【精选】2019最新北师大版七年级数学下册5.3 第2课时 线段垂直平分线的性质 教案
初中数学北师大版七年级下册《532线段垂直平分线的性质》教学设计
北师大版数学七年级下册5.3.2线段垂直平分线的性质教学设计这条直线究竟有哪些性质呢?下面我们一起探究一垂线。
下.【做一做】请同学们在刚才折后的线段AB的折痕上取一点C,沿CA,CB将纸折叠,把纸张展开后，你将学生按照老师得到折痕CA和CB.•C 的要求进行折叠纸片，展开CA和CB3(1)通过手中的纸片，用刻度尺量取后发现它们相等.图).(2)通过折叠纸片，从它们互相重合发现它们相等.(3)通过三角形全等证明它们相等,在^AOC和^BOC中,因为AO=BO,Z AOC=Z BOC=90°,OC=OC,所以△AOC04BOC,所以AC=BC.如果改变点C的位置，那么AC还等于BC 吗?线段垂直平分由此你能得到线段垂直平分线的性质吗?线上的点到这条线段两个端等.【例】如图，在^ABC中，Z A=40°,Z B=90°,线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D,与AC交于点E,则Z BCD的度数是10【做一做】利用尺规，作线段AB的垂直平分线。
已知:线段AB.求作:线段AB的垂直平分线.A1线段垂直平分线的性质比较重要，要让学生自己发现结论，以便加深学生的理解和记忆，同时要让学生说明自己发现的正确性，逐步培养学生的说理能力.提示:可以结合我们刚才所讲的“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”来进行作图.1.分别以点A 和B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和D. 2.作直线CD.直线CD 就是线段AB 的垂直平分线.T'CIIAB\/-"D -注意：以点A 和B 为圆心画弧时，半径长必须要大于AB,这样才能得到C,D 两个交点.你能说明为什么所作的直线就是已知线段的垂直平分线吗？我们只要连CA,CB,DA,DB 就可以了，因为在△ADC 和^BDC 中.=3。
AD=BD,CD=CD,由SSS 可知△ADC 04BDC,得到N ACD=N BCD,再由等腰三角形的“三线合一”就可知道CD 是AB 的垂直平分线.如图所示，祥和乳业公司要在街道旁修建一个奶站,向居民区A,B 提供牛奶,奶站应建在什么地方，才能使A,B 到它的距离相等？可以先作线段AB 的垂直平分线，与河岸边的交点就是码头M 的位置.学生认真思考通过利用尺规作如何作线段线段的垂直平分AB 的垂直平 线，学生在动手分线，小组间 中学到了知识，相互讨论.教 理解并掌握了线师提示：可以 段垂直平分线的 结合我们刚才 定义与性质，有 所讲的“线段 利于学生的掌握 垂直平分线上和记忆 的点到这条线段两个端点的距离相等”来进行作图.的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,则下列结论不正确的是（B）A.AE=BEB.AC=BEC.CE=DED.Z CAE=Z B4.如图所示，在直角三角形ABC中,Z C=90°,Z CAB的平分线AD交BC于D,若DE垂直平分AB,求Z B的度数.。
北师大版七年级数学下册5.线段垂直平分线的性质及画法课件
新知探究
练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB 的垂直平分线，点P 为直线CD上的一
点，且PA=5，则线段PB 的长为（ B）
A. 6
B. 5
C. 4
C
P
D. 3
A
D E
A 图① D
B
B
C
图②
2.如图②所示，在△ABC 中，BC=8cm，边AB 的垂直平分线交AB 于点D，交
边AC 于点E, △BCE 的周长等于18cm，则AC的长是10cm .
课堂小结
线段的垂直 平分的性质
和画法
性质 画法
内容
线段的垂直平分线上的点到线 段的两个端点的距离相等 .
作 用 见垂直平分线，得线段相等 .
1、分别以线段的两个端点为圆心，以大于 二分之一线段的长为半径作弧，两弧在线 段两侧交于两点； 2、连接两个交点，即可作出所求线段的垂 直平分线 .
课堂小测
P2
P1
A
B
P3A _＝___ P3B
l
新知探究
猜想：点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 由此你能得到什么结论？ 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 你能验证这一结论吗？
新知探究
验证结论 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在直线l 上． 求证：PA =PB．
D.三边垂直平分线的交点
课堂小测
3.已知线段AB，在平面上找到三个点D，E，F，使DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，
这样的点的组合共有 无数 种. 4.下列说法： ①若点P，E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 ① ② ③ （填序号）.
北师大版七年级数学下册5.3简单的轴对称图形2
学习目标：1、经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特征，发展空间观念2、探索并了解角的平分线、线段垂直平分线的有关性质。
一、自主预习：
（一）预习准备（1பைடு நூலகம்预习书123~126页
思考：角平分线有什么特征？线段垂直平分线有什么特征？
（2）预习作业：
1、角是轴对称图形，它的对称轴是_______，角的平分线上的点到这个角的两边的距离_______。
2、线段是轴对称图形，它的一条对称轴是_______，另一条对称轴是线段所在的直线。
3、线段垂直平分线上的点到这条线段_______。
二、合作探究：
例1．如图，在△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB，BC于点E和D，BE=6，求△BCE的周长．
三、当堂检测：
（1）如图，AB是△ABC的一条边，，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB＝8cm，BD＝6cm，那么EA＝________，DA＝____.
C．两个全等的三角形组成一个轴对称图形;D．直角三角形一定是轴对称图形
4．如图，CD⊥OA，CE⊥OB，D、E为垂足．
（1）若∠1=∠2，则有___________;
（2）若CD=CE，则有___________．
5、下面用我们学过的知识证明发现：
如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC．求证：OE＝OD．
课后反思：
（2）如图，在△ABC中，AB＝AC＝16cm，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC＝10cm，那么△BCD的周长是_______cm.
四、总结反思：
1.角是图形。
2.角平分线上的点到这个角的两边的相等。
【最新】北师大版七年级数学下册第五章《5.3简单的轴对称图形(二)》公开课课件.ppt
。2021年1月11日星期一2021/1/112021/1/112021/1/11
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2021年1月2021/1/112021/1/112021/1/111/11/2021
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2021/1/112021/1/11January 11, 2021
A
B
做一做
按照下面的步骤做一做：
（1）在纸片上画一条线段AB，
对折AB使点A，B重合，
CC
折痕与AB的交点为O；
（2）在折痕上任取一点C，
沿CA将纸折叠； （3）把纸展开，得到折痕CA和CB。AA O BB
想一想
CC
（1）CO与AB有怎样的位置关系？
垂直
AO
B
（2）AO与BO相等吗？CA与CB 呢？能说明你的理由吗？
(2)以点A为圆心，以CB长为半径在直线 另一侧画弧．
(3)以点B为圆心，以CB长为半径在直线 另一侧画弧，交前一条弧于点D．
(4)经过点C、D作直线CD． 则直线CD即为所求．
小结
1. 垂直于一条线段并且平分它的直线叫这 条线段的垂直平分线。
2. 线段是轴对称图形，它的垂直平分线是 它的一条对称轴 .
3 简单的轴对称图形 （第2课时）
复习
温故知新
1、什么样的图形叫做轴对称图形？
把一个图形沿着某条直线对折， 如果对折的两部分是完全重合的， 我们就称这样的图形为轴对称图形， 这条直线叫做这个图形的对称轴。
2、下列图形哪些是轴对称图形？
探索1
线段是轴对称图形吗？如果是，你能找 出它的一条对称轴吗？这条对称轴与线 段存在着什么关系？
A
七年级数学下册 5.3.2《简单的轴对称图形(二)》尺规作图数学史素材 (新版)北师大版
初中尺规作图数学史尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中.初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴ 经过两已知点可以画一条直线；⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1r 时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴ 正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵ 四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA==.3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置？m【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，一是在线段AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位置.⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例2】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】 设半径为1..我们的任务就是做出这个长度..设法构造斜边1.【解析】 具体做法：⑴ 随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2.可算出顶点距圆心距离）的长度等分圆周就可以啦！⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例3】 已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.求作：正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.c b aD'DC B Acb a【分析】 假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b⊥于D ，将ABD ∆绕A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法：⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ；⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ；⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧).⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆.ABC ∆即为所求.⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例4】 已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.C B AG'F'E'D'GF E D C B A【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .【解析】 作法：⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上.⑶ 作直线'BF 交AC 于F .⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E .⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D .则四边形DEFG 即为所求.⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例5】 如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.【分析】 因为中线AM 平分ABC ∆的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ∆的面积，在AMC ∆中先割去AMP ∆，再补上ANP ∆.只要NM AP ∥，则A M P ∆和AMP ∆就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.【解析】 作法：⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ;⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ；⑶ 过P 、N 作直线l .直线l 即为所求. NM P CB Al。
5.3简单的轴对称图形(2)——线段的垂直平分线2024学年北师大版数学七年级下册
点(要求写出作法,并保留作图痕迹).
解:作法:如图,
①作E关于BC的对称点E1,
②连接E1F交BC于点M.
则点M即为所求.
思维过关
7.如图,线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O,连接AO,CO.
若∠OEB=46°,则∠AOC=( B )
3.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AC于点E,交BC于点
D,△ABD的周长为20 cm,AE=5 cm.求△ABC的周长.
解:因为DE是AC的垂直平分线,所以AD=CD.
所以△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+
CD=AB+BC=20 cm.
因为AE=5 cm,所以AC=2AE=2×5=10(cm).
35°
5
2.(2023·揭阳惠来县期末)如图,已知在△ABC中,∠B=50°,
∠C=20°,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平
分线分别交AC,BC于点F,G,连接AE,AG,则∠EAG=_____.
40°
3.如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交
又因为BD是AC边上的高,
所以∠DBC=90°-∠C=18°.
巩固提能
1.(2023·揭阳榕城区期末)如图,在△ABC中,直线MN为BC的垂直
平分线,并交AC于点D,连接BD.若AD=3 cm,AC=9 cm,则BD的
长为( A )
A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.9 cm
2.(2023·茂名电白区期末 )如图,△ABC中,ED垂直平分AB.若
第2章章节复习-北师大版七年级数学下册(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解平行线的性质与判定的基本概念。平行线是在同一平面内，永不相交的两条直线。它们在几何图形中起着关键作用，可以帮助我们解决实际问题。
案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了平行线在实际中的应用，以及如何利用平行线的性质来解决问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平行线的性质与判定、组合图形的面积计算等基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
今天我们在课堂上复习了第2章的内容，主要包括平行线的性质与判定、组合图形的面积计算等。回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思。
首先，关于平行线的性质与判定，我发现学生们在理解同位角、内错角等概念时还存在一定的困难。在今后的教学中，我需要更加注重引导学生通过实际操作，如折叠、画图等，来加深对这些概念的理解。此外，我还应设计更多有趣的例题，让学生在实践中掌握平行线的判定方法。
突破方法：引导学生发现图形的规律，运用所学知识解决实际问题。
（5）概率的计算：在实际问题中，如何正确求出事件的概率？
突破方法：通过大量练习，让学生掌握概率的计算方法。
（6）实数的运算：如何提高实数的运算速度和准确性？
突破方法：加强基本运算训练，提高学生的实数运算能力。
（7）数据的分析与处理：如何从数据中提取有价值的信息，进行简单数据分析？
突破方法：通过实际例题，让学生动手操作，加深对判定方法的理解。
北师大版初二数学下册131线段垂直平分线的性质与判定习题课件附答案
(2)∠BMN＝35°.(解法同(1)) 1
(3)∠BMN＝ 2 ∠BAC. 证明：连接AM.
在△ABC中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝
1 2
(180°－∠BAC)．
∵MN是AB的垂直平分线，
∴BM＝AM，∠BMN＝ 1 ∠BMA. 2
∴∠B＝∠BAM＝∠ACB.∴∠BMA＝∠BAC.
∴∠BMN＝
14. 如图①，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N， 交BC的延长线于点M，∠A＝40°.
(1)求∠BMN的度数． (2)若∠A＝70°，如图②，其余条件不变，求∠BMN的度数． (3)你发现了什么样的规律？请证明你发现的规律． (4)若∠A为钝角，如图③，其余条件不变，你发现的规律是否需
12. 如图，四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB＝AD， CB＝CD. (1)八年级王建同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为 四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为E，并且BE＝ ED，你同意王建同学的判断吗？请说明理由； (2)设对角线AC＝a，BD＝b，请用含a， b的式子表示四边形ABCD的面积．
2
＝ 1 BD•AC
2
＝
1 2
ab.
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点， 连接AE并延长AE交BC的延长线于点F. (1)求证：CF＝AD； (2)若AD＝2，AB＝8，当BC的长为多少时，点B在线 段AF的垂直平分线上？为什么？
(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ECF＝∠ADE. ∵E为CD的中点，∴CE＝DE. 在△FEC与△AED中，
1 2
∠BMA＝
1 2
∠BAC.
(4)不需要修改．
∠FEC＝∠AED， CE＝DE， ∠ECF＝∠EDA， ∴△FEC≌△AED(ASA)． ∴CF＝AD.
简单的轴对称图形——垂直平分线和角平分线(7类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版7年级下册
第03讲简单的轴对称图形—垂直平分线和角平分线(7类热点题型讲练)1．理解线段的垂直平分线的概念；2．掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；(重点)3．能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算．(难点)4．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点)5．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)知识点01线段的垂直平分线（简称中垂线）定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.作法：作已知线段的垂直平分线.知识点02角平分线的性质1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.3.作已知角的角平分线.题型01根据线段垂直平分线的性质求解【例题】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在()ABC AB AC < 中，BC 边上的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，15cm AC =，ABE 的周长为24cm ，则AB 的长为．【变式训练】1．（2024·山东滨州·一模）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径画弧，两弧相交于M ，N 两点；作直线MN 交AB 于点E ．若16AB =，8AC =，则BE 长为．2．（23-24八年级下·四川雅安·阶段练习）如图所示，在ABC 中，DM EN 、分别垂直平分AB 和AC ，交BC 于D E 、．(1)若50DAE ∠=︒，求BAC ∠的度数；(2)若ADE V 的周长为19cm ，求BC 的长度．题型02线段垂直平分线的实际应用【例题】（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）如图，政府计划在,,A B C 三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（）A ．ABC 三边垂直平分线的交点B ．ABC 三条角平分线的交点C ．ABC 三条高所在直线的交点D ．ABC 三条中线的交点【变式训练】1．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，A ，B ，C 表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（）A ．AC ，BC 两边垂直平分线的交点处B ．AC ，BC 两边中线的交点处C ．AC ，BC 两边高线的交点处D ．A ∠，B ∠两内角平分线的交点处题型03作垂线（尺规作图）【例题】（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图，在ABC 中，90C ∠=︒．(1)尺规作图：作边AB 的垂直平分线，交BC 与点D ，交AB 于点E （保留作图痕迹，不写作法）(2)若38ABC ∠=︒，求CAD ∠的度数．【变式训练】1．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，某社区要在居民区A ，B 所在的直线上建一图书室E ，并使图书室E 到本社区两所学校C 和D 的距离相等．已知CA AB ⊥，DB AB ⊥，垂足分别为A ，B ，且 2.5km AB =，1.5km CA =， 1.0km BD =．(1)请用直尺和圆规在图中作出点E （不写作法，保留作图痕迹）；(2)求图书室E 到居民区A 的距离．2．（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，某居民小区在三栋住宅楼A ，B ，C 之间修建了供居民散步的三条绿道，小区物业打算在绿道内部修建一个凉亭，按照设计要求，凉亭到三条绿道的距离相等，请在图中标注凉亭的位置，保留作图痕迹，并说明设计理由．题型04根据角平分线的性质定理求解【例题】（23-24八年级下·广东茂名·期中）如图，OP 平分AOB ∠，PC OB ⊥，如果6PC =，那么点P 到OA 的距离等于【变式训练】1．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E ，若6,2AC DE ==，则ACD 的面积为．2．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知P 是AOB ∠平分线上一点，15AOP ∠=︒，CP OB ∥交OA 于点C ，PD OB ⊥，垂足为D ，且6PC =，则OPC 的面积等于．题型05根据角平分线的性质定理证明【例题】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，点E 为BC 上一点，DE 平分ADC ∠，且AE 平分BAD ∠．(1)求证：ED AE ⊥；(2)求证：点E 为BC 的中点．【变式训练】1．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）教材第56页拓广探索12题：(1)如图，在ABC 中，AD 是它的角平分线①求证：ABD ACD S AB S AC=△△；②另一方面，我们进一步探索，可以证明ABDACD S BD S CD= ．请你选择上述两结论中的其中一个进行证明；(2)由（1）的探索我们可以得到关于ABC 的角平分线AD 的一个性质，请你总结这个性质（结合图1表述）；(3)运用你所得到的结论完成下列证明：如图2，AD 是BAC ∠的平分线，CE AD ∥交BA 的延长线于点E ．求证：BD BA CD EA=．2．（22-23八年级上·上海普陀·期中）如图，在ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线．(1)在线段AD 上任意取一点F ，过点F 作MN AD ⊥，交AB 于点M ，交AC 于点N ，通过这样的作图能得到结论MF FN =，那么依据是_________．(2)如果=60B ∠︒，CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，且AD 、CE 相交于点F ，求证：FE FD =．(3)如果100ACB ∠=︒，在边AB 上截取一点E ，连接CE ，使20ACE ∠=︒，连接DE ．请直接写出ADE ∠的度数．题型06角平分线的性质实际应用【例题】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（）A ．在边AC ，BC 两条高的交点处B ．在边AC ，BC 两条中线的交点处C ．在边AC ，BC 两条垂直平分线的交点处D ．在ABC ∠和ACB ∠两条角平分线的交点处【变式训练】1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线a ，b ，c ，表示三条相互交叉的公路，交点为三个小区，现拟建一个超市，要求它到三个小区的距离都相等，则可以供选择的地址有（）A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处题型07作角平分线（尺规作图）【例题】（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图1，两条交叉马路OM ，ON 中间区域建有A ，B 两个温室花房．现要在两条马路OM ，ON 之间的空场处建鲜花交易中心P ，使得交易中心P 到两条马路OM ，ON 的距离相等，且到两个温室花房A ，B 的距离也相等．如何确定交易中心P 的位置?如图2，利用尺规作图求作点P （不写作法，保留作图痕迹）．【变式训练】1．（2024·广东茂名·一模）如图，已知ABC ，CA CB =，ACD ∠是ABC 的一个外角．(1)请用尺规作图法，求作射线CP ，使CP 平分ACD ∠．（保留作图痕迹，不写作法）(2)证明：CP AB ∥．2．（23-24九年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，AB CD ∥，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，大于12EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M ．(1)若110ACD ∠=︒，求MAB ∠的度数；(2)若CN AM ⊥，垂足为N ，求证：ACN MCN △≌△．一、单选题1．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，100,BAC AB AC ∠=︒>．若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ，则PAQ ∠的度数是（）A ．20︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒2．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，ABC 中，90BAC ∠=︒，534BC AC AB ===，，，点D 是ABC ACB ∠∠，的角平分线的交点，则点D 到BC 的距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．3.53．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图在ABC 中，边AB ，AC 的垂直平分线交于点P ，连结BP ，CP ，若50A ∠=︒，则BPC ∠=（）A ．100︒B ．95︒C ．90︒D ．50︒4．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在ABC 中，AB AC =，54B ∠=︒，以点C 为圆心，CA 长为半径作弧交AB 于点D ，分别以点A 和点D 为圆心，大于12AD 长为半径作弧，两弧相交于点E ，作直线CE ，交AB 于点F ，则ACF ∠的度数是（）A ．25︒B ．20︒C ．18︒D ．15︒5．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法正确的是（）①ABE 的面积BCE =△的面积；②=AFG AGF ∠∠；③2FAG ACF ∠=∠；④AF FB =．A ．①③④B ．①②④C ．①②③D ．③④二、填空题6．（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，3cm AE =，ABD △的周长为13cm ，则ABC 的周长．7．（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，在Rt ABC 中，90B Ð=°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点D ，E ，再分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 长为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点G ，若1BG =，4AC =，则ACG 的面积为8．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，ABC 的面积是12，8AB =，CAB ∠的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是线段AD ，AC 上的动点，则CM MN +的最小值是．9．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在ABC 中，100A ∠=︒，点D 是BC 上的一点，BD ，CD 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点E ，F ，则EDF ∠=．10．（2023·四川泸州·二模）如图，已知线段6AB =，点P 为线段AB 上一动点，以PB 为边作等边PBC ，以PC 为直角边，CPE ∠为直角，在PBC 同侧构造Rt PCE △，点M 为EC 的中点，连接AM ，则AM 的最小值为三、解答题11．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）A 、B 是两个村庄，12L L 、是两条马路．为发展经济，提高农民收入，镇政府决定建立一个蔬菜批发市场，选址要使市场到两条马路和两个村庄的距离都相等．请你用尺规在图中找出市场的位置．（不用写作法，但是要保留作图痕迹）12．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，且BD DE =，连接AE ．(1)求证：AB EC =；(2)若ABC 的周长为42cm ，16cm AC =，求DC 的长．13．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，D 为线段CE 的中点，BE AC =．(1)求证：AD BC ⊥．(2)若75BAC ∠=︒，求B ∠的度数．14．（22-23八年级上·辽宁营口·期中）感知：如图1，AD 平分BAC ∠，180B C ∠+∠=︒．90B Ð=°探究：如图2，AD 平分BAC ∠，180B C ∠+∠=︒．90B ∠<︒，求证：DB DC =．15．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在ABC 中，AC CB ≠，DM 、EN 分别垂直平分AC 和BC ，交AB 于点M 、N ，垂足分别为点D 、E ，分别延长DM 和EN ，相交于点F ．八年级的小明同学非常喜欢钻研数学问题，在学习线段垂直平分线时，他发现MCN ∠与ACB ∠存在一定的数量关系，于是他通过举例的方式进行研究：(1)当100ACB ∠=︒时，MCN ∠=________；当80ACB ∠=︒时，MCN ∠=________．(2)当ACB m ∠=时，求MCN ∠的度数（用含m 的代数式表示，写出推理过程）．(3)当50DFE ∠=︒时，MCN ∠=________°．16．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知等边ABC ，点N 是边AB 上一点，以BN 为边向外作等边BNM ，连AM 、CN ．(1)如图1，求证：AM CN =；(2)如图2，若CN AB⊥，判断BC与MN的关系并证明；(3)如图3，在（2）下，连MC，以MC为边向下作等边MCP，设MC交AB于G，连PG，求证：12PMG PCGS S=△△．。
北师大版七年级下册 第五章生活中的轴对称(教案)
5.1 轴对称现象教学目标：1．经历观察生活中的轴对称现象、探索轴对称现象共同特征的过程，进一步积累数学活动经验和发展学生的空间观念．2．理解轴对称图形和成轴对称的图形的定义，能够识别这些图形并能指出它们的对称轴．3．欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值．教学重点：通过对现实生活实例和典型图案的观察与分析，认识轴对称和轴对称图形，会找出简单的轴对称图形的对称轴教学难点：理解轴对称图形和轴对称的联系与区别教学过程：一、出示目标：二、动手自学：阅读教材P115～P117的内容，完成下面练习1．如果一个平面图形沿一条折叠后，直线两旁的部分能够，那么这个图形就叫做，这条直线叫做.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴) .2．如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够重合，那么称这两个图形，这条直线叫做这两个图形的.三、展示分享：1、观察图5-2中的图形，哪些图形是轴对称图形？如果是轴对称图形，请找出它的对称轴2、说出如何判断两个图形成轴对称图形？并且画出下列图形的对称轴3、誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是()四、课堂检测：1、下面的图形都是轴对称图形或成轴对称的图形，请分别找出每个图形的对称轴2、观察下面的图形，哪些图形是轴对称图形？如果是轴对称图形，请画出对称轴五、拓展链接：1、下列汉子中，哪些可以看成是轴对称图形？2、试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格．正多边形的边数34567…对称轴的条数34567…根据上表，猜想正n边形有条对称轴．六、布置作业七、教学反思5.2 探索轴对称的性质教学目标：1．经历探索轴对称性质的过程，积累数学活动经验，发展空间观念．2．理解轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．教学重点：探索并掌握轴对称的性质教学难点：运用轴对称的性质作图及利用轴对称的性质解决一些实际问题教学过程：出示目标：动手操作（1）：将一张矩形纸对折，然后用笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺平。
七年级数学下册 5.3.2《简单的轴对称图形(二)》尺规作图数学史素材 (新版)北师大版
初中尺规作图数学史尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中.初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴ 经过两已知点可以画一条直线；⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1r 时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴ 正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵ 四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA==.3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置？m【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，一是在线段AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位置.⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例2】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】 设半径为1..我们的任务就是做出这个长度..设法构造斜边1.【解析】 具体做法：⑴ 随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2.可算出顶点距圆心距离）的长度等分圆周就可以啦！⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例3】 已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.求作：正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.c b aD'DC B Acb a【分析】 假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b⊥于D ，将ABD ∆绕A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法：⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ；⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ；⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧).⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆.ABC ∆即为所求.⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例4】 已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.C B AG'F'E'D'GF E D C B A【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .【解析】 作法：⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上.⑶ 作直线'BF 交AC 于F .⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E .⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D .则四边形DEFG 即为所求.⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例5】 如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.【分析】 因为中线AM 平分ABC ∆的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ∆的面积，在A M C ∆中先割去AMP ∆，再补上ANP ∆.只要NM AP ∥，则A M P ∆和AMP ∆就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.【解析】 作法：⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ;⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ；⑶ 过P 、N 作直线l .直线l 即为所求. NM P CB Al。
5.3第2课时线段垂直平分线的性质导学案北师大版七年级数学下册
5.3 简单的轴对称图形第2课时线段垂直平分线的性质学习目标：1.理解线段垂直平分线的性质和判定．2.能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题.自主学习一、情境导入什么样的图形叫做轴对称图形？线段是轴对称图形吗？合作探究一、要点探究知识点一：线段垂直平分线的性质在纸片上画一条线段AB，然后对折AB，使A，B两点重合，设折痕与AB的交点为O. 你发现了什么？【归纳总结】议一议如图，点C是线段AB垂直平分线上的一点，AC和BC相等吗？改变点C的位置，结论还成立吗？【归纳总结】【典例精析】例1利用尺规，作线段AB的垂直平分线.已知：线段AB.求作：AB的垂直平分线.做一做利用尺规作如图所示的△ABC的重心.【典例精析】例2如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12厘米，BC＝10厘米，则△BCD的周长为()A．22 厘米B．16 厘米C．26 厘米D．25 厘米例3如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）？【针对训练】1. 如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，点P 为直线CD 上的一点，且P A = 5，则线段PB 的长为 ( )A. 6B. 5C. 4D. 32. 如图，AB 是△ABC 的一条边，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E ，并交BC 于点D ，已知AB = 8 cm ，BD = 6 cm ，那么EA =_____cm ，DA =_____cm.3. 如图，DE 是△ABC 的边AB 的垂直平分线，交 AB 、BC 于D 、E ，若AC = 4，BC = 5，求△AEC 的周长. 二、课堂小结 1. 如图，在△ABC 中，BC = 8 cm ，边AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18 cm ，则AC 的长是 cm.2. 如图，AD △BC ，BD = DC ，点C 在AE 的垂直平分线上，AB ，AC ，CE 的长度有什么关系？AB + BD 与DE 有什么关系？3.如图，A ，B ，C 三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这三个工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P ，并说明理由.参考答案合作探究一、要点探究知识点一：知识点一：三角形的中线典例精析例1 利用尺规，作线段AB 的垂直平分线.已知：线段AB .求作：AB 的垂直平分线.作法：1.分别以点 A 和 B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和D ；2. 作直线CD ．直线CD 就是线段AB 的垂直平分线.做一做利用尺规作如图所示的△ABC 的重心.典例精析例2 如图，DE 是AC 的垂直平分线，AB＝12厘米，BC ＝10厘米，则△BCD 的周长为 ( A ) 当堂检测A．22 厘米B．16 厘米C．26 厘米D．25 厘米解析：根据线段垂直平分线的性质得CD＝AD，故△BCD的周长为DC＋BD＋BC＝AD＋BD＋BC＝AB＋BC＝12＋10＝22 (厘米).例3如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）？解析：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，交AB于E.因为EO是线段AB的垂直平分线，所以点O到A，B的距离相等.所以这个公共汽车站C应建在O点处，才能使到两个小区的路程一样长．针对训练1. 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且P A = 5，则线段PB的长为( B)A. 6B. 5C. 4D. 32. 如图，AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB = 8 cm，BD = 6 cm，那么EA =__4__cm，DA =__6__cm.3. 如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，交AB、BC于D、E，若AC = 4，BC = 5，求△AEC的周长.解：因为DE是△ABC边AB的垂直平分线，所以EB = EA.所以△AEC的周长为AC + CE + EA = AC + CE + EB = AC + BC = 4 + 5 = 9.当堂检测1. 如图，在△ABC中，BC = 8 cm，边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18 cm，则AC的长是10 cm.2. 如图，AD△BC，BD = DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB + BD与DE有什么关系？解：因为AD⊥BC，BD = DC,所以AD是BC的垂直平分线.所以AB= AC.因为点C在AE的垂直平分线上，所以AC= CE.所以AB= AC= CE.所以AB+BD=CE+DC，即AB+BD=DE.3.如图，A，B，C三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这三个工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P，并说明理由.提示：连接AB，AC，分别作AB，AC的垂直平分线，两线交于一点，这点即为所求的点P.。
线段的垂直平分线(第2课时)教学课件--北师大版初中数学八年级(下)
第一章 三角形的证明
1.3线段的垂直平分线（第2课时）
学习目标
1.掌握和证明三角形的三条边的垂直平分线的性 质定理。（重点） 2.已知底边和底边上的高，能用尺规作等腰三角 形。（难点）
知识回顾
用尺规作线段的垂直平分线.
已知:线段AB,（如图）. 求作:线段AB的垂直平分线.
等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；
③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB
外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平
分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.
正确的有（ A ）
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
9.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所 在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B 的大小为___2_0°_或__7_0_°__
h
已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，
高AD=h。
已知：线段a、h。
a
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，
h
高AD=h。
M
作法：
A
1．作线段BC=a；
2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；
3．在直线MN上作线段DA,使DA=h；
B
4．连接AB、AC.
△ABC为所求的等腰三角形。
1
3.已知线段a，求作以a为底，以 a为高的等腰三角
形。这个等腰三角形有什么特征? 2
4.已知：在△ABC中，ON是AB的垂直 平分线,OA=OC
求证：点O在BC的垂直平分线上.
5.如图，AC=AD，BC=BD，则（ B ）
A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD C.CD平分∠ACB D.以上结论均不对
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2课时线段垂直平分线的性质
1．理解线段的垂直平分线的概念；
2．掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；(重点)
3．能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算．(难点)
一、情境导入
1．我们学过轴对称图形，这类图形因为具有轴对称的特征而显得匀称美丽．那么什么样的图形是轴对称图形？
2．我们学过的图形中，有哪些图形是轴对称图形？线段是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
二、合作探究
探究点一：线段垂直平分线的性质
【类型一】利用线段垂直平分线的性质进行证明
如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF.试说明：∠B
＝∠CAF.
解析：由EF垂直平分AD，则可得AF＝DF，进而再转化为角之间的关系，通过角之间的关系转化，最终得出结论．
解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF，∴∠ADF＝∠DAF.∵∠ADF＋∠ADB＝180°，∠BAD＋∠B＋∠ADB＝180°，∴∠ADF＝∠B＋∠BAD.又∵∠DAF＝∠CAF＋∠CAD，∠BAD＝∠CAD，∴∠B＝∠CAF.
方法总结：解题时，往往利用线段垂直平分线的性质得出线段相等，进而得出角相等，这体现了数学的转化思想．
【类型二】利用线段垂直平分线的性质进行判断
如图，已知AB是CD的垂直平分线，下列结论：①CO＝DO；②AO＝BO；③AB⊥CD；
④CD⊥AB.正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：因为AB是CD的垂直平分线，所以AB垂直于CD，且把CD分成相等的两部分．所以①CO＝DO，③AB⊥CD，④CD⊥AB都正确，只有②AO＝BO错误．故选C.
方法总结：AB是CD的垂直平分线，它包含两个方面的含义：一是AB与CD垂直，二是AB把CD分成相等的两部分．“垂直”是相互的，而“平分”是“单向”的．【类型三】与线段垂直平分线有关的计算
如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12厘米，BC＝10厘米，则△BCD的周长为( )
A．22厘米 B．16厘米
C．26厘米 D．25厘米
解析：要求△BCD的周长，已知BC的长度，只要求出BD＋CD即可．根据线段垂直平分线的性质得CD＝AD，故△BCD的周长为BD＋DC＋BC＝AD＋BD＋BC＝AB＋BC＝12＋10＝22(厘米)．故选A.
方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．对相等的线段进行转化是解答本题的关键．
【类型四】线段垂直平分线的性质与全等三角形的综合
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长
AE交BC的延长线于点F.试说明：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可解答．解：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD；
(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.又∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.
方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．
探究点二：线段垂直平分线的作图
如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个
新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)?
解析：作线段AB的垂直平分线，由垂直平分线的定理可知，垂直平分线上的点到A，B 的距离相等．
解：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，交AB于E.
∵EO是线段AB的垂直平分线，∴点O到A，B的距离相等，∴这个公共汽车站C应建在O点处，才能使到两个小区的路程一样长．
方法总结：对于作图题首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
三、板书设计
1．线段垂直平分线的定义
2．线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
本节课学习了线段的垂直平分线的定义、性质、判定，由线段的垂直平分线的性质可以得出线段相等；要判定线段的垂直平分线有两种方法：(1)根据定义；(2)根据判定定理．在教学中，让学生主动参与，理解线段的垂直平分线的性质与判定的区别与联系．同时由线段的垂直平分线的性质的教学渗透数学的转化思想。