G5

∆F dF τ = lim T = T ∆Α→ ∆Α 0 dA
——“正应力”，垂直于横截面 正应力” 正应力
——“剪应力”，平行于横截面 剪应力” 剪应力
44
⑵ 单位：
N 帕斯卡（帕） Pa = 2 帕 m 兆帕 1M =106 Pa Pa
⑴ 定义：σm =
千帕 吉帕
1kPa =103 Pa
1G =10 Pa Pa
板
一个方向的尺度远小 于其他两个方向的尺度
块体
壳
一个方向的尺度远小 三个方向具有 于其他两个方向的尺度 相同量级的尺度
19
20
21
22
23
24
等直杆：各横截面 的大小相同的直杆。 直杆：轴线为直线的杆。 直杆 杆 变截面直杆：各横 截面的大小不相同 曲杆：轴线为曲线的杆。 曲杆 的直杆。
§5-1 轴向拉伸与压缩的概念
一、工程实例： 工程实例： 活塞杆、厂房的立柱、工程桁架等。
F
F
B A C
F F
30
受力简图： F F
FN1
FN1 F 二、轴向拉压的概念： 轴向拉压的概念： （1）受力特点：作用于杆两端的外力合力作用线与杆轴线 重合。 （2）变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。
31
16
二、 变形固体及其基本假设 ⒈变形固体： 在外力作用下发生变形的固体。 变形固体 ⒉变形固体的基本假设： 变形固体的基本假设： ⑴ 连续性假设：认为变形固体整个体积内都被物质充满， 没有空隙和裂缝。 认为变形固体整个体积内各点处的力学 ⑵ 均匀性假设： 性质相同。
⑶ 各向同性假设： 认为变形固体沿各个方向的力学性质 相同（不适合所有的材料）。
m
F3
m
F1 △FT △F F2 c △A △FN F2 c F1
τ
p
σ
43
F1 △FT △F F2
F1
τ
F2 c
p
c △A
△FN ——∆A上的平均应力 ——C点处的总应力 C
σ
∆F ⑴ 定义： pm = ∆A
∆F dF p = lim = ∆A→ ∆Α 0 dA
∆FN dFN σ = lim = ∆Α→ ∆Α 0 dA
2 kL 2
取左侧x 段为对象，内力FN(x)为：
FN O q(x) x
∑X = 0 F (x) + ∫ kx x = 0 d N
x 0
1 2 F (x) = ∫ −kxdx = − kx N 2
x 0
FN（x）
F (x)m N ax
1 2 = − kL 2
41
三、轴向拉（压）杆横截面上的应力 （ ）
变形前
受力后 F F
46
47
48
② 变形规律： 横向线——仍为平行的直线，且间距增大。 纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。 ③ 平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面且各横 截面沿杆轴线作相对平移 F ④ 应力的分布规律——均布 ⑤ 应力的计算公式： ∆FN dFN = 由 σ = lim ∆Α→ ∆Α 0 dA 由于“均布”，可得
应力状态和 强度理论
⒉截面的几何性质、压杆稳定、能量法、动荷载
27
28
第五章
§5 - 1 §5 - 2 §5 - 3 §5 - 4 §5 - 5 §5 - 6 §5 - 7 §5 - 8
拉伸与压缩
轴向拉伸与压缩的概念 轴向拉压杆横截面上的内力与应力 轴向拉压杆斜截面上的应力 轴向拉伸与压缩时的变形 轴向拉伸与压缩时的变形 拉伸与压缩时 应力集中的概念 材料在拉伸和压缩时的力学性能 拉伸与压缩的强度计算 拉压超静定问题
1
绪
一、材料力学的任务
言
⒈材料力学是一门什么样的科学 ⑴构件：组成机器和结构物的每一个元件 ⑵ 承载能力： ①强度：构件在外力作用下抵抗破坏的能力。 强度 ②刚度：构件在外力作用下抵抗变形的能力。 刚度 ③稳定性：构件在外力作用下保持原有平衡状态的能力。 稳定性
2
受拉杆的强度问题
3
弯曲梁的强度和刚度问题
50
⑨ 圣维南原理： 作用于杆上的外力可以用其等效力系代替，但替换后外力作 用点附近的应力分布将产生显著影响，且分布复杂，其影响范围 不超过杆件的横向尺寸。 ⑩ 需要注意的问题 ⒜ 公式中各值单位要统一
N N =M Pa = Pa 2 2 m m m
代入绝对值， ⒝ “FN”代入绝对值，在结果后面可以标出“拉”、 代入绝对值 在结果后面可以标出“ “压”。
⒈问题提出： 问题提出： 2F F F ⑴ 内力大小不能全面衡量构件强度的大小。 ⑵ 构件的强度由两个因素决定： ① 内力在截面分布集度应力； ② 材料承受荷载的能力。 ⒉ 应力的概念 截面某点处内力分布的密集程度
42
2F F F
在大多数情形下，工程构件的内力并非均匀分布，集度的 定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力 集度最大处开始。 F1 一般受力杆： F2 F4
51
§5-3 轴向拉压杆斜截面上的应力
一、斜截面上应力确定 、 ⒈ 内力确定：
F F FN
F
FN = F F
⒉ 应力确定： ⑴ 应力分布——均布
pα
Fα F FN N N = = cosα =σ cosα ⑵ 应力公式： p = ： α A A A α cosα
52
σα = pα cosα =σ cos α
F FN2 FN2
§5-2 轴向拉压杆横截面上的内力与应力
一、内力的概念 1.外力：一个物体对另一个物体的相互作用力(荷载、支反 力)。 2.内力：物体内部各粒子之间的相互作用力。 附加内力：由外力作用而引起的物体内部各粒子之间相互作 附加内力 用力的改变量（材料力学中的内力）。 （材料力学中的内力） a
2
τα = p sinα = α
二、符号规定 、
σ
σα
F
n α
2
sin 2 α
τα
pα
x
⒈α：斜截面外法线与x轴的夹角。 x 轴逆时针转到 n 轴“α”规定为正值； x 轴顺时针转到 n 轴“α”规定为负值。 ⒉ σα：同“σ”的符号规定 ⒊ τα：在保留段内任取一点，如果“τα”对其点之矩为顺 时针方向规定为正值，反之为负值。
F F F F
32
F
F
二、截面法 轴力与轴力图 ⒈ 截面法的步骤 ⑴ 截开 — 欲求哪个截面的内力,就假想的将杆从此截面 截开,将杆分为两部分。
33
⑵ 代替 — 取其中一部分为研究对象,移去另一部分,把 移去部分对留下部分的相互作用力用内力代替。 ⑶ 平衡 — 利用平衡条件，列出平衡方程，求出内力的 大小。 ⒉轴力与轴力图 ⑴ 轴力——FN (内力) 1—1 F F
σ
可得
∫σdA= F
A
N
σ ∫A dA= FN
σA= FN
F σ = N —— 轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式 A
49
⑥ 拉压杆内最大的正应力：
σ ax 等直杆： m
FNmax = A
变直杆：σm ax
F = N A max
⑦ 正应力的符号规定——同内力 拉伸——拉应力，为正值，方向背离所在截面。 压缩——压应力，为负值，方向指向所在截面。 ⑧ 公式的使用条件 ⒜ 轴向拉压杆 ⒝ 除外力作用点附近以外其它各点处。（范围：不超过 杆的横向尺寸）
F 外力——F
}
FN
34
① 轴力的大小：（由截面法确定） 力的大小： 1—1 F F
F
}
截开； ⒜ 截开；
FN
代替； ⒝ 代替；用内力“FN”代替。 平衡。 ∑X = 0, ⒞ 平衡
FN - F = 0, FN = F
轴力的符号规定：原则—根据变形 ② 轴力的符号规定：原则 根据变形
35
拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。 压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。
9
⒊ 轴向拉（压）杆横截面上的应力 （ ）
∆F ∆FN ∆Α
F ∆A C F C △FN
——ΔA上的平均正应力
∆FN dFN σ = lim = ∆Α→ ∆Α 0 dA
——C点处的正应力
σ
45
⑵ 轴向拉压杆横截面上正应力的确定 推导的思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的 计算公式 ① 实验：
解： 求OA段内力FN1：设截面如图
∑X = 0 F 1 − F + F − F − F = 0 N A B C D
F 1 −5F +8F −4F − F = 0 N
F 1 = 2F N
38
O
A FA FN2
B FB B FB FN3
C FC C FC C FC FN4
D FD D FD D FD D FD
杆的两个几何要素 横截面：垂直于杆长度方向的截面。 横截面
横截面 轴线
轴线：各横截面中点的连线。
25
四 、 杆件变形的基本形式
内 容 种 类
外 力 特 点
变 形 特 点
轴 向 拉 伸 及 压 缩 剪 切 扭 转
平 面 弯 曲
组合受力与变形
26
五、材料力学研究的主要内容 ⒈
基本概念 基本假设 杆的四种 基本变形 斜弯曲 组合变形 轴向拉压与弯曲 弯曲与扭转 分析方法： 实例 外力 内力 应力 强度 变形 刚度 轴向拉压 剪切 扭转 弯曲
τα =τ45 =τmax =
o
σ
τmax ，α = ±45 ，
0
σα =σ±45 =
o
σ
2
; τα =τ−45o =τmin = − ,而 2 2
σ
.
54
§5-4 轴向拉伸与压缩时的变形
一、概念 ⒈轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 ⒉横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 二、分析两种变形 b L F L1
⒊ 应注意的问题
⑴ 在截开面上设正的内力方向。 在截开面上设正的内力方向。 采用截面法之前，不能将外力简化、平移。 ⑵ 采用截面法之前，不能将外力简化、平移。
F
F
F
F FN FN
37
例 5 —1 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5F、 8F、4F、F 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。 O A FA FN1 A FA B FB B FB C FC C FC D FD D FD
55
F
b1
56
57
⒈轴向变形
虎克定律
⑴ 轴向绝对线变形 在轴向外力的作用下杆的伸长ΔL=L1-L ，称为轴向绝对线 轴向绝对线 变形。 变形。 ⑵ 轴向线应变
∆L ε= L
⑶ 虎克定律
∆L ε = lim L→ L 0
值为“+”——拉应变， 无量纲。 值为“-”——压应变。
在弹性范围内：∆ ∝ L
FN + FN ⑵ 轴力图：轴力沿轴线变化的图形 FN ① 取坐标系 ② 选比例尺 ③ 正值的轴力画在X轴的 O 上侧,负值的轴力画在X轴的下侧。 x
36
⑶ 画轴力图的意义 ① 反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； ② 确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即 确定 危险截面位置，为强度计算提供依据。
53
三、注意： 注意： 在计算 “α”、“σα”、“τα”时，要连同它们的符号一并代 入公式。 2 四、σ、τ最大值的确定 ⒈在横截面上有
σα = pα cosα =σ cos α
σ
σα =σ0 =σmax =σ ,而 α =τ0 = 0 . τ
⒉ 在450斜截面上有
σmax，α = 0 τα = pα sinα = 2 sin 2α
17
⒊ 研究材料力学的前提条件 —— 小变形。 小变形：构件在外力作用下发生的变形与原有尺寸比较非常 小。（作静力分析时变形可以忽略不计，按原有尺寸计算）
B δ1 A C
F
A1
F
18
δ2
构件(杆件、 块体、 三、材料力学研究的对象—— 构件(杆件、板、块体、壳） 材料力学研究的对象
杆件
一个方向的尺度远大 于其他两个方向的尺度
39
同理，求得AB、 BC、CD段内力分 别为：
FN2= –3F FN3= 5F FN4= F
O
A FA
B FB 5F
C FC
D FD
FN 轴 力 图 如 右 图 示 2F F 3F 5kN 5kN 3kN 8kN 3kN x
40
例 5 —2图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试 画出杆的轴力图。 解：x 坐标向右为正，坐标原点在 q(x) 自由端。 L x
4
弯曲梁的刚度问题
5
6
受 压 杆 需 满 足 稳 定 性 的 要 求
7
桥梁的安全性
8
9
强 度 和 刚 度
10
工程构件的强度、 工程构件的强度、刚度问题
11
自行车结构也有强度、 自行车结构也有强度、 刚度和稳定问题
12Leabharlann 3大型桥梁的强度 刚度 稳定问题
14
15
结论：材料力学是一门研究构件承载能力的科学。 结论：材料力学是一门研究构件承载能力的科学。 ⒉材料力学的任务 材料力学就是通过对构件承载能力的研究，找到构件的截 面尺寸、截面形状及所用材料的力学性质 材料的力学性质与所受荷载之间的内 材料的力学性质 在关系，从而在既安全可靠又经济节省的前提下，为构件选择 适当的材料和合理的截面尺寸、截面形状。 材料的力学性质：指材料在外力作用下表现的破坏和变形的情 况。可由实验测定。