人教版八年级数学上册三角形、全等三角形考点分类练习

合集下载

人教版八年级上册数学全等三角形单元复习练习(Word版含答案)

人教版八年级上册数学全等三角形单元复习练习(Word版含答案) 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=12BC，则△ABC的顶角的度数为_____．【答案】30°或150°或90°【解析】试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=12×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为30°或150°或90°．点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．2．如图，在△ABC和△DBC中，∠A=40°，AB=AC=2，∠BDC=140°，BD=CD，以点D为顶点作∠MDN=70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为___________．【答案】4【解析】【分析】延长AC至E，使CE=BM，连接DE．证明△BDM≌△CDE（SAS），得出MD=ED，∠MDB=∠EDC，证明△MDN≌△EDN（SAS），得出MN=EN=CN+CE，进而得出答案．【详解】延长AC至E，使CE=BM，连接DE．∵BD=CD，且∠BDC=140°，∴∠DBC=∠DCB=20°，∵∠A=40°，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，同理可得∠NCD=90°，∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，在△BDM 和△CDE 中，BM CE MBD ECD BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝∴△BDM ≌△CDE （SAS ），∴MD=ED ，∠MDB=∠EDC ，∴∠MDE=∠BDC=140°，∵∠MDN=70°，∴∠EDN=70°=∠MDN ，在△MDN 和△EDN 中，MD ED MDN EDN DN DN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝∴△MDN ≌△EDN （SAS ），∴MN=EN=CN+CE ，∴△AMN 的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；故答案为：4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．3．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形（1）如图，在ABC ∆中，25,105A ABC ∠=︒∠=︒，过B 作一直线交AC 于D ，若BD 把ABC ∆分割成两个等腰三角形，则BDA ∠的度数是______．（2）已知在ABC ∆中，AB AC =，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC ∆分割成两个等腰三角形，则A ∠的最小度数为________．【答案】130︒ 1807︒⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意得：DA=DB ，结合25A ∠=︒，即可得到答案；（2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD ，CD=AD ，②当AD=BD ，AC=CD ，③AB=AC ，当AD=BD=BC ，④当AD=BD ，CD=BC ，分别求出A ∠的度数，即可得到答案．【详解】（1）由题意得：当DA=BA ，BD=BA 时，不符合题意，当DA=DB 时，则∠ABD=∠A=25°，∴∠BDA=180°-25°×2=130°．故答案为：130°；（2）①如图1，∵AB=AC ，当BD=AD ，CD=AD ，∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD ，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴4∠B=180°，∴∠BAC=90°．②如图2，∵AB=AC ，当AD=BD ，AC=CD ，∴∠B=∠C=∠BAD ，∠CAD=∠CDA ，∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B ，∴∠BAC=3∠B ，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴∠BAC=108°．③如图3，∵AB=AC ，当AD=BD=BC ，∴∠ABC=∠C ，∠BAC=∠ABD ，∠BDC=∠C ，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC ，∴∠ABC=∠C=2∠BAC ，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴5∠BAC=180°，∴∠BAC=36°．④如图4，∵AB=AC ，当AD=BD ，CD=BC ，∴∠ABC=∠C ，∠BAC=∠ABD ，∠CDB=∠CBD ，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC ，∴∠ABC=∠C=3∠BAC ，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴7∠BAC=180°， ∴∠BAC=180()7︒ ．综上所述，∠A 的最小度数为：180()7︒．故答案是：180()7︒．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，根据等腰三角形的性质，分类讨论，是解题的关键．4．如图，在ABC 中，AB AC >，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半长为半径作画弧，两弧相交于点M 和点N ，过点M N 、作直线交AB 于点D ，连接CD ，若10AB =，6AC =，则ADC 的周长为_____________________．【答案】16【解析】【分析】利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，然后利用等线段代换得到ACD ∆的周长=AB+AC ，再把10AB =，6AC =代入计算即可．【详解】解：由作法得MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ∆=++=++=+=+=故答案为：16．【点睛】本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是本题的关键．5．如图，△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ，则△ADE 的周长为_____．【答案】14．【解析】【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质得BD ＝DF ，CE ＝EF ，则△ADE 的周长＝AB +AC ＝14．【详解】∵BF 平分∠ABC ，∴∠DBF ＝∠CBF ，∵DE ∥BC ，∴∠CBF ＝∠DFB ，∴∠DBF ＝∠DFB ，∴BD ＝DF ，同理FE ＝EC ，∴△AED 的周长＝AD +AE +ED ＝AB +AC ＝8+6＝14．故答案为：14．【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的等角对等边的性质.6．如图,A,B,C 三点在同一直线上,分别以AB,BC （AB>BC ）为边,在直线AC 的同侧作等边ΔABD 和等边ΔBCE,连接AE 交BD 于点M,连接CD 交BE 于点N,连接MN. 以下结论：①AE=DC，②MN//AB，③BD⊥AE，④∠DPM=60°，⑤ΔBMN是等边三角形.其中正确的是__________（把所有正确的序号都填上）.【答案】①②④⑤【解析】【分析】①由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为60°，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等即可得结论；②由①中三角形ABE与三角形DBC全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA 可得出三角形EMB与三角形CNB全等，利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形；可得∠BMN=60°，进行可得∠BMN=∠ABD，故MN//AB，从而可判断②，⑤正确；③无法证明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；④由①得∠EAB=∠CDB，根据三角形内角和和外角的性质可证得结论.【详解】①∵等边△ABD和等边△BCE，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，∴∠ABE=∠DBC=120°，在△ABE和△DBC中，∵AB DBABE DBCBE BC⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=DC，故①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠AEB=∠DCB，又∠ABD=∠EBC=60°，∴∠MBE=180°-60°-60°=60°，即∠MBE=∠NBC=60°，在△MBE和△NBC中，∵AEB DCB EB CB MBE NBC ∠∠∠⎧⎪⎪⎩∠⎨＝＝＝，∴△MBE ≌△NBC （ASA ），∴BM=BN ，∠MBE=60°，则△BMN 为等边三角形，故⑤正确；∵△BMN 为等边三角形，∴∠BMN=60°,∵∠ABD=60°,∴∠BMN=∠ABD ，∴MN//AB ，故②正确；③无法证明PM=PN ，因此不能得到BD ⊥AE ；④由①得∠EAB=∠CDB ，∠APC+∠PAC+∠PCA=180°，∴∠PAC+∠PCA=∠PDB+∠PCB=∠DBA=60°，∵∠DPM =∠PAC+∠PCA∴∠DPM =60°，故④正确，故答案为：①②④⑤.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．7．已知如图，每个小正方形的边长都是1231,,, ....A A A 都在格点上，123345567,, ....A A A A A A A A A 都是斜边在x 轴上，且斜边长分别为2,4,6,.的等腰直角三角形.若123A A A △的三个顶点坐标为()()()1232,0,1,1,0,0A A A -,则依图中规律,则19A 的坐标为 ___________【答案】()8,0-【解析】【分析】根据相邻的两个三角形有一个公共点，列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式,再求出A 19所在的三角形,并求出斜边长.然后根据第奇数个三角形，关于直线x=1对称,第偶数个三角形关于直线x=2对称,求出OA 19,写出坐标即可.【详解】解：设到第n 个三角形顶点的个数为y则y=2n+1,当2n+1=19时,n=9,∴A 19是第9个三角形的最后一个顶点,∵等腰直角三角形的斜边长分别为2,4,6....∴第9个等腰直角三角形的斜边长为2×9=18,由图可知,第奇数个三角形在x 轴下方,关于直线x=1对称,∴OA 19=9-1=8,∴19A 的坐标为()8,0-故答案是()8,0-【点睛】本题考查点的坐标变化规律,根据顶点个数与三角形的关系，判断出点A 19所在的三角形是解题关键8．在△ABC 中，∠ACB ＝90º，D 、E 分别在 AC 、AB 边上，把△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE ，点 F 恰好落在 BC 边上，若△CFD 与△BFE 都是等腰三角形，则∠BAC 的度数为_________．【答案】45°或60°【解析】【分析】根据题意画出图形，设∠BAC 的度数为x ，则∠B=90°-x ，∠EFB =135°-x ，∠BEF=2x-45°，当△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论，即可求解.【详解】∵∠ACB ＝90º，△CFD 是等腰三角形，∴∠CDF=∠CFD=45°，设∠BAC 的度数为x ，∴∠B=90°-x ，∵△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE ，点 F 恰好落在 BC 边上，∴∠DFE=∠BAC=x ，∴∠EFB=180°-45°-x=135°-x ，∵∠ADE=∠FDE ，∴∠ADE=（180°-45°）÷2=67.5°，∴∠AED=180°-∠ADE-∠BAC=180°-67.5° -x=112.5°-x ，∴∠DEF=∠AED=112.5°-x ，∴∠BEF=180°-∠AED-∠DEF=180°-（112.5°-x）-（112.5°-x）=2x-45°，∵△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论：①当FE=FB时，如图1，则∠BEF=∠B，∴90-x=2x-45，解得：x=45；②当BF=BE时，则∠EFB=∠BEF，∴135-x=2x-45，解得：x=60，③当EB=EF时，如图2，则∠B=∠EFB，∴135-x=90-x，无解，∴这种情况不存在.综上所述：∠BAC 的度数为：45°或60°.故答案是：45°或60°.图1 图2【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理，用代数式表示角度，并进行分类讨论，是解题的关键.9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点B旋转α（0＜α＜60°）到△A′BC′，边AC 和边A′C′相交于点P，边AC和边BC′相交于Q.当△BPQ为等腰三角形时，则α＝__________.【答案】20°或40°【解析】【分析】过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，根据旋转可得△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，进而得到BP平分∠A'PC，再根据∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，可得∠CBQ=∠C'PQ=θ，即可得出∠BPQ=12（180°-∠C'PQ）=90°-12θ，分三种情况讨论，利用三角形内角和等于180°，即可得到关于θ的方程，进而得到结果．【详解】如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，由旋转可得，△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，∴BP平分∠A'PC，又∵∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，∴∠CBQ=∠C'PQ=θ，∴∠BPQ=12（180°-∠C'PQ）=90°-12θ，分三种情况：①如图所示，当PB=PQ时，∠PBQ=∠PQB=∠C+∠QBC=30°+θ，∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB=180°，∴90°-12θ+2×（30°+θ）=180°，解得θ=20°；②如图所示，当BP=BQ时，∠BPQ=∠BQP，即90°-12θ=30°+θ，解得θ=40°；③当QP=QB 时，∠QPB=∠QBP=90°-12θ，又∵∠BQP=30°+θ，∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP=2（90°-12θ）+30°+θ=210°＞180°（不合题意），故答案为：20°或40°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及旋转的性质的运用，解决问题的关键是利用全等三角形对应边上高相等，得出BP 平分∠A'PC ，解题时注意分类思想的运用．10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD ＝8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是_____．【答案】9.6．【解析】【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD 垂直平分BC ，过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，BQ 交AD 于点P ，则此时PC +PQ 取最小值，最小值为BQ 的长．在△ABC 中，利用面积法可求出BQ 的长度，此题得解．【详解】∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD 垂直平分BC ，∴BP ＝CP ．过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，BQ 交AD 于点P ，则此时PC +PQ 取最小值，最小值为BQ 的长，如图所示．∵S △ABC 12=BC •AD 12=AC •BQ ，∴BQ 12810BC AD AC ⋅⨯===9.6．故答案为：9.6．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC+PQ的最小值为BQ是解题的关键．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，2），若顶点C落在坐标轴上，则符合条件的点C有（）个．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC=AB，②若BC=BA，③若CA=CB）讨论，通过画图就可解决问题．【详解】①若AC=AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；②若BC=BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；③若CA=CB，则点C在AB的垂直平分线上．∵A（0，0），B（2，2），∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点．综上所述：符合条件的点C的个数有8个．故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．12．如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是（）A．32°B．64°C．65°D．70°【答案】B【解析】【分析】此题涉及的知识点是三角形的翻折问题，根据翻折后的图形相等关系，利用三角形全等的性质得到角的关系，然后利用等量代换思想就可以得到答案【详解】如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置∠B=∠D=32° ∠BEH=∠DEH∠1=180︒-∠BEH-∠DEH=180︒-2∠DEH∠2=180︒-∠D-∠DEH-∠EHF=180︒-∠B-∠DEH-(∠B+∠BEH)=180︒-∠B-∠DEH-（∠B+∠DEH）=180︒-32°-∠DEH-32°-∠DEH=180︒-64°-2∠DEH∴∠1-∠2=180︒-2∠DEH-(180︒-64°-2∠DEH)=180︒-2∠DEH-180︒+64°+2∠DE H=64°故选B【点睛】此题重点考察学生对图形翻折问题的实际应用能力，等量代换是解本题的关键13．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )A．3B．33C．32D．不能确定【答案】B【解析】已知，如图，P为等边三角形内任意一点，PD、PE、PF分别是点P到边AB、BC、AC的距离，连接AP、BP、CP，过点A作AH⊥BC于点H，已知等边三角形的边长为3，可求得高线AH=332，因S△ABC=12BC•AH=12AB•PD+12BC•PE+12AC•PF，所以1 2×3×AH=12×3×PD+12×3×PE+12×3×PF，即可得PD+PE+PF=AH=332，即点P到三角形三边距离之和为332．故选B.点睛：本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．14．等边△ABC，在平面内找一点P，使△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，具备这样条件的P点有多少个？（）A．1个B．4个C．7个D．10个【答案】D【解析】试题分析：根据点P在等边△ABC内，而且△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，可知P点为等边△ABC的垂心；由此可得分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．解：由点P在等边△ABC内，而且△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，可知P点为等边△ABC的垂心；因为△ABC是等边三角形，所以分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径画弧，交垂直平分线的交点就是满足要求的，每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．故选D．点评：此题主要考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质，有一定的拔高难度，属于中档题．15．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（）A．4 B．245C．5 D．6【答案】C【解析】试题解析：如图，∵AD是∠BAC的平分线，∴点B关于AD的对称点B′在AC上，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，∵AC=10，S△ABC=25，∴12×10•BE=25，解得BE=5，∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰三角形，∴B′N=BE=5，即BM+MN的最小值是5．故选C．16．如果三角形有一个内角为120°，且过某一顶点的直线能将该三角形分成两个等腰三角形，那么这个三角形最小的内角度数是( )A．15°B．40 C．15°或20°D．15°或40°【答案】C【解析】【分析】依据三角形的一个内角的度数为120°，且过某一顶点能将该三角形分成两个等腰三角形，运用分类思想和三角形内角和定理，即可得到该三角形其余两个内角的度数．【详解】如图1，当∠A=120°，AD=AC，DB=DC时，∠ADC=∠ACD=30°，∠DBC=∠DCB=15°，所以，∠DBC=15°，∠ACB=30°+15°=45°；故∠ABC=60°，∠C=80°；如图2，当∠BAC=120°，可以以A为顶点作∠BAD=20°，则∠DAC=100°，∵△APB，△APC都是等腰三角形；∴∠ABD=20°，∠ADC=∠ACD=40°，如图3，当∠BAC=120°，以A为顶点作∠BAD=80°，则∠DAC=40°，∵△APB，△APC都是等腰三角形，∴∠ABD=20°，∠ADC=100°，∠ACD=40°．故选C．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．17．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这个三角形为特异三角形．若△ABC是特异三角形，∠A=30°，∠B为钝角，则符合条件的∠B有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】【详解】如下图，当30°角为等腰三角形的底角时有两种情况：∠B=135°或90°，当30°角为等腰三角形的顶角时有一种情况：∠B=112.5°，所以符合条件的∠B有三个.又因为∠B为钝角，则符合答案的有两个，故本题应选B.点睛：因为不确定这个等腰三角形的底边，所以应当以点A为一个确定点进行分类讨论：①当以B为顶点时，即以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于点D，构成等腰△BAD；②当以点A为顶点时，即以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点D，构成等腰△ABD；或作线段AB的垂直平分线交AC于点D构成等腰△DAB.18．如图，平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)，若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】由点A、B的坐标可得到AB=22，然后分类讨论：若AC=AB；若BC=AB；若CA=CB，确定C点的个数．【详解】∵点A、B的坐标分别为(2，2)、B(4，0)．∴AB=22，如图，①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点(含B点)，即(0，0)、(4，0)，∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；③若CA=CB，作AB的垂直平分线与x轴有1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；综上所述：点C在x轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有4个．故选D．【点睛】本题主考查了等腰三角形的判定以及分类讨论思想的运用，分三种情况分别讨论，注意等腰三角形顶角的顶点在底边的垂直平分线上．19．如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，则△BCD的周长为（）A．13B．15C．18D．21【答案】A【解析】根据线段垂直平分线的性质，可由AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，得到AD=BD，进而得出△BCD的周长为：CD+BD+BC=AC+BC=8+5=13．故选A．点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．20．如图，已知长方形ABCD，AB＝1，BC＝2，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为( )A．1 B．3C．3D．3【答案】B【解析】【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD=M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，推出AM=MM’可得MA+MD+ME=D’M+MM’+ME，共线时最短；由于点E 也为动点，可得当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E=DG+GE的值.【详解】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD=M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，∴AM=MM’，∴MA+MD+ME=D’M+MM’+ME，∴D′M、MM′、ME共线时最短，由于点E也为动点，∴当D’E⊥BC时最短，此时易求得3∴MA+MD+ME的最小值为3故选B．【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．。

人教版数学八年级上册全等三角形专题练习(word版

人教版数学八年级上册全等三角形专题练习（word 版一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()4,3，点D 在第二象限，且ABD 与ABC 全等，点D 的坐标是______．【答案】(－4，2)或(－4，3)【解析】【分析】【详解】把点C 向下平移1个单位得到点D （4，2），这时△ABD 与△ABC 全等，分别作点C ，D 关于y 轴的对称点（-4，3）和（-4，2），所得到的△ABD 与△ABC 全等.故答案为(－4，2)或(－4，3).2．如图，在01A BA △中，20B ∠=︒，01A B A B =，在1A B 上取点C ，延长01A A 到2A ，使得121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法进行下去，第n 个等腰三角形的底角n A ∠的度数为__________．【答案】11()802n -︒⋅.【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1 A 0的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出第n 个等腰三角形的底角∠A n 的度数．【详解】解：∵在△A 0BA 1中，∠B=20°，A 0B=A 1B ，∴∠BA 1 A 0= 1801802022B ︒︒︒-∠-= =80°， ∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1 A 0是△A 1A 2C 的外角，∴∠CA 2A 1= 108022BA A ︒∠= =40°；同理可得，∠DA 3A 2=20°，∠EA 4A 3=10°，∴第n 个等腰三角形的底角∠A n = 11()802n -︒⋅.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．3．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 和点A 在直线BC 的同侧，,82,38BD BC BAC DBC =∠=︒∠=︒，连接,AD CD ，则ADB ∠的度数为__________．【答案】30°【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出ABD ∠的度数，然后作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DB ，∠BEA =∠BDA ，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC ，从而可证△EBC 是等边三角形，可得∠BEC =60°，EB=EC ，进一步即可根据SSS 证明△AEB ≌△AEC ，可得∠BEA 的度数，问题即得解决．【详解】解：∵AB AC =，82BAC ∠=︒，∴180492BAC ABC ︒-∠∠==︒， ∵38DBC ∠=︒，∴493811ABD ∠=︒-︒=︒，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DBA =11°，∠BEA =∠BDA ，∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，∵BD=BC ，∴BE=BC ，∴△EBC 是等边三角形，∴∠BEC =60°，EB=EC ，又∵AB=AC，EA=EA，∴△AEB≌△AEC（SSS），∴∠BEA=∠CEA=1302BEC∠=︒，∴∠ADB=30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作点D关于直线AB的对称点E，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F ＝30°，DE＝1，则EF的长是_____．【答案】2【解析】【分析】连接BE，根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质，说明∠CBE＝∠F，进一步说明BE ＝EF，，然后再根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可.【详解】解：如图：连接BE∵AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，∴AE＝BE，∠A+∠AED＝90°，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠F+∠CEF＝90°，∵∠AED＝∠FEC，∴∠A＝∠F＝30°，∴∠ABE＝∠A＝30°，∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，∴∠CBE＝∠F，∴BE＝EF，在Rt△BED中，BE＝2DE＝2×1＝2，∴EF＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质，其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键.5．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，则BC的长是 ______cm．【答案】8．【解析】【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．【详解】解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，作EF∥BC于F，∵AB=AC ，AE 平分∠BAC ，∴AN ⊥BC ，BN=CN ，∵∠DBC=∠D=60°，∴△BDM 为等边三角形，∴△EFD 为等边三角形，∵BD=5，DE=3，∴EM=2，∵△BDM 为等边三角形，∴∠DMB=60°，∵AN ⊥BC ，∴∠ENM=90°，∴∠NEM=30°，∴NM=1，∴BN=4，∴BC=2BN=8（cm ），故答案为8．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．6．如图，已知AB=A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4，…若∠A=70°，则锐角∠A n 的度数为______.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.【详解】在△1ABA 中，AB=A 1B ，∠A=70°可得：∠1BAA =∠1BA A =70°在△112B A A 中，A 1B 1=A 1A 2可得：∠112A B A =∠121A A B根据外角和定理可得：∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B∴∠112A B A =∠121A A B =702︒ 同理可得：∠232A A B =2702︒ ∠343A A B =3702︒ …….以此类推：∠A n =1702n -︒ 故答案为：1702n -︒. 【点睛】本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..7．如图，在平面直角坐标系中，点 A,B 的坐标分别是（1,5）、（5,1），若点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有_____________个【答案】5【解析】【分析】分别以A、B为圆心，AB为半径画圆，及作AB的垂直平分线，数出在x轴上的点C的数量即可【详解】解：由图可知：点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有5个故答案为:5【点睛】本题考查了等腰三角形的存在性问题，掌握“两圆一线”找等腰三角形是解题的关键8．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD ＝DF，M为EF的中点，DM＝3，BM＝4，则五边形ABEFD的面积是_____．【答案】12【解析】【分析】延长BM至G，使MG＝BM，连接FG、DG，证明△BME≌△GMF（SAS），得出FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，证出AB＝FG，证明△DAB≌△DFG（SAS），得出DB＝DG，由等腰三角形的性质即可得DM⊥BM，由五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积，可求解．【详解】延长BM至G，使MG＝BM＝4，连接FG、DG，如图所示：∵M 为EF 中点，∴ME ＝MF ，在△BME 和△GMF 中，BM MG BME GMFME MF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BME ≌△GMF （SAS ），∴FG ＝BE ，∠MBE ＝∠MGF ，S △BEM ＝S △GFM ，∴FG ∥BE ，∴∠C ＝∠GFC ，∵∠A +∠C ＝180°，∠DFG +∠GFC ＝180°，∴∠A ＝∠DFG ，∵AB ＝BE ，∴AB ＝FG ，在△DAB 和△DFG 中，AB FG A DFGAD DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DAB ≌△DFG （SAS ），∴DB ＝DG ，S △DAB ＝S △DFG ，∵MG ＝BM ，∴DM ⊥BM ，∴五边形ABEFD 的面积＝△DBG 的面积＝12×BG ×DM ＝12×8×3＝12，故答案为：12．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定由性质，证明三角形全等是解题的关键．9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=_____cm．【答案】8cm.【解析】【详解】解：如图，延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=6cm，DE=2cm，∴DM=4，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=36°，∴NM=2，∴BN=4，∴BC=8．10．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB 边的垂直平分线DE 交AC 于点D ．已知△BDC 的周长为14，BC=6，则AB=___．【答案】8【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的性质，可知AD=BD ，然后根据△BDC 的周长为BC+CD+BD=14，可得AC+BC=14，再由BC=6可得AC=8，即AB=8.故答案为8.点睛：此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题时，先利用线段的垂直平分线求出BD=AD ，然后根据三角形的周长互相代换，即可其解.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．已知：如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F ，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE ；③AF=BF ；④DF=EF ，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．【详解】选取①②:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 ={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．12．已知∠AOB =30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点构成的三角形是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形【答案】C【解析】【分析】根据题意，作出相应的图形，然后对相应的角进行标记；本题先证明P 1，O ，P 2三点构成的三角形中1260POP ∠=︒，然后证边12OP OP OP ==，得到P 1，O ，P 2三点构成的三角形为等腰三角形，又因为该等腰三角形有一个角为60︒，故得证P 1，O ，P 2三点构成的三角形是等边三角形。

人教版八年级上册数学第12章全等三角形讲义知识点+典型例题

BPAa【变式1】如图，在t R ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，过点A 的任一直线AN ，BD AN ⊥于D ，BD AN ⊥于E求证：DE BD CE =-NEDCBA【变式2】如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，求证：DE AD BE =+.EDCBA专题三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型：① 已知两边及夹角作三角形：作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形：作图依据------ASA ③ 已知三边作三角形：作图依据------SSS典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .【例2】作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB 。

求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB【例3】已知三边作三角形已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法：【例4】已知两边及夹角作三角形已知：如图，线段m，n, ∠α.求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.随堂练习1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析一、利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离。

人教版八年级数学上册《第十二章全等三角形》单元练习题(含答案)

第十二章《全等三角形》单元练习题一、选择题1.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（）A． 4B． 3C． 6D． 52.如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等3.如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于P，并分别交OA、OB于C，D，则点P到∠AOB两边距离之和（）A．小于CDB．大于CDC．等于CDD．不能确定4.如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（）A． 40°B． 35°C． 30°D． 25°5.已知，如图，AC=BC，AD=BD，下列结论中不正确的是（）A．∠ACD=∠BDCB．∠ACO=∠BCOC．CD平分∠ACD和∠ADBD．AB平分∠CAD和∠CBD6.如图所示，△ABC≌△DEC，则边AB的对应边是（）A．DEB．DCC．ECD．BC7.如图所示，Rt△ABE≌Rt△ECD，点B、E、C在同一直线上，则结论：①AE=ED；②AE⊥DE；③BC=AB+CD；④AB∥DC中成立的是（）A．仅①B．仅①③C．仅①③④D．仅①②③④8.△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC的大小为（）.A． 110°B． 120°C． 130°D． 140°二、填空题9.如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是.10.如图：已知∠1=∠2，要根据SAS判定△ABD≌△ACD，则需要补充的条件为.11.如图，若D为BC中点，那么用“SSS”判定△ABD≌△ACD需添加的一个条件是 ___________．12.下列条件中，能判定两个直角三角形全等的个数有________个．①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一条直角边对应相等；④面积相等．13.如图，△ABC中，AB=AC，AE=CF，BE=AF，则∠E=________，∠CAF=__________．14.如图，已知AB=AD，∠BAE=∠DAC，要用SAS判定△ABC≌△ADE，可补充的条件是.15.如图，在△ABD和△CDB中，AD=CB，AB、CD相交于点O，请你补充一个条件，使得△ABD≌△CDB．你补充的条件是________________.16.如图，在平面直角坐标系中，△AOB≌△COD，则点D的坐标是____________．三、解答题(共5小题,每小题分,共0分)17.已知△ABC≌△DFE，∠A=100°，∠B=50°，DF=12cm，求∠E的度数及AB的长．18.如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF．请推导下列结论：（1）∠D=∠B；（2）AE∥CF．19.如图，A、D、E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：（1）BD=DE+CE；（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE？20.如图所示，已知AE⊥AB，△ACE≌△AFB，CE、AB、BF分别交于点D、M．证明：CE⊥BF．21.如图，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，点A、B、C、D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB=CD，③CE=BF．（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果⊗、⊗，那么⊗”）（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．第十二章《全等三角形》单元练习题答案解析1.【答案】B【解析】过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2，∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，解得AC=3．故选B．2.【答案】D【解析】已知有点到∠BAC的两边的距离，根据角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上，要满足∠1=∠2，须有DE=DF，于是答案可得．3.【答案】A【解析】如图，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，则PE、PF分别为点P到∠AOB两边的距离，∵PE＜PC，PF＜PD，∴PE+PF＜PC+PD，∴PE+PF＜CD，即点P到∠AOB两边距离之和小于CD．故选A．4.【答案】B【解析】∵∠B=80°，∠C=30°，∴∠BAC=180°-80°-30°=70°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE=∠BAC=70°，∴∠EAC=∠DAE-∠DAC，=70°-35°，=35°．故选B.5.【答案】A【解析】在△ACD和△BCD中，∴△ACD≌△BCD，∴∠ACD=∠BCD，∠ADC=∠BDC，∴故选项B、C、D不符合要求；根据已知不能推出∠ACD=∠BDC，故本选项正确；故选A．6.【答案】A【解析】根据全等三角形中互相重合的边是对应边，则可得到结论.7.【答案】D【解析】∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴AE=ED，①成立；∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB=∠D，又∠DEC+∠D=90°，∴∠DEC+∠ABE=90°，即∠AED=90°，∴AE⊥DE，②成立；∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴AB=EC，BE=CD，又BC=BE+EC，∴BC=AB+CD，③成立；∵∠B+∠C=180°，∴AB∥DC，④成立，故选D．8.【答案】A【解析】∵O到三角形三边距离相等，∴AO，BO，CO都是三角形的角平分线，∴有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，∴∠ABC+∠ACB=180-40=140，∴∠OBC+∠OCB=70，∴∠BOC=180-70=110°．9.【答案】全等三角形的对应角相等【解析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，利用全等三角形的对应角相等，得到∠A′O′B′=∠AOB.10.【答案】BD=CD【解析】如图，∵在△ABD与△ACD中，∠1=∠2，AD=AD，∴添加BD=CD时，可以根据SAS判定△ABD≌△ACD，故答案是BD=CD．11.【答案】AB=AC【解析】由题中点定义可知BD=CD，图中公共边AD=AD，要想用SSS判定△ABD≌△ACD，只要添加AB=AC即可.12.【答案】3【解析】①两条直角边对应相等，利用SAS，故本选项正确；②斜边和一锐角对应相等，符合判定AAS或ASA，故本选项正确；③斜边和一条直角边对应相等，符合判定HL；④面积相等不一定全等，故本选项错误．故答案为3．13.【答案】∠F；∠ABE【解析】∵AB=AC，AE=CF，BE=AF，∴△AEB≌△CFA（SSS），∴∠E=∠F，∠CAF=∠ABE．14.【答案】AC=AE【解析】可补充的条件是：当AC=AE，△ABC≌△ADE（SAS）.15.【答案】∠ADB=∠CBD【解析】∠ADB=∠CBD，理由是：∵在△AOD和△COB中，∴△ABD≌△CDB（SAS），故答案为∠ADB=∠CBD．16.【答案】（-2，0）【解析】∵△AOB≌△COD，∴OD=OB，∴点D的坐标是（-2，0）．故答案为（-2，0）．17.【答案】解：∵△ABC≌△DFE，∴∠D=∠A=100°，∠F=∠B=50°，DF=AB∴∠E=180°-100°-50°=30°，∵DF=12cm，∴AB=12cm．【解析】根据全等三角形性质得出∠D=∠A=100°，∠F=∠B=50°，利用三角形内角和定理即可求出∠E的度数，再根据DF=AB，即可求出AB的长．18.【答案】解：（1）∵在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF（SSS），∴∠D=∠B．（2）∵△ADE≌△CBF，∴∠AED=∠CFB，∵∠AED+∠AEO=180°，∠CFB+∠CFO=180°，∴∠AEO=∠CFO，∴AE∥CF．【解析】（1）根据SSS推出△ADE≌△CBF，根据全等三角形的性质推出即可；（2）根据全等三角形的性质推出∠AED=∠CFB，求出∠AEO=∠CFO，根据平行线的判定推出即可．19.【答案】（1）解：∵△BAD≌△ACE，∴BD=AE，AD=CE，∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=DE+CE．（2）解：△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥CE，理由是：∵△BAD≌△ACE，∴∠E=∠ADB=90°（添加的条件是∠ADB=90°），∴∠BDE=180°-90°=90°=∠E，∴BD∥CE．【解析】（1）根据全等三角形的性质求出BD=AE，AD=CE，代入求出即可；（2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA=90°，推出∠BDE=90°，根据平行线的判定求出即可．20.【答案】证明：∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∵△ACE≌△AFB，∴∠CAE=∠BAF，∠ACE=∠F，∴∠CAB+∠BAE=∠BAC+∠CAF，∴∠CAF=∠BAE=90°，而∠ACE=∠F，∴∠FMC=∠CAF=90°，∴CE⊥BF．【解析】先利用垂直定义得到∠BAE=90°，再利用三角形全等的性质得∠CAE=∠BAF，∠ACE=∠F，则∠CAF=∠BAE=90°，然后根据三角形内角和定理易得∠FMC=∠CAF=90°，然后根据垂直的定义即可得到结论．21.【答案】解：（1）如果①②，那么③；如果①③，那么②；（2）若选择如果①②，那么③，证明：∵AE∥DF，∴∠A=∠D，∵AB=CD，∴AB+BC=BC+CD，即AC=DB，在△ACE和△DBF中，，∴△ACE≌△DBF（AAS），∴CE=BF；若选择如果①③，那么②，证明：∵AE∥DF，∴∠A=∠D，在△ACE 和△DBF中，，∴△ACE≌△DBF（AAS），∴AC=DB，∴AC-BC=DB-BC，即AB=CD．【解析】（1）如果①②作为条件，③作为结论，得到的命题为真命题；如果①③作为条件，②作为结论，得到的命题为真命题，写成题中要求的形式即可；（2）若选择（1）中的如果①②，那么③，由AE与DF平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AB=DC，等式左右两边都加上BC，得到AC=DB，又∠E=∠F，利用AAS即可得到三角形ACE与三角形DBF全等，根据全等三角形的对应边相等得到CE=BF，得证；若选择如果①③，那么②，由AE与FD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由∠E=∠F，CE=BF，利用AAS可得出三角形ACE与三角形DBF全等，根据全等三角形的对应边相等可得出AC=BD，等式左右两边都减去BC，得到AB=CD，得证．。

人教版数学八年级上册：第十二章《全等三角形》专题练习

第十二章《全等三角形》专题练习专题1证明三角形全等的解题思路思路一：找边边相等呈现的方式：①公共边(包括全部公共和部分公共)；②中点．类型1已知两边对应相等，找第三边相等1．如图，已知AB＝DE，AD＝EC，D是BC的中点，求证：△ABD≌△EDC.类型2已知两角对应相等，找夹边相等2．如图，∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠DBC，求证：△ABD≌△CDB.类型3已知两角对应相等，找其中一角的对边相等3．两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF 的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？类型4已知直角三角形的直角边(或斜边)相等，找斜边(或直角边)相等4．如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DF，BE＝CF.求证：△ABC≌△DFE.思路二：找角角相等呈现的方式：①公共角；②对顶角；③角平分线；④垂直；⑤平行．类型5已知两边对应相等，找夹角相等5．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE.求证：△ABC≌△ADE.6．如图，已知AD＝AE，AB＝AC，求证：△ABE≌△ACD.7．如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，求证：△ACD≌△EBD.类型6已知一边一角对应相等，找另一角相等8．如图，已知D是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE，求证：△ABC≌△DAE.9．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：(1)△ADO≌△AEO；(2)△BDO≌△CEO.专题2全等三角形的基本模型类型1平移模型1．如图，AC＝DF，AD＝BE，BC＝EF.求证：(1)△ABC≌△DEF；(2)AC∥DF.类型2对称模型2．如图，点E，C在BF上，BE＝CF，AB＝DF，∠B＝∠F，求证：∠A＝∠D.3．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BE＝CD.4．如图，∠B＝∠D，请添加一个条件(不得添加辅助线)，使得△ABC≌△ADC，并说明理由．类型3旋转模型5．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC.求证：BC＝DE.6．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AB∥CD，O是BD的中点．(1)求证：△ABO≌△CDO；(2)若BC＝AC＝4，BD＝6，求△BOC的周长．类型4一线三等角模型7．如图，AD⊥AB于点A，BE⊥AB于点B，点C在AB上，且CD⊥CE，CD＝CE.求证：AD＝CB.类型5综合模型平移＋旋转模型：平移＋对称模型：8．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D.(1)求证：AC∥DE；(2)若BF＝13，EC＝5，求BC的长．小专题3构造全等三角形的常用方法方法1利用“角平分线”构造全等三角形因角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形：(1)在角的两边截取两条相等的线段；(2)过角平分线上一点作角两边的垂线段．1．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，求证：PM＝PN.【拓展1】OM＋ON的值是否为定值？请说明理由．【拓展2】四边形PMON的面积是否为定值？请说明理由．方法2利用“截长补短法”构造全等三角形截长补短法的具体做法：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种方法适用于证明线段的和、差、倍、分等题目．2．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.3．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG.先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝12∠BAD，上述结论是否仍然成立？并说明理由．方法3利用“倍长中线法”构造全等三角形将中线延长一倍，然后利用“SAS”判定三角形全等．4．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM.方法4利用“三垂直”构造全等三角形如图，若AB＝AC，AB⊥AC，则可过斜边的两端点B，C向过A点的直线作垂线构造△ABD≌△CAE.在平面直角坐标系中，过顶点A的直线常为x轴或y轴．5．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将△ABC放在平面直角坐标系中，如图所示．(1)如图1，若A(1，0)，B(0，3)，求C点坐标；(2)如图2，若A(1，3)，B(－1，0)，求C点坐标；(3)如图3，若B(－4，0)，C(0，－1)，求A点坐标．参考答案专题1 证明三角形全等的解题思路1．证明：∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD.在△ABD 和△EDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝ED ，AD ＝EC ，BD ＝DC ，∴△ABD ≌△EDC(SSS )．2．证明：在△ABD 和△CDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABD ＝∠CDB ，BD ＝DB ，∠ADB ＝∠CBD ，∴△ABD ≌△CDB(ASA )．3．解：全等．理由：∵两三角形纸板完全相同，∴BC ＝BF ，AB ＝BD ，∠A ＝∠D.∴AB －BF ＝BD －BC ，即AF ＝DC.在△AOF 和△DOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ，∠AOF ＝∠DOC ，AF ＝DC ，∴△AOF ≌△DOC(AAS )．4．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ，即BC ＝EF.在Rt △ABC 和Rt △DFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DF ，BC ＝FE ，∴Rt △ABC ≌Rt △DFE(HL )．5．证明：∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＋∠DAC ＝∠CAE ＋∠DAC.∴∠BAC ＝∠DAE.在△ABC 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ，∴△ABC ≌△ADE(SAS )．6．证明：在△ABE 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AD ，∠A ＝∠A ，AB ＝AC ，∴△ABE ≌△ACD(SAS )．7．证明：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD.在△ACD 和△EBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝BD ，∠ADC ＝∠EDB ，DA ＝DE ，∴△ACD ≌△EBD(SAS )．8．证明：∵DE ∥AB ，∴∠CAB ＝∠EDA.在△ABC 和△DAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CAB ＝∠EDA ，AB ＝DA ，∠B ＝∠DAE ，∴△ABC ≌△DAE(ASA )．9．证明：(1)∵AO 平分∠BAC ，∴∠DAO ＝∠EAO.∵∠BDC ＝∠CEB ＝90°，∴∠ADO ＝∠AEO.在△ADO 和△AEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADO ＝∠AEO ，∠DAO ＝∠EAO ，AO ＝AO ，∴△ADO ≌△AEO(AAS )．(2)∵△ADO ≌△AEO ，∴DO ＝EO.在△BDO 和△CEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDO ＝∠CEO ，DO ＝EO ，∠DOB ＝∠EOC ，∴△BDO ≌△CEO(ASA )．小专题2 全等三角形的基本模型1．证明：(1)∵AD ＝BE ，∴AD ＋DB ＝BE ＋DB ，即AB ＝DE.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝DF ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF(SSS )．(2)∵△ABC ≌△DEF ，∴∠A ＝∠EDF.∴AC ∥DF.2．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ，即BC ＝FE.在△ABC 和△DFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DF ，∠B ＝∠F ，BC ＝FE ，∴△ABC ≌△DFE(SAS )．∴∠A ＝∠D.3．证明：在△AEB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AD ，∠A ＝∠A ，AB ＝AC ，∴△AEB ≌△ADC(SAS )．∴BE ＝CD.4．解：添加∠BAC ＝∠DAC(答案不唯一)，理由：在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠D ，∠BAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC(AAS )．5．证明：∵∠BAD ＝∠CAE ＝90°，∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD.∴∠BAC ＝∠DAE.在△ABC 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ，∴△ABC ≌△ADE(SAS )．∴BC ＝DE.6．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAO ＝∠DCO ，∠ABO ＝∠CDO.∵O 是DB 的中点，∴BO ＝DO.在△ABO 和△CDO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAO ＝∠DCO ，∠ABO ＝∠CDO ，BO ＝DO ，∴△ABO ≌△CDO(AAS )．(2)∵△ABO ≌△CDO ，∴AO ＝CO ＝12AC ＝2. ∵BO ＝12BD ＝3， ∴△BOC 的周长为BC ＋BO ＋OC ＝4＋3＋2＝9.7．证明：∵AD ⊥AB ，BE ⊥AB ，∴∠A ＝∠B ＝90°.∴∠D ＋∠ACD ＝90°.∵CD ⊥CE ，∴∠ACD ＋∠BCE ＝180°－90°＝90°.∴∠D ＝∠BCE.在△ACD 和△BEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠B ，∠D ＝∠BCE ，CD ＝EC ，∴△ACD ≌△BEC(AAS )．∴AD ＝CB.8．解：(1)证明：在△ABC 和△DFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DF ，∠A ＝∠D ，AC ＝DE ，∴△ABC ≌△DFE(SAS )．∴∠ACB ＝∠DEF.∴AC ∥DE.(2)∵△ABC ≌△DFE ，∴BC ＝EF.∴BE ＝CF ＝12(BF －EC)＝4.∴BC ＝BE ＋EC ＝9.专题3 构造全等三角形的常用方法1．证明：过点P 作PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F ，∴∠PEO ＝∠PFO ＝90°.∴∠EPF ＋∠AOB ＝180°.∵∠MPN ＋∠AOB ＝180°，∴∠EPF ＝∠MPN.∴∠EPM ＝∠FPN.∵OP 平分∠AOB ，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，∴PE ＝PF.在△PEM 和△PFN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EPM ＝∠FPN ，PE ＝PF ，∠PEM ＝∠PFN ，∴△PEM ≌△PFN(ASA )．∴PM ＝PN.【拓展1】解：OM ＋ON 的值是定值．理由：∵△PEM ≌△PFN ，∴ME ＝NF.易证△EPO ≌△FPO ，∴OE ＝OF.∴OM ＋ON ＝OE ＋EM ＋ON ＝OE ＋NF ＋ON ＝OE ＋OF ＝2OE ＝定值．【拓展2】解：四边形PMON 的面积是定值．理由：∵△PEM ≌△PFN ，∴S △PEM ＝S △PFN .∴S 四边形PMON ＝S 四边形PEOF ＝定值．2．证明：在BC 上截取BF ＝AB ，连接EF.∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，∴∠ABE ＝∠FBE ，∠FCE ＝∠DCE.在△ABE 和△FBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝FB ，∠ABE ＝∠FBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△FBE(SAS )．∴∠A ＝∠BFE.∵AB ∥CD ，∴∠A ＋∠D ＝180°.∴∠BFE ＋∠D ＝180°.∵∠BFE ＋∠CFE ＝180°，∴∠CFE ＝∠D.在△FCE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CFE ＝∠D ，∠FCE ＝∠DCE ，CE ＝CE ，∴△FCE ≌△DCE(AAS )．∴CF ＝CD.∴BC ＝BF ＋CF ＝AB ＋CD.3．(1)EF ＝BE ＋DF ；(2)解：EF ＝BE ＋DF 仍然成立．理由：延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连接AG ，∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∠ADC ＋∠ADG ＝180°，∴∠B ＝∠ADG.在△ABE 和△ADG 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DG ，∠B ＝∠ADG ，AB ＝AD ，∴△ABE ≌△ADG(SAS )．∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG.∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG ＋∠DAF ＝∠BAE ＋∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF.在△AEF 和△AGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ，AF ＝AF ，∴△AEF ≌△AGF(SAS )．∴EF ＝FG.∵FG ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋DF.4．证明：延长AM 至N ，使MN ＝AM ，连接BN.∵点M 为BC 的中点，∴BM ＝CM.在△AMC 和△NMB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝NM ，∠CMA ＝∠BMN ，CM ＝BM ，∴△AMC ≌△NMB(SAS )．∴AC ＝BN ＝AD ，∠C ＝∠NBM ，∠ABN ＝∠ABC ＋∠NBM ＝∠ABC ＋∠C ＝180°－∠BAC ＝∠EAD.在△ABN 和△EAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝EA ，∠ABN ＝∠EAD ，BN ＝AD ，∴△ABN ≌△EAD(SAS )．∴DE ＝NA ＝2AM.5．解：(1)过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D.则∠CAD ＋∠ACD ＝90°.∵∠BAC ＝90°，∴∠BAO ＋∠CAD ＝90°.∴∠BAO ＝∠ACD.在△ABO 和△CAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOB ＝∠CDA ，∠BAO ＝∠ACD ，AB ＝CA ，∴△ABO ≌△CAD(AAS )．∴BO ＝AD ，OA ＝CD.∵A(1，0)，B(0，3)，∴OA ＝1，OB ＝3.∴AD ＝3，CD ＝1.∴OD ＝OA ＋AD ＝4.∴C(4，1)．(2)过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E.同(1)可证△ACE ≌△BAD ， ∴AE ＝BD ，CE ＝AD.∵A(1，3)，B(－1，0)，∴BD ＝2，AD ＝3.∴CE ＝3，DE ＝AD －AE ＝1.∴C(4，1)．(3)过点A 作AD ⊥x 轴，AE ⊥y 轴，垂足分别为D ，E. 同(1)可证△BAD ≌△CAE ，∴CE ＝BD ，AE ＝AD.∵B(－4，0)，C(0，－1)，∴OB ＝4，OC ＝1.∴AE ＝OB －BD ＝OB －CE ＝OB －(OC ＋OE)＝3－AE.∴AE ＝32. ∴A(－32，32)．。

八年级数学全等三角形知识点归纳及分类练习

八年级数学全等三角形知识点归纳及分类练习一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：SSS⑴边边边（）：三边对应相等的两个三角形全等.SAS⑵边角边（）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.ASA⑶角边角（）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.AAS⑷角角边（）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.HL⑸斜边、直角边（）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：1性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.2性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.练习一12.1全等三角形一、基础达标1．如图12-1-4所示，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为( )图12-1-4A．20° B．30°C．35° D．40°2．如图12-1-5所示，△ABC≌△CDA，则下列结论错误的是()图12-1-5A．∠1＝∠2 B．AC＝CAC．∠D＝∠B D．AC＝BC3．如图12-1-6，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是()A．5 B．4 C．3 D．2图12-1-64．[2016·成都]如图12-1-7，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝．图12-1-75．如图12-1-8，△AOC≌△BOD，试证明AC∥BD.图12-1-8二、能力提升6．如图12-1-9，已知△ABC≌△DCB.(1)分别写出它们的对应角和对应边；(2)请说明∠1＝∠2的理由．图12-1-97．如图12-1-10，已知△ACE≌△DBF，CE＝BF，AE＝DF，AD＝8，BC＝2.图12-1-10(1)求AC的长度；(2)求证：CE∥BF.三、创新题型8．如图12-1-11，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F.(1)当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为__ __．(2)已知∠D＝35°，∠C＝60°.①求∠DBC的度数；②求∠AFD的度数．图12-1-11参考答案【知识管理】1．完全重合2．完全重合　顶点　边　角　全等于　对应顶点3．相等　相等【归类探究】例1　AC的对应边是DE，AB的对应边是DF，CB的对应边是EF；∠A与∠D，∠C与∠DEF，∠ABC与∠F是对应角．例2　A【当堂测评】1．B　2.C　3.61°　15【分层作业】1．B　2.D　3.A　4.120°　5.略6．(1)对应角是∠A和∠D，∠1和∠2，∠ABC和∠DCB，对应边是AB和DC，AC和DB，BC和CB；(2)理由：全等三角形的对应角相等．7．(1)AC＝5　(2)略8．(1)3　(2)∠DBC＝25°；∠AFD＝130°.练习二12.2三角形全等的判定三角形全等的判定(SSS)一、基础达标1．如图12-2-6所示，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则由“SSS”可以判定( )图12-2-6A．△ABD≌△ACD B．△B DE≌△CDEC．△ABE≌△ACE D．以上都不正确2．如图12-2-7，点D，E在线段BC上，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，要判定△ABD≌△ACE，较为快捷的判定依据是．图12-2-73．一个平分角的仪器如图12-2-8所示，其中AB＝AD，BC＝DC. 求证：∠BAC＝∠DAC.图12-2-84．如图12-2-9，四边形ABCD中，AB＝CD，CB＝AD.求证：△ABC≌△CDA.图12-2-9二、能力提升5．如图12-2-10，AB＝AC，AE＝AD，BD＝CE，求证：△AEB≌△ADC.图12-2-106．如图12-2-11，点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AC∥DF.图12-2-11三、创新题型7．如图12-2-12所示，AB＝AE，BC＝ED，CF＝DF，AC＝AD.图12-2-12求证：∠BAF＝∠EAF.参考答案【知识管理】2．相等【归类探究】例1　略　例2　(1)略　(2)AB∥DE，AC∥DF.理由略．【当堂测评】1．D　2.SSS　3.36°　4.AB＝DC三角形全等的判定(SAS)一、基础达标1．如图12-2-18所示，已知∠1＝∠2，若用“SAS”证明△ACB≌△BDA，还需要加上条件( )图12-2-18A．AD＝BCB．AC＝BDC．∠C＝∠DD．OA＝OB2．如图12-2-19所示，B E＝CD，AE＝AD，∠1＝∠2，∠2＝100°，∠BAE＝60°，则∠CAE的度数为( )图12-2-19A．20° B．30° C．40° D．50°3．如图12-2-20，点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，BE＝CF.请你添加一个条件：(只需添加一个即可)，使△ABC≌△DEF.图12-2-204．如图12-2-21，C是线段AB的中点，CD＝BE, CD∥BE.求证：∠D＝∠E.图12-2-21二、能力提高5．如图12-2-22，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.求证：BC∥EF.图12-2-226.如图12-2-23，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：DM＝DN.图12-2-23三、创新题型7．如图12-2-24，点A，B，C，D在同一直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD.求证：AE＝FB.图12-2-24参考答案【知识管理】1．唯一确定2．夹角　对应关系【归类探究】例1　略例2　△OAB≌△ODC，△ABC≌△DCB.理由略．【当堂测评】1．A　2.D　3.(1)(3)　4.不是　AC＝DF【分层作业】1．B　2.C　3.AC＝DF或∠B＝∠DEF或AB∥DE三角形全等的判定(ASA，AAS)一、基础达标1．如图12-2-30，已知∠ABC＝∠BA D，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是( )图12-2-30A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBAC．∠C＝∠D D．BC＝AD2．如图12-2-31，点D，E分别在线段AB，AC上，AE＝AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是_ _(只写一个条件即可)．图12-2-313．[2015·福州]如图12-2-32，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD.图12-2-32三、能力提升4．如图12-2-33，已知∠AOD＝∠COB，∠A＝∠C，O是AC的中点．图12-2-33求证：△AOB≌△COD.5．如图12-2-34，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.求证：BE＝CD.图12-2-34四、创新题型6．两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图12-2-35所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点．不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？图12-2-35参考答案【知识管理】2．夹边3．对边【归类探究】例1　略　例2　(1)略　(2)∠D＝75°【当堂测评】1．D　2.B　3.D　4.B【分层作业】1．A　2.∠ADC＝∠AEB或∠CEB＝∠BDC或∠C＝∠B或AB＝AC或BD＝CE3．略　4.略　5.略6．△AOF与△DOC全等．理由略．直角三角形全等的判定(HL)一基础过关1．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( ) A．AB＝DE，AC＝DF B．AC＝EF，BC＝DFC．AB＝DE，BC＝EF D．∠C＝∠F，BC＝EF2．如图12-2-40，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC＝DB，则下列结论中不正确的是( )图12-2-40A．∠A＝∠D B．∠ABC＝∠DCBC．OB＝OD D．OA＝OD3．如图12-2-41，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠AB C和∠DFE之间的关系是( )图12-2-41A．∠ABC＝∠DFEB．∠ABC>∠DFEC．∠ABC<∠DFED．∠ABC＋∠DFE＝90°4．如图12-2-42，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件__ __，若加条件∠B＝∠C，则可用__ __判定．图12-2-425．如图12-2-43，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE＝BF.求证：图12-2-43(1)AF＝CE；(2)AB∥CD.二、能力提升6．如图12-2-44，已知∠A＝∠D＝90°，E，F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF.图122-44求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.三、创新题型7．如图12245，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.(1)若B，C在DE的同侧(如图12-2-45(1)所示)，AD＝CE.求证：AB⊥AC.(2)若B，C在DE的两侧(如图12-2-45(2)所示)，AD＝CE，AB与AC仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．(1)(2)12-2-45参考答案【知识管理】2．一条直角边　斜边、直角边(或HL)【归类探究】例1　AD 是△ABC 的中线，理由略．例2　(1)3对，分别是：△ABD ≌△ACD ，△ADE ≌△ADF ，△BDE ≌△CDF.(2)答案不唯一，略．【当堂测评】1．B 2.A 3.A 4.HL【分层作业】1．B 2.C 3.D 4.AB ＝AC AAS5．(1)略　(2)略　6.略7．(1)略　(2)AB ⊥A C.证明略．角的平分线的性质一、基础过关1．如图12-3-6，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 12于点D ，若CD ＝4，AB ＝15，则△ABD 的面积是( )图12-3-6A ．15B ．30C ．45D ．602．如图12-3-7，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若△BDE 的周长是5 cm ，则AB 的长为__ __．图12-3-73．证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．图12-3-8已知：如图12-3-8，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上．__ __求证：__ _．请你补全已知和求证，并写出证明过程．4．如图12-3-9，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB＝10，CD＝3.图12-3-9(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积．二、能力提升5．如图12-3-10，PB，PC分别是△ABC的两个外角的平分线且相交于点P.求证：点P在∠A的平分线上．图12-3-106．如图12-3-11，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN.图12-3-11三、创新题型7．如图12-3-12，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF.图12-3-12求证：AD是△ABC的角平分线．参考答案【知识管理】1．距离相等2．角的平分线上3．相等【归类探究】例1　略　例2　略【当堂测评】1．B　2.B　3.A　4.3【分层作业】1．B　2.5 cm3．PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.　PD＝PE.证明略．4．(1)DE＝3　(2)S△ADB＝15　5.略　6.略　7.略。

初二数学八上三角形所有知识点总结和常考题型练习题

三角形知识点一、三角形及其有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

3、三角形的三边关系：（1）三角形的任意两边之和大于第三边。

（2）三角形的任意两边之差小于第三边。

（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

4、三角形的内角的关系：（1）三角形三个内角和等于180°。

（2）直角三角形的两个锐角互余。

5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

6、三角形的分类：(1)三角形按边分类：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形(2)三角形按角分类：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）还有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

7、三角形的三种重要线段：（1）三角形的角平分线：定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

性质：三角形的三条角平分线交于一点。

交点在三角形的内部。

（2）三角形的中线：定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。

（3）三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。

锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点在它的直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；8、三角形的面积：三角形的面积=21×底×高二、全等图形：定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

人教版初中数学八年级上册第十二章全等三角形复习习题 (含答案解析)

A．②③B．②④C．①②③D．②③④
19．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于N，∠E＝∠F＝90°，∠EAC＝∠FAB，AE＝AF.给出下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③BE＝CF；④△ACN≌△ABM.其中正确的结论是()
A．①③④B．②③④C．①②③D．①②④
A．6B．5C．4D．3
4．一块三角形玻璃板不慎被小强同学碰破,成了如图所示的四块,聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃板,你认为可行的方案是( )
A．带其中的任意两块去都可以B．带①、②或②、③去就可以了
C．带①、④或③、④去就可以了D．带①、④或①、③去就可以了
20．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是( )
A．20°或50°B．ຫໍສະໝຸດ 0°或60°C．30°或50°D．30°或60°
21．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ=CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点E，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CEP与△DEQ的面积和的变化情况是（）
人教版初中数学八年级上册第十二章全等三角形复习习题（含答案解析）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）
A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙

人教版八年级上册数学分类(解答题)专练：12.2全等三角形判定(含答案)

分类（解答题）专练：12.2全等三角形判定1．阅读探索题：（1）如图1，OP是∠MON的平分线，以O为圆心任意长为半径作弧，分别交射线ON、OM 于C、B两点，在射线OP上任取一点A（点O除外），连接AB、AC．求证：△AOB≌△AOC．（2）请你参考以上方法，解答下列问题：如图2，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD 之间的数量关系并证明．2．如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG 于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连接EG，EF．（1）求证：BG＝CF．（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，DB＝DC．（1）求证：△ABD≌△EDC；（2）若∠A＝135°，∠BDC＝30°，求∠BCE的度数．4．如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P．（1）求证：△ABM≌△BCN．（2）求∠APN的度数．5．已知：如图1所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN经过点A，BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E．（1）试判断线段DE、BD、CE之间的数量关系，并说明理由；（2）当直线MN运动到如图2所示位置时，其余条件不变，判断线段DE、BD、CE之间的数量关系．6．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且AE＝AD，∠EAD＝∠BAC．（1）求证：∠ABD＝∠ACD；（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．7．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝CD，连接CF．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．8．情景观察：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F．①写出图1中所有的全等三角形；②线段AF与线段CE的数量关系是，并写出证明过程．问题探究：如图2，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC 交于点E．求证：AE＝2CD．9．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD．（1）求证：CD⊥AB；（2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．①求证：DE平分∠BDC；②若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．10．如图，已知△ABC中，AB＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．若点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？11．在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，延长DE交BC于点F，连接DC，BE．（1）如图1，当点B，A，E同一直线上时，且∠ABD＝30°，AE＝2，求BC的长．（2）如图2，当F是中点时，求证：AE⊥CE．12．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG．若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC．13．如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合．（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积；（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求重叠部分（△DGH）的面积．14．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC．（1）求∠APO+∠DCO的度数；（2）求证：AC＝AO+AP．15．如图，已知：点D是△ABC的边BC上一动点，且AB＝AC，DA＝DE，∠BAC＝∠ADE＝α．（1）如图1，当α＝60°时，∠BCE＝；（2）如图2，当α＝90°时，试判断∠BCE的度数是否发生改变？若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值，并给出证明；（3）如图3，当α＝120°时，则∠BCE＝．16．如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，且直线CD经过∠BCA的内部，点E，F在射线CD上，已知CA＝CB且∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，问EF＝BE﹣AF，成立吗？说明理由．（2）将（1）中的已知条件改成∠BCA＝60°，∠α＝120°（如图2），问EF＝BE﹣AF 仍成立吗？说明理由．（3）若0°＜∠BCA＜90°，请你添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使结论EF＝BE﹣AF仍然成立．你添加的条件是．（直接写出结论）参考答案1．（1）证明：在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS）．（2）在CB上截取CE＝CA，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，在△ACD和△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠CAD＝∠CED＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝30°，∴∠EDB＝30°，即∠EDB＝∠B，∴DE＝EB，∵BC＝CE+BE，∴BC＝AC+DE，∴BC＝AC+AD．2．（1）证明：∵BG∥AC，∴∠C＝∠GBD，∵D是BC的中点，∴BD＝DC，在△CFD和△BGD中，∴△CFD≌△BGD，∴BG＝CF．（2）BE+CF＞EF，理由如下：∵△CFD≌△BGD，∴CF＝BG，在△BGE中，BG+BE＞EG，∵△CFD≌△BGD，∴GD＝DF，ED⊥GF，∴EF＝EG，∴BG+CF＞EF．3．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDC，在△ABD和△EDC中，，∴△ABD≌△EDC（ASA），（2）解：∵∠ABD＝∠EDC＝30°，∠A＝135°，∴∠1＝∠2＝15°，∵DB＝DC，∴∠DCB＝＝75°，∴∠BCE＝75°﹣15°＝60°．4．证明：（1）∵正五边形ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，∴在△ABM和△BCN中，∴△ABM≌△BCN（SAS）；（2）∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM＝∠CBN，∵∠BAM+∠ABP＝∠APN，∴∠CBN+∠ABP＝∠APN＝∠ABC＝＝108°．即∠APN的度数为108°5．解：（1）DE＝BD+CE，理由如下：∵BD⊥MN，CE⊥MN，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△BAD和△ACE中∴△BAD≌△ACE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，又DE＝AE+AD，∴DE＝BD+CE；（2）DE＝CE﹣BD，同（1）可得△BAD≌△ACE，故BD＝AE，AD＝CE，又DE＝AD﹣AE，∴DE＝CE﹣BD．6．证明：（1）∵∠BAC＝∠EAD∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC即：∠BAE＝∠CAD在△ABE和△ACD中∴△ABE≌△ACD∴∠ABD＝∠ACD（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC∵∠ABD＝∠ACD∴∠BAC＝∠BDC∵∠ACB＝65°，AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB＝65°∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°∴∠BDC＝∠BAC＝50°．7．证明：（1）∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠EAF＝∠EDB，∴△AEF≌△DEB（AAS）；（2）连接DF，∵AF∥CD，AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵△AEF≌△DEB，∴BE＝FE，∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB，∵AB＝AC，∴DF＝AC，∴四边形ADCF是矩形．8．解：①图1中所有的全等三角形为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；故答案为：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB②线段AF与线段CE的数量关系是：AF＝2CE；故答案为：AF＝2CE．证明：线段AF与线段CE的数量关系是AF＝2CE，∵△BCD≌△FAD，∴AF＝BC，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BC＝2CE，∴AF＝2CE；问题探究：证明：延长AB、CD交于点G，如图2所示：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠GAD，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADG＝90°，在△ADC和△ADG中，，∴△ADC≌△ADG（ASA），∴CD＝GD，即CG＝2CD，∵∠BAC＝45°，AB＝BC，∴∠ABC＝90°，∴∠CBG＝90°，∴∠G+∠BCG＝90°，∵∠G+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠BCG，在△ABE和△CBG中，，∴△ABE≌△CBG中（ASA），∴AE＝CG＝2CD．故答案为：①△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②AF＝2CE；9．（1）证明：∵CB＝CA，DB＝DA，∴CD垂直平分线段AB，∴CD⊥AB．（2）①证明：∵AC＝BC，∴∠CBA＝∠CAB，又∵∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，又∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠DBA＝∠DAB＝30°，∴∠BDE＝30°+30°＝60°，∵AC＝BC，∠CAD＝∠CBD＝15°，∴BD＝AD，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SAS），∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠CDE＝60°，∵∠CDE＝∠BDE＝60°，∴DE平分∠BDC；②解：结论：ME＝BD，理由：连接MC，∵DC＝DM，∠CDE＝60°，∴△MCD为等边三角形，∴CM＝CD，∵EC＝CA，∠EMC＝120°，∴∠ECM＝∠BCD＝45°在△BDC和△EMC中，，∴△BDC≌△EMC（SAS），∴ME＝BD．③当EN＝EC时，∠ENC＝7.5°或82.5°；当EN＝CN时，∠ENC＝150°；当CE＝CN时，∠CNE＝15°，所以∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°．10．解：（1）全等，理由如下：∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝1×1＝1厘米，∵AB＝6cm，点D为AB的中点，∴BD＝3cm．又∵PC＝BC﹣BP，BC＝4cm，∴PC＝4﹣1＝3cm，∴PC＝BD．∵∠B＝∠C，∴△BPD≌△CPQ；（2）∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，则BP＝CP＝2，BD＝CQ＝3，∴点P，点Q运动的时间为：t＝2秒，∴v Q＝1.5cm/s；11．略12．（1）略（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠PAC＝90°，∴∠ABE＝∠PAC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC．13．解：（1）∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴DC＝DB＝DA．∴∠B＝∠DCB．又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE＝∠B．∴∠FDE＝∠DCB．∴DG∥BC．∴∠AGD＝∠ACB＝90°．∴DG⊥AC．又∵DC＝DA，∴G是AC的中点．∴CG＝AC＝×8＝4，DG＝BC＝×6＝3．∴S＝×CG•DG＝×4×3＝6．△DCG（2）略14．解：（1）连接BO，如图1所示：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ODB＝∠ODC，在△OBD和△OCD中，，∴△OBD≌△OCD（SAS），∴OB＝OC，又∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，又∵∠BAC＝120°，∠ABC＝∠ACB＝30°，又∵∠ABD＝∠ABO+∠DBO＝30°，∴APO+∠DCO＝30°；（2）过点O作OH⊥BP于点H，如图2所示：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠HAO＝∠CAD＝60°，又∵OH⊥BP，∴∠OHA＝90°，∴∠HOA＝30°，∴AO＝2AH，又∵BO＝PO，OH⊥BP，∴BH＝PH，又∵HP＝AP+AH，∴BH＝AP+AH，又∵AB＝BH+AH，∴AB＝AP+2AH，又∵AB＝AC，AO＝2AH，∴AC＝AP+AO．15．解：（1）如图，且AB＝AC，DA＝DE，∠BAC＝∠ADE＝60°∴△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC＝60°，AD＝AE，∠BCA＝60°，即，∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠B＝∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝120°；（2）如图，过D作DF⊥BC，交CA延长线于F，∵∠BAC＝∠FDC＝90°，∴∠ACB＝∠DFC＝45°，∴在直角△FDC中：DF＝DC，又∵∠FDA+∠ADC＝∠CDE+∠ADC＝90°，∴∠FDA＝∠CDE又∵DA＝DE，∴△FDA≌△CDE，∴∠DFA＝∠BCE，∴∠BCE＝45°；同理，过D作DF⊥BC，AC于点F时，∠DFA＝∠BCE＝135°．综上所述，∠BCE＝45°或∠BCE＝135°；（3）如图，作∠FDC＝120°，交CA的延长线于F．∵∠ADE＝∠BAC＝120°，∴∠FDA+∠ADC＝∠CDE+∠ADC，∠ACB＝30°，∴∠FDA＝∠CDE，∠DFC＝∠ACB＝30°，DF＝DC，又∵AD＝DE，∴△FDA≌△CDE，∴∠DCE＝∠DFA＝30°．当点E在直线BC上方时，同法可得∠BCE＝120°，综上所述，∠BCE＝30°或120°．16．解：（1）EF＝BE﹣AF成立，理由为：在△BCE中，∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∵∠BCA＝90°，∴∠ACF+∠BCE＝90°，∴∠CBE＝∠ACF，又BC＝CA，∠BEC＝∠CFA＝90°，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF，CE＝AF，又∵EF＝CF﹣CE，∴EF＝BE﹣AF；（2）EF＝BE﹣AF仍成立，理由为：在△BCE中，∠BEC＝120°，∴∠CBE+∠BCE＝60°，∵∠BCA＝60°，∴∠ACF+∠BCE＝60°，∴∠CBE＝∠ACF，又BC＝CA，∠BEC＝∠CFA＝120°，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF，CE＝AF，又∵EF＝CF﹣CE，∴EF＝BE﹣AF；（3）当∠α+∠BCA＝180°时，结论EF＝BE﹣AF仍然成立．故答案为：∠α+∠BCA＝180°．。

人教版八年级数学上册《全等三角形证明》专项练习题-附含答案

人教版八年级数学上册《全等三角形证明》专项练习题-附含答案专题简介：本份资料包含《全等三角形》这一章的六种主流中档证明题所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题具体包含的题型有：重叠边技巧、重叠角技巧、等角的余角相等技巧、证两次全等的证明题、手拉手模型、角平分线的性质与判定的中档题。

适合于公立学校老师和培训机构的老师给学生作全等三角形证明题专项复习时使用或者学生考前刷题时使用。

题型1：重叠边技巧①短边相等＋重叠边=长边相等②长边相等－重叠边=短边相等1．（2019·广东）如图点A 、C 、F 、D 在同一直线上 AF=DC AB=DE BC=EF 求证：AB ∥DE ．【详解】∵AF=DC ∴AF ﹣FC=DC ﹣CF 即AC=DF ．在△ACB 和△DFE 中AC DF AB DE BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ACB ≌△DFE （SSS ） ∴∠A=∠D ∴AB ∥DE ．2．（2021·重庆）已知点A 、E 、F 、C 在同一直线上已知AD BC ∥ AD BC = AE CF = 试说明BE 与DF 的关系．【详解】解：数量关系BE DF = 位置关系BE DF ∥．理由：∵AD BC ∥ ∴∠A =∠C又AE CF = ∴AE +EF =CF +EF 即AF =CE 在ADF 和CBE △中 AD BC A C AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ADF ∴≌()CBE SAS △∴BE =DF ∠BEF =∠DFE ∴BE DF ∥．3．（2021·湖北荆门）如图点E、F在BC上BE＝CF AB＝DC∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．【详解】解∵BE＝CF∴BE+EF＝CF+EF即BF＝CE．在△ABF和△DCE中AB DCB C BF CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF≌△DCE∴∠A＝∠D．4．（2021·甘肃）如图AB∥CD BN∥MD点M、N在AC上且AM=CN求证：BN=DM．【详解】解：∵AB∥CD BN∥MD ∴∠A=∠C∠CMD=∠ANB ∵AM=CN∴AM+MN=MN+CN即AN=MC 在△ANB和△CMD中∠A=∠C AN=MC∠ANB=∠CMF ∴△ANB≌△CMD（ASA）∴BN=MD．5．（2021·新疆）如图点A、F、C、D在同一直线上点B和点E分别在直线AD的两侧且AB＝DE∠A ＝∠D AF＝DC．求证：(1)△ABC≌△DEF；(2)BC∥EF．【详解】(1)证明：∵AF＝DC∴AF+CF＝DC+CF∴AC＝DF∵在△ABC和△DEF中AB DEA DAC DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC≌△DEF（SAS）；(2)证明：由（1）知△ABC≌△DEF∴∠BCA＝∠EFD∴BC∥EF．题型2：重叠角技巧重叠角技巧：①小角相等+重叠角=大角相等②大角相等-重叠角=小角相等6．（2022·福建·福州）如图AC＝AE∠1＝∠2 AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE．【详解】证明：∵∠1=∠2 12EAB EAB∴∠+∠=∠+∠即CAB EAD∠=∠在ABC和ADE中{AC AECAB EAD AB AD=∠=∠=() ABC ADE SAS∴≅．7．（2022·四川资阳）如图在△ABC和△ADE中AB=AD∠B=∠D∠1=∠2．求证：BC=DE．【详解】证明：∵∠1=∠2 ∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC∴∠BAC=∠DAE在△ABC和△ADE中B DAB ADBAC DAE∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△ADE≌△ABC（ASA）∴BC=DE8.如图AB＝AD∠C＝∠E∠1＝∠2 求证：△ABC≌△ADE．【解答】证明：∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC即∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中BAC DAE C E AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （AAS ）． 9．(雅礼)如图 △ABC 和△ADE 都是等腰三角形且∠BAC ＝90° ∠DAE ＝90° B C D 在同一条直线上．求证：BD ＝CE ．【解答】证明：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形 ∴AD ＝AE AB ＝AC 又∵∠EAC ＝90°+∠CAD ∠DAB ＝90°+∠CAD ∴∠DAB ＝∠EAC∵在△ADB 和△AEC 中 ∴△ADB ≌△AEC （SAS ） ∴BD ＝CE ．10．（2020·四川达州）已知△ABN 和△ACM 位置如图所示 AB =AC AD =AE ∠1=∠2．（1）求证：BD =CE ；（2）求证：∠M=∠N ．【详解】（1）证明：在△ABD 和△ACE 中 12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE （SAS ） ∴BD =CE ；（2）证明：∵∠1=∠2 ∴∠1+∠DAE =∠2+∠DAE 即∠BAN =∠CAM 由（1）知：△ABD ≌△ACE∴∠B =∠C 在△ACM 和△ABN 中 C B AC AB CAM BAN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACM ≌△ABN （ASA ） ∴∠M =∠N ．题型3：等角的余角相等技巧：∠1+∠2=90 ∠2+∠3=90 ∴∠1=∠3技巧：把全等三角形中一个三角形的两个锐角分别随意标上∠1、∠2 再从第二个三角形的两个锐角中挑一个和∠1或∠2互余的角标上∠3。

八年级上册数学全等三角形练习题

八年级上册数学全等三角形练习题八年级上册数学全等三角形练习题数学是一门需要理解和运用的学科，而全等三角形是数学中的一个重要概念。

在八年级上册的数学课程中，全等三角形是一个重要的内容，它涉及到了一系列的定义、性质和定理。

在这篇文章中，我们将通过练习题的形式来深入理解和掌握全等三角形的知识。

练习题一：判断是否全等1. 在△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，是否可以得出△ABC≌△DEF？请说明理由。

2. 在△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，是否可以得出AC=DF？请说明理由。

3. 在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF，是否可以得出△ABC≌△DEF？请说明理由。

以上三道题目都是关于全等三角形的判断题。

对于第一题，我们可以根据全等三角形的定义来判断，即如果两个三角形的对应角相等且对应边相等，那么它们就是全等的。

因此，在这道题中，由于∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，根据全等三角形的定义，我们可以得出△ABC≌△DEF。

对于第二题，我们需要注意全等三角形的性质。

在全等三角形中，对应边是相等的，但对应边的延长线不一定相等。

因此，即使∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，我们不能得出AC=DF。

对于第三题，我们可以根据全等三角形的定义来判断，即如果两个三角形的对应边相等，那么它们就是全等的。

因此，在这道题中，由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，根据全等三角形的定义，我们可以得出△ABC≌△DEF。

练习题二：填空题1. 已知△ABC≌△DEF，AB=5cm，AC=8cm，BC=6cm，求EF的长度。

2. 已知△ABC≌△DEF，AB=5cm，AC=8cm，∠B=60°，求∠E的大小。

在填空题中，我们需要根据已知条件来求解未知的长度或角度。

对于第一题，由于△ABC≌△DEF，我们可以得出AB=DE，AC=DF，BC=EF。

人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典练习题(含答案解析)

一、选择题1．如图已知ABC ∆中，12AB AC cm ==，B C ∠=∠，8BC cm =，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以2/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v ，则当BPD ∆与CQP ∆全等时，v 的值为（）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或3D解析：D【分析】设运动时间为t 秒，由题目条件求出BD=12AB=6，由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，然后结合全等三角形的判定方法，分两种情况列方程求解．【详解】解：设运动时间为t 秒，∵12AB AC cm ==，点D 为AB 的中点．∴BD=12AB=6，由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，又∵∠B=∠C∴①当BP=CQ ，BD=CP 时，BPD ∆≌CQP ∆∴2t=vt ，解得：v=2②当BP=CP ，BD=CQ 时，BPD ∆≌CPQ ∆∴8-2t=2t ，解得：t=2将t=2代入vt=6，解得：v=3综上，当v=2或3时，BPD ∆与CQP ∆全等故选：D【点睛】本题主要考查了全等三角形全等的判定、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．2．如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等．若110BOC ∠=°，则A ∠的度数为( )A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒A解析：A【分析】由条件可知BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠A ．【详解】解：∵点O 到ABC 三边的距离相等，∴BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，∴ ()180A ABC ACB ∠=︒-∠+∠()1802OBC OCB =︒-∠+∠()1802180BOC =︒-⨯︒-∠()1802180110︒=︒-⨯-︒40=︒．故选A ．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．3．已知如图，AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（）A ．BD +ED ＝BCB ．DE 平分∠ADBC ．AD 平分∠EDC D ．ED +AC ＞AD B解析：B【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE ＝DC ，然后利用AAS 证明△ACD ≌△AED ，再对各选项分析判断后利用排除法．【详解】解：∵AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，∴DE ＝DC ，A 、BD +ED ＝BD +DC ＝BC ，故本选项正确；在△ACD 与△AED 中，90DAC DAE ACD AED AD AD ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴∠ADC ＝∠ADE ，∴AD 平分∠EDC ，故C 选项正确；但∠ADE 与∠BDE 不一定相等，故B 选项错误；D 、∵△ACD ≌△AED ，∴AE ＝AC ，∴ED +AC ＝ED +AE ＞AD （三角形任意两边之和大于第三边），故本选项正确．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，证明ACD AED △≌△是解题的关键．4．到ABC 的三条边距离相等的点是ABC 的( )A ．三条中线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条角平分线的交点D 解析：D【分析】由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，而已知一点到ABC 的三条边距离相等，那么这样的点在这个三角形的三条角平分线上，由此即可作出选择.【详解】解:∵到ABC 的三条边距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等，∴这点在这个三角形三条角平分线上，即这点是三条角平分线的交点，故选：D.【点睛】此题主要考查了三角形的角平分线的性质：三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等.5．如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AC BD =，则能证明ABC DCB ≅的判定法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．HL D解析：D【分析】直接证明全等三角形，即可确定判断方法.【详解】解：∵AB BC ⊥，CD BC ⊥，∴ABC 与△DCB 均为直角三角形，又AC DB =，BC CB =，∴()ABC DCB HL ≅,故选：D.【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，属于基础题.6．如图，已知∠A=∠D ， AM=DN ，根据下列条件不能够判定△ABN ≅△DCN 的是（）A ．BM ∥CNB ．∠M=∠NC ．BM=CND ．AB=CD C 解析：C【分析】利用全等三角形的判断方法进行求解即可．【详解】A 、因为 BM ∥CN ，所以∠ABM=∠DCN ，又因为∠A=∠D ， AM=DN ，所以△ABN ≅△DCN(AAS)，故A 选项不符合题意；B 、因为∠M=∠N ，∠A=∠D ， AM=DN ，所以△ABN ≅△DCN(ASA)，故B 选项不符合题意；C 、BM=CN ，不能判定△ABN ≅△DCN ，故C 选项符合题意；D 、因为AB=CD ，∠A=∠D ， AM=DN ，所以△ABN ≅△DCN(SAS)，故D 选项不符合题意．故选：C ．【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④B解析：B【分析】由SAS 证明AOC BOD ≅得出OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；由全等三角形的性质得出OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，得出40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=，由AAS 证明OCG ODH ≅（AAS ），得出OG=OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分BOC ∠，④正确；由AOB COD ∠=∠，得出当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分BOC ∠，假设∠=∠DOM AOM ，由AOC BOD ≅得出COM BOM ，由MO 平分BMC ∠得出∠=∠CMO BMO ，推出COM BOM ≅，得出OB=OC ，OA=OB ，所以OA=OC ，而OA OC >，故③错误；即可得出结论．【详解】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠即AOC BOD ∠=∠在AOC △和BOD 中OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOC BOD ≅（SAS ）∴OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，∴40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=，在OCG 和ODH 中OCA ODB OGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴OCG ODH ≅（AAS ），∴OG=OH∴MO 平分BOC ∠，④正确；∴AOB COD ∠=∠∴当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分BOC ∠，假设∠=∠DOM AOM∵AOC BOD ≅∴COM BOM ，∵MO 平分BMC ∠∴∠=∠CMO BMO ，在COM 和BOM 中 OCM BOM OM OMCMO BMO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴COM BOM ≅（ASA ）∴OB=OC ，∵OA=OB ，∴OA=OC ，与OA OC >矛盾，∴③错误；正确的有①②④；故选：B【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．8．如图，AD 是ABC 的高，AD BD 8==，E 是AD 上的一点，BE AC 10==，AE 2=，BE 的延长线交AC 于点F ，则EF 的长为（）A ．1.2B ．1.5C ．2.5D ．3A 解析：A【分析】先证明Rt ACD ≌()Rt BED HL ，得CD ED AD AE 6==-=，CAD EBD ∠∠=，再证BE AC ⊥，然后由三角形面积关系求出BF 11.2=，则EF BF BE 1.2=-=．【详解】解：AD 是ABC 的高，AD BC ∴⊥，ADC BDE 90∠∠∴==︒，在Rt ACD 和Rt BED 中，AC BE AD BD =⎧⎨=⎩， Rt ACD ∴≌()Rt BED HL ，CD ED AD AE 826∴==-=-=，CAD EBD ∠∠=，C CAD 90∠∠+=︒，C EBD 90∠∠∴+=︒，BFC 90∠∴=︒，BE AC ∴⊥， ABC 的面积ABD =的面积ACD +的面积，111AC BF AD BD CD AD222∴⨯=⨯+⨯，AC BF AD BD CD AD∴⨯=⨯+⨯，即10BF8886112=⨯+⨯=，BF11.2∴=，EF BF BE11.210 1.2∴=-=-=，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；证明三角形全等是解题的关键．9．在尺规作图作一个角的平分线时的两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．HL C解析：C【分析】根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是SSS．【详解】解：尺规作图-作一个角的角平分线的作法如下：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交AO、BO于点F、E，②再分别以F、E为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧交于点M，③画射线OM，射线OM即为所求．由作图过程可得用到的三角形全等的判定方法是SSS．故选：C．【点睛】本题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握作一个角的平分线的基本作图方法．10．已知，如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB，下列条件中：①∠AOC＝∠BOC，②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分线的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D解析：D【分析】根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．【详解】解：∵∠AOC ＝∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的角平分线，① 符合题意；∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，PD ＝PE ，∴OC 是∠AOB 的角平分线，② 符合题意；在Rt △POD 和Rt △POE 中，OD DE OP OP=⎧⎨=⎩ ， ∴Rt △POD ≌Rt △POE ，∴∠AOC ＝∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的角平分线，③ 符合题意；∵∠DPO=∠EPO ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴在△POD 和△POE 中，DPO EPO PDO PEO OP OP =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠∴△POD ≌△POE （AAS ），∴∠AOC ＝∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的角平分线，④ 符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键；二、填空题11．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．若3BC =，且:5:4BD DC =，5AB =，则ABD △的面积是______．【分析】过点D 作DE ⊥AB 利用角平分线的性质可得CD ＝DE 再利用线段的比求得线段DC 的长度进而即可求解【详解】过点D 作DE ⊥AB ∵AD 平分∠BACDE ⊥ABDC ⊥AC ∴CD ＝DE 又∵且BD ：DC ＝5 解析：103 【分析】过点D 作DE ⊥AB ，利用角平分线的性质可得CD ＝DE ，再利用线段的比求得线段DC 的长度，进而即可求解．【详解】过点D 作DE ⊥AB ，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DC ⊥AC∴CD ＝DE又∵3BC =，且BD ：DC ＝5：4，∴DE ＝DC ＝3÷（5＋4）×4＝43． ∵5AB =，∴ABD △的面积=43×5÷2=103 故答案是：103【点睛】本题考查了角平分线的性质，添加辅助线，是解题的关键．12．如图，△ABC ≌△DEF ，由图中提供的信息，可得∠D ＝__________°．【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠A 的度数再利用全等三角形的性质求出答案即可【详解】∵∠A+∠B+∠C=∴∠A=-∠B-∠C=∵△ABC ≌△DEF ∴∠D=∠A=故答案为：【点睛】此题考查全等三角解析：70︒【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠A 的度数，再利用全等三角形的性质求出答案即可【详解】∵∠A+∠B+∠C=180︒，∴∠A=180︒-∠B-∠C=180506070︒-︒-︒=︒，∵△ABC ≌△DEF ，∴∠D=∠A=70︒，故答案为：70︒【点睛】此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等，以及三角形的内角和定理．13．如图，两根旗杆间相距22米，某人从点B 沿BA 走向点A ，一段时间后他到达点M ，此时他分别仰望旗杆的顶点C 和D ，两次视线的夹角为90°，且CM DM =．已知旗杆BD 的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M 所用时间是________秒．5【分析】根据题意证明利用证明根据全等三角形的性质得到米再利用时间=路程÷速度计算即可【详解】解：∵∴又∵∴∴在和中∴∴米（米）∵该人的运动速度他到达点M 时运动时间为s 故答案为5【点睛】本题考查了全解析：5【分析】根据题意证明C DMB ∠=∠，利用AAS 证明ACM BMD ≌，根据全等三角形的性质得到12BD AM ==米，再利用时间=路程÷速度计算即可．【详解】解：∵90CMD ∠=︒，∴90CMA DMB +=︒∠∠，又∵90CAM ∠=︒，∴90CMA C ︒∠+∠=，∴C DMB ∠=∠，在 Rt ACM △和Rt BMD △中， A B C DMB CM MD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()Rt ACM Rt BMD AAS ≌，∴12BD AM ==米，221210BM =-=（米），∵该人的运动速度2m/s ，他到达点M 时，运动时间为5210=÷s ．故答案为5．【点睛】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题的关键是求得Rt ACM Rt BMD ≌．14．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AC =，5BC =，线段PQ AB =，P ，Q 两点分别在线段AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AD 上运动，当AQ =______时，ABC 和PQA △全等．5或10【分析】分两种情况：当AQ=5时当AQ=10时利用全等三角形的判定及性质定理得到结论【详解】分两种情况：当AQ=5时∵∴AQ=BC ∵AD ⊥AC ∴∠QAP=∠ACB=∵AB=PQ ∴≌△PQA （解析：5或10【分析】分两种情况：当AQ=5时，当AQ=10时，利用全等三角形的判定及性质定理得到结论．【详解】分两种情况：当AQ=5时，∵5BC =，∴AQ=BC ，∵AD ⊥AC ，∴∠QAP=∠ACB=90︒，∵AB=PQ ，∴ABC ≌△PQA （HL ）；当AQ=10时，∵10AC =，∴AQ=AC ，∵AD ⊥AC ，∴∠QAP=∠ACB=90︒，∵AB=PQ ，∴△ABC ≌△QPA ，故答案为：5或10．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质定理，运用分类思想，动点问题，熟记三角形的判定定理及性质定理是解题的关键．15．已知点A 、E 、F 、C 在同一条直线l 上，点B 、D 在直线l 的异侧，若AB=CD ，AE=CF ，BF=DE ，则AB 与CD 的位置关系是_______．AB//CD 【分析】先利用SSS 证明△ABF ≌△CDE 然后根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠BAF 最后根据内错角相等两直线平行即可解答【详解】解：∵AE=CF ∴AE+EF=CF+EF 即AF=EC 在解析：AB//CD【分析】先利用SSS 证明△ABF ≌△CDE ，然后根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠BAF ，最后根据内错角相等、两直线平行即可解答．【详解】解：∵AE=CF ，∴AE+EF=CF+EF,即AF=EC在△ABF 和△CDE 中，,,,AB CD AF EC BF DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△CDE （SSS ），∴∠DCE=∠BAF ．∴AB//CD ．故答案为：AB//CD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，运用全等三角形的知识得到∠DCE=∠BAF 成为解答本题的关键．16．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，S △ABD ∶S △ACD ＝________．4:3【分析】利用角平分线的性质可得出△ABD 的边AB 上的高与△ACD 的边AC 的高相等根据三角形的面积公式即可得出△ABD 与△ACD 的面积之比等于对应边之比；【详解】∵AD 是△ABC 的角平分线∴设△解析：4:3【分析】利用角平分线的性质，可得出△ABD 的边AB 上的高与△ACD 的边AC 的高相等，根据三角形的面积公式，即可得出△ABD 与△ACD 的面积之比等于对应边之比；【详解】∵ AD 是△ABC 的角平分线，∴ 设△ABD 的边AB 上的高与△ACD 的边AC 的高分别为1h ，2h ，∴ 1h =2h ，∴△ABD 与△ACD 的面积之比=AB ：AC=8：6=4：3，故答案为：4：3．【点睛】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键；17．如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B 、C ，垂足为B 、C ，AC 与BD 相交于点E ，AC=BD 且∠A=50°，则∠BEA=___________．80°【分析】先证明△ABC ≌△DCB 得∠DBC=∠ACB进一步得∠ACB=40°根据三角形外角的性质可求出∠BEA 【详解】解：∵AB ⊥BCDC ⊥BC ∴∠ABC=∠DCB=90°在Rt △ABC 和Rt解析：80°【分析】先证明△ABC ≌△DCB 得∠DBC=∠ACB ，进一步得∠ACB=40°，根据三角形外角的性质可求出∠BEA ．【详解】解：∵AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴∠ABC=∠DCB=90°，在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，AC BD BC CB ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ABC ≌Rt △DCB （HL ）；∴∠DBC=∠ACB ，∵∠A=50°，∴∠ACB=∠DCB=40°∵∠AEB=∠DBC+∠ABC∴∠AEB=40°+40°=80°，故答案为：80°．【点睛】此题主要考查了直角三角形全等的判定以及三角形外角的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解答此题的关键．18．如图，ABC 中，90C ∠=，AD 平分BAC ∠，若2DC =，则点D 到线段AB 的距离等于________．【分析】过D 作DE ⊥AB 于E 根据角平分线的性质得出DE=DC 即可求出答案【详解】解：过D 作DE ⊥AB 于E ∵∠C=90°AD 平分∠BACDC=2∴DE=DC=2即点D 到线段AB 的距离等于2故答案为：2 解析：【分析】过D 作DE ⊥AB 于E ，根据角平分线的性质得出DE=DC ，即可求出答案．【详解】解：过D 作DE ⊥AB 于E ，∵∠C=90°，AD 平分∠BAC ，DC=2，∴DE=DC=2，即点D 到线段AB 的距离等于2，故答案为：2．【点睛】本题考查了考查了角平分线的性质，能根据角平分线的性质得出DE=DC 是解此题的关键． 19．如图，12∠=∠，要用“SAS ”判定ADC BDC ≌△△，则可加上条件__________．AD=BD【分析】要判定△BCD≌△ACD已知∠1=∠2CD是公共边具备了一边一角对应相等注意SAS的条件；两边及夹角对相等只能选AD=BD【详解】解：由图可知只能是AD=BD才能组成SAS故答案为解析：AD=BD【分析】要判定△BCD≌△ACD，已知∠1=∠2，CD是公共边，具备了一边一角对应相等，注意“SAS”的条件；两边及夹角对相等，只能选AD=BD.【详解】解：由图可知，只能是AD=BD，才能组成“SAS”，故答案为：AD=BD.【点睛】本题考查了全等的判定，掌握“SAS”的条件是两边及夹角对相等是解题的关键.20．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为F，AB=DE．若BD=8cm，则AC的长为_________．4cm【分析】由DE⊥AB可得∠BFE=90°由直角三角形两锐角互余可得∠ABC+∠DEB=90°由∠ACB=90°由直角三角形两锐角互余可得∠ABC+∠A=90°根据同角的余角相等可得∠A=∠DE解析：4cm．【分析】由DE⊥AB，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB，然后根据AAS判断△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC，AC=BE，由E是BC的中点，得到BE=12BC=12BD=4．【详解】解：∵DE⊥AB，可得∠BFE=90°，∴∠ABC+∠DEB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ABC+∠A=90°，∴∠A=∠DEB ，在△ABC 和△EDB 中，ACB DBC A DEBAB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABC ≌△EDB （AAS ），∴BD=BC ，AC=BE ，∵E 是BC 的中点，BD=8cm ，∴BE=12BC=12BD=4cm ， ∴AC=4cm ．故答案为：4cm ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．三、解答题21．如图，在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒，点A 、E 、B 、D 在同一直线上，BC 、EF 交于点M ，AC DF =，AB DE =．求证：（1）CBA FED ∠=∠；（2）AM DM =．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据HL 定理可得Rt △ABC ≌ Rt △DEF ，从而得到∠CBA=∠FED ；（2）由（1）所得结论和已知条件可以证得△AEM ≌△DBM ，从而可得AM=DM ．【详解】证明：（1）在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒AC DF AB DE =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt HL ABC DEF ≌△△∴CBA FED ∠=∠．（2）∵CBA FED ∠=∠∴ME MB =，且AEMDBM ∠=∠ 又∵AB DE =∴AB EB DE EB -=-即AE DB =在AEM △和DBM △中AE DB AEM DBM ME MB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AEM DBM SAS △≌△∴AM DM =．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理HL 、SAS 及三角形全等的性质是解题关键．22．已知：如图，BAD CAE ∠=∠，AB AD =，AC AE =．（1）求证：ABC ADE △≌△．（2）若42,86B C ∠=︒∠=︒，求DAE ∠的度数．解析：（1）详见解析；（2）52︒【分析】（1）先证明∠BAC=∠DAE ，即可根据SAS 证得结论；（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，再根据全等三角形的性质得到答案．【详解】（1）∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC ．即∠BAC=∠DAE ．在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴ABC ADE △≌△；（2）∵42,86B C ∠=︒∠=︒，∴18052BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．∵ABC ADE △≌△，∴52DAE BAC ∠=∠=︒．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．23．已知：D ，A ，E 三点都在直线m 上，在直线m 的同一侧作ABC ，使AB AC =，连接BD ，CE ．（1）如图①，若90BAC ∠=︒，BD m ⊥，CE m ⊥，求证ABD ACE ≅；（2）如图②，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，请判断BD ，CE ，DE 三条线段之间的数量关系，并说明理由．解析：（1）见详解；（2）DE ＝BD ＋CE ．理由见详解【分析】（1）根据BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m 得∠BDA ＝∠CEA ＝90°，而∠BAC ＝90°，根据等角的余角相等，得∠CAE ＝∠ABD ，然后根据“AAS”可判断△ABD ≌△CAE ；（2）由∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，就可以求出∠BAD ＝∠ACE ，进而由ASA 就可以得出△ABD ≌△CAE ，就可以得出BD ＝AE ，DA ＝CE ，即可得出结论．【详解】（1）证明：如图①，∵D ，A ，E 三点都在直线m 上，∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°，∵BD ⊥m ，CE ⊥m ，∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ADB AEC ABD CAE AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△CAE （AAS ）；（2）DE ＝BD ＋CE ．理由如下：如图②，∵∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴由三角形内角和及平角性质，得：∠BAD ＋∠ABD ＝∠BAD ＋∠CAE ＝∠CAE ＋∠ACE ，∴∠ABD ＝∠CAE ，∠BAD ＝∠ACE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE AB ACBAD ACE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ABD ≌△CAE （ASA ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD ＋AE ＝BD ＋CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题．24．如图，已知ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在AC ，BC 上，且CD BE =．（1）从图中找出一对全等三角形，并说明理由；（2）求AFD ∠的度数．解析：（1）ABE BCD △≌△或，理由见解析；（2）60°．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AB=BC ，∠BAC=∠C=∠ABE=60︒，根据SAS 推出△ABE ≌△BCD ；（2）根据△ABE ≌△BCD ，推出∠BAE=∠CBD ，根据三角形的外角性质求出∠AFD 即可．【详解】解：（1）()BC ABE A D S S ≌，理由如下：∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC ，∠C=∠ABE=60︒在△ABE 和△BCD 中，AB BC ABE C BE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCD(SAS)；（2）∵△ABE ≌△BCD ，∴∠BAE=∠CBD ，∵∠AFD=∠ABF+∠BAE ，∴AFD ABF CBD ABC=60∠=∠+∠=∠︒．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定、三角形的外角性质，解题的关键是求出△ABE ≌△BCD ．25．如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ．（1）求证：AD ＝CE（2）AD ＝6cm ，DE ＝4cm ，求BE 的长度解析：（1）证明见解析；（2）2cm ．【分析】（1）先根据垂直的定义可得90ADC E ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得CAD BCE ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；（2）先结合（1）的结论可得6CE cm =，再根据线段的和差可得2CD cm =，然后根据全等三角形的性质即可得．【详解】（1）,AD CE BE CE ⊥⊥，90ADC E ∠=∠=∴︒，90CAD ACD ∴∠+∠=︒，90ACB ∠=︒，90BCE ACD ∴∠+∠=︒，CAD BCE ∴∠=∠，在ACD △和CBE △中，ADC E CAD BCE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD CBE AAS ∴≅，AD CE ∴=；（2）由（1）已证：AD CE =，6AD cm =，6CE cm ∴=，4DE cm =，2CD CE DE cm ∴=-=，又由（1）已证：ACD CBE ≅，2BE CD cm ∴==．【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．26．已知：AB BD ⊥，ED BD ⊥，AC CE =，BC DE =．（1）试猜想线段AC 与CE 的位置关系，并证明你的结论．（2）若将CD 沿CB 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．（3）若将CD 沿CB 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．解析：（1）AC CE ⊥，见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）先用HL 判断出Rt Rt ABC CDE ≌△△，得出A DCE ∠=∠，进而判断出90DCE ACB ∠+∠=︒，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法，即可得出结论．【详解】解：（1）AC CE ⊥理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒在Rt ABC △和Rt CDE △中AC CE BC DE =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt HL ABC CDE △△≌， ∴A DCE ∠=∠∵90B ∠=︒，∴90A ACB ∠+∠=︒，∴()18090ACE DCE ACB ∠=︒-∠+∠=︒，∴AC CE ⊥；（2）成立，理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒，在1Rt ABC 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE =⎧⎨=⎩， ∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，∴2A C E D ∠=∠，∵90B ∠=︒，∴190B A AC ∠+∠=︒，∴2190DC E AC B ∠+∠=︒，在12C FC 中，()122118090C FC DC E AC B ∠=︒-∠+∠=︒，∴12AC C E ⊥；（3）成立，理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴190ABC D ∠=∠=︒在1Rt ABC 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE =⎧⎨=⎩， ∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，∴2A C E D ∠=∠，∵190ABC ∠=︒，∴190B A AC ∠+∠=︒，在12C FC 中，()2112180=90C FC DC E AC B ∠=︒-∠+∠︒，∴12AC C E ⊥．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出12Rt Rt ABC C DE ≌△△是解本题的关键．27．如图，已知Rt ABC △中，90ACB ︒∠=，CA CB =，D 是AC 上一点，E 在BC 的延长线上，且CE CD =，BD 的延长线与AE 交于点F ．求证：BF AE ⊥．解析：证明见解析【分析】根据题意可以得到△ACE ≌△BCD ，然后根据全等三角形的性质和垂直的定义可以证明结论成立．【详解】证明：∵90ACB ︒∠=∴90ACE BCD ︒∠=∠=在ACE △和BCD △中，CA CB ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ACE BCD SAS =∴CAE CBD ∠=∠∵Rt ACE △中，90CAE E ︒∠+∠=，∴90CBD E ︒∠+∠=，∴90BFE ︒∠=∴BF AE ⊥【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂直的定义，解题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质、数形结合的思想作答．28．如图，在平面直角坐标系中，已知点()1,A a a b -+，(),0B a ，且()2320a b a b +-+-=，C 为x 轴上点B 右侧的动点，以AC 为腰作等腰三角形ACD ，使AD AC =，CAD OAB ∠=∠，直线DB 交y 轴于点P ．（1）求证：AO AB =；（2）求证：AOC ABD ∆∆≌；（3）当点C 运动时，点P 在y 轴上的位置是否发生改变，为什么？解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不变，理由见解析．【分析】（1）先根据非负数的性质求出a 、b 的值，作AE ⊥OB 于点E ，由SAS 定理得出△AEO ≌△AEB ，根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）先根据∠CAD=∠OAB ，得出∠OAC=∠BAD ，再由SAS 定理即可得出结论；（3）设∠AOB=∠ABO=α，由全等三角形的性质可得出∠ABD=∠AOB=α，故∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α为定值，再由OB=2，∠POB=90°可知OP 的长度不变，故可得出结论．【详解】（1）证明：∵()2320a b a b +-+-=， ∴30,20,a b a b +-=⎧⎨-=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩∴()1,3A ，()2,0B ．作AE OB ⊥于点E ，∵()1,3A ，()2,0B ，∴1OE =，211BE =-=，在AEO ∆与AEB ∆中，∵,90,,AE AE AEO AEB OE BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴AEO AEB ∆∆≌，∴OA AB =．（2）证明：∵CAD OAB ∠=∠，∴CAD BAC OAB BAC ∠+=∠+∠∠，即OAC BAD ∠=∠．在AOC ∆与ABD ∆中，∵,,,OA AB OAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOC ABD ∆∆≌．（3）解：点P 在y 轴上的位置不发生改变．理由：设AOB α∠=． ∵OA AB =，∴AOB ABO α∠=∠=．由（2）知，AOC ABD ∆∆≌，∴ABD AOB α∠=∠=．∵2OB =，1801802OBP ABO ABD α∠=︒-∠-∠=︒-为定值，90POB ∠=︒，易知POB ∆形状、大小确定，∴OP 长度不变，∴点P 在y 轴上的位置不发生改变．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．。

八年级上册数学全等三角形必考题

八年级上册数学全等三角形必考题全文共5篇示例，供读者参考八年级上册数学全等三角形必考题1《全等三角形的判定》这一课，要求学生会通过观察几何图形识别两个三角形全等，并能通过正确的分类动手探索出两个三角形全等的条件。

具体说：（1）正确识别两个三角形全等——会将两个三角形相等的边和角对应重叠在一起，看是否重合；（2）相信判定两个三角形全等不一定要3条边和3个角都相等，可能一边或一角相等就足够（这个判断不一定要正确，但要有这种想法，探索命题的真假才有可能）；（3）能正确地将三角形的6个元素按条件的个数分成：①一个元素：一个边或一条角对应相等。

②两个元素：两边或一边一角或两角对应相等。

③三个元素：三边或两边和一角或一边和两角或三角对应相等。

或者按：①边（一条边或两条边或三条边分别对应相等）。

②角（一个角或两个角或三个角分别对应相等）。

③边和角[一条边和一个角或一条边和两个角（又分为角边角和角角边两种）或两条边和一个角（又分为边角边和边边角两种）分别对应相等]；（4）能将分好的三大类（12小类）条件用画图的方法进行验证，找出能判定两个三角形全等的三条公理和一条定理；（5）能用这四个判定，直接判定两个三角形是否全等或能补充一个条件使两个三角形全等。

基于知识的完整性和分类的数学思想的渗透，我认为这个教学设计体现了知识与技能目标。

增强学生的观察、猜想和动手操作能力。

八年级上册数学全等三角形必考题2一、制订好复习课的复习目标复习要对以前多节新课中的知识点或数学思想方法进行压缩整理，所以要制订好复习课的复习目标。

首先，选择合适的知识范围非常重要。

其次，应确定对所选知识点中重点的复习深度，过易会让学生索然无味，过难会让学生畏惧前行，失去信心。

我对这节课的难度把握是保全突尖，教学流程本身有梯度，例题与配套变式也有梯度。

不过对于例3“求证两线段相等”这个问题既需要添加辅助线，又要连续两次证全等。

问题的梯度设置过大，许多学生还观察不出。

人教版八年级数学上册《第12章全等三角形》全章必考知识点分类专项练习

《全等三角形》全章必考知识点分类专项练习1. 如图，在方格纸中，以AB 为一边作△ABP ，使之与△ABC 全等，则在P 1，P 2，P 3，P 4四个点中，符合条件的点P 有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2. 如图，BC=BD ，AC=AD，则△ABC 与△ABD 全等的依据是( ) A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS3.如图所示，照相机的底部是用三脚架支撑着，请你说说这样做的依据是( ) A.SAS B.SSS C.三角形的稳定性 D.ASA，则图中全等三角形有对. AE=FC ，DF=BE 。

求证：∠B=∠D ．6. 如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。

1. 如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=______.2. 如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙3. 如图，AC与BD相交于点O，若AO=BO，AC＝BD，∠DBA=30°，∠DAB=50°，则∠CBO= 度.4. 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE 的两侧，AB∥DE，BF=CE，请添加一个适当的条件：，使得AC=DF.5.仔细阅读下面的解题过程，并完成填空：如图，AD为△ABC的中线，已知AD=4cm,试确定AB+AC的取值范围.解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE.因为AD为△ABC的中线，所以BD=CD.在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD （__________).所以BE=AC(_____________________).因为AB+BE>AE(_____________________)，所以AB+AC>AE.因为AE=2AD=8cm，所以AB+AC>_______cm.6. 如图，AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，求证：△ADF≌△CBEAOC1. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了4块，如图1所示，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（） A ．带其中的任意两块去都可以 B ．带1、2或2、3去就可以了 C ．带1、4或3、4去就可以了D ．带1、4或2、4或3、4去均可2. 满足下列哪种条件时,就能判定△ABC ≌△DEF ( )A. AB=DE,BC=EF, ∠A ＝∠E;B. AB=DE,BC=EF, ∠C ＝∠FC. ∠A ＝∠E,AB=EF, ∠B ＝∠D;D. ∠A ＝∠D,AB=DE, ∠B ＝∠ E 3. 如图，90E F ∠=∠=，B C ∠=∠，AE AF =，结论：①EM FN =； ②CD DN =； ③FAN EAM ∠=∠； ④ACN ABM △≌△．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个 D ．4个4. 已知：如图，AB ，CD 相交于点O ，AD ＝CB ，请你补充一个条件，使得△AOD ≌△COB ．你补充的条件是___ ___，全等的依据是．5.已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上， BE ⊥AC, CD ⊥AB,AB=AC ，求证：BD=CE6. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于点E ．AD ⊥CE 于点D ．求证：△BEC ≌△CDA ．7. 如图，AE ⊥AB ，AD ⊥AC ，AB=AE ，∠B=∠E ．求证：BD=CE ．DECBA1. 利用尺规不能作出唯一的三角形是（） A ．已知三边 B ．已知两边及夹角 C ．已知两角及夹边 D ．已知两边及其中一边的对角2. 如图,某人不小心把一块三角形的玻璃打碎成三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么他最少要( )③②①A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去 3.求作：△ABC ，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c.4. 已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形. 已知：线段a , c , ∠α求作：△ABC ，使BC =a AB =c , ∠ABC =∠α1. 如图要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD=BC ，再定出BF 的垂线DE ，可以证明△EDC ≌△ABC ，得ED=AB ，因此，测得ED 的长就是AB 的长。

专题全等三角形的性质与判定选择、填空重难点题型分类(解析版)—八年级数学上册必刷题(人教版)

专题03全等三角形的性质与判定选择、填空重难点题型分类（解析版）专题简介：本份资料包含《全等三角形》这一章在各次期中、期末考中常考的主流选择、填空题，所选题目源自各名校月考、期末试题中的典型考题，具体包含七类题型：全等三角形的性质、五种判定方法的选择、添加一个条件判定三角形全等、尺规作图的依据、角平分线的性质、全等三角形性质与判定的小压轴题、动点问题的小压轴题，本专题资料适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生月考、期末考前刷题时使用。

题型1：全等三角形的性质1．（青竹湖）下列说法正确的是（）A ．两个等边三角形一定全等B ．形状相同的两个三角形全等C ．面积相等的两个三角形全等D ．全等三角形的面积一定相等【解答】解：A 、两个边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误；B 、形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误；C 、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；D 、全等三角形的面积一定相等，故本选项正确．故选：D ．2．（长郡）如图，△ABC ≌△DEF ，BE ＝7，AD ＝3，则AB ＝．【解答】解：∵△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，∴AB ﹣AD ＝DE ﹣AD ，即BD ＝AE ，∵BE ＝7，AD ＝3，∴BD ＝AE ＝＝2∴AB ＝AD +DB ＝3+2＝5．故答案为：5．3．（2021·内蒙古赤峰）如图，ABC EDC △≌△，3cm AC =，5cm DC =，则BE =（）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm 【详解】解：∵ABC EDC △≌△，3AC =，5DC =，∴3,5CE AC CD CB ====，532BE BC CE ∴=-=-=，故选B 。

4．（2021·福建福州）如图，ABC DCB △≌△，35DBC ∠=︒，则AOB ∠的度数为（）A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒ 【详解】解：∵△ABC ≌△DCB ，∠DBC =35°，∴∠ACB =∠DBC =35°，∴∠AOB =∠ACB +∠DBC =35°+35°=70°．故选：B ．5．（2021·重庆·华东师范大学附属中旭科创学校八年级期中）如图，ABC ADE △≌△，若70C ∠=，30B ∠=，35CAD ∠=，则EAC ∠=（）A ．40B ．45C ．50D ．55【详解】解：∵在ABC 中，∠B ＝70°，∠C ＝30°，∴∠BAC ＝180°−∠B −∠C ＝180°−70°−30°＝80°， ∵△ABC ≌△ADE ，∴∠EAD ＝∠BAC ＝80°，∴∠EAC ＝∠EAD −∠CAD ＝80°−35°＝45°，故选：B ．6．（2022·江西吉安·八年级期中）如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC 方向平移得到△DEF ．若10AB =cm ，6BE =cm ，4DH =cm ，则图中阴影部分面积为（）A ．47cm 2B ．48 cm 2C ．49 cm 2D ．50 cm 2 【详解】解：ABC 沿BC 方向平移得到DEF ，10DE AB ∴==cm ，ABC ≌DEF ，ABC DEF S S ∴=△△，1046HE DE DH =-=-=（cm ），∴CEH CEH ABEH S SS S +=+阴影梯形，()16106482ABEH S S ∴==⨯+⨯=阴影梯形（cm 2），故B 正确．故选：B ．题型2：五种判定方法的选择7．（2022·江西）如图，已知AD BD ⊥，BC AC ⊥，AC BD =．则CAB DBA △△≌的理由是（）A ．HLB ．SASC ．AASD ．ASA 【详解】证明：∵AD ⊥BD ，BC ⊥AC ，∴∠C ＝∠D ＝90°，在Rt △CAB 和Rt △DBA 中，AB BA AC BD =⎧⎨=⎩，∴Rt △CAB ≌Rt △DBA （HL ）．故选：A ． 8．（2021·河南·濮阳）已知△ABC 和△DEF ，下列条件中，不能保证△ABC ≌△DEF 的是( ) A ．AB =DE ，AC =DF ，BC =EFB ．∠A =∠D ， ∠B =∠E ，AC =DF C ．AB =DE ，AC =DF ，∠A =∠D D ．AB =DE ，BC =EF ， ∠C =∠F【详解】A 选项对应判定定理中的SSS ，故正确；B 选项对应判定定理中的AAS ，故正确；C 选项对应判定定理中的ASA ，故正确；D 选项则为SSA ，两边加对角是不能判定三角形全等的，故错误．故选D ．9．（2022·湖南邵阳）下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（）A ．一个锐角和一条斜边分别对应相等B ．两条直角边分别对应相等C ．一条直角边和斜边分别对应相等D ．两个锐角分别对应相等【详解】解：A 、一个锐角和一条斜边分别对应相等的两个直角三角形可以根据AAS 判定全等，故不符合题意；B 、两条直角边分别对应相等的两个直角三角形可以根据SAS 判定全等，故不符合题意；C 、一条直角边和斜边分别对应相等的两个直角三角形可以根据HL 判定全等，故不符合题意；D 、两个锐角分别对应相等的两个直角三角形根据AAA 不能判定全等，故符号题意；故选：D ．10．（2022·河北·平乡）已知如图，要测量水池的宽AB ，可过点A 作直线AC ⊥AB ，再由点C 观测，在BA 延长线上找一点B '，使ACB ACB '∠∠＝，这时只要出AB '的长，就知道AB 的长，那么判定ABC ∆≌AB C ∆'的理由是（）A ．ASAB ．AASC ．SASD ．HL 【详解】解：∵AC ⊥AB ，∴90CAB CAB ∠=∠'=︒，在ABC ∆和AB C ∆'中，ACB ACB AC AC CAB CAB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠'=∠⎩'，∴ABC ∆≌()ASA AB C ∆'，∴AB AB '=．故选A ．11．（2022·辽宁大连）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），要测量工件内槽宽AB ，只需测量A B ''的长度即可．AOB A OB ''≌的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS【详解】根据题意有：BO B O '=，AOB A OB ''∠=∠（对顶角相等），AO A O '=，即有AOB A OB ''≌(SAS)，故选：B ．12．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，借助剩余的图形，他很快就画出一个三角形与书上的三角形全等，这两个三角形全等的依据是______．【详解】解：根据图形可知上方和右下的角还能确定，右边的边也能确定，属于两角及其夹边能确定，即ASA 模型．故答案是：ASA ．题型3：添加一个条件，使两三角形全等13．如图，已知MB ＝ND ，∠MBA ＝∠NDC ，下列条件中不能判定△ABM ≌△CDN 的是（）A．∠M＝∠N B．AM∥CN C．AB＝CD D．AM＝CN【解答】解：A、∠M＝∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；B、AM∥CN，得出∠MAB＝∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意．C、AB＝CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故C选项不符合题意；D、根据条件AM＝CN，MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故D选项符合题意；故选：D．14．如图，已知∠ADB＝∠CBD，下列所给条件不能证明△ABD≌△CDB的是（）A．∠A＝∠C B．AD＝BC C．∠ABD＝∠CDB D．AB＝CD【解答】选：D．15．如图，已知∠1＝∠2，要使△ABC≌△CDA，还需要补充的条件不能是（）A．AB＝CD B．BC＝DA C．∠B＝∠D D．∠BAC＝∠DCA【解答】解：A、根据AB＝CD和已知不能推出两三角形全等，错误，故本选项正确；B、∵在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（SAS），正确，故本选项错误；C、∵在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（AAS），正确，故本选项错误；D、∵在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（AAS），正确，故本选项错误；故选：A．16．（2021·四川）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件之一：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C ＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【详解】解：∵∠1＝∠2，∴∠CAB ＝∠DAE ，∵AC ＝AD ，∴①当AB ＝AE 时，可根据“SAS”判断△ABC ≌△AED ；②当BC ＝ED 时，不能判断△ABC ≌△AED ； ③当∠C ＝∠D 时，可根据“ASA”判断△ABC ≌△AED ；④当∠B ＝∠E 时，可根据“AAS”判断△ABC ≌△AED ．故选：C ．17．（2022·浙江）如图，已知∠A ＝∠D ，EF ∥BC ，请在空格上添加一个适当的条件，使得△ABC ≌△DEF ，则添加的这个条件是________（只要填上一个满足的条件即可）．【详解】解：∵EF ∥BC ，∴∠EFD ＝∠ACB ，∵∠D ＝∠A ，∴当DF ＝AC 时，△ABC ≌△DEF （ASA ）， ∴可以添加条件：AC ＝DF 或AF ＝CD ．故答案为：AC ＝DF 或AF ＝CD (答案不唯一)．18．（2022·浙江）如图AB ＝DC ，若要证明△ABC ≌△DCB ，需要补充的一个条件是________（写出一个即可）．【详解】解：∵AB ＝DC ，BC ＝CB ，∴可补充AC ＝DB ，在△ABC 和△DCB 中，AB DC BC CB AC DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DCB （SSS ）；可补充∠ABC ＝∠DCB ，△ABC 和△DCB 中， AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DCB （SAS ），故答案为：AC ＝DB 或∠ABC ＝∠DCB ．题型4：尺规作图的依据19．（2021·湖北荆州）如图，用直尺和圆规作两个全等三角形，能得到△COD ≅△C ′O ′D ′的依据是（）A ．SASB ．SSSC ．ASAD ．AAS 【详解】解：由作法得OD =OD ′=OC =OC ′，CD =C ′D ′，所以可根据“SSS ”证明△COD ≌△C 'O 'D '．故选：B ．20．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M ，N 重合，过角尺顶点C 作射线OC ．由此作法便可得△MOC ≌△NOC ，其依据是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS【解答】解：∵在△ONC 和△OMC 中，∴△MOC ≌△NOC （SSS ），∴∠BOC ＝∠AOC，故选：A ． 21．（2021·广东·广州）如图，用直尺和圆规作一个三角形O1A 1B 1，使得O 1A 1B 1≌OAB 的示意图，依据（）定理可以判定两个三角形全等A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS【答案】A 【详解】解：用直尺和圆规作一个三角形O 1A 1B 1，在一条直线上取一点1O ，以点1O 为圆心，OA 为半径作弧，与直线交于点1A ，∴11OA O A =，以1O 为圆心，OB 为半径作弧，以1A 为圆心，AB 为半径作弧，两弧交于点1B ，∴11OB O B =，11AB A B =，∴O 1A 1B 1≌OAB 依据的是“边边边”，故选：A ．22．（2022·山西）如图，点C 在AOB ∠的边OB 上，利用尺规过点C 作OA 的平行线CM ，其作图过程如下：在OB 上取一点D ，以O 圆心、OD 为半径画弧，弧交OA 于点F ，再以C 圆心、OD 为半径画弧，该弧与CB 交于点E ，再以E 为圆心、DF 为半径画弧，圆心为C 的弧与圆心为E 的弧交于点M ，作射线CM ，则OF OD CM CE ===，DF EM =，可得CEM ODF ≌，进而可以得到BCM AOB ∠=∠，CM OA ∥，以上作图过程中的依据不包括（）A ．圆的半径相等B ．两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．同位角相等，两直线平行D ．全等三角形的对应角相等【详解】根据圆的半径相等有：OF =OD =CE =CM ，DF =ME ，则有△OFD ≌△CME ，根据全等的性质：对应角相等有∠FOD =∠MCE ，根据同位角相等，两直线平行有：CM OA ∥，根据上述证明过程可知：B 选项没有作为依据参与证明，故选：B ．题型5：角平分线的性质23．（2022·湖南常德）如图，在ABC 中，∠C =90°，按以下步骤作图：①以点A 为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC ，AB 于点M ，N ；②分别以点M 和点N 为圆心，大于12MN 的长为半径作圆弧，在∠BAC 内，两弧交于点P ；③作射线AP 交边BC 于点D ，若CD =3，AB =8，则ABD 的面积是（）A ．48B ．24C ．12D ．6【详解】解：由作法得AD 平分∠BAC ，过D 点作DH ⊥AB 于H ，如图，∵∠C ＝90°，∴DC ⊥AC ，∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ，DH ⊥AB ，∴DH ＝DC ＝3，∴△ABD 的面积12=⨯AB ×DH 12=⨯8×3＝12．故选：C ． 24．（2022·陕西渭南·八年级期中）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，10AB =，15ABD S =，则CD 的长为（）A ．3B ．4C ．6D ．8【详解】解：如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，∵∠C =90°，AD 平分∠BAC ，∴DE CD =，∴11101522S ABD AB DE DE =⋅=⨯⋅=，解得3DE =，∴3CD =；故选：A ．25．如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，S △ABC ＝36cm 2，AB ＝18cm ，BC ＝12cm ，则DE ＝ cm ．【解答】解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，∵BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB ，∴DE ＝DF ，∵AB ＝18cm ，BC ＝12cm ，∴S △ABC ＝S △ABD +S △BCD ＝AB •DE +BC •DF ＝DE •（AB +BC ）＝36cm 2， ∴DE ＝2.4（cm ）．故答案为：2.4．26．（2022·山东青岛）如图，在△ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的角平分线交于点O ，AB =6cm ，BC =9cm ，△ABO的面积为182cm ，则△BOC 的面积为（）2cmA．27 B．54 C．272D．108【详解】解：如图，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，∴S△ABO=12AB OE⋅=18cm2，∵AB=6cm，∴OE=6cm，∵OB是∠ABC的角平分线，OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，∴OD=OE=6cm，∴S△BOC=11962722BC OD⋅=⨯⨯=(cm2），故选：A．27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是（）A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD，又∵AC＝BC，AC＝AE，∴AC＝BC＝AE，∴△DBE的周长＝DE+BD+EB＝CD+BD+EB＝BC+EB＝AE+EB＝AB，∵AB＝6cm，∴△DBE的周长＝6cm．故选：A．题型6：全等三角形性质与判定的小压轴题28．（2022·全国）如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（）①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．①②③④ 【详解】如图，∵∠EAF =∠BAC ，∴∠BAF =∠CAE ；在△AFB 与△AEC 中，AF AE BAF CAE AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AFB ≌△AEC （SAS ），∴BF =CE ；∠ABF =∠ACE ，∴A 、F 、B 、C 四点共圆，∴∠BFC =∠BAC =∠EAF ；故①、②、③正确，④错误．故选A ．29．（2020·江西·宜春）如图，△ABC 中，∠C =90°、AD 是角平分线，E 为AC 边上的点，DE =DB ，下列结论：①∠DEA ＋∠B =180°；② ∠CDE =∠CAB ；③ AC =12(AB ＋AE )；④ S △ADC =12S 四边形ABDE ，其中正确的结论个数为( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【详解】在AB 上截取AF ＝AE ，交AB 于点F ，如图所示：∵AD 是∠CAB 的角平分线，∴∠EAD ＝∠FAD,在△AED 和△AFD 中，()AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝公共边，∴△AED ≌△AFD （SAS ），∴∠DEA ＝∠DFA ，DF ＝DE ，又∵DE =DB ，∴DF ＝DB ，∴∠DFB ＝∠B ，又∵∠DFA+∠DFB ＝180o ，∠DEA ＝∠DFA ，∴∠DEA ＋∠B=180°(等量代换),又∵∠CED+∠AED ＝180o ,∴∠CED=∠B,又∵∠C+∠CED+∠CDE ＝180o ，∠C+∠CAB+∠B ＝180o ，∴∠CDE ＝∠CAB ，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，如图所示：∵DG ＝DB （已证），∴DG 是BF 的垂直平分线，FG ＝BG ，∵AD 是是∠CAB 的角平分线，∠C =90°，DG ⊥AB ，∴DC ＝DG ，在△ADC 和△AGD 中90oC AGD CAD GAD AD AD ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△AGD （AAS ），∴AC ＝AG ，又∵AC ＝AE+CE ，AG ＝AF+FG ， ∴AE+CE ＝AF+FG ，又∵AE ＝AF ，∴CE ＝FG ，又∵FG ＝BG ，∴CE ＝BG ， ∴AC ＝AE+BG ，又∵AB+AE ＝AG+BG+AE ，AG ＝AC ，∴AB+AE ＝AC+AC ＝2AC ，即AC=12(AB ＋AE)， ∵S 四边形ABDE ＝S △ABD+S △AED ＝11··22AB DG AE DC +， ∴S 四边形ABDE 11·()2?22DG AB AE DC AC DC AC =+=⨯⨯=，又∵S △ADC ＝1•2AC DC ，∴S △ADC=12S 四边形ABDE.故①②③④都正确，共计4个正确.故选A.30．（2022·黑龙江）如图，已知AF AB =，60FAB ∠=︒，AE AC =，60EAC ∠=︒，CF 和BE 交于O 点，则下列结论：：①CF BE =；②120COB ∠=︒；③OA 平分FOE ∠；④OF OA OB =+．其中正确的有（）A ．①②B ．①②③C ．①②③④D ．①②④【详解】解：∵AB AF =，AC AE =，60FAB EAC ∠=∠=︒，FAB BAC EAC BAC ∴∠+∠=∠+∠，即FAC BAE ∠=∠，在ABE ∆与AFC ∆中，AB AF BAE FAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE AFC SAS ∴∆≅∆，BE FC ∴=，AEB ACF ∠=∠，故①正确，180EAN ANE AEB ∠+∠+∠=︒，180CON CNO ACF ∠+∠+∠=︒，ANE CNO ∠=∠，60CON CAE MOB ∴∠=∠=︒=∠，180120BOC CON ∴∠=︒-∠=︒，故②正确，连接AO ，过A 分别作AP CF ⊥与P ，AM BE ⊥于Q ，如图1，ABE AFC ∆≅∆，ABE AFC S S ∆∆∴=，∴1122CF AP BE AQ =，而CF BE =，∴=AP AQ ，OA ∴平分FOE ∠，所以③正确，在OF 上截取OD OB =，60BOF ∠=︒，OBD ∴∆是等边三角形，BD BO ∴=，60DBO ∠=︒，FBD ABO ∴∠=∠，BF AB =，()FBD ABO SAS ∴∆≅∆，DF OA ∴=，OF DF OD OA OB ∴=+=+；故④正确；故选：C ．31．（2021·湖南湘西）如图，直线AC 上取点B ，在其同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE ，CD 与GF ，下列结论正确的有（）① AE = DC ；②∠AHC =120︒；③△AGB ≌△DFB ；④BH 平分∠AHC ；⑤GF ∥ACA ．①②④B ．①③⑤C ．①③④⑤D ．①②③④⑤ 【详解】解：∵△ABD 和△BCE 都是等边三角形，∴BA ＝BD ，BE ＝BC ，∠ABD ＝∠CBE ＝60°，∵∠DBE ＝180°−60°−60°＝60°，∴∠ABE ＝∠DBC ＝120°，∵BA ＝BD ，∠ABD ＝∠DBC ，BE ＝BC ，∴△ABE ≌△DBC （SAS ），∴AE ＝DC ，所以①正确；∠BAE ＝∠BDC ，∵∠BDC ＋∠BCD ＝∠ABD ＝60°， ∴∠BAE ＋∠BCD ＝60°，∴∠AHC ＝180°−（∠BAH ＋∠BCH ）＝180°−60°＝120°，所以②正确； ∵∠BAG ＝∠BDF ，BA ＝BD ，∠ABG ＝∠DBF ＝60°，∴△AGB ≌△DFB （ASA ）；所以③正确；∵△ABE ≌△DBC ，∴AE 和DC 边上的高相等，即B 点到AE 和DC 的距离相等，∴BH 平分∠AHC ，所以④正确；∵△AGB ≌△DFB ，∴BG ＝BF ，∵∠GBF ＝60°，∴△BGF 为等边三角形， ∴∠BGF ＝60°，∴∠ABG ＝∠BGF ，GF ∥AC ，所以⑤正确．故选D ．题型6：动点问题的小压轴题32．（2022·全国）如图，在△ABC 中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以2厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q 的运动速度为______时，能够在某一时刻使BPD △与△CQP 全等．【详解】解：∵AB =10cm ，BC =8cm ，点D 为AB 的中点，∴BD =12×10=5cm ，设点P 、Q 的运动时间为t ，则BP =2t ，PC =（8﹣2t ）cm①当△BPD ≌△CQP 时，即BD =PC 时，8﹣2t =5，解得：t =1.5，则BP =CQ =2t =3，故点Q 的运动速度为：3÷1.5=2（厘米/秒）；②当BPD ≌△CPQ ，即BP =PC ，CQ=BD=5时，∵BC =8cm ，∴BP =PC =4cm ，∴t =4÷2=2（秒），故点Q 的运动速度为52 2.5÷=（厘米/秒）；故答案为2或2.5厘米/秒．33．（2019·河北秦皇岛）如图，AB=4cm ，AC=BD=3cm ．∠CAB=∠DBA=60°，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t （s ），则点Q 的运动速度为_____cm/s ，使得A 、C 、P 三点构成的三角形与B 、P 、Q 三点构成的三角形全等．【详解】试题分析：设点Q 的运动速度是xcm/s ，有两种情况：①AP=BP ，AC=BQ ，②AP=BQ ，AC=BP ，列出方程，求出方程的解即可．解：设点Q 的运动速度是xcm/s ，∵∠CAB=∠DBA=60°，∴A 、C 、P 三点构成的三角形与B 、P 、Q 三点构成的三角形全等，有两种情况：①AP=BP ，AC=BQ ，则1×t=4﹣1×t ，解得：t=2，则3=2x ，解得：x=1.5；②AP=BQ ，AC=BP ，则1×t=tx ，4﹣1×t=3，解得：t=1，x=1，故答案为1或1.5．34．（2022·河南·郑州）在长方形ABCD 中，AB =CD =6cm ，BC =10cm ，点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动，与此同时点Q 从点C 出发，以a cm/s 的速度沿CD 向点D 运动，当点P 到达C 点或点Q到达D点时，P、Q运动停止，当a=___________时，△ABP与△PQC全等．【详解】∵△ABP与△PCQ全等，∠B=∠C，∴点B的对应点为点C，∴点A的对应点为点P或点Q，设经过t秒后△ABP与△PQC全等，则BP=2t，CQ=at，①当点A的对应点为点P时，AB=PC=6cm，BP=CQ=at，∵BC=10cm，∴BP=10-PC=10-6=4cm，∵BP=CQ，∴2t=4，解得：t=2，∵CQ=at=4，t=2，∴a=2；②当点A的对应点为点Q时，AB=QC=at，BP=CP，∵AB=6cm，∴QC=at=6cm，∵BP=CP，BC=10cm，∴BP=CP=5cm，即：2t=5，解得：t=52，∴at=52a=6，解得：a=2.4，故答案为：2或2.4．。