完全平方公式导学案
完全平方公式导学案04
完全平方公式1【学习目标】1．完全平方公式的推导及其应用．2．完全平方公式的几何解释．【重难点】1. 完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用2. 理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算【自主学案】一、自学指导1.复习回顾：平方差公式，自学课本2.计算下列各式。
(p +1)2=(p +1)(p +1)=_________________(m+2)2=（p －1）2=(p －1)(p －1)=_______ (m-2)2= __： 你发现了什么规律:_____________________________________________请你利用这个规律填空(a+b)2=_________________ (a-b)2=________________________3.证明（1）代数证明，（2）几何证明4. (a+b)2= a 2 +2ab+b 2 (a-b)2= a 2 - 2ab+b 2两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
首平方，尾平方，首尾两倍中间放.二、自学检测1.例：用完全平方公式计算。
(1)（4m +n ）2 (3)(x +6）2 (4)(y －5）2 (2)（x 43－y 32）2 (5)（2x +5）2练习：2.下列各式的计算错在哪里？应当怎样改正？（1）（a+b）2 =a2+b2 (2)（a－b）2 =a2－b2三、合作探究1.如果a2+ma+9是一个完全平方式，那么m=2.例2、运用乘法公式计算:(1)(a + 2b– 1 ) 2 ;(2)(2x +y +z ) (2x–y–z )（3）99。
992 ( 4 )10223.已知（a+b)2=7,(a-b)2=11,求以下各式的值（1）a2+b2（2）ab（3）a4+b4【学后反思】通过本节课的学习，你有什么收获？。
完全平方公式导学案
14.2.2完全平方公式（2）学习目标知识与技能掌握添括号法则的推导，会综合运用添括号法则、平方差公式、完全平方公式解决问题；过程与方法经历添括号法则的探究，学习逆向思维；经历合作交流，学习根据数学式子的结构特点，适当恒等变形和灵活运用公式；情感态度与价值观感悟知识间的相互联系，体会知识的灵活运用，从中获得成功的体验。
学习重点：添括号法则的推导，知识的综合运用学习难点：添括号在具体问题中的灵活应用一、复习提问：1.填空：(1)平方差公式(a+b)(a-b)= ；(2)完全平方公式(a+b)2= ，(a-b)2= .（3）去括号法则：。
二、探究新知1、去括号：(a + b)-c-(a-b)+c③ = a+(b-c)(4)a-(b+c)= ④ = a-(b+c)2、通过观察①----- ④四个等式我们发现等式的左边括号，等式的右边括号，也就是添了括号，那么你能类比去括号法则总结出添括号法则吗？添括号法则：三、班级展示1、你能用符号语言表达添括号的法则吗？试试看？添括号与去括号有何关系？2、填空：(1)a+b+c=( )+c； (2)a-b+c=( )+c；(3)-a+b-c=-( )-c； (4)-a-b+c=-( )+c；(5)a+b-c=a+( )； (6)a-b+c=a-( )；(7)a-b-c=a-( )； (8)a+b+c=a-( ).思考：你能用什么办法检验你的添括号运算是否正确？3、用乘法公式计算(1) (a-b-c)2 (2)（a+2b-3c）(a-2b+3c)（3）()()2222a b a b+-（4）（x－y）2－（y+2x）（y－2x）四、当堂检测：1、判断下列运算是否正确,若有错，请改正。
（1）22()22c ca b a b--=--（2）32(32)m n a b m n a b-+-=++-（3）232(232)x y x y-+=-+-（4）245(2)(45)a b c a b c--+=--+2、如果2436x kx++是一个完全平方公式，则k的值是多少？3、计算(1) (2x+y+z)(2x-y-z) （2） (x+1)(x-3)-(x+2)2+(x+2)(x-2)4、一个正方形的一边增加3cm ，与其相邻的一边减少3cm ，所得到的长方形的面积与这个正方形的每条边减少1cm 所得到的正方形的面积相等，求得到的长方形的长和宽？五、能力提升：1、想一想，下列式子你能运用乘法公式计算吗？试试看？()()11++-+-+z y x z y x2、已知7a b +=- ， 12ab =，求22a b +和 2()a b -的值。
新人教版八年级数学上册 14.4.2《 完全平方公式》导学案
新人教版八年级数学上册 14.4.2《完全平方公式》导学案导学目标1.会推导完全平方公式，并运用公式进行简单的计算。
2.了解完全平方公式的几何背景。
重点掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算。
难点在应用公式时要注意结构特点，符号和项数，不要漏项，培养学生严禁的学习态度。
教学过程教学环节教学任务教师活动学生活动预见性问题及对策复习请举例说说整式乘法中的完全平方公式提出问题，布置任务。
倾听学生的回答，做必要的纠正。
学生自主完成学习任务，组内交流，组长倾听本组同学的回答，及时补充并纠正预见性问题：对策：教师强化性质,精讲技巧。
研习问题一：阅读教材169页的探究问题，并回答下列问题：1.把上面整式乘法中的完全平方公式等号左右调换位置式子是否还成立？2.根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？3.把下列各式分解因式．（1）a2+2ab+b2 （2）a2-2ab+b24.针对性练习：下列各式是不是完全平方式？说出谁是公式中的“a”和“b”（1）a2-4a+4 （2）x2+4x+4y2（3）4a2+2ab+14b2 （4）a2-ab+b2（5）x2-6x-9 （6）a2+a+0.255、分解因式：（1）16x2+24x+9 （2）-x2+4xy-4y2解：布置研习问题1、2的学习任务。
巡视学生独立完成后，小组自觉合作，深入小组之中，并重点关注学困生。
关注组长是否起到作用。
板书待定系数法的基本步骤，精讲问题2变式。
强调书写规范.先独立完成学案为题1、2及变式问题。
在组长的组织下，以组为单位进行交流，达成共识组长纠正本组同学出现的问题，及时进行指导。
组内交流、讨论，统一答案，准备汇报。
预见性问题：完全平方公式的推导和运用公式进行计算不熟练.对策：教师可给出提示,并多加练习.反 馈一、知识梳理： 二、知识应用：做一做，你一定行 1．把下列各式分解因式： ①a 2+10a+25 ②m 2-12mn+36n 2 ③xy 3-2x 2y 2+x 3y ④（x 2+4y 2）2-16x 2y 22．已知x=-19，y=12，求代数式4x 2+12xy+9y 2的值． 试一试，你能行 1.选择题（1）已知y 2+my+16是完全平方式，则m 的值是（ ） A ．8 B ．4 C ．±8D ．±4（2）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ） A ．x 2-6x-9 B ．a 2-16a+32 C ．x 2-2xy+4y 2 D ．4a 2-4a+1（3）下列各式属于正确分解因式的是 （ ）A ．1+4x 2=（1+2x ）2B ．6a-9-a 2=-（a-3）2C ．1+4m-4m 2=（1-2m ）2D ．x 2+xy+y 2=（x+y ）2（4）把x 4-2x 2y 2+y 4分解因式，结果是 （ ）A ．（x-y ）4B ．（x 2-y 2）4C ．[（x+y ）（x-y ）]2D ．（x+y ）2（x-y ）2 2.填空题（5）已知9x 2-6xy+k 是完全平方式，则k 的值是________。
完全平方公式导学案
完全平方公式姓名学习目标：1、探索推导完全平方公式并熟记完全平方公式2、熟练运用完全平方公式进行计算学习重点：对完全平方公式熟记及应用 学习难点：对公式特征的理解 学习过程：22222(1) (1)(1)(1)____________________(2) (1)(1)(1)____________________(3) (4)(_____)(_____)_________________(4) (4)(_____)(_____)_________________(5) ()______________a a a a a a m m a b +=++=-=--=+==-==+=2____________________(6) ()__________________________________a b -=两个数的和（或差）的平方，等于它们的__________，加上（或减去）它们的积的____倍。
即： 22()__________________ ()__________________a b a b +=-= 2、利用数字对完全平方公式进行简单的验证(仿照下面例子举例验证)例如：3、你能根据下面两幅图片中的面积说明完全平方公式吗？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4、下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？(1) 222()a b a b +=+ （2）222()a b a b -=-（3）222(2)22a b a ab b +=++ （4）()222a b a ab b +=++三、巩固提高例题1：运用完全平方公式计算221(1) (y+) (2) (4m-n)22222111()=2()2221_____4y y y y ++⨯⨯+=++解：(1)22222(2)(4)(4)_________168m n m n m mn n -=-⨯⨯+=-+练习1： 222(1) (2) (2) (43) (3) (21)a b x y m +-- ()221t --例题2：运用完全平方公式计算22(1) 102 (2) 9922222222(1) 102(1002) (2) 99(1001)100210022 =100_________110000_____ 4 =100002001______ =+=-=+⨯⨯+-⨯⨯+=++-+=解： =______练习2、22(1) 1001 (2) 59练：1、2213(1)5(1)(1)2(1)2a a a a a +-+-+-=，其中 2、2234x y xy x y +==-+已知 ，，求代数式 的值。
北师大版七年级数学《完全平方公式》导学案
【导学目标】1.了解完全平方公式的概念及其应用场景；2.学习完全平方公式的推导过程；3.掌握完全平方公式的运用方法。
【导学步骤】一、引入新知：举例说明完全平方公式的应用场景。
老师向学生提问：“我们在求一个数的平方根时，经常需要进行运算，你们有没有遇到过类似的情况呢？”学生回忆并举例，如开平方、解方程等。
然后，老师指出这些情况下都可以运用完全平方公式进行求解。
二、概念讲解：完全平方公式的定义及推导过程。
老师向学生介绍完全平方公式的概念：“完全平方公式是指把两个相同的两项相乘能得到一个完全平方三项。
在代数式中，完全平方公式可用于解开包含未知数的方程。
”然后，老师以求解一元二次方程为例，逐步讲解完全平方公式的推导过程：设一元二次方程为x²+bx+c=0，令x²+bx=(x+a)²，其中a为一个待求实数。
解：根据等式(x+a)²=x²+2ax+a²，将(x+a)²代入方程可得：x²+bx+c=(x+a)²=(x+a)²-a²=x²+2ax+a²-a²=x²+2ax根据等式系数相等的原则可得：b=2a，即a=b/2带入方程可得：x²+bx+c=x²+b/2x+(b/2)²-(b/2)²=(x+b/2)²-(b/2)²+c=(x+b/2)²-b²/4+c令k=c-b²/4，化简可得：x²+bx+c=(x+b/2)²-k三、引导学生运用完全平方公式解决问题。
1.基础练习：列方程并解之。
例1：将(x-3)²+4=0化为二次方程，并求解之。
解：根据完全平方公式可得：(x-3)²+4=x²-6x+9+4=x²-6x+13令x²-6x+13=0，即为所求方程。
完全平方公式导学案
公式法-运用完全平方公式分解因式学习目标：(1)明确完全平方式的概念及特征；(2)会运用完全平方公式进行因式分解。
一、例题:判断下列式子是否是完全平方式。
①x 2+y 2②x 2-2xy-y 2③④归纳完全平方式的特点：触类旁通1、判断下列式子是否是完全平方式，并说明理由。
①x 2-6x+9 ②4y 2+4y-1③4122++x x ④229124x xy y -+二、例题：把下列式子分解因式。
①16x 2+24x+9 ②3ax 2＋6axy ＋3ay 2③-x 2+4xy-4y 2④(m+n)2-6(m+n)+9触类旁通2、将下列多项式分解因式。
①x 2-12xy+9y 2②y 3-4xy 2+4x 2y③-2xy-x 2-y 2④9(x-y)2-12(x-y) +4222-O +∆O ∆222x xy y -+-三、过关测试1、对下列式子因式分解并填空：①a 2+6a +9 = ________________②-s 2-t 2+2st=_____________③(m+n)2+4m(m+n)+4m 2=___________2、对下列式子因式分解。
①–x 2+2xy –y 2②x 2-6xyz+9y 2z 2 ③(x+y)2+6(x+y)+93、用简便方法计算20052-4010×2003+20032的值。
四、提升训练：(1)若x 2+kx+4是完全平方式，则k=。
(2)已知a+b=2,ab=2,则32232121ab b a b a ++的值是。
(3)对a 4-2a 2b 2+b 4进行因式分解。
(4)已知x+y=7，xy=10，求下列各式的值．（1）x 2+y 2；(2)(x －y)25、利用简便方法计算1)．39.82－2×39.8×49.8＋49.82 2)．152＋15×10＋52。
完全平方公式导学案教学设计
完全平方公式导学案教学设计导学目标：1.了解完全平方公式的定义和使用；2.掌握完全平方公式的推导过程；3.能够灵活运用完全平方公式解决实际问题。
导学过程：Step 1: 激发学生的学习兴趣导入完全平方公式的概念，引导学生思考以下问题：-你经常听到“完全平方”这个词吗？-完全平方与平方有什么区别？-你能给出一个完全平方数的例子吗？Step 2: 引入完全平方公式1.以一个具体的例子来介绍完全平方公式的定义和用途。
例如，将一个长度为x的正方形，将其中的一个边长增加2个单位。
那么，新的正方形的面积是多少？让学生列出他们的计算步骤。
2. 提示学生将计算步骤总结出来，引出完全平方公式：(x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2、解释公式中每个部分的含义。
Step 3: 推导完全平方公式1.通过几个具体的例子，引导学生思考完全平方公式的推导过程。
例如，将(x+a)(x+a)展开。
让学生一起进行乘法运算，然后观察结果。
2.让学生发现，展开后的结果是x的平方项、x的一次项和常数项的和。
当a为整数时，这三个项的系数恰好符合完全平方公式。
3.通过类似的推导过程，引导学生总结完全平方公式的一般形式。
Step 4: 实际问题求解1.给学生一个实际问题，让他们运用完全平方公式求解。
例如，一个正方形的面积是25平方米，其中一个边长比另一个边长大2米。
求解这个正方形的边长。
2.提示学生可以通过设置一个未知数x来表示正方形的边长，并利用完全平方公式求解x的值。
3.让学生尝试求解该问题，并将解答过程展示给全班。
Step 5: 拓展思考1.给学生一个更复杂的问题，让他们运用完全平方公式求解。
例如，一个长方形的面积是36平方米，其中一条边比另一条边长5米。
求解这个长方形的边长。
2.引导学生将该问题转化为一个完全平方公式的问题，并在解答过程中涉及到如何解一元二次方程。
3.鼓励学生以小组形式讨论解题思路，然后展示他们的解答过程。
完全平方公式导学案
1完全平方公式导学案主备人：姜显辉 组长：姜显辉 学习目标：1、会推导完全平方公式。
2、掌握完全平方公式并能灵活运用公式进行简单运算、化简.学习重难点：完全平方公式的运用。
学习过程：一、 完全平方公式：（a+b ）2=（a-b ）2= 语言叙述：二、应用 计算：（1）2)2(b a + （2）2)43(y x -（3）2)2(a xy - （4）2)4(y x +-（5） (－2m+5)2 （6）2)21(-a三、课堂练习 填空题：（易）1、=+2b a ）（_________________。
2、=2b -a ）（_________________。
3、=+22y x 31）（_________________。
4、如果92++ma a 是一个完全平方式，那么m=_________。
（中）5、=+22y x 5-）（_________________。
6、=--243）（n m _________________。
27、=+2a1a ）（_________________。
8、若7,12,a b ab +==则22a ab b -+= ． 选择题：（中）1、下列各式中，与 21a ）（+ 相等的是（ ）。
A 、1a 2-B 、12+aC 、122+-a aD 、122++a a2、下列多项式中，不能写成完全平方形式的是（ ）。
A 、16a 92++aB 、44x 2--xC 、9124t 2+-tD 、1412++t t3、下列各式中，不一定成立的是（ ）。
A 、2222b)(a b ab a ++=+ B 、2222a)-(b b ab a +-= C 、22a b)-b)(a (a b -=+ D 、222b)-(a b a -=4、化简1)1)(mn -(mn -1)-(mn 2+，得（ ）。
A 、2-2mn B 、22mn -+ C 、2 D 、2-37、运算结果是24221m n mn -+的是（ ）A 、22(1)mn -B 、22(1)m n -C 、22(1)mn --D 、22(1)mn +三、解答题：1、c)-c)(-b (b +2、221)-(x3、21014、2995、))((y)-(x 2y x y x -+- （中）6、xy y x -+-22)43(4y)-(3x （中）7、设2226100x x y y -+++=，求x 、y 的值． （难）8、已知 x + y = 8，xy = 12，求 x 2 + y 2 的值（难）。
完全平方公式导学案
完全平方公式导学案学习目标：1、会推导完全平方公式，掌握完全平方公式并能灵活运用公式进行简单运算.2、会用几何拼图方式验证平方差公式教学过程：一、知识回顾：请同学们应用已有的知识完成下面的几道题：（1）2)32(-x =91249664)32)(32(22+-=+--=--x x x x x x x （2）2)32(+x = ;（3）2)2(y x += ;（4）2)2(y x -= ;（5）2)5(+a = ;（6）2)5(-a = ;二、探究新知：活动1：观察上面6道题中等式左边的形式和最终计算出的结果，发现其中的规律：1、左边都是 形式，右边都是 次 项式，2、左边第一项和右边第一项有什么关系？3、左边第二项与右边最后一项是什么关系？4、右边中间一项与左边两项的关系是什么？归纳：完全平方公式：（a+b ）2= （a -b ）2=语言叙述：三、新知应用（参考P41例1格式步骤．．．．，完成下列各题） 计算：（1）2)2(b a + （2）2)43(y x -（3）2)2(a xy - （4）2)4(y x +-（5）2)21(-a （6）2)313(b ab -四、拼图游戏活动2：其实我们还可以从几何的角度去解析完全平方公式，你能通过下面的拼图游戏说明完全平方公式吗？问题1你能根据图1谈一谈（a + b ）2=a 2 + 2ab+b 2吗？问题2你能根据图2,谈一谈（a －b ）2=a 2－2ab+b 2吗？五、课堂练习（1）2)32(+x = ;（2）2)32(--x = ;（3）2)32(-x = ;（4）2)32(+-x = ;如果两个数是相同的符号，则结果中的每一项的符号 的，如果两个数具有不同的符号，•则 ；。
《完全平方公式》导学案
《15.2.2 完全平方公式》导学案一、探究11．口算：（1）____)21(2=+____2122=+ 对吗？22221)21(+=+ （2）____)42(2=+____4222=+ 对吗？2224242(+=+ （3）____)53(2=+____5322=+ 对吗？22253)53(+=+2．问题1：有一个边长为a 米的正方形广场，现要扩建该广场，要求将其边长增加b米，试问扩建后的正方形广场的面积有多大？（1）如图：四块面积分别是______、______、______、______（2）我们可以从两种方式计算总面积：① 看成是边长为______的大正方形，S=__________② 看成是四块小面积之和，S=___________________得出结论：__________________________________________从代数的角度看： (a+b)2 = ( )( ) = _____________= _____________二、探究21．口算：（1）____)21(2=- ____2122=- 对吗？22221)21(-=-（2）____)42(2=- ____4222=- 对吗？22242)42(-=- 从代数的角度看：(a-b)2 = ( )( ) = _____________= _____________得出结论：__________________________________________ 三、小结归纳：(a+b)2 =_____________ (a-b)2 =_____________ 两个公式的异同：（1）左边是_____________的平方（2） 右边都含有是_____________，不同的是__________ 四、随堂练习练习一：填空。
（1）___________)1(2=-a （2）___________)2(2=+a（3）___________)2(2=-a （4）___________)3(2=+x（5）___________)3(2=-x （6）__________)4(2=+b练习二 计算： （1）2)12(-x （2）2)32(y x +小探究：（1）___________)(2=+b a （2）___________)(2=-b a ___________)(2=--b a ___________)(2=+-b a 总结得出规律：_________________________________________________练习三 计算： （1）2)2(y x -- （2）2)2(y x +-练习四：下面计算是否正确？如果不正确，请改正。
完全平方公式导学案
8.3完全平方公式与平方差公式第1课时学习目标1.会推导完全平方公式，并能利用公式进行简单计算，在灵活运用公式的过程中 激发学习数学的兴趣.2.熟悉完全平方公式的结构特征，能用图形解释完全平方公式.3.经历探索完全平方公式的过程，增强推理能力.4.重点：完全平方公式的结构特征，熟练掌握完全平方公式5.难点：灵活运用公式进行计算.预习案阅读教材本节“例1”及前面的内容及P71“例3”，解决下列问题 1.用乘法公式计算：（1）()21+x =_________,()=-21x ____________.(2) ()=+232y x _________,()=-232y x __________.(3) ()=+2b a __________，()=-2b a __________.2. 如图，有一个边长为a 的正方形广场，现要扩建该广场， 要求将其边长增加b ，试问这个正方形广场的面积为多大？ 你能根据图1谈一谈()2222b ab a b a ++=+吗？（1）图中四块方形的面积分别为____________________；（2）若用两种方法表示广场的总面积，从整体上看，边长为_________的大正方形面积S=_______________；从部分来看，四块方形的面积的和S=___________,由此得到的结论是：____________________.观察下列图形，由图形的面积关系，你能根据图2,谈一谈()2222b ab a b a +-=-吗？(方法指导：边长为b a -的正方形的面积，可以看做是由边长为a 的正方形的面积，减去两个宽为b ，长 为a 的长方形的面积，再加上边长为b 的正方形的面积 得到，注意：边长为的正方形的面积多减了一次)归纳总结：我们将上面得到的两个等式：()=+2b a _________，()=-2b a __________称为完全平方公式.用语言叙述是：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍.讨论：观察()2222b ab a b a ++=+， ()2222b ab a b a +-=-，说说式子的左边具有什么共同特征？它们的结果有什么特征？【预习自测】：1.下列计算正确的是（ ）A.()222b ab a b a +-=- B.()222b a b a -=-C.()22293b a b a +=+ D.()2222b ab a b a ++=--2：运用乘法公式计算：（1）()213-xy （2）2)23(b a -（3） 2)2(y x + （4）2)22(y x +（5） 2)32(y x +- （6） ()243y x --方法归纳交流：1.在做题时说说哪项相当于公式中的a ，哪项相当于公式 中的b ？二、探究案【互动探究1】：利用完全平方公式计算：（1）2198 （2）2201【变式训练】：利用完全平方公式计算：(1).2999 (2).24399⎪⎭⎫ ⎝⎛【互动探究2】．计算： （1） 22)3.032(a a +- （2）22)61(z y x --【互动探究3】___4931__22+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy x y ，()___6169______22+-=ab a 【变式训练】 1.()____________915____22+-=+m n 2.()22216__________2b a ++=- 【互动探究4】二次三项式92++kx x 是一个完全平方式，则k=_____【变式训练1】：162++mx x 是一个完全平方式，则____=m【变式训练2】：多项式４x ２＋１加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，那么这个单项式是什么？训练案一、选择题1.下列各式能用完全平方公式的是（ ）A.()()b a b a 3232---B.)2)(2(b a b a +--C.()()b a b a 3232+--D.()()b a b a ++-22 2.如果942++mx x 是一个完全平方式，则=m （ ） A.12 B.12- C.12± D.0 3.下列各式计算正确的是（ ） A.()22222242b b a a ba ++=+ B.22241)21(y xy x y x +-=-C.()2222b ab a b a +-=-- D.()()22a b b a --=-4.计算结果为12224+-y x y x 的是（ ）A.()2221-y x B.()221+y x C.()221-y x D.()21-xy5.要使642++kx x 是某一个整式的完全平方，则=k （ ）A.8B.8-C.8±D.16±二、填空题6.计算：（1）________)21(2=-y x ； （2）____________)42(2=+x ;（3）()_________2=-a mn ； （4）()___________2=--y x .7.计算：（1）()2229124_____n mn m +-=； （2）()41____22+-=-x x x . 8.已知()2225124y xy m x ++-是一个完全平方式，则=m __________.三、解答题 9.化简：（1）()()2222b a b a --+； （2）()()2222b a b a -++10.先化简，再求值：()()()()2222212+---+-x x x x ，其中211-=x .11.用公式计算：（1）2102 （2）222012201240222011+⨯- 12.已知0134622=++-+y x y x ，求y x 32+的值.反思：_______________________________________________________________________________第2课时学习目标1.会推导平方差公式，并能利用公式进行简单计算.2.熟悉平方差公式的结构特征，并能用图形解释平方差公式.3.经历运用多项式与多项式相乘的法则以及通过割补的方法计算平面图形的面积来探索平方差公式的过程，进一步加强推理能力.4.重点：平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算一、预习案阅读教材P70的内容，解决下列问题. 1.计算下列多项式的积．（1）()()11-+x x ； （2）()()22-+m m ；（3）()()1212-+x x ； （4）()()y x y x 55-+.2.观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？ 等号的一边：______________，等号的另一边：___________________.3.猜一猜：()()=-+b a b a －4.如下图，边长为a 的正方形纸板缺了一个边长为b 的正方形角，经裁剪后拼成一个长方形，你能分别表示出裁剪前后的纸板的面积吗？你能得到什么结论？【归纳总结】两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的_____________,用式子表示为()()=-+b a b a _______________，此公式称为平方差公式.用符号表示为:（口+O ）（口-O ）=__________,其中正方形、圆中可以是数字、字母、单项式或多项式，应用时注意：(1)四项中是否有两项相同，有两项互为相反数；(2)写结果时“平方”是一个整体的平方，不但字母要平方，系数也要平方． 【预习自测】1.下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是 ( ) A.()()b a b a 2332-+ B.()()b a b a --+ C.())(n m n m -+- D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b b a 21212.判断：(1）()()22422b a a b b a -=-+（ ） （2）1211211212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+x x x （ ） （3) ()()22933y x y x y x -=+--（ ） （4）()()22422y x y x y x -=+---（ )（5）()()6322-=-+a a a （ ） （6）()()933-=-+xy y x （ ）3.计算下列各式：（1）()()b a b a 7474+- （2）()()n m n m ---22 （3）⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a 21312131（4）()()x x 2525-+- 二、探究案【互动探究1】：()()()=+-+1412122m m m ________________.【变式训练】：(1)()()()4222+-+y y y ； (2) )25.0)(5.0)(5.0(2++-x x x .【互动探究2】：如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形（b a >），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形中阴影部分的面积；验证了平方差公式:________________.【互动探究3】：运用平方差公式计算：(1)()()()()43345252-+---+-x x x x ; (2) 102×98；【变式训练】：(1)1000110199⨯⨯；【互动探究4】：先化简：()()()()151313122-+-+--x x x x x ,再选取一个你最喜欢数代替并求值.【互动探究5】：化简()()()()()121212121216842+++++【变式训练】：（1）()()()()()131313131316842+++++三、训练案1. 填空：(1) =-252x ( )( ) (2)4942-m ＝(72+m )( ) （3）()()=-+y x y x 3232 （4）()()116142-=-aa（5)()949137122-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a ab（6) ()()229432y x y x -=-+(7).44b a -＝(22b a +)( )＝(22b a +)( )( ) 2.计算：（1）()()233222-+a a （2）()()33221221--+-+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x（3）()()()()()42212122224++---+-x x x x x x（4）2015201320142⨯-（5）22)3249()3150(-3.解答题（1）若5,4022=-=-y x y x ，求y x +的值.(2)化简：()()()1212122-+-+-a a a（3）()()()()1642242-+-+a a a a（4）先化简，后求值()()()()y x y x y x y x +--++45，其中73,322=-=y x .（5）解方程组()()()()()()⎩⎨⎧-+=--+=--y x y x y y x x xyy x 2214221（6）长方体的长、宽、高分别是32,23,23-+-x x x ，求其表面积.反思：____________________________________________________________第3课时学习目标1.会运用完全平方公式求某些数的平方.2..能综合运用平方差公式和完全平方公式进行有关计算。
《完全平方公式》导学案
课题：《完全平方公式》学习内容：北师版数学七年级（下册）第一章第6节的《完全平方公式》（第一课时）学习目标： 1、能演算完全平方公式的推导过程；2、会运用完全平方公式进行简单的计算；3、解决有关完全平方公式的问题，培养学生的数形结合意识。
学习重点： 1、能用自己的语言说明公式及其特点；2、会用完全平方公式进行运算。
学习难点： 灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。
学习过程：一、自主学习复习已学过的平方差公式：1、写平方差公式的形式；2、用语言叙述平方差公式；3、应用平方差公式的注意事项：弄清在什么情况下才能使用平方差公式。
二、合作探究（一）以小组为单位，合作探究观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？)3(2+m =（m+3）(m+3)= m 2+3m+3m+9=m 2+2x3m+9=m 2+6m+9再用多项式乘多项式的法则来推导并验证你的发现： )32(2x +=4+12x+x 92分小组得出结论后，请学生说出自己的发现。
并根据发现用字 母表示出来。
)(2b a +=a 2+2ab+b 2再用自己的语言叙述完全平方和公式。
（二）交流合作，再验公式你能用图解释这一公式吗？（三）、合作交流，议一议)(2b a -=？你是怎样做的？学生活动：分小组进行比赛，看哪个组快而精简准确。
教师活动：从学生的结论中，从而引导出完全平方差公式。
师生共同观察完全平方和、完全平方差公式和异同点。
完全平方和：)(2b a +=a 2+2ab+b 2 完全平方差：)(2b a -=a 2-2ab+b 2 学生讨论、教师补充。
教师提示公式特点：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减。
（四）、再识完全平方公式例1 利用完全平方公式计算：(1))32(2-x ； (2) )54(2y x + ; (3) )(2a mn - 让学生到黑板上进行板演，教师点评。
三、大胆尝试、练一练1.计算：(1) )2(2y x - (2) )5.04(2+x(3) )2(2x xy + (4))12(+n − n 2 2、纠错练习：指出下列各式中的错误，并加以改正：(1) )12(2-a ＝2a 2−2a+1 (2) )12(2+a ＝4a 2 +1 (3) )1(2--a ＝-a 2−2a −1 四、课堂小结1、 问：通过本节课的学习，你有什么收获和感悟？本节课，我们自己通过计算、分析结果，总结出了完全平方公式。
完全平方公式(1)导学案
14.2.2完全平方公式（一）导学案李店镇初级中学 陈兵一．学习目标1.掌握完全平方公式的推导及其应用．2.理解完全平方公式的几何解释．3.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力．二．学习重难点学习重点:完全平方公式的推导过程、结构特征、灵活应用．学习难点:理解完全平方公式的结构特征，灵活应用公式进行计算．三．学法指导自主探究 小组合作交流四．导学设计（一）问题导入：一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，…（1）第一天有a 个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（2）第二天有b 个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（3）第三天这（a+b ）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？（二)知识回顾：（a+b ）2 -（a2+b2）我们上一节学习了平方差公式即(a+b)(a-b)=a2-b2，现在遇到了两个数的和的平方，即(a+b)2，这是我们这节课要研究的新问题．（三）自主探究：1、计算下列各式，你能发现什么规律？（1）、()()()=++=+1112p p p 。
（2） ()=+22m 。
（3）、()()()=--=-1112p p p 。
（4）、()=-22m 。
2、尝试归纳：=+2)(b a =-2)(b a公式中的字母a 、b 可以表示 ，也可以表示单项式或 。
3、(乘法的)完全平方公式用语言叙述是：4、填表（理解公式的结构特点） （a ±b ）2 a b a 2±2ab+b 2 结果 (-2m+1)2(2xy-3)25、你能根据图（1）、图（2）中的面积说明完全平方公式吗？ 从中你有何体会与感悟？（四）展示交流：1、运用完全平方公式计算：（1）()24a b - （2）212y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （3）()2a b - （4）()2b a --2、运用完全平方公式计算（1）105 2 （2）198 2（五）巩固提升1、下列各式中计算正确的是（ ）A 、（－m －n ）2=m 2+2nm+n 2B 、（a+2b ）2=a 2+2ab+4b 2C 、（a 2+b ）2=a 4+2a+1D 、（a －b ）2=a 2－b 2 2、化简（a+b ）2－（a －b ）2的结果是（ ）A 、0B 、－2abC 、2abD 、4ab3、（x+y ）（－x －y ）的计算结果是（ ）A 、－x 2－y 2B 、－x 2+y 2C 、－x 2+2xy+y 2D 、－x 2－2xy －y 24、将正方形的边长由a cm 增加6cm ，则正方形的面积增加了（ ）A ．36cm 2B ．12acm 2C ．（36+12a ）cm 2D ．以上都不5、计算：(1) (-2x+5)2 (2) (34x-23y)2 （3） 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 小结通过本课时的学习，你学到了什么知识？完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.反思： m 2-8mn+16n 2。
14.2.2 完全平方公式 人教版数学八年级上册导学案
．利用多项式相乘的法则推导完全平方公式，并掌握公式的结构特征．＝a2－2ab＋b2吗？之前的内容，完成下面的填空：三、典例剖析，运用新知【合作探究】例1：运用完全平方公式计算：(1)(－x－y)2；(2)(2y－1 3 )2.(1)解法一：(－x－y)2＝[(－x)＋(－y)]2＝(－x)2＋2(－x)(－y)＋(－y)2＝x2＋2xy＋y2；解法二：(－x－y)2＝[－(x＋y)]2＝(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2.(2)解法一：(2y－13)2＝(2y)2－2·2y·13＋(13)2＝4y2－43y＋19.解法二：(2y－13)2＝[2y＋(－13)]2＝(2y)2＋2·2y·(－13)＋(－13)2.例2：计算：(1)1992－199×198＋992；解：原式＝1992－2×199×99＋992＝(199－99)2＝10 000；(2)982.解：原式＝(100－2)2＝10000－400＋4＝9604.师生活动①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．四、课堂小结，回顾新知本节课学习了(a±b)2＝a2±2ab＋b2，两个乘法公式，在应用时，①要了解公式的结构和特征．记住每一个公式左右两边的形式特征，记准指数和系数的符号；②掌握公式的几何意义；③弄清公式的变化形式；④注间公式在应用中的条件；⑤应灵活地应用公式来解题．五、检测反馈、落实新知1．下列计算正确的是( C )A．(m－n)2＝m2－n2B．(m－2n)2＝m2－2mn＋nC.(12m－n)2＝14m2－mn＋n2D．(m＋n)2＝m2＋n22．填空：(1)(5x－y)2＝25x2－10xy＋y2；(2)(2a＋3b)2＝4a2＋12ab＋9b2.3．用乘法公式进行计算：(1)[(2m－n)(2m＋n)]2；解：原式＝(4m2－n2)2＝16m4－8m2n2＋n4；(2)(2x＋y)(2x－y)－(2x－y)2.解：原式＝4x2－y2－(4x2－4xy＋y2)＝4xy－2y2.六、课后作业：巩固新知(见学生用书)。
《6完全平方公式第1课时》导学案
6 完全平方公式第1课时学习目标：1.知道完全平方公式,并会运用完全平方公式进行简单的计算.2.知道完全平方公式的几何背景,形成数形结合意识.3.经历探索完全平方公式的过程,养成视察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力.4.重点:完全平方公式的推导及初步应用.【预习导学——不看不讲】问题探究一:完全平方公式一、阅读教材本课时“想一想”上面的内容,完成下面的问题.1.计算下列各式,并说出每一步运算的理由.(1)(p+1)2;(2)(m+2)2;(3)(p-1)2;(4)(m-2)2.解:(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1(多项式的乘法法则)=p2+2p+1(合并同类项);(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+2m+2m+4(多项式的乘法法则)=m2+4m+4(合并同类项);(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2-p-p+1(多项式的乘法法则)=p2-2p+1(合并同类项);(4)(m-2)2=(m-2)(m-2)=m2-2m-2m+4(多项式的乘法法则)=m2-4m+4(合并同类项).2.你能发现上题中的运算情势与结果有什么规律吗?左边都是两数和(差)的平方,运算结果都是二次三项式,且为两数的平方和再加(或减)两数乘积的2倍.3.你能根据平方差公式的发现过程把你得到的规律也用公式来表示吗?(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.二、阅读教材本课时“想一想”,解决其中的问题.整体看面积:(a+b)2,分开看:ab+b2+a2+ab=a2+2ab+b2,所以(a+b)2=a2+2ab+b2.5.对于(a-b)2,你能用多项式乘法法则计算吗?(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2.【归纳总结】(a+b)2=a2+2ab+b2,即:两个数和的平方等于这两个数的平方和,再加上这两个数乘积的2倍.(a-b)2=a2-2ab+b2,即:两个数差的平方等于这两个数的平方和,再减去这两个数乘积的2倍.以上两个公式称为完全平方公式.【预习自测】直接利用完全平方公式说出结果:(1)(x+y)2;(2)(x-y)2.(1)x22;(2)x22问题探究二:完全平方公式的应用阅读教材本课时“例1”,完成下面的问题.1.第(1)题运用了哪个公式?公式中的a、b分别是什么?第(2)、(3)题呢?(1)运用公式(a-b)2=a2-2ab+b2,2x看作公式中的a,3看作公式中的b;(2)运用了公式(a+b)2=a2+2ab+b2,4x看作公式中的a,5y看作公式中的b;(3)公式(a-b)2=a2-2ab+b2,mn看作公式中的a,a 看作公式中的b.2.如果把第(3)题改成(m+n-a)2,你会应用完全平方公式做吗?(m+n-a)2=[(m+n)-a]2=(m+n)2-2(m+n)a+a2=m2+2mn+n2-2am-2an+a2.【归纳总结】完全平方公式中的a,b,可以代表数,也可以(填“也可以”或“不可以”)代表一个整式.【讨论】(a+b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么?(-a-b)2=[-(a+b)]2=(a+b)2;(b-a)2=[-(a-b)]2=(a-b)2;(a-b)2=a2-2ab+b2≠a2-b2.【预习自测】计算:(1)(a-2b)2;(2)(-2x-3y)2.(1)(a-2b)2=(a)2-2·(a)·(2b)+(2b)2=a2-2ab+4b2;(2)(-2x-3y)2=[-(2x+3y)]2=(2x+3y)2=(2x)2+2·(2x)·(3y)+(3y)2=4x2+12xy+9y2.【合作探究——不议不讲】互动探究1:下列多项式乘法中可以用完全平方公式计算的有(B)①(-a+b)(a-b);②(x+2)(2+x);③(x+y)(y-x);④(x-2)(x+1).A.1个B.2个C.3个D.4个互动探究2:下列计算是否正确?如不正确如何改正?(1)(a+b)2=a2+b2;(2)(m-n)2=m2-n2;(3)(a+2b)2=a2+2ab+2b2;(4)(-x-y)2=x2-2xy+y2.解:(1)错,改正:(a+b)2=a2+2a b+b2;(2)错,改正:(m-n)2=m2-2mn+n2;(3)错,改正:(a+2b)2=a2+2a·(2b)+(2b)2=a2+4ab+4b2;(4)错:改正:(-x-y)2=[-(x+y)]2=(x+y)2=x2+2xy+y2,或(-x-y)2=(-x)2-2(-x)y+y2=x2+2xy+y2.互动探究3:若4x2+kx+1是一个数的平方,则k=±4.[变式演练]多项式4x2+1加上一个单项式后,使它成为一个整式的平方,那么加上的单项式可以是4x或-4x或4x4(填上一个你认为正确的即可).【方法归纳交流】能化成一个数(或式子)的平方的三项式,变形后应具备的情势: a2+2ab+b2或a2-2ab+b2.互动探究4:计算:(1)(x+2y)2-x2;(2)(x+y+z)2.解:(1)原式=x2+4xy+4y2-x2=4xy+4y2.(2)原式=[(x+y)+z]2=(x+y)2+2(x+y)·z+z2=x2+2xy+y2+2xz+2yz+z2.*互动探究5:已知a+b=5,ab=-6,求a2+b2的值.解:因为(a+b)2=a2+2ab+b2,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×(-6)=25+12=37.[变式演练1]已知a-b=5,ab=-6,求a2+b2的值.解:因为(a-b)2=a2-2ab+b2,所以a2+b2=(a-b)2+2ab=52+2×(-6)=25-12=13.[变式演练2]已知a-b=5,a2+b2=13,求a2b2的值.解:因为(a-b)2=a2-2ab+b2,所以ab===-6.a2b2=(ab)2=(-6)2=36.【方法归纳交流】完全平方公式的两个重要变形:(1)a2+b2=(a+b)2 -2ab;(2)a2+b2=(a-b)2+2ab.。
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完全平方公式
【学习目标】
会运用完全平方公式进行一些数的简便运算。
【学习重点】
运用完全平方公式进行一些数的简便运算。
【学习难点】
灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。
【学习过程】
一、预习准备
1．利用完全平方公式计算
（1） （2） （3） （4）2．计算：
（1） （2）平方差公式和完全平方公式的逆运用
由 反之 反之 二、课堂练习
1．填空：
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）若 ，则k =
（8）若是完全平方式，则k =
298220321022
19722(3)x x +-22
(1)(1)ab ab +--()()22b a b a b a -=-+()()
b a b a b a -+=-22()2222b ab a b a +±=±()2
222b a b ab a ±=+±24(2)()a a -=+225(5)()x x -=-22()(
)
m n -=264()()x -=2449(27)()
m m -=-442222()()()()()
a m a m a m -=+=+22)2(4+=++x k x x 92++kx x
例1． 计算：1． 2．现在我们从几何角度去解释完全平方公式：从图（1）中可以看出大正方形的边长是a+b ，它是由两个小正方形和两个矩形组成， 所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和。
则S ＝ ＝ 即：
如图（2）中，大正方形的边长是a ，它的面积是 ；矩形DCGE 与矩形BCHF 是全等图形，长都是 ，宽都是 ，所以它们的面积都是 ；正方形HCGM 的边长是b ，其面积就是 ；正方形AFME 的边长是 ，所以它的面积是 。
从图中可以看出正方形AEMF 的面积等于正方形ABCD 的面积减去两个矩形DCGE 和BCHF 的面积再加上正方形HCGM 的面积。
也就是：（a-b ）2= 。
这也正好符合完全平方公式。
例2．计算：
（1）
（2）三、变式训练：
（1） （2）()()42122+--+a a a ()()2
21212+--xy xy 2(3)x y --2
()a b c ++2)3(-+b a )
2)(2(-++-y x y
x
（3） （4）（x+5）2–（x-2）（x-3）
（5）（x-2）（x+2）-（x+1）（x-3） （6）（2x-y ）2-4（x-y ）（x+2y ）
【学习拓展】
1．（1）已知，则=
（2）已知，求________，________
（3）不论为任意有理数，的值总是（ ）
A ．负数
B ．零
C ．正数
D ．不小于2
2．（1）已知，求和的值。
（2）已知，求的值。
（3）已知，求的值
【学习小结】
1． 完全平方公式的使用：在做题过程中一定要注意符号问题和正确认识a 、b 表示的意义，它们可以是数、也可以是单项式，还可以是多项式，所以要记得添括号。
2． 解题技巧：在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择。
)3)(3(+---b a b a 2,4==+xy y x 2)(y x -3)(,7)(22=-=+b a b a =+22b a =ab b a 、72422++-+b a b a 0132=+-x x 221x x +
441x x +1,3-=-=-c b b a ca bc ab c b a ---++2220966222=++--+y x xy y x y x -。