高考数学(一轮复习)学案:《简单的三角恒等变换》
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湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习 22.简单的三角恒
等变换学案
【学习目标】
1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2. 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).
预 习 案
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α= ;(2)cos2α= = -1=1- ;
(3)tan2α=2tan α1-tan 2α(α≠k π2+π4且α≠k π+π2
). 2.半角公式:(1)sin α2= ; (2)cos α2= ; (3)tan α2= =sin α1+cos α=1-cos αsin α. 3.二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α= ;α2
= ;3α= 都适用.
4.由cos2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α可得降幂公式:cos 2α= ;sin 2α= ;升幂公式cos2α= = .
【预习自测】
1.若
sin76°=m ,用含m 的式子表示cos7°为
( )
A. 1+m 2
B.1-m 2
C .± 1+m 2 D. 1+m 2
2.设sin2α=-sin α,α∈(π2
,π),则tan2α的值是________.
3.函数f (x )=sin 2(2x -π4
)的最小正周期是________.
4.已知θ是第三象限的角,且sin 4θ+cos 4θ=59
,那么sin2θ的值为________.
5.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y =2x 上,则cos2θ= ( )
A .-45
B .-35 C.35 D.45
探 究 案
题型一:求 值
例1.求值:
(1)sin18°cos36°; (2)2cos10°-sin20°cos20°
(3)sin10°·sin50°·sin70°. (4) 1+cos20°2sin20°
-2sin10°·tan80°
例2.(1)已知cos(π4-α)=1213,α∈(0,π4),则cos2αsin π4
+α=________.
(2)已知cos(π4-α)=35,-3π2<α<-π2.则cos(2α-π4
)=
(3)若cos(π4+x )=35,1712π<x <74π,求sin2x +2sin 2
x 1-tan x
的值.
题型二 化 简
例3.(1)已知函数f (x )=
1-x 1+x .若α∈(π2,π),则f (cos α)+f (-cos α)可化简为________.
(2)化简sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-12
cos2α·cos2β.
(3)已知f (x )=1+cos x -sin x 1-sin x -cos x +1-cos x -sin x 1-sin x +cos x 且x ≠2k π+π2
,k ∈Z ,且x ≠k π+π,k ∈Z .
①化简f (x );
②是否存在x ,使得tan x 2·f (x )与1+tan 2x 2sin x
相等?若存在,求x 的值;若不存在,请说明理由.
题型三:证明
例4.已知sin(2α+β)=2sin β,求证:tan(α+β)=3tan α.
拓展:(1)求证:tan 2x +1tan 2x =23+cos4x
1-cos4x
(2)若tan 2α=2tan 2β+1,求证:sin 2β=2sin 2α-1.
我的学习总结:
(1)我对知识
的
总结 .
(2)我对数学思想及方法的总结