09 第十章 图象几何变换
图像几何变换(旋转和缩放)
图像几何变换的重要性
图像几何变换可以帮助我们更好地理 解和分析图像内容，例如在人脸识别 、目标检测和跟踪、遥感图像处理等 领域。
通过变换可以纠正图像的畸变，提高 图像的清晰度和可读性，从而改善图 像的质量。
图像几何变换的应用场景
医学影像处理
在医学领域，通过对医学影像进行几何变换，可以更好地 观察和分析病变部位，提高诊断的准确性和可靠性。
图像旋转
图像旋转的基本概念
图像旋转是指将图像围绕一个点 进行旋转的操作。这个点被称为
旋转中心或原点。
旋转角度是旋转的度数，通常以 度（°）为单位。
旋转可以是顺时针或逆时针方向， 取决于旋转角度的正负值。
图像旋转的算法实现
图像旋转可以通过多种算法实现，其 中最常用的是矩阵变换和插值算法。
插值算法通过在旋转过程中对像素进 行插值，以获得更平滑的旋转效果。 常用的插值算法包括最近邻插值、双 线性插值和双三次插值等。
矩阵变换算法通过将图像表示为一个 矩阵，并应用旋转矩阵来计算旋转后 的像素坐标。
图像旋转的优缺点
优点
图像旋转可以用于纠正倾斜的图像、 增强图像的视觉效果、实现特定的艺 术效果等。
缺点
图像旋转可能会改变图像的比例，导 致图像失真或变形。此外，对于大尺 寸的图像，旋转操作可能需要较长时 间和较大的计算资源。
双线性插值和双三次插值等。
重采样算法
重采样算法通过重新计算每个像 素的灰度值来实现图像缩放。这 种方法通常比插值算法更精确，
但计算量较大。
多项式拟合算法
多项式拟合算法通过拟合原始图 像中的像素点，然后根据多项式 函数来计算新的像素值。这种方 法适用于对图像进行复杂变换的
情况。
图像缩放的优缺点
图像的几何变换
x' x x
y'
y
y
即：g(x,y)=f(x’, y’)
图像的平移：例如
x 1, y 2
下移1行， 右移2列
123 1
2
3
x=[1,2,3] ; y=[1,2,3] x’=[2,3,4] ; y’=[3,4,5]
12 1 2 3 4
345
•注意：平移后的景物与原图像相同，但“画布 〞一定是扩大了。否那么就会丧失信息。
y=[1/1.2,2/1.2,3/1.2,4/1.2]==[0.83,1.67,2.5,3.33]=[j1,j2,j3,j3],放大后 的图对应原图的1，2，3，3列
所以，新图3行3列，对应于原图2行3列 新图3行4列，对应于原图2行3列
图像放大:思考问题
如果放大倍数太大，按照前面的方法处理会出现 马赛克效应。
例如，原图第1列(从0开始计数)数据应该对应新图哪一列数据？
1=(Y+0.5)* (3/8)-0.5
Y=3.5
cvFloor(3.5)=3
返回不大于参数的最大整数值
例如，原图第1行(从0开始计数)数据应该对应新图哪一行数据？
1=(X+0.5)* (3/4)-0.5
Y=1.5
cvFloor(1.5)=1
设原图像大小为M*N, 缩小为k1M*k2N, 〔k1<1，k2<1〕。算法步骤如下： 1〕设原图为F(i,j), i=1,2,…,M, j=1,2,…,N.
压缩后图像是G(x,y), x=1,2,…,k1M, y=1,2,…,k2N. 2〕G(x,y)=F(c1*x,c2*y), c1=1/k1 c2=1/k2
x '' x ' x
几何变换概念
几何变换概念几何变换是指平面上的图形在不同的变换规律下发生形状、位置或尺寸的改变。
几何变换包括平移、旋转、镜像和伸缩等基本变换方式，它们在数学以及计算机图形学等领域有着广泛的应用和深入的研究。
一、平移平移是指图形在平面上沿着某个方向移动一定的距离。
平移不改变图形的形状和大小，只是将图形整体移动到新的位置上。
平移变换通过向量的概念来描述，可以用坐标表示。
设P(x,y)是原来图形上的一个点，若要将图形平移d个单位长度，则平移后的点P'(x',y')的坐标为x'=x+d，y'=y+d。
二、旋转旋转是指图形围绕某个中心点按一定角度进行转动。
旋转变换可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。
旋转变换同样涉及到坐标的变化。
设P(x,y)是原来图形上的一个点，若要将图形绕原点顺时针旋转θ角度，则旋转后的点P'(x',y')的坐标为x'=x*cosθ-y*sinθ，y'=x*sinθ+y*cosθ。
三、镜像镜像是指图形沿着一个直线进行翻转。
直线称为镜像轴，镜像轴可以是任意一条线段，即使不在图形内部也可以。
镜像变换同样可以通过坐标来描述。
设P(x,y)是原来图形上的一个点，若要将图形关于镜像轴进行翻转，则镜像后的点P'(x',y')的坐标根据镜像轴的位置不同而有所区别。
四、伸缩伸缩是指图形在某个中心点按一定比例进行放大或缩小。
伸缩变换可以分为两种情况：等比例伸缩和非等比例伸缩。
等比例伸缩保持图形的形状不变，只改变尺寸大小；非等比例伸缩则同时改变图形的形状和尺寸。
伸缩变换同样可以使用坐标来表示。
设P(x,y)是原来图形上的一个点，若要将图形以中心点O为中心进行放大/缩小，比例为r，则伸缩后的点P'(x',y')的坐标为x'=r*x，y'=r*y。
综上所述，几何变换是数学中重要的概念，它是对图形进行形状、位置或尺寸改变的方式。
09 第十章 图象几何变换PPT课件
然而，当图象中包含象素之间灰度级有较 大变化的细微结构时，最近邻插值法会在图象 中产生人工的痕迹。
17Leabharlann (a)(b)图10.4 零阶插值 (a)原图 (b)放大时用零阶插值
18
10.2.2 双线性插值
一阶插值（或称双线性插值法）和零阶插 值法相比可产生更令人满意的效果。只是程序 稍微复杂一些，运行时间稍长一些。
例如，成象系统有一定的几何非线性，因此会 造成如图10.1所示的枕形失真或桶形失真。图(a)为原 始图象，图(b)和图(c)为失真的图象。
由于斜视角度获得的图象的透视失真。 由卫星摄取的地球表面的图象往往覆盖较大的 面积，由于地球表面呈球形，这样摄取的平面图象也 将会有较大的几何失真。
4
(a)
(b)
10 图象几何变换
1
10.1 引言
几何运算可改变图象中各物体之间的空间 关系。
这种运算可以被看成是将（各）物体在图 象内移动。
其效果正如在一块橡皮板上画图，拉伸该 橡皮板，并在不同的点固定该橡皮板。
几何运算住往需作一些限制以保持图象的 外观顺序。
2
一个几何运算需要两个独立的算法。
一个算法来定义空间变换本身，用它描述 每个象素如何从其初始位置“移动”到终止位 置，即每个象素的“运动”。
为了方便讨论，我们规定所有象素正好位 于采样栅格的整数坐标处。
8
有了空间变换和灰度级插值算法，我们就 可以开始执行一个几何运算。
通常，计算机程序中总有几种固定的灰度 级插值算法，而用来定义空间变换的算法将随 任务不同而不同。
因为灰度级插值算法总是相同的，或可从 几种算法中选一个，因此，每个特定的几何运 算基本是由空间变换算法定义的。
图像的几何变换共45页
15、机会是不守纪律的。——雨果
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
图像的几何变换
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
拉
60、生活的道路一旦选定，就要Hale Waihona Puke 敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
图像几何变换的原理及应用
图像几何变换的原理及应用1. 引言图像几何变换是指通过对图像进行旋转、平移、缩放和仿射变换等操作，改变图像的位置、大小和形状，以达到特定的目的。
在计算机视觉、图像处理和计算机图形学等领域中，图像几何变换被广泛应用于图像的校正、增强、变换和特征提取等任务。
2. 原理图像几何变换的原理基于几何学的相关理论。
对于二维图像来说，可以通过变换矩阵对图像进行坐标变换，从而实现图像的几何变换。
以下是常见的图像几何变换操作及其原理：2.1 旋转旋转是指将图像按一定角度绕某个中心点进行旋转变换。
旋转操作可以通过变换矩阵实现，变换矩阵如下所示：cosθ -sinθ 0sinθ cosθ 00 0 1其中，θ表示旋转的角度。
通过对每个像素进行坐标变换，可以实现图像的旋转。
2.2 平移平移是指将图像沿着水平或垂直方向进行平移操作，即改变图像的位置。
平移操作可以通过变换矩阵实现，变换矩阵如下所示：1 0 tx0 1 ty0 0 1其中，tx和ty分别表示在x轴和y轴上的平移距离。
通过对每个像素进行坐标变换，可以实现图像的平移。
2.3 缩放缩放是指改变图像的尺寸大小。
缩放操作可以通过变换矩阵实现，变换矩阵如下所示：sx 0 00 sy 00 0 1其中，sx和sy分别表示在x轴和y轴上的缩放比例。
通过对每个像素进行坐标变换，并根据缩放比例进行采样，可以实现图像的缩放。
2.4 仿射变换仿射变换是指通过线性变换和平移来对图像进行变换。
仿射变换可以通过变换矩阵实现，变换矩阵如下所示：a11 a12 txa21 a22 ty0 0 1其中，a11、a12、a21和a22分别表示仿射变换的线性变换部分，tx和ty分别表示平移部分。
通过对每个像素进行坐标变换，并根据变换矩阵进行计算，可以实现图像的仿射变换。
3. 应用图像几何变换在各个领域中有着广泛的应用，以下列举了一些常见的应用场景：3.1 图像校正在图像处理中，由于各种因素的影响，例如相机畸变、透视变换等，图像可能会出现失真或畸变。
图像的几何变换
f 21
f 22
#
f n1
#
f n2 "
0 ⎤ f1n −1 ⎥ ⎥ f 2 n −11 ⎥ ⎥ # ⎥ f nn −1 ⎥ ⎦ 255 ⎤ f 1n −1 ⎥ ⎥ f 2 n −11 ⎥ ⎥ # ⎥ f nn −1 ⎥ ⎦
（2.2.6）
⎡255 255 255 " ⎢255 f f12 " 11 ⎢ H = ⎢255 f 21 f 22 " ⎢ # # ⎢ # ⎢ ⎣255 f n1 f n 2 "
T
的坐标，可以实现平移变换，变换结果如下：
⎡ x ⎤ ⎡1 0 Δx ⎤ ⎡ x0 ⎤ ⎢ y ⎥ = ⎢ 0 1 Δy ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ y0 ⎥ ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 0 1 ⎥ ⎦⎢ ⎣1⎥ ⎦
现对式（2.1.5）中的各个矩阵进行定义：
（2.1.5）
⎡ 1 0 Δx ⎤ ⎥ T=⎢ ⎢0 1 Δy ⎥ 为变换矩阵； ⎢ ⎣0 0 1 ⎥ ⎦ ⎡ x⎤ ⎥ P=⎢ ⎢ y ⎥ 为变换后的坐标矩阵； ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦
⎡ f11 ⎢f F = ⎢ 21 ⎢ # ⎢ ⎣ f n1 ⎡0 ⎢0 ⎢ G = ⎢0 ⎢ ⎢# ⎢ ⎣0
f12 f 22 #
" "
f1n −1 f 2 n −1 # f nn −1
f n2 "
0 f11 0 f 12
f1n ⎤ f 2n ⎥ ⎥ # ⎥ ⎥ f nn ⎦
（2.2.5）
" " "
[x0
y 0 ] 中引入第 3 个元素，增加一个附加坐标，扩展为 3×1 的列矩阵 [x0
T
y 0 1] 。
10、图像的几何变换——平移、镜像、缩放、旋转、仿射变换
10、图像的⼏何变换——平移、镜像、缩放、旋转、仿射变换1.⼏何变换的基本概念 图像⼏何变换⼜称为图像空间变换，它将⼀副图像中的坐标位置映射到另⼀幅图像中的新坐标位置。
我们学习⼏何变换就是确定这种空间映射关系，以及映射过程中的变化参数。
图像的⼏何变换改变了像素的空间位置，建⽴⼀种原图像像素与变换后图像像素之间的映射关系，通过这种映射关系能够实现下⾯两种计算：原图像任意像素计算该像素在变换后图像的坐标位置变换后图像的任意像素在原图像的坐标位置对于第⼀种计算，只要给出原图像上的任意像素坐标，都能通过对应的映射关系获得到该像素在变换后图像的坐标位置。
将这种输⼊图像坐标映射到输出的过程称为“向前映射”。
反过来，知道任意变换后图像上的像素坐标，计算其在原图像的像素坐标，将输出图像映射到输⼊的过程称为“向后映射”。
但是，在使⽤向前映射处理⼏何变换时却有⼀些不⾜，通常会产⽣两个问题：映射不完全，映射重叠映射不完全输⼊图像的像素总数⼩于输出图像，这样输出图像中的⼀些像素找不到在原图像中的映射。
上图只有(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)四个坐标根据映射关系在原图像中找到了相对应的像素，其余的12个坐标没有有效值。
映射重叠根据映射关系，输⼊图像的多个像素映射到输出图像的同⼀个像素上。
上图左上⾓的四个像素(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)都会映射到输出图像的(0,0)上，那么(0,0)究竟取那个像素值呢？要解决上述两个问题可以使⽤“向后映射”，使⽤输出图像的坐标反过来推算改坐标对应于原图像中的坐标位置。
这样，输出图像的每个像素都可以通过映射关系在原图像找到唯⼀对应的像素，⽽不会出现映射不完全和映射重叠。
所以，⼀般使⽤向后映射来处理图像的⼏何变换。
从上⾯也可以看出，向前映射之所以会出现问题，主要是由于图像像素的总数发⽣了变化，也就是图像的⼤⼩改变了。
在⼀些图像⼤⼩不会发⽣变化的变换中，向前映射还是很有效的。
简述图像几何变换的类型与方法
程序开始⎩简述图像几何变换的类型和方法数字图像处理，就是利用数字计算机或则其他数字硬件，对从图像信息转换而得到的电信号进行某些数学运算，以提高图像的实用性。
例如从卫星图片中提取目标物的特征参数， 三维立体断层图像的重建等。
总的来说，数字图像处理包括点运算、几何处理、图像增强、图像复原、图像形态学处理、图像编码、图像重建、模式识别等。
目前数字图像处理的应用越来越广泛，已经渗透到工业、医疗保健、航空航天、军事等各个领域，在国民经济中发挥越来越大的作用。
图像的几何变换，通常包括图像的平移、图像的镜像变换、图像的转置、图像的缩放和图像的旋转等。
程序基本框架如下：图 图 图 图 图 像 像 像 像 像 的 的 的 的 的 平 移镜 像 转 置 缩 放旋 转1 图像的平移图像的平移是几何变换中最简单的变换之一。
1．1 理论基础图像平移就是将图像中所有的点都按照指定的平移量水平、垂直移动。
设（x0，y0）为原图像上的一点，图像水平平移量为 tx ，垂直平移量为 ty ， 则平移后点（x0，y0）坐标将变为（x1，y1）。
显然（x0，y0）和（x1，y1）的关系如下：⎧ x 1 = ⎨y 1 = x 0 + txy 0 + ty1程序结束读写 BMP 图像用矩阵表示如下：⎡x1⎤⎡1 0 tx⎤⎡x0⎤⎢y1⎥=⎢0 1 ty⎥⎢y0⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣1⎥⎦⎢⎣001⎥⎦⎢⎣1⎥⎦对该矩阵求逆，可以得到逆变换：⎡x0⎤⎡1 0-tx⎤⎡x1⎤⎢y0⎥=⎢0 1-ty⎥⎢y1⎥即⎧x0 = x1 -tx⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎨y0 = y1 -ty ⎢⎣1 ⎥⎦⎢⎣00 1⎥⎦⎢⎣1⎥⎦⎩这样，平移后的图像上的每一点都可以在原图像中找到对应的点。
例如，对于新图中的（0，0）像素，代入上面的方程组，可以求出对应原图中的像素（-tx，-ty）。
如果tx 或ty 大于0，则（- tx，- ty）不在原图中。
对于不在原图中的点，可以直接将它的像素值统一设置为0 或则255（对于灰度图就是黑色或白色）。
图像的几何变换
• 平移是指将图像的像素按照要求的平移量 进行水平、垂直移动。 • 设变换前像素的坐标为（x，y），变换后 坐标为（u，v），x方向平移m，y方向平 移n，则
u x m v y n
镜像
• 图像的镜像变换分为水平镜像和垂直镜像 两种。图像的水平镜像操作是以图像的垂 直中轴线为中心交换图像的左右两个部分； 图像的垂直镜像类似，是以图像的水平中 轴线为中心交换图像的上下两部分
• 数字图像的表示方法：用矩阵来表示
f (0,1) f (0, N 1) f (0,0) f (1,0) f (1,1) f (1, N 1) f ( x, y ) f (M 1,0) f (M 1,1) f (M 1, N 1)
• 水平镜像：
u M x 1 v y 垂直镜像：
u x v N y 1
ห้องสมุดไป่ตู้ 旋转
• 旋转是指以图像中的某一点为原点按顺时 针或逆时针方向旋转一定的角度 • 1、直角坐标系中的图像旋转
u xcosθ ysinθ v xsinθ ycosθ
图像的几何变换
• • • • 一、平移 二、镜像 三、旋转 四、缩放
图像的几何变换
• 图像几何变换是指用数学建模的方法来描 述图像位置、大小、形状等变化的方法， 是通过数学建模实现对数字图像进行几何 变换的处理。 • 图像几何变换的一般表达式：
(u,v) [ X(x,y),Y(x ] ,y)
平移
• 首先，需要对计算得到的坐标值进行取整； • 其次，需要根据取整后的坐标值范围进行 画布扩大； • 最后 ，需要将出现的空穴进行填充 • 1）邻近插值法 • 2）均值插值法
图像几何变换
2、图像比例缩放
([x] , [y])
([x]＋ 1 , [y])
q
([x] , [y]＋ 1)
x,y 1－q
x
1
0
x
x0
y 0
1
y
y0
1
0
0
1
1
3、图像平移
x＝2,y＝1
图像平移
4、图像镜像
图像的镜像变换也可以用矩阵变换表示。设点P0(x0, y0)进 行镜像后的对应点为P(x, y)，图像高度为fHeight，宽度为 fWidth，原图像中P0(x0, y0)经过水平镜像后坐标将变为 （fWidth-x0，y0），垂直镜像后坐标将变为(x0，fHeight-y0)矩 阵表达式为：
在下面的算法中直接采用了前一种做法。实际上，这 也是一种插值算法， 称为最邻近插值法（Nearest Neighbor Interpolation）。
2、图像比例缩放
最简单的比例缩小是当 fx=fy=1／2时，图像被缩到一 半大小，此时缩小后图像中的(0， 0)像素对应于原图 像中的(0， 0)像素； (0， 1)像素对应于原图像中的(0， 2)像素； (1， 0)像素对应于原图像中的(2， 0)像素， 依此类推。
6、灰度插值
由于许多输入像素可能映射到输出图像的边界之外，故向 前映射算法有些浪费。而且，每个输出像素的灰度值可能 要由许多输入像素的灰度值来决定，因而要涉及多次计算。 如果空间变换中包括缩小处理，则会有四个以上的输入像 素来决定一输出像素的灰度值。如果含有放大处理，则一 些输出像素可能被漏掉(如果没有输入像素被映射到它们附 近位置的话)。 而向后映射算法是逐像素、逐行地产出输出图像。每 个像素的灰度级由最多四个像素参与的插值所唯一确定。 当然，这种算法需按空间变换所定义的方式随机访问输入 图像，因而可能有些复杂。虽然如此，像素填充法对一般 的应用更为切实可行。
图像几何变换讲解102页PPT
图像几何变换讲解
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
图像几何变换讲课文档
阿诺德变换
• i'=(i+j)mod N j'=(i+2j)mod N
第五十三页，共53页。
第十五页，共53页。
2.7.变成“畸形”
第十六页，共53页。
第十七页，共53页。
第十八页，共53页。
2.8.实现动作
第十九页，共53页。
第二十页，共53页。
第二十一页，共53页。
2.9.实现表情
第二十二页，共53页。
第二十三页，共53页。
2.10.不同图像变换
第二十四页，共53页。
3.3.旋转
第三十八页，共53页。
第三十九页，共53页。
3.4.仿射变换
x’= a10*x + a01*y + a00 y’= b10*x + b01*y + b00
第四十页，共53页。
4.图像几何变换的插值技术
• 当对一幅图像进行缩放、旋转、平移后，如 何得到新的图像？哪种方法更好？
• 由原来图像中已知灰度和坐标，推导出变换 之后的坐标，从而将已知灰度作为新坐标的 灰度值；（正向映射）
小孔成像模型
第四十八页，共53页。
点距模型
第四十九页，共53页。
边距模型
第五十页，共53页。
5.图像加密（图像置乱）
• 伪随机图像加密（伪随机几何变换） • 阿诺德变换 • 幻方变换（魔方变换）
第五十一页，共53页。
图像伪随机加密
• 原图像中的像素映射到新图像中的伪随机 的一个位置；或者新图像中的像素来之原 图像中的一个随机位置。
第二十五页，共53页。
第二十六页，共53页。
第二十七页，共53页。
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可令由双线性方程： 可令由双线性方程： f(x,y)=ax+by+cxy+d （10.2） ） 来定义的一个双曲抛物面与四个已知点拟合。 来定义的一个双曲抛物面与四个已知点拟合。 这四个系数须由已知的四个顶点的f(x,y) 从a到d这四个系数须由已知的四个顶点的 到 这四个系数须由已知的四个顶点的 值来确定。 值来确定。 有一个简单的算法可产生一个双线性插值 函数，并使之与四个顶点的f(x,y)值拟合。 值拟合。 函数，并使之与四个顶点的 值拟合 首先，对上端的两个顶点进行线性插值可得： 首先， 上端的两个顶点进行线性插值可得： 进行线性插值可得 f(x,0)=f(0,0)+x[f(1,0)-f(0,0)] （10.3） ） 类似地，对于底端两个顶点进行线性插值有： 底端两个顶点进行线性插值有 类似地，对于底端两个顶点进行线性插值有： f(x,1)=f(0,1)+x[f(1,1)-f(0,1)] （10.4） ）
9
10.1.3 实现
当实现一个几何运算时， 当实现一个几何运算时，可采用如下两种 方法。 方法。 你可以把几何运算想象成将输入图象的灰 你可以把几何运算想象成将输入图象的灰 度一个一个象素地转移到输出图象中。 度一个一个象素地转移到输出图象中。 如果一个输入象素被映射到四个输出象素 之间的位置， 之间的位置，则其灰度值就按插值算法在四个 输出象素之间进行分配 分配。 输出象素之间进行分配。 象素移交（ 我们称之为象素移交 ） 我们称之为 象素移交 （ pixel carry-over） 或称为向前映射法，见图10.2(a)。 或称为向前映射法，见图 。
8ห้องสมุดไป่ตู้
有了空间变换和灰度级插值算法， 有了空间变换和灰度级插值算法，我们就 可以开始执行一个几何运算。 可以开始执行一个几何运算。 通常， 通常 ， 计算机程序中总有几种固定的灰度 级插值算法， 级插值算法，而用来定义空间变换的算法将随 任务不同而不同。 任务不同而不同。 因为灰度级插值算法总是相同的， 因为灰度级插值算法总是相同的 ， 或可从 几种算法中选一个，因此， 几种算法中选一个，因此，每个特定的几何运 算基本是由空间变换算法定义的。 算基本是由空间变换算法定义的。
6
10.1.1 空间变换
几何运算一般定义为： 几何运算一般定义为： g(x,y)=f(x’,y’)=f[a(x,y),b(x,y)] （10.1） ）
其中， 表示输入图象， 其中 ， f(x,y)表示输入图象 ， g(x,y)表示输 表示输入图象 表示输 表示空间变换， 出图象， 和 表示空间变换 出图象 ， a(x,y)和 b(x,y)表示空间变换 ， 若它们 连续的 则将保持图象中的连通关系。 连通关系 是连续的，则将保持图象中的连通关系。
22
(a)
(b)
(c)
图10.4 零阶和一阶插值的比较 (a)原图 (b)放大时用零阶插值 (c)放大时用一阶插值 原图 放大时用零阶插值 放大时用一阶插值
20
f(1,0)
f(0,0)
f(x,y) f(1,1) (1,0) X (x,0) (x,y)
(0,0) (0, y) f(0,1) (x,1) (0,1) Y (1,1)
图10.3 双线性插值
21
最后， 垂直方向的线性插值，以确定： 最后，做垂直方向的线性插值，以确定： 的线性插值 f(x,y)=f(x,0)+y[f(x,1)-f(x,0)] （10.5） ） 将等式10.3和式 和式10.4代入式 代入式10.5，展开等式并 将等式 和式 代入式 ， 合并同类项可得： 合并同类项可得： f(x,y)=[f(1,0)-f(0,0)]x+[f(0,1)-f(0,0)]y+ +[f(1,1)+f(0,0)-f(0,1)-f(1,0)]xy+f(0,0) （ 10.6） ） 该式形式类似于式10.2，因此确实是双线性的。 ，因此确实是双线性的。 该式形式类似于式
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几何运算多用于摄像机的几何校正 ， 几何运算多用于摄像机的 几何校正， 利用图象 几何校正 进行几何测量 影视特技及广告的制作中图象的变形 几何测量， 变形。 进行几何测量，影视特技及广告的制作中图象的变形。 在图象的获取或显示过程中往往会产生几何失 对于这些图象必须加以校正，以免影响分析精度。 真。对于这些图象必须加以校正，以免影响分析精度。 例如， 成象系统有一定的几何非线性， 例如 ， 成象系统有一定的几何非线性 ， 因此会 造成如图10.1所示的枕形失真或桶形失真。图 (a)为原 所示的枕形失真或桶形失真。 造成如图 所示的枕形失真或桶形失真 为原 始图象， 和图(c)为失真的图象 始图象，图(b)和图 为失真的图象。 和图 为失真的图象。 由于斜视角度获得的图象的透视失真。 由于斜视角度获得的图象的透视失真。 由卫星摄取的地球表面的图象往往覆盖较大的 面积，由于地球表面呈球形，这样摄取的平面图象也 面积， 由于地球表面呈球形， 将会有较大的几何失真。 将会有较大的几何失真。
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x'
象素填充映射
x
y'
（向后映射） 向后映射）
y
输出象素的位置逐个映射回输 入图象 f(x’,y’) (x’,y’) 非整型 灰度由四个输入象素间插值 g(x,y) (x,y)整型 整型
(b) 图10.2 象素变换
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由于许多输入象素可能映射到输出图象的边界 之外，故向前映射算法有些浪费。 之外，故向前映射算法有些浪费。
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x x'
象素移交映射
y y'
（向前映射） 向前映射） 输入象素的灰度逐个转移到输出图象 灰度在四个输出象素间分配 f(x’,y’) (x’,y’)整型 整型 g(x,y) (x,y)非整型 非整型
(a) 图10.2 象素变换
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10.1.3 实现
另一种更有效地达到目的的方法是象素填 充 （ pixe l f il l ing ） 或 称 为 向 后 映 射 算 法 。 在这里输出象素一次一个地映射回到输入 在这里输出象素一次一个地映射回到输入 图象中，以便确定其灰度级。 图象中，以便确定其灰度级。 如果一个输出象素被映射到四个输出象素 之间，则其灰度值由灰度级插值决定， 插值决定 之间，则其灰度值由灰度级插值决定，见图 10.2(b) 向后空间变换是向前变换的逆。 向后空间变换是向前变换的逆。
10 图象几何变换
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10.1 引言
几何运算可改变图象中各物体之间的 几何运算可改变图象中各物体之间的空间 改变图象中各物体之间的空间 关系。 关系。 这种运算可以被看成是将（ 这种运算可以被看成是将（各）物体在图 象内移动。 象内移动。 其效果正如在一块橡皮板上画图， 其效果正如在一块橡皮板上画图，拉伸该 橡皮板，并在不同的点固定该橡皮板。 橡皮板，并在不同的点固定该橡皮板。 几何运算住往需作一些限制 几何运算住往需作一些限制以保持图象的 住往需作一些限制以 外观顺序。 外观顺序。
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(a)
(b)
图10.4 零阶插值 (a)原图 (b)放大时用零阶插值 原图 放大时用零阶插值
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10.2.2 双线性插值
一阶插值（或称双线性插值法） 一阶插值（或称双线性插值法）和零阶插 值法相比可产生更令人满意的效果。 值法相比可产生更令人满意的效果。只是程序 稍微复杂一些，运行时间稍长一些。 稍微复杂一些，运行时间稍长一些。 由于通过四点确定一个平面是一个过约束 问题， 问题，所以在一个矩形栅格上进行的一阶插值 就需要用到双线性函数。 就需要用到双线性函数。 为两个变量的函数， 令f(x,y)为两个变量的函数，其在单位正方 为两个变量的函数 形顶点的值已知。假设希望通过插值得到正方 形顶点的值已知。 假设希望通过插值得到正方 形内任意点的 形内任意点的f(x,y)值。 值
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一个几何运算需要两个独立的算法。 一个几何运算需要两个独立的算法。 需要两个独立的算法
空间变换本身 一个算法来定义空间变换本身， 一个算法来定义空间变换本身，用它描述 每个象素如何从其初始位置“移动” 每个象素如何从其初始位置“移动”到终止位 即每个象素的“运动” 置，即每个象素的“运动”。
一个用于灰度插值的算法，这是因为， 灰度插值的算法 一个用于灰度插值的算法，这是因为，在 一般情况下，输入图象的位置坐标(x,y)为整数， 为整数， 一般情况下 ， 输入图象的位置坐标 为整数 而输出图象的位置坐标为非整数， 而输出图象的位置坐标为非整数，反过来也是 如此。 如此。
而且， 而且 ， 每个输出象素的灰度值可能要由许多输 入象素的灰度值来决定，因而要涉及多次计算。 入象素的灰度值来决定，因而要涉及多次计算。
如果空间变换中包括缩小处理， 如果空间变换中包括缩小处理 ， 则会有四个以 上的输入象素来决定一输出象素的灰度值。 上的输入象素来决定一输出象素的灰度值。
如果含有放大处理， 如果含有放大处理 ， 则一些输出象素可能被漏 如果没有输入象素被映射到它们附近位置的话） 掉（如果没有输入象素被映射到它们附近位置的话）。
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10.1.2 灰度级插值
在输入图象f(x,y)中 ， 灰度值仅在整数位 中 在输入图象 处被定义。 置(x,y)处被定义。 处被定义 然而，在等式10.1中，g(x,y)的灰度值一般 的灰度值一般 然而，在等式 中 由处在非整数坐标上的f(x,y)的值来决定。 的值来决定。 由处在非整数坐标上的 的值来决定 如果把几何运算看成是一个从f到 的映射 的映射， 如果把几何运算看成是一个从 到g的映射， 中的一个象素会映射到g中几个象素之间的 则f中的一个象素会映射到 中几个象素之间的 中的一个象素会映射到 位置,反之亦然 反之亦然； 位置 反之亦然； 为了方便讨论， 为了方便讨论，我们规定所有象素正好位 于采样栅格的整数坐标处。 于采样栅格的整数坐标处。
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向后映射算法是逐象素、 向后映射算法是逐象素、逐行地产出输出 图象。 图象。 每个象素的灰度级由最多四个象素参与的 插值所唯一确定。 插值所唯一确定。 当然，输入图象必须允许按空间变换所定 当然， 义的方式随机访问，因而可能有些复杂。 义的方式随机访问，因而可能有些复杂。 虽然如此， 虽然如此，象素填充法对一般的应用更为 切实可行。 切实可行。