《2.2.2双曲线的几何性质》教学案

2.2.2《双曲线的几何性质》教学案
教学目标
1.掌握双曲线的几何性质
2.能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程. 教学重点
双曲线的几何性质
教学难点
双曲线的渐近线
教学过程
复习回顾：
师：上一节，我们学习了双曲线的标准方程，这一节，我们要根据它来研究双曲线的几 何性质.同学们可以按照研究椭圆几何性质的方法和步骤，自己推出双曲线的几何性质，然 后与课文对照，所以，我们来回顾一下研究椭圆的几何性质的方法与步骤.（略） II .讲授新课：
1.范围：
双曲线在不等式x ≥a 与x ≤－a 所表示的区域内.
2.对称性：
双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线中心.
3.顶点：
双曲线和它的对称轴有两个交点A 1(－a ，0)、A 2(a ，0)，它们叫做双曲线
的顶点.
线段A 1A 2叫双曲线的实轴，它的长等于2a ，a 叫做双曲线的实半轴长；线段
B 1B 2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b ， b 叫做双曲线的虚半轴长.
4.渐近线
①我们把两条直线y =±x
a
b 叫做双曲线的渐近线； ②从图8—16可以看出，双曲线122
22=-b
y a x 的各支向外延伸时，与直线y =±x a
b 逐渐接近. ③“渐近”的证明：
先取双曲线在第一象限内的部分进行证明.这一部分的方程可写为y =
x a x a b (22->a ).
设M (x ，y )是它上面的点，N (x ，y )是直线y =x a b 上与M 有相同横坐标的点，则Y =x a b . ∵y =Y x a
b x a x a b a x a b =-=- 222)(1 ∴)(22a x x a b
y Y MN --=
-= 222222))((a
x x a x x a x x a b -+-+--⋅= 22a x x ab
-+= 设MQ 是点M 到直线y =x a
b 的距离，则MQ <MN ，当x 逐渐增大时，MN 逐渐减小，x 无限增大，MN 接近于O ，MQ 也接近于O .就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON 的下方逐渐接近于射线ON .
在其他象限内，也可证明类似的情况.
(上述内容用幻灯片给出).
④等轴双曲线：
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
⑤利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.
5.离心率：
双曲线的焦距与实轴长的比e =
a
c ，叫双曲线的离心率. 说明：①由c >a >0可得e >1；
②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.
师：为使大家进一步熟悉双曲线的几何性质，我们来看下面的例题.
例1 求双曲线9y 2－16x 2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 解：把方程化为标准方程.
13
422
22=-x y . 由此可知，实半轴长a =4，虚半轴长b =3.
5342222=+=+=b a c .
焦点的坐标是(0，－5)，(0，5). 离心率4
5==a c e . 渐近线方程为
y x 43±=，即x y 3
4±=. 说明：此题要求学生认识到第二种形式的标准方程所对应的双曲线性质与课本性质的相同点与不同点.可让学生比较得出(作为练习).。