开放性数学模型练习
小学数学思维训练的八种类型
小学数学思维训练的八种类型1.论证思维训练：通过分析问题，提出合理的论证和证明方法，帮助学生培养逻辑思维和推理能力。
例如，让学生证明数列的前n项和公式。
2.推理思维训练：通过观察和分析，找出规律，进行推理，解决问题。
例如，让学生推理填数题，找出满足条件的数字。
3.综合思维训练：通过综合运用多种解题方法和知识点，解决复杂的问题。
例如，让学生在解决长方体体积问题时，综合运用立方体体积公式和图形变换。
4.问题解决思维训练：通过提出有挑战性的问题，培养学生解决实际问题的能力。
例如，让学生计算购物所需金额，找零问题。
5.模型构建思维训练：通过将实际问题转化为数学模型，解决问题。
例如，让学生使用比例或百分数模型解决实际情境问题。
6.空间思维训练：通过观察和分析图形，培养学生的空间想象力和图形推理能力。
例如，让学生判断图形的对称性、平移和旋转关系。
7.抽象思维训练：通过引导学生进行抽象思维，找到问题本质，解决问题。
例如，让学生通过例子和模式发现数学规律，解决连等方程的问题。
8.创造性思维训练：通过启发学生的创造力，进行开放性的问题探究和解决。
例如，让学生设计一个数学游戏，激发学生的兴趣和想象力。
这些思维训练类型各有侧重点，通过指导学生进行不同类型的训练，可以全面提高学生的数学思维能力，培养学生的创新精神和解决问题的能力。
在实际教学中，教师可以根据不同年级和学生的实际情况，选择适合的类型进行训练，使学生更好地掌握数学知识并运用于实际。
同时，也要注重培养学生的数学思维习惯和方法，提高他们解决问题的自信心。
以上是对小学数学思维训练的八种类型的简要介绍，希望能对您有所帮助。
“双减”政策下初中数学开放性作业的设计优秀获奖科研论文
“双减”政策下初中数学开放性作业的设计优秀获奖科研论文 2021 年7 月24 日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，要求减轻学生作业负担，包括量化各个年级的作业时间，压减作业总量和时长，要求教师提高作业设计质量等。
作业是巩固初中数学课堂教学质量的重点环节，具有培育能力、发展思维的作用，“双减”政策给初中数学的教学带了巨大的挑战。
长期以来，初中数学作业难度高，作业量大，为了追求考试成绩，常常采用“题海战术”，通过大量刷题来巩固课堂所学。
这样导致学生疲于作业，数学作业成了学生的学习负担。
在“双减”政策下，怎样优化初中数学作业设计，设置出具有可行性的作业方案，引导学生深度思考，挖掘其学习潜能，是数学教师需要面临的挑战。
在这种背景下，初中数学开放性作业的设计成了数学教师响应“双减”政策的最佳途径。
一、开放性作业的应用价值根据义务教育“双减”政策的要求，要求减轻学生的作业负担，这给初中数学的作业布置带来了巨大的挑战，如何在减轻学生作业负担和巩固学生所学知识之间找到合适的作业设计，成了教师当前研究的重点。
而开放性作业是教师以课程内容为出发点，在充分考虑学生身心特点、教学要求的同时，将学生实际生活、学习能力进行有效结合，从而设计出的具有与创造性、启发性、实践性的数学作业形式，其能很好地符合“双减”的要求。
利用开放性作业，能有效解决传统数学作业占用学生大量时间的问题，显著提高了学生完成作业的积极性和有效性，培育学生的综合能力。
具体来说，开放型作业在“双减”政策下的应用价值具体体现在下述几个方面：（一）激发深层次思考理想的数学作业，应是学生在着手做的过程中，能引发学生回忆，帮助学生回顾课堂中获取的内容。
如教师的作业有什么含义？还需在哪些方面完善知识结构？在此次作业中有什么收获？开放性作业能让学生以积极的姿态参与进来，有助于引发学生的深层次思考，激活已有知识，明确问题，进行针对性的完善。
人教版(B版)高中数学必修第2册 数学建模活动(3)
提出问题 建立模型 参数求解 模型检验
你能进一步改进 这个模型吗？
可以以第9段为界 分段描述或者更换函数 模型.
若以第9段为界分段描述： 将 H (9) 153.6, H (11) 180.79 代入 H (x) AeBx ，可解得：
H (x) 74.096e0.081x ,
所以
0.458e0.670x , H (x) 74.096e0.081x ,
年龄/岁 身高/cm 年龄/岁 身高/cm
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 99.4 103.1 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4
你能看出7岁以下女童身高的哪些生长规律？
0
-3.53 0
0
x 8, x 9.
4 7.73
6.68 -1.05
10 174.9
-8.34
69.56
5 16.55 13.05 -3.5
11 180.79
0
0
6 经计算， 32.55 在H(x)模型 25.51 下，误差的 -7.04 平方和约为
145.06.
因此，我们可以通过计算不同模型下误差的平方和 来比较模型之间的优劣. 在玉米植株生长规律问题中，
对于女童身高生长规律问题，利用
提出问题
g(x) 26.7 x 49.7 计算对应函数值，可得下表：
年龄/岁 0 0.5
1
1.5
2
2.5
3 建立模型
身高/cm 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3
g(x) 49.7 68.6 76.4 82.4 87.5 91.9 95.9 参数求解
数学建模(数学分支)
建模背景
数学技术
建模应用
近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来 越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、管理、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领 域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。
数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质 属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展 提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现 实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提 炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。
应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立数学模 型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和 研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的 理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础、敏锐的洞察力和想象力、对实际问题的浓厚兴趣 和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术 转化的主要途径。数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代 科技工作者必备的重要能力之一。
为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次科技人才，数学建模已经在大学教育中逐步开展，国内 外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛，将数学建模教学和竞赛作为高等 院校的教学改革和培养高层次的科技人才的一个重要方面，许多院校正在将数学建模与教学改革相结合，努力探 索更有效的数学建模教学法和培养面向21世纪的人才的新思路，与我国高校的其它数学类课程相比，数学建模具 有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点，数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、 不断完善和提高的过程。为了改变过去以教师为中心、以课堂讲授为主、以知识传授为主的传统教学模式，数学 建模课程指导思想是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。
亚太杯数学建模竞赛试题
亚太杯数学建模竞赛试题1. 问题背景：亚太杯数学建模竞赛（以下简称本竞赛）是一项旨在促进亚太地区学生数学建模能力的比赛。
每年，学生将面对一系列与实际问题相关的数学建模问题，并需要合理运用数学技术和模型来解决这些问题。
为了提高学生的分析、推理、和解决问题的能力，本竞赛试图激发学生的创造性思维和团队合作精神。
2. 问题描述：本次竞赛的题目描述如下：题目一：在城市规划中，绿化带的设计起着重要的作用。
为了使绿化带在不同季节都能保持美观，需要考虑各种植物的生长速度以及季节变化导致的落叶现象。
请设计一个数学模型来优化城市的绿化带规划。
模型应考虑以下因素：（1）绿化带中植物的生长速度和季节变化对落叶的影响。
（2）城市居民对绿化带景观的满意度。
（3）绿化带规划的成本和可持续性。
题目二：人们对于自然灾害的预测与防范一直是重要的研究课题。
请你设计一个数学模型，基于历史数据预测未来某地区地震的概率，以提供决策者制定更精确的防灾措施。
模型应考虑以下因素：（1）地震历史数据的分析与挖掘，确定可能存在的规律和模式。
（2）地震活动相关因素，如构造背景、应力积累和释放等。
（3）提供一种基于预测结果的决策方案，以减轻地震灾害的影响。
3. 注意事项：本竞赛试题为开放性问题，参赛选手应根据题目要求，合理选择数学方法与模型，并进行论证与分析。
在解决问题的过程中，参赛选手应注意逻辑严谨、数据准确性以及结果的可行性。
同时，参赛选手也应注意团队合作，充分利用各自的优势，积极分享和讨论解决方案。
祝愿各位参赛选手在本次竞赛中取得优异的成绩！。
大学生数学建模技能测试题
大学生数学建模技能测试题考虑现实世界问题(不要求解答):在一条新公共汽车路线上，要沿路设置公共汽车站且每个车站都需要遮雨棚。
公交公司希望这种服务既要满足顾客的需求同时又不能超过公交车的要求。
请问车站设置在什么位置，才能使尽可能多的人享受到这种服务？在设计一个简单的数学模型时，您认为以下的假定哪个最不重要?A.假设仅仅能建一个遮雨棚B.假设路是平直的C.假设晴天是雨天的两倍D.假设公共汽车运行的是半小时的时间表E.假设顾客不会走很远的路去乘车2考虑现实世界问题(不要求解答):沿一条新电车路线，安置电车站。
且每个车站都需要遮雨棚。
电车公司希望这种服务既要满足顾客的需求同时又不能超过电车的要求。
请问车站设置在什么位置，才能使尽可能多的人享受到这种服务？在设计一个简单的数学模型时，您认为以下的假定哪个最不重要?A.假设顾客不会走很远的路去乘电车B.假设电车运行的是20 分钟的时间表C.假设电车线是单轨道D.假设电车司机能从电车的前后都可以驾驶E.假设电车站可以设置在任何位置。
3考虑现实世界问题(不要求解答):一个步行者要穿过一条交通繁忙的马路，假设马路是一条直的单行机动车道。
在设计一个是否需要设置人行横道的简单数学模型时，您认为以下假定哪个最不重要?A 横穿马路将由行人通过按钮来控制B 交通流量是恒定的C 车流速度是常数并且等于限制速度D. 行人以恒定的速度通过马路E. 行人不会走很远路来由此穿过马路4考虑现实世界问题(不要求解答)自行车轮子的最佳尺寸是多少?以下哪个问题最能说明骑车的稳定性？A 轮子与脚蹬间有链条相连吗?B 骑车人有多高?C 自行车传动装置吗?D 能骑上去的最高路缘是多少？E. 地形情况怎样？5考虑现实世界问题(不要求解答)婴儿车轮子的最佳尺寸是多少?下面的哪一个陈述的问题最能表明小孩坐车感到平稳?A.婴儿车有三个轮子还是四个轮子?B.前后轮子之间的距离是多少?C.座位装有软垫吗？D.孩子有多大?E.是柏油碎石路面还是混泥土路面?6考虑现实世界问题(不要求解答)您希望将您的汽车倒入已停好的一排车中间的一个空车位。
数学建模试题卷及答案
西安邮电大学2011-2012第一学期《数学建模》选修课试题卷班级：软件1003班姓名：学号：成绩：一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)1．模型答：模型：所研究的系统、过程、事物或概念的一种表达形式，也可指根据实验、图样放大或缩小而制作的样品，一般用于展览或实验或铸造机器零件等用的模子。
例如飞机模型，用压制或浇灌方法使材料成为一定形状的工具。
通称“模型”。
2．数学模型答：数学模型：用数学语言描述的一类模型。
数学模型可以是一个或一组代数方程、微分方程、差分方程、积分方程或统计学方程，也可以是它们的某种适当的组合，通过这些方程定量地或定性地描述系统各变量之间的相互关系或因果关系。
除了用方程描述的数学模型外，还有用其他数学工具，如代数、几何、拓扑、数理逻辑等描述的模型。
需要指出的是，数学模型描述的是系统的行为和特征而不是系统的实际结构。
3．抽象模型答：抽象模型：是三维建模里这么称呼的就跟抽象雕塑的一样的。
实际不存在，理论上却存在，并用思维对事物进行客观认识的理论或者框架。
对获得的感性材料和感性经验，运用理性思维进行一番老粗取梢、去伪存真、由此及彼、由表及里的改造制作工夫，去掉事物非本质的、表面的、偶然的东西，抽取出事物本质的、内在的、必然的东西，揭示客观对象的本质和规律而建立的模型。
二、简答题（每小题满分8分，共24分）1．模型的分类答：按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类，形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等；抽象模型：思维模型、符号模型，数学模型等。
2．数学建模的基本步骤答：（1）建模准备：数学建模是一项创新活动，它所面临的课题是人们在生产和科研中为了使认识和实践进一步发展必须解决的问题。
建模准备就是要了解问题的实际背景，明确建模的目的，掌握对象的各种信息，弄清实际对象的特征，情况明才能方法对；（2）建模假设：根据实际对象的的特征和建模的目的，在掌握必要资料的基础上，对原型进行抽象、简化，把那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来，简化掉那些非本质的因素，使之摆脱原型的具体复杂形态，形成对建模有用的信息资源和前提条件，并且用精确的语言作出假设，是建模过程关键的一步。
基于表现性评价的小学数学开放性作业的设计与评价
提高作业的质量已经成为当前非常重要的议题，也一直是难点。
通过借鉴“创造有意义的学习经历”的教学观，有研究者提炼出“作为有意义的学习经历”的作业观，从“学习经历”的视角认识和设计作业，有助于破解“作业负担”的难题[1]。
作业或者评价要指向学生的素养发展,开放性作业是一个好的思考方向，其指条件、解法、答案具有多样性和不确定性，并具有开放性、灵活性、多变性、新颖性、趣味性等特点，对提高学生的数学素质、培养学生的思维能力和创新精神具有不可忽视的作用[2]。
表现性评价评的是居于课程核心的、需要持久理解的目标，是在数学教学中指向深度理解与学习的关键概念[3]。
因此，可以将表现性评价镶嵌于小学数学开放性作业的任务设计中，精准评价学生对数学知识的理解状况。
基于以上思考，开发基于表现性评价的小学数学开放性作业时，可以从以下四个方面考虑：一、目标具体化小学数学开放性作业的设计首先需要理解单元核心目标的内涵，厘清学生达成目标的表现，并依据核心概念设计开放性的作业。
在人教版教材（下同）一年级上册第三单元“1~5的认识和加减法”学习后，教师设计了让学生用画图的方式表征加减法运算含义的开放性作业（如图1），目的是反馈学生是否理解加减法的含义。
2+3=55-3=2图1一年级上册开放性作业这部分内容的核心目标是“初步理解加减法的含义”。
加减法的含义是什么？学生理解加减法的含义又有哪些表现？在教材中并没有给出明确的说明，主要是通过情境图，让学生初步理解加法和减法的意义，建构加法和减法的模型[4]。
在本单元，加减法模型主要涉及“添加型”“拿走型”“部分-部分-整体型”。
模型（情境）、文字与符号之间的转换是促进学生理解运算意义的有效方法。
因此，开放性作业设计的目标应指向学生对加减法模型的理解，引导学生将“符号表征”转化成“模型（情境）表征”。
学生画图表征加减法含义的水平层次是不一样的。
从图2可以看出，学生清晰、准确地表基于表现性评价的小学数学◇阳海林何莎章勤琼计设业辑专究研征了加法的两种模型：左边是“部分-部分-整体型”，小女孩左手拿了3颗糖、右手拿了2颗糖，合起来是5颗糖；右边是“添加型”，鱼缸里原来有2条金鱼，又倒进去3条，现在一共有5条金鱼。
北师大版数学六年级优秀作业案例
北师大版数学六年级优秀作业案例
一、作业目标：
1. 巩固学生的数学知识，特别是代数和几何的基础概念。
2. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
3. 引导学生发现数学在实际生活中的应用，培养其数学兴趣。
二、作业内容：
1. 基础练习：设计一系列的填空题、选择题和简答题，涵盖本单元的基础知识点。
2. 应用题：设计一些实际问题，如建筑、购物、旅游等场景，要求学生用数学模型进行解答。
3. 开放性问题：设计一些开放性问题，鼓励学生进行创新思考，例如：“如果你是一个城市的规划师，你会如何运用数学知识来规划城市？”
4. 自查与反思：要求学生总结本次作业中的难点和错误，反思学习过程中的不足，并提出改进计划。
三、作业形式：
1. 个人作业：要求学生独立完成作业，培养其独立思考的能力。
2. 小组作业：将学生分成小组，共同完成一些复杂的实际问题，培养其团队合作和沟通能力。
3. 家长参与：邀请家长参与孩子的作业过程，共同见证孩子的成长。
四、作业评价：
1. 客观题评价：对于基础练习的客观题部分，使用标准答案进行评价。
2. 主观题评价：对于应用题和开放性问题，注重学生的解题思路和过程，而非单一的答案。
3. 综合评价：结合学生的自查与反思，给予学生全面的学习反馈和建议。
五、作业反思：
本次作业设计旨在培养学生的数学综合能力，通过多元化的题目类型和作业形式，激发学生的学习兴趣。
同时，我们也意识到在作业评价中需要更加注重学生的思考过程和实际应用能力。
在未来的教学中，我们将继续优化作业设计，更好地满足学生的学习需求。
全国大学生数学建模竞赛历年试题
（浙江大学：刘祥官,李吉 分析法、PETRIБайду номын сангаас法、图论方
此）
鸾）
法、排队论方法
最优捕鱼策略问题（北京师范 大学：刘来福）
微分方程、积分、优化（非线性 规划）
节水洗衣机问题（重庆大学： 付鹂）
非线性规划
零件参数设计问题（清华大 学：姜启源）
截断切割问题（复旦大学:谭 微积分、非线性规划、随机模拟 永基，华东理工大学:俞文
微分方程
数码相机定位
非线性方程模型
制动器试验台的控制方法分析
DVD在线租赁问题(清华大学: 谢金星等)
GM
0-1规划 多目标规划
艾滋病疗法的评价及疗效的预
测（天大：边馥萍）
乘公交，看奥运（吉大：方沛
辰，国防科大：吴孟达）
高等教育学费标准探讨
（开放性题目）
眼科病床的合理安排
1999 2000 2001
拟合、规划
足球排名次问题（清华大学： 矩阵论、图论、层次分、整数
蔡大用）
规划
逢山开路问题（西安电子科技 大学：何大可）
图论、插值、动态规划
锁具装箱问题（复旦大学:谭 永基，华东理工大学:俞文 图论、组合数学 此）
飞行管理问题（复旦大学:谭
天车与冶炼炉的作业调度问题 非线性规划、动态规划、层次
永基，华东理工大学:俞文 非线性规划、线性规划
酒后开车问题（清华大学：姜 启源）
微分方程
雨量预报方法的评价问题(复 旦大学:谭永基)
模糊评价 插值
易拉罐形状和尺寸的最优设计
（北理工：叶其孝）
手机“套餐”优惠几何(信息
工程大学:韩中庚)
地面搜索
一笔画问题、数学规划模型
专题05 开放性问题-2023年高考数学复习(二三轮)专题新构想
专题5 开放性问题开放性试题由于条件、方法与结果的不确定性，所以呈现岀条件开放、过程开放、结论开放等特点，且没有唯一固定答案，因此在教育和评价中有特定的功能．如果说封闭性试题在考査学生思维的严谨性、目标的客观性、方式的规范性上独具优势的话，那么开放性试题则在考査学生思维的灵活性、创造性上更为突出，甚至关注学习者情感、态度和价值观等非智力因素，关注探究性和生成性的考査，所以在评价研究与实践中发挥越来越重要的作用．一、数学开放题的特点除了一般开放题的特点，数学开放题还有独特的特征．传统数学试题的特点是条件都是给定的，而且不多不少，全部应用就可以解题．解题的思路是固定的，即使是一题多解的题目，每种解法的思路也是固定的，只要沿着固定的思路就能解题．解题的结果也是唯一、确定的，能得出确切的结论和数值．而数学开放题具有以下的特点：1．数学开放题的条件是不充分的，需要学生补充条件才能解题，补充的条件不同，解题的思路和解法也会不同．2．题目的结论不是事先给定的，有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答过程中主体的认知结构的重建．3．没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是在求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索．4．实际应用性的开放题，主体必须将生活语言用数学语言将其数学化，建立数学模型才能解决．在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般、更有概括性的结论．二、高考考查开放题的实践开放性试题以核心素养和关键能力为考查目标，在命制开放题时，可以从多方面进行探索尝试，如给出一系列事实或数据，要求考生从中发现问题并归纳结论或阐释原理；设置条件缺失试题，要求考生补充条件，解决问题；给出限制条件，列举满足条件的实例；综合开放等等．1．列举实例，考查学以致用举例题在2013年的高考新题型测试中已经引入，要求考生通过给出已知结论、性质和定理等条件，从题干中获取信息，整理信息，写出符合题干要求的结论或是具体实例．在2021年8省联考中又进一步的测试、考查．例1 （8省联考试卷第15题）写出一个最小正周期为2的奇函数f（x）= ．解：根据奇函数性质可考虑正弦型函数f（x）= A sinωx，A≠0，再利用周期计算ω，选择一个作答即可.由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数f （x ）= A sin ωx ，A ≠0，满足f （－x ）=－A sin ωx =－ f （x ），即是奇函数；根据最小正周期22==ωπT ，可得ω = π．故函数可以是f （x ）= A sin πx ，A ≠0中任一个，可取f （x ）= sin πx ，故答案为f （x ）= sin πx ．例2 （2021年新高考II 卷第14题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x ）： ．① f （x 1·x 2）= f （x 1）·f （x 2）；② 当x ∈（0，+∞）时，)(x f '＞0；③ )(x f '是奇函数．分析：根据幂函数的性质可得所求的f （x ）.解：取f （x ）= x 4，则f （x 1·x 2）=（x 1·x 2）4 = x 14·x 24 = f （x 1）·f （x 2），满足①； )(x f '= 4x 3，x ＞0时有)(x f '＞0，满足②；)(x f '= 4x 3 的定义域为R ，又)(x f -'=－4x 3 =－)(x f '，故)(x f '是奇函数，满足③．故答案为：f （x ）= x 4（答案不唯一，f （x ）= x 2n ，x ∈N * 均满足）说明：熟悉常见基本初等函数的基本性质有利于进行构造．试题要求考生在理解函数性质①②③的基础上从抽象到具体构建出一个函数f （x ）．解题的关键是理解函数性质，第①条为自变量积的函数等于函数的积．第②条是在x 轴正半轴为增函数．第③条导函数是奇函数．则原函数为偶函数．由于答案是开放的，可以有多个答案，例如f （x ）=︱x ︱，f （x ）= x 2 等．试题在考查思维的灵活性方面发挥了很好的作用，同时也给不同水平的考生提供了充分发挥自己数学能力的空间．举例题的特点是条件限定．而满足条件的结论或具体例子有很多，给了考生更大的发挥空间．举例题不同于一般的填空题，一般填空题的正确答案是唯一的，阅卷时与正确答案相同就给分，不相同就不给分．举例题需要阅卷人员逐一验证结论．因此对阅卷人员的要求有所提高，阅卷的工作量也相应增大，这要求阅卷机构配合高考内容改革，增加阅卷的人员投入，提高阅卷人员的业务水平．例3 （2021年高考乙卷文、理科第16题）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 ②⑤或③④ （写出符合要求的一组答案即可）．分析：通过观察已知条件正视图，确定该三棱锥的长和高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形．解：观察正视图，推出三棱锥的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④．故答案为：②⑤或③④．本题不同于举例题，不是要学生构造实例，而是给出实例要求学生选择．但试题没有给岀一个“几何体”的空间图形，只给出这个“几何体”的正视图①，要求考生在所给的图②③④⑤四个图中选出两个分别作为侧视图和俯视图，与①组成这个“几何体”的三视图．试题的正确答案有二种：②⑤或③④，具有一定的开放性．考生可以先从侧视图入手，借助于空间线面关系，确定相应的俯视图；也可以先从俯视图入手，然后选定相应的侧视图．本题不要求学生选岀全部的符合要求的答案，而是选出一个即可，不同的答案对应着不同的思考方案，其思维的灵活性体现在方案的选择上，试题全面考查了考生的空间想象能力，具有较好的选拔性．2．主动选择，鼓励独立思考2020年新高考中考查的结构不良试题是根据高考的特点，考虑到考生付出的劳动进行改造的试题，即不是让考生自己寻找条件，而是给出三个条件，让考生选择．“这样既保持了结构不良试题的特点，又保证了考试的公平性．3侦在新高考的命题实践中，对结构不良试题进行了进一步的研究，命制了改良版的结构不良试题，要求考生自己选择结论成立的条件．例4 （2021年高考甲卷理科第18题）已知数列{ a n }的各项均为正数，记S n 为{ a n }的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．① 数列{ a n }是等差数列；② 数列{n S }是等差数列；③ 213a a =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．分析：首先确定条件和结论，然后结合等差数列的通项公式和前n 项和公式证明结论即可．解：选择①③为条件，②结论．证明过程如下：由题意可得：a 2 = a 1 + d = 3a 1，∴ d = 2a 1，数列的前n 项和21111(1)(1)222n n n n n S na d na a n a ++=+=+⨯=， 故1111)1(a a n a n S S n n =--=--，据此可得数列{n S }是等差数列．选择①②为条件，③结论：设数列{ a n }的公差为d 1121113111,()2,()(2)S a S a a d a d S a a d a d ==++=+=++++=，21113111()2,()(2)S a S a a d a d S a a d a d ==++=+=++++=， 11131111()2()(2)3()a a d a d S a a d a d a d ++=+=++++=+．因为数列{n S }1322S S S =即22111(3())(22)a a d a d +=+，整理可得 d = 2a 1，∴ a 2 = a 1 + d = 3a 1． 选择③②为条件，①结论：由题意可得S 2 = a 1 + a 2 = 4a 1，∴212S a ={n S }的公差为211d S S a ==11(1)n S S n d n a =+-=，据此可得，当n ≥2时，221111(1)(21)n n n a S S n a n a n a -=-=---=，当n = 1时上式也成立，故数列的通项公式为a n =（2n －1）a 1，由1111[2(1)1](21)2n n a a n a n a a ++--=--=，可知数列{ a n }是等差数列．本题给岀部分已知条件，要求考生根据试题要求构建个命题，并证明命题成立．试题设计了三个不同的组合方案，组成三个真命题，给考生充分的选择空间．选择什么样的条件和结论，直接影响到问题的思维和证明过程，考生选什么样的条件和结论组成命题，体现了考生不同的数学思维角度和方式．这种结构不良试题的适度开放不仅有益于考生在不同层面上发挥自己的数学能力，而且也有益于对中学数学教学的积极导向，引导中学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象，充分考查学生对数学本质的理解．3．判断存在问题，考查批判性思维例5 （2021年新高考Ⅱ卷第18题）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，b = a + 1，c = a + 2．（1）若2 sin C = 3 sin A ，求△ABC 中的面积；（2）是否存在正整数a ，使得△ABC 中为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．分析：（1）由正弦定理可得出2c = 3a ，结合已知条件求出a 的值，进一步可求得b 、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B ，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值． 解：（1）因为2 sin C = 3 sin A ，则()2223c a a =+=，则a = 4，故b = 5，c = 6， 2221cos 28a b c C ab ，所以C 锐角，则237sin 1cos 8C C =-=，因此1137157sin 4522ABC S ab C ==⨯⨯=△ （2）显然c ＞b ＞a ，若△ABC 中为钝角三角形，则C 为钝角， 由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++， 解得－1＜a ＜3，则0＜a ＜3，由三角形三边关系可得a + a + 1＞a + 2，可得a ＞1，故整数a = 2．本题背景取材于教材，内容贴近学生．试题题干中已知△ABC 的对边分别为a ，a + 1，a + 2，第（2）问要求考生判断是否存在正整数a ，使得△ABC 为钝角三角形，并运用数学推理说明理由．试题进行开放性设计，直觉上会发现a = 3时，△ABC 是直角三角形，且∠C 是直角．进一步发现△ABC 是钝角三角形时，cos C ＜0，由此推理可得正整数a = 2．试题命制基于课程标准，重点考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力．问题在体现开放性的同时也体现了思维的准确性与有序性．4．综合性问题例6 在我国江汉平原上，有四个村庄恰好座落在边长为2千米的正方形顶点上，为此需要建立一个使得任何两个村庄都可有通道的道路网．请设计一个合理的道路网，使它的总长度不超过5.5千米．（取2= 1.4142，7312.13=）解：这是一道策略开放题．题目给出了实际问题的情景（条件）及基本要求（结论），要求考生根据题意应对一些常见的可能设计进行列举、试算、取舍，然后逐渐逼近题目的本质解法．这种解答、推理过程没有现成的模式可套，有较强的开放性． 设四个村庄分别为A 、B 、C 、D ．（1）沿正方形四条边ABCDA 修建道路网，总长度是8千米，不符合要求．（2）连结两条对角线可作通道，但算出总长度是5.524>，也不符合要求．（3）由平面几何的知识知道，在正方形ABCD 所在平面上任取一点P ，连结PA 、PB 、PC 、PD 所修成的道路网，当点P 重合于BD AC O =时，此种道路网必最短，但由（2）知也不符合要求．（4）要减少总长度，必须增加公共部分（即在平面ABCD 上取两点E 、F ）．注意到正方形既有轴对称、又有中心对称的性质，故过中心O 修一段公共道路EF （如图），使EF ⊥AB ，OE = OF = x （0≤x ≤1），则道路网的总长度 2)1(142x x y -++=．（*） 由y ≤5.5，得5.5)1(1422≤-++x x ，化简，得 48x 2－40x + 7≤0，D P O A B O FE M N A D解得12741≤≤x ． 此时]1,0[]127,41[⊂∈x ．据此可有无数种道路网设计方案满足要求． 根据函数关系式（*），我们不难算出当333-=x 时，y 有最小值4642.5)31(2≈+千米．例7 如图所示，有一条河MN ，河岸的一侧有一很高的建筑物AB ，一人位于河岸另一侧P 处，手中有一个测角器（可以测仰角）和一个可以测量长度的皮尺（测量长度不超过5米）．请你设计一种测量方案（不允许过河），并给出计算建筑物的高度AB 及距离PA 的公式，希望在你的方案中被测量数据的个数尽量少．解：本题有相当的不确定性，是一道综合开放题．题目给出了问题的情境及基本要求，要求考生根据这些情境及基本要求收集信息，将问题数学化：自行假定与设计一些已知条件，提出多种多样的解决方案，进而得出或繁或简的结论．这完全能测试出考生运用既有知识分析和解决问题的能力．常见的测量方案有：方案一 如图P 位于开阔地域，被测量的数据为PC （测角器的高）和PQ （Q 为在PA 水平直线上选取的另一测量点）的长度，仰角α 和β．设AB = x ，PA = y ，则计算公式为⎩⎨⎧+=-=-.tan )(,tan βαPQ y PC x y PC x ∴ βαβαtan tan tan tan -+=PQ PC x ，βαβtan tan tan -=PQ y ． 方案二 如图P 位于开阔地域，被测量的数据为PR （PR 在水平线上，且PR ＜5米）．在P 、Q （Q 是PR 的中点）、R 处测得筑物AB 的仰角分别为α、β、γ．设AB = x ，PA = y ，则αtan x y =，AQ =βtan x ，AR =γtan x ． 在△APR 中，由中线公式，得)21(21222PR AR AP AQ -+=． 代值，可得计算公式为γβα222tan 2tan 4tan 2+-=PRx ，γβαα222tan 2tan 4tan 2tan +-⋅=PR y ． 方案三若 P 处是一可攀建筑物（如楼房），则可在同一垂 B O AC P DQ β α P BA Q α β γ R ．P A N MB BO OA DCP β α线上选两个测量点，被测数据为PC 和CD 的长度，仰角α 和β．设AB = x ，PA = y ，则计算公式为⎩⎨⎧=--=-.tan ,tan βαy CD PC x y PC x ∴ βααtan tan tan -+=CD PC x ，βααtan tan tan -=CD y ． 说明：无论哪个方案都至少要测4个数据．例8 已知集合B = {（x ，y ）∣（x －1）2 +（y －2）2 = 4 }，且集合A 、C 满足：A ⊂B ⊂C ，试用列举法写出一个集合A ，用描述法写出一个集合C ．解：首先应注意到集合B 表示的是点集，在直角坐标系下表示的是圆周，要求A 是B 的子集，B 是C 的子集，所以集合A 表示的是圆周的一部分，而B 表示的圆是C 的一部分，这样A 、C 可以是：A = {（1，4），（－1，2）} 等，C = {（x ，y ）∣（x + 1）[（x －1）2 +（y －2）2－4 ] = 0 } 等．例9 α，β 是两个不同的平面，m ，n 是平面α 及β 之外的两条不同的直线．给出四个论断：① m ⊥n ； ② α⊥β； ③ n ⊥β； ④ m ⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题： ．解：本题既是一个条件开放题，也是一个结论开放题．按题意要求，要以题中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，来组成命题，实际上只有四种组成的方法，因此其开放度不是很大．再者，由于题中所给字母的对称性，以③作为结论与以作④为结论，所组成的命题，其真伪性是相同的，所以实际上只要考虑三种组成的方法．本题答案是下列两个命题之一：（1）m ⊥α，n ⊥β，α⊥β ⇒ m ⊥n ．（2）m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ⇒ α⊥β．例10 若椭圆的一个焦点和它的两个顶点，共三个点所组成的三角形是直角三角形．求这样的椭圆的离心率．解：我们以椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）为例来加以说明．大家知道，椭圆C 有左右两个焦点；长轴、短轴上各有2个顶点，共4个顶点．所以本题的求解具有较强的探索性和开放性．注意到椭圆良好的对称性，设F 是椭圆C 的左焦点，显然要构成三角形，两个顶点不能都取自于长轴．（1）显然F 、A 1、A 2不能组成三角形．（2）由于△FOB 1是直角三角形，有∠OFB 1是锐角，故∠A 1FB 1是钝角，即F 、A 1、B 1不能构成直角三角形．（3）若△FB 1A 2是直角三角形，则只有∠FB 1A 2 = 90°，从而FB 12 + A 2B 12 = FA 22，∴（b 2 + c 2）+（a 2 + b 2）=（a + c ）2，∴ 2b 2 + a 2 + c 2 = a 2 + 2ac + c 2 ⇒ b 2 = ac ，结合b 2 = a 2－c 2 得 a 2－ac －c 2 = 0 ⇒ 215-==a c e ． （4）若△FB 1B 2是直角三角形，则应有b = c ，∴ a 2 = b 2 + c 2 = 2c 2，∴ 22==a c e ． 综上所述，满足条件的椭圆的离心率为22，215-． 例11 已知以坐标原点为中心的椭圆，满足条件：（1）焦点F 1的坐标为（3，0）；（2）半长轴为5．则可求得此椭圆方程为1162522=+y x ．① 若去掉条件（2），问可添加其他什么条件，才能使所求椭圆方程仍为①？解：由于以坐标原点为中心，焦点在x 轴上的椭圆标准方程为12222=+by a x ，其中a 为半长轴，b 为半短轴，设椭圆的右焦点F 1的坐标为（c ，0），则有a 2－b 2 = c 2；由已知c = 3，得a 2－b 2 = 9．因此只要给出b = 4，或者给出一个适当的关于a ，b ，c 的等量关系，使它能解得a = 5，b = 4，那么这个关于a ，b ，c 的等量关系，就是满足本题要求的一个答案，于是可得本题的一些解答：（1）短半轴b = 4．（2）与点F 1（3，0），F 2（－3，0）距离的和为10的动点的轨迹方程．（3）离心率53=e ． （4）右准线l 1的方程为325=x ．（5）椭圆上一点P 的坐标为)5214,2(-． （6）设椭圆的短轴两端点分别为B ，B '，且tan ∠BF 1B '=724． （7）过F 1作x 轴的垂线交椭圆于Q ，∣QF 1∣较椭圆半短轴短54． 像上述这样的“条件”，我们还可构想很多，一般的思考方法是“执果索因”． 例12 已知关于x ，y 的二元二次方程 x 2 +（k －1）y 2－3ky + 2k = 0． （*）（1）当k = 1时，方程（*）表示什么曲线？（2）试再写出几个k 的不同取值，要求对每个不同的k ，方程（*）表示不同类型的曲线．解：（1）当k = 1时，方程（*）表示抛物线x 2 = 3y －2．（2）当k ≠1时，方程（*）可化为 )1(48)1(23)1(222-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+k k k k k y k x ． ① 当k ＜－8时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线；当－8＜k ＜0时，方程表示焦点在平行于x 轴的直线上的双曲线；当0＜k ＜1时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线．② 当k =－8时，方程表示两条相交直线；当k =0时，方程表示两条相交直线（第一、第三象限和第二、第四象限的角平分线）．③ 当k = 2时，方程表示圆x 2 + y 2－6y + 4 = 0．④ 当1＜k ＜2时，方程表示长轴在y 轴上的椭圆；当k ＞2时，方程表示长轴平行于x 轴的椭圆．在以上各类情况中分别取不同的实数作为k 的值，即可达到题意要求．例13 某地区某种病的发病人数呈上升趋势，统计近四年这种病的新发病的人数如下表所示： 年份 该年新发病的人数2018年 24002019年 24912020年 25862021年 2684年初到2025年底的四年里，该地区这种病的新发病人数总共有多少？解：预测一 从新发病增长率入手2018年到2019年新发病增长率为（2491－2400）÷2400≈3.792%；2019年到2020年新发病增长率为（2586－2491）÷2491≈3.814%；2020年到2021年新发病增长率为（2684－2586）÷2586≈3.790%；可见，新发病增长率基本一致，取其平均数为3.799%，以此作为以后新发病增长率的预测．2684（1 + 3.799%）+ 2684（1 + 3.799%）2 + 2684（1 + 3.799%）3 + 2684（1 +3.799%）4=117951%)799.31(]1%)799.31%)[(799.31(26844≈-+-++，即为所求． 预测二 从数据处理来考察2491÷2400≈1.038，2586÷2491≈1.038，2684÷2586≈1.038．可见，连续几年新发病的人数的比值近似于一个常数1.038，以此作为以后的预测． 117951038.1)1038.1(038.126844≈--⨯，即为所求．说明：这与以指数型函数y = 2400（1 + a ）x －2018来拟合是一样的，其中a 为常数． 预测三 x 轴上表示年份，y 轴上表示新发病的人数，将表格中的四组数据描点．观察这些点的位置，它们的分布大致在一条直线附近，所以用直线拟合．设拟合直线为y = kx + b ，其中k ，b 为常数．以x = 1时，y = 2400，x = 4时，y = 2684代入，得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+=+=.33.2305,67.9442684,2400b k b k b k ∴（5k + b ）+（6k + b ）+（7k + b ）+（8k + b ）= 26k + 4b = 26×94.67 +4×2305.33≈11683．。
八年级上数学模型母题
八年级上数学模型母题在八年级上学期的数学课程中，我们学习了许多数学模型的应用。
数学模型是指将现实世界中的问题转化为数学问题，并利用数学方法进行分析和解决的过程。
在这篇文章中，我将以"八年级上数学模型母题"为任务名称，讨论数学模型的基本概念和应用，以及一道典型的数学模型母题。
数学模型是现实世界中的问题经过抽象和数学化处理后的数学表达形式。
它可以帮助我们更好地理解和解决各种实际问题。
数学模型的建立过程需要确定问题的目标、变量和约束条件，并选择合适的数学方法进行求解。
通过数学模型，我们可以对现实世界中的问题进行分析、预测和优化。
数学模型在各个领域都有广泛的应用，例如物理学、经济学、生物学等。
在物理学中，数学模型可以描述物体的运动、力学关系和能量转化等。
在经济学中，数学模型可以用于分析市场供需关系、经济增长模式和投资决策等。
在生物学中，数学模型可以用于研究生物系统的动力学行为、种群增长模式和基因传播规律等。
现在，让我们来看一个典型的数学模型母题：假设一个图书馆每天有固定的学生人数前来借书，学生平均每次在图书馆逗留1小时，每位学生借书的时间服从均值为3小时的指数分布。
假设图书馆的开放时间为8小时，图书馆中的书籍总量为10000本。
问图书馆需要购进多少本书，才能满足学生的需求，使得每位学生借书时有足够的书籍可供选择。
为了解决这个问题，我们需要建立一个数学模型。
首先，我们定义以下变量：- 学生人数：设为N- 学生借书的平均时间：设为T- 图书馆每日开放时间：设为D- 图书馆的书籍总量：设为B- 图书馆每本书的平均借阅时间：设为M根据题目中的条件，我们可以得到以下等式：N * T = D （学生人数乘以借书的平均时间等于图书馆每日开放时间）B * M = N * T （图书馆的书籍总量乘以每本书的平均借阅时间等于学生人数乘以借书的平均时间）我们需要求解的是图书馆需要购进多少本书，即求解B的值。
指向学习力培养的小学数学习题创新设计
指向学习力培养的小学数学习题创新设计数学习题作为数学教学中培养学习力的重要组成部分，是促进学生巩固知识，运用知识，提升学习力的训练平台。
如何对小学数学习题进行优化创新设计，以此培养学生的学习力，是本文主要分析的问题。
一、设计创新的数学习题要以趣味为先兴趣是最好的老师，是开启学生智力的钥匙。
在具有趣味的习题练习中收获知识，在积累知识的过程中获得发展。
（一）习题栏目趣味性由于低年级学生的注意力不稳定不够集中，需要用一些学生喜闻乐见的、富有童趣的情境来吸引。
在低年级中可以设计如“夺红旗”“找朋友”“游戏闯关”“小动物找家”“欢乐大比拼”等游戏性习题，寓教于乐。
通过灵活多样、新颖有趣的各种栏目的练习，使学生克服厌倦心理，保持强烈的学习兴趣，促进有效思维发展。
（二）习题形式趣味性形式有趣的习题，可以让孩子们感受到学习的乐趣,培养他们的求知欲、思维品质。
例如，学习“乘数是一位数的乘法”后，可以设计“帮助小猴找门牌号”的习题：小兔打电话邀请小猴去他家做客，门牌号是112号。
小猴很高兴地答应了，可来到小兔居住的小区，呆了，原来这里的门牌号都是一些乘法算式。
小朋友，你能帮助小猴找到小兔的家吗?具有趣味形式的习题改变了计算题的枯燥乏味，学生在轻松快乐的气氛中，掌握运算的方法技能。
（三）习题内容趣味性孩子对于知识的学习，需要更多地创设感兴趣的内容来激发探索欲。
可以赋予一个个的小故事进行情境的创设。
例如：《分数的基本性质》练习时，这样设计：有一天，猪妈妈摘回了一个大西瓜。
将这个西瓜平均分成了两份要分给两个孩子，突然，一只小猪吵了起来：妈妈，我要吃两块，一块太少了。
接着另一只小猪也吵了起来，它也要吃两块。
这下猪妈妈为难了，因为两只小猪太小不懂得谦让，家里又只有一个西瓜。
谁能用学过的数学知识来帮助猪妈妈解决这个问题呢？把习题寓于游戏、竞争之中，能帮助他们从厌倦的情绪中解放出来，唤起他们主动参与练习的激情，激发学习积极性，培养学习力。
国家开放大学《数学思想与方法》模拟测试答案
国家开放大学《数学思想与方法》模拟测试答案模拟试卷A卷一、填空题（每题3分，共30分）1．算法的有效性是指（）如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解2．数学的研究对象大致可以分成两大类：（）数量关系，空间形式3．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（）的一种思想方法。
由数思形、见形思数、数形结合考虑问题4．推动数学发展的原因主要有两个：（），数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。
实践的需要，理论的需要5.古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（）为典范。
《九章算术》6．匀速直线运动的数学模型是（）。
一次函数7．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（）的趋势。
数学的各个分支相互渗透和相互结合8．不完全归纳法是根据（），作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。
对某类事物中的部分对象的分析9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（）潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段10．在实施数学思想方法教学时，应该注意三条原则：（）化隐为显原则、循序渐进原则、学生参与原则二、判断题（每题4分，共20分。
在括号里填上是或否）1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。
“对”。
2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。
“错”。
3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。
“错”。
4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。
“对”。
5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。
“错”。
三、简答题（每题10分，共50分）1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？①因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。
数学建模试题开放性
数学建模试题开放性数学建模试题是用数学方法解决实际问题的综合性考试。
它要求考生灵活运用数学知识、模型建立和求解能力、问题分析能力以及创新思维等综合素质。
本文将探讨数学建模试题的特点、解题方法和一些应注意的问题。
一、数学建模试题的特点数学建模试题通常是开放性的，即试题描述的实际问题比较宽泛，没有明确的解法和答案，要求考生自行分析和解决问题。
相对于传统的计算题，数学建模试题更注重考察考生的综合素质和创新能力。
二、解题方法解决数学建模试题需要遵循以下几个步骤：1. 问题理解：仔细阅读题目，了解问题要求和限制条件，确保对问题的理解正确。
有时候，题目可能需要通过数据分析、图表绘制等方式进行问题理解。
2. 模型建立：根据问题描述和所学数学知识，选择合适的模型进行建立。
模型是解决问题的关键，它能够将实际问题转化为数学问题，并提供相应的计算方法。
3. 模型求解：运用数学方法解决建立的模型，得到问题的解。
这一步涉及到数学算法和计算机辅助求解的应用。
4. 结果分析与验证：对问题的解进行分析和验证，看是否符合实际情况。
可以通过数值计算、图表展示等方式进行结果的分析和解释。
5. 结果的有效性和可行性：从实际应用的角度出发，评估模型的有效性和解决方案的可行性。
如果有必要，也可以提出改进和优化的方法。
三、注意事项在解答数学建模试题时，还需要注意以下几点：1. 合理假设：实际问题往往比较复杂，需要进行一些合理的假设。
在模型建立的过程中，考生需要根据问题的具体情况确定适当的假设条件，并明确声明。
2. 数据处理：对于给定的数据，需要进行适当的处理和分析，以提取有用的信息。
在使用数据时，需要注意保留合适的有效数字，并保持数据的准确性。
3. 表述清晰：在解答问题时，需要注意表达清晰、逻辑严密。
要注意避免使用模糊或含糊不清的语言，确保理解和答案的准确性。
4. 创新思维：数学建模试题重点考察考生的创新能力。
在解决问题的过程中，考生可以尝试不同的方法和思路，提出新颖的解决方案。
鱼的重量和长度-数学建模考试小论文大学开放性作业Word版
生活中的数学——鱼的体量与长度作者05级班级学号目录目录 (2)摘要 (3)一、引言 (3)二、模型 (3)（一）问题的化简和假设 (3)（二）模型的建立 (4)三、分析 (4)（一）第一种数据估计模型 (4)（二）第二种数据估计模型 (4)（三）第一种数据估计模型和第二种数据估计模型与实际情况的比较 (5)四、结论 (5)五、进一步的探讨 (5)五、参考文献 (6)摘要本文将从分析如何根据鱼的身长来估计鱼的体重的方法出发，研究动物的身长和体重的关系。
本文建立了两种不同的鱼的身长和体重关系的数学模型，比较了用两种不同的方法计算的鱼的体重与实际称重情况的误差，并进一步推广到四足动物，用类比法建立四足动物身长和体重关系的模型。
关键词：鱼的体重与长度，初等数学模型，四足动物，类比法一、引言我们在初中时就学过正比例函数和反比例函数，当时我们也许并没有想过可以用它来解决生产生活中的实际问题，其实利用正比例函数和反比例函数建立初等数学模型来解决许多侥有兴趣的实际问题。
我们不用在乎它是不是太过于简单，因为衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果，而不是采用了多么高深的数学方法。
随着人们物质生活的越来越丰富，人们开始享受起休闲时光，垂钓就是一项非常受欢迎的休闲运动。
为了考虑到不破坏自然资源，一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，但俱乐部只准备了一把软尺用于测量，于是众垂钓者开始考虑按照测量的鱼的长度估计鱼的体重的方法。
建立一个简单易懂的数学模型是解决这个问题的最好办法。
侧得的八条鱼的数据如表１所示：二、模型（一）问题的化简和假设为了简化模型，假定鱼池中只有一种鲈鱼。
对于同一种鱼不访以为其整体形状是相似的，密度也大体上相同。
（二）模型的建立这个初等数学模型中的主要符号说明如下所示：W——鱼的体重ｌ——鱼的身长ｄ——鱼的胸围，即鱼的最大周长K1——第一种数学估计模型中的系数K2——第二种数学估计模型中的系数１，建立的第一种数据估计模型为：重量ｗ与身长ｌ的立方成正比，即W＝K13l2，建立的第二种数据估计模型为：d l横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即W=K22三、分析（一）第一种数据估计模型对于同一种鱼，不访认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w与身长l的立方成正比，即W＝K13l,K1为比例系数。
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游戏规则描述如下：游戏人数10人左右，设置一名法 官，其余人抽签抽出两名杀手（非杀手者为平民，仅 自己知道身份），开始后法官要求所有人闭眼，然后 杀手睁眼，指定一个平民，法官指出该平民“遇害”。 之后由遇害者猜测谁是杀手，猜测后由其余所有未遇 害人（包括杀手）对那人投票，超过半数则该人被 “处死”，若未超过半数（不含半数），对所有人依 次进行投票（在这个投票过程中，每个人只有一票）， 任意一人超过半数则该人被“处死”，“处死”后那 人是否杀手即公开。（若都未超过半数，本轮不处死 人。）处死一人后，若还有杀手“活着”则游戏继续 进行，直到杀手全部被“处死”或仅剩杀手后游戏结 束。仅剩杀手时称杀手获胜，否则杀手失败。
问题六分析
第一，建立两种生物自然繁殖数量变化模型 （类似于人口理论） 第二，加入人的影响因素（数值是不同的，给 予解释） 第三，援助性介入是改变影响因素。
7、科研经费
某部门推出一项专项科研费用，目的在于培养 优秀人才，根据评比结果来确定资助的额度。 许多单位的优秀者都申请了该基金，于是该基 金的委员会聘请了数名专家， 按照如下规则 进行评比： 为了公平性，评委不对本单位选手打分； 每位评委对每位参与申请的选手（除本单位选 手处）都必须打分，且避免打相同分数。
9、有奖征答
以下是某人在中国数学建模网上发的帖子，请给出一 个回复，或者设计一种预测方法。 问题是：用数学方式预测数字变化的方向和时间，即 曲线拐点的预测。只求方向不求幅度。 问题定义： 1、曲线，在横（时间）纵（数字）坐标的二维图表 上由连续时间对应的数字点形成的映像。 2、拐点，数字变化反映在二维图表上的映像，由趋 势的逆（相对原趋势的反向运动）顺（相对原趋势连 续的递增递减）组成，反向运动的数字点即为拐点。 3、方向，数字的变化趋势，增、减。
3、评价指标体系的建立
请给出一种评价指标体系（可以针对任何指 标），并说明你们的建模方法和特点。
问题三分析
现有的指标体系大都是线性评价体系，构建一 个合理的非线性体系将成为特点。 参考论文
4、百货大楼的商品设置
请考虑一个5层百货大楼的商品摆放安排：每 一层应当放什么样的商品。并请考虑无电梯、 仅有楼梯式电梯、有楼梯式直升式两种电梯这 三种情况对你的商品设置有什么影响，对经营 有什么影响。
1)建立草原自然生长规律模型,描述人为破坏 对草原生长的影响过程; 2)论证或驳斥报载消息中专家的推断,如果立 即停止对草原的一切人为破坏,10年后的情形 如何? 3)寻求导致草原消失的临界条件,给出草原生 长的挽救方案,并对挽救效果进行预测。
问题八分析
一个典型的微分方程模型，与问题六类似 关键在于对人为因素的效果评价
举例:验证的曲线是纯粹随机产生的一组数字， 但他们的变化幅度可以做一定的限定，免得差 距太大而失去观测的意义。比如说限定在0置 1000之间96、97、98、99、98、99、98、97、 96、97、96、95、94、95、94、93这样的一 组数字其中的第5、6、7、10、11、14、15个 数字都是这条曲线中的拐点。
问题七分析
显然是不公平的，∑ki/(n－1)>(∑ki+kn)/n 修正方法： 1、采用打分制； 2、其余评委必须给出一个并列名次（如何控 制并列第一的情况？）；
8、草原命运
天然草原的生息繁衍,已形成自身特有的生物 链,且对人类生存起着重要作用。长期以来,人 为破坏(如过度放牧、猎杀动物及采挖草药等) 使草原生态每况愈下,日渐衰竭。据2000年8月 6日《北京晚报》载:“……受利益驱使,有些人 不顾国家法律和当地政府禁令,在呼伦贝尔草 原大肆采挖中草药,致使草原严重受损。据此, 有关专家推断,10年之内,该草原将变成荒漠。” 为了天然草原的生息繁衍和可持续发展,完成 以下工作:
总结
今天我们主要就一些开放性问题进行了粗略的 讨论，目的在于使大家开阔思路，扩大数学模 型的应用视野。 希望大家今后能从多个角度考虑问题（如2、3 两题给我们的启示），遇到问题从数学的角度 出发去分析（4、5、6、8题），大胆假设（1 题），谨慎求证（9、10），对解决方法不要 拘泥于已有方案（7）。
若参与游戏者是无差别的，则杀手获胜的概率 是多大？（可能和游戏人数有关）据此说明多 少人参与游戏，游戏是最有趣的。 若参与游戏者是有差别的，有n维方阵描述了i 对j的信任程度（包括怀疑、对j的指证的取信 程度），请设计一个杀手谋杀策略。
问题五分析
无差别时，该问题是一个复杂的概率计算，首 先计算除去法官n个人中含有一个杀手时杀手 获胜的概率（一个递推公式，易求）；在此基 础上求n个人中含有两个杀手时杀手获胜的概 率（一个复杂递推公式）。 而当杀手获胜概率为0.5时游戏最有趣 有差别时，该问题转化逐步对策问题。
评委打分方法为：给参加申请的选取手排序，并根据 排序情况分别记为第一名1分，第二名2分，；依次类 推。 评判结束后，求出选手的平均分，将平均分从低到高 排序，依次确定本次评比的名次给予资助（平均分最 低者获得资助最高，依次类推）。 本次基金申请中甲所在单位有一名评委，这位评委将 不参加对甲选手的评判，其他选手没有类似情况，比 赛结束后选手甲觉得这种评比规则对他不公平。问选 手甲的抱怨是否有道理？若不公平，能否对方案做了 修正，从而解决选手甲的抱怨？
6、自然选择
受人类活动的影响，自然界的很多生物都面临 着灭亡，而另外一些生物则逐渐适应了在人类 干扰下的新生活。请分别选出面临灭亡和适应 新生活的两类生物，收集相关的统计数字和调 查结果，从基因的遗传与进化、自然选择的角 度，分析两种发展趋势的原因，并分析人类的 援助性介入是否能够挽救濒危生物的命运。
Hale Waihona Puke 在评选某种竞赛的优胜者时，一般组委会要聘请多名 专家组成评委会，但由于各专家对问题的看法的“差 异”，往往会对同一份答卷打出的分数可能有一定的 “差异”，最后组委会将综合评委会各专家给出分数 确定出优胜者。组委会最为难的问题是如何处理好那 些有“差异”的答卷，确保评奖的公证性和准确性。 现在假设评委会有若干名专家组成，不要求每位专家 评阅每一份答卷，但要求每份答卷至少要有三名以上 的专家评阅，打分可分为A、B、C、D、E五个等级。 设一等奖、二等奖和三等奖的比例分别为3:4:3。
问题九分析
纯粹随机是不可预测的 理由：拐点的产生是由于连续数字增减性变化。 现取相邻数差做成另一个数列，由于最初的数 列是纯随机的，则后一个数列也是随机的。我 们需要预测的是这个数列的正负性问题（正负 分界点在哪里，事实上就是将整个数列的正负 性进行了预测）。这显然是不可能的：预测一 个纯随机数列的正负性，就相当于预测一个纯 随机的01序列一样。
10、血样的分组检验
要在人群中（数量很大，基本上是健康人）找 出某种病毒的感染者，为减少检验次数（目的 是降低费用），通常采用筛选的办法。即假设 人群总数为 n, 将人群分成m组，每组的人数 为k，将每组的 k份血样混在一起进行化验， 若化验结果呈阳性，则需要对该组的每个人重 新进行化验，以确定谁是病毒感染者；若化验 结果呈阴性，则表明该组全体成员均为阴性， 不需要重新化验。
问题四分析
分析商品的固有属性：是奢侈品还是必须品？ 顾客对其态度：是确定要买后才来，还是临时 起意要买？看到该商品对顾客的吸引程度（促 使其购买的可能）等方面。结合毛利率设计每 层摆放商品。 对电梯，很有可能直升式电梯会带来相反的效 果（不利于商场）。有楼梯式电梯是有利的。
5、“天黑请闭眼”
现在的问题是： (1) 请你给出一种合理的评阅方案，使专家组 的总工作量最小。 (2) 请你充分考虑各评委专家的评判“差异”， 给出一种综合专家的评分结果选出优胜者的方 法。 (3)组委会要求评优方法要确保公证性和准确 性，请对你的方法的准确率做出评价。
问题二分析
该问题先看假设试卷是否存在固有分数？还是 存在固有序列？ 第一种假设将得到如下模型：首先将专家评分 进行量化，把各个试卷的量化评分综合出来后， 排序。检验准确性时先生成试卷固有分数，专 家依照该分数得到等级（存在不稳定性，这里 如何处理是一个重点问题），再依据上述算法 得到评判的排序，比较两者的差异。 第二种假设将得到如下模型：等级只是一个排 序，分布式排序算法
开放性数学模型练习
2004数学建模培训课程 王琳
1、自习楼人数分布
一个六层自习大楼，没有电梯，某天1～4层人 数分别为374，328，269，172，请给出你们 判断的5、6层人数。
问题一分析
该问题一般有两种方法： 1、针对数列进行预测，该类方法可能有多种 解法，非线性回归、趋势分析、ARMA模型、 GM(1,1)模型、灰色序列预测、拓扑预测、BP 网络预测等均是有效的方法，其中以BP网络 预测最为少见。
2、机理分析建模：分析人数逐步减少的原因， 建立模型得到结果。一般的：我们可以建立楼 层高度和学生心理满意度的函数关系（含待定 系数），可以建立教室密度与学生满意度间的 函数关系（含待定系数），用四个已知数字估 计参数，而后计算5,6层人数即可。 总体评价，第二类方法优于第一类方法。
2、最优评卷问题
已知阳性的先验概率为 p，当 p固定时，如 何分组可使得化验次数最小； 找出不应再分组的p的取值范围； 讨论两次分组的情况，即检测为阳性的组再 次分组检验的情况。
问题十分析
问题一是一个简单的优化问题，可得到化验次 数数学期望的代数式，将其作为目标函数优化 即可。 当p足够大时，进行分组的检验次数（事实上 是一个数学期望值）接近甚至超过了不分组时 的检验次数，此时无需分组。 问题三是问题一的进一步拓展 可以考虑多级分组，即将问题三进一步推广。