算法预备知识
单纯形法新版
1 2
2 1
1 0
10，A 中的2阶可逆子阵有
1
B 1
0
10，其相应的基向量为P3
,
P 4
,
基变量为x
3
,
x
，X
4
B1
x 3 ; x 4
1
B 2
2
2 1
,
其相应的基向量为P 1
,
P 2
,
基变量为x
1
,
x
2
,
X
B2
x 1 。 x 2
问题：本例旳A中一共有几种基？ —— 6个。
一般地，m×n 阶矩阵A中基旳个数最多有多少个？ — —C m 个。 n
p 1
7
(0 0
0) 4
7;
3
360 90
3
4
[ ] 中表达进基列与出基行旳交叉元，下一张表将实 施以它为主元旳初等行变换（称高斯消去）。措施是： 先将主元消成1，再用此1将其所在列旳其他元消成0。
C X B b1
B
B
0
x 3
360
0
x 4
200
0
x 5
300
0
x 3
240
0
x 4
50
（1）先将模型化为原则型
Maxz 7 x1 12x2
9x 1 4x 2 x 3
5x 2 10 x
2
x 4
200
x 300 5
x
1, x
2, x , x , x
3
4
5
0
(2) 拟定初始基可行解、检验
1
B 0
1
,
B
b1
计算方法 第1章 预备知识与误差分析
1． 误差的来源及误差类型 一般使用计算机解决实际问题须经过如下几个过程： 实际问题 数学模型 数值算法 程序设计 计算结果
根据实际问题建立数学模型的过程中通常会忽略某些次要因素而对问题进行简化， 由此 产生的误差称为模型误差； 很多数学模型都含有若干个参数， 而有些参数往往又是观测得到 的近似值， 如此取得的近似参数与真实参数值之间的误差称为参数误差或观测误差。 例如自 由落体运动规律的公式
nn
(1.2)
其矩阵形式可以表示为 Ax b, A R
, x, b R n ，由线性代数知识我们知道，当其系数
授课对象：北京工业大学计算机学院本科生
杨中华
2
编者：杨中华
计算方法讲稿
第一章 预备知识与误差分析
矩阵对应的行列式不等于零时，即 D 法则，有：
A 0 ，该线性方程组有唯一一组解，根据克莱姆
这个耗时数还不包括求解过程中的加减运算以及更耗时的读写内存数据操作所需要的时间。 但是如果用 Gauss 消去法求解此规模的线性方程组，其乘除法次数约仅为：
n3 n n 2 3060 3 3
(1.4)
从(1.3)与(1.4)式的巨大差距可以看出求解线性方程组用 Gauss 消去法非常有效， 因此对于稍 微大一点规模的线性方程组没有任何理由选择克莱姆法则解决此类问题。 对程序员的忠告：千万不要以为计算机的速度不是问题，选择数学方法不当可能让你 永远等不到最后的计算结果！ 我们再看一个实例， 从中可以发现， 有时直接使用高等数学中给出的很简单明了的数学 表达式进行计算并不一定能够得到我们预期的结果。 例1.2 考虑导数的近似计算问题，根据导数的定义
计算方法讲稿
第一章 预备知识与误差分析
数值代数
预备知识
什么是数值代数？ – 用数值的方法求解线性代数问题。 数值代数的研究对象是什么？ – 数值计算方法。 数值代数的研究内容是什么？ – 分析数值算法的精度、复杂度、稳定性。 算法的精度Accuracy – 系统误差（算法本身的误差） – 舍入误差（计算过程的误差） – 绝对误差（准确值－近似值） – 相对误差（绝对误差／准确值）
求解多项式方程
问题：求多项式f(x)=a0+a1x+…+an-1xn-1+xn的根。 根的位置
z ≤ max{a0 ,1 + a1 , ,1 + an 1 } z≥ max{ , a0 + a1 , , a0 + an 1 } 1
0 ≤ k ≤ n 1
a0
z ≤ max (n ak
0 ≤ k ≤ n 1
j≠ j ≠k
迭代公式
xinew = xi
f ( xi ) ∏ ( xi x j )
j ≠i
上式也是求解
x1 + x2 + + xn = an 1 的Newton迭代公式。 k ∑ xi1 xik = (1) an k 1≤i1 <<ik ≤ n x1 x2 xn = (1) n a0
求解多项式方程
Laguerre方法求多项式f(x)=0的一个根 方法原理
f ( x) = ( x z1 )( x z 2 ) ( x z n ) f ′( x) 1 1 1 A= = + ++ f ( x) x z1 x z 2 x zn f ′′( x) f ′( x) 1 1 1 = + ++ B= 2 f ( x) ( x z )2 ( x z )2 f ( x) ( x zn ) 1 2
01课程概述及预备知识
3、{ a, b, c }* = {ε, a, b, c, aa, ab, ac, ba, bb, bc, …, aaa, … }
字母表与字符串
定义 1.5
理论，使之在科学实践中具有良好的指导作用。
形式语言与自动机理论的发展概况
何为形式语言
形式语言的研究概况
计算模型相关研究领域
研究概况
数理语言学家致力于用数学方法研究自然语言的结构，试
图用计算机模拟。
1956年，宾夕法尼亚大学的语言学家 N. Chomsky 第一次
提出用形式语言研究自然语言的方法。
基本的图灵机模型的物理装置：
控制器：左右移动、读字符、修改方格字符、改变控制器状态 ； 模拟计算机的基本操作。
装置改进：单带多道；子程序功能；单带无穷；多带；多维；通用 TM。
研究概况
识别符号语言的 A. Turing 自动机体系：
51- 56年，数学家克林（Kleene）：研究神经细胞时，基于图灵机 建立了确定有穷状态自动机 DFA，用其识别语言； 57年，米凯尔.拉宾 & 达纳.斯科特将确定状态自动机 DFA 扩展为 非确定有穷状态自动机 NFA，从而简化了机器的描述建模过程，提 高了解题（识别语言）速度，为其在机器翻译、文献检索的语言识 别及符号处理等中的应用奠定了基础。
研究概况
派生符号语言的乔姆斯基（Chomsky）文法体系：
0 型文法（短语结构文法或无限制文法） 1 型文法（上下文有关文法） 2 型文法（上下文无关文法） 3 型文法（正则文法）
研究概况
预备知识(数制与码制)
码制间转换方法
二进制与十进制转换
通过权值相加法或除2取余法实现二进制数与十进制数之 间的转换。
二进制与十六进制转换
每4位二进制数对应1位十六进制数，通过分组转换法实现 二者之间的转换。
十进制与十六进制转换
先将十进制数转换为二进制数，再将二进制数转换为十六 进制数，或者通过直接计算法实现十进制数与十六进制数 之间的转换。
码制与数制转换密切相关
在进行数据传输、存储和处理时，经常需要在不同数制之间进行转换。这种转换依赖于特定的编码方式，如ASCII码 、Unicode码等。
码制设计需考虑数制特性
在设计编码方式时，需要充分考虑所采用数制的特性，如数值范围、精度、运算规则等，以确保编码的 有效性和可靠性。
两者在信息技术领域应用举例
04
典型数制与码制详解
典型数制与码制详解
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05
数制与码制在编程中应用实践
编程语言中数制和码制表示方法
二进制表示
在编程语言中，二进制数通常以0b或0B开头பைடு நூலகம்，后面跟随0和1组成的数字序列。例如，二
进制数1010在Python中表示为0b1010。
十进制表示
十六进制数以0x或0X开头，后面跟随0-9和AF（或a-f）组成的数字序列。例如，十六进制 数A3F在C语言中表示为0xA3F。
03
数制与码制关系剖析
数制对码制影响分析
01
02
不同数制表示方法导 致码制差异
二进制、十进制、十六进制等数制在表 示数据时，对应的编码方式会有所不同， 如二进制编码（Binary Code）、十进 制编码（Decimal Code）等。
数制运算规则影响码 制设计
计算机算法基础(第一章)
计算机算法基础(第一章)
3. 我们的主要任务
算法学习将涉及5个方面的内容： 1）设计算法：创造性的活动 2）表示算法：思想的表示形式 3）确认算法：证明算法的正确性 程序的证明 4）分析算法：算法时空特性分析 5）测试程序：调试和作出时空分布图 本课程集中于学习算法的设计与分析。通过学
以下给出算法执行时间：上界（О）、下界（Ω）、
“平均”（ ）的定义。
计算机算法基础(第一章)
1）上界函数
定义1 如果存在两个正常数c和n0，对于所有的n≥n0，有 |f(n)| ≤ c|g(n)|
则记作f(n) = Ο(g(n))
含义：
如果算法用n值不变的同一类数据在某台机器上运行时，所 用的时间总是小于|g(n)|的一个常数倍。所以g(n)是计算 时间f(n)的一个上界函数。 f(n)的数量级就是g(n)。
3 item←A(j);i←j-1
4 while item<A(i) do //0≤i<j//
5
A(i+1)←A(i); i←i-1
6 repeat
7 A(i+1) ←item;
8 repeat
end INSERTIONSORT
计算机算法基础(第一章)
(8, 5, 4, 9) (8, 5, 4, 9) (5, 8, 4, 9) (5, 8, 4, 9) (4, 5, 8, 9) (4, 5, 8, 9)
试图求出最小的g(n)，使得f(n) = Ο(g(n))。
计算机算法基础(第一章)
多项式定理: 定理1 若A(n) = amnm+…+a1n+a0是一个m次多项
式，则有A(n) = Ο(nm)
Dinic算法基础
一、 引言图论这门古老而又年轻的学科1在信息学竞赛中占据了相当大的比重。
其中，网络流算法经常在题目中出现。
网络流涵盖的知识非常丰富，从基本的最小割最大流定理到网络的许多变形再到最高标号预流推进的六个优化等等，同学们在平时需要多多涉猎这方面的知识，不断积累，才能应对题目的各种变化。
随着信息学竞赛的不断发展，其题目的难度以及考察范围都不断增大。
现在，对于一些新出现的题目，仅仅掌握最朴素的网络流算法并不足以解决问题。
本文针对一些数据规模比较大的网络流题目详细介绍了基于分层思想的3个网络流算法，并通过列举和比较说明了其在解题中的应用，而对一些基础的知识，如最小割最大流定理等，没有作具体阐释，大家可以在许多其他网络流资料中找到。
二、预备概念22.1剩余图的概念给定一个流量网络),(111V E G =、源点s 、汇点t 、容量函数c ，以及其上的流量函数f 。
我们这样定义对应的剩余图),(222V E G =：剩余图中的点集与流量网络中的点集相同，即12V V =。
对于流量网络中的任一条边31),(E v u ∈，若),(),(v u c v u f <，那么边2),(E v u ∈，这条边在剩余图中的权值为),(),(),(v u f v u c v u g -=；同时，若0),(>v u f 那么边2),(E u v ∈，这条边在剩余图1图论这门学科的诞生始于18世纪欧拉证明了七桥问题，发表《依据几何位置的解题方法》一文。
但图论的真正发展是从20世纪五六十年代开始的。
所以说，图论是一门既古老又年轻的学科。
2本文对一些基本的理论，如最大流最小割定理等，不做阐述，读者可以参阅相关网络流资料。
3本文中所有涉及到的边若无指明均为有向边。
中的权值为),(),(v u f u v g =。
我们可以发现，流量网络中的每条边在剩余图中都化作一条或二条边。
剩余图中的每条边都表示在原流量网络中能沿其方向增广。
1最优化理论与算法预备知识
3，集合与序列
集合S ⊆
n n
称为有界集，若∃M > 0, 使得∀x ∈ S , x ≤ M
，若存在一实数α ∈ ，使得∀x ∈ S , x ≤ α 成立
中的有界闭集也称为紧集。
非空集合S ⊆
n
则α 称为S的一个上界，若存在一实数β ∈ ，使得∀x ∈ S , x ≥ β 成立 则β 称为S的一个下界。 S的上确界 sup( S )是指它的最小上界, 其下确界 inf( S )是指它的最大下界.
x0 ∈ S ⊆
n
称为S的内点，若∃ε > 0, 使得Nε ( x 0 ) ⊆ S .
o
集合S的所有内点的全体称为S的内部, 记为 int(S)或 S .
若集合S = int( S ), 则S 称为一个开集；
集合S的补集SC = {x | x ∉ S .x ∈
n
}；
若集合S的补集SC是开集，则称S为闭集；
最优化理论与算法
北京邮电大学数学系 §1
预备知识
1， 预备知识
1.线性空间 2.范数 3.集合与序列 4.矩阵的分解与校正
1.线性空间
Df 1.3:给定一非空集合G以及在G上的一种代数运算 +:G×G→G(称为加法),若下述条件成立:
(1)∀a, b, c ∈ G, 有a + (b + c) = (a + b) + c (2)∃0 ∈ G , 使得∀a ∈ G, 有a + 0 = 0 + a = a (3)∀a ∈ G, ∃-a ∈ G使得a + (−a) = (− a) + a = 0
bp算法
其实求解过完备的稀疏表示模型等价于寻求欠定系统的最稀疏 解问题。
A Rnm (n m) 且m＞n时，如何求解Ax=b即如下
a1,1 x1 a1,2 x2 a1,m xm b1 a x a x a x b n,m m n n ,1 1 n ,2 2
用梯度投影法重构出的一维信号
效率分析
凸松弛算法的有效性依赖于过完备字典自身 是否存在快速的变换与重建算法，例如对于 正交基字典算法具有较高的效率，然而对于 一般的过完备字典，凸松弛算法仍具有非常 高的运算复杂度。
THANK YOU
基追踪：我们将L1范数替换L0范数之后，稀疏表示模型： min x subject to y=Ax
1
就变成了一个常见的线性规划问题，我们可以用单纯性算法或 内点法来求解. 基追踪去噪：我们可以把上式的模型加以变形为：
min x 1
1 Y Ax 1 2
这个称为L1范数最小二乘规划问题，我们可以用梯度下降或梯 度投影法进行快速的求解。
D Rnm (n m)
m
y=Dx subject to min x
0
(1)
n×1
n×m m×1
预备知识
原子：原子 ，即
为字典的列向量。
完备字典与过完备字典：
如果字典D中的原子恰能够张成n维的欧式空间，则字典D是完备 的。 如果m＞＞n，字典D是冗余的，同时保证还能张成n维的欧式空间， 则大字典D是过完备的。 我们一般用的字典都是过完备的，因为在过完备的字典下分解稀 疏系数不唯一，这也恰恰为图像的自适应处理提供的可能，我们 可以根据自己处理的要求选择最合适的最稀疏的系数。
我们已经知道在过完备字典的条件下稀疏系数是不唯一的，但 是否我们可以求出最稀疏解呢？
Metropolis-Hastings算法
Metropolis-Hastings算法(学习这部分内容⼤约需要1.5⼩时)摘要马尔科夫链蒙特卡洛(Markov chain Monte Carlo, MCMC)是⼀种近似采样算法, 它通过定义稳态分布为 p 的马尔科夫链,在⽬标分布 p 中进⾏采样. Metropolis-Hastings 是找到这样⼀条马尔科夫链的⾮常⼀般的⽅法: 选择⼀个提议分布(proposal distribution), 并通过随机接受或拒绝该提议来纠正偏差. 虽然其数学公式是⾮常⼀般化的, 但选择好的提议分布却是⼀门艺术.预备知识学习 Metropolis-Hastings 算法需要以下预备知识: M-H 算法是 MCMC 算法的⼀个特例.: ⾼斯分布是M-H提议分布的典型例⼦.学习⽬标知道细致平衡条件(detailed balance conditions)说的是啥知道 Metropolis-Hastings 算法的定义证明 M-H 算法满⾜细致平衡条件如果不仔细选择提议分布, 请注意可能的故障模式: 缓慢的 mixing 和低接受概率.核⼼资源(阅读/观看以下其中⼀个)免费Information Theory, Inference, and Learning Algorithms简介: ⼀本机器学习和信息论研究⽣教材位置:作者: David MacKayCoursera: Probabilistic Graphical Models (2013)简介: ⼀门概率图模型在线课程位置:作者: Daphne Koller备注:点击"Preview"观看视频Computational Cognition Cheat Sheets (2013)简介: 认知科学家写的⼀组笔记位置:付费Pattern Recognition and Machine Learning(PRML)简介: ⼀本研究⽣机器学习教材, 聚焦于贝叶斯⽅法位置: Section 11.2, pages 537-542作者: Christopher M. BishopMachine Learning: a Probabilistic Perspective(MLAPP)简介: ⼀本⾮常全⾯的研究⽣机器学习教材位置: Section 24.3-24.3.6, pages 848-855作者: Kevin P. Murphy增补资源免费Bayesian Reasoning and Machine Learning简介: ⼀门研究⽣机器学习课程位置:作者: David Barber付费Probabilistic Graphical Models: Principles and Techniques 简介: ⼀本⾮常全⾯的概率AI研究⽣教材位置: Section 12.3.4, pages 515-518作者: Daphne Koller,Nir Friedman相关知识是⼀种常⽤的特殊 M-H 算法其他 M-H 算法包括:: 利⽤梯度信息从连续模型中采样split-merge 算⼦: 尝试拆分和合并簇.: 试图在不同维度的空间之间移动在某些条件下, 我们可以确定最佳的 M-H 接受率.返回Processing math: 100%。
算法与程序设计 教案
算法与程序设计教案1-1节计算机解决问题的过程一、教学目标1、知识与技能（1）让学生了解算法、穷举法、程序设计语言、编写程序和调试程序等概念。
（2）让学生知道对现实问题的自然语言的描述，特别是类似程序设计语言的自然语言描述。
（3）让学生理解分析问题、设计算法、编写程序、调试程序这一用计算机解决问题的基本步骤，认识其在算法与程序设计中的作用。
2、方法与过程（1）培养学生发现旧知识的规律、方法和步骤，并把它运用到新知识中去的能力。
（2）培养学生调试程序的能力。
（3）培养学生合作、讨论、观摩、交流和自主学习的能力。
3、情感态度和价值观通过“韩信点兵”这个富有生动情节的实例和探究、讲授、观摩、交流等环节，让学生体验用计算机解决问题的基本过程。
二、重点难点本节的重点用计算解决问题的过程中的分析问题、设计算法、和上机调试程序等步骤。
用计算机解决问题的过程中的分析问题、设计算法也是本节的难点。
三、教学环境1、教材处理教学内容选用中华人民共和国教育部制订的《普通高中技术课程标准》（2003年4月版）中信息技术部分的选修模块1“算法与程序设计”第一章的第一课“计算机解决问题的过程”。
教材选用《广东省普通高中信息技术选修一：算法与程序设计》第三章第一节，建议“算法与程序设计”模块在高中一年级下学期或高中二年级开设。
根据2003年4月版《普通高中技术课程标准》的阐述，“算法与程序设计”是普通高中信息技术的选修模块之1，它的前导课程是信息技术的必修模块“信息技术基础”。
学生在“信息技术基础”模块里已经学习了计算机的基本操作，掌握了启动程序、窗口操作和文字编辑等基础知识。
学生可以利用上述的基础知识，用于本节课的启动Visual Basic程序设计环境，输入程序代码，运行程序等操作。
本节课“计算机解决问题的过程”是“算法与程序设计”模块的第一节课，上好这节课是使学生能否学好“算法与程序设计”这一模块的关键。
本节课的教学目的是让学生理解分析问题、设计算法、编写程序和调试程序等用计算机解决问题的基本过程，认识其在算法与程序设计中的地位和作用，它也是后续课程如模块化程序设计、各种算法设计等课程的基础。
组合数学预备知识数论
组合数学预备知识数论数论是研究整数及其性质的学科，它在组合数学中起着重要的作用。
本文将介绍组合数学中与数论相关的预备知识，包括素数、模运算、欧拉函数和同余等概念。
一、素数素数指大于1且只能被1和自身整除的自然数。
在组合数学中，素数是非常重要的基础概念。
我们可以通过以下方式来判断一个数是否为素数：1. 利用试除法：即将该数从2开始依次除以2、3、4、...，如果能够整除，则该数不是素数。
2. 利用素性测试算法，如埃拉托斯特尼筛法或米勒-拉宾素性测试。
二、模运算模运算（或取模运算）是指在除法中求得余数的运算。
在组合数学中，模运算常用于解决循环和周期性问题。
模运算的计算方法如下：对于整数a和正整数m，a mod m的值范围是0到m-1，表示a除以m所得的余数。
例如，17 mod 5的结果是2，因为17除以5等于3余2。
模运算具有以下性质：1. (a+b) mod m = (a mod m + b mod m) mod m2. (a-b) mod m = (a mod m - b mod m) mod m3. (a*b) mod m = (a mod m * b mod m) mod m三、欧拉函数欧拉函数通常记作φ(n)，表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。
在组合数学中，欧拉函数与同余关系密切相关。
欧拉函数的计算方式如下：1. 如果n是素数p的k次幂，即n=p^k，其中k为正整数，则有φ(n) = p^k - p^(k-1) = p^k(1 - 1/p)2. 如果n和m互质，则有φ(n*m) = φ(n) * φ(m)四、同余同余是数论中一个重要的概念，用于描述两个数之间的关系。
在组合数学中，同余关系经常用于构造数学模型和解决排列组合问题。
设a和b为任意整数，m为正整数，如果m整除(a-b)，即(a-b) mod m = 0，我们称a和b在模m下是同余的，记作a ≡ b (mod m)。
同余关系具有以下性质：1. 如果a ≡ b (mod m)，则对于任意整数k，有a + km ≡ b (mod m)2. 如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，则a + c ≡ b + d (mod m)，a *c ≡ b *d (mod m)总结：数论是组合数学中重要的预备知识之一，其中的素数、模运算、欧拉函数和同余等概念在组合数学中起到关键作用。
预备知识与基本概念
具备扎实的预备知识能够提高学生的个人竞争力 ，使他们在职场中更具优势。
促进个人发展潜力
预备知识的学习和积累能够激发学生的创造力， 促进个人发展潜力。
THANKS
感谢观看
关系型数据库的常见类型
如MySQL、Oracle据库定义
01
NoSQL数据库是指非关系型数据库，它们不使用传统的关系模
型来组织数据。
NoSQL数据库的特点
02
数据结构灵活、可扩展性好、高性能、高可用性等。
NoSQL数据库的常见类型
03
如MongoDB、Cassandra、Redis等。
预备知识与基本概 念
目录
• 数学基础 • 编程基础 • 数据库基础 • 预备知识的重要性
01
CATALOGUE
数学基础
代数基础
代数方程
代数方程是数学中的基础内容， 包括一元一次方程、一元二次方 程、多元一次方程组等，掌握其 解法是学习数学的重要前提。
代数运算
代数运算包括加、减、乘、除等 基本运算，以及乘方、开方等高 级运算，这些运算的规则和技巧 是解决代数问题的关键。
理解对象的概念，以及对象与类的关 系。
了解并掌握继承和多态的概念和实现 方式。
封装
掌握封装的概念和实现方式，包括私 有属性和方法。
03
CATALOGUE
数据库基础
关系型数据库基础
关系型数据库定义
关系型数据库是使用关系模型（二维表格）来组织数据的数据库 系统。
关系型数据库的特点
数据结构化、数据独立性强、数据安全性好、支持ACID事务等。
对实际项目的影响
提高项目成功率
具备充足的预备知识能够提高解 决实际问题的能力，从而提高项
《预备知识》课件
总结词
企业培训案例，展示如何将预备知识应用于实际工作场景。
详细描述
企业培训案例可以提供关于如何在实际工作场景中应用预备 知识的具体实例。这些案例可以帮助学习者更好地理解预备 知识在工作中的重要性和应用方式，并提供实用的培训方法 和技巧。
教育机构的教学案例
总结词
教育机构的教学案例，提供不同教育背景下预备知识的应用情况。
工程学
工程学与《预备知识》中的许多 应用密切相关，通过学习工程学 可以更好地将理论知识应用于实 际工程中。
持续关注学科动态
学术会议
参加学术会议能够了解最新的研究成 果和动态，与同行交流心得和经验， 不断更新自己的知识和技能。
学术期刊
定期阅读学术期刊能够了解最新的学 术进展和趋势，掌握学科发展的方向 和重点。
参加培训课程
STEP 01
培训机构
STEP 02
在职培训
参加专业培训机构提供的 培训课程，系统学习预备 知识。
STEP 03
学术交流
参加学术会议、研讨会等 交流活动，与同行交流学 习心得。
参加公司或组织提供的在 职培训，提升专业技能和 知识水平。
请教他人
导师指导
专家咨询
向导师请教，接受导师的指导和帮助 。
《预备知识》ppt课 件
• 预备知识的重要性 • 预备知识的获取途径 • 预备知识的应用场景 • 预备知识的积累方法 • 预备知识的拓展方向 • 预备知识的案例分析
目录
PartBiblioteka 01预备知识的重要性为后续课程做准备
确保学生具备足够的基础 知识，以便更好地理解和 掌握后续课程的内容。
帮助学生减少在后续课程 中可能遇到的困难和障碍 。
为学生提供一个平滑的学 习过渡，使他们能够更好 地适应课程的节奏和难度 。
递推数列与递归算法
递推数列与递归算法【问题】怎样用计算机程序解决裴波那契数列中的计算问题。
【目的】认识和了解计算机处理问题时的递推与递归算法的实现方法。
【预备知识】(一)裴波那契数列在数学史上，有一个著名的关于兔子生儿育女的问题：假定兔子在出生两个月后就有生育能力，并且每一对有生育能力的兔子每个月生一对兔子。
那么从一对有生育能力的兔子开始，整整一年之后，兔子的总数将有多少对？有一位意大利数学家，名叫裴波那契（Fibonacci，约1170－1250），在他1228年的手稿中，详细研究了上面这个有趣的问题。
他用按月盘点的方法解答这道复杂问题。
第一个月的月底，老兔子生下1对小兔子。
原来1对老的，加上1对小的，1+1＝2，有2对兔子；第二个月的月底，老兔子生下1对小兔子。
1对新兔子，加上原来已有的2对，1+2＝3，有了3对兔子；第三个月的月底，老兔子再次生下1对小兔子，而第一个月出生的一对兔子现在已经发育成熟，开始生儿育女，也生下一对兔子。
所以这个月出生2对新兔子，加上原来已有的3对，2+3＝5，有了5对兔子；如此继续，通过递推，可以算出，在这一年中，每个月的月底，成对兔子的数目（以“对”为单位）分别是：2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377(0)原来的一对新生一对(1月底)原来的一对新生一对(2月底)新生一对新生一对(3月底)图3-8所以，问题的答案是，从一对有生殖能力的兔子开始，整整一年之后，兔子的总数将有377对。
裴波那契发现，这一连串数目之间有一个简单的规律：将其中任何一个数与它后面一个数相加，结果等于再后面的一个数。
例如，2+3＝53+5＝85+8＝13……等等。
他指出，利用这个规律，可以无限继续推算下去。
如果另外一户人家，买回去一对刚出生的小兔子，那么这一家在每个月的月底盘点，成对兔子的数目排成的数列是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377 ……… ①数列①叫做斐波那契数列，可用公式⎩⎨⎧=+===--)5,4,3(1,12121 n a a a a a n n n② 求该数列的每一项。
欧几里得算法（EuclideanAlgorithm）
欧⼏⾥得算法（EuclideanAlgorithm）预备知识（不严谨定义）整除：简单来说，a=nb，则有b|a，读作b整除a约数(divisor)：上⾯整除的例⼦⾥，b就是a的约数，公约数就是多个数的共有约数，如2就是4、6、8的公约数最⼤公约数（greast common divisor，简称gcd)：顾名思义，公约数⾥最⼤的⼀个，设gcd(a,b)=m，则任取a、b的公约数c，有c<=m,需要注意的是，最⼤公约数往往是整数，特殊的：若b|a，则gcd(a,b)=b任取整数n，有gcd(0,n)=n互素(relatively prime)：两个数的最⼤公约数是1，那么我们就称这两个数的互素的如果我们要求最⼤公约数，我们先来想⼀下最简单的思路。
假设a>b，我们使⽤暴⼒求解的⽅式，从1开始，设置⼀个变量存储最⼤公约数值，每发现⼀个既能整除a⼜能整除b的数，将其置为最⼤公约数，直到遍历到b为⽌。
粗⼀看，时间复杂度也并不很⾼，似乎也是可⾏的⽅法。
但实际上，在实际的密码学程序中，需要⼤量的这类操作，并且操作的数往往是⾮常⼤的数，这时，这种⽅法就显得⼗分低效，⽽欧⼏⾥德⽅法就是为了能够⾼效的求取最⼤公约数。
欧⼏⾥德算法⾸先我们来看，设a=q∗b+rd=gcd(a,b)那么r=a−q∗b，由于d|a、d|b，则有d|(a−q∗b)=r，即d也是b和r的最⼤公约数，此外，⼜有b>r=>b=q1∗r+r1以此类推，就得到了我们的欧⼏⾥德算法。
算法描述为：1. 将输⼊置为a>b2. 令a=q∗b+r3. 若r=0，则gcd(a,b)=b4. 否则，令a:=b,b:=r，注意这⾥的:=是赋值操作，重复2建议⾃⼰模拟⼀下，易于理解！欧⼏⾥德算法的实现# 加减法的实现对计算机的计算⽅式更友善def gcd1(a, b):a, b = max(a, b), min(a, b)while a != b:a, b = max(b, a-b), min(b, a-b)return adef gcd2(a, b):a, b = max(a, b), min(a, b)while a % b != 0:a, b = b, a%breturn b实⽤的欧⼏⾥德算法上⾯只是欧⼏⾥德算法的直接实现，效率较低，不能满⾜实际环境的需要。
预备期个人总结
预备期个人总结1. 引言在预备期的这段时间里，我经历了许多挑战和收获，对自己的学习和个人发展有了全新的认识。
本文将围绕预备期的学习内容、团队协作、个人成长等方面进行总结和探讨。
通过这篇总结报告，我希望能够反思自己的优势和不足，并为下一阶段制定合适的学习和发展计划。
2. 学习内容预备期的主要学习内容包括以下几个方面：2.1 技术基础知识在预备期的学习中，我主要学习了计算机基础知识，包括操作系统、数据结构与算法、计算机网络等。
通过课程学习和实践项目，我对这些知识有了更深入的理解和应用能力。
我意识到这些基础知识在后续的学习和工作中起到了重要的支撑作用。
2.2 编程能力预备期的编程能力培养是非常重要的，我主要学习了 Python 编程语言和常用的编程工具和技巧，掌握了基本的编程思想和实践经验。
通过编写实际的代码和解决问题，我提高了自己的编程能力和代码质量。
2.3 项目实践除了理论知识的学习，预备期还有一项重要任务就是参与实际的项目实践。
在这期间，我参与了一些小组项目，学会了如何与团队成员合作、分工与沟通，形成了独立思考和解决问题的能力。
3. 团队协作在预备期的团队项目中，我体验到了团队协作的重要性以及如何有效地与团队成员合作。
我与团队成员密切合作，分享知识、相互学习和支持。
通过这个过程，我学会了与不同背景的人合作，听取他们的观点，并就共同的目标进行协商和决策。
在团队协作中，我也意识到了沟通的重要性。
良好的沟通可以有效地传递信息和理解他人的需求和意见。
我积极参与团队讨论，提出自己的观点，并尊重他人的意见。
在困难和冲突面前，我学会了妥协和寻求解决方案。
4. 个人成长在预备期的学习和项目实践中，我不仅学到了具体的知识和技能，也有了个人成长和进步。
4.1 学习能力预备期是一个紧张而充实的学习阶段，我通过自主学习和培训课程提高了自己的学习能力。
我学会了高效地学习和整理知识，能够更快地掌握新知识和技能。
4.2 解决问题的能力在项目实践中，我遇到了许多问题和挑战。
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习题参考答案
习题1.1
1. 假设我们抛一个硬币，它正面向上的概率为)0(>p p , 反面向上的概率为p −1. 我们
每次抛硬币的事件是相互独立的。
那么，我们需要抛多少次硬币，才能出现一次硬币正面向上的情况？
令X 表示抛硬币的期望次数，当抛第i 次时，意味着前i-1次均失败，因此有p p i X i 1)1(}Pr{−−==，按照期望值的定义有
p
p i p p p p i i X i X E i i i i i 1)1(1)
1(}Pr{][1100≈−−=−===∑∑∑∞=−∞=∞=
2. 一艘轮船到达一个港口，有40名船员到岸边的酒吧里狂欢。
深夜的时候，40名船员回
到船上。
此时他们都已经喝醉了，他们已经不知道自己的房间在那里，因此每个人随机到一间房睡觉，那么，你认为有多少个船员最终睡在他们自己的房间里？
令X 表示最终睡在他们自己的房间里的船员数，令i X 表示第i 个船员选择的随机变量，如果第i 个船员选择睡在自己的房间里，则1=i X ，否则0=i X ，则n X X X X E i i i i /1}1Pr{}1Pr{1}0Pr{0][====⋅+=⋅=，
由于n X X X X +++=L 21，所以1][1==∑=n i i X
X E 。
3. 你和你的朋友进行玩牌游戏，其游戏规则是：你把一副纸牌混洗一下，然后每次抽一张，
让你的朋友猜测它是什么牌，猜完之后不放回。
你的朋友没有任何特异功能，同时他的记忆力也不好，即不能记住已经猜过的牌。
因此，你朋友的策略是每次从整副牌中随机的猜一张牌，这个策略能使你的朋友猜对几次呢?
设有n 张牌，令X 表示猜对次数的随机变量，令i X 表示第i 次猜的随机变量，如果第i 次猜对，则1=i X ，否则0
=i X ，则n
X X X X E i i i i /1}1Pr{}1Pr{1}0Pr{0][====⋅+=⋅=，由于n X X X X +++=L 21，所以1][1==∑=n
i i X X E 。
4. 跟上题一样，你的朋友没有任何特异功能，但是他的记忆力特好，即能记住已经猜过的
牌。
这样，你的朋友又能猜对几次呢?
设有n 张牌，如果是由记忆猜牌，则
)1/(1}1Pr{}1Pr{1}0Pr{0][+−====⋅+=⋅=i n X X X X E i i i i
)(ln ][1n X X E n
i i Θ==∑=
习题1.2
1. 给出优化问题与判定问题之间的联系与区别？
优化问题可以转化为判定问题，优化问题比判定问题更难。
优化问题需要找到最优解，而判定只需回答“是”或者“否”
2. 设计与分析算法的难点在那里？
在于设计出一个有效的算法，并分析出时间复杂度
习题1.3
1. 利用单纯型算法求解例1.3.2。
略
2. 编程实现单纯型算法。
略。