求递推数列的通项公式的十一种方法
数列-递推公式求通项的十大模型
递推公式求通项的十种类型类型1.等差数列：相邻两项递推形式：d d a a n n ，（=--1为常数，+∈≥N n n 且2）或者相邻三项递推形式：)2(211++-∈≥=+N n n a a a n n n 且.这种递推形式下，直接用等差数列的通项公式：即可解决！例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =1=，则n a =（）A．21n -B．nC．21n +D．12n -解析：∵11a ==1，∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，(1)11(1)1n n n =-⨯=+-⨯=，即2n S n =，∴()221121n n n a S S n n n -=-=--=-（2n ≥）.当1n =时，11a =也适合上式，∴21n a n =-.故选：A.注1：在等差数列中，有一类比较特殊的递推类型，即b kn a a n n +=++1，它可以得到两个子数列分别是公差为k 的等差数列.例2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()142n n a a n n +++=+∈N ，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2021项的和为()A．20212022B．20202021C．20192020D．10101011解析：∵12a =，()142n n a a n n +++=+∈N ，∴216a a +=，解得24a =．142n n a a n ++=+ ，∴2146n n a a n +++=+，两式相减，得24n na a +-=，∴数列{}n a 的奇数项与偶数项均为公差为4的等差数列，∴当n 为偶数时，2(1)422n n a a n =+-⨯=．当n 为奇数时，1n +为偶数，∴根据上式和(*)知1422n n a n a n +=+-=，数列{}n a 的通项公式是2n a n =，易知{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，故()()2212n n nS n n +==+，()111111n S n n n n ==-++，设1n S ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为n T ，则20211111112021112232021202220222022T =-+-++-=-= ．故选：A．例3．数列{}n a 中，112,21,N n n a a a n n *+=+=+∈．求{}n a 的通项公式；解析：（1）由121++=+n n a a n ①2123n n a a n ++⇒+=+②，②-①22n n a a +⇒-=，∴{}n a 的奇数项与偶数项各自成等差数列，由11223a a a =⇒+=，∴21a =，∴2112(1)2n a a n n -=+-=，∴1n a n =+，n 为奇数，212(1)21n a n n =+-=-，∴1n a n =-，n 为偶数．∴()()**1,21,N 1,2,Nn n n k k a n n k k ⎧+=-∈⎪=⎨-=∈⎪⎩.类型2.等比数列：相邻两项递推：)2,0,0(1+-∈≥≠≠=N n n a q qa a n n n且且或q a a n n=-1.或者相邻三项递推：)2(211≥∈=+-+n N n a a a n n n 且.注2：在等比数列应用中，有一类比较特殊的递推类型，即++∈∀⋅=N n m a a a n m m n ,,，我们可以对其赋值得到一个等比数列.例4．数列{}n a 中，112a =，对任意,N m n *∈有m n m n a a a +=，若19111k k k a a a +++++ 15522=-，则k =（）A．2B．3C．4D．5解析：由任意,m n *∈N 都有m n m n a a a +=，所以令1m =，则11n n a a a +=，且112a =，所以{}n a 是一个等比数列，且公比为12，则1910155191112222222k k k k k k k k a a a ++++++++=+++=-=- 所以5k =，故选：D.例5．已知数列{}n a 满足22,2,n n n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数且11a =，22a =．求通项n a ；解析：当n 为奇数时，由22n n a a +-=知数列{}21k a -是公差为2的等差数列，()2111221k a a k k -=+-⨯=-，∴n a n =，n 为奇数；当n 为偶数时，由22n n a a +=知数列{}2k a 是公比为2的等比数列，1222k kk a a q -==，∴22nn a =，n 为偶数∴2,2,n n n n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.类型3.)(1n f a a n n =--累加型例6．若数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +-=．求{}n a 的通项公式.解析：因为12n n a a n +-=，11a =，所以()()()1122112(1)2(2)21n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=-+-+++2222(1)112n n n n -+⋅-+=-+=，故21n a n n =-+.类型4.)(1n f a a n n=-(2≥∈+n N n 且)累乘型.例7．数列{}n a 及其前n 项和为n S 满足：11a =，当2n ≥时，111n n n a a n -+=-，则12320231111a a a a ++++= （）A．20211011B．40442023C．20231012D．40482025解析：当2n ≥时，111n n n a a n -+=-，即111n n a n a n -+=-，所以3124123213451,,,,,12321n n n n a a a a a n n a a a a n a n ---+=====-- 累乘得：()113451123212n n n a n n a n n ++=⨯⨯⨯⨯=-- ，又11a =，所以()12n n n a +=所以()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭则1232023111111111111222212233420232024a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭14046202321202420241012⎛⎫=-== ⎝⎭.故选：C.类型5.d ca a n n +=-1型（待定系数法）一般形式：1(,n n a ca d c d -=+为常数，0,1,0)c c d ≠≠≠，可以构造一个等比数列，只要在每一项同加上一个常数即可，且常数1dx c =-，1()n n a x c a x -+=+，令n n b a x =+，则n b 为等比数列，求出n b ，再还原到n a ，1)1(11--⋅-+=-c dc cd a a n n .例8．在数列{}n a 中，12a =，()*1432,N n n a a n n -=-≥∈．求{}n a 的通项公式.解析：依题意，数列{}n a 中，12a =，()*1432,N n n a a n n -=-≥∈，所以()()1*N 1412,n n a a n n --=-≥∈，所以数列{}1n a -是首项为111a -=，公比为4的等比数列.例9.(2014年新课标全国1卷)已知数列{}n a 满足13,111+==+n n a a a ，证明⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式.解析：显性构造：13,111+==+n n a a a ，)21(3211+=++n n a a ，)13(21-=n n a .类型6.nn n b m qa a ⋅+=+1型例10．已知数列{}n a 的首项1=6a ，且满足1142n n n a a ++=-．求数列{}n a 的通项公式；解析：∵1142n n n a a ++=-，∴112122n n n n a a ++=⋅-，∴1112122n n n n a a ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又∵1122a -=，故12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列．112222n nn n a --=⋅=，则42n n n a =+．类型7.)1)((1≠+=+p n f pa a n n 型.方法1.数学归纳法.方法2.1111)()(+++++=⇒+=n n n n n n n p n f p a p a n f pa a ，令n n n p a b =，则11)(++=-n n n pn f b b ，用累加法即可解决！（公众号：凌晨讲数学）例11.(2020年新课标全国3卷)设数列{}n a 满足31=a ，n a a n n 431-=+.（1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明；（2）求数列{}n na 2的前n 项和n S .解析：方法1：归纳法.（1）235,7,a a ==猜想21,n a n =+得1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+，1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--，……2153(3)a a -=-.因为13a =，所以2 1.n a n =+方法2：构造法.由n a a n n 431-=+可得：1113433+++-=-n n n n n n a a ，累加可得：123123+=⇒+=n a n a n n n n .（2）由（1）得2(21)2n n n a n =+，所以23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯ .①23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ .②-①②得23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯ ，1(21)2 2.n n S n +=-+类型8.)0(1≠⋅+=+q p qpa ta a n nn 型例12．已知数列{}n a 满足11a =，*1,N 1nn n a a n a +=∈+，求数列{}n a 的通项公式.因为*1,N 1n n n a a n a +=∈+，所以1111n na a +=+，即1111n n a a +-=，又11a =，所以111a =，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为1，公差为1的等差数列，所以()1111n n n a =+-⨯=，故1n a n =，所以数列{}n a 的通项公式为1n a n=.类型9.已知n S 与n a 关系，求n a .（公众号：凌晨讲数学）解题步骤：第1步：当1=n 代入n S 求出1a ；第2步：当2≥n ，由n S 写出1-n S ；第3步：1--=n n n S S a （2≥n ）；第4步：将1=n 代入n a 中进行验证，如果通过通项求出的1a 跟实际的1a 相等，则n a 为整个数列的通项，若不相等，则数列写成分段形式，.)2()1(1⎩⎨⎧≥==n a n a a n n 在本考点应用过程中，具体又可分为三个角度，第一，消n S 留n a ，第二个角度，消n a 留n S ，第三个角度，级数形式的前n 项和，下面我们具体分析.例13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，112n n n S S a ++⋅=-.证明：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.证明：∵112n n n S S a ++⋅=-，∴112n n n n S S S S ++⋅=-，易知0n S ≠，∴111112n n n n n nS S S S S S +++-=-=⋅，∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列.例14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1=2a ，()*123N n n n a S n +=+∈.求n S .解析：因为()*123N n n n a S n +=+∈,所以11233,3n nn n n n n S S S S S ++-=+=+∴，则111111,333333n n n n n n n n S S S S ++++-=+=，11233S =，即{}3n n S 为首项为23，公差为13的等差数列，则211(1)(1)3333n n S n n =+-=+，故1(1)3n n n S -=+⋅.例15．已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++----…．求数列{}n a 的通项公式.解析：123123252525253n n na a a a +++=----…，①当1n =时，14a =．当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++----…，②由①-②，得()3522n n a n +=≥，因为14a =符合上式，所以352n n a +=．例16.（2022新高考1卷）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11=a ，{}n n S a 是公差为13的等差数列．求{}n a 得通项公式.解析：111==S a ，所以111=S a ，所以{}n n S a 是首项为1，公差为13的等差数列，所以121(1)33+=+-⋅=n n S n n a ，所以23+=n n n S a ．当2n 时，112133--++=-=-n n n n n n n a S S a a ，所以1(1)(1)--=+n n n a n a ，即111-+=-n n a n a n （2n ）；累积法可得：(1)2+=n n n a （2n ），又11=a 满足该式，所以{}n a 得通项公式为(1)2+=n n n a ．类型9：已知前n 项积求n a .例17.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=．（1）证明：数列{}n b 是等差数列;（2）求{}n a 的通项公式．解析：由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠,取1n =,由11S b =得132b =,由于n b 为数列{}n S 的前n 项积，所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---，所以111221n n n nb b b b +++=-,由于10n b +≠，所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n N ∈，所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列.（2）由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列，()3111222n n b n ∴=+-⨯=+,22211n n n b n S b n +==-+,当n =1时，1132a S ==,当n ≥2时,()121111n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立,∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.类型10.特征方程法（强基层次）：n n n ba aa a +=++12型.求解方程：02=--b a λλ，根据方程根的情况，可分为：（1）若特征方程有两个相等的根，则nn x b An a 0)(+=（2）若特征方程有两个不等的根，则n nn Bx Ax a 21+=例18．已知数列{}n a 满足12a =，28a =，2143n n n a a a ++=-.求数列{}n a 的通项公式；解析：2143n n n a a a ++=-，变形为：()2113n n n n a a a a +++-=-，216a a -=，∴数列{}1n n a a +-是等比数列，首项为6，公比为3.∴116323n nn n a a -+-=⨯=⨯，变形为：1133n n n n a a ++-=-，131a -=-，∴31n n a -=-，∴31n n a =-例19.已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解析：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩，1322n n n a --∴=．例20.已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a ．解析：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n n n n a a c a a ++--=⋅++由12,a =得245a =，可得13c =-，∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n n n n na --∴=+-．。
_求递推数列通项公式的十种技巧
求递推数列通项公式的十种技巧一、利用公式法求通项公式例1 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ⋅+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。
解：n n 1n 23a 2a ⋅+=+两边除以1n 2+，得232a 2a nn 1n 1n +=++，则232a 2a n n 1n 1n =-++， 故数列}2a {n n 是以1222a 11==为首，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得23)1n (12a nn -+=，所以数列}a {n 的通项公式为n n 2)21n 23(a -=。
评注：本题解题的关键是把递推关系式n n 1n 23a 2a ⋅+=+转化为232a 2a nn1n 1n =-++，说明数列}2a {n n 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出23)1n (12a nn -+=，进而求出数列}a {n 的通项公式。
二、利用累加法求通项公式例2 已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。
解：由1n 2a a n 1n ++=+ 得1n 2a a n 1n +=-+则112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---1)1n (2n)1n (21)1n (]12)2n ()1n [(21)112()122(]1)2n (2[]1)1n (2[+-+-⋅=+-++++-+-=++⋅++⋅+++-++-=所以数列}a {n 的通项公式为2n n a =评注：本题解题的关键是把递推关系式1n 2a a n 1n ++=+转化为1n 2a a n 1n +=-+，进而求出112232n 1n 1n n a )a a ()a a ()a a ()a a (+-+-++-+---- ，即得数列}a {n 的通项公式。
例3 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。
求数列通项公式的11种方法
求数列通项公式的11种方法方法总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法（少用）不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
求数列的通项公式的八种方法(强烈推荐)
怎样由递推关系式求通项公式一、基本型：（1）a n =pa n-1+q （其中pq ≠0 ，p ≠1，p 、q 为常数）型:——运用代数方法变形，转化为基本数列求解.利用待定系数法，可在两边同时加上同一个数x ，即a 1+n + x = pa n + q + x ⇒a 1+n + x = p(a n +p x q +)， 令x =px q + ∴x =1-p q时，有a 1+n + x = p(a n + x )，从而转化为等比数列 {a n +1-p q} 求解． 例1. 已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.-1练1．已知数列{a n }中，a 1=1，a n =21a 1-n + 1，n ∈ N +，求通项a n ．a n = 2 －2n-1 ，n ∈N + 练2.已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.21nn a ∴=- 二、可化为基本型的数列通项求法： （一）指数型：a n=ca n-1+f(n)型 1、a 1=2,a n =4a n-1+2n (n ≥2),求a n .2、a 1=-1,a n =2a n-1+4〃3n-1(n ≥2),求a n .3、已知数列{}n a 中，1a =92，113232+-+=n n n a a （n ≥2），求n a .∴ n a =13)21(2+--n n（二）指数（倒数）型 1、a 1=1,2a n -3a n-1=(n ≥2),求a n .2、a 1=,a n+1=a n +()n+1,求a n . （三）可取倒数型：将递推数列1nn n ca a a d+=+(0,0)c d ≠≠,1、（2008陕西卷理22）（本小题满分14分）已知数列{a n }的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n = ，，． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； 332nn n a ∴=+2、已知数列{}n a *()n N ∈中, 11a =,121nn n a a a +=+,求数列{}n a 的通项公式.∴121n a n =-. 3、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =22+n na a n ∈N +，求通项a n ． a n =4、 若数列{n a }中，1a =1，n S 是数列{n a }的前n 项之和，且nnn S S S 431+=+（n 1≥），求数列{n a }的通项公式是n a . 131-=n n S ⎪⎩⎪⎨⎧+⋅-⋅-=123833212n n n n a )2()1(≥=n n 三、叠加法：a n=a n-1+f(n)型：1.已知数列{a n }中, 11a =,1n-13n n a a -=+(2)n ≥。
十类递推数列的通项公式的求法
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文!黄爱民
一、ａｎ＋１＝ ａｎ＋ ｆ（ｎ）型 这类递推数列可通过累加法求得其通项公式．当 ｆ（ｎ）
为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式；当
ｆ（ｎ）为等差数列形式时，ａｎ＋１＝ ａｎ＋ ｆ（ｎ）为二阶等差数列， 它的通项公式的形式为 ａｎ＝ａｎ２＋ｂｎ＋ｃ．同时要注意它与等 差数列求和公式的一般形式的区别，后者是 Ｓｎ＝ａｎ２＋ｂｎ， 它的常数项一定为 ０．
对数，得 ｌｇａｎ＝ｌｇ２ａｎ４－ １ ，则有 ｌｇａｎ＝４ｌｇａｎ－１＋ｌｇ２．
∴ｌｇａｎ＋
１ ３
ｌｇ２＝４（ｌｇａｎ－
１＋
１ ３
ｌｇ２）．从而知｛ｌｇａｎ＋
１ ３
ｌｇ２｝是
首项为 １ ｌｇ２，公比为 ４ 的等比数列． ３
∴ｌｇａｎ＝
（４ｎ－１－ １）ｌｇ２ ３
＝（４ｎ－１－ １）ｌｇ#３ ２
，即
高中生·高考指导 １３
×（３ ２
）ｎ－ １＝（３ ２
）ｎ，即
ａｎ＝
２ｎ ３ｎ－ ２ｎ
．
九、ａ ｎ＋１＝
Ａａｎ＋Ｂ Ｃａｎ＋Ｄ
（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 为非零常数）型
这类递推数列的通项公式是利用函数的不动点来
求的．尽管这个知识点高考不作要求，但考题往往就从
这些地方出，只需增加一些铺垫．
例 ９ 若 ｆ（ｘ０）＝ｘ０，则称 ｘ０ 为 ｆ（ｘ）的不动点．已知函 数 ｆ（ｘ）＝ ２ｘ＋３ ．
＋１ ２
．令
ｂｎ＝
ａｎ ２ｎ
，则有
ｂｎ＋１＝
３ ２
ｂｎ＋
一次函数递推数列求通项的方法
一次函数递推数列求通项的方法一次函数递推数列是指每一项与前一项之间存在一个常数差的数列。
为了求出这个数列的通项公式，我们可以使用以下50个方法进行计算：方法一：观察法1. 观察数列的前几项，看是否能够发现规律。
2. 如果发现数列的差值相等，则可以猜测数列的通项公式为一次函数。
方法二：代入法1. 将数列的前几项逐个代入一次函数的通项公式中，求得方程组。
2. 解方程组得到一次函数的通项公式。
方法三：线性方程法1. 假设数列的通项公式为y = ax + b。
2. 代入数列的前几项，得到若干个方程。
3. 解这些方程，得到a和b的值，进而求得一次函数的通项公式。
方法四：差分法1. 对数列进行差分，得到一个新的数列。
2. 如果新数列是等差数列，则可以猜测原数列为一次函数递推数列，并求得通项公式。
方法五：归纳法1. 假设数列的通项公式为y = ax + b。
2. 假设数列的第n项为An。
3. 利用数学归纳法，证明或推导出An = an + b的表达式。
4. 解方程组得到a和b的值，进而求得一次函数的通项公式。
方法六：解复合型一次函数方程法1. 假设数列的一次函数通项为y = ax + b。
2. 如果出现an+1 = f(an) 或者an+1 = f(an, n)的形式，则可以试着将其转化为一次函数方程。
3. 解一次函数方程，得到a和b的值，进而求得一次函数的通项公式。
方法七：根据数列的性质和条件1. 如果数列满足一定的性质或者给出了一些条件，可以根据这些性质或条件来求解一次函数的通项公式。
2. 如果数列的前几项之和等于某个数，则可以通过求解方程的方法得到一次函数的通项公式。
方法八：逆向推导法1. 对于数列的通项公式y = ax + b，我们可以通过逆向推导的方法来求解常数a和b 的值。
2. 从数列的最后一项开始，逆向推导出倒数第二项、倒数第三项等，直到推导出数列的第一项。
3. 通过推导出的数列项，可以建立方程组来求解常数a和b的值，从而得到一次函数的通项公式。
初中数学求数列通项公式的十种方法
解：因为 ，所以 ，则 ，故
所以数列 的通项公式为
例5.设 是首项为1的正项数列，且 （ =1，2，3，…），则它的通项公式是 =________.
解：已知等式可化为：
( ) (n+1) ,即
时，
= = .
评注：本题是关于 和 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到 与 的更为明显的关系式，从而求出 .
练习2．已知数列 满足
，求数列 的通项
说明：(1)若方程 有两不同的解s , t,
则 , ,
由等比数列性质可得 , ,
由上两式消去 可得 .
(2)若方程 有两相等的解 ，则
，
,即 是等差数列，
由等差数列性质可知 ，
所以 ．
例26、数列 满足 ，且 求数列 的通项。
解： ……①
令 ，解得 ，将它们代回①得，
分析：把已知关系通过 转化为数列 或 的递推关系，然后采用相应的方法求解。
例19已知数列 的各项均为正数，且前n项和 满足 ，且 成等比数列，求数列 的通项公式。
解：∵对任意 有
∴当n=1时， ，解得 或
当n≥2时， ⑵
-⑵整理得：
∵ 各项均为正数，∴
当 时， ，此时 成立
当 时， ，此时 不成立，故 舍去
令 ,则可化为 .然后转化为类型5来解，
.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
设 .通过比较系数，求出 ，转化为等比数列求通项.
注意：应用待定系数法时，要求p q，否则待定系数法会失效。
例7已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解法一（待定系数法）：设 ，比较系数得 ，
已知数列的递推公式求通项公式的方法总结归纳
已知数列的递推公式求通项公式的方法
1.累加法：递推关系式为1()n n a a f n +-=采用累加法。
“累加法”实为等差数列通项公式的推导方法。
2.累乘法:递推关系式为
1()n n
a f n a +=采用累乘法。
“累乘法”实为等比数列通项公式的推导方法 3.构造法：递推关系式为(1)1n n a pa q +=+,(2)1n
n n a pa q +=+,
都可以通过恒等变形，构造出等差或等
比数列，利用等差或等比数列的定义进行解题，其中的构造方法可通过待定系数法来进行。
4. 和化项法：递推关系式为()n S f n =或()n n S f a =一般利用11,
1
,2
n n n S n a S S n -=⎧
=⎨-≥⎩进行转化。
例1.已知12a = , 1n a +=2132n n a -+⋅
求数列{}n a 的通项公式.
例2.已知11,a = 11
n n n a a n +=⋅
+，
求数列{}n a 的通项公式
例3.已知11,a =123n n a a +=+，
求数列{}n a 的通项公式
例5.已知43n n S a =+，
求数列{}n a 的通项公式.
例4.已知11,a =123n n n a a +=+，
求数列{}n a 的通项公式
例6.已知113
n n a S +=
，11a =,
求数列{}n a 的通项公式。
求递推数列的通项公式的十一种方法包含特征根和不动点
求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1 在数列{na }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a413134-+=a a ，……，nn a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=.二、作商求和法例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为：)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵n n a a ++1＞0，11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……，nn a a n n 11-=- 逐项相乘得：n a a n 11=，即n a =n1. 三、换元法例3 已知数列{n a }，其中913,3421==a a ，且当n ≥3时，)(31211----=-n n n n a a a a ，求通项公式na （1986年高考文科第八题改编）.解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为：}{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31.故n n n n b b )31()31(91)31(2211==⋅=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：nn a )31(2123-=. 例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。
求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十种方法求解数列通项公式是数学中的一个重要问题，对于一些特殊的数列，我们可以通过观察规律来找到通项公式，但对于一般的数列来说，我们需要使用一些数学工具和技巧来解决这个问题。
在下面，我将介绍十种常用的方法来求解数列的通项公式。
方法一：递推法递推法是一种常见的求解数列的方法，通过观察数列中相邻项之间的关系，可以找到递推公式。
常见的递推公式有线性递推和非线性递推两种形式。
方法二：列元法列元法是一种将数列元素列出来，然后通过观察数列元素之间的关系，找到通项公式的方法。
常见的列元法包括列出常数项和差项、连加项、平方项和立方项等。
方法三：指数递推法指数递推法是一种将数列元素进行指数递推，然后通过观察递推结果找到通项公式的方法。
常见的指数递推法包括指数增长、指数递减和二阶指数递增等。
方法四：利用级数对于一些复杂的数列，可以使用级数的方法来求解通项公式。
通过构造级数和求导积分等操作，可以得到数列的通项公式。
方法五：利用生成函数生成函数是一种将数列转化为多项式的方法，通过多项式的操作，可以得到数列的通项公式。
常见的生成函数包括普通生成函数和指数型生成函数。
方法六：利用逼近方法逼近方法是通过找到数列与一些函数逼近的关系，然后通过求解该函数的表达式来求解数列的通项公式。
常见的逼近方法包括泰勒级数逼近和拉格朗日插值等。
方法七：利用矩阵运算对于一些特殊的数列，可以使用矩阵运算的方法来求解通项公式。
通过构造矩阵和矩阵的运算，可以得到数列的通项公式。
方法八：利用线性代数利用线性代数的方法，可以将数列看作向量空间中的向量，通过线性变换和线性方程组的解来求解数列的通项公式。
方法九：利用特殊函数对于一些特殊的数列，可以使用特殊函数的方法来求解通项公式。
常见的特殊函数有二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和双曲函数等。
方法十：利用离散数学离散数学是一种研究离散结构和离散规律的数学分支，通过利用离散数学的方法，可以求解数列的通项公式。
根据递推关系求数列通项公式的几种方法
一、定义法 例 1、已知数列an 的递推公式，求an
1)a1 3, an1 an 2
1 2)a1 2, an 1 an 3
等差数列
等比数列
二、累加相消法（累加法）
形如：a1 a, an1 an f n
当所给数列每依次相邻两项之间的差 组成等差或等比数列时，就可用累加 法进行消元。
p 1 , 求a n ?
构造等比数列an ， 使an 1 p(an ),
an 2 1
n
则q （p 1 ） ，
q 即 p1
4）a1 2, an1 2an 3
an 2
n1
an1 3 2(an 3)
2 an 5 4n
例6、已知数列an 的递推关系为： an 1 a ，a1 3，求an
2 n
两边同取常用对数
an 3
2 n1
当一个数列每依次相邻两项之商构成 一个等比数列或其它数列时，就可用 累乘法进行消元。
例3、已知数列an 的递推公式，求an
1）a1 2, an1 3 an
n
an 2 3
n n 1 2
n 2）a1 1, an 1 an n 1
1 an n
四、换元法
通过“换元”，构造一个等差或等比的 新数列，利用等差或等比的知识解决 问题。
3
1 5）a1 1, an 1 an 6 2
1 an 1 4 (an 4) 2
1 an 5 2
n 1
4
例5、已知数列an 的递推关系为： an 1 an 2an 1an，a1 2，an 0, 求an
求递推数列的通项公式的十一种方法
求递推数列的通项公式的十一种方法
递推数列是一种数学数列，其中每一项都是由前一项推算出来的。
通
项公式则是通过已知的数列项之间的关系，找出数列的整体规律，从而可
以直接计算任意一项的值。
下面将介绍11种方法来推导递推数列的通项公式。
1.递归定义法
递归定义法是通过规定数列的首项以及前面项与后面项之间的关系，
来表达出数列的通项公式。
2.直接求和法
直接求和法是通过将数列的前n项求和，并将结果化简得出通项公式。
3.递推关系法
递推关系法是通过规定数列前两项之间的关系，并将该关系推广到前
n项之间的关系，从而求出通项公式。
4.变量代换法
变量代换法是通过引入新的变量，将原数列表示成一个新的数列，从
而得到新数列的通项公式。
5.假设公式法
假设公式法是通过猜测数列的通项公式，并验证猜测的公式是否符合
已知项的规律。
6.拆项法
拆项法是通过拆解数列的项，将数列表示成两个或多个部分，再求和得出通项公式。
7.枚举法
枚举法是通过穷举数列的前几项，找出数列项之间的规律，推算出通项公式。
8.差分法
差分法是通过计算数列项之间的差值，找出数列项之间的规律，从而得到通项公式。
9.生成函数法
生成函数法是通过将数列视为多项式的系数，构造一个生成函数，再通过求导、积分等运算得到通项公式。
10.求和公式法
求和公式法是通过利用已知的数列求和公式，计算数列的前n项和，并化简得出通项公式。
11.对称性法
对称性法是通过观察数列的对称性，推断出数列的通项公式。
递推数列通项公式的十四种求法
递推数列通项公式的十四种求法◆一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。
例1. 根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式：1、1.3.7.15.31………2、1,2,5,8,12………21213、2,1, , , , ………32534、1,-1,1,-1………5、1、0、1、0………◆二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项⎧S 1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n =1n ②若已知数列的前项和S n 与a n 的关系，求数列{a n }的通项a n 可用公式a n =⎧求解.S -S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n ≥2n -1⎧n(注意：求完后一定要考虑合并通项)例2．①已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n +(-1) n , n ≥1．求数列{a n }的通项公式.②已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n=n 2+n -1，求数列{a n }的通项公式.③已知等比数列{a n }的首项a 1=1，公比0{b n }的通项公式。
③解析：由题意，b n +1=a n +2+a n +3，又{a n }是等比数列，公比为q ∴b n +1a n +2+a n +3==q ，故数列{b n }是等比数列，b 1=a 2+a 3=a 1q +a 1q 2=q (q +1) ，b n a n +1+a n +2∴b n =q (q +1) ⋅q n -1=q n (q +1)◆三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。
也可以猜想出规律，然后正面证明。
例3. （2002年北京春季高考）已知点的序列A n (x n , 0), n ∈N *，其中x 1=0，x 2=a (a >0) ，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n -2A n -1的中点，…（1）写出x n 与x n -1, x n -2之间的关系式（n ≥3）。
(完整版)求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十一种方法(方法全，例子全，归纳细)总述：一．利用递推关系式求数列通项的11 种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法) 、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法(目的是去递推关系式中出现的根号) 、数学归纳法、不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式) 、特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
、累加法1．适用于：a n 1 a n f (n) ------------------ 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
2．若a n 1 a n f (n) (n 2) ，a2 a1 f (1)a3 a2 f (2) LLa n 1 a n f ( n)n两边分别相加得a n 1 a1 f (n )k1例1已知数列｛a n ｝满足a n 1a n 2n 1, a i 1，求数列｛a n ｝的通项公式。
解：由 a n 1 a n 2n 1 得 a n 1 a n 2n 1 则a n (a n a n 1) (a n 1 a n 2) L @3a 2) (a 2 aja 1 [2( n 1) 1] [2( n 2) 1]L (2 21) (2 11) 12[(n 1) (n 2) L 2 1] (n 1) 1 (n 1)n 2 (n 1) 12(n 1)( n 1) 1 2n2所以数列｛a n ｝的通项公式为a n n 。
例2已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2 3n 1，印3，求数列 佝｝的通项公式。
解法一：由a n 1 a n n 2 31 得 a n 1a n n2 31则a n (a * an 1)(a n 1 a n 2) L(a 3 a 2) (a 2 a 1) a 1n (2 3 1 1) (2 3n 21)L (2 32 31 1) (2 31) 312(33n2L 32 ；31)(n 1)3「(1 3n1)2(n 1) 31 3n3 3 n 133 n1所以a n 3n n 1.解法二：时3an 2 3 1两边除以3n1，得鄴J 3 3a n 2 n3 32132)3 32 3a3na n 3a n 1)a n 1(an 1a n 1a n 2) (a n 2(尹z a2 q 色(3231)33n )1)12门22(n 1)313n 3n13n2Lan 13n22答案：n数、分式函数，求通项 an .① 若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 ② 若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和 ； ③ 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 ④ 若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
常见递推数列通项的求法 (很齐全)
常见递推数列通项的求法类型一：1()n n a a f n +=+思路1（递推法）：123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= (1)11()n i a f n -==+∑。
思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得111()n n i a a f n -=-=∑，即111()n n i a a f n -==+∑。
例1 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。
解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ……1[23a =+++…1(1)(2)(1)]2ni n n n n n n =++-+-+==∑。
方法2（叠/累加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、212a a -=，将各式叠加并整理得12nn i a a n =-=∑，121(1)2n nn i i n n a a n n ==+=+==∑∑。
例2、在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a413134-+=a a ，……，nn a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=. 例3．在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求通项n a .解：依题意得，01=a ，()32112,,3,112312-=--=-=-=--n n a a a a a a n n ，把以上各式相加，得()()()21232113231-=-+-=-+++=n n n n a n【评注】由递推关系得，若()n g 是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若n n a a -+1非常数，而是关于n 的一个解析式，可以肯定数列n a 不是等差数列，将递推式中的n 分别用2,3,4,,2,1 --n n 代入得1-n 个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得n a ，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。
求递推数列的通项公式的十一种方法包含特征根和不动点
求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来,这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1 在数列{n a }中,31=a ,)1(11++=+n n a a n n ,求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a413134-+=a a ,……,n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=.二、作商求和法例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列,且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n n=1,2,3…,则它的通项公式是n a =▁▁▁2000年高考15题解：原递推式可化为：)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0∵ n n a a ++1＞0, 11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……,n n a a n n 11-=- 逐项相乘得：na a n 11=,即n a =n1. 三、换元法例3 已知数列{n a },其中913,3421==a a ,且当n ≥3时,)(31211----=-n n n n a a a a ,求通项公式n a 1986年高考文科第八题改编.解：设11---=n n n a a b ,原递推式可化为：}{,3121n n n b b b --=是一个等比数列,9134913121=-=-=a a b ,公比为31.故n n n n b b )31()31(91)31(2211==⋅=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：n n a )31(2123-=.例4已知数列{n a },其中2,121==a a ,且当n ≥3时,1221=+---n n n a a a ,求通项公式n a ;解 由1221=+---n n n a a a 得：1)()(211=------n n n n a a a a ,令11---=n n n a a b ,则上式为121=---n n b b ,因此}{n b 是一个等差数列,1121=-=a a b ,公差为1.故n b n =.;由于112312121-=-++-+-=+++--n n n n a a a a a a a b b b 又2)1(121-=+++-n n b b b n 所以)1(211-=-n n a n,即)2(212+-=n n a n四、积差相消法例51993年全国数学联赛题一试第五题设正数列0a ,1a ,n a …,n a ,…满足2-n n a a 21---n n a a =12-n a)2(≥n 且110==a a ,求}{n a 的通项公式.解 将递推式两边同除以21--n n a a 整理得：12211=----n n n n a aa a 设nb =1-n na a ,则011a a b ==1,121=--n n b b ,故有 1212=-b b ⑴1223=-b b⑵… … … …121=--n n b b 1-n由⑴22-⨯n + ⑵32-⨯n +…+1-n 02得122221-++++=n n b =12-n ,即1-n n a a =12-n.逐项相乘得：n a =2)12(-222)12()12(-⋅⋅-⋅n ,考虑到10=a ,故⎩⎨⎧-⋅⋅--=2222)12()12()12(1n n a )1()0(≥=n n .五、取倒数法例6 已知数列{n a }中,其中,11=a ,且当n ≥2时,1211+=--n n n a a a ,求通项公式n a ;解 将1211+=--n n n a a a 两边取倒数得：2111=--n n a a ,这说明}1{na 是一个等差数列,首项是111=a ,公差为2,所以122)1(11-=⨯-+=n n a n,即121-=n a n .六、取对数法例7 若数列{n a }中,1a =3且21n n a a =+n 是正整数,则它的通项公式是n a =▁▁▁2002年上海高考题.解 由题意知n a ＞0,将21n n a a =+两边取对数得n n a a lg 2lg 1=+,即2lg lg 1=+nn a a ,所以数列}{lg n a 是以1lg a =3lg 为首项,公比为2的等比数列,12113lg 2lg lg -=⋅=-n n na a ,即123-=n n a .七、平方开方法例8 若数列{n a }中,1a =2且213-+=n n a a n 2≥,求它的通项公式是n a .解 将213-+=n na a 两边平方整理得3212=--n n a a ;数列{2n a }是以21a =4为首项,3为公差的等差数列;133)1(212+=⨯-+=n n a a n ;因为n a ＞0,所以13+=n a n;八、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列,可以少走弯路.其变换的基本形式如下：1、B Aa a n n +=+1A 、B 为常数型,可化为λ++1n a =A λ+n a 的形式.例9 若数列{n a }中,1a =1,n S 是数列{n a }的前n 项之和,且nnn S S S 431+=+n 1≥,求数列{n a }的通项公式是n a .解 递推式nnn S S S 431+=+可变形为41311+⋅=+nn S S 1设1式可化为)1(311λλ+=++nn S S 2比较1式与2式的系数可得2=λ,则有)21(3211+=++n n S S ;故数列{21+nS }是以3211=+S 为首项,3为公比的等比数列;21+nS =n n 3331=⋅-;所以131-=nn S ; 当n 2≥,1238332231231211+⋅-⋅-=---=-=--n n nn n n n n S S a ;数列{n a }的通项公式是⎪⎩⎪⎨⎧+⋅-⋅-=123833212n n n n a )2()1(≥=n n ; 2、B Aa a n n +=+1n C ⋅A 、B 、C 为常数,下同型,可化为11++⋅+n n C a λ=n n C a A ⋅+λ(的形式.例10 在数列{n a }中,,342,1111-+⋅+=-=n n n a a a 求通项公式n a ;解：原递推式可化为：)3(2311-+⋅+=⋅+n n n n a a λλ①比较系数得λ=-4,①式即是：)34(23411-+⋅-=⋅-n n n n a a .则数列}34{1-⋅-n n a 是一个等比数列,其首项534111-=⋅--a ,公比是2. ∴112534--⋅-=⋅-n n n a 即112534--⋅-⋅=n n n a .3、n n n a B a A a ⋅+⋅=++12型,可化为)()(112n n n n a a A a a λλλ+⋅+=++++的形式;例11 在数列{n a }中,2,121=-=a a ,当N n ∈,n n n a a a 6512-=++ ① 求通项公式n a .解：①式可化为：比较系数得λ=-3或λ=-2,不妨取λ=-2.①式可化为：则}2{1n n a a -+是一个等比数列,首项122a a -=2-2-1=4,公比为3.∴11342-+⋅=-n n n a a .利用上题结果有：112534--⋅-⋅=n n n a .4、C Bn Aa a n n ++=+1型,可化为])1([21211λλλλ+-+=+++n a A n a n n 的形式;例12 在数列{n a }中,231=a ,12--n n a a =63-n ① 求通项公式n a .解 ①式可化为：21121)1()(2λλλλ+-+=++-n a n a n n ② 比较系数可得：1λ =-6,92=λ,② 式为12-=n n b b}{n b 是一个等比数列,首项299611=+-=n a b ,公比为21. ∴1)21(29-=n nb 即 n nn a )21(996⋅=+-故96)21(9-+⋅=n a nn .九、猜想法运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出123,,,a a a ……,然后猜想出满足递推式的一个通项公式n a ,最后用数学归纳法证明猜想是正确的;例13 在各项均为正数的数列{}n a 中,n S 为数列{}n a 的前n 项和,n S =1(2na + 1)na ,求其通项公式; 求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数的数列 形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q++===+是常数的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ,其特征方程为2x px q =+…①若①有二异根,αβ,则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数若①有二重根αβ=,则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ,进而求得n a ．例1．已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈,求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为232x x =-,解得121,2x x ==,令1212n n n a c c =⋅+⋅,由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩,得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩,112n n a -∴=+．例2．已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈,求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为2441x x =-,解得1212x x ==,令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩,得1246c c =-⎧⎨=⎩, 1322n n n a --∴=． 二、形如2n n n Aa Ba Ca D++=+的数列对于数列2n n n Aa Ba Ca D++=+,*1,(,,,a m n N A B C D=∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠其特征方程为Ax Bx Cx D+=+,变形为2()0Cx D A x B +--=…② 若②有二异根,αβ,则可令11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--其中c 是待定常数,代入12,a a 的值可求得c 值．这样数列n n a a αβ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为11a a αβ--,公比为c 的等比数列,于是这样可求得n a ．若②有二重根αβ=,则可令111n n c a a αα+=+--其中c 是待定常数,代入12,a a 的值可求得c 值．这样数列1n a α⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1n a α-,公差为c 的等差数列,于是这样可求得n a ． 此方法又称不动点法． 例3．已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+,求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为221x x x +=+,化简得2220x -=,解得121,1x x ==-,令111111n n n n a a c a a ++--=⋅++ 由12,a =得245a =,可得13c =-, ∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项,以13-为公比的等比数列,1111133n nn a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭,3(1)3(1)n nn n na --∴=+-．例4．已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+,求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为2146x x x -=+,即24410x x ++=,解得1212x x ==-,令1111122n n c a a +=+++由12,a =得2314a =,求得1c =,∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项,以1为公差的等差数列,123(1)11552n n n a ∴=+-⋅=-+,135106n na n -∴=-．。
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求递推数列的通项公式的十一种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1 在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=.二、作商求和法例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为：)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵ n n a a ++1＞0，11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……，n n a a n n 11-=- 逐项相乘得：n a a n 11=，即n a =n1. 三、换元法例3 已知数列{n a }，其中913,3421==a a ，且当n ≥3时，)(31211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）.解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为：}{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31.故n n n n b b )31()31(91)31(2211==⋅=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：n n a )31(2123-=.例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。
解 由1221=+---n n n a a a 得：1)()(211=------n n n n a a a a ，令11---=n n n a a b ，则上式为121=---n n b b ，因此}{n b 是一个等差数列，1121=-=a a b ，公差为1.故n b n =.。
由于112312121-=-++-+-=+++--n n n n a a a a a a a b b b 又2)1(121-=+++-n n b b b n 所以)1(211-=-n n a n ，即)2(212+-=n n a n四、积差相消法例5（1993年全国数学联赛题一试第五题）设正数列0a ，1a ，n a …，n a ，…满足2-n n a a 21---n n a a =12-n a )2(≥n 且110==a a ，求}{n a 的通项公式. 解 将递推式两边同除以21--n n a a 整理得：12211=----n n n n a aa a 设nb =1-n n a a ，则011a a b ==1，121=--n n b b ，故有 1212=-b b ⑴1223=-b b ⑵… … … …121=--n n b b (1-n )由⑴22-⨯n + ⑵32-⨯n +…+(1-n )02得122221-++++=n n b =12-n ，即1-n na a =12-n . 逐项相乘得：n a =2)12(-222)12()12(-⋅⋅-⋅n ，考虑到10=a ，故 ⎩⎨⎧-⋅⋅--=2222)12()12()12(1n n a )1()0(≥=n n . 五、取倒数法例6 已知数列{n a }中，其中,11=a ，且当n ≥2时，1211+=--n n n a a a ，求通项公式n a 。
解 将1211+=--n n n a a a 两边取倒数得：2111=--n n a a ，这说明}1{n a 是一个等差数列，首项是111=a ，公差为2，所以122)1(11-=⨯-+=n n a n ，即121-=n a n . 六、取对数法例7 若数列{n a }中，1a =3且21n n a a =+（n 是正整数），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2002年上海高考题）.解 由题意知n a ＞0，将21n n a a =+两边取对数得n n a a lg 2lg 1=+，即2lg lg 1=+nn a a ，所以数列}{lg n a 是以1lg a =3lg 为首项，公比为2的等比数列，12113lg 2lg lg -=⋅=-n n n a a ，即123-=n n a .七、平方（开方）法例8 若数列{n a }中，1a =2且213-+=n n a a （n 2≥），求它的通项公式是n a .解 将213-+=n n a a 两边平方整理得3212=--n n a a 。
数列{2n a }是以21a =4为首项，3为公差的等差数列。
133)1(212+=⨯-+=n n a a n。
因为n a ＞0，所以13+=n a n 。
八、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：1、B Aa a n n +=+1（A 、B 为常数）型，可化为λ++1n a =A （λ+n a ）的形式. 例9 若数列{n a }中，1a =1，n S 是数列{n a }的前n 项之和，且nnn S S S 431+=+（n 1≥），求数列{n a }的通项公式是n a .解 递推式n n n S S S 431+=+可变形为41311+⋅=+nn S S （1） 设（1）式可化为)1(311λλ+=++nn S S （2） 比较（1）式与（2）式的系数可得2=λ，则有)21(3211+=++n n S S 。
故数列{21+nS }是以3211=+S 为首项，3为公比的等比数列。
21+n S =n n 3331=⋅-。
所以131-=n n S 。
当n 2≥，1238332231231211+⋅-⋅-=---=-=--nn nn n n n n S S a 。
数列{n a }的通项公式是⎪⎩⎪⎨⎧+⋅-⋅-=123833212n n n n a )2()1(≥=n n 。
2、B Aa a n n +=+1n C ⋅（A 、B 、C 为常数，下同）型，可化为11++⋅+n n C a λ=n n C a A ⋅+λ(）的形式.例10 在数列{n a }中，,342,1111-+⋅+=-=n n n a a a 求通项公式n a 。
解：原递推式可化为：)3(2311-+⋅+=⋅+n n n n a a λλ ①比较系数得λ=-4，①式即是：)34(23411-+⋅-=⋅-n n n n a a .则数列}34{1-⋅-n n a 是一个等比数列，其首项534111-=⋅--a ，公比是2. ∴112534--⋅-=⋅-n n n a即112534--⋅-⋅=n n n a .3、n n n a B a A a ⋅+⋅=++12型，可化为)()(112n n n n a a A a a λλλ+⋅+=++++的形式。
例11 在数列{n a }中，2,121=-=a a ，当N n ∈，n n n a a a 6512-=++ ① 求通项公式n a . 解：①式可化为：))(5(112n n n n a a a a λλλ++=++++比较系数得λ=-3或λ=-2，不妨取λ=-2.①式可化为：)2(32112n n n n a a a a -=-+++则}2{1n n a a -+是一个等比数列，首项122a a -=2-2（-1）=4，公比为3. ∴11342-+⋅=-n n n a a .利用上题结果有：112534--⋅-⋅=n n n a .4、C Bn Aa a n n ++=+1型，可化为])1([21211λλλλ+-+=+++n a A n a n n 的形式。
例12 在数列{n a }中，231=a ，12--n n a a =63-n ① 求通项公式n a .解 ①式可化为：21121)1()(2λλλλ+-+=++-n a n a n n ② 比较系数可得：1λ =-6，92=λ，② 式为12-=n n b b}{n b 是一个等比数列，首项299611=+-=n a b ，公比为21. ∴1)21(29-=n n b 即 n n n a )21(996⋅=+-故96)21(9-+⋅=n a n n .九、猜想法运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出123,,,a a a ……，然后猜想出满足递推式的一个通项公式n a ，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。
例13 在各项均为正数的数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，n S =1(2n a + 1)n a ，求其通项公式。
求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…①若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数） 若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数） 再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a ．例1．已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ． 解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 112n n a -∴=+．例2．已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩， 1322n n n a --∴=．二、形如2n n n Aa Ba Ca D++=+的数列对于数列2n n n Aa Ba Ca D++=+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠）其特征方程为Ax Bx Cx D+=+，变形为2()0Cx D A x B +--=…②若②有二异根,αβ，则可令11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值．这样数列n n a a αβ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为11a a αβ--，公比为c 的等比数列，于是这样可求得n a ．若②有二重根αβ=，则可令111n n c a a αα+=+--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值．这样数列1n a α⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1n a α-，公差为c 的等差数列，于是这样可求得n a ． 此方法又称不动点法．例3．已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n n n n a a c a a ++--=⋅++ 由12,a =得245a =，可得13c =-， ∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n nn n na --∴=+-．例4．已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a ． 解：其特征方程为2146x x x -=+，即24410x x ++=，解得1212x x ==-，令1111122n n c a a +=+++由12,a =得2314a =，求得1c =， ∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552n n n a ∴=+-⋅=-+， 135106n na n -∴=-．。