最新完全平方公式与平方差公式教学提纲
完全平方公式与平方差公式(公开课)
8.3完全平方公式与平方差公式（公开课）完全平方公式（第1课时）教学目标1、知识目标：理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用公式进行简单的计算。
2、能力目标：渗透建模、化归、换元、数形结合等思想方法，培养学生的发现能力、求简意识、应用意识、解决问题的能力和创新能力。
3、情感目标：培养学生敢于挑战，勇于探索的精神和善于观察，大胆创新的思维品质。
教学重点与难点完全平方公式和平方差公式一样是主要的乘法公式，其本质是多项式乘法，是学生今后用于计算的一种重要依据，因此，本节教学的重点与难点如下：本节的重点是体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。
本节的难点是从广泛意义上理解公式中的字母含义，判明要计算的代数式是哪两数的和（差）的平一、复习回顾1、单项式的乘法法则2、多项式的乘法法则二、新课讲授1、推导两数和的完全平方公式计算(a+b)2解：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b22、理解公式特征①算式：两数和的平方②结果：两个数的平方和加上这两个数积的2倍3、语言叙述(a+b)2=a2+2ab+b2用语言如何叙述4、公式(a-b)2=a2-2ab+b2教学①利用多项式乘法(a-b)2=(a-b)(a-b)②利用换元思想(a-b)2=[a+(-b)]2③利用图形5、公式中的字母含义的理解。
（学生回答）(x+2y)2是哪两个数的和的平方？(x+2y)2=( )2+2( )( )+( )2(2x-5y)2是哪两个数的差的平方？(2x+5y)2=( )2+2( )( )+( )2变式(2x-5y)2可以看成是哪两个数的和的平方？三、应用新知，体验成功1、例1教学：用完全平方公式计算(1)(a+3)2(2)(y- 1)2 (3)(-2x+t)2(4)(-3x-4y)2学生直接运用公式计算，教师板演，讲评时边口述理由,针对第(4)题(-3x-4y)2可以看成是-3x与4y差的平方，也可以看成-3x与-4y和的平方提出以下问题：（1）可否看成两数和的平方，运用两数和的平方公式来计算？（2）可否看成两数差的平方，运用两数差的平方公式来计算？（3）能不能进行符号转化？如(-3x-4y)2=(3x+4y四、练习：运用完全平方公式计算：(学生板演)○1(a+5)2②(3+x)2③(y-2)2④(7-y)2⑤(2x+3y)2⑥(-2x-3y)2五、小结提高，知识升华1、两个公式 (a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b22、两种推导方法：多项式乘法导出；图形面积导出3、公式的灵活运用六、作业布置课本Ｐ71-Ｐ72习题8.31，11。
平方差公式与完全平方公式
1．当x=3，y=1时，代数式（x+y）（x﹣y）+y2的值是_________．
2．如果x+y=﹣4，x﹣y=8，那么代数式x2﹣y2的值是_________．
3．计算：（a+1）（a﹣1）=_________．
4．计算：（a﹣2b）（a+2b）=_________．
8．计算：（2x+3y）（2x﹣3y）=_________
3．（2005•连云港）如果2x﹣4的值为5，那么4x2﹣16x+16的值是_________．
4．（2004•山西）已知x+y=1，则 x2+xy+ y2=_________．
四、教师对学生的评定授课教师签字：
1．学生上次课作业情况评价：优（）良（）中（）差（）
2．学生本次课掌握情况评价：优（）良（）中（）差（）
7．如图，由∠1=∠2，则可得出（ ）
A．AD∥BCB．AB∥CDC．AD∥BC且AB∥CDD．∠3=∠4
8．已知：如图AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A=100°，则∠ECD等于（ ）
A．100°B．80°C．40°D．50°
9．2008×1992（要求用乘法公式）．
10．作图（不写作法、保留作图痕迹）
类型二、完全平方公式
例题讲解：
例1、若a+b=5，ab=3，则a2+b2=_________．
例2、计算（a﹣3）2的结果为_________．
例3、若x+y=3，xy=1，则x2+y2=_________．
自我巩固练习：
1．（2010•桂林）已知 ，则代数式 的值为_________．
2．（2009•遵义）已知 ，则 =_________．
完全平方公式与平方差公式教案
完全平方公式与平方差公式教案章节一：完全平方公式的探究与理解1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式的概念，例如求(x + 2)²的值。
2. 探究：引导学生通过具体例子，如(x + 2)²= x²+ 4x + 4，发现完全平方公式的规律。
4. 练习：布置一些简单的练习题，让学生运用完全平方公式进行计算。
章节二：平方差公式的探究与理解1. 导入：通过实际问题引入平方差公式的概念，例如求(x 2)²的值。
2. 探究：引导学生通过具体例子，如(x 2)²= x²4x + 4，发现平方差公式的规律。
4. 练习：布置一些简单的练习题，让学生运用平方差公式进行计算。
章节三：完全平方公式与平方差公式的应用1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式与平方差公式的应用，例如求(x +1)(x 1) 的值。
2. 探究：引导学生运用完全平方公式与平方差公式，将(x + 1)(x 1) 进行展开和简化。
4. 练习：布置一些实际问题，让学生运用完全平方公式与平方差公式进行解决。
章节四：完全平方公式与平方差公式的巩固与拓展1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式与平方差公式的巩固与拓展，例如求(x + 2)(x 2) 的值。
2. 探究：引导学生运用完全平方公式与平方差公式，将(x + 2)(x 2) 进行展开和简化。
4. 练习：布置一些更复杂的实际问题，让学生运用完全平方公式与平方差公式进行解决。
1. 回顾：引导学生回顾本节课学习的完全平方公式与平方差公式。
3. 评价：对学生的学习情况进行评价，鼓励学生积极参与课堂讨论和练习。
4. 布置作业：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
章节六：完全平方公式与平方差公式的综合应用1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式与平方差公式的综合应用，例如求(x + y)²(x y)²的值。
2. 探究：引导学生运用完全平方公式与平方差公式，将(x + y)²(x y)²进行展开和简化。
完全平方公式与平方差公式教案
完全平方公式与平方差公式教案第一章：完全平方公式介绍1.1 理解完全平方公式的概念解释完全平方公式的定义和意义强调完全平方公式的构成和特点1.2 探索完全平方公式的推导过程通过具体例子，引导学生探索完全平方公式的推导过程强调完全平方公式的推导方法和思路1.3 完全平方公式的应用提供一些应用题，让学生运用完全平方公式进行解答第二章：平方差公式的介绍2.1 理解平方差公式的概念解释平方差公式的定义和意义强调平方差公式的构成和特点2.2 探索平方差公式的推导过程通过具体例子，引导学生探索平方差公式的推导过程强调平方差公式的推导方法和思路2.3 平方差公式的应用提供一些应用题，让学生运用平方差公式进行解答第三章：完全平方公式与平方差公式的异同3.1 比较完全平方公式和平方差公式的形式引导学生观察和比较两个公式的形式和结构强调两个公式的相似之处和不同之处3.2 探索完全平方公式和平方差公式的转化关系通过具体例子，引导学生探索两个公式的转化关系强调两个公式的转化方法和思路3.3 完全平方公式和平方差公式的综合应用提供一些综合应用题，让学生运用完全平方公式和平方差公式进行解答第四章：完全平方公式和平方差公式的巩固练习4.1 提供一些练习题，让学生巩固完全平方公式和平方差公式的理解和应用设计一些填空题、选择题和解答题，考察学生对两个公式的理解和掌握程度提供一些综合练习题，让学生运用两个公式解决实际问题4.2 学生自主练习和合作交流鼓励学生自主练习，巩固对两个公式的理解和应用能力组织学生进行合作交流，分享解题思路和方法第五章：完全平方公式和平方差公式的拓展应用5.1 探索完全平方公式和平方差公式的拓展性质引导学生探索两个公式的拓展性质和规律强调两个公式的拓展方法和思路5.2 提供一些拓展应用题，让学生运用完全平方公式和平方差公式进行解答设计一些具有挑战性的题目，让学生运用两个公式解决实际问题鼓励学生自主探索，发现两个公式的更多应用和拓展性质第六章：完全平方公式与平方差公式的实际应用6.1 引入实际应用场景通过生活实例引入完全平方公式和平方差公式的实际应用场景强调数学与实际生活的联系6.2 运用公式解决实际问题提供一些实际问题，让学生运用完全平方公式和平方差公式进行解决第七章：完全平方公式与平方差公式的几何意义7.1 引入几何概念解释完全平方公式和平方差公式的几何意义强调几何概念与代数公式的联系7.2 运用几何图形解释公式通过几何图形，引导学生理解完全平方公式和平方差公式的几何意义强调几何图形在理解公式中的应用方法和技巧7.3 运用公式解决几何问题提供一些几何问题，让学生运用完全平方公式和平方差公式进行解决第八章：完全平方公式与平方差公式的变形应用8.1 介绍公式的变形方法解释完全平方公式和平方差公式的变形方法强调变形方法在解决不同问题时的应用8.2 运用变形公式解决问题提供一些问题，让学生运用变形后的完全平方公式和平方差公式进行解决鼓励学生自主练习，巩固对公式变形方法和应用的理解第九章：完全平方公式与平方差公式的综合练习9.1 提供综合练习题设计一些综合练习题，涵盖完全平方公式和平方差公式的各种应用场景强调综合练习题在巩固知识和提高解题能力的重要性9.2 学生自主练习和合作交流鼓励学生自主练习，提高解题能力组织学生进行合作交流，分享解题经验和解决问题的方法第十章：完全平方公式与平方差公式的拓展研究10.1 探索公式的拓展性质引导学生探索完全平方公式和平方差公式的拓展性质和规律强调拓展研究在提高数学素养和解决问题能力的重要性10.2 开展拓展研究项目组织学生开展完全平方公式和平方差公式的拓展研究项目强调团队合作和研究成果的分享强调拓展研究对于培养学生的创新能力和发展数学思维的重要性重点和难点解析一、完全平方公式介绍难点解析：理解完全平方公式中各项的来源和含义，以及如何识别完全平方公式的特征。
初中数学初一数学下册《完全平方公式与平方差公式》教案、教学设计
（1）(x+3)^2
（2）(y-4)^2
（3）(2a+b)(2a-b)
（4）(3m-n)(3m+n)
2.变式练习题：通过一些变式题目，让学生学会将公式应用于不同场景，提高解决问题的能力。
例题：已知x+y=5，xy=6，求(x-y)^2的值。
3.综合应用题：设计一些综合应用题目，让学生将所学知识应用于解决实际问题，提高学生的综合运用能力。
5.生活实践题：让学生将所学知识联系到生活实际，感受数学在生活中的应用。
例题：某班组织一次郊游活动，共有45人参加。如果每组多安排1人，可以多分5组。请问原来每组有多少人？
在作业布置过程中，教师要关注以下几点：
1.作业难度要适中，既要保证学生对基础知识的掌握，又要适当提高学生的思维能力。
2.作业量要适当，避免给学生造成过重的负担，确保学生有足够的时间进行自主学习和休息。
讨论过程中，教师要关注以下几点：
1.激发学生的讨论热情，鼓励学生积极发表自己的观点。
2.引导学生互相交流解题方法，分享学习心得。
3.注意观察学生的讨论情况，适时给予指导和帮助。
（四）课堂练习，500字
在课堂练习阶段，教师设计不同难度的练习题，让学生进行巩固练习。练习题要涵盖完全平方公式和平方差公式的各种应用场景，包括基本题、变式题和综合应用题。
接着，教师可以引导学生回顾已学的平方运算知识，如（a+b）^2 = a^2 + 2ab + b^2，让学生尝试推导出完全平方公式：（a+b）^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a-b)^2 + 4ab。在此基础上，引出本节课将要学习的完全平方公式和平方差公式。
七年级数学下册《完全平方公式与平方差公式》教案、教学设计
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
-通过生活中的实例，如土地面积的测量、房屋面积的估算等，引出完全平方公式与平方差公式的概念。
-通过实际问题的解决，激发学生的学习兴趣，为新课的学习做好铺垫。
2.自主探究，合作交流
-引导学生回顾整式乘法和因式分解的知识，为新课的学习搭建知识框架。
-设计有针对性的课后作业，巩固学生对完全平方公式与平方差公式的掌握。
-采用多元化的评价方式，关注学生的个体差异，鼓励学生发挥潜能。
7.教学反思
-教学结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
-注重教学方法的创新，提高课堂教学的趣味性和实效性。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.总结完全平方公式和平方差公式的推导过程。
2.举例说明这两个公式在实际问题中的应用。
3.分析这两个公式在解题过程中的优势和局限性。
讨论结束后，各小组汇报讨论成果，其他小组进行补充和评价。我在这个过程中，适时给予指导和引导，帮助学生深入理解公式。
（四）课堂练习，500字
在课堂练习阶段，我会设计不同难度的题目，让学生运用完全平方公式和平方差公式进行解题。练习题包括以下类型：
在本章节的学习中，学生需要在已有知识的基础上，进一步探究完全平方公式与平方差公式的规律，并将其应用于解决实际问题。此时，学生可能面临以下挑战：
1.对完全平方公式与平方差公用公式解题时，可能会出现符号错误、计算失误等问题，需要教师耐心指导，帮助学生提高运算准确性和解题技巧。
-选择两道课后习题，运用完全平方公式与平方差公式进行因式分解，并解释每一步的推导过程。
完全平方公式与平方差公式(第2课时平方差公式)教案
教学设计8.3完全平方公式与平方差公式（第２课时）平方差公式一、教学背景（一）教材分析平方差公式是在学习了完全平方公式之后又一种特殊形式多项式乘法结果的归纳和总结，将这种结果应用于形式相同的多项式乘法，达到简化计算的目的.也是学习因式分解、函数等知识的重要基础；也是考试中考查的重点内容之一. （二）学情分析学生在第 8.2 节学习了多项式乘以多项式的法则，为推导和掌握平方差公式奠定了基础 .学生在经历完全平方公式推导基础上，初步为学习平方差公式提供了思维方式 . 七年级下学生的认知发展已具备了转化、数形结合的能力，富有积极思考、主动探索、合作交流情感基础，为推导平方差公式提供了保证.二、教学目标：1 经历探索平方差公式的过程，培养学生观察、归纳、猜测、验证等能力.2 会推导平方差公式：２２ａ＋ｂａ—ｂ＝ａ—ｂ3 了解平方差公式的几何背景，会应用公式计算.4 进一步体会转化、数形结合等思想方法.三、重点、难点：重点：体会平方差公式的发现和推导，会用平方差公式进行熟练地计算.难点：探索平方差公式，并会用几何图形解释公式.四、教学方法分析及学习方法指导教法分析：在教学中要引导学生发现公式，并探究公式的推导过程，应着重让学生掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，引导学生借助面积图形对平方差公式做直观说明，加深学生对公式理解。
学法指导：学习中，让学生主动发现公式，并探究公式的推导过程，应着重让学生认识、掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，在公式的运用上，把公式中的字母同具体题目中的数或式子，逐项比较、对照，步骤写得完整，便于学生理解如何正确地使用平方差公式进行计算．正确地使用公式的关键是确定是否符合使用公式的条件．五、教学过程：（一）情景导入：以前，狡猾的灰太狼，把一块长为 a 米的正方形土地租给懒羊羊种植 . 今年，他对懒羊羊说：“我把你这块地一边减少 4 米，另一边增加 4 米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”懒羊羊听了，觉得好像没有吃亏，就答应了. 懒羊羊回到羊村，把这件事跟大伙一说，喜羊羊马上就说懒羊羊吃亏了 . 过了一会儿沸羊羊也说懒羊羊确实吃亏了 . 这是为什么呢？（先独立思考，后小组讨论，列出算式）设计意图：创设情境 ,通过以学生较为熟悉动画人物,让学生探索问题中的关系 ,激发学生求知欲望 .（二）知识回顾：1完全平方公式2多项式与多项式的乘法法则是什么？（三）探究新知：1由多项式乘法，计算下列各题：（ 1） 3m 13m 1（ 2）(2) x2y x2y解：1)(2)( x2y)( x2y)(1)(3m 1)(3m3m 3m 3m 1 1 3m 1 1x2x2x2 y yx2y y9m2 1x4y22 你能得到 a b a b 的计算公式吗？(a b)(a b)a a a b a b b b a2b2设计意图：利用多项式乘法推导平方差公式,让学生探索问题中发现公式特征 ,培养学生学习兴趣 .平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差.3 在边长为 a 的大正方形中，割去一个边长为 b 的小正方形 . 小明想将剩下的黄色部分分割后拼成一个长方形，他能拼成功吗 ?a baa-ba abbba b a b a2b2注：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式．思考：(1)( a b)( a b)(b a)(b a)b2a2(2)( a b)(b a)(a b)(a b)a2b2(3)( a b)( a b) (a)2b2a2b2(4)( a b)(a b)(b a)(b a)( b) 2a2b2a2设计意图：联系实际生活,渗透数形结合的思想 ,让学生形象直观的感受平方差公式的构成 .并分类总结 ,使学生更容易理解和掌握.（四）合作学习：例 2利用乘法公式计算：(1)1999 2001 (2)( x 3)(x 3)( x29)解：(1)19992001 (2000 1)(2000 1)(2)(x 3)(x 3)(x2 9) (x2 9)(x2 9)2481=x=20001=39999设计意图：通过合作学习 , 进一步理解掌握平方差公式,并让学生认清解题应规范 , 使学生注重良好学习习惯的培养.（五）自主学习 :1 按要求填写下面的表格 .(a b)( a b) a2b2算式与平方差公式中对应的项a与平方差公式中对应的项b写成“a2-b2 ”的形式(2-3x)(2+3x)(-2m+3n)(2m+3n)2下列计算对不对？如果不对，怎样改正？(1) x 6 x 6x26(2) 2a2 b 2a2b2a4b4 3利用乘法公式计算：(1)(2a 5b)(2a 5b) (2)( 1x 3)(1x3) 2 2(3)( y 2x)( 2x y) (4)( xy 1)(xy 1) (5)598 602(6)9992设计意图：通过自主学习，让学生体验成功的喜悦和探索的乐趣，增强自信心 .（六）课堂小结：这节课你有哪些收获？我们一起来分享一下吧！设计意图：通过小结，让学生谈收获及注意的问题，让学生认识自我，增强自信心 .（七）布置作业 :1必做：课本 71 页习题 8.3 ：第 2、4、5、6 题2选做：你能用右图中图形面积割补的方法，说明平方差公式吗？abba板书设计：8.1 平方差公式平方差公式：例2.. 3.计算a b a b a2b2两数和与这两数差的积等于这两数的平方差 .预设反思：本节课从多项式的乘法法则得到平方差公式引入新课，通过学生的合作交流得出平方差公式, 培养了学生归纳总结和数形结合的思想 . 要求学生能熟练掌握这些公式，并能运用它进行计算 .随着新课的进行、问题的提出，学生在教师的引导下充分经历观察、比较、交流、反思、发现问题过程，积极参与教学中；通过从一般到特殊、数形结合等思维活动、不断激起学生的“兴奋点” ，让学生体会到探索的艰辛，也体会到成功喜悦，发挥教师是学生学习的“促进者”的作用。
完全平方公式与平方差公式的教案
完全平方公式与平方差公式的教案完全平方公式与平方差公式的教案「篇一」平方差公式的优秀教案篇一：平方差公式的教案编者按：由中国教育部国际交流司与师范司，以及东芝公司共同举办的首届“东芝杯·中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛”20xx年11月30日在北京落下帷幕。
在参加数学模拟授课、教案评比、即席演讲三项决赛的12所师范大学中，华南师范大学的林佳佳夺得冠军（三项均列第一），北京师范大学的郗鹏获亚军，南京师范大学的朱嘉隽获季军。
三名获奖选手每人除了获奖励高级笔记本电脑一台之外，并获得免费赴日进行短期访学。
本刊刊登获得第一名的教案,以飨读者。
【课题】 15.2.1 平方差公式【教材】人教版八年级数学上册第151页至153页. 【课时安排】 1个课时. 【教学对象】八年级（上）学生.【授课教师】华南师范大学林佳佳. 【教学目标】 ? 知识与技能（1）理解平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性；（2）达到正用公式的水平，形成正向产生式：“﹙□+△﹚﹙□–△﹚”→“□2 –△2”。
过程与方法（1）使学生经历公式的.独立建构过程，构建以数的眼光看式子的数学素养；（2）培养学生抽象概括的能力；（3）培养学生的问题解决能力，为学生提供运用平方差公式来研究等周问题的探究空间。
? 情感态度价值观纠正片面观点： ?数学只是一些枯燥的公式、规定，没有什么实际意义！学了数学没有用?体会数学源于实际，高于实际，运用于实际的科学价值与文化价值。
【教学重点】 1.平方差公式的本质的理解与运用；2.数学是什么。
【教学难点】平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性。
【教学方法】讲练结合、讨论交流。
【教学手段】计算机、PPT、flash。
【教学过程设计】二、教学过程设计第 2 页第 3 页第 4 页篇二：平方差公式优秀教案教学目标：一、知识与技能１、参与探索平方差公式的过程，发展学生的推理能力２、会运用公式进行简单的乘法运算。
完全平方公式与平方差公式教案
8.3完全平方公式与平方差公式一、教学目标：（一）知识与能力：①学会推导完全平方公式：( a±b)2=a2±2ab+b2.②了解公式的几何背景，会用公式进行简单计算.（二）过程与方法：在观察交流、归纳总结中培养学生的语言表达能力，逻辑思维能力.（三）情感态度与价值观：培养学生积极思考，敢于表达自己观点；进一步体会数形结合的数学思想和方法.二、教学重点：对公式( a±b)2=a2±2ab+b2的理解三、教学难点：①对完全平方公式的运用；②对公式中字母所表示的广泛含义的理解和正确运用.四、教学方法：讲授法五、课型：新授六、课时：1课时七、教学过程：（一）导入新课：请同学们回忆多项式乘法法则并用多项式的乘法法则计算：①(a+b)2=②(a-b)2=说明：①乘法公式实际是几个特殊形式的多项式乘法结果，让学生知道公式的来历.②多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.（二）新课讲解：总结：上述两个公式可以直接用于计算.我们把①和②称为完全平方公式.思考：你能用语言表述这两个公式吗?语言叙述：完全平方公式的语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍.平方差公式语言叙述：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.说明：由学生自己总结乘法公式的特点，并用自己的语言叙述出来，让学生记忆深刻.学生看黑板，教师在黑板上用割补法演示完全平方公式几何意义.说明：利用图形的变换直观的说明乘法公式的几何意义，加深对乘法公式的理解，并体会了数形结合的数学思想方法.应用举例：例1：利用乘法公式计算：（1）(2x+y)2（2）(3a-2b) 2说明：此例题强化完全平方公式的应用，利用课件用“↓”符号比较直观的指出公式中字母a、b分别表示什么.※字母a、b可以是数字，也可以是整式.（三）课堂练习：计算：（1）(3x+1)2 (2)(a-3b) 2(3)(2x+y/2)2(4)(-2x+3y) 2（四）课堂小结：这节课我们复习了多项式乘法法则，学习完全平方的两个公式；同学们不仅要记住这两个公式，还要会灵活运用；需要强调的是公式中字母a、b既可以表示数，又可以表示单项式多项式.要符合特征才能用公式.有些题目需要变形后才能用公式.（五）作业布置：P71 第1题（六）板书设计8.3完全平方公式与平方差公式一、计算①（a+b）2=② (a-b) 2=二、完全平方公式：①(a+b)2=a2+2ab+b2②(a-b)2=a2-2ab+b2内容：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍.注意：⑴公式中的a和b不仅可以是数字，还可以是单项式和多项式。
完全平方公式／平方差公式的认识及应用讲义
完全平方公式/平方差公式的认识及应用一：学生情况及其分析:上海初一的学生，学校已经讲完整式乘法了，但是由于学生基础比较差，另外学生反映学校进度太快,所以完全没跟上，测试一百分能拿到三十分左右；分析了一下主要原因是学生对于新知识都只是知道个大概，但完全不会应用，比如本节内容学校已经讲过了，但学生只能大概说出完全平方式/平方差公式是什么，做题却毫无思路，就学生这个情况本节课将本专题按题型由简到难划分，主要培养学生的解题能力，同时课程前部分带学生回顾一下基础知识及推论（2-3h课程）。
二：教学目的:1、经历乘法公式的探求过程，理解乘法公式的意义，知道乘法公式与多项式乘法法则的关系;2、熟悉乘法公式的特征，掌握乘法公式及其简单运用（重难点）•三：教学设计:1,引入：复习乘法公式的基础形式并总结相关重点推论（将学生掌握不准确的知识点或易错点给予补充）O2,教学过程：【知识梳理】（红色标注为重难点易错点内容）（一）平方差公式1.平方差公式：（〃-顷0+。
）=垢-屏2.平方差公式的特点：（0左边是两个项式相乘，两项中有一项完全相同，另一项互为相反数（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）（3）公式中的〈盘可以是具体的数，也可是单项式或多项式（二）完全平方公式1.完全平方公式：（u+b）- ="'+2ub+b2（a—hy=u2—2ub+b22.完全平方公式的特点：在公式（a±b^=a2±2cib+b2中，左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式.其中有两项是左边括号内而像是种每一项的平方，中间一项为左边二项式中两项乘积的2倍，其符号由左边括号内的符号决定.本公式可由语言表述为：首平方，尾平方，两项乘积在中央.3.公式的恒等变形及推广:(1)(nb)~=(b-a)2 =(a-b)2(2)(-"-疗=(&+。
)'4.完全平方公式的几种常见变形:⑴a2+//=("+/))-—2汕=(〃一/?)-+2ub⑵/(,+b)~-((,+庆)(fl-/?)'-(tz2+b2)22⑶[a—by=(.+「)-—4ab⑷(&+/，)-=(+—「)-+4ab⑸(a+b+cy=(r+庆+c2+2ab+2ac+2bc5.其他：（拓展内容）（“+，?）'，（〃一人）、一人3〔完全平方公式的表示6.完全平方公式，完全平方公式的结构特征完全平方公式的应用完全平方公式的变形【典型例题讲解】题型一：【例1】请根据下图图形的面积关系来说明平方差公式ng【例2】判断下列各式能否用平方差公式计算，如果不能，应怎样改变才能使平方差公式适用？（1）国-冶，一涉）（2）（-2a+31）^+3a）（3）（一3m+2）（3也-2）【借题发挥】1.在边长为“的正方形中挖去一个边长为。
完全平方公式与平方差公式教案
完全平方公式与平方差公式教案一、教学目标：1. 让学生掌握完全平方公式和平方差公式的概念及运用。
2. 培养学生运用公式解决实际问题的能力。
3. 引导学生发现数学规律，提高学生的数学思维能力。
二、教学内容：1. 完全平方公式：(a±b)²= a²±2ab+b²2. 平方差公式：(a±b)(a∓b) = a²±b²三、教学重点与难点：1. 教学重点：完全平方公式和平方差公式的记忆与运用。
2. 教学难点：完全平方公式和平方差公式的推导过程。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解完全平方公式和平方差公式的含义。
2. 运用例题，让学生通过实践掌握公式的运用。
3. 组织小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学步骤：1. 导入新课：通过复习平方根的概念，引导学生进入平方公式的学习。
2. 讲解完全平方公式：讲解完全平方公式的推导过程，让学生理解公式的含义。
3. 讲解平方差公式：讲解平方差公式的推导过程，让学生理解公式的含义。
4. 例题讲解：运用例题，让学生掌握公式的运用。
5. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
6. 总结与拓展：总结完全平方公式和平方差公式的运用，引导学生发现数学规律，提高学生的数学思维能力。
7. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂练习环节，观察学生对完全平方公式和平方差公式的掌握情况。
2. 通过课后作业的完成情况，评估学生对课堂所学知识的巩固程度。
3. 组织小型测验，检验学生对完全平方公式和平方差公式的运用能力。
七、教学反馈：1. 根据学生的课堂表现和作业完成情况，及时给予反馈，指出学生的优点和不足。
2. 对学生在学习中遇到的问题，进行个别辅导，帮助他们解决问题。
3. 鼓励学生在课堂上积极提问，解答他们的疑问。
八、教学调整：1. 根据学生的学习情况，调整教学进度和教学方法。
《完全平方公式与平方差公式》 讲义
《完全平方公式与平方差公式》讲义一、完全平方公式完全平方公式是数学中一个非常重要的公式，它有两个形式：（a ＋ b）²＝ a²＋ 2ab ＋ b²（a b）²＝ a² 2ab ＋ b²我们来详细解读一下这两个公式。
先看（a ＋ b）²＝ a²＋ 2ab ＋ b²。
想象有一个边长为（a ＋ b）的正方形，它的面积就是（a ＋ b）²。
我们可以把这个正方形分成四块，分别是边长为 a 的正方形、边长为 b 的正方形，以及两个长为 a 宽为 b 的长方形。
那么这个大正方形的面积就等于这四块面积之和，即 a²＋2ab ＋ b²。
再看（a b）²＝ a² 2ab ＋ b²。
同样，我们可以把（a b）²看成是一个边长为（a b）的正方形的面积。
通过类似的分割方法，也能得出其面积为 a² 2ab ＋ b²。
完全平方公式在计算和化简式子时非常有用。
例如，计算（3 ＋ 4）²。
我们可以直接使用完全平方公式：（3 ＋ 4）²＝ 3²＋ 2×3×4 ＋ 4²＝ 9 ＋ 24 ＋ 16 ＝ 49。
又比如，化简（x ＋ 2y）²。
根据公式可得：（x ＋ 2y）²＝ x²＋2×x×2y ＋（2y）²＝ x²＋ 4xy ＋ 4y²。
在解决实际问题中，完全平方公式也经常出现。
假设一个正方形的边长增加了 5 厘米，原来的边长为 x 厘米，那么面积增加了多少？原来正方形的面积是 x²平方厘米，边长增加后的正方形边长为（x＋ 5）厘米，面积为（x ＋ 5）²平方厘米。
面积增加的值就是（x ＋ 5）² x²，利用完全平方公式展开可得：（x ＋ 5）² x²＝（x²＋ 10x ＋ 25） x²＝ 10x ＋ 25 （平方厘米）二、平方差公式平方差公式为：（a ＋ b）（a b）＝ a² b²这个公式的意思是，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差。
完全平方公式和平方差公式
龙文教育一对一个性化辅导教案乘法公式1．平方差公式(1)平方差公式的推导：因为(a ＋b )(a －b )＝a 2－ab ＋ab －b 2＝a 2－b 2，所以(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.【例1】 利用平方差公式计算．(1)(2a ＋3b )(－2a ＋3b )； (2)503×497.2．完全平方公式(1)两数和的完全平方公式：(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；两数差的完全平方公式：(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.析规律 完全平方公式的特征 完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央．【例2】 计算：(1)(4m ＋n )2； (2)(y －12)2； (3)(－a －b )2； (4)(－2a ＋12b )2.3．添括号法则法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．警误区 添括号法则的易错点 添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号，不可只改变部分项的符号，如：a －b ＋c ＝a －(b ＋c )，这样添括号时只是改变了第一项的符号，而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的．【例3】 填空：(1)(x －y ＋z )(x ＋y －z )＝[x －( )][x ＋( )]；(2)(x ＋y ＋z )(x －y －z )＝[x ＋( )][x －( )]．【例4】 如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式__________．【例6】 观察下列各式的规律：12＋(1×2)2＋22＝(1×2＋1)2；22＋(2×3)2＋32＝(2×3＋1)2；32＋(3×4)2＋42＝(3×4＋1)2；…写出第n 行的式子，并证明你的结论．类型一：巧用乘法公式 类型二：平方差与完全平方公式混用22114422x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭计算： ()()a b c a b c ++--计算：类型三：完全平方公式在三角形中的运用例3、已知△ABC 的三边长a,b,c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC 的形状类型四：利用乘法公式解方程(组)例4：()()()()222432x y x y x y x y ⎧+-+=+-⎪⎨-=-⎪⎩解方程组类型五：多项式的证明例5：证明无论a,b 为何值，多项式222612a b a b +--+的值恒为正类型六：灵活运用乘法公式解题例6、计算22222111111-1-1-11234910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭拓展：三项完全平方公式：()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ 二次三项式：()()()2+x a x b x a b x ab +=+++ 立方和公式：()()3322a b a b a ab b +=+-+立方差公式：()()3322-+a b a b a ab b =++ 1、若()()234+,,x x x px q p q --=+那么的值分别是2、()()()224,bax b x x ab ++=-+=若则 3、()()3x m x ++如与的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为4、已知()()250,3+2a a a a -+=-则的值是5、已知实数()()2222,1,25,a b a b a b b ab +=-=++=满足则a6、将代数式()2262x x x p q ++++化成的形式为7、若2+216x ax +是一个完全平方展开式，则a 的值是________-8、已知216x x k ++是个完全平方式，则常数k 的值为_______ 9、若()222560,x =x y xy y +-+-=+则___________- 10、已知2221114,x x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭求x 和的值 11、知实数()()2222,1,25,a b a b a b b ab +=-=++=满足则a课后练习1.下列各式中，相等关系一定成立的是（ ）A.(x －y)2＝(y －x)2B.(x+6)(x －6)＝x 2－6C.(x+y)2＝x 2+y 2D.x 2+2xy 2－y 2＝(x+y)22.下列运算正确的是（ ）A.(a+3)2＝a 2+9B.(13x －y)2＝16x 2－23xy+y 2 C.(1－m)2＝1－2m+m 2 D.(x 2－y 2)(x+y)(x －y)＝x 4－y 43.将面积为a 2的正方形边长增加2，则正方形的面积增加了（ ）A.4B.2a+4C.4a+4D.4a4.下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）A.(a+1)(2a －2)B.(2x －3)(－2x+3)C.(2y －13)(13+2y) D.(3m －2n)(－3m －2n) 5.不等式(2x －1)2－(1－3x)2＜5(1－x)(x+1)的解集是（ ）A.x ＞－2.5B.x ＜－2.5C.x ＞2.5D.x ＜2.56.计算：(1)(1.2x －57y)(－57y －1.2x)； (2)1523×(－1413)；(3)［2x2－(x+y)(x－y)］［(z－x)(x+z)+(y－z)(y+z)］；(4)(a－2b+3c)(a+2b－3c).7.(1)已知x+y＝6，xy＝4，求①x2+y2，②(x－y)2，③x2+xy+y2的值.(2)已知a(a－3)－(a2－3b)＝9，求222a b－ab的值.1.计算：(1)(a2+1)(a2－1)－(－a2)·a2；(2)(2a－b)(2a+b)－(－3a－b)(－3a+b)；(3)x2－(4－x)2；(4)(3x－2y)2－4(2x－y)(x－y).2.已知(a+b)2＝7，(a－b)2＝4，求a2+b2和ab的值.3.已知△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0，试判断△ABC的形状.4.解方程：(1)9x(4x－7)－(6x+5)(6x－5)+38＝0；(2)(y2－3y+2)(y2+3y－2)＝y2(y+3)(y－3).。
完全平方公式与平方差公式教案
完全平方公式与平方差公式教案第一章：完全平方公式简介1.1 学习目标了解完全平方公式的概念和意义。
学会使用完全平方公式进行计算。
1.2 教学内容完全平方公式的定义：对于任意实数a和b，有(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
完全平方公式的推导过程。
完全平方公式的应用示例。
1.3 教学活动通过实例引入完全平方公式的概念。
引导学生通过观察和思考推导完全平方公式。
让学生通过练习题应用完全平方公式进行计算。
第二章：完全平方公式的应用2.1 学习目标学会使用完全平方公式解决实际问题。
能够运用完全平方公式进行二次方程的求解。
2.2 教学内容完全平方公式在实际问题中的应用示例。
利用完全平方公式求解二次方程的方法。
2.3 教学活动通过实际问题引入完全平方公式的应用。
引导学生运用完全平方公式解决实际问题。
让学生通过练习题求解二次方程。
第三章：平方差公式的介绍3.1 学习目标了解平方差公式的概念和意义。
学会使用平方差公式进行计算。
3.2 教学内容平方差公式的定义：对于任意实数a和b，有(a-b)(a+b) = a^2 b^2。
平方差公式的推导过程。
平方差公式的应用示例。
3.3 教学活动通过实例引入平方差公式的概念。
引导学生通过观察和思考推导平方差公式。
让学生通过练习题应用平方差公式进行计算。
第四章：平方差公式的应用4.1 学习目标学会使用平方差公式解决实际问题。
能够运用平方差公式进行二次方程的求解。
4.2 教学内容平方差公式在实际问题中的应用示例。
利用平方差公式求解二次方程的方法。
4.3 教学活动通过实际问题引入平方差公式的应用。
引导学生运用平方差公式解决实际问题。
让学生通过练习题求解二次方程。
第五章：完全平方公式与平方差公式的综合应用5.1 学习目标学会综合运用完全平方公式和平方差公式解决实际问题。
能够灵活运用两个公式进行计算和求解问题。
5.2 教学内容完全平方公式和平方差公式的综合应用示例。
实际问题中综合运用两个公式的方法。
八年级上数学人教版《 平方差公式、完全平方公式》教案
《平方差公式、完全平方公式》教案一、教学目标1.掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，能够运用这两个公式进行简单的运算。
2.理解公式中的字母含义，掌握公式的逆向运用。
3.培养学生观察、归纳、推理的思维能力，并体会公式在解决实际问题中的运用。
二、教学内容及重难点1.教学内容（1）平方差公式：两数和乘两数差，等于两数平方差；积化和差变两项，完全平方不是它。
（2）完全平方公式：首平方又末平方，二倍首末在中央；和的平方加再加，先减后加差平方。
2.教学重点（1）掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征。
（2）能够运用公式进行简单的运算。
3.教学难点（1）理解公式中的字母含义，掌握公式的逆向运用。
（2）运用公式解决实际问题。
三、教学方法及手段1.复习导入：复习整式的加减法运算规则，引出本节课的课题——平方差公式和完全平方公式。
2.探究新知：通过举例和图示，引导学生观察、分析、归纳平方差公式和完全平方公式的结构特征，并尝试用自己的语言描述这两个公式的意义。
3.讲解示范：通过例题解析，引导学生掌握公式的运用方法，并强调公式的逆向运用，加深学生对公式的理解。
4.练习巩固：设计多个练习题，让学生自主完成并检查他们的掌握情况，及时反馈并纠正错误。
5.小结提升：总结本节课学习的内容，强调公式的运用方法和注意事项，并引导学生体验公式在解决实际问题中的运用。
四、教学评价及反馈1.评价方式：采用口头提问、板演、小组讨论等多种形式进行评价，关注学生的参与度和表现。
2.反馈方式：及时给予学生正面的反馈和建设性的意见，帮助他们认识自己的不足并努力改进。
同时也要鼓励他们发挥自己的优点和特长。
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= y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
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我们再来计算(a+b)2, (a-b)2
(a+b)2=(a+b) (a+b) =a2+2ab+b2
(a-b)2 = (a-b) (a-b)
=a2-2ab+b2
一般地,我们有
(a+b)2=a2+2ab+b2,
两数和的平方,等于它们的平方和,加它们的积的2倍.
(a-b) 2 = a2-2ab +b2.
2.错例分析： (1)（a+b)2=a2+b2 (2)(a-b)2=a2-b2
灰太狼开了租地公司,一天他把一边长 为a米的正方形土地租给慢羊羊种植. 有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的 一边增加5米,另一边减少5米,再继续租 给你, 你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊 一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村, 就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一 听,都说道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊 村长很吃惊…同学们,你能告诉慢羊羊 这是为什么吗?
完全平方公式与平方差公 式
探究 计算下列各式,你能发现什么规律? (1)(p+1)2 = (p+1) (p+1) = _p2_+_2_p_+_1； (2)(m+2)2= _m__2+_4_m__+_4_; • (p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = ___p_2-_2_p_+_1; (1) (m-2)2 = __m_2_-4_m_+_4___.
(1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
1 x 12-x2 -3 a (-3)2-a2
(1+a)(-1+a)
a1
a2-12
(0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x 1 ( 0.3x)2-12
(a + b ) ( a – b ) = a2 - b2
例1、用平方差公式计算
注意
(1)（3x+2y)(3x-2y)
原来
现在
5米
(a+5)米
a a米
2
(a-5) (a+5)(a-5)
5米
a2 相等吗？a2－25
算一算，比一比，看谁算得又快又准
计算下列各题 ①（x ＋ 4)( x－4）
②（1 ＋ 2a)( 1－2a）
③（m＋ 6n)( m－6n）
④（5y ＋ z)(5y－z）
①（x ＋ 4)( x－4）=x2 － 16 x2 － 42
x2+2xy+y2=( x+y)2 x2+2x+1=( x+1)2 a2-4ab+4b2=( a-2b)2 x2-4x +4=( x-2 )2
巩固练习:
1.下列各式哪些可用完全平方公式计算
(1)(2a-3b)(3b-2a) (2)(2a-3b)(-3b-2a) (3)(-2m+n)(2m+n) (4)(2m+n)(-2m-n)
(3) (mn−a)2
先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确哪个是 a , 哪个是 b.
解：(1) (2x−−3)2 = (2x )2 − 2 • 2x • 3+ 32
= 4x2 − 12x + 9 ;
做题时要边念边写： 第一数 的平方,
减去 第一数与第二数乘积 的2倍,
加上 第二数 的平方.
a2 +2ab+b2 = (a+b)2 公式的逆向使用； a2 - 2ab+b2= (a-b)2
两数差的平方,等于它们的平方和,减它们的积的2倍.
这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
完全平方公式 (a+b)2= a2 +2ab+b2
公式特点：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式； 2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同. 4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
等于 这两数的平方差.
公式变形:
1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2、（b + a )( -b 公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
合理加括号 相反为b
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两 个多项式等等．
口答下列各题：
(l)(-a+b)(a+b)= __b__2-_a__2__ (2)(a-b)(b+a)= ____a_2_-_b_2__ (3)(-a-b)(-a+b)= ___a_2_-_b_2_
(4)(a-b)(-a-b)= ____b_2_-_a_2_
1、找一找、填一填
(a-b)(a+b)
a b a2-b2
解：原式＝ (3x)2 - (2y)2
ab ＝9x2 - 4y2
1、先把要计算的 式子与公式对照,
2、哪个是 a 哪个是 b
(2 )(-7+2m2)(-7-2m2). 解：原式=(-7)2－(2m2)2
ab
= 49－4m4
例2 计算:
(1) 803×797;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) . 解: (1) 803×797
②（1 ＋ 2a)( 1－2a）=1 －4a2 12－(2a)2
③（m＋ 6n)( m－6n)=m2 － 36n2 m2 － (6n)2 ④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2 (5y)2 － z2
它们的结果有什么特点？
平方差公式：
(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积,
首平方，尾平方，积的2倍在中央
完全平方公式 的图形理解
完全平方和公式：
b
(a+b)²
a
ab
(ab)2 a 2+2ab+b 2
完全平方公式 的图形理解
完全平方差公式：
b a
ab
(ab)2 a 2 ababb2
a22abb2
练习： 利用完全平方公式计算：
(1) (2x−3)2 ； (2) (4x+5y)2 ;