （2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG因为E 是PB 的中点， 所以//EG PH因为PH ⊥平面ABCD 所以EG ⊥平面ABCD则1122EG PH ==， 111332E BCF BCF V S EG FC AD EG -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=12（3）证明：取PA 中点M ，连结MD ，ME因为E 是PB 的中点，所以1//2ME AB =因为1//2DF AB = 所以//ME DF =所以四边形MEDF 是平行四边形 所以//EF MD 因为PD AD = 所以MD PA ⊥ 因为AB ⊥平面PAD ， 所以MD AB ⊥因为PA AB A = 所以MD ⊥平面PAB ，所以EF ⊥平面PAB19. 解：（1）当1n =时，1121T S =-因为111T S a ==，所以1121a a =-，求得11a =（2）当2n ≥时，221112[2(1)]2221n n n n n n n S T T S n S n S S n ---=-=----=--+ 所以1221n n S S n -=+- ① 所以1221n n S S n +=++ ② ②-①得 122n n a a +=+ 所以122(2)n n a a ++=+，即1222n n a a ++=+(2)n ≥求得123a +=，226a +=，则21222a a +=+ 所以{}2n a +是以3为首项，2为公比的等比数列，所以1232n n a -+=⋅ 所以1322n n a -=⋅-，*n ∈N20. 解：（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =，点(0,1)P 代入椭圆22221x y a b +=，得211b =，即1b =，所以2222a b c =+=，所以椭圆1C 的方程为2212x y +=. （2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4220k x kmx m +++-=因为直线l 与椭圆1C 相切，所以2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-= 整理得22210k m -+= ①24y xy kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+= 因为直线l 与抛物线2C 相切，所以222(24)40km k m ∆=--= 整理得1km = ②综合①②，解得2k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以直线l的方程为y x =y x = 21. 解：（1）令2()23(1)6g x x a x a =-++229(1)4893093(31)(3)a a a a a a ∆=+-=-+=--① 当103a <≤时，0∆≥，方程()0g x =的两个根分别为1x =，2x =所以()0g x >的解集为(()-∞+∞因为12,0x x >，所以D A B ==()+∞② 当113a <<时，0∆<，则()0g x >恒成立，所以D A B==(0,)+∞综上所述，当103a <≤时，D =3333(0,)()44a a +++∞； 当113a <<时，D =(0,)+∞ （2）2()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--，令()0f x '=，得x a =或1x =① 当103a <≤时，由（1）知D =12(0,)(,)x x +∞ 因为2()23(1)6(3)0g a a a a a a a =-++=->，(1)23(1)6310g a a a =-++=-≤ 所以1201a x x <<<≤，所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 的极大值点为x a =，没有极小值点 ② 当113a <<时，由（1）知D =(0,)+∞ 所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 的极大值点为x a =，极小值点为1x = 综上所述，当103a <≤时，()f x 有一个极大值点x a =，没有极小值点； 当113a <<时，()f x 有一个极大值点x a =，一个极小值点1x =。
2013年高考广东卷文科数学试题及答案
设函数 ．
(1)当 时,求函数 的单调区间；
(2)当 时,求函数 在 上的最小值 和最大值 ．
【解析】：
(1)当 时
, 在 上单调递增.
（2）当 时， ，其开口向上，对称轴 ，且过
（i）当 ，即 时， ， 在 上单调递增，
从而当 时， 取得最小值 ,
当 时， 取得最大值 .
7．垂直于直线 且与圆 相切于第Ⅰ象限的直线方程是
A． B．
C． D．
【解析】直接法可设所求的直线方程为： ，再利用圆心到直线的距离等于 ，求得 .选A.
8．设 为直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【解析】借助长方体判断，可知B正确..
分组（重量）
频数（个）
5
10
20
15
(1)根据频数分布表计算苹果的重量在 的频率；
(2)用分层抽样的方法从重量在 和 的苹果中共抽取4个，其中重量在 的有几个？
(3)在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在 和 中各有1个的概率．
【解析】（1）苹果的重量在 的频率为 ；
（2）重量在 的有 个；
【解析】：考查三角函数诱导公式， ，选C.
5．执行如图1所示的程序框图，若输入 的值为3，则输出 的值是
A．1 B．2 C．4 D．7
【解析】根据程序框图，s=1+0+1+2=4.选C.
6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是
A． B． C． D．
【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则 ，选B.
（ii）当 ，即 时，令
2013年广东省高考数学试卷(文科)
2013年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S={x|x2+2x=0，x∈R}，T={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（）A．{0}B．{0，2}C．{﹣2，0}D．{﹣2，0，2}2．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．[﹣1，1）∪（1，+∞）3．（5分）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2 B．3 C．4 D．54．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．76．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．17．（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A．B．C．D．10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|=．12．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为．15．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；．（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积V F﹣DEG19．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x ﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（14分）设函数f（x）=x3﹣kx2+x（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当k＜0时，求函数f（x）在[k，﹣k]上的最小值m和最大值M．2013年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S={x|x2+2x=0，x∈R}，T={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（）A．{0}B．{0，2}C．{﹣2，0}D．{﹣2，0，2}【分析】根据题意，分析可得，S、T分别表示二次方程的解集，化简S、T，进而求其交集可得答案．【解答】解：分析可得，S为方程x2+2x=0的解集，则S={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，T为方程x2﹣2x=0的解集，则T={x|x2﹣2x=0}={0，2}，故集合S∩T={0}，故选：A．【点评】本题考查集合的交集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的交集．2．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【分析】依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0，进而可求得x的范围．【解答】解：要使函数有意义需，解得x＞﹣1且x≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：C．【点评】本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．3．（5分）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x=4，y=﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|=|4﹣3i|==5．【解答】解：∵i（x+yi）=xi﹣y=3+4i，x，y∈R，∴x=4，﹣y=3，即x=4，y=﹣3．∴|x+yi|=|4﹣3i|==5．故选：D．【点评】熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A．B．C．D．【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．【解答】解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选：C．【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．7【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．1【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴．因此V===．故选：B．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．【分析】设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=x+1，设l方程为y=﹣x+b，即x+y+b=0．根据直线l与圆x2+y2=1相切，得圆心0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．【解答】解：设所求的直线为l，∵直线l垂直于直线y=x+1，可得直线l的斜率为k=﹣1∴设直线l方程为y=﹣x+b，即x+y﹣b=0∵直线l与圆x2+y2=1相切，∴圆心到直线的距离d=，解之得b=±当b=﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣），切点在第三象限；当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；∵直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限，∴b=﹣不符合题意，可得b=，直线方程为x+y﹣=0故选：A．【点评】本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l 的方程．着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A 错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A．B．C．D．【分析】由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来．【解答】解：选项①，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故①正确；选项②，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；选项③，取=（4，4），μ=2，=（1，0），无论λ取何值，向量λ都平行于x轴，而向量μ的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故③错误；选项④，因为λ和μ为正数，所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使成立，故④错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题．二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|= 15．【分析】根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a1+|a2|+a3+|a4|的值．【解答】解：∵数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴a n=a1•q n﹣1=（﹣2）n﹣1，∴a1=1，a2=﹣2，a3=4，a4=﹣8，∴则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15，故答案为15．【点评】本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题．12．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k 的值．【解答】解：由题意得，∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1=0，得a=，故答案为：．【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是5．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得A（1，4）目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，=1+4=5．由图数形结合可得当动直线过点A（1，4）时，z最大故答案为：5．【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为（θ为参数）．【分析】首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后化直角坐标方程为参数方程．【解答】解：由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2﹣2x=0．化圆的方程为标准式，得（x﹣1）2+y2=1．令，得．所以曲线C的参数方程为．故答案为．【点评】本题考查了圆的参数方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，解答此题的关键是熟记互化公式，是中档题．15．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．【分析】（1）把x=直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值，然后将x=θ﹣代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．【解答】解：（1）（2）∵，，∴．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合．17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．【分析】（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．【解答】解：（1）苹果的重量在[90，95）的频率为．（2）重量在[80，85）的有个．（3）设这4个苹果中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1．重量在[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种．设任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以．【点评】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；．（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积V F﹣DEG【分析】（1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE ∥平面BCF．（2）由条件证得AF⊥CF ①，且．在三棱锥A﹣BCF中，由，可得BC2=BF2+CF2，从而CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由，运算求得结果．【解答】解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，∴DE∥BC．又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF．（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且．∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②．又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．∴=．【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．【分析】（1）对于，令n=1即可证明；（2）利用，且，（n≥2），两式相减即可求出通项公式．（3）由（2）可得=．利用“裂项求和”即可证明．【解答】解：（1）当n=1时，，∵（2）当n≥2时，满足，且，∴，∴，∵a n＞0，∴a n=a n+2，+1∴当n≥2时，{a n}是公差d=2的等差数列．∵a2，a5，a14构成等比数列，∴，，解得a2=3，由（1）可知，，∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2，∴{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列．∴数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1．（3）由（2）可得式=．∴【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n项和的关系a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）是解题的关键．20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x ﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．【分析】（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；（2）先设，，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．【解答】解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y．（2）设，，由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，，所以PA：①PB：②联立①②可得点P的坐标为，即，，又因为切线PA的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．【点评】本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．21．（14分）设函数f（x）=x3﹣kx2+x（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当k＜0时，求函数f（x）在[k，﹣k]上的最小值m和最大值M．【分析】（1）当k=1时，求出f′（x）=3x2﹣2x+1，判断△即可得到单调区间；（2）解法一：当k＜0时，f′（x）=3x2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）．分△≤0和△＞0即可得出其单调性，进而得到其最值．解法二：利用“作差法”比较：当k＜0时，对∀x∈[k，﹣k]，f（x）﹣f（k）及f （x）﹣f（﹣k）．【解答】解：f′（x）=3x2﹣2kx+1（1）当k=1时f′（x）=3x2﹣2x+1，∵△=4﹣12=﹣8＜0，∴f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增．（2）当k＜0时，f′（x）=3x2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）（i）当，即时，f′（x）≥0，f（x）在[k，﹣k]上单调递增，从而当x=k时，f（x）取得最小值m=f（k）=k，当x=﹣k时，f（x）取得最大值M=f（﹣k）=﹣k3﹣k3﹣k=﹣2k3﹣k．（ii）当，即时，令f′（x）=3x2﹣2kx+1=0解得：，注意到k＜x2＜x1＜0，∴m=min{f（k），f（x1）}，M=max{f（﹣k），f（x2）}，∵，∴f（x）的最小值m=f（k）=k，∵，∴f（x）的最大值M=f（﹣k）=﹣2k3﹣k．综上所述，当k＜0时，f（x）的最小值m=f（k）=k，最大值M=f（﹣k）=﹣2k3﹣k解法2：（2）当k＜0时，对∀x∈[k，﹣k]，都有f（x）﹣f（k）=x3﹣kx2+x﹣k3+k3﹣k=（x2+1）（x﹣k）≥0，故f（x）≥f（k）．f（x）﹣f（﹣k）=x3﹣kx2+x+k3+k3+k=（x+k）（x2﹣2kx+2k2+1）=（x+k）[（x﹣k）2+k2+1]≤0，故f（x）≤f（﹣k），而f（k）=k＜0，f（﹣k）=﹣2k3﹣k＞0．所以，f（x）min=f（k）=k．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键．第21页（共21页）。
【推荐】2013年广东省高考数学试卷(文科)
2013年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S={|2+2=0，∈R}，T={|2﹣2=0，∈R}，则S∩T=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}2．（5分）函数f（）=的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）3．（5分）若i（+yi）=3+4i，，y∈R，则复数+yi的模是（）A．2 B．3 C．4 D．54．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．76．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．17．（5分）垂直于直线y=+1且与圆2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．+y+1=0 C．+y﹣1=0 D．8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设数列{a n }是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|= ．12．（5分）若曲线y=a 2﹣ln 在点（1，a ）处的切线平行于轴，则a= ． 13．（5分）已知变量，y 满足约束条件，则=+y 的最大值是 ．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ． 15．（几何证明选讲选做题） 如图，在矩形ABCD 中，，BC=3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED= ．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）若，求． 17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD=AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A ﹣BCF ，其中BC=．（1）证明：DE ∥平面BCF ； （2）证明：CF ⊥平面ABF ；（3）当AD=时，求三棱锥F ﹣DEG 的体积V F ﹣DEG ．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n =a n+12﹣4n ﹣1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列． （1）证明：a 2=；（2）求数列{a n }的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有．20．（14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：﹣y ﹣2=0的距离为，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． （1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （0，y 0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF|•|BF|的最小值． 21．（14分）设函数f （）=3﹣2+（∈R ）． （1）当=1时，求函数f （）的单调区间；（2）当＜0时，求函数f （）在[，﹣]上的最小值m 和最大值M ．2013年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S={|2+2=0，∈R}，T={|2﹣2=0，∈R}，则S∩T=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}【分析】根据题意，分析可得，S、T分别表示二次方程的解集，化简S、T，进而求其交集可得答案．【解答】解：分析可得，S为方程2+2=0的解集，则S={|2+2=0}={0，﹣2}，T为方程2﹣2=0的解集，则T={|2﹣2=0}={0，2}，故集合S∩T={0}，故选：A．【点评】本题考查集合的交集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的交集．2．（5分）函数f（）=的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【分析】依题意可知要使函数有意义需要+1＞0且﹣1≠0，进而可求得的范围．【解答】解：要使函数有意义需，解得＞﹣1且≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：C．【点评】本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．3．（5分）若i（+yi）=3+4i，，y∈R，则复数+yi的模是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用复数的运算法则把i（+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出=4，y=﹣3．再利用模的计算公式可得|+yi|=|4﹣3i|==5．【解答】解：∵i（+yi）=i﹣y=3+4i，，y∈R，∴=4，﹣y=3，即=4，y=﹣3．∴|+yi|=|4﹣3i|==5．故选：D．【点评】熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A．B．C．D．【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．【解答】解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选：C．【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．7【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．1【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴．因此V===．故选：B．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．（5分）垂直于直线y=+1且与圆2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．+y+1=0 C．+y﹣1=0 D．【分析】设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=+1，设l方程为y=﹣+b，即+y+b=0．根据直线l与圆2+y2=1相切，得圆心0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．【解答】解：设所求的直线为l，∵直线l垂直于直线y=+1，可得直线l的斜率为=﹣1∴设直线l方程为y=﹣+b，即+y﹣b=0∵直线l与圆2+y2=1相切，∴圆心到直线的距离d=，解之得b=±当b=﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣），切点在第三象限；当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；∵直线l与圆2+y2=1的切点在第一象限，∴b=﹣不符合题意，可得b=，直线方程为+y﹣=0故选：A．【点评】本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l的方程．着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A 错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．【分析】由已知可知椭圆的焦点在轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出．【解答】解：选项①，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故①正确；选项②，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；选项③，取=（4，4），μ=2，=（1，0），无论λ取何值，向量λ都平行于轴，而向量μ的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故③错误；选项④，因为λ和μ为正数，所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出，故不一定能使成立，故④错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题．二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设数列{a n }是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|= 15 ．【分析】根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a 1+|a 2|+a 3+|a 4|的值． 【解答】解：∵数列{a n }是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴a n =a 1•q n ﹣1=（﹣2）n ﹣1，∴a 1=1，a 2=﹣2，a 3=4，a 4=﹣8，∴则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|=1+2+4+8=15， 故答案为15．【点评】本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题．12．（5分）若曲线y=a 2﹣ln 在点（1，a ）处的切线平行于轴，则a=．【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出的值．【解答】解：由题意得，∵在点（1，a ）处的切线平行于轴， ∴2a ﹣1=0，得a=， 故答案为：．【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．13．（5分）已知变量，y 满足约束条件，则=+y 的最大值是 5 ．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值． 【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得A （1，4）目标函数=+y 可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大越大，由图数形结合可得当动直线过点A（1，4）时，=1+4=5．最大故答案为：5．【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为（θ为参数）．【分析】首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后化直角坐标方程为参数方程．【解答】解：由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即2+y2﹣2=0．化圆的方程为标准式，得（﹣1）2+y2=1．令，得．所以曲线C的参数方程为．故答案为．【点评】本题考查了圆的参数方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，解答此题的关键是熟记互化公式，是中档题．15．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED= ．【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．【分析】（1）把=直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值，然后将=θ﹣代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．【解答】解：（1）（2）∵，，∴．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合．17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．【分析】（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．【解答】解：（1）苹果的重量在[90，95）的频率为．（2）重量在[80，85）的有个．（3）设这4个苹果中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1．重量在[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种．设任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以．【点评】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC 边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；．（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积VF﹣DEG【分析】（1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF．（2）由条件证得AF⊥CF ①，且．在三棱锥A﹣BCF中，由，可得BC2=BF2+CF2，从而CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由，运算求得结果．【解答】解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，∴DE∥BC．又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF．（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且．∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②．又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．∴=．【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n =a n+12﹣4n ﹣1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列． （1）证明：a2=；（2）求数列{a n }的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有．【分析】（1）对于，令n=1即可证明；（2）利用，且，（n ≥2），两式相减即可求出通项公式．（3）由（2）可得=．利用“裂项求和”即可证明．【解答】解：（1）当n=1时，，∵（2）当n ≥2时，满足，且，∴， ∴，∵a n ＞0，∴a n+1=a n +2，∴当n ≥2时，{a n }是公差d=2的等差数列． ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴，，解得a 2=3，由（1）可知，，∴a 1=1∵a 2﹣a 1=3﹣1=2，∴{a n }是首项a 1=1，公差d=2的等差数列．∴数列{a n }的通项公式a n =2n ﹣1． （3）由（2）可得式=．∴【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n 项和的关系a n =S n ﹣S n ﹣1（n ≥2）是解题的关键．20．（14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：﹣y ﹣2=0的距离为，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． （1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （0，y 0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．【分析】（1）利用焦点到直线l ：﹣y ﹣2=0的距离建立关于变量c 的方程，即可解得c ，从而得出抛物线C 的方程； （2）先设，，由（1）得到抛物线C 的方程求导数，得到切线PA ，PB 的斜率，最后利用直线AB 的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB 的方程；（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得1+2=20，12=4y 0，0=y 0+2，将它表示成关于y 0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．【解答】解：（1）焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：﹣y ﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C 的方程为2=4y ．（2）设，， 由（1）得抛物线C 的方程为，，所以切线PA ，PB 的斜率分别为，，所以PA ：①PB ：② 联立①②可得点P 的坐标为，即，，又因为切线PA 的斜率为，整理得，直线AB 的斜率， 所以直线AB 的方程为，整理得，即，因为点P （0，y 0）为直线l ：﹣y ﹣2=0上的点，所以0﹣y 0﹣2=0，即y 0=0﹣2， 所以直线AB 的方程为0﹣2y ﹣2y 0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得1+2=20，12=4y 0，0=y 0+2， 所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．【点评】本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．21．（14分）设函数f （）=3﹣2+（∈R ）． （1）当=1时，求函数f （）的单调区间；（2）当＜0时，求函数f （）在[，﹣]上的最小值m 和最大值M ．【分析】（1）当=1时，求出f ′（）=32﹣2+1，判断△即可得到单调区间；（2）解法一：当＜0时，f ′（）=32﹣2+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）．分△≤0和△＞0即可得出其单调性，进而得到其最值．解法二：利用“作差法”比较：当＜0时，对∀∈[，﹣]，f （）﹣f （）及f （）﹣f （﹣）．【解答】解：f ′（）=32﹣2+1 （1）当=1时f ′（）=32﹣2+1，∵△=4﹣12=﹣8＜0，∴f ′（）＞0，f （）在R 上单调递增．（2）当＜0时，f ′（）=32﹣2+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）（i ）当，即时，f ′（）≥0，f （）在[，﹣]上单调递增，从而当=时，f （）取得最小值m=f （）=，当=﹣时，f （）取得最大值M=f （﹣）=﹣3﹣3﹣=﹣23﹣． （ii ）当，即时，令f ′（）=32﹣2+1=0解得：，注意到＜2＜1＜0，∴m=min{f （），f （1）}，M=ma{f （﹣），f （2）}，∵，∴f（）的最小值m=f（）=，∵，∴f（）的最大值M=f（﹣）=﹣23﹣．综上所述，当＜0时，f（）的最小值m=f（）=，最大值M=f（﹣）=﹣23﹣解法2：（2）当＜0时，对∀∈[，﹣]，都有f（）﹣f（）=3﹣2+﹣3+3﹣=（2+1）（﹣）≥0，故f（）≥f（）．f（）﹣f（﹣）=3﹣2++3+3+=（+）（2﹣2+22+1）=（+）[（﹣）2+2+1]≤0，故f（）≤f（﹣），而f（）=＜0，f（﹣）=﹣23﹣＞0．=f（）=．所以，f（）【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键．。
2013年广东高考试卷文科数学试题及答案(word)版
图 2俯视图侧视图正视图2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T =A ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}- 2．函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞3．若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．255．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是A ．1B ．2C ．4D ．76．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 A ．16 B ．13 C ．23D ．1 7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是图 1A ．20x y +-=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．20x y ++=8．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是 A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 10．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= 12．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a = ．13．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ，则z x y =+的最大值是．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程图 3ECBDA为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD 中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分） 已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．18．（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中2BC =．(1) 证明：DE //平面BCF ；(2) 证明：CF ⊥平面ABF ； (3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -．19．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．(1)证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<． 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c>到直线:20l x y --=的距离为．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．21．（本小题满分14分）设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈．(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ．2013年广东高考文科数学A 卷参考答案二、填空题11. 15 12. 12 13.5 14. 1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学文科试题含答案(纯word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔讲试卷类型（A）填涂在答题卡相应的位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并交回。
参考公式：球的体积，其中R为球的半径.锥体的体积公式为，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合，，则＝（）A．{0} B.{0，2} C.{－2，0} D.{－2，0，Array 2}2、函数的定义域是（）A．（－1，+∞） B.，+∞）C. D.3、若，x，R，则复数的模是（）A．2 B.3 C.4 D.54、已知，则（）A． B. C. D.5、执行如图1所示的程序框图，若输入的值为3，则输出s的值为A．1 B.2 C.4 D.76、某三棱锥的三视图如图2所示，则该棱锥的体积是（）A． B. C. D. 17、垂直于直线且与圆相切于第Ⅰ象限的直线方程是（）A． B.C. D.8、设l是直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若l ∥,l ∥，则∥ B.若，，则∥ C.若，l ∥，则∥ D.若，l ∥，则9、已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为，离心率等于，则C 的方程是（ ） A ． B. C. D.10、设是已知的平面向量，且。
2013年高考文科数学广东卷有答案
数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|20,}S x x x x =+=∈R ,2{|20,}T x x x x =-=∈R ,则ST =( ) A .{0}B .{0,2}C .{2,0}-D .{2,0,2}-2.函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是( ) A .(1,)-+∞B .[1,)-+∞C .(1,1)(1,)-+∞D .[1,1)(1,)-+∞3.若i(+i)=3+4i x y ,,x y ∈R ,则复数+i x y 的模是( )A .2B .3C .4D .5 4.已知5π1sin()25α+=,那么cos α=( ) A .25-B .15-C .15D .255.执行如图1所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是( ) A .1 B .2C .4D .76.某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是( ) A .16B .13C .23D .17.垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是( )A.0x y +- B .10x y ++= C .10x y +-=D.0x y +=8.设l 为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A .若l α∥,l β∥,则αβ∥B .若l α⊥,l β⊥,则αβ∥C .若l α⊥,l β∥,则αβ∥D .若αβ⊥,l α∥,则l β⊥9.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于12,则C 的方程是 ( )姓名________________ 准考证号_____________------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）A .22134x y +=B.2214x = C .22142x y +=D .22143x y += 10.设a 是已知的平面向量且0≠a ,关于向量a 的分解,有如下四个命题： ①给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ；②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c ,使λμ=+a b c ；上述命题中的向量b ,c 和a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 ( ) A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11-13题)11.设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则1234||||a a a a +++= . 12.若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a = .13.已知变量x ,y 满足约束条件30111,x y x y -+⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤≤，≥则z x y =+的最大值是 .(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为 . 15.（几何证明选讲选做题）如图3,在矩形ABCD 中,AB =,3BC =,BE AC ⊥,垂足为E ,则ED = .三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数π())12f x x =-,x ∈R . （Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）若3cos 5θ=,3π(,2π)2θ∈,求π()6f θ-. 17.（本小题满分13分）（Ⅰ）根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个；（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.18.（本小题满分13分）如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,D ,E 分别是AB ,AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF △沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A B C F -,其中BC =（Ⅰ）证明：DE ∥平面BCF ； （Ⅱ）证明：CF ⊥平面ABF ；（Ⅲ）当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.19.（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441n n S a n +=--,*n ∈N ,且2a,5a ,14a 构成等比数列.（Ⅰ）证明：2a = （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++<.20.（本小题满分14分）数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点(0,)(0)F c c >到直线l ：20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过P 点作抛物线C 的两条切线PA ,PB ,其中A ,B 为切点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程；（Ⅲ）当点P 在直线l 上移动时,求||||AF BF 的最小值.21.（本小题满分14分）设函数32()()f x x kx x k =-+∈R . （Ⅰ）当1k =时,求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当k ＜0时,求函数()f x 在[,]k k -上的最小值m 和最大值M .数学试卷 第7页（共14页）数学试卷 第8页（共14页）2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(文科)答案解析一、选择题 1.【答案】A【解析】由题意知{0,2}S =-，{0,2}T =，故{0}ST =，故选A ．【提示】先求一元二次方程的根，再用列举法求交集元素． 【考点】集合的交集运算． 2.【答案】C【解析】由题意知1010x x +>⎧⎨-≠⎩，解得1x >-且1x ≠，所以定义域为(1,1)(1,)-+∞【提示】从函数有意义的角度分析求解定义域，再由各个集合的交集得出定义域． 【考点】函数的定义域和集合的交集运算． 3.【答案】D【解析】因为i(i)34i x y +=+，所以i 34i x y-=+，根据两个复数相等的条件得：3y -=即3y =-，4x =，所以x yi +43i =-，i x y +的模5=；6.【答案】B【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为2， 所以该三棱锥的体积111112323V ==；【提示】由三视图还原出直观图，根据“长对正、高对齐、宽相等”寻找出三棱锥的相关数据，代入棱锥的体积公式进行计算． 【考点】平面图形的三视图的和棱锥的体积．7.【答案】A【解析】设所求直线为l ，因为l 垂直直线1y x =+，故l 的斜率为1-，设直线l 的方程为y x b =-+，化为一般式为0x y b +-=；因为l 与圆相切221x y +=相切，所以圆心(0,0)到直线l 的距离1=，所以b =0b >，【解析】若α与β相交，且l 平行于交线，则也符合A ，显然A 错；若l l αβ⊥，∥，则αβ⊥，故C 错；l αβα⊥，∥，若l 平行交线，则l β∥，故D 错；【提示】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系． 【考点】空间中直线、平面之间的位置关系．9.【答案】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系． 【解析】由焦点可知(1,0F ）可知椭圆焦点在x 轴上，由题意知1c =，12c a =，所以2a b ===，22143x y +=； 【提示】给定椭圆的离心率和焦点，求出各参数从而确定其标准方程． 【考点】椭圆的标准方程和椭圆的几何性质． 10.【答案】C【解析】对于①，若向量a ，b 确定，因为a b -是确定的，故总存在向量c ，满足c a b =-，数学试卷 第9页（共14页） 数学试卷 第10页（共14页）即a b c =+，故正确．对于②，因为c 和b 不共线，由平面向量基本定理可知，总存在唯一的一对实数λ，μ，满足a b c λμ=+，故正确；对于③，如果a b c λμ=+，则以||a ，||b λ，||c μ为三边长可以构成一个三角形，如果单位向量b 和正数μ确定，则一定存在单位向量c 和实数λ，使a b c λμ=+，故正确；对于④，如果给定的正数和不能满足“以||a ，||b λ，||c μ为三边长可以构成一个三角形”，这时单位向量b 和c 就不存在，故错误．因此选C【提示】给定某些向量，利用平行四边形或三角形法则及平面向量基本定理来进行判断． 【考点】平面向量基本定理． 二、填空题 11.【答案】15【解析】由题意知11a =，22a =-，34a =，48a =-，所以；1234a a a a +++【解析】因为2ln y ax x =-，所以2y ax x'=-，因为曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，所以1210x y a ='=-=，所以12a =；【提示】给定曲线上某点切线在坐标轴上的位置关系，利用该点导数的几何意义求解原方程，从而求出待定系数．【考点】曲线的切线与导数的联系，导数的几何意义． 13.【答案】5【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为(1,1)-，(1,2)-，(1,1)，(1,4)代入可知z 的最大值为145z =+=；【提示】画出线性约束条件表示的平面区域，用图解法求最值． 【考点】线性规划问题的最值求解．14.【答案】，（为参数）【解析】因为曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=；所以2cos 2cos 1cos2x ρθθθ===+①，sin 2sin cos sin 2y ρθθθθ===②； ①可变形得：cos21x θ=-③，②可变形得：sin 2y θ=；由2222(1)1x y -+=【解析】因为在矩形ABCD 中，AB =3BC =，BE AC ⊥，所以30BCA ∠=︒，所以cos30CE CB =︒=CDE △中，因为60ECD ∠=︒，由余弦定理得： 2222021212cos60224DE CE CD CE CD =+-=+-=⎝⎭，所以CD =； ππππππcos cos sin sin 6612333f θθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫-=--=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭314525210⨯-⨯=⎭； 【提示】给定余弦函数表达式，利用同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式等λμcos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩α数学试卷 第11页（共14页） 数学试卷 第12页（共14页）（2）若采用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，则重量在[80,85)的个数541515=⨯=+； （3）设在[80,85)中抽取的一个苹果为x ，在[95,100)中抽取的三个苹果分别为a b c ，，，从抽出的4个苹果中，任取2个共有(,)x a ，(,)x b ，(,)x c ，(,)a b，(,)a c ，(,)b c 6种情况，其中符合“重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”的情况共有(,)x a ，(,)x b ，(,)x c种；设“抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”为事件A ，则事件A 的概率31()P A ==；（2）证明：在图4中，因为因为ABC 是等边三角形，且F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥；在图5中，因为在BFC △中，122BF FC BC ===，，所以222BF FC BC +=，BF CF ⊥，又因为AF CF ⊥，所以CF ABF ⊥平面（3）因为AF CF AF BF ⊥⊥，，所以AF ⊥平面BCF ，又因为平面DGE ∥平面BCF ，所以AF ⊥平面DGE；所以11111113333232336324F D EGDGE V S FG DG GE FG -====△； 【提示】通过折叠问题来分析折叠前后变化的元素和不变化的元素，从而得出线面平行或垂直关系以及三棱锥的体积．【考点】线面平行、线面垂直和面面平行的判定与性质，平面图形的折叠问题和三棱锥（2）当2n ≥时，2211444(41)4(1)1n n n n n a S S a n a n -+⎡⎤=-=------⎣⎦2214n n a a +=--， 所以221(2)n n a a +=+，因为{}n a 各项均为正数，所以12n n a a +=+； 因为2a ，5a ，14a 构成等比数列，所以22145a a a =，即2222(24)(6)a aa +=+，解得23a =，因为2a =，所以11a =，212a a =+，符合12n n a a +=+，所以12n n a a +=+对1n =也符合，所以数列{}n a 是一个以11a =为首项，2d =为公差的等差数列，1(1)221n a n n =+-=-；（3）因为111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪+--+⎝⎭， 所以1223111111111111121323522121n n a a a a a a n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111112133521212121212n n n nn ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅-=-=< ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭； 所以对一切正整数n ，有11112a a a a a a +++<．以抛物线C 的方程为24x y =； （2）因为抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '=，设过00(,)P x y 点的切线l '与抛物线的切点坐标为21,4m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线l '的斜率2104012y m k m x m -==-，解得10m x =或20m x =；不妨设A 点坐标为2111,4m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 点数学试卷 第13页（共14页） 数学试卷 第14页（共14页）坐标为2221,4m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭0，所以12m m ≠；221112441201211()42AB m m k m m x m m -==+=-； 所以直线AB 的方程为210111()42y m x x m -=-，代入整理得：012y x =；（3）A 点坐标为2111,4m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 点坐标为2221,4m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F 点坐标为(0,1)，因为0020x y --=；所以100m x x =，200m x x ==1202m m x +=， 12048m m x =-；因此=22222222221122121111|||11114444AF BF m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222222212121212121211111111()1()[()2]44164164m m m m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=++=+++=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22220000001139(48)[(2)2(48)]1269216422x x x x x x ⎛⎫=-+--+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以当03x =时，||||AF BF 取最小值9；①当0∆≤时，即0k ≤<时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增，此时无最小值和最大值；②当0∆>时，即k <()0f x '=，解得x ==或。
2013年广东文科数学高考试题及答案
2013年广东文科高考试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）1．已知集合{}220,S x x x x R =+=∈，{}220,T x x x x R =-=∈，则S T =（ ）A.{0}B.{0,2}C.{-2,0}D. {-2,0,2} 2.函数()lg 11x y x +=-的定义域是（ ） A. ()1,-+∞ B. [)1,-+∞ C.()()1,11,-+∞ D. [)()1,11,-+∞3.若i(x+yi)=3+4i,x,y ∈R,则x+yi 的模是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 54.已知51sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么cos α=（ ） A.25- B. 15- C.15 D. 255.执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是（ ） A. 1 B. 2 C.4 D.76.某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是（ ）A. 16B. 13C. 23D. 17.垂直于直线y=x+1且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是( )A. 0x y +=B. 10x y ++=C. 10x y +-=D. 0x y +图2俯视图左视图主视图8.设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若//,//l l αβ，则//αβ，则//αβB. 若,l l αβ⊥⊥，则//αβC. 若,//l l αβ⊥，则//αβD. 若,//l αβα⊥，则l β⊥9.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1，0)，离心率等于12，则C 的方程是（ ）A.22134x y +=B. 2214x += C. 22142x y += D. 22143x y += 10.设a 是已知的平面向量且a ≠0。
关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使a =b +c ； ②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a =λb +μc ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a =λb +μc ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a =λb +μc 。
2013年广东高考文数试题答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）参考答案数学（文科）佛山市南海区南海中学：胡文华一、选择题二、填空题11. 15 12.2113. 5 14. )(sin y cos 1x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧=+=； 15. 221 三、解答题16、（本小题满分12分） 已知函数R x x x f ∈-=),12cos(2)(π(1)求)3(πf 的值；（2）若)2,23(,53cos ππθθ∈=，求)6(πθ-f 解：（1）14cos2123cos(2)3(==-=ππππf ；（2）)2,23(,53cos ππθθ∈= ， 54)53(1s i n 2-=--=∴θ )4cos(2126cos(2)6(πθππθπθ-=--=-f514sin sin 4cos (cos 2-=⋅+⋅=πθπθ17、（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（1） 根据频数分布表计算苹果的重量在【90，95）的频数；（2） 用分层抽样的方式从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个； （3） 在（2）中抽取4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率。
解：（1）苹果重量在[90,95)的频率为：4.05020=; （2）12054=⨯（3）2112413=⨯C C 答：略。
18、（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，AD=AE ， F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABC ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A-BCF 其中22=BC （1）证明：BCF DE 平面||; (2) 证明：ABF CF 平面⊥; (3) 当32=AD 时，求三棱锥F-DEG 的体积V 。
（1）证明：AE AD AC AB ==, BC DE ||4易知：在图∴则在三棱锥BCF A -中有：BF DG ,|| ⊄DG 平面BCF ,⊂BF 平面BCF ||DG ∴平面BCF ,同理可证||EG 平面BCF⊂∴DG 平面DGE ,⊂EG 平面DGE G EG DG =∴平面||DEG 平面BCF又,⊂DE 平面DGE∴||DE 平面BCF（2）证明 F 为BC 边上的中点，则CF AF BF,AF ⊥⊥又 21CF F ,22===B BC ,222CF F +=B BC ,则2CFB π=∠,即BF CF ⊥,BF AF F = ⊂BF AF 、平面ABF A B F CF 平面⊥∴(3) 解：233sin1=⨯=πAF ，由（1）知：FC EG BF DG ||,||, ,32===∴AF AG AB AD BF DG 得33,31==AG DG ，同理可得31E =G 63=-=AG AF GF A B F ,||平面⊥FC FC EG ,则ABF 平面⊥GE , A B F 平面⊂DG ,则DG GE ⊥,18121=⨯=∆DG GE S DGE CF AF BF,AF ⊥⊥,FC EG BF DG ||,||E G G FG ,D FG ⊥⊥∴⊂=E G G E G G D ,G D 、 平面DGEGE D FG 平面⊥∴3243631813131=⨯⨯=⨯⨯=∆-FG S V DGE DGE F . 19、（本小题满分14分）设各项均为正数的数列}{n a 的前n 项和为n S ,满足*21,144N n n a S n n ∈--=+,且1452,,a a a 构成等比数列。
2013年广东省高考数学试卷(文科)
2013年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S={x|x2+2x=0，x∈R}，T={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}2．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）3．（5分）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2 B．3 C．4 D．54．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A． B． C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．76．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．17．（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A．B．C．D．10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设数列{an}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a 1+|a2|+a3+|a4|= ．12．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a= ．13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为．15．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED= ．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积VF﹣DEG．19．（14分）设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn，满足4Sn=an+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a2=；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（14分）设函数f（x）=x3﹣kx2+x（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当k＜0时，求函数f（x）在[k，﹣k]上的最小值m和最大值M．2013年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S={x|x2+2x=0，x∈R}，T={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}【分析】根据题意，分析可得，S、T分别表示二次方程的解集，化简S、T，进而求其交集可得答案．【解答】解：分析可得，S为方程x2+2x=0的解集，则S={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，T为方程x2﹣2x=0的解集，则T={x|x2﹣2x=0}={0，2}，故集合S∩T={0}，故选：A．【点评】本题考查集合的交集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的交集．2．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【分析】依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0，进而可求得x的范围．【解答】解：要使函数有意义需，解得x＞﹣1且x≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：C．【点评】本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．3．（5分）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x=4，y=﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|=|4﹣3i|==5．【解答】解：∵i（x+yi）=xi﹣y=3+4i，x，y∈R，∴x=4，﹣y=3，即x=4，y=﹣3．∴|x+yi|=|4﹣3i|==5．故选：D．【点评】熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A． B． C．D．【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．【解答】解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选：C．【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．7【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．1【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB ⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴．因此V===．故选：B．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．【分析】设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=x+1，设l方程为y=﹣x+b，即x+y+b=0．根据直线l与圆x2+y2=1相切，得圆心0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．【解答】解：设所求的直线为l，∵直线l垂直于直线y=x+1，可得直线l的斜率为k=﹣1∴设直线l方程为y=﹣x+b，即x+y﹣b=0∵直线l与圆x2+y2=1相切，∴圆心到直线的距离d=，解之得b=±当b=﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣），切点在第三象限；当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；∵直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限，∴b=﹣不符合题意，可得b=，直线方程为x+y﹣=0故选：A．【点评】本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l 的方程．着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C 错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A．B．C．D．【分析】由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来．【解答】解：选项①，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故①正确；选项②，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；选项③，取=（4，4），μ=2，=（1，0），无论λ取何值，向量λ都平行于x轴，而向量μ的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故③错误；选项④，因为λ和μ为正数，所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使成立，故④错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题．二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设数列{an }是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|=15 ．【分析】根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a1+|a2|+a3+|a4|的值．【解答】解：∵数列{an }是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴an=a1•q n﹣1=（﹣2）n﹣1，∴a1=1，a2=﹣2，a3=4，a4=﹣8，∴则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15，故答案为15．【点评】本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题．12．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a= ．【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k 的值．【解答】解：由题意得，∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1=0，得a=，故答案为：．【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是 5 ．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得A（1，4）目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，=1+4=5．由图数形结合可得当动直线过点A（1，4）时，z最大故答案为：5．【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为（θ为参数）．【分析】首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后化直角坐标方程为参数方程．【解答】解：由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2﹣2x=0．化圆的方程为标准式，得（x﹣1）2+y2=1．令，得．所以曲线C的参数方程为．故答案为．【点评】本题考查了圆的参数方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，解答此题的关键是熟记互化公式，是中档题．15．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED= ．【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．【分析】（1）把x=直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值，然后将x=θ﹣代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．【解答】解：（1）（2）∵，，∴．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合．17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．【分析】（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．【解答】解：（1）苹果的重量在[90，95）的频率为．（2）重量在[80，85）的有个．（3）设这4个苹果中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1．重量在[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种．设任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以．【点评】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积V．F﹣DEG【分析】（1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF．（2）由条件证得AF⊥CF ①，且．在三棱锥A﹣BCF中，由，可得BC2=BF2+CF2，从而 CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由，运算求得结果．【解答】解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，∴DE∥BC．又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF．（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且．∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②．又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．∴=．【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．19．（14分）设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn，满足4Sn=an+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a2=；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．【分析】（1）对于，令n=1即可证明；（2）利用，且，（n≥2），两式相减即可求出通项公式．（3）由（2）可得=．利用“裂项求和”即可证明．【解答】解：（1）当n=1时，，∵（2）当n≥2时，满足，且，∴，∴，∵an ＞0，∴an+1=an+2，∴当n≥2时，{an}是公差d=2的等差数列．∵a2，a5，a14构成等比数列，∴，，解得a2=3，由（1）可知，，∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2，∴{an }是首项a1=1，公差d=2的等差数列．∴数列{an }的通项公式an=2n﹣1．（3）由（2）可得式=．∴【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n项和的关系an =Sn﹣Sn﹣1（n≥2）是解题的关键．20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．【分析】（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；（2）先设，，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x1+x2=2x，x1x2=4y，x=y+2，将它表示成关于y的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．【解答】解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y．（2）设，，由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，，所以PA：①PB：②联立①②可得点P的坐标为，即，，又因为切线PA的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x﹣y﹣2=0，即y=x﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x，x1x2=4y，x=y+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．【点评】本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．21．（14分）设函数f（x）=x3﹣kx2+x（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当k＜0时，求函数f（x）在[k，﹣k]上的最小值m和最大值M．【分析】（1）当k=1时，求出f′（x）=3x2﹣2x+1，判断△即可得到单调区间；（2）解法一：当k＜0时，f′（x）=3x2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）．分△≤0和△＞0即可得出其单调性，进而得到其最值．解法二：利用“作差法”比较：当k＜0时，对∀x∈[k，﹣k]，f（x）﹣f（k）及f（x）﹣f（﹣k）．【解答】解：f′（x）=3x2﹣2kx+1（1）当k=1时f′（x）=3x2﹣2x+1，∵△=4﹣12=﹣8＜0，∴f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增．（2）当k＜0时，f′（x）=3x2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）（i）当，即时，f′（x）≥0，f（x）在[k，﹣k]上单调递增，从而当x=k时，f（x）取得最小值m=f（k）=k，当x=﹣k时，f（x）取得最大值M=f（﹣k）=﹣k3﹣k3﹣k=﹣2k3﹣k．（ii）当，即时，令f′（x）=3x2﹣2kx+1=0解得：，注意到k＜x2＜x1＜0，∴m=min{f（k），f（x1）}，M=max{f（﹣k），f（x2）}，∵，∴f（x）的最小值m=f（k）=k，∵，∴f（x）的最大值M=f（﹣k）=﹣2k3﹣k．综上所述，当k＜0时，f（x）的最小值m=f（k）=k，最大值M=f（﹣k）=﹣2k3﹣k解法2：（2）当k＜0时，对∀x∈[k，﹣k]，都有f（x）﹣f（k）=x3﹣kx2+x﹣k3+k3﹣k=（x2+1）（x﹣k）≥0，故f（x）≥f（k）．f（x）﹣f（﹣k）=x3﹣kx2+x+k3+k3+k=（x+k）（x2﹣2kx+2k2+1）=（x+k）[（x﹣k）2+k2+1]≤0，故f（x）≤f（﹣k），而 f（k）=k＜0，f（﹣k）=﹣2k3﹣k＞0．所以，f（x）=f（k）=k．min【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键．。
经典2013广东文科高考试卷(含详细解析)
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(广东卷) 本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式V＝13Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013广东，文1)设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T ＝()．A．{0} B．{0,2}C．{－2,0} D．{－2,0,2}答案：A解析：∵S＝{－2,0}，T＝{0,2}，∴S∩T＝{0}．2．(2013广东，文2)函数lg11xyx(+)=-的定义域是()．A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞) 答案：C解析：要使函数有意义，则10,10, xx+>⎧⎨-≠⎩解得x＞－1且x≠1，故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．3．(2013广东，文3)若i(x＋y i)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋y i的模是()．A．2 B．3 C．4 D．5答案：D解析：∵i(x＋y i)＝－y＋x i＝3＋4i，∴4,3. xy=⎧⎨=-⎩∴x＋y i＝4－3i.∴|x＋y i| 5.4．(2013广东，文4)已知5π1sin25α⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么cos α＝()．A．25-B．15-C．15D．25答案：C解析：∵5ππsin sin2π22αα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝πsin 2α⎛⎫+⎪⎝⎭＝cos α＝15，∴cos α＝15.5．(2013广东，文5)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是( )．A ．1B ．2C ．4D ．7 答案：C解析：i ＝1，s ＝1，i ≤3，s ＝1＋0＝1，i ＝2； i ≤3，s ＝1＋1＝2，i ＝3； i ≤3，s ＝2＋2＝4，i ＝4； i ＞3，s ＝4.6．(2013广东，文6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )．A ．16 B ．13 C ．23D ．1 答案：B解析：由俯视图知底面为直角三角形，又由正视图及侧视图知底面两直角边长都是1，且三棱锥的高为2，故V 三棱锥＝13×12×1×1×2＝13. 7．(2013广东，文7)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第Ⅰ象限的直线方程是( )．A ．x ＋y 0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y 0 答案：A解析：由于所求切线垂直于直线y ＝x ＋1，可设所求切线方程为x ＋y ＋m ＝0.由圆心到切1=，解得m=.又由于与圆相切于第Ⅰ象限，则m=.8．(2013广东，文8)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()．A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案：B解析：如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，对于A，设l为AA1，平面B1BCC1，平面DCC1D1为α，β.A1A∥平面B1BCC1，A1A∥平面DCC1D1，而平面B1BCC1∩平面DCC1D1＝C1C；对于C，设l为A1A，平面ABCD为α，平面DCC1D1为β.A1A⊥平面ABCD，A1A∥平面DCC1D1，而平面ABCD∩平面DCC1D1＝DC；对于D，设平面A1ABB1为α，平面ABCD为β，直线D1C1为l，平面A1ABB1⊥平面ABCD，D1C1∥平面A1ABB1，而D1C1∥平面ABCD．故A，C，D都是错误的．而对于B，根据垂直于同一直线的两平面平行，知B正确．9．(2013广东，文9)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是()．A．22134x y+=B．2214x=C．22142x y+=D．22143x y+=答案：D解析：由中心在原点的椭圆C的右焦点F(1,0)知，c＝1.又离心率等于12，则12ca=，得a＝2.由b2＝a2－c2＝3，故椭圆C的方程为221 43x y+=.10．(2013广东，文10)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B解析：对于①，由向量加法的三角形法则知正确；对于②，由平面向量基本定理知正确；对于③，以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，故③不正确；对于④，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必须|λb |＋|μc |＝λ＋μ≥|a |，故④不正确．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． (一)必做题(11～13题)11．(2013广东，文11)设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝__________.答案：15解析：由数列{a n }首项为1，公比q ＝－2，则a n ＝(－2)n －1，a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝4，a 4＝－8，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋2＋4＋8＝15.12．(2013广东，文12)若曲线y ＝ax 2－ln x 在(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝__________.答案：12解析：由曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴得切线的斜率为0，由y ′＝2ax －1x及导数的几何意义得y ′|x ＝1＝2a －1＝0，解得a ＝12. 13．(2013广东，文13)已知变量x ，y 满足约束条件30,11,1,x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩则z ＝x ＋y 的最大值是__________．答案：5解析：由线性约束条件画出可行域如下图，平移直线l 0，当l 过点A (1,4)，即当x ＝1，y ＝4时，z max ＝5.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题) 14．(2013广东，文14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为__________．答案：1cos ,sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数)解析：由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θ知以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系知曲线C 是以(1,0)为圆心，半径为1的圆，其方程为(x －1)2＋y 2＝1，故参数方程为1cos ,sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数)．15．(2013广东，文15)(几何证明选讲选做题)如图，在矩形ABCD 中，AB BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED ＝__________.答案：2解析：在Rt △ABC 中，AB BC ＝3，tan ∠BAC ＝BCAB=则∠BAC ＝60°，AE ＝12AB 在△AED 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3，ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD cos ∠EAD＝2⎝⎭＋32－2×3×cos 30°＝34＋9－23 ＝214.∴ED ＝2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(2013广东，文16)(本小题满分12分)已知函数π()12f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)若cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭，求π6f θ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解：(1)ππππ133124f ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)∵cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭，sin θ＝45 =-，∴ππ64fθθ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1 cos cos sin sin445θθ⎫+=-⎪⎭.17．(2013广东，文17)(本小题满分12分)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．解：(1)苹果的重量在[90,95)的频率为2050＝0.4；(2)重量在[80,85)的有4×5515+＝1个；(3)设这4个苹果中[80,85)分段的为1，[95,100)分段的为2,3,4，从中任取两个，可能的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．任取2个，重量在[80,85)和[95,100)中各有1个记为事件A，则事件A包含有(1,2)，(1,3)，(1,4)，共3种，所以P(A)＝31 62 =.18．(2013广东，文18)(本小题满分14分)如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC.图(1)图(2)(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积V F －DEG . (1)证明：在等边三角形ABC 中， ∵AD ＝AE ，∴AD AEDB EC=. 又AD AEDB EC=，在折叠后的三棱锥A －BCF 中也成立， ∴DE ∥BC ．∵DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴DE ∥平面BCF .(2)证明：在等边三角形ABC 中，∵F 是BC 的中点，BC ＝1，∴AF ⊥CF ，BF ＝CF ＝12. ∵在三棱锥A －BCF 中，BC＝2， ∴BC 2＝BF 2＋CF 2.∴CF ⊥BF . ∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF .(3)解：由(1)可知GE ∥CF ，结合(2)可得GE ⊥平面DFG . ∴V F －DEG ＝V E －DFG ＝13×12·DG ·FG ·GE＝1111132333⎛⨯⨯⨯⨯= ⎝⎭19．(2013广东，文19)(本小题满分14分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a n ＋12－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：2a =(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< . (1)证明：当n ＝1时，4a＝a 22－5，∴a 22＝4a 1＋5. ∵a n ＞0，∴2a =(2)解：当n ≥2时，4S n －1＝a n 2－4(n －1)－1，①4S n ＝a n ＋12－4n －1，②由②－①，得4a n ＝4S n －4S n －1＝a n ＋12－a n 2－4， ∴a n ＋12＝a n 2＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴当n ≥2时，{a n }是公差d ＝2的等差数列． ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列， ∴a 52＝a 2·a 14，(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3.由(1)可知，4a 1＝a 22－5＝4，∴a 1＝1. ∵a 2－a 1＝3－1＝2，∴{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(3)证明：12231111n n a a a a a a ++++ ＝11111335572121n n ++++⨯⨯⨯(-)⋅(+)＝1111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝11112212n ⎛⎫⨯-< ⎪+⎝⎭. 20．(2013广东，文20)(本小题满分14分)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为2.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．解：(1)依题意d ==c ＝1(负根舍去)． ∴抛物线C 的方程为x ＝4y .(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由x 2＝4y ，即y ＝14x 2，得y ′＝12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线P A 的方程为y －y 1＝12x (x －x 1)， 即y ＝12x x ＋y 1－12x 12. ∵y 1＝14x 12，∴y ＝12x x －y 1.∵点P (x 0，y 0)在切线P A 上，∴y 0＝12x x 0－y 1.① 同理，y 0＝22xx 0－y 2.②综合①，②得，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标都满足方程y 0＝2xx 0－y . ∵经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y 0＝2xx 0－y ，即x 0x －2y －2y 0＝0. (3)由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， ∴|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1) ＝y 1＋y 2＋y 1y 2＋1.联立2004,220,x y x x y y ⎧=⎨--=⎩消去x 得y 2＋(2y 0－x 02)y ＋y 02＝0， ∴y 1＋y 2＝x 02－2y 0，y 1y 2＝y 02.∵点P (x 0，y 0)在直线l 上，∴x 0－y 0－2＝0. ∴|AF |·|BF |＝x 02－2y 0＋y 02＋1 ＝y 02－2y 0＋(y 0＋2)2＋1＝2y 02＋2y 0＋5＝2019222y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.∴当y 0＝12-时，|AF |·|BF |取得最小值为92.21．(2013广东，文21)(本小题满分14分)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ＜0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M . 解：f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1， (1)当k ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，Δ＝4－12＝－8＜0， ∴f ′(x )＞0，即f (x )的单调递增区间为R .(2)(方法一)当k ＜0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其开口向上，对称轴3kx =，且过(0,1)．①当Δ＝4k 2－12＝4(k k ≤0，即k ＜0时，f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增． 从而当x ＝k 时，f (x )取得最小值m ＝f (k )＝k ；当x ＝－k 时，f (x )取得最大值M ＝f (－k )＝－k 3－k 3－k ＝－2k 3－k .②当Δ＝4k 2－12＝4(k k ＞0，即k ＜ 令f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1＝0，解得：1x =2x =，注意到k ＜x 2＜x 1＜0.(注：可用韦达定理判断x 1·x 2＝13，x 1＋x 2＝23k＞k ，从而k ＜x 2＜x 1＜0；或者由对称结合图象判断)∴m ＝min{f (k )，f (x 1)}，M ＝max{f (－k )，f (x 2)}．∵f (x 1)－f (k )＝x 13－kx 12＋x 1－k ＝(x 1－k )(x 12＋1)＞0， ∴f (x )的最小值m ＝f (k )＝k .∵f (x 2)－f (－k )＝x 23－kx 22＋x 2－(－k 3－k ·k 2－k )＝(x 2＋k )[(x 2－k )2＋k 2＋1]＜0， ∴f (x )的最大值M ＝f (－k )＝－2k 3－k .综上所述，当k ＜0时，f (x )的最小值m ＝f (k )＝k ，最大值M ＝f (－k )＝－2k 3－k . (方法2)当k ＜0时，对∀x ∈[k ，－k ]，都有f (x )－f (k )＝x 3－kx 2＋x －k 3＋k 3－k ＝(x 2＋1)(x －k )≥0，故f (x )≥f (k )．f (x )－f (－k )＝x 3－kx 2＋x ＋k 3＋k 3＋k ＝(x ＋k )(x 2－2kx ＋2k 2＋1)＝(x ＋k )[(x －k )2＋k 2＋1]≤0.故f (x )≤f (－k )．∵f (k )＝k ＜0，f (－k )＝－2k 3－k ＞0， ∴f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k ，f (x )min ＝f (k )＝k .。
2013年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析
2013年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•广东）设集合S={x|x2+2x=0，x∈R}，T={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据题意，分析可得，S、T分别表示二次方程的解集，化简S、T，进而求其交集可得答案．解答：解：分析可得，S为方程x2+2x=0的解集，则S={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，T为方程x2﹣2x=0的解集，则T={x|x2﹣2x=0}={0，2}，故集合S∩T={0}，故选A．点评：本题考查集合的交集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的交集．2．（5分）（2013•广东）函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，D．[﹣1，1）∪（1，+∞）+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0，进而可求得x的范围．解答：解：要使函数有意义需，解得x＞﹣1且x≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选C．点评：本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．3．（5分）（2013•广东）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2B．3C．4D．5考点：复数求模；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x=4，y=﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|=|4﹣3i|==5．解答：解：∵i（x+yi）=xi﹣y=3+4i，x，y∈R，∴x=4，﹣y=3，即x=4，y=﹣3．∴|x+yi|=|4﹣3i|==5．故选D．点评：熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）（2013•广东）已知，那么cosα=（）A．B．C．D．考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．解答：解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选C．点评：此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．5．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1B．2C．4D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．解答：解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选C．点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．（5分）（2013•广东）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．1考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴．因此V===．故选B．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．（5分）（2013•广东）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．考点：圆的切线方程；直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=x+1，设l方程为y=﹣x+b，即x+y+b=0．根据直线l与圆x2+y2=1相切，得圆心0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．解答：解：设所求的直线为l，∵直线l垂直于直线y=x+1，可得直线l的斜率为k=﹣1∴设直线l方程为y=﹣x+b，即x+y﹣b=0∵直线l与圆x2+y2=1相切，∴圆心到直线的距离d=，解之得b=±当b=﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣），切点在第三象限；当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；∵直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限，∴b=﹣不符合题意，可得b=，直线方程为x+y﹣=0故选：A点评：本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l的方程．着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．8．（5分）（2013•广东）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．解答：解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选B点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．9．（5分）（2013•广东）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．解答：解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选D．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．10．（5分）（2013•广东）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：命题的真假判断与应用；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来．解答：解：选项①，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故①正确；选项②，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；选项③，取=（4，4），μ=2，=（1，0），无论λ取何值，向量λ都平行于x轴，而向量μ的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故③错误；选项④，因为λ和μ为正数，所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使成立，故④错误．故选B点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题．二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）（2013•广东）设数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|= 15．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a1+|a2|+a3+|a4|的值．解答：解：∵数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴a n=a1•q n﹣1=（﹣2）n﹣1，∴a1=1，a2=﹣2，a3=4，a4=﹣8，∴则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15，故答案为15．点评：本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题．12．（5分）（2013•广东）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．解答：解：由题意得，∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1=0，得a=，故答案为：．点评：本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．13．（5分）（2013•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是5．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．解答：解：画出可行域如图阴影部分，由得A（1，4）目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点A（1，4）时，z最大=1+4=5．故答案为：5．点评：本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为（θ为参数）．考点：圆的参数方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后化直角坐标方程为参数方程．解答：解：由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2﹣2x=0．化圆的方程为标准式，得（x﹣1）2+y2=1．令，得．所以曲线C的参数方程为．故答案为．点评：本题考查了圆的参数方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，解答此题的关键是熟记互化公式，是中档题．15．（2013•广东）（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．解答：解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）（2013•广东）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析：（1）把x=直接代入函数解析式求解． （2）先由同角三角函数的基本关系求出sin θ的值，然后将x=θ﹣代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果． 解答：解：（1）（2）∵，，∴．点评： 本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合． 17．（13分）（2013•广东）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100） 频数（个） 5 10 20 15 （1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．考点： 古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法． 专题： 概率与统计． 分析：（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求． （2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数． （3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．解答：解：（1）苹果的重量在[90，95）的频率为．（2）重量在[80，85）的有个．（3）设这4个苹果中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1．重量在[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种．设任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以．点评：本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．18．（13分）（2013•广东）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积V F﹣DEG．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得，在折叠后的三棱锥A﹣BCF 中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF．（2）由条件证得AF⊥CF ①，且．在三棱锥A﹣BCF中，由，可得BC2=BF2+CF2，从而CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由，运算求得结果．解答：解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，∴DE∥BC．又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF．（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且．∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②．又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．∴=．点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．19．（14分）（2013•广东）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12﹣4n ﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．考点：数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）对于，令n=1即可证明；（2）利用，且，（n≥2），两式相减即可求出通项公式．（3）由（2）可得=．利用“裂项求和”即可证明．解答：解：（1）当n=1时，，∵（2）当n≥2时，满足，且，∴，∴，∵a n＞0，∴a n+1=a n+2，∴当n≥2时，{a n}是公差d=2的等差数列．∵a2，a5，a14构成等比数列，∴，，解得a2=3，由（1）可知，，∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2，∴{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列．∴数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1．（3）由（2）可得式=．∴点评：熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n项和的关系a n=S n ﹣S n﹣1（n≥2）是解题的关键．20．（14分）（2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．考点：抛物线的标准方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；（2）先设，，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB 的方程；（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．解答：解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y．（2）设，，由（1）得抛物线C 的方程为，，所以切线PA，PB 的斜率分别为，，所以PA ：①PB ：②联立①②可得点P 的坐标为，即，，又因为切线PA 的斜率为，整理得，直线AB 的斜率，所以直线AB 的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．点评： 本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性． 21．（14分）（2013•广东）设函数f （x ）=x 3﹣kx 2+x （k ∈R ）． （1）当k=1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）当k ＜0时，求函数f （x ）在[k ，﹣k ]上的最小值m 和最大值M ．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：导数的综合应用． 分析：（1）当k=1时，求出f ′（x ）=3x 2﹣2x+1，判断△即可得到单调区间； （2）解法一：当k ＜0时，f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）．分△≤0和△＞0即可得出其单调性，进而得到其最值．解法二：利用“作差法”比较：当k ＜0时，对∀x ∈[k ，﹣k ]，f （x ）﹣f （k ）及f （x ）﹣f （﹣k ）． 解答： 解：f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1 （1）当k=1时f ′（x ）=3x 2﹣2x+1， ∵△=4﹣12=﹣8＜0，∴f ′（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增．（2）当k ＜0时，f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）（i ）当，即时，f ′（x ）≥0，f （x ）在[k ，﹣k ]上单调递增，从而当x=k 时，f （x ）取得最小值m=f （k ）=k ，当x=﹣k 时，f （x ）取得最大值M=f （﹣k ）=﹣k 3﹣k 3﹣k=﹣2k 3﹣k ． （ii ）当，即时，令f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1=0 解得：，注意到k ＜x 2＜x 1＜0，∴m=min{f （k ），f （x 1）}，M=max{f （﹣k ），f （x 2）}， ∵，∴f （x ）的最小值m=f （k ）=k ， ∵，∴f （x ）的最大值M=f （﹣k ）=﹣2k 3﹣k ．综上所述，当k ＜0时，f （x ）的最小值m=f （k ）=k ，最大值M=f （﹣k ）=﹣2k 3﹣k 解法2：（2）当k ＜0时，对∀x ∈[k ，﹣k ]，都有f （x ）﹣f （k ）=x 3﹣kx 2+x ﹣k 3+k 3﹣k=（x 2+1）（x ﹣k ）≥0， 故f （x ）≥f （k ）．f （x ）﹣f （﹣k ）=x 3﹣kx 2+x+k 3+k 3+k=（x+k ）（x 2﹣2kx+2k 2+1）=（x+k ）[（x ﹣k ）2+k 2+1]≤0， 故f （x ）≤f （﹣k ），而 f （k ）=k ＜0，f （﹣k ）=﹣2k 3﹣k ＞0． 所以，f （x ）min =f （k ）=k ．点评： 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键．。
2013年广东省高考数学试卷(文科)
高考注意事项1．进入考场时携带的物品。
考生进入考场，只准携带准考证、二代居民身份证以及2B铅笔、0.5毫米黑色墨水签字笔、直尺、圆规、三角板、无封套橡皮、小刀、空白垫纸板、透明笔袋等文具。
严禁携带手机、无线发射和接收设备、电子存储记忆录放设备、手表、涂改液、修正带、助听器、文具盒和其他非考试用品。
考场内不得自行传递文具等物品。
由于标准化考点使用金属探测仪等辅助考务设备，所以提醒考生应考时尽量不要佩戴金属饰品，以免影响入场时间。
2．准确填写、填涂和核对个人信息。
考生在领到答题卡和试卷后，在规定时间内、规定位置处填写姓名、准考证号。
填写错误责任自负；漏填、错填或字迹不清的答题卡为无效卡；故意错填涉嫌违规的，查实后按照有关规定严肃处理。
监考员贴好条形码后，考生必须核对所贴条形码与自己的姓名、准考证号是否一致，如发现不一致，立即报告监考员要求更正。
3．考场面向考生正前方的墙壁上方悬挂时钟，为考生提供时间参考。
考场时钟的时间指示不作为考试时间信号，考试时间一律以考点统一发出的铃声信号为准。
2013年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2﹣2x=0,x∈R},则S∩T=（）A．{0}B．{0,2}C．{﹣2,0}D．{﹣2,0,2}2．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣1,+∞）B．[﹣1,+∞）C．（﹣1,1）∪（1,+∞）D．[﹣1,1）∪（1,+∞）3．（5分）若i（x+yi）=3+4i,x,y∈R,则复数x+yi的模是（）A．2 B．3 C．4 D．54．（5分）已知sin（+α）=,cosα=（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．76．（5分）某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．17．（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．8．（5分）设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若l∥α,l∥β,则α∥β B．若l⊥α,l⊥β,则α∥βC．若l⊥α,l∥β,则α∥β D．若α⊥β,l∥α,则l⊥β9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1,0）,离心率等于,则C的方程是（）A．B．C．D．10．（5分）设是已知的平面向量且,关于向量的分解,有如下四个命题：①给定向量,总存在向量,使；②给定向量和,总存在实数λ和μ,使；③给定单位向量和正数μ,总存在单位向量和实数λ,使；④给定正数λ和μ,总存在单位向量和单位向量,使；上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共3小题．每小题5分,满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设数列{a n}是首项为1,公比为﹣2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|=．12．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1,a）处的切线平行于x轴,则a=．13．（5分）已知变量x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值是．选做题（14、15题,考生只能从中选做一题）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为．15．（几何证明选讲选做题）如图,在矩形ABCD中,,BC=3,BE⊥AC,垂足为E,则ED=．四、解答题：本大题共6小题,满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）若,求．17．（13分）从一批苹果中,随机抽取50个,其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）[80,85）[85,90）[90,95）[95,100）频数（个）5102015（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80,85）和[95,100）的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85）和[95,100）中各有1个的概率．18．（13分）如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF,其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；．（3）当AD=时,求三棱锥F﹣DEG的体积V F﹣DEG19．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n,满足4S n=a n+12﹣4n﹣1,n ∈N*,且a2,a5,a14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n,有．20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F（0,c）（c＞0）到直线l：x﹣y ﹣2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0,y0）为直线l上的定点时,求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时,求|AF|•|BF|的最小值．21．（14分）设函数f（x）=x3﹣kx2+x（k∈R）．（1）当k=1时,求函数f（x）的单调区间；（2）当k＜0时,求函数f（x）在[k,﹣k]上的最小值m和最大值M．2013年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2﹣2x=0,x∈R},则S∩T=（）A．{0}B．{0,2}C．{﹣2,0}D．{﹣2,0,2}【分析】根据题意,分析可得,S、T分别表示二次方程的解集,化简S、T,进而求其交集可得答案．【解答】解：分析可得,S为方程x2+2x=0的解集,则S={x|x2+2x=0}={0,﹣2},T为方程x2﹣2x=0的解集,则T={x|x2﹣2x=0}={0,2},故集合S∩T={0},故选：A．【点评】本题考查集合的交集运算,首先分析集合的元素,可得集合的意义,再求集合的交集．2．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣1,+∞）B．[﹣1,+∞）C．（﹣1,1）∪（1,+∞）D．[﹣1,1）∪（1,+∞）【分析】依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0,进而可求得x的范围．【解答】解：要使函数有意义需,解得x＞﹣1且x≠1．∴函数的定义域是（﹣1,1）∪（1,+∞）．故选：C．【点评】本题主要考查对数函数的定义域及其求法,熟练解不等式组是基础,属于基础题．3．（5分）若i（x+yi）=3+4i,x,y∈R,则复数x+yi的模是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i,利用复数相等即可得出x=4,y=﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|=|4﹣3i|==5．【解答】解：∵i（x+yi）=xi﹣y=3+4i,x,y∈R,∴x=4,﹣y=3,即x=4,y=﹣3．∴|x+yi|=|4﹣3i|==5．故选：D．【点评】熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）已知sin（+α）=,cosα=（）A．B．C．D．【分析】已知等式中的角变形后,利用诱导公式化简,即可求出cosα的值．【解答】解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选：C．【点评】此题考查了诱导公式的作用,熟练掌握诱导公式是解本题的关键．5．（5分）执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．7【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3,可得：进入循环的条件为i≤3,即i=1,2,3．模拟程序的运行结果,即可得到输出的S值．【解答】解：当i=1时,S=1+1﹣1=1；当i=2时,S=1+2﹣1=2；当i=3时,S=2+3﹣1=4；当i=4时,退出循环,输出S=4；故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的变法,但程序的循环体中变量比较多时,要用表格法对数据进行管理．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．1【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥,其中PA⊥底面ABC,PA=2,AB⊥BC,AB=BC=1．据此即可得到体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥,其中PA⊥底面ABC,PA=2,AB ⊥BC,AB=BC=1．∴．因此V===．故选：B．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．【分析】设所求的直线为l,根据直线l垂直于y=x+1,设l方程为y=﹣x+b,即x+y+b=0．根据直线l与圆x2+y2=1相切,得圆心0到直线l的距离等于1,由点到直线的距离公式建立关于b的方程,解之可得b=±,最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．【解答】解：设所求的直线为l,∵直线l垂直于直线y=x+1,可得直线l的斜率为k=﹣1∴设直线l方程为y=﹣x+b,即x+y﹣b=0∵直线l与圆x2+y2=1相切,∴圆心到直线的距离d=,解之得b=±当b=﹣时,可得切点坐标（﹣,﹣）,切点在第三象限；当b=时,可得切点坐标（,）,切点在第一象限；∵直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限,∴b=﹣不符合题意,可得b=,直线方程为x+y﹣=0故选：A．【点评】本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限,求直线l的方程．着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识,属于基础题．8．（5分）设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若l∥α,l∥β,则α∥β B．若l⊥α,l⊥β,则α∥βC．若l⊥α,l∥β,则α∥β D．若α⊥β,l∥α,则l⊥β【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法,可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征,可判断B；根据线面平行的性质定理,线面垂直及面面垂直的判定定理,可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征,可判断D．【解答】解：若l∥α,l∥β,则平面α,β可能相交,此时交线与l平行,故A错误；若l⊥α,l⊥β,根据垂直于同一直线的两个平面平行,可得B正确；若l⊥α,l∥β,则存在直线m⊂β,使l∥m,则m⊥α,故此时α⊥β,故C错误；若α⊥β,l∥α,则l与β可能相交,可能平行,也可能线在面内,故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系,熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1,0）,离心率等于,则C的方程是（）A．B．C．D．【分析】由已知可知椭圆的焦点在x轴上,由焦点坐标得到c,再由离心率求出a,由b2=a2﹣c2求出b2,则椭圆的方程可求．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1,0）,所以c=1,又离心率等于,即,所以a=2,则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程,考查了椭圆的简单性质,属中档题．10．（5分）设是已知的平面向量且,关于向量的分解,有如下四个命题：①给定向量,总存在向量,使；②给定向量和,总存在实数λ和μ,使；③给定单位向量和正数μ,总存在单位向量和实数λ,使；④给定正数λ和μ,总存在单位向量和单位向量,使；上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数,这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来．【解答】解：选项①,给定向量和,只需求得其向量差即为所求的向量,故总存在向量,使,故①正确；选项②,当向量,和在同一平面内且两两不共线时,向量,可作基底,由平面向量基本定理可知结论成立,故可知②正确；选项③,取=（4,4）,μ=2,=（1,0）,无论λ取何值,向量λ都平行于x轴,而向量μ的模恒等于2,要使成立,根据平行四边形法则,向量μ的纵坐标一定为4,故找不到这样的单位向量使等式成立,故③错误；选项④,因为λ和μ为正数,所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量,这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来,故不一定能使成立,故④错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断与应用,涉及平面向量基本定理及其意义,属基础题．二、填空题：本大题共3小题．每小题5分,满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设数列{a n}是首项为1,公比为﹣2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|= 15．【分析】根据条件求得等比数列的通项公式,从而求得a1+|a2|+a3+|a4|的值．【解答】解：∵数列{a n}是首项为1,公比为﹣2的等比数列,∴a n=a1•q n﹣1=（﹣2）n﹣1,∴a1=1,a2=﹣2,a3=4,a4=﹣8,∴则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15,故答案为15．【点评】本题主要考查等比数列的定义、通项公式,属于基础题．12．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1,a）处的切线平行于x轴,则a=．【分析】先求出函数的导数,再由题意知在1处的导数值为0,列出方程求出k的值．【解答】解：由题意得,∵在点（1,a）处的切线平行于x轴,∴2a﹣1=0,得a=,故答案为：．【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用,难度不大．13．（5分）已知变量x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值是5．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域,再将目标函数赋予几何意义,最后利用数形结合即可得目标函数的最值．【解答】解：画出可行域如图阴影部分,由得A（1,4）目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线,其纵截距越大z越大,=1+4=5．由图数形结合可得当动直线过点A（1,4）时,z最大故答案为：5．【点评】本题主要考查了线性规划,以及二元一次不等式组表示平面区域的知识,数形结合的思想方法,属于基础题．选做题（14、15题,考生只能从中选做一题）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为（θ为参数）．【分析】首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,然后化直角坐标方程为参数方程．【解答】解：由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,即x2+y2﹣2x=0．化圆的方程为标准式,得（x﹣1）2+y2=1．令,得．所以曲线C的参数方程为．故答案为．【点评】本题考查了圆的参数方程,考查了极坐标与直角坐标的互化,解答此题的关键是熟记互化公式,是中档题．15．（几何证明选讲选做题）如图,在矩形ABCD中,,BC=3,BE⊥AC,垂足为E,则ED=．【分析】由矩形ABCD,得到三角形ABC为直角三角形,由AB与BC的长,利用勾股定理求出AC的长,进而得到AB为AC的一半,利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°,且利用射影定理求出EC的长,在三角形ECD中,利用余弦定理即可求出ED的长．【解答】解：∵矩形ABCD,∴∠ABC=90°,∴在Rt△ABC中,AB=,BC=3,根据勾股定理得：AC=2,∴AB=AC,即∠ACB=30°,EC==,∴∠ECD=60°,在△ECD中,CD=AB=,EC=,根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=,则ED=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理,勾股定理,直角三角形的性质,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键．四、解答题：本大题共6小题,满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）若,求．【分析】（1）把x=直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值,然后将x=θ﹣代入函数解析式,并利用两角和与差公式求得结果．【解答】解：（1）（2）∵,,∴．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解,考查了和差角公式的运用,属于知识的简单综合．17．（13分）从一批苹果中,随机抽取50个,其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）[80,85）[85,90）[90,95）[95,100）频数（个）5102015（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80,85）和[95,100）的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85）和[95,100）中各有1个的概率．【分析】（1）用苹果的重量在[90,95）的频数除以样本容量,即为所求．（2）根据重量在[80,85）的频数所占的比例,求得重量在[80,85）的苹果的个数．（3）用列举法求出所有的基本事件的个数,再求出满足条件的事件的个数,即可得到所求事件的概率．【解答】解：（1）苹果的重量在[90,95）的频率为．（2）重量在[80,85）的有个．（3）设这4个苹果中,重量在[80,85）段的有1个,编号为1．重量在[95,100）段的有3个,编号分别为2、3、4,从中任取两个,可能的情况有：（1,2）（1,3）（1,4）（2,3）（2,4）（3,4）共6种．设任取2个,重量在[80,85）和[95,100）中各有1个的事件为A,则事件A包含有（1,2）（1,3）（1,4）共3种,所以．【点评】本题考查古典概型问题,用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件,应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法,利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比,属于基础题．18．（13分）如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF,其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；．（3）当AD=时,求三棱锥F﹣DEG的体积V F﹣DEG【分析】（1）在等边三角形ABC中,由AD=AE,可得,在折叠后的三棱锥A ﹣BCF中也成立,故有DE∥BC,再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF．（2）由条件证得AF⊥CF ①,且．在三棱锥A﹣BCF中,由,可得BC2=BF2+CF2,从而CF⊥BF②,结合①②,证得CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF,结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由,运算求得结果．【解答】解：（1）在等边三角形ABC中,AD=AE,∴,在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立,∴DE∥BC．又∵DE⊄平面BCF,BC⊂平面BCF,∴DE∥平面BCF．（2）在等边三角形ABC中,F是BC的中点,所以AF⊥BC,即AF⊥CF ①,且．∵在三棱锥A﹣BCF中,,∴BC2=BF2+CF2,∴CF⊥BF②．又∵BF∩AF=F,∴CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF,结合（2）可得GE⊥平面DFG．∴=．【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用,用等体积法求三棱锥的体积,属于中档题．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n,满足4S n=a n+12﹣4n﹣1,n ∈N*,且a2,a5,a14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n,有．【分析】（1）对于,令n=1即可证明；（2）利用,且,（n≥2）,两式相减即可求出通项公式．（3）由（2）可得=．利用“裂项求和”即可证明．【解答】解：（1）当n=1时,,∵（2）当n≥2时,满足,且,∴,∴,∵a n＞0,∴a n+1=a n+2,∴当n≥2时,{a n}是公差d=2的等差数列．∵a2,a5,a14构成等比数列,∴,,解得a2=3,由（1）可知,,∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2,∴{a n}是首项a1=1,公差d=2的等差数列．∴数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1．（3）由（2）可得式=．∴【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n项和的关系a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）是解题的关键．20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F（0,c）（c＞0）到直线l：x﹣y ﹣2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0,y0）为直线l上的定点时,求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时,求|AF|•|BF|的最小值．【分析】（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程,即可解得c,从而得出抛物线C的方程；（2）先设,,由（1）得到抛物线C的方程求导数,得到切线PA,PB的斜率,最后利用直线AB的斜率的不同表示形式,即可得出直线AB的方程；（3）根据抛物线的定义,有,,从而表示出|AF|•|BF|,再由（2）得x1+x2=2x0,x1x2=4y0,x0=y0+2,将它表示成关于y0的二次函数的形式,从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．【解答】解：（1）焦点F（0,c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离,解得c=1,所以抛物线C的方程为x2=4y．（2）设,,由（1）得抛物线C的方程为,,所以切线PA,PB的斜率分别为,,所以PA：①PB：②联立①②可得点P的坐标为,即,,又因为切线PA的斜率为,整理得,直线AB的斜率,所以直线AB的方程为,整理得,即,因为点P（x0,y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点,所以x0﹣y0﹣2=0,即y0=x0﹣2,所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义,有,,所以=,由（2）得x1+x2=2x0,x1x2=4y0,x0=y0+2,所以=．所以当时,|AF|•|BF|的最小值为．【点评】本题以抛物线为载体,考查抛物线的标准方程,考查利用导数研究曲线的切线方程,考查计算能力,有一定的综合性．21．（14分）设函数f（x）=x3﹣kx2+x（k∈R）．（1）当k=1时,求函数f（x）的单调区间；（2）当k＜0时,求函数f（x）在[k,﹣k]上的最小值m和最大值M．【分析】（1）当k=1时,求出f′（x）=3x2﹣2x+1,判断△即可得到单调区间；（2）解法一：当k＜0时,f′（x）=3x2﹣2kx+1,其开口向上,对称轴,且过（0,1）．分△≤0和△＞0即可得出其单调性,进而得到其最值．解法二：利用“作差法”比较：当k＜0时,对∀x∈[k,﹣k],f（x）﹣f（k）及f（x）﹣f（﹣k）．【解答】解：f′（x）=3x2﹣2kx+1（1）当k=1时f′（x）=3x2﹣2x+1,∵△=4﹣12=﹣8＜0,∴f′（x）＞0,f（x）在R上单调递增．（2）当k＜0时,f′（x）=3x2﹣2kx+1,其开口向上,对称轴,且过（0,1）（i）当,即时,f′（x）≥0,f（x）在[k,﹣k]上单调递增,从而当x=k时,f（x）取得最小值m=f（k）=k,当x=﹣k时,f（x）取得最大值M=f（﹣k）=﹣k3﹣k3﹣k=﹣2k3﹣k．（ii）当,即时,令f′（x）=3x2﹣2kx+1=0解得：,注意到k＜x2＜x1＜0,∴m=min{f（k）,f（x1）},M=max{f（﹣k）,f（x2）},∵,∴f（x）的最小值m=f（k）=k,∵,∴f（x）的最大值M=f（﹣k）=﹣2k3﹣k．综上所述,当k＜0时,f（x）的最小值m=f（k）=k,最大值M=f（﹣k）=﹣2k3﹣k解法2：（2）当k＜0时,对∀x∈[k,﹣k],都有f（x）﹣f（k）=x3﹣kx2+x﹣k3+k3﹣k=（x2+1）（x﹣k）≥0,故f（x）≥f（k）．f（x）﹣f（﹣k）=x3﹣kx2+x+k3+k3+k=（x+k）（x2﹣2kx+2k2+1）=（x+k）[（x﹣k）2+k2+1]≤0,故f（x）≤f（﹣k）,而f（k）=k＜0,f（﹣k）=﹣2k3﹣k＞0．所以,f（x）min=f（k）=k．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键．。
2013广东高考文科数学
2013广东高考文科数学引言2013年广东高考文科数学试卷是广东省文科生物的一次重要考试，对广东省高中生的数学水平进行了全面检测。
本文将对该试卷的题目及解析进行详细讨论。
试卷结构2013年广东高考文科数学试卷共分为两个部分，共计150分。
第一部分为选择题，包括单项选择题和多项选择题；第二部分为主观题，包括解答题、应用题和证明题。
选择题选择题共计80分，主要考察考生的基础知识和解题能力。
单项选择题•题目1：已知函数f(f)=2f，则$f(2x)=\\_\\_\\_$。
（4分）A. 24fB. 22fC. 222fD. 22f正确答案：B. 22f解析：将f(2f)带入函数f(f)中得到f(2f)=22f，所以答案选B。
•题目2：在直角坐标系fff中，已知点A(3, 1)，点B(−2,f)在线段AB上。
若直线y=x+3与线段AB相交于点C，则实数y的取值范围是\\\_。
（6分）A. $-2\\leq y\\leq 0$B. $-\\frac{3}{2}\\leq y\\leq -\\frac{1}{2}$C. $-2\\leq y\\leq -1$D. $-\\frac{3}{2}\\leqy\\leq 0$正确答案：C. $-2\\leq y\\leq -1$解析：将直线y=x+3的方程带入点B的坐标得到f=−f−2。
将直线f=−f−2与线段AB的方程联立，求解交点得到 y 的取值范围为$-2\\leq y\\leq -1$，所以答案选C。
多项选择题•题目1：已知等差数列$\\{a_n\\}$的公差为d，首项是a，前n项和是f f，则$\\{S_n\\}$的通项公式是\\\_。
（4分）A. $S_n=a+\\frac{(n-1)d}{2}$B. f f=ffC.$S_n=\\frac{n(a+a_n)}{2}$ D. f f=ff f正确答案：C. $S_n=\\frac{n(a+a_n)}{2}$解析：根据等差数列的前n项和公式$S_n=\\frac{n(a+a_n)}{2}$，所以答案选C。
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侧视图正视图2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科A 卷）解析从今以后，高考数学不再愁～本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 锥体的体积公式：13V Sh =．其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T = A ．{0} B ．{0,2} C ．{2,0}- D ．{2,0,2}- 【解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选A 2(1,)+∞ D ．[1,1)(1,- ：对数真数大于零，分母不等于零，取交集，选C 3x yi +的模是 5【解析】：复数相等用对比系数法得4,3x y ==-再开方，得5，选D. 4．已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．25【解析】：奇变偶不变，符号看象限，51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭，选C. 5．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．7 【解析】注意临界点，选C.6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是图 1A ．16 B ．13 C ．23D ．1 【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则111=112=323V ⋅⋅⋅⋅，选B.注意公式，别记错！7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A ．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y ++=【解析】数形结合法，把图画出来，圆心到直线的距离等于1r =，直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =选A.8．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若//l α，//l β C ．若l α⊥，//l β 【解析】画出一个正方体，关注面内面外，关注相交线，选9．已知中心在原点的椭圆A ．14322=+y x 1 ．24 1【解析】记好离心率公式，1,2,c a b === D.10．设 a 是已知的平面向量且≠0 a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量 b ，总存在向量 c ，使=+a b c ；②给定向量 b 和 c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量 b 和正数μ，总存在单位向量 c 和实数λ，使λμ=+a b c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量 b ， c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】法一：利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.综上，本题选B法二：特殊值法，③中取正数μ为0.1，单位向量 b 取a 得垂直方向，便可判断③错 ④取给定正数λ和μ分别0.1,0.1，把a 画长一点，注意单位向量的模等于一，所以λμ=+ a b c不一定满足。
非智力因素：答案：ACDCC BABDB.选择题3322再次出现！二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= 12．若曲线2ln y ax =-【解析】求一个变量，只需一个方程13．已知变量,x y 满足约束条件≥1最大值是．【解析】画出可行域如图，把z x y =+化为斜截式，最优解为()1,4，故填 5 ；（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ．【解析】两边乘以ρ再利用极坐标与直角坐标互化公式得方程()2211x y -+=，易的则曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），可回想平时的练习题，逆过来便是15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，AB 3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．【解析】法一：由AB =3BC =，可知60BAC ∠=从而302AE CAD =∠= ，2DE =. 法二：特殊值法，过D 做DF 垂直ＡＣ，ＡＣ由勾股定理可求，目测或测量或利用相似三角形得ＡＥ为AC 的四等分点，则ＥＦ便可求，再用勾股定理便可求ＤＥ三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()f x =(1) (2)【解析】(1)3f ⎛⎫=⎪⎝⎭（2）33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，4sin 5θ==-，1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭．备考策略：注重通解通法的掌握，不搞难题，偏题。
17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；图 3图 4(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．【解析】（1）苹果的重量在[)95,90的频率为20=0.450； （2）重量在[)85,80的有54=15+15⋅个； （3）设这4个苹果中[)85,80分段的为1，[)100,95分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[)85,80和[)100,95中各有1个的事件为A ，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，12. 备考策略：记好公式，找一些经典的同类型题目，比如近几年的高考或广州一摸做熟练便可过关。
另外注意书写，简单题目改得很严！ 18．（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF A BCF -，其中2BC =． (1) 证明：DE //平面BCF ； (2) 证明：CF ⊥平面ABF ； (3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F V -【解析】（1）在等边三角形ABC 中，AD AE =AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中 也成立，//DE BC ∴ ,DE ⊄ 平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ；（2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥①，12BF CF ==.在三棱锥A BCF -中，BC =222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥ 平面；（3）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面.11111113232333F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭19．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．(1)证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式；(3) 证明：对一切正整数+【解析】（1）当1n =时=（2）当2n ≥时，)()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =,由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦ 点评：已知n S 与n a ，或n S 与ｎ有关系，用两步便可求n a ，本题需要用到完全平方公式，这是初中与高中链接知识内功的体现，所以不要忽略初升高知识链接的学习，最后一道题需要更深的内功。
第（3）问只需裂项求和即可。
.本题易错点在分成1n =，2n ≥来做后，不会求1a ，没有证明1a 也满足通项公式.有的学生不用2514,,a a a 构成等比数列这个条件也能求出通项，肯定被扣分。
所以学得好不如考得好，平时要注意如何避免被扣分。
20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．【解析】（1）依题意2d ==，解得1c =（负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =；（2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =， ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理， 20202y x x y -=. ② 综合①、②得，点y x x-02. ∵经过11(,),(A x y B ∴直线AB 的方程为（3）由抛物线的定义可知1,所以(121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y y x y y +-+=， 2212001202,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++2200019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为92点评：此类型讲过ｎ遍了，此题其实就是把两道经典题型给有机结合起来。