递推数列求通项公式归类
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通 项 为 a n Ax1
n 1 n 1 ， 其 中 A ， B 由 a1 , a 2 决 定 （ 即 把 a1 , a 2 , x1 , x 2 和 n 1,2 ， 代 入 Bx 2
n 1 ，得到关于 A、B 的方程组） ；当 x1 x 2 时，数列 a n Ax1n 1 Bx 2 a n 的通项为 an ( A Bn) x1n 1 ，
4 1 2 a n 2n 1 ， n 1, 2,3, 3 3 3
n 2n 3 ， n 1, 2,3, ，证明： Ti Sn 2 i 1
（Ⅰ）求首项 a1 与通项 an ； （Ⅱ）设 Tn
4
类型 5 递推公式为 a n 2 pa n 1 qa n （其中 p，q 均为常数） 。 解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为 a n 2 sa n 1 t ( a n 1 sa n ) 其中 s，t 满足
bn
an p 1 ） ，得： bn 1 bn 再待定系数法解决。 n q q q 5 1 1 n 1 , a n 1 a n ( ) ，求 a n 。 6 3 2
例 1:已知数列 a n 中， a1
变式:（2011，全国 I,理,本小题满分 12 分） 设数列 an 的前 n 项的和 S n
a n 满足 a1 例 1. 已知数列
பைடு நூலகம்
1 1 ， a n 1 a n 2 ，求 a n 。 2 n n
变式: 已知数列 {a n }中a1 1 ，且 a2k=a2k－1+(－1)K, （I）求 a3, a5； （II）求{ an}的通项公式.
a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,…….
类型 2
a n 1 f (n)a n a n 1 f (n) ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an 2 n a n ，求 a n 。 ， a n 1 3 n 1
解法：把原递推公式转化为
a n 满足 a1 例 1:已知数列
1
例 2:已知 a1 3 ， a n 1
s t p st q
解法二 ( 特征根法 ) ：对于由递推公式 a n 2 pa n 1 qa n ， a1 , a 2
给出的数列 a n ，方程
x 2 px q 0 ，叫做数列 a n 的特征方程。若 x1 , x 2 是特征方程的两个根，当 x1 x 2 时，数列 a n 的
2
变式:（2011，重庆,文,14） 在数列 an 中，若 a1 1, an 1 2an 3( n 1) ，则该数列的通项 an _______________
变式:（2010. 福建.理 22.本小题满分 14 分） 已知数列 an 满足 a1 1, an 1 2an 1( n N ).
3
类型 4
。 a n 1 pa n q n （其中 p，q 均为常数， ( pq ( p 1)(q 1) 0) ）
（或 an 1 pan rq ,其
n
中 p，q, r 均为常数） 。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 q
n 1
，得：
a n 1 p a n 1 引入辅助数列 bn （其中 q n 1 q q n q
3n 1 a n (n 1) ，求 a n 。 3n 2
变式:（2011，全国 I,理 15． ）已知数列{an}，满足 a1=1， a n a1 2a 2 3a3 ( n 1) a n 1 (n≥2)， 则 {an}的通项 an
1 ___
其中 A，B 由 a1 , a 2
决定（即把 a1 , a 2 , x1 , x 2 和 n 1,2 ，代入 a n ( A Bn) x1n 1 ，得到关于 A、
B 的方程组） 。 解法一（待定系数——迭加法）: 数列 a n ： 3a n 2 5a n 1 2a n 0(n 0, n N ) ， a1 a, a 2 b ，求数列 a n 的通项公式。
高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下， 就是对数列通项公式的求解。 特别是在一些综合性比较强的数列问题中， 数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望 能对大家有帮助。 类型 1
an 1 an f (n)
解法：把原递推公式转化为 a n 1 a n f ( n) ，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列 a n 中， a1 1 , a 2 2 , a n 2
2 1 a n 1 a n ，求 a n 。 3 3
5
变式: 1.已知数列 an 满足 a1 1, a2 3, an 2 3an 1 2an ( n N ).
n 1 n2
类型 3
。 a n 1 pa n q （其中 p，q 均为常数， ( pq ( p 1) 0) ）
解法（待定系数法） ：把原递推公式转化为： a n 1 t p ( a n t ) ，其中 t 比数列求解。
q ，再利用换元法转化为等 1 p
例 1:已知数列 a n 中， a1 1 ， a n 1 2a n 3 ，求 a n .
*
（I）求数列 an 的通项公式； （II）若数列{bn}滿足 4 1 4 （Ⅲ）证明：
b 1 b2 1
4bn 1 (an 1)bn (n N * ), 证明：数列{bn}是等差数列；
a n 1 a1 a2 n ... n (n N * ). 2 3 a2 a3 an 1 2
n 1 n 1 ， 其 中 A ， B 由 a1 , a 2 决 定 （ 即 把 a1 , a 2 , x1 , x 2 和 n 1,2 ， 代 入 Bx 2
n 1 ，得到关于 A、B 的方程组） ；当 x1 x 2 时，数列 a n Ax1n 1 Bx 2 a n 的通项为 an ( A Bn) x1n 1 ，
4 1 2 a n 2n 1 ， n 1, 2,3, 3 3 3
n 2n 3 ， n 1, 2,3, ，证明： Ti Sn 2 i 1
（Ⅰ）求首项 a1 与通项 an ； （Ⅱ）设 Tn
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类型 5 递推公式为 a n 2 pa n 1 qa n （其中 p，q 均为常数） 。 解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为 a n 2 sa n 1 t ( a n 1 sa n ) 其中 s，t 满足
bn
an p 1 ） ，得： bn 1 bn 再待定系数法解决。 n q q q 5 1 1 n 1 , a n 1 a n ( ) ，求 a n 。 6 3 2
例 1:已知数列 a n 中， a1
变式:（2011，全国 I,理,本小题满分 12 分） 设数列 an 的前 n 项的和 S n
a n 满足 a1 例 1. 已知数列
பைடு நூலகம்
1 1 ， a n 1 a n 2 ，求 a n 。 2 n n
变式: 已知数列 {a n }中a1 1 ，且 a2k=a2k－1+(－1)K, （I）求 a3, a5； （II）求{ an}的通项公式.
a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,…….
类型 2
a n 1 f (n)a n a n 1 f (n) ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an 2 n a n ，求 a n 。 ， a n 1 3 n 1
解法：把原递推公式转化为
a n 满足 a1 例 1:已知数列
1
例 2:已知 a1 3 ， a n 1
s t p st q
解法二 ( 特征根法 ) ：对于由递推公式 a n 2 pa n 1 qa n ， a1 , a 2
给出的数列 a n ，方程
x 2 px q 0 ，叫做数列 a n 的特征方程。若 x1 , x 2 是特征方程的两个根，当 x1 x 2 时，数列 a n 的
2
变式:（2011，重庆,文,14） 在数列 an 中，若 a1 1, an 1 2an 3( n 1) ，则该数列的通项 an _______________
变式:（2010. 福建.理 22.本小题满分 14 分） 已知数列 an 满足 a1 1, an 1 2an 1( n N ).
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类型 4
。 a n 1 pa n q n （其中 p，q 均为常数， ( pq ( p 1)(q 1) 0) ）
（或 an 1 pan rq ,其
n
中 p，q, r 均为常数） 。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 q
n 1
，得：
a n 1 p a n 1 引入辅助数列 bn （其中 q n 1 q q n q
3n 1 a n (n 1) ，求 a n 。 3n 2
变式:（2011，全国 I,理 15． ）已知数列{an}，满足 a1=1， a n a1 2a 2 3a3 ( n 1) a n 1 (n≥2)， 则 {an}的通项 an
1 ___
其中 A，B 由 a1 , a 2
决定（即把 a1 , a 2 , x1 , x 2 和 n 1,2 ，代入 a n ( A Bn) x1n 1 ，得到关于 A、
B 的方程组） 。 解法一（待定系数——迭加法）: 数列 a n ： 3a n 2 5a n 1 2a n 0(n 0, n N ) ， a1 a, a 2 b ，求数列 a n 的通项公式。
高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下， 就是对数列通项公式的求解。 特别是在一些综合性比较强的数列问题中， 数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望 能对大家有帮助。 类型 1
an 1 an f (n)
解法：把原递推公式转化为 a n 1 a n f ( n) ，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列 a n 中， a1 1 , a 2 2 , a n 2
2 1 a n 1 a n ，求 a n 。 3 3
5
变式: 1.已知数列 an 满足 a1 1, a2 3, an 2 3an 1 2an ( n N ).
n 1 n2
类型 3
。 a n 1 pa n q （其中 p，q 均为常数， ( pq ( p 1) 0) ）
解法（待定系数法） ：把原递推公式转化为： a n 1 t p ( a n t ) ，其中 t 比数列求解。
q ，再利用换元法转化为等 1 p
例 1:已知数列 a n 中， a1 1 ， a n 1 2a n 3 ，求 a n .
*
（I）求数列 an 的通项公式； （II）若数列{bn}滿足 4 1 4 （Ⅲ）证明：
b 1 b2 1
4bn 1 (an 1)bn (n N * ), 证明：数列{bn}是等差数列；
a n 1 a1 a2 n ... n (n N * ). 2 3 a2 a3 an 1 2